Aritmetisk progression en. Aritmetisk progression

Aritmetisk progression navngiv en talfølge (udtryk for en progression)

Hvor hvert efterfølgende led adskiller sig fra det foregående ved et nyt udtryk, som også kaldes trin eller progressionsforskel.

Ved at angive progressionstrinnet og dets første led kan du således finde et hvilket som helst af dets elementer ved hjælp af formlen

Egenskaber for en aritmetisk progression

1) Hvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra det andet tal, er det aritmetiske gennemsnit af de foregående og næste medlemmer af progressionen

Det modsatte er også sandt. Hvis det aritmetiske middelværdi af tilstødende ulige (lige) led i en progression er lig med det led, der står mellem dem, så er denne talfølge en aritmetisk progression. Ved at bruge denne erklæring er det meget nemt at kontrollere enhver sekvens.

Også ved egenskaben af aritmetisk progression kan ovenstående formel generaliseres til følgende

Dette er nemt at verificere, hvis du skriver vilkårene til højre for lighedstegnet

Det bruges ofte i praksis til at forenkle beregninger i opgaver.

2) Summen af de første n led i en aritmetisk progression beregnes ved hjælp af formlen

Husk godt formlen for summen af en aritmetisk progression den er uundværlig i beregninger og findes ret ofte i simple livssituationer.

3) Hvis du ikke skal finde hele summen, men en del af sekvensen fra dens k'te led, vil følgende sumformel være nyttig for dig

4) Af praktisk interesse er at finde summen af n led af en aritmetisk progression startende fra det k'te tal. For at gøre dette skal du bruge formlen

Dette afslutter det teoretiske materiale og går videre til at løse almindelige problemer i praksis.

Eksempel 1. Find det fyrretyvende led i den aritmetiske progression 4;7;...

Løsning:

Efter den tilstand vi har

Lad os bestemme progressionstrinnet

Ved hjælp af en velkendt formel finder vi det fyrretyvende led i progressionen

Eksempel 2.

Løsning:

En aritmetisk progression er givet ved dens tredje og syvende led. Find det første led i progressionen og summen af ti.

Lad os nedskrive de givne elementer i progressionen ved hjælp af formlerne

Vi trækker den første fra den anden ligning, som følge heraf finder vi progressionstrinnet

Vi erstatter den fundne værdi i en af ligningerne for at finde det første led i den aritmetiske progression

Vi beregner summen af de første ti led i progressionen

Eksempel 3. En aritmetisk progression er givet af nævneren og en af dens led. Find det første led i progressionen, summen af dets 50 led fra 50 og summen af de første 100.

Løsning:

Lad os nedskrive formlen for det hundrede element i progressionen

og find den første

Ud fra den første finder vi progressionens 50. led

Finde summen af delen af progressionen

og summen af de første 100

Progressionsbeløbet er 250.

Eksempel 4.

Find antallet af led i en aritmetisk progression, hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

Lad os skrive ligningerne i form af det første led og progressionstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de opnåede værdier i sumformlen for at bestemme antallet af led i summen

Vi udfører forenklinger

og løse andengradsligningen

Af de to fundne værdier passer kun tallet 8 til problemforholdene. Således er summen af de første otte led i progressionen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligning er summen af en aritmetisk progression. Lad os skrive dets første led og finde forskellen i progression

Online lommeregner.
Løsning af en aritmetisk progression.
Givet: a n, d, n
Find: en 1

Denne matematik program finder \(a_1\) af en aritmetisk progression baseret på brugerspecificerede tal \(a_n, d\) og \(n\).
Tallene \(a_n\) og \(d\) kan ikke kun angives som heltal, men også som brøker. Desuden kan brøktallet indtastes i form af en decimalbrøk (\(2,5\)) og i form af en almindelig brøk (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men viser også processen med at finde en løsning.

Denne online lommeregner kan være nyttig for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier

i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger. På denne måde kan du gennemføre din egen træning og/eller din egen træning. yngre brødre

eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for problemløsningsområdet stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af tal, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af tal
Tallene \(a_n\) og \(d\) kan ikke kun angives som heltal, men også som brøker.

Tallet \(n\) kan kun være et positivt heltal.
Regler for indtastning af decimalbrøker.
Heltals- og brøkdelene i decimalbrøker kan adskilles med enten et punktum eller et komma. Du kan f.eks. indtaste så 2,5 eller så 2,5

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Input:
Resultat: \(-\frac(2)(3)\)

Hele delen adskilt fra brøken med et og-tegn: &
Input:
Resultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Indtast tallene a n , d, n Find en 1

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

Hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem det ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Nummerrækkefølge

I daglig praksis bruges nummerering af forskellige objekter ofte til at angive den rækkefølge, de er arrangeret i. For eksempel er husene på hver gade nummereret. På biblioteket er læserabonnementer nummereret og derefter ordnet i rækkefølgen af tildelte numre i særlige kortfiler.

I en sparekasse kan du ved hjælp af indskyderens personlige kontonummer nemt finde denne konto og se, hvilket indskud der er på den. Lad konto nr. 1 indeholde et indskud på a1 rubler, konto nr. 2 indeholde et indskud på a2 rubler osv. Det viser sig nummerrækkefølge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., en N
hvor N er antallet af alle konti. Her er hvert naturligt tal n fra 1 til N forbundet med et tal a n.

Har også studeret matematik uendelige talsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tallet a 1 kaldes første led i sekvensen, nummer a 2 - andet led i sekvensen, nummer a 3 - tredje led i sekvensen osv.
Tallet a n kaldes n'te (n'te) medlem af sekvensen, og det naturlige tal n er dets antal.

For eksempel i en sekvens af firkanter naturlige tal 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... og 1 = 1 er det første led i sekvensen; og n = n2 er n'te termin sekvenser; a n+1 = (n + 1) 2 er (n + 1) (n plus første) led i sekvensen. Ofte kan en sekvens specificeres med formlen for dens n'te led. For eksempel definerer formlen \(a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) \) rækkefølgen \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetisk progression

Årets længde er cirka 365 dage. Mere nøjagtige værdi er lig med \(365\frac(1)(4)\) dage, så hvert fjerde år akkumuleres en fejl på én dag.

For at tage højde for denne fejl tilføjes en dag til hvert fjerde år, og det forlængede år kaldes et skudår.

For eksempel i det tredje årtusinde skudår er årene 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

I denne sekvens er hvert medlem, startende fra det andet, lig med det foregående, tilføjet til det samme nummer 4. Sådanne sekvenser kaldes aritmetiske progressioner.

Definition.
Talrækken a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kaldes aritmetisk progression, hvis for alle naturlige n ligheden
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
hvor d er et tal.

Af denne formel følger det, at a n+1 - a n = d. Tallet d kaldes forskellen aritmetisk progression.

Per definition af en aritmetisk progression har vi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
hvor
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), hvor \(n>1 \)

Således er hvert led i en aritmetisk progression, startende fra den anden, lig med det aritmetiske middelværdi af de to tilstødende led. Dette forklarer navnet "aritmetisk" progression.

Bemærk, at hvis a 1 og d er givet, så kan de resterende led af den aritmetiske progression beregnes ved hjælp af den tilbagevendende formel a n+1 = a n + d. På denne måde er det ikke svært at beregne de første par led af progressionen, dog vil for eksempel en 100 allerede kræve en del udregninger. Typisk bruges den n'te udtryksformel til dette. Per definition af aritmetisk progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
osv.
I det hele taget
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
fordi n'te termin af en aritmetisk progression opnås fra første led ved at addere (n-1) gange tallet d.
Denne formel kaldes formel for det n. led i en aritmetisk progression.

Summen af de første n led af en aritmetisk progression

Find summen af alle naturlige tal fra 1 til 100.
Lad os skrive dette beløb på to måder:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lad os tilføje disse ligheder udtryk for udtryk:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Denne sum har 100 vilkår
Derfor er 2S = 101 * 100, derfor S = 101 * 50 = 5050.

Lad os nu overveje en vilkårlig aritmetisk progression
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Lad S n være summen af de første n led i denne progression:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Så summen af de første n led af en aritmetisk progression er lig med
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Da \(a_n=a_1+(n-1)d\), og derefter erstatte et n i denne formel, får vi en anden formel til at finde summen af de første n led af en aritmetisk progression:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Bøger (lærebøger) Resuméer af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotning af grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Liste af opgaver

Mange mennesker har hørt om aritmetisk progression, men ikke alle har en god idé om, hvad det er. I denne artikel vil vi give den tilsvarende definition og også overveje spørgsmålet om, hvordan man finder forskellen på en aritmetisk progression, og give en række eksempler.

Matematisk definition

Så hvis vi taler om om aritmetisk eller algebraisk progression (disse begreber definerer det samme), betyder det, at der er en bestemt talrække, der opfylder følgende lov: hver to tilstødende tal i rækken adskiller sig med den samme værdi. Matematisk er det skrevet sådan:

Her betyder n antallet af element a n i sekvensen, og tallet d er forskellen på progressionen (dets navn følger af den præsenterede formel).

Hvad betyder det at kende forskellen d? Om hvor "langt" nabonumre er fra hinanden. Kendskab til d er dog en nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse for at bestemme (genoprette) hele progressionen. Du skal kende et tal mere, som kan være absolut et hvilket som helst element i den pågældende serie, for eksempel en 4, a10, men som regel bruger de det første tal, det vil sige en 1.

Formler til bestemmelse af progressionselementer

Generelt er oplysningerne ovenfor allerede nok til at gå videre til at løse specifikke problemer. Ikke desto mindre, før den aritmetiske progression er givet, og det vil være nødvendigt at finde dens forskel, vil vi præsentere et par nyttige formler, og derved lette den efterfølgende proces med at løse problemer.

Det er let at vise, at ethvert element i sekvensen med nummer n kan findes som følger:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Faktisk kan enhver kontrollere denne formel ved simpel søgning: hvis du erstatter n = 1, får du det første element, hvis du erstatter n = 2, så giver udtrykket summen af det første tal og forskellen, og så videre.

Betingelserne for mange problemer er sammensat på en sådan måde, at givet et kendt talpar, hvis tal også er angivet i rækkefølgen, er det nødvendigt at rekonstruere hele talrækken (find forskellen og det første element). Nu vil vi løse dette problem i generel form.

Så lad to elementer med tallene n og m være givet. Ved hjælp af formlen opnået ovenfor kan du oprette et system af to ligninger:

a n = a1+ (n - 1) * d;
a m = a1+ (m - 1) * d

For at finde ukendte mængder bruger vi den kendte simpelt trick løsninger til et sådant system: træk venstre og højre side fra parvis, ligheden forbliver gyldig. Vi har:

a n = a1+ (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Vi har således udelukket en ukendt (a 1). Nu kan vi skrive det endelige udtryk for at bestemme d:

d = (a n - a m) / (n - m), hvor n > m

Vi fik meget simpel formel: For at beregne forskellen d i overensstemmelse med betingelserne for problemet, behøver du kun at tage forholdet mellem forskellene mellem selve elementerne og deres serienumre. Bør være opmærksom på en vigtigt punkt opmærksomhed: forskellene tages mellem de "højeste" og "laveste" medlemmer, det vil sige n > m (den "højeste" betyder den, der er placeret længere fra begyndelsen af sekvensen, dens absolutte værdi kan være enten større eller mindre end "junior"-elementet).

Udtrykket for forskellen d progression bør erstattes af en hvilken som helst af ligningerne i begyndelsen af løsningen af problemet for at opnå værdien af det første led.

I vores udviklingstid computerteknologi Mange skolebørn forsøger at finde løsninger til deres opgaver på internettet, så spørgsmål af denne type opstår ofte: find forskellen på en aritmetisk progression online. For en sådan anmodning vil søgemaskinen returnere et antal websider, ved at gå til hvilke du skal indtaste de data, der kendes fra betingelsen (dette kan enten være to led i progressionen eller summen af et bestemt antal af dem ) og få et svar med det samme. Ikke desto mindre er denne tilgang til løsning af problemet uproduktiv i forhold til elevens udvikling og forståelse af essensen af den opgave, han har fået tildelt.

Løsning uden brug af formler

Lad os løse det første problem uden at bruge nogen af de givne formler. Lad elementerne i rækken være givet: a6 = 3, a9 = 18. Find forskellen på den aritmetiske progression.

Kendte elementer står tæt på hinanden på række. Hvor mange gange skal forskellen d lægges til den mindste for at få den største? Tre gange (første gang tilføjes d, får vi det 7. element, anden gang - den ottende, til sidst tredje gang - den niende). Hvilket tal skal lægges til tre tre gange for at få 18? Dette er nummer fem. Virkelig:

Således er den ukendte forskel d = 5.

Selvfølgelig kunne løsningen have været udført ved hjælp af den passende formel, men dette blev ikke gjort med vilje. Detaljeret forklaring løsningen på problemet bør blive klar og et lysende eksempel Hvad er en aritmetisk progression?

En opgave, der ligner den forrige

Lad os nu løse et lignende problem, men ændre inputdataene. Så du bør finde ud af, om a3 = 2, a9 = 19.

Selvfølgelig kan du igen ty til "head-on" løsningsmetoden. Men da seriens elementer er givet, som er relativt langt fra hinanden, vil denne metode ikke være helt bekvem. Men brug af den resulterende formel vil hurtigt føre os til svaret:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Her har vi rundet det endelige tal. I hvilket omfang denne afrunding førte til en fejl kan bedømmes ved at kontrollere resultatet:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Dette resultat afviger kun med 0,1 % fra den værdi, der er angivet i betingelsen. Derfor kan den anvendte afrunding til nærmeste hundrededele betragtes som et vellykket valg.

Problemer med at anvende formlen for et udtryk

Lad os overveje et klassisk eksempel på et problem for at bestemme det ukendte d: find forskellen på en aritmetisk progression, hvis a1 = 12, a5 = 40.

Når der gives to numre af en ukendt algebraisk sekvens, og en af dem er elementet a 1, så behøver du ikke tænke længe, men skal straks anvende formlen for a n-medlemmet. I dette tilfælde har vi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Vi fik nøjagtige antal når man dividerer, så det nytter ikke noget at kontrollere nøjagtigheden af det beregnede resultat, som det blev gjort i forrige afsnit.

Lad os løse et andet lignende problem: Vi skal finde forskellen på en aritmetisk progression, hvis a1 = 16, a8 = 37.

Vi bruger en tilgang svarende til den forrige og får:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Hvad skal du ellers vide om aritmetisk progression?

Ud over problemer med at finde en ukendt forskel eller individuelle elementer, er det ofte nødvendigt at løse problemer med summen af de første led i en sekvens. Overvejelse af disse opgaver ligger uden for artiklens omfang, dog for fuldstændigheden af de oplysninger, vi præsenterer generel formel for summen af n tal i en serie:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Inden vi begynder at beslutte os aritmetiske progressionsproblemer, lad os overveje, hvad en talrække er, da en aritmetisk progression er særligt tilfælde talrække.

Nummerrækken er nummersæt, som hvert element har sit eget serienummer . Elementerne i dette sæt kaldes medlemmer af sekvensen. Serienummeret på et sekvenselement er angivet med et indeks:

Det første element i sekvensen;

Det femte element i sekvensen;

- det "nte" element i sekvensen, dvs. element "stående i kø" ved nummer n.

Der er en sammenhæng mellem værdien af et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betragte en sekvens som en funktion, hvis argument er ordenstallet for elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord sige rækkefølgen er en funktion af det naturlige argument:

Rækkefølgen kan indstilles på tre måder:

1 . Rækkefølgen kan angives ved hjælp af en tabel. I dette tilfælde indstiller vi blot værdien af hvert medlem af sekvensen.

For eksempel besluttede nogen at tage personlig tidsstyring og til at begynde med tælle, hvor meget tid han bruger på VKontakte i løbet af ugen. Ved at registrere tiden i tabellen vil han modtage en sekvens bestående af syv elementer:

Den første linje i tabellen angiver nummeret på ugedagen, den anden - tiden i minutter. Vi ser det, det vil sige om mandagen, nogen brugte 125 minutter på VKontakte, det vil sige torsdag - 248 minutter, og det vil sige fredag kun 15.

2 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af den n'te ledformel.

I dette tilfælde udtrykkes afhængigheden af værdien af et sekvenselement på dets nummer direkte i form af en formel.

For eksempel, hvis , så

For at finde værdien af et sekvenselement med et givet tal, erstatter vi elementnummeret i formlen for det n'te led.

Vi gør det samme, hvis vi skal finde værdien af en funktion, hvis værdien af argumentet er kendt. Vi erstatter værdien af argumentet i funktionsligningen:

Hvis der f.eks. , Det

Lad mig endnu en gang bemærke, at i en sekvens, i modsætning til en vilkårlig numerisk funktion, kan argumentet kun være et naturligt tal.

3 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af en formel, der udtrykker afhængigheden af værdien af sekvensmedlemsnummeret n af værdierne af de tidligere medlemmer.

I dette tilfælde er det ikke nok for os kun at kende nummeret på sekvensmedlemmet for at finde dets værdi. Vi skal angive det første medlem eller de første par medlemmer af sekvensen. ,

Overvej f.eks. rækkefølgen Vi kan finde værdierne for sekvensmedlemmer en efter en

, startende fra den tredje: Det vil sige, at hver gang, for at finde værdien af det n'te led i sekvensen, vender vi tilbage til de to foregående. Denne metode til at specificere en sekvens kaldes tilbagevendende , fra latinske ord recurro

- kom tilbage.

Aritmetisk progression Nu kan vi definere en aritmetisk progression. En aritmetisk progression er et simpelt specialtilfælde af en talrække.

er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående tilføjet til det samme tal. Nummeret ringes op forskel i aritmetisk progression

. Forskellen på en aritmetisk progression kan være positiv, negativ eller lig med nul.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Hvis title="d>0.

stigende

For eksempel, 2; 5; 8; 11;... Hvis , så er hvert led i en aritmetisk progression mindre end den foregående, og progressionen er.

faldende

For eksempel, 2; -1; -4; -7;... Hvis , så er alle led i progressionen lig med det samme tal, og progressionen er.

stationær

For eksempel 2;2;2;2;...

Hovedegenskaben ved en aritmetisk progression:

Lad os se på tegningen.

Det ser vi

, og på samme tid

Tilføjer vi disse to ligheder får vi:

Lad os dividere begge sider af ligheden med 2:

Så hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske middelværdi af de to tilstødende:

Det ser vi

Desuden siden

, Det

, og derfor">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Hvert led i en aritmetisk progression, startende med title="k>l

Formel for th term.

Vi ser, at vilkårene for den aritmetiske progression opfylder følgende relationer:

og endelig Vi fik

formel for det n'te led. VIGTIG!

Ethvert medlem af en aritmetisk progression kan udtrykkes gennem og. Når du kender det første led og forskellen på en aritmetisk progression, kan du finde et hvilket som helst af dets udtryk.

Summen af n led af en aritmetisk progression.

I en vilkårlig aritmetisk progression er summen af led, der er lige langt fra de ekstreme, lig med hinanden:

Overvej en aritmetisk progression med n led. Lad summen af n vilkår for denne progression være lig med .

Lad os arrangere vilkårene for progressionen først i stigende rækkefølge af tal og derefter i faldende rækkefølge:

Lad os tilføje i par:

Vi får:

Så, summen af n led af en aritmetisk progression kan findes ved hjælp af formlerne:

Lad os overveje løsning af aritmetiske progressionsproblemer.

1 . Rækkefølgen er givet ved formlen for det n'te led: . Bevis, at denne sekvens er en aritmetisk progression.

Lad os bevise, at forskellen mellem to tilstødende led i sekvensen er lig med det samme tal.

Vi fandt ud af, at forskellen mellem to tilstødende medlemmer af sekvensen ikke afhænger af deres antal og er en konstant. Derfor er denne sekvens per definition en aritmetisk progression.

2 . Givet en aritmetisk progression -31; -27;...

a) Find 31 led i progressionen.

b) Bestem, om tallet 41 er inkluderet i denne progression.

EN) Det ser vi;

Lad os nedskrive formlen for det n'te led for vores progression.

Generelt