Multiplicere og dividere negative tal. Regler for multiplikation af negative tal

I denne artikel vil vi forstå processen multiplikation negative tal . Først formulerer vi reglen for at gange negative tal og begrunder den. Herefter vil vi gå videre til at løse typiske eksempler.

Sidenavigation.

Vi annoncerer det med det samme regel for at gange negative tal: For at gange to negative tal skal du gange deres absolutte værdier.

Lad os skrive denne regel ved hjælp af bogstaver: for alle negative reelle tal −a og −b (i dette tilfælde er tallene a og b positive), er følgende lighed sand: (−a)·(−b)=a·b .

Lad os bevise reglen for multiplikation af negative tal, det vil sige, vi vil bevise ligheden (−a)·(−b)=a·b.

I artiklen gange tal med forskellige tegn vi har underbygget gyldigheden af ligheden a·(−b)=−a·b, ligesom det er vist, at (−a)·b=−a·b. Disse resultater og egenskaberne for modsatte tal giver os mulighed for at skrive følgende ligheder (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. Dette beviser reglen for at gange negative tal.

Fra ovenstående multiplikationsregel er det klart, at produktet af to negative tal er et positivt tal. Faktisk, da modulet af ethvert tal er positivt, er produktet af moduli også et positivt tal.

Som konklusion på dette punkt bemærker vi, at den betragtede regel kan bruges til at multiplicere reelle tal, rationelle tal og heltal.

Det er tid til at ordne det eksempler på at gange to negative tal, når vi løser, vil vi bruge reglen opnået i det foregående afsnit.

Gang to negative tal -3 og -5.

Modulerne for de tal, der ganges, er henholdsvis 3 og 5. Produktet af disse tal er 15 (se evt. multiplikation naturlige tal), så produktet af de oprindelige tal er 15.

Hele processen med at gange indledende negative tal er kort skrevet som følger: (−3)·(−5)= 3·5=15.

Multiplikation af negative rationelle tal ved hjælp af den analyserede regel kan reduceres til multiplikation almindelige brøker, gange blandede tal eller gange decimaler.

Beregn produktet (−0,125)·(−6) .

Ifølge reglen for at gange negative tal har vi (−0,125)·(−6)=0,125·6. Tilbage er blot at afslutte beregningerne gange decimalbrøken med et naturligt tal i en kolonne:

Bemærk endelig, at hvis en eller begge faktorer er irrationelle tal, givet i form af rødder, logaritmer, potenser osv., så skal deres produkt ofte skrives som et numerisk udtryk. Værdien af det resulterende udtryk beregnes kun, når det er nødvendigt.

Gang et negativt tal med et negativt tal.

Lad os først finde modulerne for de tal, der ganges: og (se egenskaber for logaritmen). Så har vi ifølge reglen om at gange negative tal. Det resulterende produkt er svaret.

Du kan fortsætte med at studere emnet ved at henvise til afsnittet gange reelle tal.

Med en vis strækning gælder samme forklaring også for produktet 1-5, hvis vi antager, at "summen" er fra én enkelt

sigt er lig med denne term. Men produktet 0 5 eller (-3) 5 kan ikke forklares på denne måde: hvad betyder summen af nul eller minus tre led?

Du kan dog omarrangere faktorerne

Hvis vi ønsker, at produktet ikke ændrer sig ved omlægning af faktorerne - som det var tilfældet positive tal- så må vi altså gå ud fra det

Lad os nu gå videre til produktet (-3) (-5). Hvad er det lig med: -15 eller +15? Begge muligheder har en grund. På den ene side gør et minus i én faktor allerede produktet negativt – så meget desto mere burde det være negativt, hvis begge faktorer er negative. På den anden side i tabel. 7 har allerede to minusser, men kun et plus, og "retfærdigvis" (-3)-(-5) skulle være lig med +15. Så hvad skal du foretrække?

Selvfølgelig vil du ikke blive forvirret af sådan snak: fra skoleforløb Matematikere Du har helt klart lært, at minus gange minus giver et plus. Men forestil dig, at din yngre bror eller søster spørger dig: hvorfor? Hvad er dette - en lærers indfald, en ordre fra højere myndigheder eller et teorem, der kan bevises?

Normalt forklares reglen for at gange negative tal med eksempler som det, der er vist i tabellen. 8.

Det kan forklares anderledes. Lad os skrive tallene i en række

Tilføjelse af negative tal Tilføjelse af positive og negative tal kan analyseres ved hjælp af tallinjen. Tilføjelse af tal ved hjælp af en koordinatlinje Tilføjelse af små modulo-tal er praktisk at gøre på [...]
Ordets betydning Forklar betydningen af ordene: lov, ågermand, slaveskyldner. forklare betydningen af ordene: lov, ågermand, slaveskyldner. DELICIOUS STRAWBERRY (Gæste) Skoler Spørgsmål om emnet 1. Hvilke 3 typer kan deles […]
Enkeltskattesats - 2018 Enkeltskattesats - 2018 for iværksættere-individer af første og anden gruppe beregnes som en procentdel af størrelsen levelønnen og mindstelønnen fastsat den 1. januar […]
Har du brug for tilladelse til at bruge en radio i en bil? hvor kan jeg læse det? Du skal under alle omstændigheder registrere din radiostation. Walkie-talkies, der opererer med en frekvens på 462MHz, hvis du ikke er repræsentant for indenrigsministeriet, er ikke […]
Eksamensbilletter Trafikregler kategori SD 2018 Eksamensbilletter CD STSI 2018 Officielle eksamensbilletter af SD-kategorien 2018. Billetter og kommentarer er baseret på trafikregler fra 18. juli 2018 […]
Kurser fremmede sprog i Kiev "europæisk uddannelse" engelsk italiensk hollandsk norsk islandsk vietnamesisk burmesisk bengal singalesisk tagalog nepalesisk madagaskisk Uanset hvor du […]

Lad os nu skrive de samme tal ganget med 3:

Det er nemt at bemærke, at hvert tal er 3 mere end det foregående Lad os nu skrive de samme tal i omvendt rækkefølge (startende for eksempel med 5 og 15):

Desuden var der under tallet -5 et tal -15, så 3 (-5) = -15: plus ved minus giver et minus.

Lad os nu gentage den samme procedure og gange tallene 1,2,3,4,5. med -3 (vi ved allerede, at plus ved minus giver minus):

Hvert næste tal i den nederste række er 3 mindre end det forrige. Skriv tallene i omvendt rækkefølge

Under tallet -5 er der 15, så (-3) (-5) = 15.

Måske ville disse forklaringer tilfredsstille din lillebror eller søster. Men du har ret til at spørge, hvordan tingene egentlig er, og er det muligt at bevise, at (-3) (-5) = 15?

Svaret her er, at det kan bevises, at (-3) (-5) skal være lig med 15, hvis vi ønsker, at de almindelige egenskaber for addition, subtraktion og multiplikation skal forblive sande for alle tal, inklusive negative. Omridset af dette bevis er som følger.

Lad os først bevise, at 3 (-5) = -15. Hvad er -15? Dette er det modsatte tal af 15, det vil sige det tal, som når det lægges til 15 giver 0. Så vi skal bevise, at

(Ved at tage 3 ud af parentesen brugte vi fordelingsloven ab + ac = a(b + c) for - trods alt antager vi, at den forbliver sand for alle tal, inklusive negative.) Så, (De omhyggelige læser vil spørge os hvorfor. Vi indrømmer ærligt: vi springer over beviset for dette faktum - såvel som den generelle diskussion om, hvad nul er.)

Lad os nu bevise, at (-3) (-5) = 15. For at gøre dette, skriver vi

og gange begge sider af ligheden med -5:

Lad os åbne parenteserne i venstre side:

dvs. (-3) (-5) + (-15) = 0. Således er tallet det modsatte af tallet -15, dvs. lig med 15. (Der er også huller i denne begrundelse: det ville være nødvendigt at bevise at der kun er ét tal, det modsatte af -15.)

Regler for multiplikation af negative tal

Forstår vi multiplikation korrekt?

”A og B sad på røret. A faldt, B forsvandt, hvad er der tilbage på røret?
"Dit brev I forbliver."

(Fra filmen "Youths in the Universe")

Hvorfor giver det nul at gange et tal med nul?

Hvorfor giver multiplikation af to negative tal et positivt tal?

Lærerne kommer med alt, hvad de kan, for at give svar på disse to spørgsmål.

Men ingen har modet til at indrømme, at der er tre semantiske fejl i formuleringen af multiplikation!

Er det muligt at lave fejl i grundlæggende regnestykker? Matematik positionerer sig jo som en eksakt videnskab.

Skolematematik lærebøger giver ikke svar på disse spørgsmål, og erstatter forklaringer med et sæt regler, der skal huskes. Måske anses dette emne for at være svært at forklare i mellemskolen? Lad os prøve at forstå disse problemer.

7 er multiplikanten. 3 er multiplikatoren. 21-arbejde.

Ifølge den officielle formulering:

at gange et tal med et andet tal betyder at lægge lige så mange multiplikanter til, som multiplikatoren foreskriver.

Ifølge den accepterede formulering fortæller faktor 3 os, at der skal være tre syvere på højre side af ligheden.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Men denne formulering af multiplikation kan ikke forklare de ovenfor stillede spørgsmål.

Lad os rette ordlyden af multiplikation

Normalt i matematik er der meget, der menes, men det bliver ikke talt om eller skrevet ned.

Dette refererer til plustegnet før de første syv på højre side af ligningen. Lad os skrive dette plus ned.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Men hvad er de første syv lagt til? Det betyder selvfølgelig nul. Lad os skrive nul ned.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Hvad hvis vi gange med tre minus syv?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Vi skriver additionen af multiplikanet -7, men faktisk trækker vi fra nul flere gange. Lad os åbne parenteserne.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Nu kan vi give en mere præcis formulering af multiplikation.

Multiplikation er processen med gentagne gange at lægge til (eller trække fra nul) multiplikanet (-7) så mange gange som multiplikatoren angiver. Multiplikatoren (3) og dens fortegn (+ eller -) angiver antallet af operationer, der lægges til eller trækkes fra nul.

Ved at bruge denne raffinerede og let modificerede formulering af multiplikation er "tegnreglerne" for multiplikation, når multiplikatoren er negativ, let forklaret.

7 * (-3) - der skal være tre minustegn efter nul = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - igen skal der være tre minustegn efter nullet =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Gang med nul

7 * 0 = 0 + . der er ingen addition til nul operationer.

Hvis multiplikation er en addition til nul, og multiplikatoren viser antallet af operationer med addition til nul, så viser multiplikatoren nul, at intet er lagt til nul. Det er derfor, det forbliver nul.

Så i den eksisterende formulering af multiplikation fandt vi tre semantiske fejl, der blokerer for forståelsen af de to "tegnregler" (når multiplikatoren er negativ) og multiplikationen af et tal med nul.

Du behøver ikke at tilføje multiplikanet, men tilføje det til nul.
Multiplikation er ikke kun at lægge til nul, men også at trække fra nul.
Multiplikatoren og dens fortegn viser ikke antallet af led, men antallet af plus- eller minustegn, når multiplikationen dekomponeres i led (eller subtraheret).

Efter at have præciseret formuleringen noget, var vi i stand til at forklare reglerne for tegn for multiplikation og multiplikationen af et tal med nul uden hjælp fra den kommutative multiplikationslov, uden den distributive lov, uden at involvere analogier med tallinjen, uden ligninger , uden bevis fra det omvendte osv.

Tegnreglerne for den raffinerede formulering af multiplikation er udledt meget enkelt.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Multiplikatoren og dens fortegn (+3 eller -3) angiver antallet af "+" eller "-" tegn på højre side af ligningen.

Den modificerede formulering af multiplikation svarer til operationen med at hæve et tal til en potens.

2^0 = 1 (en er ikke ganget eller divideret med noget, så den forbliver en)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematikere er enige om, at det at hæve et tal til en positiv potens er at gange et igen og igen. Og hæve et tal til negativ grad er en multipel division af en enhed.

Operationen af multiplikation bør svare til operationen af eksponentiering.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (intet lægges til nul og intet trækkes fra nul)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Den modificerede formulering af multiplikation ændrer ikke noget i matematikken, men returnerer den oprindelige betydning af multiplikationsoperationen, forklarer "tegnreglerne", multiplicerer et tal med nul og afstemmer multiplikation med eksponentiering.

Lad os kontrollere, om vores formulering af multiplikation stemmer overens med divisionsoperationen.

15: 5 = 3 (invers af multiplikation 5 * 3 = 15)

Kvotienten (3) svarer til antallet af operationer med addition til nul (+3) under multiplikation.

At dividere tallet 15 med 5 betyder at finde ud af, hvor mange gange du skal trække 5 fra 15. Dette gøres ved sekventiel subtraktion, indtil der opnås et nulresultat.

For at finde resultatet af division skal du tælle antallet af minustegn. Der er tre af dem.

15: 5 = 3 operationer med at trække fem fra 15 for at få nul.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (division 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiplicerer 5 * 3)

Division med resten.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 og 2 resten

Hvis der er division med en rest, hvorfor så ikke gange med et vedhæng?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Lad os se på forskellen i ordlyden på lommeregneren

Eksisterende formulering af multiplikation (tre led).

10 + 10 + 10 = 30

Korrigeret multiplikationsformulering (tre tilføjelser til nuloperationer).

0 + 10 = = = 30

(Tryk på "lig med" tre gange.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

En multiplikator på 3 indikerer, at multiplikationstallet 10 skal lægges til nul tre gange.

Prøv at gange (-10) * (-3) ved at tilføje udtrykket (-10) minus tre gange!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Hvad betyder minustegnet for tre? Måske det?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Ops. Det er ikke muligt at dekomponere produktet i summen (eller forskellen) af led (-10).

Den reviderede formulering gør dette korrekt.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplikatoren (-3) angiver, at multiplikatoren (-10) skal trækkes fra nul tre gange.

Tegn regler for addition og subtraktion

Ovenfor viste vi en enkel måde at udlede reglerne for tegn for multiplikation ved at ændre betydningen af ordlyden af multiplikation.

Men til konklusionen brugte vi reglerne for tegn til addition og subtraktion. De er næsten de samme som for multiplikation. Lad os skabe en visualisering af reglerne for tegn for addition og subtraktion, så selv en førsteklasser kan forstå det.

Hvad er "minus", "negativ"?

Der er intet negativt i naturen. Ingen negativ temperatur, ingen negativ retning, ingen negativ masse, ingen negative ladninger. Selv sinus kan i sin natur kun være positiv.

Men matematikere kom med negative tal. For hvad? Hvad betyder "minus"?

Minus betyder modsatte retning. Venstre højre. Top bund. Med uret - mod uret. Frem og tilbage. Kold varm. Let tung. Langsom hurtig. Hvis du tænker over det, kan du give mange andre eksempler, hvor det er praktisk at bruge negative værdier mængder

I den verden, vi kender, starter uendelighed fra nul og går til plus uendelig.

"Minus uendelighed" i virkelige verden eksisterer ikke. Dette er den samme matematiske konvention som begrebet "minus".

Så "minus" angiver den modsatte retning: bevægelse, rotation, proces, multiplikation, addition. Lad os analysere forskellige retninger når man adderer og trækker positive og negative (øgende i den anden retning) tal.

Vanskeligheden ved at forstå reglerne for tegn for addition og subtraktion skyldes, at disse regler normalt forklares på tallinjen. På tallinjen blandes tre forskellige komponenter, hvoraf regler er udledt. Og på grund af forvirring, på grund af at klumpe forskellige begreber sammen i én bunke, skabes der vanskeligheder med at forstå.

For at forstå reglerne skal vi opdele:

det første led og summen (de vil være på den vandrette akse);
det andet led (det vil være på den lodrette akse);
retning af additions- og subtraktionsoperationer.

Denne opdeling er tydeligt vist på figuren. Forestil dig mentalt, at den lodrette akse kan rotere og overlejre den vandrette akse.

Tilføjelsesoperationen udføres altid ved at dreje den lodrette akse med uret (plustegn). Subtraktionsoperationen udføres altid ved at dreje den lodrette akse mod uret (minustegn).

Eksempel. Diagram i nederste højre hjørne.

Det kan ses, at to tilstødende minustegn (tegnet for subtraktionsoperationen og tegnet for tallet 3) har forskellige betydninger. Det første minus viser subtraktionsretningen. Det andet minus er tegnet på tallet på den lodrette akse.

Find det første led (-2) på den vandrette akse. Find det andet led (-3) på den lodrette akse. Roter den lodrette akse mentalt mod uret, indtil (-3) flugter med tallet (+1) på den vandrette akse. Tallet (+1) er resultatet af addition.

giver samme resultat som additionsoperationen i diagrammet i øverste højre hjørne.

Derfor kan to tilstødende minustegn erstattes med ét plustegn.

Vi er alle vant til at bruge færdige regneregler uden at tænke over deres betydning. Derfor bemærker vi ofte ikke engang, hvordan reglerne for tegn for addition (subtraktion) adskiller sig fra reglerne for tegn for multiplikation (division). Virker de ens? Næsten. En lille forskel kan ses i den følgende illustration.

Nu har vi alt, hvad vi behøver for at udlede tegnreglerne for multiplikation. Udgangssekvensen er som følger.

Vi viser tydeligt, hvordan reglerne for tegn for addition og subtraktion opnås.
Vi foretager semantiske ændringer i den eksisterende formulering af multiplikation.
Ud fra den modificerede formulering af multiplikation og reglerne for fortegn for addition, udleder vi reglerne for fortegn for multiplikation.

Nedenfor er skrevet Tegn regler for addition og subtraktion, opnået fra visualiseringen. Og med rødt, til sammenligning, de samme regler for tegn fra matematiklærebogen. Det grå plus i parentes er et usynligt plus, som ikke er skrevet for et positivt tal.

Der er altid to tegn mellem begreberne: operationstegnet og taltegnet (vi skriver ikke plus, men vi mener det). Tegnreglerne foreskriver udskiftning af et tegnpar med et andet par uden at ændre resultatet af addition (subtraktion). Faktisk er der kun to regler.

Regel 1 og 3 (til visualisering) - dublet regel 4 og 2.. Regel 1 og 3 i skoletolkningen er ikke sammenfaldende med det visuelle skema, derfor gælder de ikke for reglerne for tegn til tilføjelse. Det er nogle andre regler.

Skoleregel 1. (rød) giver dig mulighed for at erstatte to plusser i træk med et plus. Reglen gælder ikke for udskiftning af tegn i addition og subtraktion.

Skoleregel 3. (rød) giver dig mulighed for ikke at skrive et plustegn for et positivt tal efter en subtraktionsoperation. Reglen gælder ikke for udskiftning af tegn i addition og subtraktion.

Betydningen af tegnreglerne for tilføjelse er udskiftning af et PAR af skilte med et andet PAR af tegn uden at ændre resultatet af tilføjelsen.

Skolemetodologer blandede to regler i én regel:

— to regler for tegn ved addering og subtrahering af positive og negative tal (erstatning af et tegnpar med et andet tegnpar);

- to regler, hvorefter du ikke kan skrive et plustegn for et positivt tal.

To forskellige regler, blandet til ét, ligner reglerne for tegn i multiplikation, hvor to tegn resulterer i et tredje. De ligner nøjagtigt hinanden.

Stor forvirring! Det samme igen, for bedre affiltring. Lad os fremhæve operationstegnene med rødt for at skelne dem fra taltegnene.

1. Addition og subtraktion. To tegnregler, hvorefter tegnpar mellem led udveksles. Driftsskilt og nummerskilt.

2. To regler, hvorefter plustegnet for et positivt tal må ikke skrives. Dette er reglerne for tilmeldingsblanketten. Gælder ikke tillæg. For et positivt tal skrives kun tegnet for operationen.

3. Fire regler for tegn til multiplikation. Når to tegn på faktorer resulterer i et tredje tegn på produktet. Multiplikationstegnsreglerne indeholder kun taltegn.

Når vi nu har adskilt formreglerne, burde det være klart, at fortegnsreglerne for addition og subtraktion slet ikke ligner fortegnsreglerne for multiplikation.

"Reglen for at gange negative tal og tal med forskellige fortegn." 6. klasse

Præsentation til lektionen

Download præsentation (622,1 kB)

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle præsentationens funktioner. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Lektionens mål.

Emne:

formulere en regel for at gange negative tal og tal med forskellige fortegn,
lære eleverne at anvende denne regel.

Metaemne:

udvikle evnen til at arbejde i overensstemmelse med den foreslåede algoritme, udarbejde en plan for dine handlinger,
udvikle selvkontrolevner.

Personlig:

udvikle kommunikationsevner,
form kognitiv interesse studerende.

Udstyr: computer, lærred, multimedieprojektor, PowerPoint-præsentation, handout: tabel til registrering af regler, tests.

(Lærebog af N.Ya. Vilenkin "Mathematics. 6th grade", M: "Mnemosyne", 2013.)

Under timerne

I. Organisatorisk øjeblik.

Formidling af emnet for lektionen og optagelse af emnet i notesbøger af eleverne.

II. Motivering.

Slide nummer 2. (Lektionsmål. Lektionsplan).

I dag vil vi fortsætte med at studere en vigtig aritmetisk egenskab - multiplikation.

Du ved allerede, hvordan man multiplicerer naturlige tal - verbalt og søjleformet,

Lærte at gange decimaler og almindelige brøker. I dag skal du formulere multiplikationsreglen for negative tal og tal med forskellige fortegn. Og ikke kun formulere det, men også lære at anvende det.

III. Opdatering af viden.

Løs ligningerne: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: =. (Elev ved tavlen)

Konklusion: For at løse sådanne ligninger skal du kunne gange forskellige tal.

2) Boligtjek selvstændigt arbejde. Gennemgå reglerne for at gange decimaler, brøker og blandede tal. (Dias nr. 4 og nr. 5).

IV. Formulering af reglen.

Overvej opgave 1 (slide nummer 6).

Overvej opgave 2 (slide nummer 7).

I processen med at løse problemer, skulle vi gange tal med forskellige fortegn og negative tal. Lad os se nærmere på denne multiplikation og dens resultater.

Ved at gange tal med forskellige fortegn får vi et negativt tal.

Lad os se på et andet eksempel. Find produktet (–2) * 3, og erstat multiplikationen med summen af identiske led. På samme måde finder du produktet 3 * (–2). (Tjek - slide nr. 8).

Spørgsmål:

1) Hvad er resultatets fortegn, når man multiplicerer tal med forskellige fortegn?

2) Hvordan opnås resultatmodulet? Vi formulerer en regel for at gange tal med forskellige fortegn og skriver reglen i tabellens venstre kolonne. (Slide nr. 9 og bilag 1).

Regel for at gange negative tal og tal med forskellige fortegn.

Lad os vende tilbage til den anden opgave, hvor vi gangede to negative tal. Det er ret svært at forklare en sådan multiplikation på en anden måde.

Lad os bruge den forklaring, der blev givet tilbage i det 18. århundrede af den store russiske videnskabsmand (født i Schweiz), matematiker og mekaniker Leonhard Euler. (Leonard Euler efterlod ikke kun videnskabelige arbejder, men skrev også en række lærebøger om matematik beregnet til elever på det akademiske gymnasium).

Så Euler forklarede resultatet nogenlunde som følger. (Slide nummer 10).

Det er klart, at –2 · 3 = – 6. Derfor kan produktet (–2) · (–3) ikke være lig med –6. Det skal dog på en eller anden måde hænge sammen med tallet 6. Der er stadig én mulighed: (–2) · (–3) = 6. .

Spørgsmål:

1) Hvad er produktets tegn?

2) Hvordan blev produktmodulet opnået?

Vi formulerer reglen for at gange negative tal og udfylder tabellens højre kolonne. (Slide nr. 11).

For at gøre det lettere at huske tegnreglen, når du multiplicerer, kan du bruge dens formulering i vers. (Dias nr. 12).

Plus med minus, gange,
Vi sætter et minus uden at gabe.
Gang minus med minus
Vi giver dig et plus som svar!

V. Dannelse af færdigheder.

Lad os lære, hvordan man anvender denne regel til beregninger. I dag i lektionen udfører vi kun beregninger med hele tal og decimalbrøker.

1) Udarbejdelse af handlingsplan.

Der udarbejdes en ordning for anvendelse af reglen. Der noteres på tavlen. Cirkadiagram på dias nr. 13.

2) Udførelse af handlinger efter ordningen.

Vi løser ud fra lærebog nr. 1121 (b, c, i, j, p, p). Vi udfører løsningen i overensstemmelse med det optegnede diagram. Hvert eksempel forklares af en af eleverne. Samtidig er løsningen vist på slide nr. 14.

3) Arbejd i par.

Opgave på slide nummer 15.

Eleverne arbejder med muligheder. Først løser og forklarer eleven fra valgmulighed 1 løsningen til valgmulighed 2, eleven fra valgmulighed 2 lytter godt efter, hjælper og retter evt. og derefter skifter eleverne roller.

Ekstra opgave for de par, der afslutter arbejdet tidligere: nr. 1125.

Ved afslutningen af arbejdet udføres verifikation ved hjælp af en færdig løsning placeret på slide nr. 15 (animation anvendes).

Hvis det lykkedes for mange at løse nr. 1125, så drages den konklusion, at tallets fortegn ændres, når det ganges med (?1).

4) Psykologisk lindring.

5) Selvstændigt arbejde.

Selvstændigt arbejde - tekst på slide nr. 17. Efter endt arbejde - selvtest ved hjælp af en færdig løsning (slide nr. 17 - animation, hyperlink til slide nr. 18).

VI. Kontrol af niveauet for assimilering af det undersøgte materiale. Afspejling.

Eleverne tager testen. På det samme stykke papir skal du evaluere dit arbejde i klassen ved at udfylde tabellen.

Test "Multiplikationsregel". Mulighed 1.

Multiplikation af negative tal: regel, eksempler

I denne artikel vil vi formulere reglen for at gange negative tal og give en forklaring på det. Processen med at multiplicere negative tal vil blive diskuteret i detaljer. Eksemplerne viser alle mulige tilfælde.

Multiplikation af negative tal

Regel for at gange negative tal er, at for at gange to negative tal, er det nødvendigt at gange deres moduler. Denne regel er skrevet som følger: for eventuelle negative tal – a, – b, anses denne lighed for at være sand.

Ovenfor er reglen for at gange to negative tal. Ud fra det beviser vi udtrykket: (— a) · (— b) = a · b. Artiklen, der multiplicerer tal med forskellige fortegn, siger, at lighederne a · (- b) = - a · b er gyldige, såvel som (- a) · b = - a · b. Dette følger af egenskaben for modsatte tal, på grund af hvilken lighederne vil blive skrevet som følger:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Her kan du tydeligt se beviset for reglen for at gange negative tal. Ud fra eksemplerne er det klart, at produktet af to negative tal er et positivt tal. Når man multiplicerer moduler af tal, er resultatet altid et positivt tal.

Denne regel er anvendelig til at gange reelle tal, rationale tal og heltal.

Eksempler på at gange negative tal

Lad os nu se på eksempler på at gange to negative tal i detaljer. Ved beregning skal du bruge reglen skrevet ovenfor.

Gang tallene - 3 og - 5.

Løsning.

Den absolutte værdi af de to tal, der ganges, er lig med de positive tal 3 og 5. Deres produkt resulterer i 15. Det følger, at produktet af de givne tal er 15

Lad os kort nedskrive selve multiplikationen af negative tal:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Svar: (- 3) · (- 5) = 15.

Når du multiplicerer negative rationelle tal, ved hjælp af den omtalte regel, kan du mobilisere til at gange brøker, gange blandede tal, gange decimaler.

Beregn produktet (— 0 , 125) · (— 6) .

Ved at bruge reglen til at gange negative tal får vi, at (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. For at opnå resultatet skal du gange decimalbrøken med det naturlige antal kolonner. Det ser sådan ud:

Vi fandt ud af, at udtrykket vil have formen (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Svar: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

I det tilfælde, hvor faktorerne er irrationelle tal, kan deres produkt skrives i formen numerisk udtryk. Værdien beregnes kun, når det er nødvendigt.

Det er nødvendigt at gange den negative - 2 med den ikke-negative log 5 1 3 .

Sådan finder du modulerne med de givne tal:

- 2 = 2 og log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Efter reglerne for multiplikation af negative tal får vi resultatet - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Dette udtryk er svaret.

Svar: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

For at fortsætte med at studere emnet skal du gentage afsnittet om at gange reelle tal.

Lad os nu beskæftige os med multiplikation og division.

Lad os sige, at vi skal gange +3 med -4. Hvordan gør man det?

Lad os overveje en sådan sag. Tre personer er i gæld og har hver $4 i gæld. Hvad er den samlede gæld? For at finde den skal du lægge alle tre gæld sammen: 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Vi besluttede, at tilføjelsen af tre tal 4 betegnes som 3x4. Da vi i dette tilfælde taler om gæld, er der et "-"-tegn før 4. Vi ved, at den samlede gæld er $12, så vores problem bliver nu 3x(-4)=-12.

Vi får det samme resultat, hvis hver af de fire personer ifølge problemet har en gæld på $3. Med andre ord, (+4)x(-3)=-12. Og da rækkefølgen af faktorerne ikke betyder noget, får vi (-4)x(+3)=-12 og (+4)x(-3)=-12.

Lad os opsummere resultaterne. Når du ganger et positivt tal og et negativt tal, vil resultatet altid være et negativt tal. Den numeriske værdi af svaret vil være den samme som ved positive tal. Produkt (+4)x(+3)=+12. Tilstedeværelsen af "-" tegnet påvirker kun tegnet, men påvirker ikke den numeriske værdi.

Hvordan ganges to negative tal?

Desværre er det meget svært at komme med et passende eksempel fra det virkelige liv om dette emne. Det er let at forestille sig en gæld på 3 eller 4 dollars, men det er absolut umuligt at forestille sig -4 eller -3 personer, der kom i gæld.

Måske går vi en anden vej. I multiplikation, når tegnet for en af faktorerne ændres, ændres produktets fortegn. Hvis vi ændrer tegnene for begge faktorer, skal vi ændre to gange arbejdsmærke, først fra positiv til negativ, og derefter omvendt, fra negativ til positiv, det vil sige, at produktet vil have et indledende tegn.

Derfor er det ret logisk, selvom det er lidt mærkeligt, at (-3) x (-4) = +12.

Skilteposition når det ganges, ændres det sådan:

positivt tal x positivt tal = positivt tal;
negativt tal x positivt tal = negativt tal;
positivt tal x negativt tal = negativt tal;
negativt tal x negativt tal = positivt tal.

Med andre ord, gange to tal med de samme fortegn, får vi et positivt tal. Hvis vi multiplicerer to tal med forskellige fortegn, får vi et negativt tal.

Den samme regel gælder for handlingen modsat multiplikation - for.

Du kan nemt bekræfte dette ved at køre inverse multiplikationsoperationer. I hvert af eksemplerne ovenfor, hvis du gange kvotienten med divisor, vil du få udbyttet og sikre dig, at det har samme fortegn, for eksempel (-3)x(-4)=(+12).

Da vinteren er på vej, er det tid til at tænke over, hvad du skal skifte din jernhests sko til for ikke at glide på isen og føle dig sikker på vintervejene. Du kan for eksempel købe Yokohama dæk på hjemmesiden: mvo.ru eller nogle andre, det vigtigste er, at de er af høj kvalitet, mere information og priser kan du finde ud af på hjemmesiden Mvo.ru.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Multiplikation af negative tal

Definition 1

Regel for at gange negative tal er, at for at gange to negative tal, er det nødvendigt at gange deres moduler. Denne regel er skrevet som følger: for alle negative tal – a, - b, anses denne lighed for at være sand.

(- a) · (- b) = a · b.

Ovenfor er reglen for at gange to negative tal. Ud fra det beviser vi udtrykket: (- a) · (- b) = a · b. Artiklen, der multiplicerer tal med forskellige fortegn, siger, at lighederne a · (- b) = - a · b er gyldige, ligesom (- a) · b = - a · b. Dette følger af egenskaben for modsatte tal, på grund af hvilken lighederne vil blive skrevet som følger:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Denne regel er anvendelig til at gange reelle tal, rationale tal og heltal.

Lad os nu se på eksempler på at gange to negative tal i detaljer. Ved beregning skal du bruge reglen skrevet ovenfor.

Eksempel 1

Gang tallene - 3 og - 5.

Løsning.

Den absolutte værdi af de to tal, der ganges, er lig med de positive tal 3 og 5. Deres produkt resulterer i 15. Det følger, at produktet af de givne tal er 15

Lad os kort nedskrive selve multiplikationen af negative tal:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Svar: (- 3) · (- 5) = 15.

Når du multiplicerer negative rationelle tal, ved hjælp af den omtalte regel, kan du mobilisere til at gange brøker, gange blandede tal, gange decimaler.

Eksempel 2

Beregn produktet (- 0 , 125) · (- 6) .

Løsning.

Vi fandt ud af, at udtrykket vil have formen (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Svar: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

I det tilfælde, hvor faktorerne er irrationelle tal, kan deres produkt skrives som et numerisk udtryk. Værdien beregnes kun, når det er nødvendigt.

Eksempel 3

Det er nødvendigt at gange negativ - 2 med ikke-negativ log 5 1 3.

Løsning

Sådan finder du modulerne med de givne tal:

2 = 2 og log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Efter reglerne for multiplikation af negative tal får vi resultatet - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Dette udtryk er svaret.

Svar: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

For at fortsætte med at studere emnet skal du gentage afsnittet om at gange reelle tal.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I denne artikel vil vi beskæftige os med gange tal med forskellige fortegn. Her vil vi først formulere reglen for at gange positive og negative tal, begrunde den og derefter overveje anvendelsen af denne regel ved løsning af eksempler.

Sidenavigation.

Regel for at gange tal med forskellige fortegn

At multiplicere et positivt tal med et negativt tal, såvel som et negativt tal med et positivt tal, udføres som følger: reglen for at gange tal med forskellige fortegn: for at gange tal med forskellige fortegn, skal du gange og sætte et minustegn foran det resulterende produkt.

Lad os skrive det ned denne regel i bogstavelig form. For ethvert positivt reelt tal a og ethvert negativt reelt tal -b gælder følgende lighed: a·(−b)=−(|a|·|b|) , og også for et negativt tal −a og et positivt tal b er ligheden (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Reglen for at gange tal med forskellige fortegn er fuldstændig i overensstemmelse med egenskaber ved operationer med reelle tal. På deres grundlag er det faktisk let at vise, at for reelle og positive tal a og b en kæde af ligheder af formen a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, hvilket beviser, at a·(−b) og a·b er modsatte tal, hvilket indebærer ligheden a·(−b)=−(a·b) . Og deraf følger gyldigheden af den pågældende multiplikationsregel.

Det skal bemærkes, at den angivne regel for multiplikation af tal med forskellige fortegn gælder både for reelle tal og for rationelle tal og for heltal. Dette følger af, at operationer med rationelle tal og heltal har de samme egenskaber, som blev brugt i beviset ovenfor.

Det er klart, at multiplikation af tal med forskellige fortegn ifølge den resulterende regel kommer ned til at gange positive tal.

Det er kun tilbage at overveje eksempler på anvendelsen af den adskilte multiplikationsregel, når man multiplicerer tal med forskellige fortegn.

Eksempler på at gange tal med forskellige fortegn

Lad os se på flere løsninger eksempler på at gange tal med forskellige fortegn. Lad os starte med en simpel case for at fokusere på reglens trin frem for den beregningsmæssige kompleksitet.

Gang det negative tal −4 med det positive tal 5.

Ifølge reglen for at gange tal med forskellige fortegn, skal vi først gange de absolutte værdier af de oprindelige faktorer. Modulet for −4 er 4, og modulet af 5 er 5, og multiplicering af de naturlige tal 4 og 5 giver 20. Til sidst er det tilbage at sætte et minustegn foran det resulterende tal, vi har -20. Dette fuldender multiplikationen.

Kort fortalt kan løsningen skrives som følger: (−4)·5=−(4·5)=−20.

(−4)·5=−20.

Når du multiplicerer brøker med forskellige fortegn, skal du kunne gange almindelige brøker, gange decimaler og deres kombinationer med naturlige og blandede tal.

Gang tal med forskellige fortegn 0, (2) og.

Efter at have foretaget konverteringen af en periodisk decimalbrøk til en almindelig brøk, samt at have udført overgangen fra blandet antal til en ukorrekt fraktion, fra det originale produkt vil vi komme til produktet af almindelige fraktioner med forskellige tegn på formen. Dette produkt er lig med reglen for at gange tal med forskellige fortegn. Tilbage er blot at gange de almindelige brøker i parentes, vi har .

Separat er det værd at nævne multiplikationen af tal med forskellige fortegn, når en eller begge faktorer er

Lad os nu beskæftige os med multiplikation og division.

Lad os sige, at vi skal gange +3 med -4. Hvordan gør man det?

Hvordan ganges to negative tal?

Derfor er det ret logisk, selvom det er lidt mærkeligt, at (-3) x (-4) = +12.

Skilteposition når det ganges, ændres det sådan:

positivt tal x positivt tal = positivt tal;
negativt tal x positivt tal = negativt tal;
positivt tal x negativt tal = negativt tal;
negativt tal x negativt tal = positivt tal.

Med andre ord, gange to tal med de samme fortegn, får vi et positivt tal. Hvis vi multiplicerer to tal med forskellige fortegn, får vi et negativt tal.

Den samme regel gælder for handlingen modsat multiplikation - for.

Da vinteren er på vej, er det tid til at tænke over, hvad du skal skifte din jernhests sko til for ikke at glide på isen og føle dig sikker på vintervejene. Du kan for eksempel købe Yokohama dæk på hjemmesiden: mvo.ru eller nogle andre, det vigtigste er at de er af høj kvalitet, du kan finde ud af mere information og priser på hjemmesiden Mvo.ru.

Denne artikel giver et detaljeret overblik dividere tal med forskellige fortegn. Først gives reglen for at dividere tal med forskellige fortegn. Nedenfor er eksempler på at dividere positive tal med negative og negative tal med positive.

Sidenavigation.

Regel for opdeling af tal med forskellige fortegn

I artikelinddelingen af heltal blev der opnået en regel for at dividere heltal med forskellige fortegn. Det kan udvides til både rationelle tal og reelle tal ved at gentage alle ræsonnementerne fra ovenstående artikel.

Så, regel for at dividere tal med forskellige fortegn har følgende formulering: for at dividere et positivt tal med et negativt eller et negativt tal med et positivt, skal du dividere udbyttet med divisormodulet og sætte et minustegn foran det resulterende tal.

Lad os skrive denne divisionsregel ved hjælp af bogstaver. Hvis tallene a og b har forskellige fortegn, er formlen gyldig a:b=−|a|:|b| .

Ud fra den angivne regel er det klart, at resultatet af at dividere tal med forskellige fortegn er et negativt tal. Da udbyttemodulet og divisormodulet er positive tal, er deres kvotient et positivt tal, og minustegnet gør dette tal negativt.

Bemærk, at den betragtede regel reducerer divisionen af tal med forskellige fortegn til divisionen af positive tal.

Du kan give en anden formulering af reglen for at dividere tal med forskellige fortegn: For at dividere tallet a med tallet b, skal du gange tallet a med tallet b −1, det omvendte af tallet b. Det er, a:b=a b −1 .

Denne regel kan bruges, når det er muligt at gå ud over sættet af heltal (da ikke hvert heltal har en invers). Med andre ord gælder det for mængden af rationelle tal såvel som for mængden af reelle tal.

Det er klart, at denne regel for at dividere tal med forskellige fortegn giver dig mulighed for at gå fra division til multiplikation.

Den samme regel bruges ved dividering af negative tal.

Det er tilbage at overveje, hvordan denne regel for at dividere tal med forskellige tegn anvendes ved løsning af eksempler.

Eksempler på opdeling af tal med forskellige fortegn

Lad os overveje løsninger på flere karakteristika eksempler på opdeling af tal med forskellige fortegn at forstå princippet om at anvende reglerne fra det foregående afsnit.

Divider det negative tal -35 med det positive tal 7.

Reglen for at dividere tal med forskellige fortegn foreskriver først at finde modulerne for udbytte og divisor. Modulet for -35 er 35, og modulet for 7 er 7. Nu skal vi dividere modulet af udbytte med modulet af divisor, det vil sige, vi skal dividere 35 med 7. Når vi husker, hvordan division af naturlige tal udføres, får vi 35:7=5. Det sidste trin tilbage i reglen for at dividere tal med forskellige fortegn er at sætte et minus foran det resulterende tal, vi har −5.

Her er hele løsningen: .

Det var muligt at gå ud fra en anden formulering af reglen for at dividere tal med forskellige fortegn. I dette tilfælde finder vi først det omvendte af divisor 7. Dette tal er den almindelige brøk 1/7. Dermed, . Det er tilbage at gange tal med forskellige fortegn: . Det er klart, at vi kom til det samme resultat.

(−35):7=−5 .

Beregn kvotienten 8:(−60) .

Ifølge reglen for at dividere tal med forskellige fortegn har vi 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Det resulterende udtryk svarer til en negativ almindelig brøk (se divisionstegnet som en brøklinje), du kan reducere brøken med 4, vi får .

Lad os kort skrive hele løsningen ned: .

Når man dividerer rationelle brøktal med forskellige fortegn, er deres udbytte og divisor normalt repræsenteret som almindelige brøker. Dette skyldes det faktum, at det ikke altid er praktisk at udføre division med tal i anden notation (for eksempel i decimal).

Udbyttemodulet er lig, og divisormodul er 0,(23) . Lad os gå videre til almindelige brøker for at dividere udbyttemodulet med divisormodulet.

Tabel 5

Tabel 6

Med en vis strækning gælder samme forklaring også for produktet 1-5, hvis vi antager, at "summen" er fra én enkelt

sigt er lig med denne term. Men produktet 0 5 eller (-3) 5 kan ikke forklares på denne måde: hvad betyder summen af nul eller minus tre led?

Du kan dog omarrangere faktorerne

Hvis vi ønsker, at produktet ikke ændrer sig, når faktorerne omarrangeres - som det var tilfældet for positive tal - så må vi antage, at

Tabel 7

Selvfølgelig vil du ikke blive forvirret af sådan snak: Fra dit skolematematikkursus har du helt klart lært, at minus ved minus giver et plus. Men forestil dig, at din yngre bror eller søster spørger dig: hvorfor? Hvad er dette - en lærers indfald, en ordre fra højere myndigheder eller et teorem, der kan bevises?

Normalt forklares reglen for at gange negative tal med eksempler som det, der er vist i tabellen. 8.

Tabel 8

Det kan forklares anderledes. Lad os skrive tallene i en række

Lad os nu skrive de samme tal ganget med 3:

Det er nemt at bemærke, at hvert tal er 3 mere end det foregående Lad os nu skrive de samme tal i omvendt rækkefølge (startende for eksempel med 5 og 15):

Desuden var der under tallet -5 et tal -15, så 3 (-5) = -15: plus ved minus giver et minus.

Lad os nu gentage den samme procedure og gange tallene 1,2,3,4,5 ... med -3 (vi ved allerede, at plus med minus giver minus):

Hvert næste tal i den nederste række er 3 mindre end det forrige. Skriv tallene i omvendt rækkefølge

og fortsæt:

Under tallet -5 er der 15, så (-3) (-5) = 15.

Måske ville disse forklaringer tilfredsstille din yngre bror eller søster. Men du har ret til at spørge, hvordan tingene egentlig er, og er det muligt at bevise, at (-3) (-5) = 15?

Lad os først bevise, at 3 (-5) = -15. Hvad er -15? Dette er det modsatte tal af 15, det vil sige det tal, som når det lægges til 15 giver 0. Så vi skal bevise, at