Beregn ln ud fra tallet. LN og LOG funktioner til beregning af den naturlige logaritme i EXCEL

De grundlæggende egenskaber for den naturlige logaritme, graf, definitionsdomæne, værdisæt, grundlæggende formler, afledt, integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation af funktionen ln x ved hjælp af komplekse tal er givet.

Definition

Naturlig logaritme er funktionen y = ln x, den inverse af eksponentialet, x = e y, og er logaritmen til grundtallet af tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritme er meget brugt i matematik, fordi dens afledte har den enkleste form: (ln x)′ = 1/ x.

Baseret på definitioner, basen af ​​den naturlige logaritme er tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funktionen y = ln x.

Graf over naturlig logaritme (funktioner y = ln x) fås fra den eksponentielle graf ved spejlreflektion i forhold til den rette linie y = x.

Den naturlige logaritme er defineret ved positive værdier variabel x.

Den øges monotont i sit definitionsdomæne. 0 Ved x →

grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig (-∞).

Som x → + ∞ er grænsen for den naturlige logaritme plus uendelig (+ ∞). For stort x stiger logaritmen ret langsomt. Enhver potensfunktion x a med en positiv eksponent a vokser hurtigere end logaritmen.

Egenskaber for den naturlige logaritme

Definitionsdomæne, værdisæt, ekstrema, stigning, fald

Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme er præsenteret i tabellen.

ln x værdier

ln 1 = 0

Grundlæggende formler for naturlige logaritmer

Formler, der følger af definitionen af ​​den inverse funktion:

Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser

Formel for basisudskiftning

Enhver logaritme kan udtrykkes i form af naturlige logaritmer ved hjælp af basissubstitutionsformlen:

Beviser for disse formler er præsenteret i afsnittet "Logaritme".

Omvendt funktion

Det omvendte af den naturlige logaritme er eksponenten.

Hvis, så

Hvis altså.

Afledt ln x
.
Afledt af den naturlige logaritme:
.
Afledt af den naturlige logaritme af modul x:
.
Afledt af n. orden:

Udledning af formler > > >

Integral
.
Integralet beregnes ved integration af dele:

Så,

Udtryk ved hjælp af komplekse tal
.
Overvej funktionen af ​​den komplekse variabel z: Lad os udtrykke den komplekse variabel z via modul r φ :
.
og argumentation
.
Ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Hvis du sætter
, hvor n er et heltal,
det vil være det samme tal for forskellige n.

Derfor er den naturlige logaritme, som funktion af en kompleks variabel, ikke en funktion med en enkelt værdi.

Power serie udvidelse

Når udvidelsen finder sted:

Brugt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Slet ikke dårligt, vel? Mens matematikere søger efter ord for at give dig en lang, forvirrende definition, lad os se nærmere på denne enkle og klare definition.

Tallet e betyder vækst

Tallet e betyder kontinuerlig vækst. Som vi så i det foregående eksempel, giver e x os mulighed for at sammenkæde rente og tid: 3 år ved 100 % vækst er det samme som 1 år ved 300 %, forudsat "rentesammensat".

Du kan erstatte en hvilken som helst procent- og tidsværdi (50% i 4 år), men det er bedre at indstille procentdelen til 100% for nemheds skyld (det viser sig 100% i 2 år). Ved at flytte til 100 % kan vi udelukkende fokusere på tidskomponenten:

e x = e procent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Naturligvis betyder e x:

• hvor meget vil mit bidrag vokse efter x tidsenheder (forudsat 100 % kontinuerlig vækst).
• for eksempel vil jeg efter 3 tidsintervaller modtage e 3 = 20,08 gange flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor, der viser, hvilket niveau vi vil vokse til i løbet af x tid.

Naturlig logaritme betyder tid

Den naturlige logaritme er det omvendte af e, et fancy udtryk for modsat. Apropos særheder; på latin hedder det logarithmus naturali, deraf forkortelsen ln.

Og hvad betyder denne inversion eller modsætning?

• e x giver os mulighed for at erstatte tid og få vækst.
• ln(x) giver os mulighed for at tage vækst eller indkomst og finde ud af den tid, det tager at generere den.

For eksempel:

• e 3 er lig med 20.08. Efter tre perioder vil vi have 20,08 gange mere, end vi startede med.
• ln(08/20) ville være cirka 3. Hvis du er interesseret i vækst på 20,08 gange, skal du bruge 3 tidsperioder (igen, forudsat 100% kontinuerlig vækst).

Læser du stadig? Den naturlige logaritme viser den tid, det tager at nå det ønskede niveau.

Denne ikke-standard logaritmiske optælling

Har du gennemgået logaritmer? mærkelige skabninger. Hvordan lykkedes det at omsætte multiplikation til addition? Hvad med division i subtraktion? Lad os se.

Hvad er ln(1) lig med? Intuitivt er spørgsmålet: hvor længe skal jeg vente på at få 1x mere end hvad jeg har?

Nul. Nul. Slet ikke. Du har det allerede en gang. Det tager ikke meget tid at gå fra niveau 1 til niveau 1.

• ln(1) = 0

Okay, hvad med brøkværdien? Hvor lang tid vil det tage for os at have 1/2 af den tilgængelige mængde tilbage? Vi ved, at med 100 % kontinuerlig vækst betyder ln(2) den tid, det tager at fordoble. Hvis vi lad os skrue tiden tilbage(dvs. vent negativt lang tid), så får vi halvdelen af, hvad vi har.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke? Går vi tilbage (tid tilbage) til 0,693 sekunder, finder vi halvdelen af ​​det tilgængelige beløb. Generelt kan du vende brøken og tage negativ værdi: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyder, at hvis vi går tilbage i tiden til 1,09 gange, finder vi kun en tredjedel af det nuværende antal.

Okay, hvad med logaritmen af ​​et negativt tal? Hvor lang tid tager det at "dyrke" en koloni af bakterier fra 1 til -3?

Dette er umuligt! Du kan ikke få et negativt bakterietal, vel? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på nul, men der er ingen måde, du kan få et negativt tal fra disse små væsner. I negativt tal bakterier giver bare ikke mening.

• ln(negativt tal) = udefineret

"Udefineret" betyder, at der ikke er nogen tid, der skal vente på at få en negativ værdi.

Logaritmisk multiplikation er bare sjov

Hvor lang tid vil det tage at blive firdoblet? Selvfølgelig kan du bare tage ln(4). Men dette er for simpelt, vi vil gå den anden vej.

Du kan tænke på firdobbel vækst som fordobling (kræver ln(2) tidsenheder) og derefter fordobling igen (kræver endnu en ln(2) tidsenheder):

• Tid til at vokse 4 gange = ln(4) = Tid til at fordoble og derefter fordoble igen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vækstrate, f.eks. 20, kan betragtes som en fordobling lige efter en stigning på 10 gange. Eller vækst med 4 gange, og derefter med 5 gange. Eller tredoble og derefter øges med 6.666 gange. Ser du mønsteret?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen af ​​A gange B er log(A) + log(B). Dette forhold giver umiddelbart mening, når det ses i forhold til vækst.

Hvis du er interesseret i 30x vækst, kan du vente ln(30) i ét møde, eller vente ln(3) til tredobling, og derefter en anden ln(10) i 10x. Slutresultatet er det samme, så selvfølgelig skal tiden forblive konstant (og det gør den).

Hvad med division? Specifikt betyder ln(5/3): hvor lang tid vil det tage at vokse 5 gange og derefter få 1/3 af det?

Fantastisk, vækst med 5 gange er ln(5). En stigning på 1/3 gange vil tage -ln(3) tidsenheder. Så,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Det betyder: lad det vokse 5 gange, og så "gå tilbage i tiden" til det punkt, hvor kun en tredjedel af den mængde er tilbage, så du får 5/3 vækst. Generelt viser det sig

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håber, at den mærkelige aritmetik af logaritmer begynder at give mening for dig: multiplicering af vækstrater bliver til at lægge væksttidsenheder sammen, og at dividere bliver til at trække tidsenheder fra. Ingen grund til at huske reglerne, prøv at forstå dem.

Brug af den naturlige logaritme til vilkårlig vækst

Nå, selvfølgelig," siger du, "det er alt sammen godt, hvis væksten er 100 %, men hvad med de 5 %, jeg modtager?"

Intet problem. Den "tid" vi beregner med ln() er faktisk en kombination af rente og tid, det samme X fra e x-ligningen. Vi har lige besluttet at indstille procentdelen til 100% for nemheds skyld, men vi kan frit bruge alle tal.

Lad os sige, at vi ønsker at opnå 30x vækst: tag ln(30) og få 3,4 Dette betyder:

• e x = højde
• e 3,4 = 30

Naturligvis betyder denne ligning "100 % afkast over 3,4 år giver 30x vækst." Vi kan skrive denne ligning som følger:

• e x = e rate*tid
• e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan ændre værdierne for "bet" og "tid", så længe rate * tid forbliver 3,4. Hvis vi for eksempel er interesseret i 30x vækst, hvor længe skal vi så vente ved en rente på 5 %?

• ln(30) = 3,4
• rate * tid = 3,4
• 0,05 * tid = 3,4
• tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg ræsonnerer sådan her: "ln(30) = 3,4, så ved 100% vækst vil det tage 3,4 år. Hvis jeg fordobler vækstraten, vil den nødvendige tid blive halveret."

• 100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Fantastisk, ikke? Den naturlige logaritme kan bruges med enhver rente og tid, fordi deres produkt forbliver konstant. Du kan flytte variable værdier, så meget du vil.

Sejt eksempel: Regel om tooghalvfjerds

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknik, der giver dig mulighed for at vurdere, hvor lang tid det vil tage for dine penge at fordobles. Nu vil vi udlede det (ja!), og desuden vil vi forsøge at forstå dets essens.

Hvor lang tid vil det tage at fordoble dine penge til 100 % rente forhøjet årligt?

Ups. Vi brugte den naturlige logaritme til tilfældet med kontinuerlig vækst, og nu taler du om årlig sammensætning? Ville denne formel ikke blive uegnet til sådan en sag? Ja, det vil det, men for realrenter som 5%, 6% eller endda 15% vil forskellen mellem årlig sammensætning og kontinuerlig vækst være lille. Så det groft estimat virker, øhm, nogenlunde, så vi vil foregive, at vi har en fuldstændig kontinuerlig optjening.

Nu er spørgsmålet enkelt: Hvor hurtigt kan du fordoble med 100 % vækst? ln(2) = 0,693. Det tager 0,693 enheder af tid (år i vores tilfælde) at fordoble vores beløb med en kontinuerlig stigning på 100%.

Så hvad nu hvis renten ikke er 100%, men siger 5% eller 10%?

Nemt! Da indsats * tid = 0,693, vil vi fordoble beløbet:

• rate * tid = 0,693
• tid = 0,693 / indsats

Det viser sig, at hvis væksten er 10 %, vil det tage 0,693 / 0,10 = 6,93 år at fordoble.

For at forenkle beregningerne, lad os gange begge sider med 100, så kan vi sige "10" i stedet for "0,10":

• tid til at fordoble = 69,3 / indsats, hvor indsatsen er udtrykt i procent.

Nu er det tid til at fordoble med en sats på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er dog ikke det mest bekvemme udbytte. Lad os vælge et tæt tal, 72, som er praktisk at dividere med 2, 3, 4, 6, 8 og andre tal.

• tid til at fordoble = 72 / indsats

som er reglen om tooghalvfjerds. Alt er dækket.

Hvis du skal finde tiden til at tredoble, kan du bruge ln(3) ~ 109.8 og få

• tid til at tredoble = 110 / indsats

Hvad er en anden nyttig regel. "Regelen om 72" gælder for højden renter, befolkningstilvækst, bakteriekulturer og alt, hvad der vokser eksponentielt.

Hvad er det næste?

Forhåbentlig giver den naturlige logaritme nu mening for dig - den viser den tid, det tager for ethvert tal at vokse eksponentielt. Jeg tror, ​​det kaldes naturligt, fordi e er et universelt mål for vækst, så ln kan overvejes på en universel måde bestemme, hvor lang tid det tager at vokse.

Hver gang du ser ln(x), så husk "den tid det tager at vokse X gange". I en kommende artikel vil jeg beskrive e og ln i sammenhæng, så den friske duft af matematik vil fylde luften.

Tillæg: Naturlig logaritme af f.eks

Hurtig quiz: hvad er ln(e)?

• en matematikrobot vil sige: da de er defineret som det omvendte af hinanden, er det indlysende, at ln(e) = 1.
• forstående person: ln(e) er det antal gange, det tager at vokse "e" gange (ca. 2.718). Men selve tallet er et mål for vækst med en faktor 1, så ln(e) = 1.

Tænk klart.

9. september 2013

Logaritme af et givet tal kaldes eksponenten, hvortil et andet tal skal hæves, kaldet basis logaritme for at få dette tal. For eksempel er grundtallet 10-logaritmen af ​​100 2. Med andre ord skal 10 kvadreres for at få 100 (10 2 = 100). Hvis n– et givet tal, b– base og l– logaritme altså b l = n. Antal n også kaldet base antilogaritme b tal l. For eksempel er antilogaritmen af ​​2 til grundtal 10 lig med 100. Dette kan skrives i form af relationsloggen b n = l og antilog b l = n.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer:

Enhver positivt tal, bortset fra enhed, kan tjene som grundlag for logaritmer, men desværre viser det sig, at hvis b Og n er rationelle tal, så er der i sjældne tilfælde et sådant rationelt tal l, Hvad b l = n. Det er dog muligt at definere et irrationelt tal l for eksempel sådan, at 10 l= 2; dette er et irrationelt tal l kan tilnærmes med enhver påkrævet nøjagtighed rationelle tal. Det viser sig, at i ovenstående eksempel l er omtrent lig med 0,3010, og denne tilnærmelse af basis 10-logaritmen på 2 kan findes i fircifrede tabeller decimallogaritmer. Base 10 logaritmer (eller base 10 logaritmer) er så almindeligt brugt i beregninger, at de kaldes almindelig logaritmer og skrevet som log2 = 0,3010 eller log2 = 0,3010, idet den eksplicitte angivelse af logaritmebasen udelades. Logaritmer til basen e, et transcendentalt tal omtrent lig med 2,71828, kaldes naturlig logaritmer. De findes hovedsageligt i arbejder på matematisk analyse og dets anvendelser til forskellige videnskaber. Naturlige logaritmer skrives også uden eksplicit at angive grundtallet, men med den specielle notation ln: f.eks. ln2 = 0,6931, fordi e 0,6931 = 2.

Brug af tabeller med almindelige logaritmer.

Den regulære logaritme af et tal er en eksponent, hvortil 10 skal hæves for at opnå et givet tal. Da 10 0 = 1, 10 1 = 10 og 10 2 = 100, får vi straks, at log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 osv. for stigende heltalspotenser 10. Ligeledes er 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 og derfor log0,1 = –1, log0,01 = –2 osv. for alle heltal negative kræfter 10. De sædvanlige logaritmer for de resterende tal er indeholdt mellem logaritmerne af de nærmeste heltalspotenser af tallet 10; log2 skal være mellem 0 og 1, log20 skal være mellem 1 og 2, og log0.2 skal være mellem -1 og 0. Logaritmen består således af to dele, et heltal og decimal, indesluttet mellem 0 og 1. Heltalsdelen kaldes karakteristisk logaritme og bestemmes af selve tallet, kaldes brøkdelen mantisse og kan findes fra tabeller. Også log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmen af ​​2 er 0,3010, så log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Tilsvarende er log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Efter subtraktion får vi log0,2 = – 0,6990. Det er dog mere bekvemt at repræsentere log0.2 som 0,3010 – 1 eller som 9,3010 – 10; kan formuleres og almindelig regel: alle tal opnået fra et givet tal ved multiplikation med en potens af 10 har samme mantisse, lig med mantissen af ​​det givne tal. De fleste tabeller viser mantisser af tal i området fra 1 til 10, da mantisser for alle andre tal kan fås fra dem, der er angivet i tabellen.

De fleste tabeller giver logaritmer med fire eller fem decimaler, selvom der er syvcifrede tabeller og tabeller med endnu flere decimaler. Den nemmeste måde at lære at bruge sådanne tabeller på er med eksempler. For at finde log3.59 bemærker vi først og fremmest, at tallet 3.59 er indeholdt mellem 10 0 og 10 1, så dets karakteristik er 0. Vi finder tallet 35 (til venstre) i tabellen og bevæger os langs rækken til kolonnen, der har tallet 9 øverst; skæringspunktet mellem denne kolonne og række 35 er 5551, så log3.59 = 0.5551. At finde mantissen af ​​et tal med fire væsentlige tal, er det nødvendigt at ty til interpolation. I nogle tabeller er interpolation lettet af proportionerne i de sidste ni kolonner på højre side af hver side af tabellerne. Lad os nu finde log736.4; tallet 736,4 ligger mellem 10 2 og 10 3, derfor er karakteristikken for dens logaritme 2. I tabellen finder vi en række til venstre for hvilken der er 73 og kolonne 6. I skæringspunktet mellem denne række og denne kolonne er der tallet 8669. Blandt de lineære dele finder vi kolonne 4 I skæringspunktet mellem række 73 og kolonne 4 er der tallet 2. Ved at lægge 2 til 8669 får vi mantissen - den er lig med 8671. Altså log736.4. = 2,8671.

Naturlige logaritmer.

Tabeller og egenskaber naturlige logaritmer ligner tabellerne og egenskaberne for almindelige logaritmer. Hovedforskellen mellem begge er, at den heltallige del af den naturlige logaritme ikke er signifikant til at bestemme decimaltegnets position, og derfor spiller forskellen mellem mantissen og karakteristikken ikke en særlig rolle. Naturlige logaritmer af tal 5.432; 54,32 og 543,2 er lig med henholdsvis 1,6923; 3,9949 og 6,2975. Forholdet mellem disse logaritmer vil blive tydeligt, hvis vi betragter forskellene mellem dem: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; sidste nummer er intet andet end den naturlige logaritme af tallet 10 (skrevet sådan: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; det sidste tal er 2ln10. Men 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Altså ved den naturlige logaritme af et givet tal -en du kan finde naturlige logaritmer af tal, lig med produkterne tal -en for enhver grad n numrene 10 hvis til ln -en add ln10 ganget med n, dvs. ln( -enґ10n) = log -en + n ln10 = ln -en + 2,3026n. For eksempel ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Derfor indeholder tabeller med naturlige logaritmer, ligesom tabeller med almindelige logaritmer, normalt kun logaritmer af tal fra 1 til 10. I systemet med naturlige logaritmer kan man tale om antilogaritmer, men oftere taler man om eksponentiel funktion eller om udstilleren. Hvis x= log y, Det y = e x, Og y kaldet eksponent for x(for typografisk bekvemmelighed skriver de ofte y= eksp x). Eksponenten spiller rollen som antilogaritmen af ​​tallet x.

Ved at bruge tabeller med decimaler og naturlige logaritmer kan du oprette tabeller med logaritmer i enhver anden base end 10 og e. Hvis log b a = x, Det b x = -en, og log derfor c b x=log c a eller x log c b=log c a, eller x=log c a/log c b=log b a. Brug derfor denne inversionsformel fra basislogaritmetabellen c du kan bygge tabeller med logaritmer i enhver anden base b. Multiplikator 1/log c b ringede overgangsmodul fra basen c til basen b. Intet forhindrer for eksempel at bruge inversionsformlen eller overgangen fra et system af logaritmer til et andet, finde naturlige logaritmer fra tabellen over almindelige logaritmer eller foretage den omvendte overgang. For eksempel log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Tallet 0,4343, som den naturlige logaritme af et givet tal skal ganges med for at opnå en almindelig logaritme, er modulet for overgangen til systemet af almindelige logaritmer.

Særlige borde.

Logaritmer blev oprindeligt opfundet, så de ved hjælp af deres egenskaber log ab=log -en+log b og log -en/b=log -en-log b, gør produkter til summer og kvotienter til forskelle. Med andre ord, hvis log -en og log b er kendt, så kan vi ved hjælp af addition og subtraktion nemt finde logaritmen af ​​produktet og kvotienten. I astronomi, dog ofte givet værdier af log -en og log b skal finde log( -en + b) eller log( -en – b). Selvfølgelig kunne man først finde fra tabeller over logaritmer -en Og b, udfør derefter den angivne addition eller subtraktion, og vend igen til tabellerne, find de nødvendige logaritmer, men en sådan procedure ville kræve, at der henvises til tabellerne tre gange. Z. Leonelli i 1802 udgav tabeller over de såkaldte. Gaussiske logaritmer– logaritmer til at tilføje summer og forskelle – som gjorde det muligt at begrænse sig til én adgang til tabeller.

I 1624 foreslog I. Kepler tabeller med proportionelle logaritmer, dvs. logaritmer af tal -en/x, Hvor -en– en positiv konstant værdi. Disse tabeller bruges primært af astronomer og navigatører.

Proportionale logaritmer kl -en= 1 kaldes ved logaritmer og bruges i beregninger, når man skal forholde sig til produkter og kvotienter. Kologaritme af et tal n lig med logaritmen gensidigt nummer; dem. colog n= log1/ n= – log n. Hvis log2 = 0,3010, så er colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Fordelen ved at bruge kologaritmer er, at når man beregner værdien af ​​logaritmen af ​​udtryk som f.eks. pq/via modul tredobbelt sum af positive decimaler log s+log q+colog via modul er lettere at finde end den blandede sum og differenslog s+log q-log via modul.

Historie.

Princippet bag ethvert logaritmesystem har været kendt i meget lang tid og kan spores tilbage til gammel babylonsk matematik (ca. 2000 f.Kr.). I de dage blev interpolation mellem tabelværdier af positive heltalspotenser af heltal brugt til at beregne renters rente. Meget senere brugte Arkimedes (287-212 f.Kr.) potenserne 108 til at finde en øvre grænse for antallet af sandkorn, der kræves for fuldstændigt at fylde det dengang kendte univers. Arkimedes henledte opmærksomheden på den egenskab ved eksponenter, der ligger til grund for effektiviteten af ​​logaritmer: produktet af potenser svarer til summen af ​​eksponenterne. I slutningen af ​​middelalderen og begyndelsen af ​​den moderne æra begyndte matematikere i stigende grad at vende sig mod forholdet mellem geometriske og aritmetiske progressioner. M. Stiefel i sit essay Heltals aritmetik(1544) gav en tabel over positive og negative potenser af tallet 2:

Stiefel bemærkede, at summen af ​​de to tal i den første række (eksponentrækken) er lig med eksponenten af ​​to svarende til produktet af de to tilsvarende tal i den nederste række (eksponentrækken). I forbindelse med denne tabel formulerede Stiefel fire regler svarende til de fire moderne regler for operationer på eksponenter eller de fire regler for operationer på logaritmer: Summen på den øverste linje svarer til produktet på den nederste linje; subtraktion på den øverste linje svarer til division på den nederste linje; multiplikation på den øverste linje svarer til eksponentiering på den nederste linje; division på den øverste linje svarer til at rode på den nederste linje.

Tilsyneladende fik regler svarende til Stiefels regler J. Naper til formelt at introducere det første logaritmesystem i sit arbejde Beskrivelse af den fantastiske tabel over logaritmer, udgivet i 1614. Men Napiers tanker var optaget af problemet med at omsætte produkter til summer lige siden, mere end ti år før udgivelsen af ​​hans værk, modtog Napier nyheder fra Danmark om, at hans assistenter på Tycho Brahe Observatoriet havde en metode, der gjorde det muligt at omregne produkter til summer. Metoden nævnt i meddelelsen Napier modtog var baseret på brugen trigonometriske formler type

derfor bestod Napers tabeller hovedsageligt af logaritmer trigonometriske funktioner. Selvom begrebet base ikke var eksplicit inkluderet i definitionen foreslået af Napier, blev den rolle, der svarer til basen af ​​logaritmesystemet i hans system, spillet af tallet (1 – 10 –7)ґ10 7, omtrent lig med 1/ e.

Uafhængigt af Naper og næsten samtidigt med ham, blev et system af logaritmer, ganske ens i typen, opfundet og udgivet af J. Bürgi i Prag, udgivet i 1620 Aritmetiske og geometriske progressionstabeller. Disse var tabeller med antilogaritmer til grundtallet (1 + 10 –4) ґ10 4, en ret god tilnærmelse af tallet e.

I Naper-systemet blev logaritmen af ​​tallet 10 7 taget til at være nul, og efterhånden som tallene faldt, steg logaritmerne. Da G. Briggs (1561-1631) besøgte Napier, var begge enige om, at det ville være mere bekvemt at bruge tallet 10 som basis og betragte logaritmen af ​​et som nul. Så, efterhånden som tallene steg, ville deres logaritmer stige. Så vi fik moderne system decimallogaritmer, en tabel, som Briggs offentliggjorde i sit arbejde Logaritmisk aritmetik(1620). Logaritmer til basen e Selvom det ikke ligefrem er dem, der blev introduceret af Naper, kaldes de ofte for Naper's. Udtrykkene "karakteristisk" og "mantisse" blev foreslået af Briggs.

Første logaritmer i kraft historiske årsager brugte tilnærmelser til tallene 1/ e Og e. Noget senere begyndte ideen om naturlige logaritmer at blive forbundet med studiet af områder under en hyperbel xy= 1 (fig. 1). I det 17. århundrede det blev vist, at området afgrænset af denne kurve, aksen x og ordinater x= 1 og x = -en(i fig. 1 er dette område dækket med tykkere og sparsomme prikker) stiger i aritmetisk progression, Hvornår -en stiger eksponentielt. Det er netop denne afhængighed, der opstår i reglerne for operationer med eksponenter og logaritmer. Dette gav anledning til at kalde Naperiske logaritmer for "hyperbolske logaritmer."

Logaritmisk funktion.

Der var en tid, hvor logaritmer udelukkende blev betragtet som et middel til beregning, men i det 18. århundrede, hovedsageligt takket være Eulers arbejde, blev begrebet en logaritmisk funktion dannet. Graf over en sådan funktion y= log x, hvis ordinater øges i en aritmetisk progression, mens abscissen øges i en geometrisk progression, er præsenteret i fig. 2, EN. Graf over den inverse eller eksponentielle (eksponentielle) funktion y = e x, hvis ordinater øges i geometrisk progression, og hvis abscisser øges i aritmetisk progression, præsenteres henholdsvis i fig. 2, b. (Kurver y=log x Og y = 10x i form ligner kurver y= log x Og y = e x.) Alternative definitioner af den logaritmiske funktion er også blevet foreslået, f.eks.

kpi ; og på samme måde er de naturlige logaritmer af tallet -1 komplekse tal af formen (2 k + 1)pi, Hvor k– et heltal. Lignende udsagn gælder for generelle logaritmer eller andre logaritmesystemer. Derudover kan definitionen af ​​logaritmer generaliseres ved hjælp af Eulers identiteter til at inkludere komplekse logaritmer af komplekse tal.

En alternativ definition af en logaritmisk funktion er tilvejebragt ved funktionel analyse. Hvis f(x) – kontinuert funktion af et reelt tal x, der har følgende tre egenskaber: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Det f(x) er defineret som logaritmen af ​​tallet x baseret på b. Denne definition har en række fordele i forhold til definitionen i begyndelsen af ​​denne artikel.

Ansøgninger.

Logaritmer blev oprindeligt udelukkende brugt til at forenkle beregninger, og denne applikation er stadig en af ​​deres vigtigste. Beregningen af ​​produkter, kvotienter, potenser og rødder lettes ikke kun af den brede tilgængelighed af offentliggjorte tabeller over logaritmer, men også af brugen af ​​de såkaldte. slide rule - et beregningsværktøj, hvis driftsprincip er baseret på logaritmers egenskaber. Linealen er udstyret med logaritmiske skalaer, dvs. afstand fra nummer 1 til et hvilket som helst tal x valgt til at være lig med log x; Ved at flytte en skala i forhold til en anden er det muligt at plotte summen eller forskellene af logaritmer, hvilket gør det muligt direkte fra skalaen at aflæse produkterne eller kvotienterne af de tilsvarende tal. Du kan også drage fordel af fordelene ved at repræsentere tal i logaritmisk form. logaritmisk papir til plotning af grafer (papir med logaritmiske skalaer trykt på begge koordinatakser). Hvis en funktion opfylder en potenslov af formen y = kxn, så ligner dens logaritmiske graf en lige linje, fordi log y=log k + n log x– ligning lineær med hensyn til log y og log x. Tværtimod, hvis den logaritmiske graf for en funktionel afhængighed ligner en lige linje, så er denne afhængighed en potens. Semi-log papir (hvor y-aksen har en logaritmisk skala, og x-aksen har en ensartet skala) er nyttig, når du skal identificere eksponentielle funktioner. Formens ligninger y = kb rx opstår, når en mængde, såsom en befolkning, en mængde radioaktivt materiale eller en banksaldo, falder eller stiger med en hastighed, der er proportional med den tilgængelige i øjeblikket antal beboere, radioaktivt stof eller penge. Hvis en sådan afhængighed er plottet på semi-logaritmisk papir, vil grafen se ud som en ret linje.

Den logaritmiske funktion opstår i forbindelse med en lang række naturformer. Blomster i solsikkeblomsterstande er arrangeret i logaritmiske spiraler, bløddyrskaller er snoede Nautilus, horn bjergfår og papegøjenæb. Alle disse naturlige former kan tjene som eksempler på en kurve kendt som en logaritmisk spiral, fordi dens ligning i et polært koordinatsystem er r = ae bq, eller ln via modul= log -en + bq. En sådan kurve er beskrevet af et bevægende punkt, hvis afstand fra polen stiger i geometrisk progression, og vinklen beskrevet af dens radiusvektor stiger i aritmetisk progression. Allestedsnærværelsen af ​​en sådan kurve, og derfor af den logaritmiske funktion, illustreres godt af, at den forekommer i så fjerne og helt forskellige områder som konturen af ​​en excentrisk knast og banen af ​​nogle insekter, der flyver mod lyset.

Graf over den naturlige logaritmefunktion. Funktionen nærmer sig langsomt den positive uendelighed, efterhånden som den øges x og nærmer sig hurtigt negativ uendelighed når x har en tendens til 0 ("langsom" og "hurtig" sammenlignet med enhver power funktion fra x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grundtallet , Hvor e (\displaystyle e)- en irrationel konstant lig med ca. 2,72. Det er betegnet som ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) eller nogle gange bare log ⁡ x (\displaystyle \log x), hvis basen e (\displaystyle e) underforstået. Med andre ord, den naturlige logaritme af et tal x- dette er en eksponent, som et tal skal hæves til e at få x. Denne definition kan udvides til komplekse tal.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), fordi e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), fordi e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Den naturlige logaritme kan også defineres geometrisk for ethvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) ind imellem [1; a ] (\displaystyle). Enkelheden af ​​denne definition, som er i overensstemmelse med mange andre formler, der bruger denne logaritme, forklarer oprindelsen af ​​navnet "naturlig".

Hvis vi betragter den naturlige logaritme som en reel funktion af en reel variabel, så er det den inverse funktion af den eksponentielle funktion, der fører til identiteterne:

e ln ⁡ a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Som alle logaritmer kortlægger den naturlige logaritme multiplikation til addition:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Logaritmen af ​​et positivt tal b til grundtal a (a>0, a er ikke lig med 1) er et tal c, således at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Bemærk, at logaritmen af ​​et ikke-positivt tal er udefineret. Derudover skal logaritmens basis være et positivt tal, der ikke er lig med 1. For eksempel, hvis vi kvadrerer -2, får vi tallet 4, men det betyder ikke, at logaritmen til grundtallet -2 af 4 er lig med 2.

Grundlæggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er vigtigt, at definitionen af ​​højre og venstre side af denne formel er forskellig. Den venstre side er kun defineret for b>0, a>0 og a ≠ 1. Den højre side er defineret for enhver b og afhænger slet ikke af a. Således kan anvendelsen af ​​den grundlæggende logaritmiske "identitet" ved løsning af ligninger og uligheder føre til en ændring i OD.

To indlysende konsekvenser af definitionen af ​​logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hæver tallet a til den første potens, får vi det samme tal, og når vi hæver det til nul-potensen, får vi en.

Logaritme af produktet og logaritme af kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil gerne advare skolebørn mod tankeløst at bruge disse formler, når de løser logaritmiske ligninger og uligheder. Når du bruger dem "fra venstre mod højre", indsnævres ODZ, og når du flytter fra summen eller forskellen af ​​logaritmer til logaritmen af ​​produktet eller kvotienten, udvides ODZ'en.

Faktisk er udtrykket log a (f (x) g (x)) defineret i to tilfælde: når begge funktioner er strengt positive, eller når f (x) og g (x) begge er mindre end nul.

Ved at transformere dette udtryk til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til kun at begrænse os til tilfældet, når f(x)>0 og g(x)>0. Der sker en indsnævring af området acceptable værdier, og det er kategorisk uacceptabelt, fordi det kan føre til tab af løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tages ud af logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igen vil jeg gerne bede om nøjagtighed. Overvej følgende eksempel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side af ligheden er naturligvis defineret for alle værdier af f(x) undtagen nul. Højre side er kun for f(x)>0! Ved at tage graden ud af logaritmen indsnævrer vi igen ODZ. Den omvendte procedure fører til en udvidelse af intervallet af acceptable værdier. Alle disse bemærkninger gælder ikke kun for effekt 2, men også for enhver jævn effekt.

Formel for at flytte til en ny fond

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjældne tilfælde, hvor ODZ'en ikke ændres under transformation. Hvis du har valgt base c med omtanke (positiv og ikke lig med 1), er formlen for at flytte til en ny base helt sikker.

Hvis vi vælger tallet b som det nye grundtal c, får vi en vigtig særligt tilfælde formler (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nogle simple eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Beregn: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brugte summen af ​​logaritmer formlen (5) og definitionen af ​​decimallogaritmen.

Eksempel 2. Beregn: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brugte formlen til at flytte til en ny base (8).

Tabel over formler relateret til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)