Gennemfør lektioner - Videnshypermarked. Cirkel

Lad os huske sagerne relativ position lige linje og cirkel.

Givet en cirkel med centrum O og radius r. Ret linje P, afstanden fra centrum til den rette linje, det vil sige vinkelret på OM, er lig med d.

Case 1- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er mindre end radius af cirklen:

Vi har bevist, at i det tilfælde, hvor afstanden d er mindre end radius af cirklen r, har den rette linje og cirklen kun to fælles punkter (fig. 1).

Ris. 1. Illustration til sag 1

Sag to- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er lig med radius af cirklen:

Vi har bevist, at der i dette tilfælde kun er ét fælles punkt (fig. 2).

Ris. 2. Illustration til sag 2

Tilfælde 3- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er større end radius af cirklen:

Vi har bevist, at i dette tilfælde har cirklen og den rette linje ikke fælles punkter (fig. 3).

Ris. 3. Illustration til sag 3

På denne lektion vi er interesserede i det andet tilfælde, hvor den rette linje og cirklen har et enkelt fælles punkt.

Definition:

En ret linje, der har et enkelt fælles punkt med en cirkel, kaldes en tangent til cirklen.

Den rette linje p er en tangent, punktet A er et tangenspunkt (fig. 4).

Ris. 4. Tangent

Sætning:

Tangenten til cirklen er vinkelret på radius tegnet til kontaktpunktet (fig. 5).

Ris. 5. Illustration til sætningen

Bevis:

Tværtimod, lad OA ikke være vinkelret på den rette linje r. I dette tilfælde sænker vi en vinkelret fra punkt O til lige linje p, som vil være afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje:

Fra en retvinklet trekant kan vi sige, at hypotenusen OH er mindre end benet OA, det vil sige, at den rette linje og cirklen har to fælles punkter, den rette linje p er en sekant. Dermed har vi fået en modsigelse, som betyder, at sætningen er bevist.

Ris. 6. Illustration til sætningen

Den omvendte sætning er også sand.

Sætning:

Hvis en linje går gennem enden af ​​en radius, der ligger på en cirkel og er vinkelret på denne radius, så er det en tangent.

Bevis:

Da den rette linje er vinkelret på radius, er afstanden OA afstanden fra den rette linje til cirklens centrum, og den er lig med radius:. Det vil sige, og i dette tilfælde, som vi tidligere har bevist, har linjen og cirklen det eneste fælles punkt - punkt A, således tangerer linjen p cirklen per definition (fig. 7).

Ris. 7. Illustration til sætningen

De direkte og omvendte sætninger kan kombineres som følger (fig. 8):

Givet en cirkel med centrum O, ret linje p, radius OA

Ris. 8. Illustration til sætningen

Sætning:

En ret linje er tangent til en cirkel, hvis og kun hvis radius tegnet til tangenspunktet er vinkelret på den.

Denne sætning betyder, at hvis en linje er en tangent, så er radius trukket til tangenspunktet vinkelret på den, og omvendt, ud fra vinkelretheden af ​​OA og p følger det, at p er en tangent, det vil sige den rette linje og cirklen har et enkelt fælles punkt.

Overvej to tangenter tegnet fra et punkt til en cirkel.

Sætning:

Segmenter af tangenter til en cirkel tegnet fra et punkt er ens og danner lige store vinkler med en ret linje trukket gennem dette punkt og cirklens centrum.

Givet en cirkel, centrum O, punkt A uden for cirklen. To tangenter er trukket fra punkt A, punkt B og C er tangenspunkter. Du skal bevise, at vinkel 3 og 4 er ens.

Ris. 9. Illustration til sætningen

Bevis:

Beviset er baseret på trekanters lighed . Lad os forklare trekanters lighed. De er rektangulære, fordi radius tegnet til kontaktpunktet er vinkelret på tangenten. Det betyder, at vinklerne er både rette og lige i . Benene OB og OS er ens, da de er radius af cirklen. Hypotenusen AO er generel.

Således er trekanter ens med hensyn til ligheden mellem benet og hypotenusen. Herfra er det tydeligt, at benene AB og AC også er lige store. Også vinkler modsat lige sider, er ens, hvilket betyder, at vinklerne og , er ens.

Sætningen er blevet bevist.

Så vi har stiftet bekendtskab med begrebet en tangent til en cirkel, i den næste lektion vil vi se på gradsmål buer af en cirkel.

Referencer

1. Alexandrov A.D. osv. Geometri 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Uddannelse, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8 klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Lektier

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7-9, nr. 634-637, s. 168.

Lad os huske tilfældene af den relative position af en linje og en cirkel.

Givet en cirkel med centrum O og radius r. Ret linje P, afstanden fra centrum til den rette linje, det vil sige vinkelret på OM, er lig med d.

Case 1- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er mindre end radius af cirklen:

Vi har bevist, at i det tilfælde, hvor afstanden d er mindre end radius af cirklen r, har den rette linje og cirklen kun to fælles punkter (fig. 1).

Ris. 1. Illustration til sag 1

Sag to- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er lig med radius af cirklen:

Vi har bevist, at der i dette tilfælde kun er ét fælles punkt (fig. 2).

Ris. 2. Illustration til sag 2

Tilfælde 3- afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er større end radius af cirklen:

Vi har bevist, at i dette tilfælde har cirklen og den rette linje ikke fælles punkter (fig. 3).

Ris. 3. Illustration til sag 3

I denne lektion er vi interesseret i det andet tilfælde, hvor en linje og en cirkel har et enkelt fælles punkt.

Definition:

En ret linje, der har et enkelt fælles punkt med en cirkel, kaldes en tangent til cirklen.

Den rette linje p er en tangent, punktet A er et tangenspunkt (fig. 4).

Ris. 4. Tangent

Sætning:

Tangenten til cirklen er vinkelret på radius tegnet til kontaktpunktet (fig. 5).

Ris. 5. Illustration til sætningen

Bevis:

Tværtimod, lad OA ikke være vinkelret på den rette linje r. I dette tilfælde sænker vi en vinkelret fra punkt O til lige linje p, som vil være afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje:

Fra en retvinklet trekant kan vi sige, at hypotenusen OH er mindre end benet OA, det vil sige, at den rette linje og cirklen har to fælles punkter, den rette linje p er en sekant. Dermed har vi fået en modsigelse, som betyder, at sætningen er bevist.

Ris. 6. Illustration til sætningen

Den omvendte sætning er også sand.

Sætning:

Hvis en linje går gennem enden af ​​en radius, der ligger på en cirkel og er vinkelret på denne radius, så er det en tangent.

Bevis:

Da den rette linje er vinkelret på radius, er afstanden OA afstanden fra den rette linje til cirklens centrum, og den er lig med radius:. Det vil sige, og i dette tilfælde, som vi tidligere har bevist, har linjen og cirklen det eneste fælles punkt - punkt A, således tangerer linjen p cirklen per definition (fig. 7).

Ris. 7. Illustration til sætningen

De direkte og omvendte sætninger kan kombineres som følger (fig. 8):

Givet en cirkel med centrum O, ret linje p, radius OA

Ris. 8. Illustration til sætningen

Sætning:

En ret linje er tangent til en cirkel, hvis og kun hvis radius tegnet til tangenspunktet er vinkelret på den.

Denne sætning betyder, at hvis en linje er en tangent, så er radius trukket til tangenspunktet vinkelret på den, og omvendt, ud fra vinkelretheden af ​​OA og p følger det, at p er en tangent, det vil sige den rette linje og cirklen har et enkelt fælles punkt.

Overvej to tangenter tegnet fra et punkt til en cirkel.

Sætning:

Segmenter af tangenter til en cirkel tegnet fra et punkt er ens og danner lige store vinkler med en ret linje trukket gennem dette punkt og cirklens centrum.

Givet en cirkel, centrum O, punkt A uden for cirklen. To tangenter er trukket fra punkt A, punkt B og C er tangenspunkter. Du skal bevise, at vinkel 3 og 4 er ens.

Ris. 9. Illustration til sætningen

Bevis:

Beviset er baseret på trekanters lighed . Lad os forklare trekanters lighed. De er rektangulære, fordi radius tegnet til kontaktpunktet er vinkelret på tangenten. Det betyder, at vinklerne er både rette og lige i . Benene OB og OS er ens, da de er radius af cirklen. Hypotenusen AO er generel.

Således er trekanter ens med hensyn til ligheden mellem benet og hypotenusen. Herfra er det tydeligt, at benene AB og AC også er lige store. Vinkler, der ligger modsat lige store sider, er også ens, hvilket betyder, at vinkler og , er lige store.

Sætningen er blevet bevist.

Så vi har stiftet bekendtskab med begrebet en tangent til en cirkel i den næste lektion vil vi se på graden af ​​en cirkelbue.

Referencer

1. Alexandrov A.D. osv. Geometri 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Uddannelse, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8 klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Lektier

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7-9, nr. 634-637, s. 168.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller kontakte ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

direkte ( MN), der kun har ét fælles punkt med cirklen ( EN), kaldet tangent til cirklen.

Det fælles punkt kaldes i dette tilfælde kontaktpunkt.

Mulighed for eksistens tangent, og desuden trukket gennem ethvert punkt cirkel, som et tangenspunkt, bevises som følger teorem.

Lad det være påkrævet at udføre cirkel med centrum O tangent gennem punktet EN. For at gøre dette fra punktet EN, som fra centrum, beskriver vi bue radius A.O., og fra punktet O, som centrum skærer vi denne bue ved punkterne B Og MED en kompasløsning lig med diameteren af ​​den givne cirkel.

Efter at have brugt dengang akkorder O.B. Og OS, tilslut prikken EN med prikker D Og E, hvor disse akkorder skærer en given cirkel. Direkte AD Og A.E. - tangenter til en cirkel O. Det fremgår faktisk klart af konstruktionen trekanter AOB Og AOC ligebenet(AO = AB = AC) med baser O.B. Og OS, lig med diameteren af ​​cirklen O.

Fordi O.D. Og O.E.- radier altså D - midten O.B., A E- midten OS, Betyder AD Og A.E. - medianer, trukket til baserne af ligebenede trekanter, og derfor vinkelret på disse baser. Hvis lige D.A. Og E.A. vinkelret på radierne O.D. Og O.E., så de - tangenter.

Følge.

To tangenter trukket fra et punkt til en cirkel er lige store og danner lige store vinkler med den rette linje, der forbinder dette punkt med midten.

Så AD=AE og ∠ OAD = ∠OAE fordi retvinklede trekanter AOD Og AOE, have en fælles hypotenusen A.O. og lige ben O.D. Og O.E.(som radier), er lige store. Bemærk, at her betyder ordet "tangens" faktisk " tangentsegment” fra et givet punkt til kontaktpunktet.