Bestemt integral af en potensfunktion. Integrering af produktet af potensfunktioner af sin x og cos x

Komplekse integraler

Denne artikel afslutter emnet for ubestemte integraler og inkluderer integraler, som jeg finder ret komplekse. Lektionen blev oprettet efter gentagne anmodninger fra besøgende, der udtrykte deres ønske om, at vanskeligere eksempler blev analyseret på webstedet.

Det forudsættes, at læseren af denne tekst er velforberedt og forstår at anvende grundlæggende integrationsteknikker. Dummies og folk, der ikke er særlig sikre på integraler, bør henvise til den allerførste lektion - Ubestemt integral. Eksempler på løsninger, hvor du kan mestre emnet næsten fra bunden. Mere erfarne studerende kan blive fortrolige med teknikker og metoder til integration, som endnu ikke er stødt på i mine artikler.

Hvilke integraler vil blive overvejet?

Først vil vi overveje integraler med rødder, til hvilken løsning vi successivt bruger variabel udskiftning Og integration af dele. Det vil sige, at i et eksempel kombineres to teknikker på én gang. Og endnu mere.

Så vil vi stifte bekendtskab med interessant og originalt metode til at reducere integralen til sig selv. En hel del integraler løses på denne måde.

Det tredje nummer af programmet vil være integraler af komplekse fraktioner, som fløj forbi kassen i tidligere artikler.

For det fjerde vil yderligere integraler fra trigonometriske funktioner blive analyseret. Der er især metoder, der undgår tidskrævende universel trigonometrisk substitution.

(2) I integrandfunktionen dividerer vi tælleren med nævneren led for led.

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral. I det sidste integral med det samme sæt funktionen under differentialtegnet.

(4) Vi tager de resterende integraler. Bemærk, at i en logaritme kan du bruge parenteser i stedet for et modul, da .

(5) Vi udfører en omvendt udskiftning, der udtrykker "te" fra den direkte udskiftning:

Masochistiske studerende kan differentiere svaret og få den originale integrand, som jeg lige har gjort. Nej, nej, jeg foretog kontrollen i den rigtige forstand =)

Som du kan se, var vi i løbet af løsningen nødt til at bruge mere end to løsningsmetoder, så for at håndtere sådanne integraler har du brug for selvsikre integrationsevner og en del erfaring.

I praksis er kvadratroden selvfølgelig mere almindelig her er tre eksempler på at løse det selv:

Eksempel 2

Find det ubestemte integral

Eksempel 3

Find det ubestemte integral

Eksempel 4

Find det ubestemte integral

Disse eksempler er af samme type, så den komplette løsning i slutningen af artiklen vil kun være for eksempel 2. Eksempel 3-4 har de samme svar. Hvilken erstatning man skal bruge i begyndelsen af beslutninger, synes jeg, er indlysende. Hvorfor valgte jeg eksempler af samme type? Findes ofte i deres rolle. Oftere, måske bare sådan noget .

Men ikke altid, når der under arctangens, sinus, cosinus, eksponentiel og andre funktioner er en rod af en lineær funktion, skal du bruge flere metoder på én gang. I en række tilfælde er det muligt at "komme let af", det vil sige umiddelbart efter udskiftningen opnås et simpelt integral, som nemt kan tages. Den nemmeste af de ovenfor foreslåede opgaver er eksempel 4, hvor der efter udskiftning opnås et relativt simpelt integral.

Ved at reducere integralen til sig selv

En finurlig og smuk metode. Lad os tage et kig på klassikerne i genren:

Eksempel 5

Find det ubestemte integral

Under roden er et kvadratisk binomial, og forsøg på at integrere dette eksempel kan give tekanden hovedpine i timevis. Et sådant integral tages i dele og reduceres til sig selv. I princippet er det ikke svært. Hvis du ved hvordan.

Lad os betegne det pågældende integral med et latinsk bogstav og begynde løsningen:

Lad os integrere efter dele:

(1) Forbered integrand-funktionen til term-for-term division.

(2) Vi deler integrandfunktionsleddet efter led. Det er måske ikke klart for alle, men jeg vil beskrive det mere detaljeret:

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral.

(4) Tag det sidste integral ("lang" logaritme).

Lad os nu se på begyndelsen af løsningen:

Og til sidst:

Hvad skete der? Som et resultat af vores manipulationer blev integralet reduceret til sig selv!

Lad os sætte lighedstegn mellem begyndelsen og slutningen:

Flyt til venstre side med et skift af tegn:

Og vi flytter de to til højre side. Som et resultat:

Konstanten skulle strengt taget have været tilføjet tidligere, men jeg tilføjede den til sidst. Jeg anbefaler stærkt at læse, hvad sværhedsgraden er her:

Note: Mere strengt ser den sidste fase af løsningen sådan ud:

Således:

Konstanten kan omdesignes af . Hvorfor kan det omdesignes? For han accepterer det stadig enhver værdier, og i denne forstand er der ingen forskel mellem konstanter og.
Som et resultat:

Et lignende trick med konstant renotation er meget brugt i differentialligninger. Og der vil jeg være streng. Og her tillader jeg kun sådan en frihed for ikke at forvirre dig med unødvendige ting og for at fokusere opmærksomheden netop på selve integrationsmetoden.

Eksempel 6

Find det ubestemte integral

Et andet typisk integral til uafhængig løsning. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen. Der vil være forskel på svaret i det foregående eksempel!

Hvis der under kvadratroden er et kvadrattrinomium, så kommer løsningen under alle omstændigheder ned til to analyserede eksempler.

Overvej for eksempel integralet . Alt du skal gøre er først vælg en komplet firkant:
.
Dernæst udføres en lineær udskiftning, som gør "uden konsekvenser":
, hvilket resulterer i integralet . Noget velkendt, ikke?

Eller dette eksempel med et kvadratisk binomial:
Vælg en komplet firkant:
Og efter lineær udskiftning opnår vi integralet, som også løses ved hjælp af den allerede diskuterede algoritme.

Lad os se på to mere typiske eksempler på, hvordan man reducerer et integral til sig selv:
– integral af eksponentialet ganget med sinus;
– integral af eksponentialet ganget med cosinus.

I de anførte integraler efter dele bliver du nødt til at integrere to gange:

Eksempel 7

Find det ubestemte integral

Integranden er eksponentialet ganget med sinus.

Vi integrerer i dele to gange og reducerer integralet til sig selv:

Som et resultat af dobbelt integration af dele blev integralet reduceret til sig selv. Vi sidestiller begyndelsen og slutningen af løsningen:

Vi flytter det til venstre side med et tegnskifte og udtrykker vores integral:

Parat. Samtidig er det tilrådeligt at rede højre side, dvs. tag eksponenten ud af parentes, og placer sinus og cosinus i parentes i en "smuk" rækkefølge.

Lad os nu gå tilbage til begyndelsen af eksemplet, eller mere præcist, til integration efter dele:

Vi betegnede eksponenten som. Spørgsmålet opstår: er det eksponenten, der altid skal betegnes med ? Ikke nødvendigvis. Faktisk i det betragtede integral grundlæggende betyder ikke noget, hvad mener vi med , vi kunne være gået den anden vej:

Hvorfor er dette muligt? Fordi det eksponentielle bliver til sig selv (både under differentiering og integration), bliver sinus og cosinus gensidigt til hinanden (igen, både under differentiering og integration).

Det vil sige, at vi også kan betegne en trigonometrisk funktion. Men i det betragtede eksempel er dette mindre rationelt, da brøker vises. Hvis du ønsker det, kan du prøve at løse dette eksempel ved at bruge den anden metode, svarene skal matche.

Eksempel 8

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Før du beslutter dig, så tænk på, hvad der er mere rentabelt i dette tilfælde at betegne med , en eksponentiel funktion eller en trigonometrisk funktion? Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Og, selvfølgelig, glem ikke, at de fleste af svarene i denne lektion er ret nemme at kontrollere ved differentiering!

De overvejede eksempler var ikke de mest komplekse. I praksis er integraler mere almindelige, hvor konstanten er både i eksponenten og i argumentet for den trigonometriske funktion, for eksempel: . Mange mennesker vil blive forvirrede i sådan et integral, og jeg bliver ofte selv forvirret. Faktum er, at der er stor sandsynlighed for, at der dukker brøker op i løsningen, og det er meget nemt at miste noget ved skødesløshed. Derudover er der stor sandsynlighed for en fejl i fortegnene, bemærk at eksponenten har et minustegn, og dette introducerer yderligere vanskeligheder.

På den sidste fase er resultatet ofte noget som dette:

Selv i slutningen af løsningen skal du være ekstremt forsigtig og forstå brøkerne korrekt:

Integration af komplekse brøker

Vi nærmer os langsomt lektionens ækvator og begynder at overveje integraler af brøker. Igen, ikke alle af dem er super komplekse, det er bare, at eksemplerne af den ene eller anden grund var lidt "off topic" i andre artikler.

Fortsætter temaet rødder

Eksempel 9

Find det ubestemte integral

I nævneren under roden er der et kvadratisk trinomium plus et "vedhæng" i form af et "X" uden for roden. Et integral af denne type kan løses ved hjælp af en standardsubstitution.

Vi beslutter:

Udskiftningen her er enkel:

Lad os se på livet efter udskiftning:

(1) Efter substitution reducerer vi termerne under roden til en fællesnævner.
(2) Vi tager det ud under roden.
(3) Tælleren og nævneren reduceres med . På samme tid, under roden, omarrangerede jeg vilkårene i en passende rækkefølge. Med en vis erfaring kan trin (1), (2) springes over, idet de kommenterede handlinger udføres mundtligt.
(4) Det resulterende integral, som du husker fra lektionen Integrering af nogle brøker, bliver besluttet komplet kvadratisk ekstraktionsmetode. Vælg en komplet firkant.
(5) Ved integration opnår vi en almindelig "lang" logaritme.
(6) Vi udfører den omvendte udskiftning. Hvis først , så tilbage: .
(7) Den endelige handling er rettet mod at rette resultatet: Under roden bringer vi igen vilkårene til en fællesnævner og tager dem ud under roden.

Eksempel 10

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Her tilføjes en konstant til det enlige "X", og erstatningen er næsten den samme:

Det eneste du skal gøre yderligere er at udtrykke "x" fra den udskiftning, der udføres:

Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Nogle gange i et sådant integral kan der være et kvadratisk binomium under roden, dette ændrer ikke løsningsmetoden, det vil være endnu enklere. Mærk forskellen:

Eksempel 11

Find det ubestemte integral

Eksempel 12

Find det ubestemte integral

Korte løsninger og svar i slutningen af lektionen. Det skal bemærkes, at eksempel 11 er nøjagtigt binomial integral, hvis løsningsmetode blev diskuteret i klassen Integraler af irrationelle funktioner.

Integral af et uopløseligt polynomium af 2. grad i potensen

(polynomium i nævneren)

En mere sjælden type integral, men ikke desto mindre stødt på i praktiske eksempler.

Eksempel 13

Find det ubestemte integral

Men lad os vende tilbage til eksemplet med lykketal 13 (helt ærligt, jeg gættede ikke rigtigt). Dette integral er også et af dem, der kan være ret frustrerende, hvis du ikke ved, hvordan du løser det.

Løsningen starter med en kunstig transformation:

Jeg tror, at alle allerede forstår, hvordan man dividerer tælleren med nævneren, led for led.

Det resulterende integral er taget i dele:

For et integral af formen ( – naturligt tal) udleder vi tilbagevendende reduktionsformel:
, Hvor – integral af en grad lavere.

Lad os verificere gyldigheden af denne formel for det løste integral.
I dette tilfælde: , , bruger vi formlen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Prøveopløsningen bruger ovenstående formel to gange efter hinanden.

Hvis under graden er udelelige kvadrattrinomial, så reduceres løsningen til et binomium ved at isolere det perfekte kvadrat, for eksempel:

Hvad hvis der er et ekstra polynomium i tælleren? I dette tilfælde bruges metoden med ubestemte koefficienter, og integranden udvides til en sum af fraktioner. Men i min praksis er der sådan et eksempel aldrig mødt, så jeg savnede denne sag i artiklen Integraler af brøk-rationelle funktioner, jeg springer det over nu. Hvis du stadig støder på sådan en integral, så se på lærebogen - alt er enkelt der. Jeg tror ikke, det er tilrådeligt at inkludere materiale (selv simple), sandsynligheden for at støde på, som har en tendens til nul.

Integrering af komplekse trigonometriske funktioner

Adjektivet "kompliceret" for de fleste eksempler er igen stort set betinget. Lad os starte med tangenter og cotangenter i høje potenser. Med hensyn til de anvendte løsningsmetoder er tangent og cotangens næsten det samme, så jeg vil tale mere om tangent, hvilket antyder, at den demonstrerede metode til løsning af integralet også er gyldig for cotangens.

I ovenstående lektion kiggede vi på universel trigonometrisk substitution til at løse en bestemt type integraler af trigonometriske funktioner. Ulempen ved universel trigonometrisk substitution er, at dens brug ofte resulterer i besværlige integraler med vanskelige beregninger. Og i nogle tilfælde kan universel trigonometrisk substitution undgås!

Lad os overveje et andet kanonisk eksempel, integralet af en divideret med sinus:

Eksempel 17

Find det ubestemte integral

Her kan du bruge universel trigonometrisk substitution og få svaret, men der er en mere rationel måde. Jeg vil give den komplette løsning med kommentarer til hvert trin:

(1) Vi bruger den trigonometriske formel for sinus af en dobbelt vinkel.
(2) Vi udfører en kunstig transformation: Divider i nævneren og gange med .
(3) Ved hjælp af den velkendte formel i nævneren omdanner vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(5) Tag integralet.

Et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 18

Find det ubestemte integral

Bemærk: Det allerførste trin bør være at bruge reduktionsformlen og udfør omhyggeligt handlinger svarende til det foregående eksempel.

Eksempel 19

Find det ubestemte integral

Nå, dette er et meget simpelt eksempel.

Fuldstændige løsninger og svar i slutningen af lektionen.

Jeg tror nu, at ingen vil have problemer med integraler:
osv.

Hvad er ideen med metoden? Ideen er at bruge transformationer og trigonometriske formler til kun at organisere tangenter og tangentafledte i integranden. Det vil sige, vi taler om at erstatte: . I eksempel 17-19 brugte vi faktisk denne erstatning, men integralerne var så enkle, at vi klarede os med en ækvivalent handling - at indordne funktionen under differentialtegnet.

Lignende ræsonnement, som jeg allerede har nævnt, kan udføres for cotangenten.

Der er også en formel forudsætning for at anvende ovenstående erstatning:

Summen af potenserne af cosinus og sinus er et negativt heltal LIGE tal, For eksempel:

for integralet – et negativt heltal LIGE tal.

! Note : hvis integranden KUN indeholder en sinus eller KUN en cosinus, så tages integralet også for en negativ ulige grad (de simpleste tilfælde er i eksempel nr. 17, 18).

Lad os se på et par mere meningsfulde opgaver baseret på denne regel:

Eksempel 20

Find det ubestemte integral

Summen af potenserne af sinus og cosinus: 2 – 6 = –4 er et negativt heltal LIGE tal, hvilket betyder, at integralet kan reduceres til tangenter og dets afledede:

(1) Lad os transformere nævneren.
(2) Ved at bruge den velkendte formel får vi .
(3) Lad os omdanne nævneren.
(4) Vi bruger formlen .
(5) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(6) Vi udfører udskiftning. Mere erfarne elever udfører måske ikke udskiftningen, men det er stadig bedre at erstatte tangenten med ét bogstav - der er mindre risiko for at blive forvirret.

Eksempel 21

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Hold da op, mesterskabsrunderne er ved at begynde =)

Ofte indeholder integranden en "hodgepodge":

Eksempel 22

Find det ubestemte integral

Dette integral indeholder til at begynde med en tangent, som umiddelbart leder til en allerede kendt tanke:

Jeg vil forlade den kunstige transformation i begyndelsen og de resterende trin uden kommentarer, da alt allerede er blevet diskuteret ovenfor.

Et par kreative eksempler til din egen løsning:

Eksempel 23

Find det ubestemte integral

Eksempel 24

Find det ubestemte integral

Ja, i dem kan du selvfølgelig sænke potenserne af sinus og cosinus og bruge en universel trigonometrisk substitution, men løsningen vil være meget mere effektiv og kortere, hvis den udføres gennem tangenter. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen

Rektorintegraler, som enhver elev bør kende

De anførte integraler er grundlaget, grundlaget for de fundamentale. Disse formler bør absolut huskes. Når du beregner mere komplekse integraler, bliver du nødt til at bruge dem konstant.

Vær særlig opmærksom på formlerne (5), (7), (9), (12), (13), (17) og (19). Glem ikke at tilføje en vilkårlig konstant C til dit svar, når du integrerer!

Integral af en konstant

∫ A d x = A x + C (1)

Integrering af en Power-funktion

Faktisk var det muligt at begrænse os til kun formlerne (5) og (7), men resten af integralerne fra denne gruppe forekommer så ofte, at det er værd at være lidt opmærksom på dem.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integraler af eksponentielle funktioner og hyperbolske funktioner

Naturligvis kan formel (8) (måske den mest bekvemme til memorering) betragtes som et særligt tilfælde af formel (9). Formlerne (10) og (11) for integralerne af hyperbolsk sinus og hyperbolsk cosinus er let afledt af formel (8), men det er bedre blot at huske disse relationer.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grundlæggende integraler af trigonometriske funktioner

En fejl, som eleverne ofte begår, er, at de forveksler tegnene i formlerne (12) og (13). Når man husker, at den afledede af sinus er lig med cosinus, tror mange af en eller anden grund, at integralet af funktionen sinx er lig med cosx. Dette er ikke sandt! Integralet af sinus er lig med "minus cosinus", men integralet af cosx er lig med "kun sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integraler, der reducerer til inverse trigonometriske funktioner

Formel (16), der fører til arctangensen, er naturligvis et specialtilfælde af formel (17) for a=1. Tilsvarende er (18) et specialtilfælde af (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mere komplekse integraler

Det er også tilrådeligt at huske disse formler. De bruges også ret ofte, og deres output er ret kedeligt.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Generelle regler for integration

1) Integralet af summen af to funktioner er lig med summen af de tilsvarende integraler: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integralet af forskellen mellem to funktioner er lig med forskellen mellem de tilsvarende integraler: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanten kan tages ud af integraletegnet: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Det er let at se, at ejendom (26) blot er en kombination af egenskaber (25) og (27).

4) Integral af en kompleks funktion, hvis den indre funktion er lineær: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Her er F(x) en antiderivat for funktionen f(x). Bemærk venligst: denne formel virker kun, når den indre funktion er Axe + B.

Vigtigt: der er ingen universel formel for integralet af produktet af to funktioner såvel som for integralet af en brøk:

Lad os bruge formlerne (25) og (26) (integralet af summen eller forskellen af funktioner er lig med summen eller forskellen af de tilsvarende integraler. Vi får: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Lad os huske, at konstanten kan tages ud af integraltegnet (formel (27)). Udtrykket konverteres til formen

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

Lad os nu bare bruge tabellen over grundlæggende integraler. Vi bliver nødt til at anvende formlerne (3), (12), (8) og (1). Lad os integrere potensfunktionen, sinus, eksponentiel og konstant 1. Glem ikke at tilføje en vilkårlig konstant C til sidst:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Efter elementære transformationer får vi det endelige svar:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Test dig selv ved differentiering: Tag den afledede af den resulterende funktion og sørg for, at den er lig med den oprindelige integrand.

Oversigtstabel over integraler

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

Det er vist, at integralet af produktet af potensfunktioner af sin x og cos x kan reduceres til integralet af et differentielt binomium. For heltalsværdier af eksponenter beregnes sådanne integraler let af dele eller ved hjælp af reduktionsformler. Udledningen af reduktionsformlerne er givet. Et eksempel på beregning af et sådant integral er givet.

Tilfreds

Se også:
Tabel over ubestemte integraler

Reduktion til integralet af et differentialt binomium

Lad os overveje integraler af formen:

Sådanne integraler reduceres til integralet af differentialbinomialet for en af substitutionerne t = synd x eller t = fordi x.

Lad os demonstrere dette ved at udføre substitutionen
t = synd x.
Så
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;

Hvis m og n er rationelle tal, skal der anvendes differentielle binomiale integrationsmetoder.

Integration med heltal m og n

Overvej derefter tilfældet, når m og n er heltal (ikke nødvendigvis positive). I dette tilfælde er integranden en rationel funktion af synd x Og fordi x.

Derfor kan du anvende reglerne præsenteret i afsnittet "Integration af trigonometriske rationelle funktioner".

Men under hensyntagen til de specifikke funktioner er det lettere at bruge reduktionsformler, som let opnås ved integration af dele.

Reduktionsformler

Reduktionsformler for integralet

;
;
;
.

har formen:

Der er ingen grund til at huske dem, da de let opnås ved at integrere med dele.

Bevis for reduktionsformler

Lad os integrere efter dele.

Ved at gange med m + n får vi den første formel:

På samme måde opnår vi den anden formel.

Lad os integrere efter dele.

Ved at gange med m + n får vi den anden formel:

På samme måde opnår vi den anden formel.

Tredje formel. + 1 Gang med n

, får vi den tredje formel:

På samme måde opnår vi den anden formel.

Tilsvarende for den fjerde formel. + 1 Gang med m

, får vi den fjerde formel:

Eksempel

Lad os beregne integralet:

Lad os transformere: Her m.

= 10, n = - 4

Vi anvender reduktionsformlen: Her m:

Vi anvender reduktionsformlen: Ved m:

= 10, n = - 4

Vi anvender reduktionsformlen: = 8, n = - 2:

Vi anvender reduktionsformlen: = 6, n = - 0:

Vi anvender reduktionsformlen: = 4, n = - 0:

= 2, n = - 0

Vi beregner det resterende integral:

Vi samler mellemresultater i én formel.
Brugt litteratur:

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, "Lan", 2003.

Se også:

Hej igen venner!

Som jeg lovede, vil vi med denne lektion begynde at udforske de endeløse vidder af integralernes poetiske verden og begynde at løse en lang række (nogle gange meget smukke) eksempler. :)

For at navigere kompetent i al den integrerede mangfoldighed og ikke fare vild, har vi kun brug for fire ting: 1) Tabel over integraler. Alle detaljer om hende -

2) Egenskaber for linearitet af det ubestemte integral (integralet af summen/forskellen og produktet af en konstant).

3) Tabel over derivater og differentieringsregler.

Ja, ja, bliv ikke overrasket! Uden muligheden for at tælle derivater er der absolut intet at vinde ved integration. Enig, det giver for eksempel ingen mening at lære division uden at vide, hvordan man multiplicerer. :) Og meget snart vil du se, at uden finpudsede differentieringsevner kan du ikke beregne et enkelt integral, der går ud over de elementære tabelformede.

4) Integrationsmetoder.

Der er rigtig, rigtig mange af dem. Til en bestemt klasse af funktioner - din egen. Men blandt al deres rige mangfoldighed skiller tre grundlæggende sig ud:

– ,

– .

Hver af dem vil blive diskuteret i separate lektioner.

Og lad os nu endelig komme i gang med at løse de længe ventede eksempler. For ikke at springe fra sektion til sektion, vil jeg duplikere endnu en gang hele gentleman's-sættet, hvilket vil være nyttigt for vores videre arbejde. Lad alle værktøjerne være ved hånden.)

Først og fremmest dette tabel over integraler:

Derudover har vi brug for de grundlæggende egenskaber for det ubestemte integral (linearitetsegenskaber):

Nå, det nødvendige udstyr er forberedt. Det er tid til at gå! :)

Direkte anvendelse af bordet

Dette afsnit vil overveje de enkleste og mest harmløse eksempler. Algoritmen her er frygtelig enkel:

1) Kig på tabellen og se efter den eller de nødvendige formler;

2) Anvend linearitetsegenskaber (hvor påkrævet);

3) Vi udfører transformationen ved hjælp af tabelformler og tilføjer en konstant til sidst MED (glem ikke!) ;

4) Skriv svaret ned.

Så lad os gå.)

Eksempel 1

Der er ingen sådan funktion i vores tabel. Men der er et integral af en potensfunktion i generel form (anden gruppe). I vores tilfælde n=5. Så vi erstatter de fem med n og beregner omhyggeligt resultatet:

Parat. :)

Selvfølgelig er dette eksempel fuldstændig primitivt. Rent for bekendtskab.) Men evnen til at integrere potenser gør det nemt at beregne integraler af eventuelle polynomier og andre potenskonstruktioner.

Eksempel 2

Under integralet er summen. Nå ja. Vi har linearitetsegenskaber for dette tilfælde. :) Vi deler vores integral op i tre separate, tager alle konstanterne ud af integralernes fortegn og tæller hver enkelt i henhold til tabellen (gruppe 1-2):

Bemærk venligst: konstant MED vises præcis i det øjeblik, hvor ALLE integraltegn forsvinder! Efter det skal du selvfølgelig hele tiden have den med dig. Hvad skal man gøre...

Selvfølgelig er det normalt ikke nødvendigt at beskrive så detaljeret. Dette er udelukkende for forståelsesformål. For at forstå pointen.)

For eksempel vil du meget snart, uden meget omtanke, mentalt give et svar på monstre som:

Polynomier er de mest frie funktioner i integraler.) Og i diffuser, fysik, materialers styrke og andre seriøse discipliner bliver du nødt til konstant at integrere polynomier. Væn dig til det.)

Det næste eksempel bliver lidt køligere.

Eksempel 3

Jeg håber, at alle forstår, at vores integrand kan skrives sådan her:

Integrandfunktionen er separat, og faktoren dx (differentialikon)- separat.

Kommentar: i denne lektionsmultiplikator dx i gang med integrationen Farvel deltager ikke på nogen måde, og vi "glemmer" ham mentalt for nu. :) Vi arbejder kun med integrand funktion. Men lad os ikke glemme ham. Meget snart, bogstaveligt talt i den næste lektion dedikeret til, vil vi huske det. Og vi vil mærke vigtigheden og kraften af dette ikon i fuld kraft!)

I mellemtiden drages vores blik mod integrand-funktionen

Ligner ikke meget som en power-funktion, men det er hvad det er. :) Hvis vi husker skolens egenskaber ved rødder og magter, så er det ganske muligt at transformere vores funktion:

Og x til magten minus to tredjedele er allerede en tabelfunktion! Anden gruppe n=-2/3. Og den konstante 1/2 er ikke en hindring for os. Vi tager det udenfor, ud over integraltegnet, og beregner direkte ved hjælp af formlen:

I dette eksempel blev vi hjulpet af de elementære egenskaber ved grader. Og dette bør gøres i de fleste tilfælde, når der er ensomme rødder eller fraktioner under integralet. Derfor et par praktiske råd til integration af kraftkonstruktioner:

Vi erstatter brøker med potenser med negative eksponenter;

Vi erstatter rødder med potenser med brøkeksponenter.

Men i det endelige svar er overgangen fra magter tilbage til brøker og rødder en smagssag. Personligt skifter jeg tilbage - det er mere æstetisk tiltalende, eller noget.

Og vær sød at tælle alle brøker omhyggeligt! Vi overvåger nøje skiltene, og hvad der går hvor – hvad står der i tælleren, og hvad er nævneren.

Hvad? Er du allerede træt af kedelige magtfunktioner? OK! Lad os tage tyren ved hornene!

Eksempel 4

Hvis vi nu bringer alt under integralet til en fællesnævner, så kan vi hænge fast i dette eksempel for alvor og i lang tid.) Men ser vi nærmere på integranden, kan vi se, at vores forskel består af to tabelfunktioner . Så lad os ikke blive perverterede, men i stedet nedbryde vores integral i to:

Det første integral er en almindelig potensfunktion, (2. gruppe, n = -1): 1/x = x-1.

Vores traditionelle formel for antiderivatet af en magtfunktion

Virker ikke her, men for os n = -1 der er et værdigt alternativ - en formel med en naturlig logaritme. Denne:

Derefter, ifølge denne formel, vil den første fraktion blive integreret sådan:

Og den anden fraktion er også en bordfunktion! Fandt du ud af det? Ja! Denne syvende formel med "høj" logaritme:

Konstanten "a" i denne formel er lig med to: a=2.

Vigtig bemærkning: Bemærk konstantenMED med mellemliggende integration I ingen steder Jeg tilskriver det ikke! Hvorfor? For hun vil gå til det endelige svar hele eksempel. Det er nok.) Strengt taget skal konstanten skrives efter hver enkelt integration - det være sig mellemliggende eller endelige: det er, hvad det ubestemte integral kræver...)

For eksempel, efter den første integration skulle jeg skrive:

Efter den anden integration:

Men tricket er, at summen/forskellen af vilkårlige konstanter er også nogle konstante! I vores tilfælde har vi brug for det endelige svar fra det første integral trække fra anden. Så kan vi gøre det forskel to mellemkonstanter:

C1-C2

Og vi har al mulig ret til at erstatte netop denne forskel i konstanter en konstant! Og blot omdanne det med bogstavet "C", der er velkendt for os. Sådan:

C1-C2 = C

Så vi tilskriver den samme konstant MED til det endelige resultat, og vi får svaret:

Ja, ja, de er fraktioner! Multihistorie-logaritmer, når de er integreret, er den mest almindelige ting. Vi er også ved at vænne os til det.)

Huske:

Under mellemliggende integration af flere termer, konstanten MED Efter hver af dem behøver du ikke at skrive. Det er nok at inkludere det i det endelige svar i hele eksemplet. Til allersidst.

Det næste eksempel er også med en brøk. Til opvarmning.)

Eksempel 5

Bordet har naturligvis ikke sådan en funktion. Men der er lignende fungere:

Dette er den allersidste ottende formel. Med arctangens. :)

Denne:

Og Gud selv beordrede os til at tilpasse vores integral til denne formel! Men der er et problem: i tabelformlen før x 2 Der er ingen koefficient, men vi har en ni. Vi kan endnu ikke bruge formlen direkte. Men i vores tilfælde er problemet fuldstændigt løseligt. Lad os først tage denne ni ud af parentes og derefter tage den helt uden for vores fraktion.)

Og den nye fraktion er den tabelfunktion, vi allerede har brug for, nummer 8! Her og 2 = 4/9. Eller a=2/3.

Alle. Vi tager 1/9 ud af integraletegnet og bruger den ottende formel:

Her er svaret. Dette eksempel med en koefficient foran x 2, jeg valgte det på den måde med vilje. For at gøre det klart, hvad man skal gøre i sådanne tilfælde. :) Hvis før x 2 der er ingen koefficient, så vil sådanne fraktioner også blive integreret i sindet.

For eksempel:

Her a 2 = 5, så "a" i sig selv vil være "root of five". Generelt forstår du.)

Lad os nu ændre vores funktion lidt: vi skriver nævneren under roden.) Nu tager vi dette integral:

Eksempel 6

Nævneren har nu en rod. Naturligvis har den tilsvarende formel for integration også ændret sig, ja. Igen går vi ind i tabellen og leder efter den passende. Vi har rødder i formlerne for 5. og 6. gruppe. Men i den sjette gruppe er der kun forskel under rødderne. Og vi har beløbet. Så vi arbejder på femte formel, med en "lang" logaritme:

Antal EN vi har fem. Erstat i formlen og få:

Og det er alt. Dette er svaret. Ja, ja, så enkelt er det!)

Hvis tvivlen kommer snigende, kan (og bør) du altid tjekke resultatet ved omvendt differentiering. Skal vi tjekke? Hvad hvis det er en form for forsnævring?

Lad os skelne (vi er ikke opmærksomme på modulet og behandler det som almindelige parenteser):

Alt er fair. :)

Forresten, hvis du i integranden under roden ændrer tegnet fra plus til minus, så forbliver formlen for integration den samme. Det er ikke tilfældigt, at der i tabellen under roden er plus/minus. :)

For eksempel:

Vigtig! I tilfælde af minus, på først stedet under roden skal være nøjagtigt x 2, og videre anden – antal. Hvis det modsatte er sandt under roden, vil den tilsvarende tabelformel være smallere en anden!

Eksempel 7

Under roden igen minus, men x 2 med de fem skiftede vi plads. Det ligner, men ikke det samme... I dette tilfælde har vores tabel også en formel.) Formel nummer seks, vi har ikke arbejdet med den endnu:

Men nu - forsigtigt. I det foregående eksempel brugte vi fem som et tal EN . Her vil fem fungere som et nummer en 2!

Derfor, for at anvende formlen korrekt, glem ikke at udtrække roden af fem:

Og nu er eksemplet løst i én handling. :)

Bare sådan! Bare vilkårene under roden blev byttet om, og resultatet af integrationen ændrede sig markant! Logaritme og arcsine... Så tak forveksle ikke disse to formler! Selvom integrand-funktionerne er meget ens...

Bonus:

I tabelformlerne 7-8 er der koefficienter før logaritmen og arctangens 1/(2a) Og 1/a henholdsvis. Og i en alarmerende kampsituation, når man skriver disse formler ned, bliver selv nørder, der er krydret med deres studier, ofte forvirrede, hvor er det enkelt 1/a, og hvor 1/(2a). Her er et simpelt trick til at huske.

I formel nr. 7

Nævneren af integranden indeholder forskel på kvadrater x 2 – a 2. Som ifølge den frygtsomme skoleformel går i stykker som (x-a)(x+a). På to multiplikator Søgeord - to. Og disse to ved integration går parenteserne til logaritmen: med et minus op, med et plus - ned.) Og koefficienten foran logaritmen er også 1/( 2 EN).

Men i formel nr. 8

Brøkens nævner indeholder summen af kvadrater. Men summen af kvadrater x 2 + a 2 kan ikke nedbrydes i enklere faktorer. Derfor, hvad man end måtte sige, vil nævneren forblive sådan en faktor. Og koefficienten foran arctangensen vil også være 1/a.

Lad os nu integrere noget trigonometri for en forandring.)

Eksempel 8

Eksemplet er enkelt. Så enkelt, at folk, uden selv at se på bordet, straks med glæde skriver svaret, og... vi er ankommet. :)

Lad os følge skiltene! Dette er den mest almindelige fejl ved integration af sinus/cosinus. Forveksle ikke med derivater!

Ja, (synd x)" = cos x Og (cos x)’ = - synd x.

Men!

Da folk normalt husker derivater i det mindste, for ikke at blive forvirret i tegnene, er teknikken til at huske integraler meget enkel:

Integral af sinus/cosinus = minus afledet af samme sinus/cosinus.

For eksempel ved vi fra skolen, at den afledede af en sinus er lig med en cosinus:

(synd x)" = cos x.

Så for integral fra samme sinus vil det være sandt:

Det er alt.) Det er det samme med cosinus.

Lad os nu rette vores eksempel:

Foreløbige elementære transformationer af integranden

Indtil nu var der de enkleste eksempler. For at få en fornemmelse af, hvordan bordet fungerer og ikke lave fejl ved valg af formel.)

Vi lavede selvfølgelig nogle simple transformationer - vi tog faktorerne ud og inddelte dem i termer. Men svaret lå stadig på overfladen på den ene eller den anden måde.) Men... Hvis beregningen af integraler kun var begrænset til den direkte anvendelse af tabellen, ville der være en masse freebies rundt omkring, og livet ville blive kedeligt.)

Lad os nu se nærmere på eksemplerne. Den slags, hvor intet ser ud til at være afgjort direkte. Men det er værd at huske blot et par grundskoleformler eller transformationer, og vejen til svaret bliver enkel og klar. :)

Anvendelse af trigonometriformler

Lad os fortsætte med at have det sjovt med trigonometri.

Eksempel 9

Der er ingen sådan funktion i tabellen selv tæt på. Men i skole trigonometri der er sådan en lidet kendt identitet:

Nu udtrykker vi fra den den kvadratiske tangent, vi har brug for, og indsætter den under integralet:

Hvorfor blev dette gjort? Og så, efter sådan en transformation, vil vores integral blive reduceret til to tabelformede og vil blive taget i tankerne!

Se:

Lad os nu analysere vores handlinger. Ved første øjekast ser alt ud til at være enklere end nogensinde. Men lad os tænke over dette. Hvis vi stod over for en opgave differentiere samme funktion, så ville vi nøjagtig vidste præcis, hvad de skulle gøre - ansøg formel afledet af en kompleks funktion:

Det er alt. Enkel og problemfri teknologi. Det virker altid og vil med garanti føre til succes.

Hvad med integralet? Men her måtte vi rode gennem trigonometri, grave en eller anden obskur formel frem i håbet om, at den på en eller anden måde ville hjælpe os med at komme ud og reducere integralet til en tabelformet. Og det er ikke et faktum, at det ville hjælpe os, det er slet ikke et faktum... Derfor er integration en mere kreativ proces end differentiering. Kunst, vil jeg endda sige. :) Og dette er ikke det sværeste eksempel. Ellers kommer der flere!

Eksempel 10

Hvad inspirerer det? Tabellen over integraler er stadig magtesløs, ja. Men hvis du igen kigger ind i vores skatkammer af trigonometriske formler, kan du grave en meget, meget nyttig dobbelt vinkel cosinus formel:

Så vi anvender denne formel på vores integrand-funktion. I "alfa"-rollen har vi x/2.

Vi får:

Effekten er fantastisk, ikke?

Disse to eksempler viser tydeligt, at pre-transformation af en funktion før integration Det er fuldstændig acceptabelt og gør nogle gange livet enormt nemmere! Og i integration er denne procedure (transformation af integranden) en størrelsesorden mere berettiget end i differentiering. Du vil se alt senere.)

Lad os se på et par mere typiske transformationer.

Formler for forkortet multiplikation, åbne parenteser, bringe lignende og metoden til term-for-term division.

De sædvanlige banale skoleforvandlinger. Men nogle gange er de de eneste, der sparer, ja.)

Eksempel 11

Hvis vi beregnede den afledte, så ville der ikke være noget problem: formlen for den afledte af et produkt og - gå videre. Men standardformlen for integral eksisterer ikke fra værket. Og den eneste udvej her er at åbne alle parenteserne, så vi under integralet får et polynomium. Og vi vil på en eller anden måde integrere polynomiet.) Men vi åbner også parenteserne klogt: forkortede multiplikationsformler er kraftfulde ting!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

Nu tæller vi:

Og det er alt.)

Eksempel 12

Igen, standardformlen for integral af en brøk findes ikke. Imidlertid indeholder nævneren af integranden ensom x. Dette ændrer situationen radikalt.) Lad os dividere tælleren med nævneren led for led, hvilket reducerer vores frygtelige brøk til en harmløs sum af tabelformede potensfunktioner:

Jeg vil ikke kommentere specifikt på proceduren for integration af graderne: de er ikke små længere.)

Lad os integrere summen af potensfunktioner. Ifølge skiltet.)

Det er alt.) Forresten, hvis nævneren ikke var X, men f.eks. x+1, sådan her:

Dette trick med term-for-term division ville ikke have fungeret så let. Det er netop på grund af tilstedeværelsen af en rod i tælleren og en enhed i nævneren. Jeg skulle af med roden. Men sådanne integraler er meget mere komplicerede. Om dem - i andre lektioner.

Se! Man skal kun ændre funktionen en smule - tilgangen til dens integration ændres straks. Nogle gange dramatisk!) Der er ingen klar standardordning. Hver funktion har sin egen tilgang. Nogle gange endda unikke.)

I nogle tilfælde er konverteringer til brøker endnu mere vanskelige.

Eksempel 13

Og her, hvordan kan du reducere integralet til et sæt af tabelformede? Her kan du snildt undvige ved at tilføje og trække udtrykket fra x 2 i tælleren af brøken efterfulgt af led-for-led division. Et meget smart trick i integraler! Se mesterklassen! :)

Og nu, hvis vi erstatter den oprindelige brøk med forskellen på to brøker, opdeles vores integral i to tabelformede - potensfunktionen, der allerede er kendt for os, og arctangensen (formel 8):

Hvad kan jeg sige? Wow!

Dette trick med at tilføje/fratrække led i tælleren er meget populært til at integrere rationelle brøker. Meget! Jeg anbefaler at tage det til efterretning.

Eksempel 14

Den samme teknologi hersker også her. Du skal blot tilføje/fratrække én for at udtrække udtrykket i nævneren fra tælleren:

Generelt er rationelle brøker (med polynomier i tæller og nævner) et særskilt, meget bredt emne. Pointen er, at rationelle brøker er en af de meget få klasser af funktioner, for hvilke en universel metode til integration eksisterer. Metoden til nedbrydning i simple fraktioner, kombineret med . Men denne metode er meget arbejdskrævende og bruges normalt som tungt artilleri. Mere end én lektion vil blive dedikeret til ham. I mellemtiden træner vi og bliver bedre til simple funktioner.

Lad os opsummere dagens lektion.

I dag så vi i detaljer på præcis, hvordan man bruger tabellen med alle nuancerne, analyserede mange eksempler (og ikke de mest trivielle) og stiftede bekendtskab med de enkleste teknikker til at reducere integraler til tabelformede. Og sådan vil vi gøre det nu Altid. Uanset hvilken forfærdelig funktion der er under integralet, vil vi ved hjælp af en lang række transformationer sikre, at vores integral før eller siden, på den ene eller anden måde, reduceres til et sæt af tabelformede.

Nogle praktiske tips.

1) Hvis integralet er en brøk, hvis tæller er summen af potenser (rødder), og nævneren er ensom x magt, så bruger vi led-for-led division af tælleren med nævneren. Erstat rødder med potenser af c brøkindikatorer og arbejde efter formlerne 1-2.

2) I trigonometriske konstruktioner prøver vi først og fremmest de grundlæggende formler for trigonometri - dobbelt/tredobbelt vinkel,

Du kan være meget heldig. Eller måske ikke...

3) Hvor det er nødvendigt (især i polynomier og brøker), bruger viforkortede multiplikationsformler:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a2-b2

4) Ved integration af brøker med polynomier forsøger vi kunstigt at isolere udtrykket/udtrykket i nævneren i tælleren. Meget ofte forenkles brøken, og integralet reduceres til en kombination af tabelformede.

Nå, venner? Jeg kan se, du begynder at kunne lide integraler. :) Så bliver vi bedre til selv at løse eksemplerne.) Dagens materiale er ganske nok til at kunne klare dem.