Beregn arealet af ovalen langs omkredsen. Oval

At beregne længden/omkredsen af en ellipse er slet ikke en triviel opgave, som man skulle tro.

Men den samme enkle tilgang er fuldstændig uegnet til en ellipse.

I nøjagtige termer kan omkredsen af en ellipse kun udtrykkes gennem denne formel:

Ellipse excentricitet

Ellipsens halvhovedakse

I hverdagen bruges selvfølgelig omtrentlige formler, som vi vil tale om.

En af dem ser sådan ud

Formlen giver dobbelt så nøjagtige data

Og en endnu mere præcis omkreds af ellipsen giver udtrykket

Men uanset hvad formlerne er, giver de stadig kun tilnærmelsesvis ellipsens omkreds.

Vi, ved at bruge en nøjagtig formel gennem det elliptiske integral, opnår uafhængighed af sådanne restriktioner og opnår absolut nøjagtighed for enhver værdi af ellipsen.

Løsningseksempler

Ellipsen er givet af ligningen

Find dens omkreds

Lad os indtaste de kendte parametre a=2 og b=5 og få resultatet

Hvorfor kan kun halvakseværdier indtastes i kildedataene? Ifølge andre parametre, hvad tæller ikke?

Jeg vil forklare.

Regnemaskinerne på dette websted, inklusive denne, er ikke beregnet til at erstatte din hjerne. De forenkler kun rutineoperationer, eller de operationer, hvor det er muligt at lave en fejl. Og det er alt.

Omkreds er en lukket plan kurve, hvis alle punkter er lige langt fra et givet punkt (cirklens centrum). Afstanden fra ethvert punkt i cirklen \(P\venstre((x,y) \right)\) til dens centrum kaldes radius. Cirklens centrum og selve cirklen ligger i samme plan. Ligning af en cirkel med radius \(R\) med centrum i origo ( kanonisk ligning af en cirkel ) har formen
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Ligning af en cirkel radius \(R\) med centrum i et vilkårligt punkt \(A\venstre((a,b) \højre)\) skrives som
\((\venstre((x - a) \højre)^2) + (\venstre((y - b) \højre)^2) = (R^2)\).

Ligning af en cirkel, der går gennem tre punkter , skrevet i formen: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
Her \(A\venstre(((x_1),(y_1)) \højre)\), \(B\venstre(((x_2),(y_2)) \højre)\), \(C\venstre(( (x_3),(y_3)) \right)\) er tre punkter, der ligger på cirklen.

Ligning af en cirkel i parametrisk form
\(\venstre\( \begin(justeret) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
hvor \(x\), \(y\) er koordinaterne for punkterne i cirklen, \(R\) er cirklens radius, \(t\) er parameteren.

Generel ligning af en cirkel
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
underlagt \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Cirklens centrum er placeret i punktet med koordinaterne \(\venstre((a,b) \højre)\), hvor
\(a = - \stor\frac(D)((2A))\normalstørrelse,\;\;b = - \stor\frac(E)((2A))\normalstørrelse.\)
Cirklens radius er
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\venstre| A \right|))\normalstørrelse) \)

Ellipse er en plan kurve for hvert punkt, hvoraf summen af afstandene til to givne punkter ( ellipse foci ) er konstant. Afstanden mellem brændpunkterne kaldes brændvidde og er betegnet med \(2c\). Midten af segmentet, der forbinder brændpunkterne, kaldes midten af ellipsen . En ellipse har to symmetriakser: den første eller brændakse, der passerer gennem brændpunkterne, og den anden akse vinkelret på den. Disse aksers skæringspunkter med ellipsen kaldes toppe. Det segment, der forbinder midten af ellipsen med toppunktet, kaldes ellipsens halvakse . Den semi-hovedakse er betegnet med \(a\), den semi-minor-akse med \(b\). En ellipse, hvis centrum er i origo, og hvis halvakser ligger på koordinatlinjer, beskrives ved følgende kanonisk ligning :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalstørrelse + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalstørrelse = 1.\)

Summen af afstandene fra ethvert punkt på ellipsen til dens brændpunkter konstant:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
hvor \((r_1)\), \((r_2)\) er afstandene fra et vilkårligt punkt \(P\venstre((x,y) \right)\) til brændpunkterne \((F_1)\) og \((F_2)\), \(a\) er ellipsens semimajor akse.

Forholdet mellem ellipsens halvakser og brændvidden
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
hvor \(a\) er ellipsens semi-hovedakse, \(b\) er semi-molaksen, \(c\) er halvdelen af brændvidden.

Ellipse excentricitet
\(e = \large\frac(c)(a)\normalstørrelse

Ligninger af ellipse-direktirser
En ellipses retning er en ret linje vinkelret på dens brændakse og skærer den i en afstand \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) fra centrum. Ellipsen har to retningslinjer placeret på modsatte sider af midten. Directrix-ligningerne er skrevet i formen
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalstørrelse = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalstørrelse.\)

Ligning for en ellipse i parametrisk form
\(\venstre\( \begin(justeret) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
hvor \(a\), \(b\) er ellipsens halvakser, \(t\) er parameteren.

Generel ellipseligning
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
hvor \((B^2) - 4AC

Generel ligning for en ellipse, hvis halvakser er parallelle med koordinatakserne
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
hvor \(AC > 0\).

Ellipse omkreds
\(L = 4aE\venstre(e \højre)\),
hvor \(a\) er ellipsens semimajor akse, \(e\) er excentriciteten, \(E\) er komplet elliptisk integral af den anden slags.

Tilnærmede formler for omkredsen af en ellipse
\(L \ca. \pi \venstre[ (\large\frac(3)(2)\normalstørrelse\venstre((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \ca. \pi \sqrt (2\venstre(((a^2) + (b^2)) \højre)),\)
hvor \(a\), \(b\) er ellipsens halvakser.

Område af ellipsen
\(S = \pi ab\)

I astronomi, når man overvejer bevægelsen af kosmiske kroppe i baner, bruges begrebet "ellipse" ofte, da deres baner er karakteriseret ved netop denne kurve. I artiklen vil vi overveje spørgsmålet om, hvad den markerede figur repræsenterer, og også give formlen for ellipsens længde.

Hvad er en ellipse?

Ifølge den matematiske definition er en ellipse en lukket kurve, for hvilken summen af afstandene fra et hvilket som helst af dets punkter til to andre specifikke punkter, der ligger på hovedaksen, kaldet foci, er en konstant værdi. Nedenfor er en figur, der forklarer denne definition.

På figuren er summen af afstandene PF" og PF lig med 2 * a, det vil sige PF" + PF = 2 * a, hvor F" og F er ellipsens brændpunkter, "a" er længden af dens semi-hovedakse. Segmentet BB" kaldes semi-minor-aksen, og afstand CB = CB" = b - længden af halv-molaksen. Her bestemmer punkt C figurens centrum.

Billedet ovenfor viser også en simpel metode med reb og to søm, der er meget brugt til at tegne elliptiske kurver. En anden måde at få denne figur på er at udføre den i en hvilken som helst vinkel til dens akse, hvilket ikke er lig med 90 o.

Hvis ellipsen drejes langs en af dens to akser, danner den en tredimensionel figur, som kaldes en sfæroid.

Formel til omkredsen af en ellipse

Selvom den pågældende figur er ret enkel, kan længden af dens omkreds bestemmes nøjagtigt ved at beregne de såkaldte elliptiske integraler af den anden slags. Den selvlærte indiske matematiker Ramanujan foreslog dog i begyndelsen af det 20. århundrede en ret simpel formel for længden af en ellipse, som nærmer sig resultatet af de markerede integraler nedefra. Det vil sige, at værdien af den pågældende værdi beregnet ud fra den vil være lidt mindre end den faktiske længde. Denne formel ser ud som: P ≈ pi *, hvor pi = 3,14 er tallet pi.

Lad for eksempel længderne af ellipsens to halvakser være lig med a = 10 cm og b = 8 cm, så dens længde P = 56,7 cm.

Alle kan kontrollere, at hvis a = b = R, det vil sige en almindelig cirkel betragtes, så reduceres Ramanujans formel til formen P = 2 * pi * R.

Bemærk, at der i skolebøger ofte gives en anden formel: P = pi * (a + b). Det er enklere, men også mindre præcist. Så hvis vi anvender det på det betragtede tilfælde, får vi værdien P = 56,5 cm.

Hvad er en ellipse?

Du kan være interesseret i:

Billedet ovenfor viser også en simpel metode med reb og to søm, der er meget brugt til at tegne elliptiske kurver. En anden måde at opnå denne figur på er at skære keglen i en vilkårlig vinkel til dens akse, hvilket ikke er lig med 90o.

Hvis ellipsen drejes langs en af dens to akser, danner den en tredimensionel figur, som kaldes en sfæroid.

Formel til omkredsen af en ellipse

Lad for eksempel længderne af ellipsens to halvakser være lig med a = 10 cm og b = 8 cm, så dens længde P = 56,7 cm.

Alle kan kontrollere, at hvis a = b = R, det vil sige en almindelig cirkel betragtes, så reduceres Ramanujans formel til formen P = 2 * pi * R.

Oval er en lukket kassekurve, der har to symmetriakser og består af to støttecirkler med samme diameter, indvendigt konjugeret af buer (fig. 13.45). En oval er karakteriseret ved tre parametre: længde, bredde og radius af ovalen. Nogle gange er kun længden og bredden af ovalen specificeret, uden at definere dens radier, så har problemet med at konstruere en oval en lang række løsninger (se fig. 13.45, a... d).

Metoder til at konstruere ovaler baseret på to identiske referencecirkler, der berører (fig. 13.46, a), skærer (fig. 13.46, b) eller ikke skærer (fig. 13.46, c). I dette tilfælde er to parametre faktisk specificeret: længden af ovalen og en af dens radier. Dette problem har mange løsninger. Det er indlysende R > OA har ingen øvre grænse. Især R = O 1 O 2(se fig. 13.46.a og fig. 13.46.c), og centrene O 3 Og O 4 bestemmes som skæringspunkterne mellem basiscirklerne (se fig. 13.46, b). Ifølge den generelle punktteori bestemmes makkers på en lige linje, der forbinder centrene for buer af oskulerende cirkler.

Konstruktion af en oval med rørende støttecirkler(problemet har mange løsninger) ( ris. 3,44). Fra centrene af referencecirklerne OM Og 0 1 med en radius lig f.eks. afstanden mellem deres centre, tegnes cirkler, indtil de skærer hinanden i punkter OM 2 og O 3.

Figur 3.44

Hvis fra point OM 2 og O 3 tegne lige linjer gennem centrene OM Og O 1, så får vi i krydset med støttecirklerne forbindelsespunkterne MED, C 1, D Og D 1. Fra point OM 2 og O 3 fra radiuscentre R 2 tegne bøjningsbuer.

Konstruktion af en oval med krydsende referencecirkler(problemet har også mange løsninger) (fig. 3.45). Fra skæringspunkterne for referencecirklerne C 2 Og O 3 tegne lige linjer, for eksempel gennem centre OM Og O 1 indtil de skærer referencecirklerne i forbindelsespunkterne C, C1D Og D 1 og radier R2, lig med diameteren af referencecirklen - konjugationsbuen.

Figur 3.45 Figur 3.46

Konstruktion af en oval langs to specificerede akser AB og CD(Fig. 3.46). Nedenfor er en af mange mulige løsninger. Et segment er plottet på den lodrette akse OE, lig med halvdelen af hovedaksen AB. Fra punktet MED hvordan man tegner en bue med en radius fra midten SE til skæringspunktet med linjestykket AC på punktet E 1. Mod midten af segmentet AE 1 gendan vinkelret og marker punkterne for dets skæringspunkt med ovalens akser O 1 Og 0 2 . Byg point O 3 Og 0 4 , symmetrisk til punkterne O 1 Og 0 2 i forhold til akserne CD Og AB. Points O 1 Og 0 3 vil være centrum for referencecirkler med radius R1, lig med segmentet Cirka 1 A, og punkterne O2 Og 0 4 - centre for konjugation buer med radius R2, lig med segmentet O 2 C. Lige linjer forbinder centre O 1 Og 0 3 Med O2 Og 0 4 Ved krydset med ovalen bestemmes forbindelsespunkterne.

I AutoCAD er en oval konstrueret ved hjælp af to referencecirkler med samme radius, som:

1. have et kontaktpunkt;

2. skære hinanden;

3. kryds ikke hinanden.

Lad os overveje det første tilfælde. Et segment OO 1 =2R er konstrueret, parallelt med X-aksen ved dets ender (punkt O og O 1) er centrene for to støttecirkler med radius R og centrene af to hjælpecirkler med radius R 1 = 2R placeret. Fra skæringspunkterne for hjælpecirklerne O 2 og O 3 bygges hhv. buer CD og C 1 D 1. Hjælpecirklerne fjernes, derefter skæres de indre dele af støttecirklerne af i forhold til buerne CD og C 1 D 1. I figur ъъ er den resulterende oval fremhævet med en tyk linje.