Produkt af logaritmer med én base. Egenskaber for logaritmer og eksempler på deres løsninger

Logaritmen af ​​et positivt tal b til grundtal a (a>0, a er ikke lig med 1) er et tal c, således at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Bemærk, at logaritmen af ​​et ikke-positivt tal er udefineret. Derudover skal logaritmens basis være et positivt tal, der ikke er lig med 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men det betyder ikke, at grundtallet -2 logaritmen af ​​4 er lig med til 2.

Grundlæggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er vigtigt, at definitionen af ​​højre og venstre side af denne formel er forskellig. Den venstre side er kun defineret for b>0, a>0 og a ≠ 1. Den højre side er defineret for enhver b og afhænger slet ikke af a. Således kan anvendelsen af ​​den grundlæggende logaritmiske "identitet" ved løsning af ligninger og uligheder føre til en ændring i OD.

To indlysende konsekvenser af definitionen af ​​logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hæver tallet a til den første potens, får vi det samme tal, og når vi hæver det til nul-potensen, får vi en.

Logaritme af produktet og logaritme af kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil gerne advare skolebørn mod tankeløst at bruge disse formler, når de løser logaritmiske ligninger og uligheder. Når du bruger dem "fra venstre mod højre", indsnævres ODZ, og når du flytter fra summen eller forskellen af ​​logaritmer til logaritmen af ​​produktet eller kvotienten, udvides ODZ'en.

Faktisk er udtrykket log a (f (x) g (x)) defineret i to tilfælde: når begge funktioner er strengt positive, eller når f (x) og g (x) begge er mindre end nul.

Ved at transformere dette udtryk til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til kun at begrænse os til tilfældet, når f(x)>0 og g(x)>0. Der sker en indsnævring af området acceptable værdier, og det er kategorisk uacceptabelt, fordi det kan føre til tab af løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tages ud af logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igen vil jeg gerne mane til forsigtighed. Overvej følgende eksempel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side af ligheden er naturligvis defineret for alle værdier af f(x) undtagen nul. Højre side er kun for f(x)>0! Ved at tage graden ud af logaritmen indsnævrer vi igen ODZ. Den omvendte procedure fører til en udvidelse af intervallet af acceptable værdier. Alle disse bemærkninger gælder ikke kun for effekt 2, men også for enhver jævn effekt.

Formel for flytning til en ny fond

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjældne tilfælde, hvor ODZ ikke ændres under transformation. Hvis du har valgt base c med omtanke (positiv og ikke lig med 1), er formlen for at flytte til en ny base helt sikker.

Hvis vi vælger tallet b som det nye grundtal c, får vi en vigtig særligt tilfælde formler (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nogle simple eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Beregn: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brugte summen af ​​logaritmer formlen (5) og definitionen af ​​decimallogaritmen.

Eksempel 2. Beregn: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brugte formlen til at flytte til en ny base (8).

Tabel over formler relateret til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Følger af dens definition. Og så logaritmen af ​​tallet b baseret på EN er defineret som den eksponent, som et tal skal hæves til -en for at få nummeret b(logaritme eksisterer kun for positive tal).

Af denne formulering følger, at beregningen x=log a b, svarer til at løse ligningen a x =b. f.eks. log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen af ​​logaritmen gør det muligt at begrunde, at if b=a c, derefter logaritmen af ​​tallet b baseret på -en lig med Med. Det er også klart, at emnet logaritmer er tæt forbundet med emnet for potenser af et tal.

Med logaritmer, som med alle tal, kan du gøre operationer med addition, subtraktion og transformere på alle mulige måder. Men på grund af at logaritmer ikke er helt almindelige tal, gælder deres egne særlige regler her, som kaldes hovedejendomme.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer.

Lad os tage to logaritmer med de samme baser: log et x Og log et y. Så er det muligt at udføre additions- og subtraktionsoperationer:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log et x 1 + log et x 2 + log et x 3 + ... + log a x k.

Fra logaritmekvotientsætning Endnu en egenskab for logaritmen kan opnås. Det er almindelig kendt, at log -en 1= 0, derfor

log -en 1 /b=log -en 1 - log a b= - log a b.

Det betyder, at der er en lighed:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmer af to gensidige tal af samme grund vil adskille sig fra hinanden udelukkende ved tegn. Så:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

hovedejendomme.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiske grunde

Log6 4 + log6 9.

Lad os nu komplicere opgaven lidt.

Eksempler på løsning af logaritmer

Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x >

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Overgang til en ny fond

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Se også:

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange fødselsåret for Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Når du kender denne regel, vil du vide og nøjagtige værdi udstillere, og Leo Tolstojs fødselsdato.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.

3.

4. Hvor .

Eksempel 2. Find x if

Eksempel 3. Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: nøglepunkt Her - identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne logaritmisk udtryk selv når dens individuelle dele ikke tælles med (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum tests. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren.

Logaritme formler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i konventionelle numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to, og beskæftigede os derefter med logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprocessen er det nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: Resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens basis og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Se også:

Logaritmen af ​​b til at basere a angiver udtrykket. At beregne logaritmen betyder at finde en potens x (), hvor ligheden er opfyldt

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

Det er nødvendigt at kende ovenstående egenskaber, da næsten alle problemer og eksempler relateret til logaritmer er løst på deres grundlag. Resten af ​​de eksotiske egenskaber kan udledes gennem matematiske manipulationer med disse formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man beregner formlen for sum og forskel af logaritmer (3.4) støder man ret ofte på. Resten er lidt komplekse, men i en række opgaver er de uundværlige for at forenkle komplekse udtryk og beregne deres værdier.

Almindelige tilfælde af logaritmer

Nogle af de mest almindelige logaritmer er dem, hvor basen er lig med ti, eksponentiel eller to.
Logaritmen til basis ti kaldes normalt decimallogaritmen og betegnes blot med lg(x).

Det fremgår tydeligt af optagelsen, at det grundlæggende ikke er skrevet i optagelsen. F.eks

En naturlig logaritme er en logaritme, hvis basis er en eksponent (angivet med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange Leo Nikolaevich Tolstojs fødselsår. Når du kender denne regel, vil du kende både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Og en anden vigtig logaritme til base to er angivet med

Den afledte af logaritmen af ​​en funktion er lig med én divideret med variablen

Integral eller antiafledt logaritme bestemt af afhængighed

Det givne materiale er nok til, at du kan løse en bred klasse af problemer relateret til logaritmer og logaritmer. For at hjælpe dig med at forstå materialet, vil jeg give nogle få almindelige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskaben af ​​forskel af logaritmer har vi

3.
Ved hjælp af egenskaber 3.5 finder vi

4. Hvor .

Et tilsyneladende komplekst udtryk forenkles til at danne ved hjælp af en række regler

Finde logaritmeværdier

Eksempel 2. Find x if

Løsning. Til beregning anvender vi på sidste termin 5 og 13 ejendomme

Vi registrerer det og sørger

Da baserne er ens, sidestiller vi udtrykkene

Logaritmer. Indgangsniveau.

Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Løsning: Lad os tage en logaritme af variablen for at skrive logaritmen gennem summen af ​​dens led

Dette er kun begyndelsen på vores bekendtskab med logaritmer og deres egenskaber. Øv beregninger, berig dine praktiske færdigheder - du får snart brug for den viden, du får, til at løse logaritmiske ligninger. Efter at have studeret de grundlæggende metoder til løsning af sådanne ligninger, vil vi udvide din viden til en anden ikke mindre vigtigt emne- logaritmiske uligheder...

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log6 4 + log6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Sådan løses logaritmer

Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to, og beskæftigede os derefter med logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprocessen er det nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: Resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens basis og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Lad os starte med egenskaber ved logaritmen af ​​en. Dens formulering er som følger: logaritmen af ​​enhed er lig med nul, dvs. log a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke svært: da a 0 =1 for enhver a, der opfylder ovenstående betingelser a>0 og a≠1, så følger lighedslog a 1=0, der skal bevises, umiddelbart af definitionen af ​​logaritmen.

Lad os give eksempler på anvendelsen af ​​den betragtede egenskab: log 3 1=0, log1=0 og .

Lad os gå videre til den næste ejendom: logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet er lig med en, altså log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, da et 1 =a for ethvert a, så per definition logaritme log a a=1.

Eksempler på brugen af ​​denne egenskab ved logaritmer er lighederne log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme af produktet af to positive tal x og y lig med produktet logaritmer af disse tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Lad os bevise egenskaben for logaritmen af ​​et produkt. På grund af gradens egenskaber a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og da ved den logaritmiske hovedidentitet a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Altså en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definitionen af ​​en logaritme, følger den lighed, der bevises.

Lad os vise eksempler på brug af egenskaben for logaritmen for et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskaben ved et produkts logaritme kan generaliseres til produktet af et endeligt tal n af positive tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denne ligestilling kan bevises uden problemer.

For eksempel kan den naturlige logaritme af et produkt erstattes af summen af ​​tre naturlige logaritmer numrene 4, e og .

Logaritme af kvotienten af ​​to positive tal x og y er lig med forskellen mellem logaritmerne af disse tal. Egenskaben for logaritmen af ​​en kvotient svarer til en formel på formen , hvor a>0, a≠1, x og y er nogle positive tal. Gyldigheden af ​​denne formel er bevist såvel som formlen for logaritmen af ​​et produkt: siden , så per definition af en logaritme.

Her er et eksempel på brug af denne egenskab for logaritmen: .

Lad os gå videre til egenskaben for potensens logaritme. Logaritmen af ​​en grad er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​modulet af basis af denne grad. Lad os skrive denne egenskab af en potenss logaritme som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskab for positiv b. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende udtryk, på grund af magtegenskaben, er lig med en p·log a b . Så vi kommer til ligheden b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definitionen af ​​en logaritme konkluderer, at log a b p =p·log a b.

Det er tilbage at bevise denne egenskab for negativ b. Her bemærker vi, at udtrykket log a b p for negativ b kun giver mening for lige eksponenter p (da værdien af ​​graden b p skal være større end nul, ellers vil logaritmen ikke give mening), og i dette tilfælde b p =|b| s. Så b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, hvorfra log a b p =p·log a |b| .

f.eks. og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger af den tidligere ejendom egenskaben for logaritmen fra roden: logaritmen af ​​den n-te rod er lig med produktet af brøken 1/n ved logaritmen af ​​det radikale udtryk, dvs. , hvor a>0, a≠1, n – naturligt tal, større end én, b>0.

Beviset er baseret på ligheden (se), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskaben for potensens logaritme: .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab: .

Lad os nu bevise formel for at flytte til en ny logaritmebase slags . For at gøre dette er det nok at bevise gyldigheden af ​​lighedsloggen c b=log a b·log c a. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , derefter log c b=log c a log a b . Det er tilbage at bruge egenskaben til gradens logaritme: log c a log a b =log a b log c a. Dette beviser lighedslog c b=log a b·log c a, hvilket betyder, at formlen for at flytte til en ny logaritmebase også er blevet bevist.

Lad os vise et par eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer: og .

Formlen for at flytte til en ny base giver dig mulighed for at gå videre til at arbejde med logaritmer, der har en "praktisk" base. For eksempel kan du med dens hjælp skifte til naturlig eller decimallogaritmer så du kan beregne værdien af ​​logaritmen ud fra logaritmetabellen. Formlen for at flytte til en ny logaritmebase giver også i nogle tilfælde mulighed for at finde værdien af ​​en given logaritme, når værdierne af nogle logaritmer med andre baser er kendt.

Et særligt tilfælde af formlen for overgang til en ny logaritmebase for formens c=b bruges ofte . Dette viser, at log a b og log b a – . f.eks. .

Formlen bruges også ofte , hvilket er praktisk til at finde logaritmeværdier. For at bekræfte vores ord, vil vi vise, hvordan det kan bruges til at beregne værdien af ​​en logaritme af formen. Det har vi . For at bevise formlen det er nok at bruge formlen til overgang til en ny base af logaritmen a: .

Det er tilbage at bevise egenskaberne ved sammenligning af logaritmer.

Lad os bevise, at for alle positive tal b 1 og b 2, b 1 log a b 2 , og for a>1 – uligheden log a b 1

Til sidst er det tilbage at bevise den sidste af de anførte egenskaber ved logaritmer. Lad os begrænse os til beviset for dens første del, det vil sige, vi vil bevise, at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sand log a 1 b>log a 2 b . De resterende udsagn af denne egenskab ved logaritmer er bevist efter et lignende princip.

Lad os bruge den modsatte metode. Antag, at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sand log a 1 b≤log a 2 b . Baseret på logaritmers egenskaber kan disse uligheder omskrives som Og hhv., og af dem følger, at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Derefter skal lighederne b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 ifølge egenskaberne for potenser med samme basis holde, det vil sige a 1 ≥a 2 . Så vi kom til en modsigelse af betingelsen en 1

Referencer.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog for klasse 10 - 11 af almene uddannelsesinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler).

Hvad er en logaritme?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især ligninger med logaritmer.

Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:

1. Du vil forstå hvad er en logaritme.

2. Lær at løse en hel klasse af eksponentialligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.

3. Lær at beregne simple logaritmer.

Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...

Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Lad os gå!

Løs først denne ligning i dit hoved:

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.