Cosinus linje på en cirkel. Trigonometrisk cirkel

Centreret ved punkt A.
α er vinklen udtrykt i radianer.

Tangent ( tan α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​den modsatte side |BC| til længden af ​​det tilstødende ben |AB| .

Cotangens ( ctg α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det tilstødende ben |AB| til længden af ​​det modsatte ben |BC| .

Tangent

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur betegnes tangent som følger:
.
;
;
.

Graf for tangentfunktionen, y = tan x

Cotangens

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur betegnes cotangens som følger:
.
Følgende notationer accepteres også:
;
;
.

Graf over cotangensfunktionen, y = ctg x


Egenskaber for tangent og cotangens

Periodicitet

Funktioner y = tg x og y = ctg x er periodiske med periode π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunktionerne er ulige.

Definitionsområder og værdier, stigende, faldende

Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). De vigtigste egenskaber ved tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( n- hel).

y= tg x y= ctg x
Omfang og kontinuitet
Vifte af værdier -∞ < y < +∞ -∞ < y < +∞
Stigende -
Aftagende -
Yderligheder - -
Nuller, y = 0
Skær punkter med ordinataksen, x = 0 y= 0 -

Formler

Udtryk ved hjælp af sinus og cosinus

; ;
; ;
;

Formler for tangent og cotangens fra sum og difference



De resterende formler er nemme at få f.eks

Produkt af tangenter

Formel for summen og forskellen af ​​tangenter

Denne tabel præsenterer værdierne af tangenter og cotangenter for visse værdier af argumentet.

Udtryk ved hjælp af komplekse tal

Udtryk gennem hyperbolske funktioner

;
;

Derivater

; .


.
Afledt af n. orden med hensyn til variablen x af funktionen:
.
Aflede formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler

Serieudvidelser

For at opnå udvidelsen af ​​tangenten i potenser af x, skal du tage flere led af udvidelsen i en potensrække for funktionerne synd x Og fordi x og dividere disse polynomier med hinanden,. Dette giver følgende formler.

kl.

kl.
Hvor Bn- Bernoulli tal. De bestemmes enten ud fra gentagelsesrelationen:
;
;
Hvor .
Eller ifølge Laplaces formel:


Omvendte funktioner

De omvendte funktioner af tangent og cotangens er henholdsvis arctangens og arccotangens.

Arctangens, arctg


, Hvor n- hel.

Arccotangens, arcctg


, Hvor n- hel.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Giver dig mulighed for at etablere en række karakteristiske resultater - egenskaber for sinus, cosinus, tangent og cotangens. I denne artikel vil vi se på tre hovedegenskaber. Den første af dem angiver fortegnene for sinus, cosinus, tangens og cotangens af vinklen α afhængigt af vinklen, hvis koordinatfjerdedel er α. Dernæst vil vi overveje egenskaben periodicitet, som etablerer invariansen af ​​værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens af vinklen α, når denne vinkel ændres med et helt antal omdrejninger. Den tredje egenskab udtrykker forholdet mellem værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens af modsatte vinkler α og −α.

Hvis du er interesseret i egenskaberne af funktionerne sinus, cosinus, tangent og cotangens, så kan du studere dem i det tilsvarende afsnit af artiklen.

Sidenavigation.

Tegn på sinus, cosinus, tangent og cotangens efter kvarte

Nedenfor i dette afsnit vil sætningen "vinkel på I, II, III og IV koordinatkvartal" fremkomme. Lad os forklare, hvad disse vinkler er.

Lad os tage en enhedscirkel, markere startpunktet A(1, 0) på den og dreje den rundt om punktet O med en vinkel α, og vi vil antage, at vi kommer til punktet A 1 (x, y).

Det siger de vinkel α er vinklen på I, II, III, IV koordinatkvadranten, hvis punkt A 1 ligger i henholdsvis I, II, III, IV kvarte; hvis vinklen α er sådan, at punktet A 1 ligger på en af ​​koordinatlinjerne Ox eller Oy, så hører denne vinkel ikke til nogen af ​​de fire fjerdedele.

For klarhedens skyld er her en grafisk illustration. Tegningerne nedenfor viser rotationsvinkler på 30, -210, 585 og -45 grader, som er vinklerne på henholdsvis I, II, III og IV koordinatfjerdingerne.

Vinkler 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader hører ikke til nogen af ​​koordinatkvartererne.

Lad os nu finde ud af, hvilke tegn der har værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens af rotationsvinklen α, afhængigt af hvilken kvart vinkel α er.

For sinus og cosinus er dette nemt at gøre.

Per definition er sinus af vinklen α ordinaten af ​​punktet A 1. Det er klart, at det i I- og II-koordinatkvartererne er positivt, og i III- og IV-kvartererne er det negativt. Sinus for vinkel α har således et plustegn i 1. og 2. kvartal og et minustegn i 3. og 6. kvartal.

Til gengæld er cosinus af vinklen α abscissen af ​​punktet A 1. I I og IV kvartalerne er det positivt, og i II og III kvartalerne er det negativt. Som følge heraf er værdierne af cosinus af vinklen α i I- og IV-fjerdingerne positive, og i II- og III-fjerdingerne er de negative.


For at bestemme tegnene efter kvarte af tangent og cotangens, skal du huske deres definitioner: tangent er forholdet mellem ordinaten af ​​punkt A 1 og abscissen, og cotangens er forholdet mellem abscissen af ​​punkt A 1 og ordinaten. Derefter fra regler for opdeling af tal med samme og forskellige tegn det følger, at tangent og cotangens har et plustegn, når abscissen og ordinattegnene i punkt A 1 er de samme, og har et minustegn, når abscissen og ordinattegnene i punkt A 1 er forskellige. Som følge heraf har vinklens tangent og cotangens et +-tegn i I- og III-koordinatfjerdingerne og et minustegn i II- og IV-fjerdingerne.

Faktisk, for eksempel i første kvartal er både abscissen x og ordinaten y af punkt A 1 positive, så er både kvotienten x/y og kvotienten y/x positive, derfor har tangent og cotangens +-tegn. Og i anden fjerdedel er abscissen x negativ, og ordinaten y er positiv, derfor er både x/y og y/x negative, derfor har tangenten og cotangensen et minustegn.


Lad os gå videre til den næste egenskab for sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Periodicitet egenskab

Nu vil vi se på den måske mest oplagte egenskab ved sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel. Det er som følger: Når vinklen ændres med et helt antal fulde omdrejninger, ændres værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens for denne vinkel ikke.

Dette er forståeligt: ​​når vinklen ændres med et helt antal omdrejninger, vil vi altid komme fra startpunktet A til punktet A 1 på enhedscirklen, derfor forbliver værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens uændrede, da koordinaterne for punkt A 1 er uændrede.

Ved hjælp af formler kan den betragtede egenskab for sinus, cosinus, tangens og cotangens skrives som følger: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , hvor α er rotationsvinklen i radianer, z er enhver , absolut værdi som angiver antallet af fulde omdrejninger, som vinklen α ændrer sig med, og tegnet for tallet z angiver omdrejningsretningen.

Hvis rotationsvinklen α er angivet i grader, vil de angivne formler blive omskrevet som sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(a+360°·z)=ctga.

Lad os give eksempler på brug af denne egenskab. For eksempel, , fordi , A . Her er et andet eksempel: eller .

Denne egenskab, sammen med reduktionsformler, bruges meget ofte ved beregning af værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens af "store" vinkler.

Den betragtede egenskab ved sinus, cosinus, tangent og cotangens kaldes undertiden egenskaben periodicitet.

Egenskaber for sinus, cosinus, tangenter og cotangenter af modsatte vinkler

Lad A 1 være det punkt, der opnås ved at dreje startpunktet A(1, 0) omkring punktet O med en vinkel α, og punktet A 2 være resultatet af at dreje punktet A med en vinkel −α, modsat vinklen α.

Egenskaben for sinus, cosinus, tangenter og cotangenter af modsatte vinkler er baseret på et ret indlysende faktum: punkterne A 1 og A 2, der er nævnt ovenfor, falder enten sammen (at) eller er placeret symmetrisk i forhold til Ox-aksen. Det vil sige, at hvis punkt A 1 har koordinater (x, y), så vil punkt A 2 have koordinater (x, −y). Herfra, ved hjælp af definitionerne af sinus, cosinus, tangent og cotangens, skriver vi lighederne og .
Ved at sammenligne dem kommer vi til forhold mellem sinus, cosinus, tangenter og cotangenter af modsatte vinkler α og −α af formen.
Dette er den egenskab, der overvejes i form af formler.

Lad os give eksempler på brug af denne egenskab. For eksempel ligestillingen og .

Det er kun tilbage at bemærke, at egenskaben for sinus, cosinus, tangenter og cotangens af modsatte vinkler, ligesom den tidligere egenskab, ofte bruges ved beregning af værdierne af sinus, cosinus, tangent og cotangens, og giver dig mulighed for helt at undgå negative vinkler.

Bibliografi.

  • Algebra: Lærebog for 9. klasse. gns. skole/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Uddannelse, 1990. - 272 s.: ISBN 5-09-002727
  • Algebra og begyndelsen af ​​analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. udg. - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill.
  • Bashmakov M. I. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog. for 10-11 klassetrin. gns. skole - 3. udg. - M.: Uddannelse, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.

Værdioversigt trigonometriske funktioner

Bemærk. Denne tabel med trigonometriske funktionsværdier bruger tegnet √ til at indikere kvadrat rod. For at angive en brøk, skal du bruge symbolet "/".

se også nyttige materialer:

Til at bestemme værdien af ​​en trigonometrisk funktion, find den i skæringspunktet mellem linjen, der angiver den trigonometriske funktion. For eksempel sinus 30 grader - vi leder efter kolonnen med overskriften sin (sinus) og finder skæringspunktet for denne tabelkolonne med rækken "30 grader", ved deres skæringspunkt læser vi resultatet - den ene halvdel. Tilsvarende finder vi cosinus 60 grader, sinus 60 grader (igen, ved skæringspunktet mellem sin-søjlen og 60-graderslinjen finder vi værdien sin 60 = √3/2), osv. Værdierne af sinus, cosinus og tangenter for andre "populære" vinkler findes på samme måde.

Sinus pi, cosinus pi, tangent pi og andre vinkler i radianer

Tabellen nedenfor over cosinus, sinus og tangenter er også velegnet til at finde værdien af ​​trigonometriske funktioner, hvis argument er angivet i radianer. For at gøre dette skal du bruge den anden kolonne med vinkelværdier. Takket være dette kan du konvertere værdien af ​​populære vinkler fra grader til radianer. Lad os for eksempel finde vinklen på 60 grader i den første linje og læse dens værdi i radianer under den. 60 grader er lig med π/3 radianer.

Tallet pi udtrykker entydigt omkredsens afhængighed af gradsmål hjørne. Således er pi-radianer lig med 180 grader.

Ethvert tal udtrykt i pi (radianer) kan nemt konverteres til grader ved at erstatte pi (π) med 180.

Eksempler:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
således er pi sinus den samme som sinus for 180 grader, og den er lig nul.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
således er cosinus for pi den samme som cosinus på 180 grader, og den er lig med minus én.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
således er tangent pi det samme som tangent 180 grader, og det er lig med nul.

Tabel over sinus, cosinus, tangentværdier for vinkler 0 - 360 grader (fælles værdier)

vinkel α værdi
(grader)

vinkel α værdi
i radianer

(via pi)

 synd
(bihule) 		cos
(cosinus) 		tg
(tangens) 		ctg
(cotangens) 		sek
(sekant) 		cosec
(cosecant)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
 - 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 2π 0 1 0 - 1 -

Hvis der i tabellen over værdier for trigonometriske funktioner er angivet en tankestreg i stedet for funktionsværdien (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), så er funktionen for en given værdi af vinklens gradmål ikke har en bestemt værdi. Hvis der ikke er nogen bindestreg, er cellen tom, hvilket betyder, at vi endnu ikke har indtastet den nødvendige værdi. Vi er interesserede i, hvilke forespørgsler brugere kommer til os for og supplerer tabellen med nye værdier, på trods af at aktuelle data om værdierne af cosinus, sinus og tangenter for de mest almindelige vinkelværdier er ganske tilstrækkelige til at løse de fleste problemer.

Tabel over værdier af trigonometriske funktioner sin, cos, tg for de mest populære vinkler
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske værdier "i henhold til Bradis-tabeller")

vinkel α værdi (grader) vinkel α værdi i radianer synd (sinus) cos (cosinus) tg (tangens) ctg (cotangens)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

  • De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
  • Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
  • Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
  • Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

  • Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
  • I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Opgave 6.12. Samme spørgsmål som i forrige opgave, men for en regulær femkant (tip: se opgave 3.5).

Opgave 6.13. I opgave 4.8 blev det sagt, at vi som en tilnærmet værdi af cosinus af en lille vinkel α kan tage tallet 1, altså værdien af ​​cosinusfunktionen til nul. Hvad hvis vi uden videre tager 0 = sin 0 som en omtrentlig værdi for sinus af en lille vinkel α? Hvorfor er det slemt?

Ris. 6.4. Punkt M bevæger sig langs en cykloid.

Opgave 6.14. Betragt et hjul med radius 1, der rører x-aksen ved origo (fig. 6.4). Lad os antage, at hjulet ruller langs x-aksen i positiv retning med en hastighed på 1 (det vil sige i løbet af tiden t skifter dets centrum t til højre).

a) Tegn (cirka) en kurve, der vil blive beskrevet ved punkt M, idet den rører abscisseaksen i det første øjeblik.

b) Find, hvad abscissen og ordinaten af ​​punktet M vil være efter tidspunkt t efter bevægelsens start.

6.1. Tangent akse

I dette afsnit definerede vi sinus og cosinus geometrisk, som ordinat og abscisse af et punkt, og tangent - algebraisk, som sin t/ cos t. Det er dog muligt at give tangenten en geometrisk betydning.

For at gøre dette skal du tegne gennem punktet med koordinater (1; 0) (originalen på den trigonometriske cirkel) en tangent til den trigonometriske cirkel - en ret linje parallel med aksen

Ris. 6.5. Tangent akse.

ordinere Lad os kalde denne rette linje tangentaksen (fig. 6.5). Dette navn begrundes som følger: lad M være et punkt på den trigonometriske cirkel svarende til tallet t. Lad os fortsætte radius SM, indtil den skærer tangentaksen. Så viser det sig, at ordinaten for skæringspunktet er lig med tg t.

Faktisk er trekanter NOS og MP S i fig. 6,5, selvfølgelig

men ens. Herfra

hvilket er hvad der blev sagt.

eller (0; −1), derefter direkte

Hvis punkt M har koordinater (0; 1)

Maj SM er parallel med tangentaksen, og tangenten kan ikke bestemmes ved hjælp af vores metode. Dette er ikke overraskende: abscissen af ​​disse punkter er 0, så cos t = 0 for de tilsvarende værdier af t, og tg t = sin t/ cos t er ikke defineret.

6.2. Tegn på trigonometriske funktioner

Lad os finde ud af, ved hvilke værdier af t sinus, cosinus og tangens er positive, og til hvilke værdier de er negative. Ifølge definitionen er sin t ordinaten af ​​et punkt på en trigonometrisk cirkel svarende til tallet t. Derfor sin t > 0 hvis punkt t er tændt



Lignende artikler