Sådan får du et tal fra en naturlig logaritme. Logaritme

Dette kan for eksempel være en lommeregner fra det grundlæggende sæt af programmer operativsystem Windows. Linket til at starte det er skjult i hovedmenuen i operativsystemet - åbn det ved at klikke på knappen "Start", åbn derefter dets "Programmer", gå til underafsnittet "Standard" og derefter til "Hjælpeprogrammer" sektionen og til sidst, klik på punktet "Lommeregner" " I stedet for at bruge musen og navigere gennem menuer, kan du bruge tastaturet og programstartdialogen - tryk på WIN + R-tastekombinationen, skriv calc (dette er navnet på den eksekverbare fil til lommeregneren) og tryk på Enter.

Skift lommeregnerens interface til avanceret tilstand, som giver dig mulighed for at udføre. Som standard åbnes den i "normal" visning, men du har brug for "engineering" eller " " (afhængigt af versionen af det operativsystem, du bruger). Udvid afsnittet "Vis" i menuen, og vælg den relevante linje.

Indtast det argument, hvis naturlige værdi du vil evaluere. Dette kan gøres enten fra tastaturet eller ved at klikke på de tilsvarende knapper i lommeregnerens interface på skærmen.

Klik på knappen mærket ln - programmet vil beregne logaritmen til basis e og vise resultatet.

Brug en af -beregnerne som alternativ beregning af værdien naturlig logaritme. For eksempel den, der ligger kl http://calc.org.ua. Dens grænseflade er ekstremt enkel - der er et enkelt inputfelt, hvor du skal indtaste værdien af tallet, hvis logaritme du skal beregne. Blandt knapperne skal du finde og klikke på den, der siger ln. Scriptet på denne lommeregner kræver ikke afsendelse af data til serveren og et svar, så du vil modtage beregningsresultatet næsten øjeblikkeligt. Den eneste funktion, som bør tages i betragtning - separatoren mellem fraktioneret og hele delen Det indtastede tal skal have en prik her, ikke en .

Udtrykket " logaritme" kommer fra to græske ord, det ene betyder "tal" og det andet betyder "forhold". Det betegner den matematiske operation at beregne en variabel størrelse (eksponent), til hvilken en konstant værdi (basis) skal hæves for at opnå det tal, der er angivet under tegnet logaritme EN. Hvis grundtallet er lig med en matematisk konstant kaldet tallet "e", så logaritme kaldet "naturlig".

Du skal bruge

Internetadgang, Microsoft Office Excel eller lommeregner.

Instruktioner

Brug de mange lommeregnere, der findes på internettet - det er måske en nem måde at beregne naturlig a. Du behøver ikke at søge efter den passende service, da mange søgemaskiner og selv har indbyggede lommeregnere, ganske velegnede til at arbejde med logaritme ami. Gå for eksempel til hovedsiden for den største online søgemaskine - Google. Der kræves ingen knapper her for at indtaste værdier eller vælge funktioner, bare indtast den ønskede matematiske handling i forespørgselsindtastningsfeltet. Lad os sige, at beregne logaritme og tallet 457 i grundtallet "e", indtast ln 457 - dette vil være nok til, at Google kan vise med en nøjagtighed på otte decimaler (6.12468339) selv uden at trykke på knappen for at sende en anmodning til serveren.

Brug den passende indbyggede funktion, hvis du skal beregne værdien af en naturlig logaritme og opstår, når du arbejder med data i den populære regnearkseditor Microsoft Office Excel. Denne funktion kaldes her ved hjælp af den almindelige notation logaritme og med store bogstaver - LN. Vælg den celle, hvori beregningsresultatet skal vises, og indtast et lighedstegn - det er sådan i denne regnearkseditor skal optegnelser begynde i cellerne, der indeholder i "Standard" underafsnittet i "Alle programmer" sektionen i hovedmenuen. Skift lommeregneren til en mere funktionel tilstand ved at trykke på Alt + 2. Indtast derefter værdien, naturlig logaritme som du ønsker at beregne, og klik i programgrænsefladen på knappen, der er angivet med symbolerne ln. Applikationen udfører beregningen og viser resultatet.

Video om emnet

Slet ikke dårligt, vel? Mens matematikere søger efter ord for at give dig en lang, forvirrende definition, lad os se nærmere på denne enkle og klare definition.

Tallet e betyder vækst

Tallet e betyder kontinuerlig vækst. Som vi så i det foregående eksempel, giver e x os mulighed for at sammenkæde rente og tid: 3 år ved 100 % vækst er det samme som 1 år ved 300 %, forudsat "rentesammensat".

Du kan erstatte en hvilken som helst procent- og tidsværdi (50% i 4 år), men det er bedre at indstille procentdelen til 100% for nemheds skyld (det viser sig 100% i 2 år). Ved at flytte til 100 % kan vi udelukkende fokusere på tidskomponenten:

e x = e procent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Naturligvis betyder e x:

hvor meget vil mit bidrag vokse efter x tidsenheder (forudsat 100 % kontinuerlig vækst).
for eksempel vil jeg efter 3 tidsintervaller modtage e 3 = 20,08 gange flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor, der viser, hvilket niveau vi vil vokse til i løbet af x tid.

Naturlig logaritme betyder tid

Den naturlige logaritme er det omvendte af e, et fancy udtryk for modsat. Apropos særheder; på latin hedder det logarithmus naturali, deraf forkortelsen ln.

Og hvad betyder denne inversion eller modsætning?

e x giver os mulighed for at erstatte tid og få vækst.
ln(x) giver os mulighed for at tage vækst eller indkomst og finde ud af den tid, det tager at generere den.

For eksempel:

e 3 er lig med 20.08. Efter tre perioder vil vi have 20,08 gange mere, end vi startede med.
ln(08/20) ville være cirka 3. Hvis du er interesseret i vækst på 20,08 gange, skal du bruge 3 tidsperioder (igen, forudsat 100 % kontinuerlig vækst).

Læser du stadig? Den naturlige logaritme viser den tid, det tager at nå det ønskede niveau.

Dette ikke-standard logaritmiske antal

Har du gennemgået logaritmer? mærkelige skabninger. Hvordan lykkedes det at omsætte multiplikation til addition? Hvad med division i subtraktion? Lad os se.

Hvad er ln(1) lig med? Intuitivt er spørgsmålet: hvor længe skal jeg vente på at få 1x mere end hvad jeg har?

Nul. Nul. Slet ikke. Du har det allerede en gang. Det tager ikke meget tid at gå fra niveau 1 til niveau 1.

ln(1) = 0

Okay, hvad med brøkværdien? Hvor lang tid vil det tage for os at have 1/2 af den tilgængelige mængde tilbage? Vi ved, at med 100 % kontinuerlig vækst betyder ln(2) den tid, det tager at fordoble. Hvis vi lad os skrue tiden tilbage(dvs. vent negativt lang tid), så får vi halvdelen af, hvad vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke? Går vi tilbage (tid tilbage) til 0,693 sekunder, finder vi halvdelen af det tilgængelige beløb. Generelt kan du vende brøken og tage negativ værdi: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyder, at hvis vi går tilbage i tiden til 1,09 gange, finder vi kun en tredjedel af det nuværende antal.

Okay, hvad med logaritmen af et negativt tal? Hvor lang tid tager det at "dyrke" en koloni af bakterier fra 1 til -3?

Dette er umuligt! Du kan ikke få et negativt bakterietal, vel? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på nul, men der er ingen måde, du kan få et negativt tal fra disse små væsner. I negativt tal bakterier giver bare ikke mening.

ln(negativt tal) = udefineret

"Udefineret" betyder, at der ikke er nogen tid, der skal vente på at få en negativ værdi.

Logaritmisk multiplikation er bare sjov

Hvor lang tid tager det at blive firdoblet? Selvfølgelig kan du bare tage ln(4). Men dette er for simpelt, vi vil gå den anden vej.

Du kan tænke på firdobbel vækst som fordobling (kræver ln(2) tidsenheder) og derefter fordobling igen (kræver endnu en ln(2) tidsenheder):

Tid til at vokse 4 gange = ln(4) = Tid til at fordoble og derefter fordoble igen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vækstrate, f.eks. 20, kan betragtes som en fordobling lige efter en stigning på 10 gange. Eller vækst med 4 gange, og derefter med 5 gange. Eller tredoble og derefter øges med 6.666 gange. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen af A gange B er log(A) + log(B). Dette forhold giver umiddelbart mening, når det ses i forhold til vækst.

Hvis du er interesseret i 30x vækst, kan du vente ln(30) i ét møde, eller vente ln(3) til tredobling, og derefter en anden ln(10) i 10x. Slutresultatet er det samme, så selvfølgelig skal tiden forblive konstant (og det gør den).

Hvad med division? Specifikt betyder ln(5/3): hvor lang tid vil det tage at vokse 5 gange og derefter få 1/3 af det?

Fantastisk, vækst med 5 gange er ln(5). En stigning på 1/3 gange vil tage -ln(3) tidsenheder. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Det betyder: lad det vokse 5 gange, og så "gå tilbage i tiden" til det punkt, hvor kun en tredjedel af den mængde er tilbage, så du får 5/3 vækst. Generelt viser det sig

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håber, at den mærkelige aritmetik af logaritmer begynder at give mening for dig: multiplicering af vækstrater bliver til at lægge væksttidsenheder sammen, og at dividere bliver til at trække tidsenheder fra. Ingen grund til at huske reglerne, prøv at forstå dem.

Brug af den naturlige logaritme til vilkårlig vækst

Nå, selvfølgelig," siger du, "det er alt sammen godt, hvis væksten er 100%, men hvad med de 5%, jeg får?"

Intet problem. Den "tid" vi beregner med ln() er faktisk en kombination af rente og tid, det samme X fra e x-ligningen. Vi har lige besluttet at indstille procentdelen til 100% for nemheds skyld, men vi kan frit bruge alle tal.

Lad os sige, at vi ønsker at opnå 30x vækst: tag ln(30) og få 3,4 Dette betyder:

e x = højde
e 3,4 = 30

Naturligvis betyder denne ligning "100 % afkast over 3,4 år giver 30x vækst." Vi kan skrive denne ligning som følger:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan ændre værdierne for "bet" og "tid", så længe indsatsen * tid forbliver 3,4. Hvis vi for eksempel er interesseret i 30x vækst, hvor længe skal vi så vente ved en rente på 5 %?

ln(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg ræsonnerer sådan her: "ln(30) = 3,4, så ved 100% vækst vil det tage 3,4 år. Hvis jeg fordobler vækstraten, vil den nødvendige tid blive halveret."

100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Fantastisk, ikke? Den naturlige logaritme kan bruges med enhver rente og tid, fordi deres produkt forbliver konstant. Du kan flytte variable værdier, så meget du vil.

Sejt eksempel: Regel om tooghalvfjerds

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknik, der giver dig mulighed for at vurdere, hvor lang tid det vil tage for dine penge at fordobles. Nu vil vi udlede det (ja!), og desuden vil vi forsøge at forstå dets essens.

Hvor lang tid vil det tage at fordoble dine penge til 100 % sammensat årligt?

Ups. Vi brugte den naturlige logaritme til tilfældet med kontinuerlig vækst, og nu taler du om årlig sammensætning? Ville denne formel ikke blive uegnet til sådan en sag? Ja, det vil det, men for realrenter som 5%, 6% eller endda 15% vil forskellen mellem årlig sammensætning og kontinuerlig vækst være lille. Så det groft estimat virker, øhm, nogenlunde, så vi vil foregive, at vi har en fuldstændig kontinuerlig optjening.

Nu er spørgsmålet enkelt: Hvor hurtigt kan du fordoble med 100 % vækst? ln(2) = 0,693. Det tager 0,693 enheder af tid (år i vores tilfælde) at fordoble vores beløb med en kontinuerlig stigning på 100%.

Så hvad nu hvis renten ikke er 100%, men siger 5% eller 10%?

Nemt! Da indsats * tid = 0,693, vil vi fordoble beløbet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / indsats

Det viser sig, at hvis væksten er 10%, vil det tage 0,693 / 0,10 = 6,93 år at fordoble.

For at forenkle beregningerne, lad os gange begge sider med 100, så kan vi sige "10" i stedet for "0,10":

tid til at fordoble = 69,3 / indsats, hvor indsatsen er udtrykt i procent.

Nu er det tid til at fordoble med en sats på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er dog ikke det mest bekvemme udbytte. Lad os vælge et tæt tal, 72, som er praktisk at dividere med 2, 3, 4, 6, 8 og andre tal.

tid til at fordoble = 72 / indsats

som er reglen om tooghalvfjerds. Alt er dækket.

Hvis du skal finde tiden til at tredoble, kan du bruge ln(3) ~ 109.8 og få

tid til at tredoble = 110 / indsats

Hvad er en anden nyttig regel. "Regelen om 72" gælder for højden renter, befolkningstilvækst, bakteriekulturer og alt, hvad der vokser eksponentielt.

Hvad er det næste?

Jeg håber, at den naturlige logaritme nu giver mening for dig - den viser den tid, det tager for ethvert tal at vokse eksponentielt. Jeg tror, det kaldes naturligt, fordi e er et universelt mål for vækst, så ln kan overvejes på en universel måde bestemme, hvor lang tid det tager at vokse.

Hver gang du ser ln(x), så husk "den tid det tager at vokse X gange". I en kommende artikel vil jeg beskrive e og ln i sammenhæng, så den friske duft af matematik vil fylde luften.

Tillæg: Naturlig logaritme af f.eks

Hurtig quiz: hvad er ln(e)?

en matematikrobot vil sige: da de er defineret som det omvendte af hinanden, er det indlysende, at ln(e) = 1.
forstående person: ln(e) er det antal gange, det tager at vokse "e" gange (ca. 2.718). Men selve tallet er et mål for vækst med en faktor 1, så ln(e) = 1.

Tænk klart.

9. september 2013

1.1. Bestemmelse af eksponenten for en heltalseksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N gange

1.2. Nul grader.

Per definition er det generelt accepteret, at nulpotensen af ethvert tal er 1:

1.3. Negativ grad.

X -N = 1/X N

1.4. Brøkkraft, rod.

X 1/N = N roden af X.

For eksempel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel til at tilføje kræfter.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formel for at trække potenser fra.

X (N-M) = XN/X M

1.7. Formel til multiplikation af magter.

X N*M = (X N) M

1.8. Formel til at hæve en brøkdel til en magt.

(X/Y) N = X N/Y N

2. Nummer e.

Værdien af tallet e er lig med følgende grænse:

E = lim(1+1/N), som N → ∞.

Med en nøjagtighed på 17 cifre er tallet e 2,71828182845904512.

3. Eulers ligestilling.

Denne lighed forbinder fem tal, der spiller en særlig rolle i matematik: 0, 1, e, pi, imaginær enhed.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentiel funktion exp(x)

exp(x) = e x

5. Afledt af eksponentiel funktion

Eksponentialfunktionen har en bemærkelsesværdig egenskab: den afledede af funktionen er lig med selve eksponentialfunktionen:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritme.

6.1. Definition af logaritmefunktionen

Hvis x = b y, så er logaritmen funktionen

Y = Log b(x).

Logaritmen viser til hvilken potens et tal skal hæves - logaritmen (b)'s basis for at opnå et givet tal (X). Logaritmefunktionen er defineret for X større end nul.

For eksempel: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logaritme

Dette er logaritmen til base 10:

Y = Log 10 (x).

Angivet med Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Eksempel på brug decimallogaritme- decibel.

6.3. Decibel

Punktet er fremhævet på en separat side Decibel

6.4. Binær logaritme

Dette er basis 2-logaritmen:

Y = Log 2 (x).

Angivet med Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Naturlig logaritme

Dette er logaritmen til base e:

Y = Log e (x) .

Angivet med Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Den naturlige logaritme er den inverse funktion af eksponentialfunktionen exp(X).

6.6. Karakteristiske punkter

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Produktlogaritmeformel

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formel for logaritme af kvotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formel for magtlogaritme

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel til konvertering til en logaritme med en anden base

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Eksempel:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formler nyttige i livet

Ofte er der problemer med at konvertere volumen til areal eller længde og det omvendte problem - at konvertere areal til volumen. For eksempel sælges brædder i terninger (kubikmeter), og vi skal beregne, hvor meget vægareal der kan dækkes med brædder indeholdt i et bestemt volumen, se beregning af brædder, hvor mange brædder der er i en terning. Eller hvis væggens dimensioner er kendt, skal du beregne antallet af mursten, se murstensberegning.

Det er tilladt at bruge webstedsmaterialer, forudsat at der er installeret et aktivt link til kilden.

Naturlig logaritme

Graf over den naturlige logaritmefunktion. Funktionen nærmer sig langsomt positiv uendelighed, efterhånden som den øges x og nærmer sig hurtigt negativ uendelighed når x har en tendens til 0 ("langsom" og "hurtig" sammenlignet med enhver power funktion fra x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grundtallet , Hvor e- en irrationel konstant lig med cirka 2,718281 828. Den naturlige logaritme skrives normalt som ln( x), log e (x) eller nogle gange bare logge( x), hvis basen e underforstået.

Naturlig logaritme af et tal x(skrevet som ln(x)) er den eksponent, som tallet skal hæves til e at få x. f.eks. ln(7.389...) er lig med 2 fordi e 2 =7,389... . Naturlig logaritme af selve tallet e (ln(e)) er lig med 1 fordi e 1 = e, og den naturlige logaritme er 1 ( ln(1)) er lig med 0 fordi e 0 = 1.

Den naturlige logaritme kan defineres for ethvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1/x fra 1 til -en. Enkelheden af denne definition, som er i overensstemmelse med mange andre formler, der bruger den naturlige logaritme, førte til navnet "naturlig". Denne definition kan udvides til komplekse tal, som det vil blive diskuteret nedenfor.

Hvis vi betragter den naturlige logaritme som en reel funktion af en reel variabel, så er det den inverse funktion af den eksponentielle funktion, der fører til identiteterne:

Som alle logaritmer kortlægger den naturlige logaritme multiplikation til addition:

Den logaritmiske funktion er således en isomorfi af gruppen af positive reelle tal med hensyn til multiplikation med gruppen af reelle tal med hensyn til addition, som kan repræsenteres som en funktion:

Logaritmen kan defineres for enhver anden positiv base end 1, ikke kun e, men logaritmer for andre baser adskiller sig kun fra den naturlige logaritme med en konstant faktor og defineres normalt ud fra den naturlige logaritme. Logaritmer er nyttige til at løse ligninger, der involverer ukendte som eksponenter. For eksempel bruges logaritmer til at finde henfaldskonstanten for en kendt halveringstid eller til at finde henfaldstiden ved løsning af radioaktivitetsproblemer. De spiller en vigtig rolle inden for mange områder af matematik og anvendt videnskab og bruges i finansiering til at løse mange problemer, herunder at finde renters rente.

Historie

Den første omtale af den naturlige logaritme blev lavet af Nicholas Mercator i hans arbejde Logaritmoteknik, udgivet i 1668, selvom matematiklærer John Spidell kompilerede en tabel over naturlige logaritmer tilbage i 1619. Den blev tidligere kaldt den hyperbolske logaritme, fordi den svarer til arealet under hyperbelen. Det kaldes nogle gange Napier-logaritmen, selvom den oprindelige betydning af dette udtryk var noget anderledes.

Udpegningskonventioner

Den naturlige logaritme betegnes normalt med "ln( x)", logaritme til base 10 - via "lg( x)", og andre årsager er normalt angivet eksplicit med symbolet "log".

I mange værker om diskret matematik, kybernetik og datalogi bruger forfattere notationen "log( x)" for logaritmer til base 2, men denne konvention er ikke generelt accepteret og kræver afklaring enten i listen over anvendte notationer eller (i mangel af en sådan liste) med en fodnote eller kommentar, når den bruges første gang.

Parenteser omkring logaritmerargumentet (hvis dette ikke fører til en fejlagtig læsning af formlen) udelades normalt, og når man hæver en logaritme til en potens, tildeles eksponenten direkte til logaritmens fortegn: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

angloamerikansk system

Matematikere, statistikere og nogle ingeniører bruger normalt udtrykket "naturlig logaritme" eller "log( x)" eller "ln( x)", og for at betegne logaritmen på basis 10 - "log 10 ( x)».

Nogle ingeniører, biologer og andre specialister skriver altid "ln( x)" (eller lejlighedsvis "log e ( x)"), når de betyder den naturlige logaritme, og notationen "log( x)" de betyder log 10 ( x).

log e er en "naturlig" logaritme, fordi den opstår automatisk og optræder meget ofte i matematik. Overvej for eksempel problemet med den afledede af en logaritmisk funktion:

Hvis basen b lig med e, så er den afledte simpelthen 1/ x, og hvornår x= 1 denne afledte er lig med 1. En anden grund til grunden e Det mest naturlige ved logaritmen er, at den ganske enkelt kan defineres i form af et simpelt integral eller Taylor-rækker, hvilket ikke kan siges om andre logaritmer.

Yderligere begrundelser for naturlighed er ikke relateret til notation. For eksempel er der flere simple serier med naturlige logaritmer. Pietro Mengoli og Nicholas Mercator kaldte dem logarithmus naturalis flere årtier indtil Newton og Leibniz udviklede differential- og integralregning.

Definition

Formelt ln( -en) kan defineres som arealet under kurven på grafen 1/ x fra 1 til -en, dvs. som et integral:

Det er i sandhed en logaritme, fordi den opfylder logaritmens grundlæggende egenskab:

Dette kan påvises ved at antage som følger:

Numerisk værdi

For at beregne den numeriske værdi af den naturlige logaritme af et tal, kan du bruge dens Taylor-serieudvidelse i form:

At få bedre hastighed konvergens, kan vi bruge følgende identitet:

forudsat at y = (x−1)/(x+1) og x > 0.

For ln( x), Hvor x> 1, jo tættere er værdien x til 1, så hurtigere hastighed konvergens. Identiteterne forbundet med logaritmen kan bruges til at nå målet:

Disse metoder blev brugt selv før fremkomsten af lommeregnere, for hvilke der blev brugt numeriske tabeller og manipulationer svarende til dem, der er beskrevet ovenfor.

Høj nøjagtighed

At beregne den naturlige logaritme med et stort antal nøjagtighedstal, er Taylor-serien ikke effektiv, fordi dens konvergens er langsom. Et alternativ er at bruge Newtons metode til at invertere til en eksponentiel funktion, hvis serie konvergerer hurtigere.

Et alternativ til meget høj beregningsnøjagtighed er formlen:

Hvor M angiver det aritmetisk-geometriske gennemsnit af 1 og 4/s, og

m valgt således s præg af nøjagtighed opnås. (I de fleste tilfælde er en værdi på 8 for m tilstrækkelig.) Faktisk, hvis denne metode bruges, kan Newtons inverse af den naturlige logaritme anvendes til effektivt at beregne eksponentialfunktionen. (Konstanterne ln 2 og pi kan forudberegnes til den ønskede nøjagtighed ved hjælp af en hvilken som helst af de kendte hurtigt konvergerende serier.)

Beregningsmæssig kompleksitet

Beregningskompleksiteten af naturlige logaritmer (ved anvendelse af det aritmetisk-geometriske middel) er O( M(n) ln n). Her n er antallet af præcisionscifre, for hvilke den naturlige logaritme skal evalueres, og M(n) er den beregningsmæssige kompleksitet ved at gange to n-cifrede tal.

Fortsat brøker

Selvom der ikke er nogen simple fortsatte brøker til at repræsentere en logaritme, kan flere generaliserede fortsatte brøker bruges, herunder:

Komplekse logaritmer

Den eksponentielle funktion kan udvides til en funktion, der giver et komplekst tal af formen e x for enhver vilkårlig komplekst tal x, i dette tilfælde en uendelig serie med kompleks x. Denne eksponentiel funktion kan inverteres for at danne en kompleks logaritme, som vil have de fleste egenskaber ved almindelige logaritmer. Der er dog to vanskeligheder: der er ingen x, for hvilket e x= 0, og det viser sig at e 2πi = 1 = e 0 . Da multiplikativitetsegenskaben er gyldig for en kompleks eksponentiel funktion, så e z = e z+2nπi for alle komplekse z og hel n.

Logaritmen kan ikke defineres over hele det komplekse plan, og alligevel er den multiværdi - enhver kompleks logaritme kan erstattes af en "ækvivalent" logaritme ved at tilføje et hvilket som helst heltalsmultipel af 2 πi. Den komplekse logaritme kan kun være en enkelt værdi på et udsnit af det komplekse plan. For eksempel, ln jeg = 1/2 πi eller 5/2 πi eller -3/2 πi osv., og selvom jeg 4 = 1,4 log jeg kan defineres som 2 πi eller 10 πi eller -6 πi, og så videre.

Se også

John Napier - opfinder af logaritmer

Noter

Matematik for fysisk kemi. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Uddrag af side 9
JJ O"Connor og EF Robertson Tallet e. MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Arkiveret
Cajori Florian A History of Mathematics, 5. udg. - AMS Boghandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimering af integraler ved hjælp af polynomier. Arkiveret fra originalen den 12. februar 2012.

Så vi har to beføjelser. Hvis du tager tallet fra bundlinjen, kan du nemt finde den magt, som du skal hæve to til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af logaritmen:

Grundlaget a logaritmen af x er den potens, som a skal hæves til for at få x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grundtallet, x er argumentet, b er hvad logaritmen faktisk er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af 8 er tre, fordi 2 3 = 8). Med samme succeslog 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Operationen med at finde logaritmen af et tal til en given base kaldes logaritmisering. Så lad os tilføje en ny linje til vores tabel:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Desværre er det ikke alle logaritmer, der beregnes så let. Prøv for eksempel at finde log 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем mere grad toere, jo større tal.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er vigtigt at forstå, at en logaritme er et udtryk med to variable (grundlaget og argumentet). I begyndelsen forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot se på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen skal indbygges i for at få et argument. Det er basen, der er hævet til en magt – den er fremhævet med rødt på billedet. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller mine elever denne vidunderlige regel i den allerførste lektion – og der opstår ingen forvirring.

Vi har fundet ud af definitionen - det eneste, der er tilbage, er at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi, at to vigtige fakta følger af definitionen:

Argumentet og grundtallet skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af en grad ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af en logaritme reduceres.
Basen skal være forskellig fra en, da en i nogen grad stadig forbliver en. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne begrænsninger kaldes område acceptable værdier (ODZ). Det viser sig, at ODZ for logaritmen ser sådan ud: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsninger på tallet b (værdien af logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende logaritmens CVD. Alle begrænsninger er allerede taget i betragtning af forfatterne af problemerne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder begynder, bliver kravene til DL obligatoriske. Grundlaget og argumentationen kan jo indeholde meget stærke konstruktioner, der ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Lad os nu se på det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

Udtryk grundtallet a og argumentet x som en potens med mindst mulig grundtal større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimaler;
Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er det! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil denne være synlig allerede i første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget vigtigt: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. Samme med decimaler: hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer ved hjælp af specifikke eksempler:

Opgave. Beregn logaritmen: log 5 25

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Vi fik svaret: 2.

Opgave. Beregn logaritmen:

Opgave. Beregn logaritmen: log 4 64

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Lad os skabe og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Vi fik svaret: 3.

Opgave. Beregn logaritmen: log 16 1

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Lad os skabe og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Vi fik svaret: 0.

Opgave. Beregn logaritmen: log 7 14

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke repræsenteres som en syv potens, da 7 1< 14 < 7 2 ;
Af det foregående afsnit følger, at logaritmen ikke tæller;
Svaret er ingen ændring: log 7 14.

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan kan du være sikker på, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Det er meget enkelt - tag det bare ind i hovedfaktorer. Hvis udvidelsen har mindst to forskellige faktorer, er tallet ikke en nøjagtig potens.

Opgave. Find ud af, om tallene er nøjagtige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - nøjagtig grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en nøjagtig potens, da der er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 · 5 - igen ikke en nøjagtig potens;
14 = 7 · 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

Vi bemærker også, at vi selv primtal er altid nøjagtige grader af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og symbol.

Decimallogaritmen af x er logaritmen til grundtal 10, dvs. Den potens, som tallet 10 skal hæves til for at opnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" dukker op i en lærebog, skal du vide: dette er ikke en tastefejl. Dette er en decimallogaritme. Men hvis du ikke er bekendt med denne notation, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen betegnelse. På nogle måder er det endnu vigtigere end decimal. Det handler om om den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme af x er logaritmen til basis e, dvs. den potens, hvortil tallet e skal hæves for at opnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørge: hvad er tallet e? Dette er et irrationelt tal, dets nøjagtige værdi umuligt at finde og registrere. Jeg vil kun give de første tal:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detaljer om, hvad dette nummer er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk, at e er basis for den naturlige logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af evt rationelt tal irrationel. Bortset naturligvis fra én: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, gyldige.