Skriv tal i trigonometriske og eksponentielle former. Foredrag om emnet: "Trigonometrisk form af et komplekst tal"

2.3. Trigonometrisk form af komplekse tal

Lad vektoren angives på det komplekse plan med tallet .

Lad os med φ betegne vinklen mellem den positive halvakse Ox og vektoren (vinklen φ betragtes som positiv, hvis den måles mod uret, og negativ ellers).

Lad os betegne længden af ​​vektoren med r. Så . Vi betegner også

Skrive et ikke-nul komplekst tal z i formen

kaldes den trigonometriske form af det komplekse tal z. Tallet r kaldes modulet af det komplekse tal z, og tallet φ kaldes argumentet for dette komplekse tal og betegnes med Arg z.

Trigonometrisk form for at skrive et komplekst tal - (Eulers formel) - eksponentiel form for at skrive et komplekst tal:

Det komplekse tal z har uendeligt mange argumenter: hvis φ0 er et hvilket som helst argument for tallet z, så kan alle de andre findes ved hjælp af formlen

For et komplekst tal er argumentet og den trigonometriske form ikke defineret.

Således er argumentet for et ikke-nul komplekst tal enhver løsning til ligningssystemet:

(3)

Værdien φ af argumentet for et komplekst tal z, der opfylder ulighederne, kaldes hovedværdien og betegnes med arg z.

Argumenterne Arg z og arg z er relateret til

, (4)

Formel (5) er en konsekvens af system (3), derfor opfylder alle argumenter for et komplekst tal lighed (5), men ikke alle løsninger φ af ligning (5) er argumenter for tallet z.

Hovedværdien af ​​argumentet for et komplekst tal, der ikke er nul, findes i henhold til formlerne:

Formler til at gange og dividere komplekse tal i trigonometrisk form er som følger:

. (7)

Når man hæver et komplekst tal til en naturlig potens, bruges Moivre-formlen:

Når man udtrækker roden af ​​et komplekst tal, bruges formlen:

, (9)

hvor k=0, 1, 2, …, n-1.

Opgave 54. Beregn hvor .

Lad os præsentere løsningen til dette udtryk i eksponentiel form for at skrive et komplekst tal: .

Hvis altså.

Så . Derfor altså Og , Hvor.

Svar: , kl.

Opgave 55. Skriv komplekse tal på trigonometrisk form:

A); b); V); G); d); e) ; og).

Da den trigonometriske form af et komplekst tal er , så:

a) I et komplekst tal: .

,

Det er derfor

b) , Hvor ,

G) , Hvor ,

e) .

og) , A , Det .

Det er derfor

Svar: ; 4; ; ; ; ; .

Opgave 56. Find den trigonometriske form af et komplekst tal

.

Lade .

Så , .

Siden og , , derefter , og

Derfor, derfor

Svar: , Hvor.

Opgave 57. Udfør følgende handlinger ved at bruge den trigonometriske form af et komplekst tal: .

Lad os forestille os tallene og i trigonometrisk form.

1), hvor Så

Find værdien af ​​hovedargumentet:

Lad os erstatte værdierne og ind i udtrykket, vi får

2) , hvor så

Så

3) Lad os finde kvotienten

Hvis vi antager k=0, 1, 2, får vi tre forskellige værdier af den ønskede rod:

Hvis, så

hvis, så

hvis, så .

Svar: :

:

: .

Opgave 58. Lad , , , være forskellige komplekse tal og . Bevis det

a) nummer er et reelt positivt tal;

b) ligheden gælder:

a) Lad os repræsentere disse komplekse tal i trigonometrisk form:

Fordi .

Lad os antage det. Så

.

Det sidste udtryk er et positivt tal, da sinustegnene indeholder tal fra intervallet.

siden nummeret ægte og positiv. Faktisk, hvis a og b er komplekse tal og er reelle og større end nul, så .

Udover,

derfor er den nødvendige lighed bevist.

Opgave 59. Skriv tallet på algebraisk form .

Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form og derefter finde dets algebraiske form. Det har vi . For vi får systemet:

Dette indebærer lighed: .

Anvendelse af Moivres formel: ,

vi får

Den trigonometriske form af det givne tal findes.

Lad os nu skrive dette tal i algebraisk form:

.

Svar: .

Opgave 60. Find summen , ,

Lad os overveje beløbet

Ved at anvende Moivres formel, finder vi

Denne sum er summen af ​​n led af en geometrisk progression med nævneren og det første medlem .

Ved at anvende formlen for summen af ​​led i en sådan progression har vi

At isolere den imaginære del i det sidste udtryk, finder vi

Ved at isolere den reelle del får vi også følgende formel: , , .

Opgave 61. Find summen:

EN) ; b) .

Ifølge Newtons formel for eksponentiering har vi

Ved hjælp af Moivres formel finder vi:

Ved at sidestille de reelle og imaginære dele af de resulterende udtryk for , har vi:

Og .

Disse formler kan skrives i kompakt form som følger:

,

, hvor er heltalsdelen af ​​tallet a.

Opgave 62. Find alle , for hvilke .

Fordi , derefter ved hjælp af formlen

, For at udvinde rødderne, får vi ,

Derfor, , ,

, .

Punkterne, der svarer til tallene, er placeret i hjørnerne af et kvadrat indskrevet i en cirkel med radius 2 med centrum i punktet (0;0) (fig. 30).

Svar: , ,

, .

Opgave 63. Løs ligningen , .

Efter betingelse ; derfor har denne ligning ikke en rod, og derfor svarer den til ligningen.

For at tallet z skal være roden til denne ligning, skal tallet være den n'te rod af tallet 1.

Herfra konkluderer vi, at den oprindelige ligning har rødder bestemt ud fra lighederne

,

Således,

,

dvs. ,

Svar: .

Opgave 64. Løs ligningen i mængden af ​​komplekse tal.

Da tallet ikke er roden til denne ligning, så svarer denne ligning til ligningen

Altså ligningen.

Alle rødder til denne ligning er opnået fra formlen (se opgave 62):

; ; ; ; .

Opgave 65. Tegn på det komplekse plan et sæt punkter, der opfylder ulighederne: . (2. måde at løse opgave 45 på)

Lade .

Komplekse tal med identiske moduler svarer til punkter i planet, der ligger på en cirkel centreret ved origo, derfor uligheden opfylde alle punkter i en åben ring afgrænset af cirkler med et fælles centrum ved origo og radier og (fig. 31). Lad et punkt af det komplekse plan svare til tallet w0. Antal , har et modul flere gange mindre end modulet w0, og et argument større end argumentet w0. Fra et geometrisk synspunkt kan punktet svarende til w1 opnås ved hjælp af en homoteti med et centrum ved origo og en koefficient, samt en drejning i forhold til origo med en vinkel mod uret. Som et resultat af at anvende disse to transformationer til ringens punkter (fig. 31), vil sidstnævnte forvandles til en ring afgrænset af cirkler med samme centrum og radier 1 og 2 (fig. 32).

Omdannelse implementeret ved hjælp af parallel overførsel til en vektor. Ved at overføre ringen med centrum i punktet til den angivne vektor får vi en ring af samme størrelse med midten i punktet (fig. 22).

Den foreslåede metode, der bruger ideen om geometriske transformationer af et fly, er sandsynligvis mindre bekvem at beskrive, men er meget elegant og effektiv.

Opgave 66. Find evt .

Lad , så og . Den indledende ligestilling vil tage formen . Fra betingelsen om lighed af to komplekse tal får vi , , hvorfra , . Således,.

Lad os skrive tallet z i trigonometrisk form:

, Hvor , . Ifølge Moivres formel finder vi .

Svar: – 64.

Opgave 67. For et komplekst tal, find alle komplekse tal sådan, at , og .

Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form:

. Herfra,. For det tal, vi får, kan være lig med eller .

I det første tilfælde , i den anden

.

svar:, .

Opgave 68. Find summen af ​​tal sådan, at . Angiv venligst et af disse tal.

Bemærk, at det ud fra selve problemformuleringen kan forstås, at summen af ​​ligningens rødder kan findes uden at beregne selve rødderne. Faktisk summen af ​​ligningens rødder er koefficienten for , taget med modsat fortegn (generaliseret Vietas sætning), dvs.

Elever, skoledokumentation, drager konklusioner om graden af ​​beherskelse af dette koncept. Opsummer studiet af funktionerne i matematisk tænkning og processen med dannelse af begrebet et komplekst tal. Beskrivelse af metoder. Diagnostisk: Fase I. Samtalen blev ført med en matematiklærer, der underviser i algebra og geometri i 10. klasse. Samtalen fandt sted efter nogen tid siden begyndelsen...

Resonans" (!)), som også omfatter en vurdering af egen adfærd. 4. Kritisk vurdering af ens forståelse af situationen (tvivl). 5. Endelig brug af anbefalinger fra juridisk psykologi (advokaten tager hensyn til det psykologiske aspekter af de udførte professionelle handlinger - professionelt psykologisk beredskab). Lad os nu overveje psykologisk analyse af juridiske fakta...

Matematik af trigonometrisk substitution og test af effektiviteten af ​​den udviklede undervisningsmetodologi. Arbejdstrin: 1. Udvikling af et valgfrit kursus om emnet: "Anvendelse af trigonometrisk substitution til løsning af algebraiske problemer" med elever i klasser med avanceret matematik. 2. Gennemførelse af det udviklede valgfag. 3. Udførelse af en diagnostisk test...

Kognitive opgaver er kun beregnet til at supplere eksisterende læremidler og skal være i en passende kombination med alle traditionelle midler og elementer i uddannelsesprocessen. Forskellen mellem uddannelsesmæssige problemer i undervisningen i humaniora og eksakte, fra matematiske problemer, er kun, at der i historiske problemer ikke findes formler, strenge algoritmer osv., som komplicerer deres løsning. ...

3.1. Polære koordinater

Bruges ofte på et fly polære koordinatsystem . Det er defineret, hvis et punkt O er givet, kaldet pol, og strålen, der udgår fra polen (for os er dette aksen Ox) – polær akse. Positionen af ​​punktet M er fastsat af to tal: radius (eller radiusvektor) og vinkel φ mellem polaksen og vektoren. Vinklen φ kaldes polar vinkel; målt i radianer og talt mod uret fra polaksen.

Positionen af ​​et punkt i det polære koordinatsystem er givet ved et ordnet talpar (r; φ). Ved polen r = 0, og φ er ikke defineret. For alle andre punkter r > 0, og φ er defineret op til et led, der er et multiplum af 2π. I dette tilfælde er par af tal (r; φ) og (r 1 ; φ 1) forbundet med det samme punkt, hvis .

Til et rektangulært koordinatsystem xOy De kartesiske koordinater for et punkt udtrykkes let i form af dets polære koordinater som følger:

3.2. Geometrisk fortolkning af komplekse tal

Lad os betragte et kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet xOy.

Ethvert komplekst tal z=(a, b) er knyttet til et punkt på planet med koordinater ( x, y), Hvor koordinat x = a, dvs. den reelle del af det komplekse tal, og koordinaten y = bi er den imaginære del.

Et plan, hvis punkter er komplekse tal, er et komplekst plan.

På figuren er det komplekse tal z = (a, b) svarer til et punkt M(x, y).

Øvelse.Tegn komplekse tal på koordinatplanet:

3.3. Trigonometrisk form af et komplekst tal

Et komplekst tal på planet har koordinaterne til et punkt M(x;y). I dette tilfælde:

At skrive et komplekst tal - trigonometrisk form af et komplekst tal.

Tallet r kaldes modul komplekst tal z og er udpeget. Modulus er et ikke-negativt reelt tal. For .

Modulet er nul hvis og kun hvis z = 0, dvs. a = b = 0.

Tallet φ kaldes argument z og er udpeget. Argumentet z er defineret tvetydigt, ligesom den polære vinkel i det polære koordinatsystem, nemlig op til et led, der er et multiplum af 2π.

Så accepterer vi: , hvor φ er den mindste værdi af argumentet. Det er indlysende

.

Når man studerer emnet mere i dybden, introduceres et hjælpeargument φ*, således at

Eksempel 1. Find den trigonometriske form af et komplekst tal.

Løsning. 1) overvej modulet: ;

2) leder efter φ: ;

3) trigonometrisk form:

Eksempel 2. Find den algebraiske form af et komplekst tal .

Her er det nok at erstatte værdierne af trigonometriske funktioner og transformere udtrykket:

Eksempel 3. Find modul og argument for et komplekst tal;

1) ;

2); φ – i 4 kvartaler:

3.4. Operationer med komplekse tal i trigonometrisk form

· Addition og subtraktion Det er mere bekvemt at gøre med komplekse tal i algebraisk form:

· Multiplikation– ved hjælp af simple trigonometriske transformationer kan det påvises Når der multipliceres, multipliceres talmodulerne, og argumenterne tilføjes: ;

KOMPLEKSE NUMMER XI

§ 256. Trigonometrisk form af komplekse tal

Lad et komplekst tal a + bi svarer til vektor O.A.> med koordinater ( a, b ) (se fig. 332).

Lad os betegne længden af ​​denne vektor med r , og den vinkel den danner med aksen X , igennem φ . Per definition af sinus og cosinus:

-en / r =cos φ , b / r = synd φ .

Det er derfor EN = r cos φ , b = r synd φ . Men i dette tilfælde det komplekse tal a + bi kan skrives som:

a + bi = r cos φ + ir synd φ = r (cos φ + jeg synd φ ).

Som du ved, er kvadratet af længden af ​​enhver vektor lig med summen af ​​kvadraterne af dens koordinater. Det er derfor r 2 = -en 2 + b 2, hvorfra r = √a 2 + b 2

Så, ethvert komplekst tal a + bi kan repræsenteres i formen :

a + bi = r (cos φ + jeg synd φ ), (1)

hvor r = √a 2 + b 2 og vinklen φ bestemmes ud fra betingelsen:

Denne form for at skrive komplekse tal kaldes trigonometrisk.

Antal r i formel (1) kaldes modul, og vinklen φ - argument, komplekst tal a + bi .

Hvis et komplekst tal a + bi er ikke lig med nul, så er dens modul positiv; hvis a + bi = 0, så a = b = 0 og derefter r = 0.

Modulet for ethvert komplekst tal er entydigt bestemt.

Hvis et komplekst tal a + bi er ikke lig med nul, så bestemmes dens argument af formlerne (2) definitivt nøjagtig til en vinkel delelig med 2 π . Hvis a + bi = 0, så a = b = 0. I dette tilfælde r = 0. Ud fra formel (1) er det let at forstå det som et argument φ i dette tilfælde kan du vælge enhver vinkel: trods alt for enhver φ

0 (cos φ + jeg synd φ ) = 0.

Derfor er null-argumentet udefineret.

Modulus af et komplekst tal r undertiden betegnet | z |, og argumentet arg z . Lad os se på et par eksempler på at repræsentere komplekse tal i trigonometrisk form.

Eksempel. 1. 1 + jeg .

Lad os finde modulet r og argumentation φ dette nummer.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Derfor synd φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, hvorfra φ = π / 4 + 2nπ .

Således,

1 + jeg = √ 2 ,

Hvor n - ethvert heltal. Normalt, fra det uendelige sæt af værdier af argumentet for et komplekst tal, vælges en, der er mellem 0 og 2 π . I dette tilfælde er denne værdi π / 4. Det er derfor

1 + jeg = √ 2 (cos π / 4 + jeg synd π / 4)

Eksempel 2. Skriv et komplekst tal på trigonometrisk form √ 3 - jeg . Vi har:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, synd φ = - 1 / 2

Derfor op til en vinkel delelig med 2 π , φ = 11 / 6 π ; derfor,

√ 3 - jeg = 2(cos 11/6 π + jeg synd 11/6 π ).

Eksempel 3 Skriv et komplekst tal på trigonometrisk form jeg.

Kompleks tal jeg svarer til vektor O.A.> , der slutter ved punkt A på aksen på med ordinat 1 (fig. 333). Længden af ​​en sådan vektor er 1, og den vinkel den laver med x-aksen er lig med π / 2. Det er derfor

jeg =cos π / 2 + jeg synd π / 2 .

Eksempel 4. Skriv det komplekse tal 3 på trigonometrisk form.

Det komplekse tal 3 svarer til vektoren O.A. > X abscisse 3 (fig. 334).

Længden af ​​sådan en vektor er 3, og den vinkel den laver med x-aksen er 0. Derfor

3 = 3 (cos 0 + jeg synd 0),

Eksempel 5. Skriv det komplekse tal -5 på trigonometrisk form.

Det komplekse tal -5 svarer til en vektor O.A.> slutter ved et aksepunkt X med abscisse -5 (fig. 335). Længden af ​​en sådan vektor er 5, og den vinkel den danner med x-aksen er lig med π . Det er derfor

5 = 5(cos π + jeg synd π ).

Øvelser

2047. Skriv disse komplekse tal i trigonometrisk form, og definer deres moduler og argumenter:

1) 2 + 2√3 jeg , 4) 12jeg - 5; 7).3jeg ;

2) √3 + jeg ; 5) 25; 8) -2jeg ;

3) 6 - 6jeg ; 6) - 4; 9) 3jeg - 4.

2048. Angiv på planen et sæt punkter, der repræsenterer komplekse tal, hvis moduli r og argumenter φ opfylder betingelserne:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kan tal samtidigt være modulet af et komplekst tal? r Og - r ?

2050. Kan argumentet for et komplekst tal samtidig være vinkler? φ Og - φ ?

Præsenter disse komplekse tal i trigonometrisk form, og definere deres moduler og argumenter:

2051*. 1 + cos α + jeg synd α . 2054*. 2 (cos 20° - jeg sin 20°).

2052*. synd φ + jeg cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - jeg synd 15°).

Foredrag

Trigonometrisk form af et komplekst tal

Plan

1. Geometrisk fremstilling af komplekse tal.

2. Trigonometrisk notation af komplekse tal.

3. Handlinger på komplekse tal i trigonometrisk form.

Geometrisk repræsentation af komplekse tal.

a) Komplekse tal repræsenteres af punkter på et plan i henhold til følgende regel: -en + bi = M ( -en ; b ) (Fig. 1).

Figur 1

b) Et komplekst tal kan repræsenteres af en vektor, der begynder ved punktetOM og enden ved et givet punkt (fig. 2).

Figur 2

Eksempel 7. Konstruer punkter, der repræsenterer komplekse tal:1; - jeg ; - 1 + jeg ; 2 – 3 jeg (Fig. 3).

Figur 3

Trigonometrisk notation af komplekse tal.

Kompleks talz = -en + bi kan angives ved hjælp af radiusvektoren med koordinater( -en ; b ) (Fig. 4).

Figur 4

Definition . Vektor længde , der repræsenterer et komplekst talz , kaldes modulet af dette tal og betegnes ellerr .

For ethvert komplekst talz sit modulr = | z | bestemmes entydigt af formlen .

Definition . Størrelsen af ​​vinklen mellem den positive retning af den reelle akse og vektoren , der repræsenterer et komplekst tal, kaldes argumentet for dette komplekse tal og betegnesEN rg z ellerφ .

Kompleks talargumentz = 0 ikke defineret. Kompleks talargumentz≠ 0 – en mængde med flere værdier og bestemmes inden for et led2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Hvorarg z – hovedværdien af ​​argumentet indeholdt i intervallet(-π; π] , altså-π < arg z ≤ π (nogle gange tages en værdi, der hører til intervallet, som argumentets hovedværdi .

Denne formel nårr =1 ofte kaldet Moivres formel:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Eksempel 11: Beregn(1 + jeg ) 100 .

Lad os skrive et komplekst tal1 + jeg i trigonometrisk form.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +jeg synder )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i synd ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Udtræk kvadratroden af ​​et komplekst tal.

Når man tager kvadratroden af ​​et komplekst tal-en + bi vi har to sager:

Hvisb >o , Det ;