Negative tal. En lektion i at opdage ny viden: Hvad er større end et minustal eller naturlige tal?

Formler i Excel hjælper dig med at beregne ikke kun positive, men også negative tal. For måder at skrive et tal med et minus på, se artiklen "Sådan indtaster du et negativt tal i Excel".
At finde summen af negative tal i Excel , nødvendig "SUMIF" funktion i Excel . For eksempel har vi sådan et bord.
Indstil formlen i celle A7. For at gøre dette skal du gå til fanen "Formler" i Excel-tabellen, vælge "Matematisk" og vælge Excel-funktionen "SUM.HVIS".
Udfyld linjerne i vinduet, der kommer frem:
"Range" - vi angiver alle cellerne i kolonnen eller rækken, hvori vi tilføjer tallene. For information om rækkevidden i tabellen, se artiklen "Hvad er et interval i Excel" .
"Kriterium" - her skriver vi "<0» .
Klik på knappen "OK".

Det blev sådan her.

Se formlen i formellinjen.Se artiklen "større end" eller "mindre end" i en formel.Hvor er knappen på tastaturet?» .
Sum kun positive tal i Excel.
Du skal skrive formlen på samme måde, kun i linjen i funktionsvinduet "Kriterier" skal du skrive ">0" Det blev sådan her.

Funktionen "SUMIF" i Excel kan tælle værdierne af celler ikke alle i en række, men selektivt i henhold til den betingelse, vi skriver i formlen. Denne funktion er praktisk til at beregne data for en bestemt dato eller ordre for en bestemt kunde, elevresultater osv. Læs mere om, hvordan du bruger denne funktion.

Tilføjer vi tallet 0 til venstre for en række naturlige tal, får vi serie af positive heltal:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negative heltal

Lad os se på et lille eksempel. Billedet til venstre viser et termometer, der viser en temperatur på 7°C. Hvis temperaturen falder med 4°, vil termometeret vise 3° varme. Et fald i temperaturen svarer til virkningen af subtraktion:

Hvis temperaturen falder med 7°, vil termometeret vise 0°. Et fald i temperaturen svarer til virkningen af subtraktion:

Hvis temperaturen falder med 8°, vil termometeret vise -1° (1° under nul). Men resultatet af at trække 7 - 8 fra kan ikke skrives ved hjælp af naturlige tal og nul.

Lad os illustrere subtraktion ved hjælp af en række positive heltal:

1) Fra tallet 7, tæl 4 tal til venstre og få 3:

2) Fra tallet 7, tæl 7 tal til venstre og få 0:

Det er umuligt at tælle 8 tal fra tallet 7 til venstre i en serie af positive heltal. For at gøre handling 7 - 8 mulig, udvider vi rækken af positive heltal. For at gøre dette, til venstre for nul, skriver vi (fra højre til venstre) i rækkefølgen af alle de naturlige tal, og tilføjer til hver af dem tegnet - , hvilket indikerer, at dette tal er til venstre for nul.

Indtastningerne -1, -2, -3, ... læser minus 1, minus 2, minus 3 osv.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Den resulterende talrække kaldes række af heltal. Prikkerne til venstre og højre i denne post betyder, at serien kan fortsættes i det uendelige til højre og venstre.

Til højre for tallet 0 i denne række er numre kaldet naturlig eller positive heltal(kort - positiv).

Til venstre for tallet 0 i denne række er numre kaldet heltal negativ(kort - negativ).

Tallet 0 er et heltal, men er hverken et positivt eller et negativt tal. Det adskiller positive og negative tal.

Derfor, rækken af heltal består af negative heltal, nul og positive heltal.

Heltals sammenligning

Sammenlign to heltal- betyder at finde ud af, hvilken der er størst, hvilken der er mindre, eller at bestemme, at tallene er ens.

Du kan sammenligne heltal ved at bruge en række af heltal, da tallene i den er arrangeret fra mindste til største, hvis du bevæger dig langs rækken fra venstre mod højre. Derfor kan du i en række heltal erstatte kommaer med et mindre end-tegn:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Derfor, af to heltal, jo større er det tal, der er til højre i serien, og jo mindre er det, der er til venstre, betyder:

1) Ethvert positivt tal er større end nul og større end ethvert negativt tal:

1 > 0; 15 > -16

2) Ethvert negativt tal mindre end nul:

7 < 0; -357 < 0

3) Af to negative tal er det, der er til højre i rækken af heltal, større.

Ved løsning af ligninger og uligheder, samt problemer med moduler, skal du placere de fundne rødder på tallinjen. Som du ved, kan de fundne rødder være anderledes. De kan være sådan her: , eller de kan være sådan her: , .

Derfor, hvis tallene ikke er rationelle, men irrationelle (hvis du har glemt, hvad de er, se i emnet), eller er komplekse matematiske udtryk, så er det meget problematisk at placere dem på tallinjen. Desuden kan du ikke bruge lommeregnere under eksamen, og omtrentlige beregninger giver ikke 100 % garanti for, at et tal er mindre end et andet (hvad nu hvis der er forskel mellem de tal, der sammenlignes?).

Selvfølgelig ved du, at positive tal altid er større end negative, og at hvis vi forestiller os en talakse, så vil de største tal være til højre end de mindste, når vi sammenligner: ; ; osv.

Men er alting altid så nemt? Hvor på tallinjen vi markerer,.

Hvordan kan de for eksempel sammenlignes med et tal? Dette er gnisten...)

Lad os først tale i generelle vendinger om hvordan og hvad man skal sammenligne.

Vigtigt: det er tilrådeligt at lave transformationer, så ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, under transformationer er det uønsket at gange med et negativt tal, og det er forbudt kvadrat, hvis en af delene er negativ.

Sammenligning af brøker

Så vi skal sammenligne to brøker: og.

Der er flere muligheder for, hvordan du gør dette.

Mulighed 1. Reducer brøker til en fællesnævner.

Lad os skrive det i form af en almindelig brøk:

- (som du kan se, reducerede jeg også tæller og nævner).

Nu skal vi sammenligne brøker:

Nu kan vi fortsætte med at sammenligne på to måder. Vi kan:

bare bringe alt til en fællesnævner, og præsentere begge brøker som uægte (tælleren er større end nævneren):
Hvilket tal er størst? Det er rigtigt, den med den større tæller, altså den første.
"lad os kassere" (tænk på, at vi har trukket en fra hver brøk, og forholdet mellem brøkerne og hinanden har derfor ikke ændret sig) og sammenlign brøkerne:
Vi bringer dem også til en fællesnævner:
Vi fik nøjagtig det samme resultat som i det foregående tilfælde - det første tal er større end det andet:
Lad os også tjekke, om vi har trukket en korrekt fra? Lad os beregne forskellen i tælleren i den første beregning og den anden:
1)
2)

Så vi så på, hvordan man sammenligner brøker, og bringer dem til en fællesnævner. Lad os gå videre til en anden metode - at sammenligne brøker, bringe dem til en fælles ... tæller.

Mulighed 2. Sammenligning af brøker ved at reducere til en fælles tæller.

Ja, ja. Dette er ikke en tastefejl. Denne metode læres sjældent til nogen i skolen, men meget ofte er den meget praktisk. For at du hurtigt forstår dens essens, vil jeg kun stille dig ét spørgsmål - "i hvilke tilfælde er værdien af en brøk størst?" Selvfølgelig vil du sige "når tælleren er så stor som muligt, og nævneren er så lille som muligt."

For eksempel kan du helt sikkert sige, at det er sandt? Hvad hvis vi skal sammenligne følgende brøker: ? Jeg tror også, at du straks vil sætte tegnet rigtigt, for i det første tilfælde er de opdelt i dele, og i det andet i hele, hvilket betyder, at i det andet tilfælde viser stykkerne sig at være meget små, og følgelig: . Som du kan se, er nævnerne her forskellige, men tællerne er de samme. Men for at sammenligne disse to brøker behøver du ikke lede efter en fællesnævner. Selvom... find det og se om sammenligningstegnet stadig er forkert?

Men tegnet er det samme.

Lad os vende tilbage til vores oprindelige opgave - sammenlign og... Vi vil sammenligne og... Lad os reducere disse brøker ikke til en fællesnævner, men til en fælles tæller. For at gøre dette ganske enkelt tæller og nævner gange den første brøk med. Vi får:

Og. Hvilken fraktion er størst? Det er rigtigt, den første.

Mulighed 3: Sammenligning af brøker ved hjælp af subtraktion.

Hvordan sammenligner man brøker ved hjælp af subtraktion? Ja, meget simpelt. Vi trækker en anden fra en brøkdel. Hvis resultatet er positivt, så er den første brøk (minuend) større end den anden (subtrahend), og hvis negativ, så omvendt.

I vores tilfælde, lad os prøve at trække den første brøk fra den anden: .

Som du allerede forstår, konverterer vi også til en almindelig brøk og får samme resultat - . Vores udtryk har formen:

Dernæst bliver vi stadig nødt til at ty til reduktion til en fællesnævner. Spørgsmålet er: på den første måde at konvertere brøker til ukorrekte, eller på den anden måde, som om du "fjerner" enheden? Denne handling har i øvrigt en fuldstændig matematisk begrundelse. Se:

Jeg kan bedre lide den anden mulighed, da det bliver meget nemmere at gange i tælleren, når det reduceres til en fællesnævner.

Lad os bringe det til en fællesnævner:

Det vigtigste her er ikke at blive forvirret over, hvilket tal vi har trukket fra og hvor. Se omhyggeligt på fremskridtene af løsningen og forveksle ikke skiltene ved et uheld. Vi trak det første tal fra det andet tal og fik et negativt svar, så?.. Det er rigtigt, det første tal er større end det andet.

Har du det? Prøv at sammenligne brøker:

Stop, stop. Skynd dig ikke at reducere til en fællesnævner eller trække fra. Se: du kan nemt konvertere det til en decimalbrøk. Hvor lang tid bliver det? Højre. Hvad er mere i sidste ende?

Dette er en anden mulighed - at sammenligne brøker ved at konvertere til en decimal.

Mulighed 4: Sammenligning af brøker ved hjælp af division.

Ja, ja. Og dette er også muligt. Logikken er enkel: Når vi dividerer et større tal med et mindre, er svaret, vi får, et tal, der er større end et, og hvis vi dividerer et mindre tal med et større, så falder svaret i intervallet fra til.

For at huske denne regel skal du tage to primtal til sammenligning, for eksempel og. Ved du hvad mere er? Lad os nu dividere med. Vores svar er. Derfor er teorien korrekt. Hvis vi dividerer med, er det, vi får, mindre end én, hvilket igen bekræfter, at det faktisk er mindre.

Lad os prøve at anvende denne regel på almindelige brøker. Lad os sammenligne:

Divider den første brøk med den anden:

Lad os forkorte efterhånden.

Det opnåede resultat er mindre, hvilket betyder, at udbyttet er mindre end divisor, dvs.

Vi har set på alle mulige muligheder for at sammenligne brøker. Hvordan ser du dem 5:

reduktion til en fællesnævner;
reduktion til en fælles tæller;
reduktion til form af en decimalbrøk;
subtraktion;
afdeling.

Klar til at træne? Sammenlign brøker på den optimale måde:

Lad os sammenligne svarene:

(- konverter til decimal)
(divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner)
(vælg hele delen og sammenlign brøker baseret på princippet om samme tæller)
(divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner).

2. Sammenligning af grader

Forestil dig nu, at vi ikke kun skal sammenligne tal, men udtryk, hvor der er en grad ().

Du kan selvfølgelig sagtens sætte et skilt op:

Når alt kommer til alt, hvis vi erstatter graden med multiplikation, får vi:

Fra dette lille og primitive eksempel følger reglen:

Prøv nu at sammenligne følgende: . Du kan også nemt sætte et skilt:

For hvis vi erstatter eksponentiering med multiplikation...

Generelt forstår du alt, og det er slet ikke svært.

Vanskeligheder opstår kun, når graderne ved sammenligning har forskellige grundlag og indikatorer. I dette tilfælde er det nødvendigt at forsøge at føre til et fælles grundlag. For eksempel:

Selvfølgelig ved du, at dette derfor udtrykket har formen:

Lad os åbne parenteserne og sammenligne, hvad vi får:

Et noget særligt tilfælde er, når bunden af graden () er mindre end én.

Hvis, så af to grader og større er den, hvis indeks er mindre.

Lad os prøve at bevise denne regel. Lad det være.

Lad os introducere et naturligt tal som forskellen mellem og.

Logisk, ikke?

Og lad os nu endnu en gang være opmærksomme på tilstanden - .

Henholdsvis:. Derfor,.

For eksempel:

Som du forstår, overvejede vi tilfældet, når gradernes basis er ens. Lad os nu se, hvornår basen er i intervallet fra til, men eksponenterne er lige store. Alt er meget enkelt her.

Lad os huske, hvordan man sammenligner dette ved at bruge et eksempel:

Selvfølgelig lavede du regnestykket hurtigt:

Derfor, når du støder på lignende problemer til sammenligning, skal du huske på et simpelt lignende eksempel, som du hurtigt kan beregne, og ud fra dette eksempel, sæt tegn ned i et mere komplekst.

Når du udfører transformationer, skal du huske, at hvis du multiplicerer, adderer, subtraherer eller dividerer, så skal alle handlinger udføres med både venstre og højre side (hvis du gange med, så skal du gange begge).

Derudover er der tilfælde, hvor det simpelthen er urentabelt at udføre nogen manipulationer. For eksempel skal du sammenligne. I dette tilfælde er det ikke så svært at hæve til en magt og arrangere skiltet baseret på dette:

Lad os øve os. Sammenlign grader:

Klar til at sammenligne svar? Her er hvad jeg fik:

- det samme som
- det samme som
- det samme som
- det samme som

3. Sammenligning af tal med rødder

Lad os først huske, hvad rødder er? Kan du huske denne optagelse?

Roden af en potens af et reelt tal er et tal, som ligheden gælder for.

Rødder af ulige grad findes for negative og positive tal, og selv rødder- kun for positive.

Rodværdien er ofte en uendelig decimal, hvilket gør det svært at beregne præcist, så det er vigtigt at kunne sammenligne rødder.

Hvis du har glemt hvad det er og hvad det spises med - . Hvis du husker alt, så lad os lære at sammenligne rødder trin for trin.

Lad os sige, at vi skal sammenligne:

For at sammenligne disse to rødder behøver du ikke at lave nogen beregninger, bare analyser selve begrebet "rod". Forstår du, hvad jeg taler om? Ja, om dette: ellers kan det skrives som tredje potens af et eller andet tal, lig med det radikale udtryk.

Hvad er mere? eller? Selvfølgelig kan du sammenligne dette uden besvær. Jo større tal vi hæver til en potens, jo større vil værdien være.

Så. Lad os udlede en regel.

Hvis røddernes eksponenter er de samme (i vores tilfælde er dette), så er det nødvendigt at sammenligne de radikale udtryk (og) - jo større radikalt tal, jo større værdi af roden med lige store eksponenter.

Svært at huske? Så hold bare et eksempel i hovedet og... Hvad er mere?

Eksponenterne for rødderne er de samme, da roden er kvadratisk. Det radikale udtryk for et tal () er større end et andet (), hvilket betyder, at reglen virkelig er sand.

Hvad hvis de radikale udtryk er de samme, men graderne af rødderne er forskellige? For eksempel:.

Det er også helt klart, at når man udtrækker en rod af større grad, vil man få et mindre antal. Lad os tage for eksempel:

Lad os betegne værdien af den første rod som, og den anden - som, så:

Du kan nemt se, at der skal være mere i disse ligninger, derfor:

Hvis de radikale udtryk er de samme(i vores tilfælde), og røddernes eksponenter er forskellige(i vores tilfælde er dette og), så er det nødvendigt at sammenligne eksponenterne(Og) - jo højere indikatoren er, jo mindre er dette udtryk.

Prøv at sammenligne følgende rødder:

Lad os sammenligne resultaterne?

Vi ordnede dette med succes :). Et andet spørgsmål opstår: hvad nu hvis vi alle er forskellige? Både grad og radikalt udtryk? Ikke alt er så kompliceret, vi skal bare ... "slippe" af med roden. Ja, ja. Bare slip med det)

Hvis vi har forskellige grader og radikale udtryk, skal vi finde det mindste fælles multiplum (læs afsnittet om) for røddernes eksponenter og hæve begge udtryk til en potens lig med det mindste fælles multiplum.

At vi alle er i ord og ord. Her er et eksempel:

Vi ser på indikatorerne for rødderne - og. Deres mindste fælles multiplum er .
Lad os hæve begge udtryk til en magt:
Lad os transformere udtrykket og åbne parenteserne (flere detaljer i kapitlet):
Lad os tælle, hvad vi har gjort, og sætte et skilt:

4. Sammenligning af logaritmer

Så langsomt men sikkert kom vi til spørgsmålet om, hvordan man sammenligner logaritmer. Hvis du ikke kan huske, hvilken slags dyr dette er, råder jeg dig til først at læse teorien fra afsnittet. Har du læst den? Svar derefter på et par vigtige spørgsmål:

Hvad er argumentet for en logaritme, og hvad er dens base?
Hvad bestemmer om en funktion stiger eller falder?

Hvis du husker alt og har mestret det perfekt, så lad os komme i gang!

For at sammenligne logaritmer med hinanden skal du kun kende 3 teknikker:

reduktion til samme grundlag;
reduktion til samme argument;
sammenligning med det tredje tal.

Indledningsvis skal du være opmærksom på logaritmens basis. Husker du, at hvis den er mindre, så falder funktionen, og hvis den er mere, så stiger den. Det er det, vores domme vil blive baseret på.

Lad os overveje en sammenligning af logaritmer, der allerede er blevet reduceret til den samme base eller argument.

Til at begynde med, lad os forenkle problemet: lad de sammenlignede logaritmer ind lige grunde. Så:

Funktionen, for, stiger med intervallet fra, hvilket betyder per definition derefter ("direkte sammenligning").
Eksempel:- grundene er de samme, vi sammenligner argumenterne i overensstemmelse hermed: , derfor:
Funktionen, at, falder på intervallet fra, hvilket betyder per definition derefter ("omvendt sammenligning"). - grundlerne er de samme, vi sammenligner argumenterne i overensstemmelse hermed: dog vil fortegnet for logaritmerne være "omvendt", da funktionen er aftagende: .

Overvej nu tilfælde, hvor årsagerne er forskellige, men argumenterne er de samme.

Basen er større.
- . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel: - argumenterne er de samme, og. Lad os sammenligne baserne: dog vil tegnet for logaritmerne være "omvendt":
Basen a er i mellemrummet.
- . I dette tilfælde bruger vi "direkte sammenligning". For eksempel:
- . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel:

Lad os skrive alt ned i en generel tabelform:

, mens	, mens

Som du allerede har forstået, skal vi, når vi sammenligner logaritmer, føre til den samme base eller argument. Vi kommer frem til den samme base ved at bruge formlen til at flytte fra en base til en anden.

Du kan også sammenligne logaritmer med det tredje tal og ud fra dette drage en konklusion om, hvad der er mindre, og hvad der er mere. Tænk for eksempel på, hvordan man sammenligner disse to logaritmer?

Et lille tip - til sammenligning vil en logaritme hjælpe dig meget, hvis argument vil være ens.

Tanke? Lad os beslutte sammen.

Vi kan nemt sammenligne disse to logaritmer med dig:

Ved du ikke hvordan? Se ovenfor. Vi har lige ordnet det her. Hvilket tegn vil der være? Højre:

Enig?

Lad os sammenligne med hinanden:

Du bør få følgende:

Kombiner nu alle vores konklusioner til én. Virkede det?

5. Sammenligning af trigonometriske udtryk.

Hvad er sinus, cosinus, tangens, cotangens? Hvorfor har vi brug for en enhedscirkel, og hvordan finder vi værdien af trigonometriske funktioner på den? Hvis du ikke kender svarene på disse spørgsmål, anbefaler jeg stærkt, at du læser teorien om dette emne. Og hvis du ved det, så er det ikke svært for dig at sammenligne trigonometriske udtryk med hinanden!

Lad os genopfriske vores hukommelse lidt. Lad os tegne en trigonometrisk enhedscirkel og en trekant indskrevet i den. Klarede du dig? Marker nu på hvilken side vi plotter cosinus og på hvilken side sinus ved hjælp af trekantens sider. (du husker selvfølgelig, at sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, og cosinus er den tilstødende side?). Har du tegnet det? Stor! Den sidste touch er at lægge ned, hvor vi vil have det, hvor og så videre. Har du lagt det fra dig? Pyha) Lad os sammenligne, hvad der skete med dig og mig.

Puha! Lad os nu begynde sammenligningen!

Lad os sige, at vi skal sammenligne og. Tegn disse vinkler ved hjælp af meddelelserne i boksene (hvor vi har markeret hvor), og placer punkter på enhedscirklen. Klarede du dig? Her er hvad jeg fik.

Lad os nu slippe en vinkelret fra de punkter, vi markerede på cirklen, ned på aksen... Hvilken? Hvilken akse viser værdien af sinus? rigtigt,. Dette er hvad du skal få:

Ser man på dette billede, hvilket er større: eller? Selvfølgelig, fordi pointen er over pointen.

På lignende måde sammenligner vi værdien af cosinus. Vi sænker kun vinkelret på aksen... Det er rigtigt, . Derfor ser vi på hvilket punkt der er til højre (eller højere, som i tilfældet med sines), så er værdien større.

Du ved sikkert allerede, hvordan man sammenligner tangenter, ikke? Alt du behøver at vide er, hvad en tangent er. Så hvad er en tangent?) Det er rigtigt, forholdet mellem sinus og cosinus.

For at sammenligne tangenter tegner vi en vinkel på samme måde som i det foregående tilfælde. Lad os sige, at vi skal sammenligne:

Har du tegnet det? Nu markerer vi også sinusværdierne på koordinataksen. Lagde du mærke til det? Angiv nu værdierne af cosinus på koordinatlinjen. Virkede det? Lad os sammenligne:

Analyser nu hvad du skrev. - vi deler et stort segment op i et lille. Svaret vil indeholde en værdi, der bestemt er større end én. Højre?

Og når vi deler den lille med den store. Svaret vil være et tal, der er præcis mindre end et.

Så hvilket trigonometrisk udtryk har den største værdi?

Højre:

Som du nu forstår, er sammenligning af cotangenter det samme, kun omvendt: vi ser på, hvordan de segmenter, der definerer cosinus og sinus, forholder sig til hinanden.

Prøv selv at sammenligne følgende trigonometriske udtryk:

Eksempler.

Svar.

SAMMENLIGNING AF TAL. MELLEMNIVEAU.

Hvilket tal er størst: eller? Svaret er indlysende. Og nu: eller? Ikke så indlysende længere, vel? Altså: eller?

Ofte har du brug for at vide, hvilket numerisk udtryk der er størst. For eksempel for at placere punkterne på aksen i den rigtige rækkefølge, når man løser en ulighed.

Nu vil jeg lære dig, hvordan du sammenligner sådanne tal.

Hvis du har brug for at sammenligne tal og, sætter vi et tegn mellem dem (afledt af det latinske ord Versus eller forkortet vs. - imod): . Dette tegn erstatter det ukendte ulighedstegn (). Dernæst vil vi udføre identiske transformationer, indtil det bliver klart, hvilket tegn der skal placeres mellem tallene.

Essensen af at sammenligne tal er dette: vi behandler tegnet, som om det var en form for ulighedstegn. Og med udtrykket kan vi gøre alt, hvad vi normalt gør med uligheder:

tilføje et hvilket som helst tal til begge sider (og selvfølgelig kan vi også trække fra)
"flyt alt til den ene side", dvs. træk et af de sammenlignede udtryk fra begge dele. I stedet for det subtraherede udtryk forbliver: .
gange eller dividere med det samme tal. Hvis dette tal er negativt, vendes ulighedstegnet: .
hæve begge sider til samme magt. Hvis denne effekt er lige, skal du sikre dig, at begge dele har samme fortegn; hvis begge dele er positive, ændres tegnet ikke, når det hæves til en potens, men hvis de er negative, så ændres det til det modsatte.
udvinde roden af samme grad fra begge dele. Hvis vi udtrækker en rod af en lige grad, skal vi først sikre os, at begge udtryk er ikke-negative.
andre tilsvarende transformationer.

Vigtigt: det er tilrådeligt at lave transformationer, så ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, at under transformationer er det uønsket at gange med et negativt tal, og du kan ikke kvadrere det, hvis en af delene er negativ.

Lad os se på et par typiske situationer.

1. Eksponentiering.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Da begge sider af uligheden er positive, kan vi kvadrere den for at slippe af med roden:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Her kan vi også kvadrere det, men dette vil kun hjælpe os af med kvadratroden. Her er det nødvendigt at hæve den i en sådan grad, at begge rødder forsvinder. Det betyder, at eksponenten for denne grad skal være delelig med både (grad af den første rod) og med. Dette tal er derfor hævet til th potens:

2. Multiplikation med dets konjugat.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Lad os gange og dividere hver forskel med den konjugerede sum:

Det er klart, at nævneren på højre side er større end nævneren til venstre. Derfor er den højre brøk mindre end den venstre:

3. Subtraktion

Lad os huske det.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Selvfølgelig kunne vi kvadre alt, omgruppere og kvadrere det igen. Men du kan gøre noget smartere:

Det kan ses, at på venstre side er hvert led mindre end hvert led på højre side.

Følgelig er summen af alle led på venstre side mindre end summen af alle led på højre side.

Men vær forsigtig! Vi blev spurgt om hvad mere...

Højre side er større.

Eksempel.

Sammenlign tallene og...

Løsning.

Lad os huske trigonometriformlerne:

Lad os tjekke, i hvilke kvartaler på den trigonometriske cirkel punkterne og ligge.

4. Division.

Her bruger vi også en simpel regel: .

På eller, altså.

Når tegnet ændres: .

Eksempel.

Sammenlign:.

Løsning.

5. Sammenlign tallene med det tredje tal

Hvis og, så (lov om transitivitet).

Eksempel.

Sammenligne.

Løsning.

Lad os sammenligne tallene ikke med hinanden, men med tallet.

Åbenbart.

På den anden side.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Begge tal er større, men mindre. Lad os vælge et tal, så det er større end det ene, men mindre end det andet. For eksempel. Lad os tjekke:

6. Hvad skal man gøre med logaritmer?

Ikke noget særligt. Hvordan man slipper af med logaritmer er beskrevet detaljeret i emnet. De grundlæggende regler er:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \venstrehøjrepil (\rm( ))\venstre[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kile (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kile y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Vi kan også tilføje en regel om logaritmer med forskellige baser og det samme argument:

Det kan forklares på denne måde: Jo større basen er, jo mindre skal den hæves for at få det samme. Hvis basen er mindre, er det modsatte sandt, da den tilsvarende funktion er monotont aftagende.

Eksempel.

Sammenlign tallene: og.

Løsning.

I henhold til ovenstående regler:

Og nu formlen for de avancerede.

Reglen for sammenligning af logaritmer kan skrives mere kort:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Eksempel.

Sammenlign hvilket tal der er størst: .

Løsning.

SAMMENLIGNING AF TAL. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

1. Eksponentiering

Hvis begge sider af uligheden er positive, kan de kvadreres for at slippe af med roden

2. Multiplikation med dets konjugat

Et konjugat er en faktor, der komplementerer udtrykket til forskellen mellem kvadraters formel: - konjuger for og omvendt, fordi .

3. Subtraktion

4. Division

Hvornår eller det er

Når tegnet ændres:

5. Sammenligning med det tredje tal

Hvis og så

6. Sammenligning af logaritmer

Grundlæggende regler:

Logaritmer med forskellige baser og samme argument:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For at have bestået Unified State-eksamenen, for at komme ind på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du skal bruge løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 899 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Og afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Negative og imaginære tal

Nu vover vi at vende os til algebra. Brugen af negative og imaginære tal i algebra bekræfter analysens firedelte natur og giver en ekstra chance for at bruge tredelt analyse. I dette tilfælde skal vi igen advare om, at vi har til hensigt at bruge begreberne algebra til formål langt ud over den normale anvendelse af disse begreber, da nogle af opdagelserne af algebra yder væsentlige bidrag til vores forskning.

Matematikkens udvikling gik med stormskridt efter opdagelsen af muligheden for at bruge negative tal ( negative mængder). Hvis vi forestiller os positive tal som en serie, der går til højre for nul, så vil der til venstre for nul være negative tal.
osv... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3... osv.

Ved at bruge denne graf kan vi tænke på addition som at flytte til højre og subtraktion som at flytte til venstre. Det bliver muligt at trække et større tal fra et mindre; hvis vi for eksempel trækker 3 fra 1, får vi -2, som er et reelt (omend negativt) tal.

Det næste vigtige begreb er imaginære tal. De blev ikke opdaget, men snarere opdaget ved et tilfælde. Matematikere kom til den konklusion, at tal har rødder, det vil sige tal, der, når de ganges med sig selv, giver det ønskede tal. Opdagelsen af negative tal og deres sammenligning med rødder forårsagede panik i videnskabelige kredse. Hvad er de tal, hvis ganget med hinanden ville give tallet -1? I nogen tid var der intet svar. Kvadratroden af et negativt tal var umulig at beregne. Derfor kaldte de det imaginært. Men da Gauss, med tilnavnet "Matematikernes prins", opdagede en metode til at repræsentere imaginære tal, var det hurtigt muligt at bruge dem. I dag bruges de på lige fod med reelle tal. Metoden til at repræsentere imaginære tal bruger et Argand-diagram, som repræsenterer en helhed som en cirkel, og rødderne af denne helhed som sektioner af cirklen.

Lad os huske, at en række negative og positive tal divergerer i modsatte retninger fra et punkt - nul. Således kan kvadratrødderne af heltal, +1 eller -1, også udtrykkes som modsatte ender af en linje med nul i midten. Denne linje kan også repræsenteres som en vinkel på 180 0 eller diameter.

Gauss udviklede den oprindelige antagelse og afbildede kvadratroden af -1 som halvdelen af afstanden mellem +1 og -1, eller som vinklen 90 0 mellem linjen fra -1 til +1. Følgelig, hvis opdelingen af helheden i plus og minus er en diameter eller 180 0, så fører den anden opdeling til fremkomsten af en anden akse, som deler denne diameter i halvdelen, dvs. med en vinkel på 90 0.

Således får vi to akser - en vandret, der repræsenterer uendeligheden af positive og negative tal, og en lodret, der repræsenterer uendelighederne af imaginære positive og negative tal. Resultatet er en regulær koordinatakse, hvor tallet beskrevet af dette diagram og akser er et tal, der har reelle og imaginære dele.

Ved at bruge Argand-diagrammet (denne cirkel med helhedens radius (radius +1) på et komplekst koordinatsystem) finder vi de følgende rødder af helheden (kuberødder, rødder til fjerde, femte potenser osv.) ved ganske enkelt opdele cirklen i tre, fem osv. d. At finde en hel rod bliver en proces med at indskrive polygoner i en cirkel: en trekant for en terningrod, en femkant for en femterod osv. Rødderne bliver til punkter på cirklen; deres værdier har reelle og imaginære dele, og de beregnes henholdsvis langs den vandrette eller lodrette koordinatakse. Det betyder, at de måles i termer kvadratrødder og rødder til fjerde potens.

Fra denne kraftfulde logiske forenkling bliver det klart, at analyse er en firedelt proces. Enhver situation kan betragtes ud fra fire faktorer eller aspekter. Dette bekræfter ikke kun Aristoteles' idé om fire kategorier yderligere, men forklarer også, hvorfor kvadratiske ligninger (med andre ord "firkanter") er så populære i matematik.

Men konklusionen om analysens karakter som firdelt forudsætter i det væsentlige dens arbejde i begge retninger. Analysen viser både omfanget af firedelen og dens begrænsninger. Og også det faktum, at nogle gange trodser essensen af erfaring enhver analyse.

Da vi var "inde i" den geometriske metode, viste vi, at disse ikke-analytiske faktorer inkluderer triplicitet, femhed og syvhed. På trods af at vi er i stand til at give deres analytiske beskrivelse, er den ikke i stand til at afsløre deres sande natur.

Der er mange typer tal, en af dem er heltal. Heltal syntes at gøre det lettere at tælle ikke kun i den positive retning, men også i den negative retning.

Lad os se på et eksempel:
Om dagen var temperaturen udenfor 3 grader. Om aftenen faldt temperaturen med 3 grader.
3-3=0
Det blev 0 grader udenfor. Og om natten faldt temperaturen med 4 grader og termometeret begyndte at vise -4 grader.
0-4=-4

En række heltal.

Vi kan ikke beskrive et sådant problem ved hjælp af naturlige tal, vi vil betragte dette problem på en koordinatlinje.

Vi har en række tal:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Denne talrække kaldes række af heltal.

Positive heltal. Negative heltal.

Rækken af heltal består af positive og negative tal. Til højre for nul er de naturlige tal, eller de kaldes også positive heltal. Og til venstre for nul går de negative heltal.

Nul er hverken et positivt eller et negativt tal. Det er grænsen mellem positive og negative tal.

er et sæt tal bestående af naturlige tal, negative heltal og nul.

En række heltal i positiv og negativ retning er et uendeligt antal.

Hvis vi tager to heltal, vil tallene mellem disse heltal blive kaldt endeligt sæt.

For eksempel:
Lad os tage heltal fra -2 til 4. Alle tal mellem disse tal er inkluderet i den endelige mængde. Vores sidste sæt tal ser sådan ud:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naturlige tal er angivet med det latinske bogstav N.
Heltal er angivet med det latinske bogstav Z. Hele sættet af naturlige tal og heltal kan afbildes på et billede.

Ikke-positive heltal med andre ord, de er negative heltal.
Ikke-negative heltal er positive heltal.