Hvad er cosinus alfa. Sinus, cosinus, tangent, cotangens af en spids vinkel

Trigonometri, som en videnskab, opstod i det antikke østen. De første trigonometriske forhold blev udledt af astronomer for at skabe en nøjagtig kalender og orientering efter stjernerne. Disse beregninger var relateret til sfærisk trigonometri, mens de var i skoleforløb studere forholdet mellem sider og vinkler i en plan trekant.

Trigonometri er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med egenskaberne ved trigonometriske funktioner og forholdet mellem sider og vinkler i trekanter.

Under kulturens og videnskabens storhedstid i det 1. årtusinde e.Kr. spredte viden sig fra oldtidens øst til Grækenland. Men de vigtigste opdagelser af trigonometri er fortjenesten af ​​mændene i det arabiske kalifat. Især den turkmenske videnskabsmand al-Marazwi introducerede funktioner som tangent og cotangens og kompilerede de første værditabeller for sinus, tangenter og cotangens. Begreberne sinus og cosinus blev introduceret af indiske videnskabsmænd. Trigonometri fik meget opmærksomhed i værker af så store skikkelser fra antikken som Euklid, Archimedes og Eratosthenes.

Grundlæggende mængder af trigonometri

De grundlæggende trigonometriske funktioner i et numerisk argument er sinus, cosinus, tangens og cotangens. Hver af dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Formlerne til beregning af værdierne af disse mængder er baseret på Pythagoras sætning. Det er bedre kendt for skolebørn i formuleringen: "Pythagorean-bukser er lige i alle retninger," da beviset er givet ved hjælp af eksemplet med en ligebenet retvinklet trekant.

Sinus, cosinus og andre afhængigheder etablerer forholdet mellem de spidse vinkler og sider af enhver retvinklet trekant. Lad os give formler til beregning af disse størrelser for vinkel A og spore forholdet mellem trigonometriske funktioner:

Som du kan se, er tg og ctg omvendte funktioner. Hvis vi forestiller os ben a som produktet af sin A og hypotenusen c, og ben b som cos A * c, får vi følgende formler for tangent og cotangens:

Trigonometrisk cirkel

Grafisk kan forholdet mellem de nævnte mængder repræsenteres som følger:

Cirklen repræsenterer i dette tilfælde alt mulige værdier vinkel α - fra 0° til 360°. Som det kan ses af figuren, tager hver funktion et negativt eller positiv værdi afhængig af vinklens størrelse. For eksempel vil sin α have et "+"-tegn, hvis α hører til 1. og 2. fjerdedel af cirklen, det vil sige, det er i området fra 0° til 180°. For α fra 180° til 360° (III og IV kvarte) kan sin α kun være en negativ værdi.

Lad os prøve at bygge trigonometriske tabeller for specifikke vinkler og finde ud af betydningen af ​​mængderne.

Værdier af α lig med 30°, 45°, 60°, 90°, 180° og så videre kaldes specielle tilfælde. Værdierne af trigonometriske funktioner for dem beregnes og præsenteres i form af specielle tabeller.

Disse vinkler blev ikke valgt tilfældigt. Betegnelsen π i tabellerne er for radianer. Rad er den vinkel, hvor længden af ​​en cirkels bue svarer til dens radius. Denne værdi blev indført for at etablere en universel afhængighed ved beregning i radianer, den faktiske længde af radius i cm er ligegyldig.

Vinkler i tabeller for trigonometriske funktioner svarer til radianværdier:

Så det er ikke svært at gætte, at 2π er fuld cirkel eller 360°.

Egenskaber for trigonometriske funktioner: sinus og cosinus

For at overveje og sammenligne de grundlæggende egenskaber for sinus og cosinus, tangent og cotangens er det nødvendigt at tegne deres funktioner. Dette kan gøres i form af en kurve placeret i et todimensionelt koordinatsystem.

Overvej den sammenlignende tabel over egenskaber for sinus og cosinus:

Sinusbølge	Cosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, for x = πk, hvor k ϵ Z	cos x = 0, for x = π/2 + πk, hvor k ϵ Z
sin x = 1, for x = π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = 1, ved x = 2πk, hvor k ϵ Z
sin x = - 1, ved x = 3π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = - 1, for x = π + 2πk, hvor k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, dvs. funktionen er ulige	cos (-x) = cos x, dvs. funktionen er lige
	funktionen er periodisk, den mindste periode er 2π
sin x › 0, hvor x hører til I- og II-fjerdingerne eller fra 0° til 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, hvor x hører til I- og IV-kvartererne eller fra 270° til 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, hvor x hører til tredje og fjerde kvartal eller fra 180° til 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, hvor x hører til 2. og 3. kvartal eller fra 90° til 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
stiger i intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	stiger med intervallet [-π + 2πk, 2πk]
falder med intervaller [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	falder i intervaller
afledt (sin x)' = cos x	afledt (cos x)’ = - sin x

Det er meget enkelt at bestemme, om en funktion er lige eller ej. Nok til at forestille sig trigonometrisk cirkel med fortegnene for trigonometriske størrelser og mentalt "tilføje" grafen i forhold til OX-aksen. Hvis fortegnene falder sammen, er funktionen lige, ellers er den ulige.

Introduktionen af ​​radianer og oversigten over de grundlæggende egenskaber ved sinus- og cosinusbølger giver os mulighed for at præsentere følgende mønster:

Det er meget nemt at verificere, at formlen er korrekt. For eksempel, for x = π/2, er sinus 1, ligesom cosinus af x = 0. Kontrollen kan udføres ved at konsultere tabeller eller ved at spore funktionskurver for givne værdier.

Egenskaber for tangentsoider og cotangensoider

Graferne for tangent- og cotangensfunktionerne adskiller sig væsentligt fra sinus- og cosinusfunktionerne. Værdierne tg og ctg er gensidige af hinanden.

1. Y = tan x.
2. Tangenten har en tendens til værdierne af y ved x = π/2 + πk, men når dem aldrig.
3. Den mindste positive periode af tangentoiden er π.
4. Tg (- x) = - tg x, dvs. funktionen er ulige.
5. Tg x = 0, for x = πk.
6. Funktionen er stigende.
7. Tg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, for x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Afledt (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Overvej den grafiske gengivelse af cotangentoiden nedenfor i teksten.

De vigtigste egenskaber ved cotangentoider:

1. Y = barneseng x.
2. I modsætning til sinus- og cosinusfunktionerne kan Y i tangentoiden antage værdierne af mængden af ​​alle reelle tal.
3. Cotangentoiden har en tendens til værdierne af y ved x = πk, men når dem aldrig.
4. Den mindste positive periode af en cotangentoid er π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, dvs. funktionen er ulige.
6. Ctg x = 0, for x = π/2 + πk.
7. Funktionen er faldende.
8. Ctg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, for x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Afledt (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Korrekt

Hvor problemer med at løse en retvinklet trekant blev overvejet, lovede jeg at præsentere en teknik til at huske definitionerne af sinus og cosinus. Ved at bruge det vil du altid hurtigt huske, hvilken side der hører til hypotenusen (tilstødende eller modsatte). Jeg besluttede ikke at udsætte det for længe, påkrævet materiale nedenfor, læs venligst 😉

Faktum er, at jeg gentagne gange har observeret, hvordan elever i 10.-11. klasse har svært ved at huske disse definitioner. De husker godt, at benet refererer til hypotenusen, men hvilken- de glemmer og forvirret. Prisen for en fejl, som du ved i en eksamen, er et tabt point.

De oplysninger, jeg vil præsentere direkte, har intet med matematik at gøre. Det er forbundet med figurativ tænkning og med metoder til verbal-logisk kommunikation. Det er præcis sådan, jeg husker det én gang for alledefinitionsdata. Hvis du glemmer dem, kan du altid nemt huske dem ved hjælp af de præsenterede teknikker.

Lad mig minde dig om definitionerne af sinus og cosinus i en retvinklet trekant:

Cosinus spids vinkel i en retvinklet trekant er dette forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:

Bihule Den spidse vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen:

Så hvilke associationer har du til ordet cosinus?

Alle har sikkert deres eget 😉Husk linket:

Således vil udtrykket straks dukke op i din hukommelse -

«… forholdet mellem det TILSTÆNDENDE ben og hypotenusen».

Problemet med at bestemme cosinus er løst.

Hvis du skal huske definitionen af ​​sinus i en retvinklet trekant, så husker du definitionen af ​​cosinus, kan du nemt fastslå, at sinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen. Når alt kommer til alt, er der kun to ben, hvis det tilstødende ben er "optaget" af cosinus, så forbliver kun det modsatte ben med sinus.

Hvad med tangent og cotangens? Forvirringen er den samme. Eleverne ved, at dette er et forhold mellem ben, men problemet er at huske, hvilken der refererer til hvilken - enten det modsatte af den tilstødende, eller omvendt.

Definitioner:

Tangent Den spidse vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side:

Cotangens Den spidse vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte:

Hvordan husker man? Der er to måder. Den ene bruger også en verbal-logisk sammenhæng, den anden bruger en matematisk.

MATEMATISK METODE

Der er en sådan definition - tangenten af ​​en spids vinkel er forholdet mellem vinklens sinus og dens cosinus:

*Når du har lært formlen udenad, kan du altid bestemme, at tangenten af ​​en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.

Ligeledes.Cotangensen af ​​en spids vinkel er forholdet mellem vinklens cosinus og sinus:

Så! Ved at huske disse formler kan du altid bestemme, at:

- tangenten af ​​en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side

— cotangensen af ​​en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side.

ORD-LOGISK METODE

Om tangent. Husk linket:

Det vil sige, at hvis du skal huske definitionen af ​​tangent, ved hjælp af denne logiske forbindelse, kan du nemt huske, hvad det er

"... forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side"

Hvis vi taler om cotangens, så husker du definitionen af ​​tangent, kan du nemt udtrykke definitionen af ​​cotangens -

"... forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side"

Der er et interessant trick til at huske tangent og cotangens på hjemmesiden " Matematisk tandem " , se.

UNIVERSEL METODE

Du kan bare huske det.Men som praksis viser, takket være verbale-logiske forbindelser, husker en person information i lang tid og ikke kun matematisk.

Jeg håber, at materialet var nyttigt for dig.

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du mest være opmærksom på vores navigator nyttig ressource For

Sinus, cosinus, tangent, cotangens

Begreberne sinus (), cosinus (), tangent (), cotangens () er uløseligt forbundet med begrebet vinkel. For at have en god forståelse af disse, ved første øjekast, komplekse begreber (som forårsager en tilstand af rædsel hos mange skolebørn), og for at sikre, at "djævelen ikke er så forfærdelig, som han er malet", lad os tage udgangspunkt i meget begyndende og forstå begrebet en vinkel.

Vinkelkoncept: radian, grad

Lad os se på billedet. Vektoren har "vendt" i forhold til punktet med en vis mængde. Så målet for denne rotation i forhold til den oprindelige position vil være hjørne.

Hvad skal du ellers vide om begrebet vinkel? Nå, selvfølgelig, vinkelenheder!

Vinkel, i både geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.

Vinkel (en grad) er den centrale vinkel i en cirkel, der er omsluttet af en cirkulær bue, der er lig med en del af cirklen. Hele cirklen består således af "stykker" af cirkelbuer, eller vinklen beskrevet af cirklen er ens.

Det vil sige, at figuren ovenfor viser en vinkel svarende til, det vil sige, at denne vinkel hviler på en cirkelbue på størrelse med omkredsen.

En vinkel i radianer er den centrale vinkel i en cirkel, der er omsluttet af en cirkulær bue, hvis længde er lig med cirklens radius. Nå, fandt du ud af det? Hvis ikke, så lad os finde ud af det ud fra tegningen.

Så figuren viser en vinkel lig med en radian, det vil sige, denne vinkel hviler på en cirkelbue, hvis længde er lig med radius af cirklen (længden er lig med længden eller radius er lig med længden af ​​buen). Således beregnes buelængden ved formlen:

Hvor er den centrale vinkel i radianer.

Tja, ved at vide dette, kan du svare på, hvor mange radianer der er indeholdt i vinklen beskrevet af cirklen? Ja, til dette skal du huske formlen for omkreds. Her er det:

Nå, lad os nu korrelere disse to formler og finde ud af, at vinklen beskrevet af cirklen er ens. Det vil sige, ved at korrelere værdien i grader og radianer, får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, er ordet "radian" i modsætning til "grader" udeladt, da måleenheden normalt fremgår tydeligt af sammenhængen.

Hvor mange radianer er der? Det er rigtigt!

Har du det? Så gå videre og ret det:

Har du vanskeligheder? Så se svar:

Ret trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens af vinklen

Så vi fandt ud af konceptet med en vinkel. Men hvad er sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel? Lad os finde ud af det. For dette vil det hjælpe os retvinklet trekant.

Hvad kaldes siderne i en retvinklet trekant? Det er rigtigt, hypotenusen og benene: hypotenusen er den side, der ligger modsat ret vinkel(i vores eksempel er dette siden); benene er de to resterende sider og (dem, der støder op til den rigtige vinkel), og hvis vi betragter benene i forhold til vinklen, så er benet det tilstødende ben, og benet er det modsatte. Så lad os nu besvare spørgsmålet: hvad er sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel?

Sinus af vinkel- dette er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.

I vores trekant.

Cosinus af vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.

I vores trekant.

Tangent af vinklen- dette er forholdet mellem den modsatte (fjerne) side og den tilstødende (nære).

I vores trekant.

Cotangens af vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og det modsatte (fjern).

I vores trekant.

Disse definitioner er nødvendige huske! For at gøre det nemmere at huske, hvilket ben du skal dele i hvad, skal du tydeligt forstå det i tangent Og cotangens kun benene sidder, og hypotenusen vises kun i bihule Og cosinus. Og så kan man komme med en kæde af associationer. For eksempel denne:

Cosinus→touch→touch→tilstødende;

Cotangens→touch→touch→tilstødende.

Først og fremmest skal du huske, at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellem siderne i en trekant ikke afhænger af længden af ​​disse sider (i samme vinkel). Tror du mig ikke? Så sørg for at se på billedet:

Overvej for eksempel cosinus af en vinkel. Per definition ud fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus af en vinkel ud fra en trekant: . Du kan se, længderne af siderne er forskellige, men værdien af ​​cosinus for en vinkel er den samme. Værdierne for sinus, cosinus, tangens og cotangens afhænger således udelukkende af vinklens størrelse.

Hvis du forstår definitionerne, så gå videre og konsolider dem!

For trekanten vist i figuren nedenfor finder vi.

Nå, fik du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinklen.

Enhed (trigonometrisk) cirkel

For at forstå begreberne grad og radian betragtede vi en cirkel med en radius lig med. Sådan en cirkel kaldes enkelt. Det vil være meget nyttigt, når du studerer trigonometri. Lad os derfor se lidt mere detaljeret på det.

Som du kan se, given cirkel opbygget i et kartesisk koordinatsystem. Cirklens radius er lig med én, mens cirklens centrum ligger ved koordinaternes begyndelse, radiusvektorens begyndelsesposition er fast langs den positive retning af aksen (i vores eksempel er dette radius).

Hvert punkt på cirklen svarer til to tal: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hvad er disse koordinattal? Og generelt, hvad har de at gøre med det aktuelle emne? For at gøre dette skal vi huske på den betragtede retvinklede trekant. På figuren ovenfor kan du se to hele retvinklede trekanter. Overvej en trekant. Den er rektangulær, fordi den er vinkelret på aksen.

Hvad er trekanten lig med? Det er rigtigt. Derudover ved vi, at det er radius af enhedscirklen, hvilket betyder . Lad os erstatte denne værdi med vores formel for cosinus. Her er hvad der sker:

Hvad er trekanten lig med? Nå selvfølgelig! Erstat radiusværdien i denne formel og få:

Så kan du fortælle, hvilke koordinater et punkt, der hører til en cirkel, har? Nå, ingen måde? Hvad hvis du indser det og kun er tal? Hvilken koordinat svarer det til? Nå, selvfølgelig, koordinaterne! Og hvilken koordinat svarer det til? Det er rigtigt, koordinater! Altså punktum.

Hvad er og lig med så? Det er rigtigt, lad os bruge de tilsvarende definitioner af tangent og cotangens og få det, en.

Hvad hvis vinklen er større? For eksempel som på dette billede:

Hvad har ændret sig i i dette eksempel? Lad os finde ud af det. For at gøre dette, lad os vende igen til en retvinklet trekant. Overvej en retvinklet trekant: vinkel (som støder op til en vinkel). Hvad er værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er rigtigt, vi overholder de tilsvarende definitioner af trigonometriske funktioner:

Nå, som du kan se, svarer værdien af ​​vinklens sinus stadig til koordinaten; værdien af ​​vinklens cosinus - koordinaten; og værdierne af tangent og cotangens til de tilsvarende forhold. Disse relationer gælder således for enhver rotation af radiusvektoren.

Det er allerede blevet nævnt, at startpositionen af ​​radiusvektoren er langs den positive retning af aksen. Indtil videre har vi roteret denne vektor mod uret, men hvad sker der, hvis vi roterer den med uret? Ikke noget ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en vis værdi, men kun den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mod uret, får vi således positive vinkler, og når man drejer med uret - negativ.

Så vi ved, at en hel omdrejning af radiusvektoren omkring en cirkel er eller. Er det muligt at rotere radiusvektoren til eller til? Nå, selvfølgelig kan du det! I det første tilfælde vil radiusvektoren derfor lave en hel omdrejning og stoppe ved position eller.

I det andet tilfælde, det vil sige, vil radiusvektoren lave tre fulde omdrejninger og stoppe ved position eller.

Ud fra ovenstående eksempler kan vi således konkludere, at vinkler, der adskiller sig med eller (hvor er et hvilket som helst heltal) svarer til den samme position af radiusvektoren.

Nedenstående figur viser en vinkel. Det samme billede svarer til hjørnet osv. Denne liste kan fortsættes på ubestemt tid. Alle disse vinkler kan skrives med den generelle formel eller (hvor er et heltal)

Nu, ved at kende definitionerne af de grundlæggende trigonometriske funktioner og bruge enhedscirklen, prøv at svare på, hvad værdierne er:

Her er en enhedscirkel til at hjælpe dig:

Har du vanskeligheder? Så lad os finde ud af det. Så vi ved at:

Herfra bestemmer vi koordinaterne for de punkter, der svarer til bestemte vinkelmål. Nå, lad os starte i rækkefølge: vinklen ved svarer til et punkt med koordinater, derfor:

eksisterer ikke;

Ydermere, ved at følge den samme logik, finder vi ud af, at hjørnerne i henholdsvis svarer til punkter med koordinater. Ved at vide dette er det let at bestemme værdierne af trigonometriske funktioner på de tilsvarende punkter. Prøv det selv først, og tjek derefter svarene.

Svar:

Derfor kan vi lave følgende tabel:

Der er ingen grund til at huske alle disse værdier. Det er nok at huske overensstemmelsen mellem koordinaterne af punkter på enhedscirklen og værdierne af trigonometriske funktioner:

Men værdierne af de trigonometriske funktioner af vinkler i og givet i tabellen nedenfor, skal huskes:

Vær ikke bange, nu viser vi dig et eksempel ret nemt at huske de tilsvarende værdier:

For at bruge denne metode er det vigtigt at huske værdierne af sinus for alle tre vinklemål (), såvel som værdien af ​​vinklens tangent. Ved at kende disse værdier er det ret simpelt at gendanne hele bordet - cosinusværdierne overføres i overensstemmelse med pilene, det vil sige:

Ved at vide dette kan du gendanne værdierne for. Tælleren " " vil matche, og nævneren " " vil matche. Cotangensværdier overføres i overensstemmelse med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, så vil det være nok at huske alle værdierne fra tabellen.

Koordinater for et punkt på en cirkel

Er det muligt at finde et punkt (dets koordinater) på en cirkel, at kende koordinaterne for cirklens centrum, dens radius og rotationsvinkel?

Nå, selvfølgelig kan du det! Lad os få det ud generel formel at finde koordinaterne til et punkt.

For eksempel, her er en cirkel foran os:

Vi får, at punktet er cirklens centrum. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for et punkt opnået ved at rotere punktet i grader.

Som det kan ses af figuren, svarer punktets koordinat til segmentets længde. Længden af ​​segmentet svarer til koordinaten for midten af ​​cirklen, det vil sige, at den er ens. Længden af ​​et segment kan udtrykkes ved hjælp af definitionen af ​​cosinus:

Så har vi det for punktkoordinaten.

Ved hjælp af samme logik finder vi y-koordinatværdien for punktet. Således,

Så i generel opfattelse koordinater af punkter bestemmes af formlerne:

Koordinater for cirklens centrum,

Cirkel radius,

Rotationsvinklen for vektorradius.

Som du kan se, for enhedscirklen, vi overvejer, er disse formler reduceret betydeligt, da koordinaterne for centrum er lig med nul og radius er lig med en:

Nå, lad os prøve disse formler ved at øve os i at finde punkter på en cirkel?

1. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.

2. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.

3. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.

4. Punktet er midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

5. Punktet er midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

Har du problemer med at finde koordinaterne for et punkt på en cirkel?

Løs disse fem eksempler (eller bliv god til at løse dem), så lærer du at finde dem!

RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.

Cosinus af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.

Tangens af en vinkel er forholdet mellem den modsatte (fjerne) side og den tilstødende (nære) side.

Cotangensen af ​​en vinkel er forholdet mellem den tilstødende (tætte) side og den modsatte (fjerne) side.

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For vellykket afslutning Unified State Exam, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du skal bruge løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Og afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Centreret ved punkt A.
α er vinklen udtrykt i radianer.

Tangent ( tan α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben |BC|

til længden af ​​det tilstødende ben |AB| . Cotangens () ctg α

er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det tilstødende ben |AB|

til længden af ​​det modsatte ben |BC| . Tangent Hvor

n
.
;
;
.

- hel.

I vestlig litteratur betegnes tangent som følger:

til længden af ​​det modsatte ben |BC| . Tangent Hvor

Graf for tangentfunktionen, y = tan x
.
Cotangens
;
;
.

I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:

Følgende notationer accepteres også:

Graf over cotangensfunktionen, y = ctg x

Egenskaber for tangent og cotangens Periodicitet Funktioner y = tg x og y =

ctg x

er periodiske med periode π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunktionerne er ulige. Tangent Definitionsområder og værdier, stigende, faldende

	Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). De vigtigste egenskaber ved tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( Periodicitet	Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). De vigtigste egenskaber ved tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( tg x
- hel).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Omfang og kontinuitet		-
Vifte af værdier	-
Stigende	-	-
Faldende 0
Yderligheder 0	Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). De vigtigste egenskaber ved tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( 0	-

Nuller, y =

Skær punkter med ordinataksen, x =

; ;
; ;
;

Formler

Udtryk ved hjælp af sinus og cosinus

Formler for tangent og cotangens fra sum og difference

De resterende formler er nemme at få f.eks

Produkt af tangenter

Formel for summen og forskellen af ​​tangenter

Denne tabel præsenterer værdierne af tangenter og cotangenter for visse værdier af argumentet.

;
;

Udtryk ved hjælp af komplekse tal

; .

.
Udtryk gennem hyperbolske funktioner
.
Derivater

Afledt af n. orden med hensyn til variablen x af funktionen:

Aflede formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler Serieudvidelser Og For at opnå udvidelsen af ​​tangenten i potenser af x, skal du tage flere led af udvidelsen i en potensrække for funktionerne synd x

fordi x

og dividere disse polynomier med hinanden,.
Dette giver følgende formler. kl. kl.
;
;
Hvor
Bn

- Bernoulli tal. De bestemmes enten ud fra gentagelsesrelationen:

Hvor .

Eller ifølge Laplaces formel:

Omvendte funktioner Tangent Hvor

De omvendte funktioner af tangent og cotangens er henholdsvis arctangens og arccotangens.

Omvendte funktioner Tangent Hvor

Arctangens, arctg
, Hvor
Arccotangens, arcctg

Begreberne sinus, cosinus, tangent og cotangens er hovedkategorierne af trigonometri, en gren af ​​matematikken, og er uløseligt forbundet med definitionen af ​​vinkel. Beherskelse af denne matematiske videnskab kræver memorering og forståelse af formler og teoremer samt udviklet rumlig tænkning. Det er derfor, at trigonometriske beregninger ofte forårsager vanskeligheder for skolebørn og elever. For at overvinde dem bør du blive mere fortrolig med trigonometriske funktioner og formler.

Begreber i trigonometri

For at forstå trigonometriens grundlæggende begreber skal du først forstå, hvad en retvinklet trekant og en vinkel i en cirkel er, og hvorfor alle grundlæggende trigonometriske beregninger er forbundet med dem. En trekant, hvor en af ​​vinklerne måler 90 grader, er rektangulær. Historisk set blev denne figur ofte brugt af mennesker inden for arkitektur, navigation, kunst og astronomi. Ved at studere og analysere egenskaberne ved denne figur kom folk derfor til at beregne de tilsvarende forhold mellem dens parametre.

Hovedkategorierne forbundet med retvinklede trekanter er hypotenusen og benene. Hypotenusen er siden af ​​en trekant modsat den rette vinkel. Benene er henholdsvis de resterende to sider. Summen af ​​vinklerne i trekanter er altid 180 grader.

Sfærisk trigonometri er et afsnit af trigonometri, der ikke studeres i skolen, men i anvendte videnskaber som astronomi og geodæsi bruger videnskabsmænd det. Det særlige ved en trekant i sfærisk trigonometri er, at den altid har en sum af vinkler, der er større end 180 grader.

Vinkler af en trekant

I en retvinklet trekant er en vinkels sinus forholdet mellem benet modsat den ønskede vinkel og trekantens hypotenus. Følgelig er cosinus forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen. Begge disse værdier har altid en størrelse mindre end én, da hypotenusen altid er længere end benet.

Tangens af en vinkel er en værdi lig med forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side af den ønskede vinkel, eller sinus til cosinus. Cotangens er på sin side forholdet mellem den tilstødende side af den ønskede vinkel og den modsatte side. Cotangensen af ​​en vinkel kan også fås ved at dividere en med tangentværdien.

Enhedscirkel

En enhedscirkel i geometri er en cirkel, hvis radius er lig med én. En sådan cirkel er konstrueret i et kartesisk koordinatsystem, hvor cirklens centrum falder sammen med oprindelsespunktet, og radiusvektorens begyndelsesposition bestemmes langs X-aksens positive retning (abscisse-aksen). Hvert punkt på cirklen har to koordinater: XX og YY, det vil sige koordinaterne for abscissen og ordinaten. Ved at vælge et hvilket som helst punkt på cirklen i XX-planet og slippe en vinkelret fra den til abscisse-aksen, får vi en retvinklet trekant dannet af radius til det valgte punkt (angivet med bogstavet C), vinkelret tegnet på X-aksen (skæringspunktet er angivet med bogstavet G), og segmentet abscisseaksen er mellem koordinaternes oprindelse (punktet er betegnet med bogstavet A) og skæringspunktet G. Den resulterende trekant ACG er en retvinklet trekant indskrevet i en cirkel, hvor AG er hypotenusen, og AC og GC er benene. Vinklen mellem radius af cirklen AC og segmentet af abscisseaksen med betegnelsen AG er defineret som α (alfa). Så cos α = AG/AC. I betragtning af at AC er radius af enhedscirklen, og den er lig med en, viser det sig, at cos α=AG. Ligeledes er sin α=CG.

Ved at kende disse data kan du desuden bestemme koordinaten for punkt C på cirklen, da cos α=AG, og sin α=CG, hvilket betyder, at punkt C har de givne koordinater (cos α;sin α). Ved at vide, at tangenten er lig med forholdet mellem sinus og cosinus, kan vi bestemme, at tan α = y/x, og cot α = x/y. Ved at betragte vinkler i et negativt koordinatsystem kan man beregne, at sinus- og cosinusværdierne for nogle vinkler kan være negative.

Beregninger og grundlæggende formler

Trigonometriske funktionsværdier

Efter at have overvejet essensen af ​​trigonometriske funktioner gennem enhedscirklen, kan vi udlede værdierne af disse funktioner for nogle vinkler. Værdierne er angivet i tabellen nedenfor.

De enkleste trigonometriske identiteter

Ligninger, hvori tegnet for den trigonometriske funktion indeholder ukendt værdi, kaldes trigonometriske. Identiteter med værdien sin x = α, k - ethvert heltal:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteter med værdien cos x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med værdien tg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identiteter med værdien ctg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

1. barneseng x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Reduktionsformler

Denne kategori af konstante formler angiver metoder, hvormed du kan flytte fra trigonometriske funktioner af formen til funktioner af et argument, det vil sige reducere sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel af enhver værdi til de tilsvarende indikatorer for vinklen af intervallet fra 0 til 90 grader for større bekvemmelighed ved beregninger.

Formler til reduktion af funktioner for en vinkels sinus ser således ud:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

For cosinus af vinkel:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Brugen af ​​ovenstående formler er mulig under forudsætning af to regler. For det første, hvis vinklen kan repræsenteres som en værdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ændres værdien af ​​funktionen:

• fra synd til cos;
• fra cos til synd;
• fra tg til ctg;
• fra ctg til tg.

Værdien af ​​funktionen forbliver uændret, hvis vinklen kan repræsenteres som (π ± a) eller (2π ± a).

For det andet ændres tegnet på den reducerede funktion ikke: hvis det oprindeligt var positivt, forbliver det sådan. Det samme med negative funktioner.

Tilføjelsesformler

Disse formler udtrykker værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens af summen og forskellen af ​​to rotationsvinkler gennem deres trigonometriske funktioner. Typisk er vinklerne betegnet som α og β.

Formlerne ser således ud:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Disse formler er gyldige for alle vinkler α og β.

Dobbelt- og tredobbeltvinkelformler

De dobbelte og tredobbelte trigonometriske formler er formler, der relaterer funktionerne af henholdsvis vinklerne 2α og 3α til de trigonometriske funktioner af vinklen α. Afledt af additionsformler:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Overgang fra sum til produkt

I betragtning af at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), forenklet denne formel, opnår vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Overgang fra produkt til sum

Disse formler følger af identiteten af ​​overgangen af ​​en sum til et produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formler for gradreduktion

I disse identiteter kan kvadrat- og kubikkpotenserne af sinus og cosinus udtrykkes i form af sinus og cosinus af den første potens af en multipel vinkel:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universel substitution

Formler for universel trigonometrisk substitution udtrykker trigonometriske funktioner i form af tangenten til en halv vinkel.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), med x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
• barneseng x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), med x = π + 2πn.

Særlige tilfælde

Særlige tilfælde af protozoer trigonometriske ligninger er givet nedenfor (k er et hvilket som helst heltal).

Quotienter for sinus:

Sin x værdi	x værdi
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Kvotienter for cosinus:

cos x værdi	x værdi
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Quotienter for tangent:

tg x værdi	x værdi
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kvotienter for cotangens:

ctg x værdi	x værdi
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Sætninger

Sinussætning

Der er to versioner af sætningen - enkel og udvidet. Enkel sinussætning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfælde er a, b, c siderne af trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de modsatte vinkler.

Udvidet sinussætning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identitet betegner R radius af cirklen, hvori den givne trekant er indskrevet.

Cosinus-sætning

Identiteten vises som følger: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formlen er a, b, c siderne i trekanten, og α er vinklen modsat side a.

Tangentsætning

Formlen udtrykker forholdet mellem tangenterne af to vinkler og længden af ​​siderne modsat dem. Siderne er mærket a, b, c, og de tilsvarende modsatte vinkler er α, β, γ. Tangentsætningens formel: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangenssætning

Forbinder radius af en cirkel indskrevet i en trekant med længden af ​​dens sider. Hvis a, b, c er siderne af trekanten, og A, B, C, henholdsvis er vinklerne modsat dem, r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af ​​trekanten, er følgende identiteter er gyldige:

• barneseng A/2 = (p-a)/r;
• barneseng B/2 = (p-b)/r;
• barneseng C/2 = (p-c)/r.

Anvendelse

Trigonometri er ikke kun en teoretisk videnskab forbundet med matematiske formler. Dets egenskaber, teoremer og regler bruges i praksis af forskellige industrier. menneskelig aktivitet- astronomi, luft og sønavigation, musikteori, geodæsi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, økonomi, maskinteknik, målearbejde, computergrafik, kartografi, oceanografi og mange andre.

Sinus, cosinus, tangent og cotangens er trigonometriens grundbegreber, ved hjælp af hvilke man matematisk kan udtrykke sammenhængene mellem sidernes vinkler og længder i en trekant, og finde de nødvendige størrelser gennem identiteter, sætninger og regler.