Ubestemt integral. Detaljerede prøveløsninger

Ansøgning

Integraler online på webstedet for studerende og skolebørn til at konsolidere det materiale, de har dækket. Og træne dine praktiske færdigheder. En komplet løsning af integraler online til dig i løbet af få øjeblikke vil hjælpe dig med at bestemme alle stadier af processen betragte integralet som et tabelformet. Ikke alle tabelintegraler er tydeligt synlige fra et givet eksempel, nogle gange er du nødt til at transformere den oprindelige funktion for at finde antiderivatet. I praksis kommer løsning af integraler ned på at fortolke problemet med at finde originalen, det vil sige antiafledt fra en uendelig familie af funktioner, men hvis grænserne for integration er givet, så er der ifølge Newton-Leibniz formlen kun én enkelt funktion tilbage at anvende beregninger på. Online integraler - online ubestemt integral og online bestemt integral. Integralet af en funktion online er summen af eventuelle tal beregnet til deres integration. Derfor, uformelt, er det online bestemte integral området mellem funktionens graf og x-aksen inden for grænserne for integration. Eksempler på problemløsning med integraler. Lad os vurdere et komplekst integral over en variabel og relatere dets svar til den videre løsning af problemet. Det er muligt, som de siger, direkte at finde integralet af integranden. Ethvert integral bestemmer med høj nøjagtighed området af figuren afgrænset af linjerne. Dette er en af hans geometriske betydninger. Denne metode gør tingene lettere for eleverne. Flere trin vil faktisk ikke have stor indflydelse på vektoranalysen. Integralet af en funktion online er det grundlæggende koncept for integralregning Løsning af ubestemte integraler. Ifølge analysens hovedsætning er integration den omvendte operation af differentiering, som hjælper med at løse differentialligninger. Der er flere forskellige definitioner af driften af integration, der adskiller sig i tekniske detaljer. Men de er alle kompatible, det vil sige, at alle to metoder til integration, hvis de kan anvendes på en given funktion, vil give det samme resultat. Den enkleste er Riemann-integralet - et bestemt integral eller et ubestemt integral. Uformelt kan integralet af en funktion af en variabel indføres som arealet under grafen (figuren indesluttet mellem grafen for funktionen og x-aksen). Ethvert sådant underproblem kan retfærdiggøre, at beregning af integralet vil være yderst nødvendig i begyndelsen af en vigtig tilgang. Glem ikke dette! I et forsøg på at finde dette område kan vi overveje figurer, der består af et vist antal lodrette rektangler, hvis baser tilsammen danner et integrationssegment og opnås ved at opdele segmentet i det passende antal små segmenter. Løsning af integraler online.. Integral online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Løsning af integraler online: online ubestemt integral og online bestemt integral. Lommeregneren løser integraler med en detaljeret beskrivelse af handlingerne og gratis! Et online ubestemt integral for en funktion er mængden af alle antiderivater af en given funktion. Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig på et interval, så er der for den antiderivative funktion(eller familie af primitiver). Integralet definerer kun et udtryk, hvis betingelser sættes af dig, når et sådant behov opstår. Det er bedre at nærme sig denne sag omhyggeligt og opleve indre tilfredsstillelse fra det udførte arbejde. Men at beregne integralet ved hjælp af en anden metode end den klassiske fører nogle gange til uventede resultater, og man bør ikke blive overrasket over dette. Jeg er glad for, at dette faktum vil have en positiv resonans for, hvad der sker. Liste over bestemte integraler og ubestemte integraler af integraler med komplet detaljeret trinvis løsning. Alle integraler med detaljerede løsninger online. Ubestemt integral. Finder nr bestemt integral online er et meget almindeligt problem i højere matematik og andre tekniske områder af videnskab. Grundlæggende metoder til integration. Definition af integral, bestemt og ubestemt integral, tabel over integraler, Newton-Leibniz formel. Igen kan du finde dit integral ved hjælp af tabellen over integraludtryk, men dette skal stadig nås, da alt ikke er så enkelt, som det måske ser ud ved første øjekast. Tænk på færdige bygninger, før der opdages fejl. Bestemt integral og metoder til dets beregning. Online bestemt integral med variabel øvre grænse. Løsning af integraler online. Ethvert eksempel, der hjælper med at beregne integralet ved hjælp af tabelformler, vil være brugbar guide til handling for elever på alle niveauer af forberedelse. Det vigtigste skridt mod det rigtige svar.. Integraler online. Ubestemte integraler, der indeholder eksponentielle og logaritmiske funktioner. Løsning af integraler online - du får detaljeret løsning Til forskellige typer integraler: ubestemt, bestemt, upassende. Definite Integral Calculator beregner det definitive integral online af en funktion over et interval ved hjælp af numerisk integration. Integralet af en funktion er en analog af summen af en sekvens. Uformelt set er et bestemt integral arealet af en del af grafen for en funktion. Løsning af integralen online.. Integral online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Ofte bestemmer et sådant integral, hvor meget tungere et legeme er end et objekt med samme tæthed sammenlignet med det, og det er lige meget, hvilken form det har, fordi overfladen ikke absorberer vand. Løsning af integraler online.. Integraler online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Hver junior studerende ved, hvordan man finder integralet online. På basen skolepensum denne sektion af matematik studeres også, men ikke i detaljer, men kun det grundlæggende i et så komplekst og vigtigt emne. I de fleste tilfælde begynder eleverne at studere integraler med omfattende teori, som også er forudgået af vigtige emner, såsom afledet og passage til grænsen - de er også grænser. Løsning af integraler begynder gradvist med de mest elementære eksempler på simple funktioner og slutter med brugen af mange tilgange og regler foreslået i det sidste århundrede og endda meget tidligere. Integralregning er til undervisningsformål på lyceumer og skoler, dvs. uddannelsesinstitutioner. Vores hjemmeside vil altid hjælpe dig, og løsning af integraler online vil blive almindeligt for dig, og vigtigst af alt, en forståelig opgave. Baseret på denne ressource kan du nemt opnå perfektion i dette matematiske afsnit. Ved at forstå de regler, du lærer trin for trin, såsom integration efter dele eller anvendelsen af Chebyshevs metode, kan du nemt beslutte dig for maksimalt beløb point for enhver prøve. Så hvordan kan vi stadig beregne integralet ved hjælp af den velkendte tabel over integraler, men på en sådan måde, at løsningen er korrekt, korrekt og med det mest præcise svar som muligt? Hvordan lærer man dette, og er det muligt for en almindelig nybegynder at gøre dette? så hurtigt som muligt? Lad os besvare dette spørgsmål bekræftende - det kan du! Samtidig vil du ikke kun være i stand til at løse ethvert eksempel, men også nå niveauet som en højt kvalificeret ingeniør. Hemmeligheden er enklere end nogensinde - du skal yde maksimal indsats og afsætte den nødvendige mængde tid til selvforberedelse. Desværre er der endnu ingen, der har fundet på en anden måde! Men ikke alt er så overskyet, som det ser ud ved første øjekast. Hvis du kontakter vores servicewebsted med dette spørgsmål, så vil vi gøre dit liv lettere, fordi vores hjemmeside kan beregne integraler online i detaljer, med meget høj hastighed og et upåklageligt præcist svar. I sin kerne bestemmer integralet ikke, hvordan forholdet mellem argumenter påvirker stabiliteten af systemet som helhed. Hvis bare alt ville være afbalanceret. Sammen med hvordan du vil lære det grundlæggende i dette matematisk emne, kan tjenesten finde integralet af enhver integrand, hvis dette integral kan løses i elementære funktioner. Ellers er det for integraler, der ikke er taget i elementære funktioner, i praksis ikke nødvendigt at finde svaret i en analytisk eller med andre ord i en eksplicit form. Alle beregninger af integraler kommer ned til at bestemme antiderivatfunktionen af en given integrand. For at gøre dette skal du først beregne det ubestemte integral i henhold til alle matematikkens love online. derefter om nødvendigt erstatte de øvre og nedre værdier af integralet. Hvis du ikke skal bestemme eller beregne numerisk værdi ubestemt integral, så tilføjes en konstant til den resulterende antiafledte funktion, hvorved en familie af antiafledte funktioner defineres. Særligt sted i videnskab og generelt inden for ethvert ingeniørfelt, herunder kontinuummekanik, beskriver integration hele mekaniske systemer, deres bevægelser og meget mere. I mange tilfælde bestemmer det sammensatte integral bevægelsesloven materiale punkt. Det er et meget vigtigt værktøj i studiet af anvendt videnskab. Ud fra dette kan man ikke undgå at nævne storskalaberegninger for at bestemme eksistens- og adfærdslovene mekaniske systemer. Lommeregner til løsning af integraler online på hjemmesiden er et stærkt værktøj til professionelle ingeniører. Det garanterer vi dig bestemt, men vi vil først kunne beregne dit integral, når du har indtastet det korrekte udtryk i integrandens domæne. Vær ikke bange for at lave fejl, alt kan rettes i denne sag! Normalt kommer løsning af integraler ned på at bruge tabelfunktioner fra velkendte lærebøger eller encyklopædier. Som ethvert andet ubestemt integral vil det blive beregnet ved hjælp af standardformlen uden større kritik. Førsteårsstuderende fatter let og naturligt det materiale, de har studeret på stedet, og for dem tager det nogle gange ikke mere end to minutter at finde et integral. Og hvis en elev har lært tabellen over integraler, så kan han generelt bestemme svarene i sit hoved. Udvidelse af funktioner med variable i forhold til overflader betyder oprindeligt den korrekte vektorretning på et eller andet abscissepunkt. Den uforudsigelige opførsel af overfladelinjer tager bestemte integraler som grundlag i responskilden for matematiske funktioner. Kuglens venstre kant rører ikke cylinderen, hvori cirklen er indskrevet, hvis man ser på snittet i et plan. Summen af små områder opdelt i hundredvis af stykkevis kontinuerlige funktioner er online-integralet af givet funktion. Den mekaniske betydning af integralet ligger i mange anvendte problemer, såsom bestemmelse af legemers volumen og beregning af en krops masse. Tredobbelte og dobbelte integraler er involveret i disse beregninger. Vi insisterer på, at løsningen af integraler online kun udføres under opsyn af erfarne lærere og gennem adskillige kontroller. selve integralen. Vi svarer, at studerende er frie mennesker og er ganske i stand til at studere eksternt, forberede sig til en prøve eller eksamen i komfort i deres eget hjem. I løbet af få sekunder vil vores service hjælpe enhver med at beregne integralet af en given funktion over en variabel. Det opnåede resultat bør kontrolleres ved at tage derivatet af antiderivatfunktionen. I dette tilfælde bliver konstanten fra opløsningen af integralet nul. Denne regel gælder naturligvis for alle. Da multidirektionelle operationer er berettigede, reduceres det ubestemte integral ofte til at opdele domænet i små dele. Nogle elever og skolebørn forsømmer dog dette krav. Som altid kan online-integraler løses i detaljer af vores servicewebsted, og der er ingen begrænsninger på antallet af anmodninger, alt er gratis og tilgængeligt for alle. Der er ikke mange sider, der giver et trin-for-trin svar på få sekunder, og vigtigst af alt med høj nøjagtighed og i en bekvem form. I det sidste eksempel på side fem lektier Jeg stødte på en, der indikerer behovet for at beregne integralet trin for trin. Men vi må ikke glemme, hvordan det er muligt at finde integralet ved hjælp af en færdiglavet service, tidstestet og testet på tusindvis af løste eksempler online. Hvordan et sådant integral bestemmer systemets bevægelse er klart og tydeligt demonstreret for os af arten af bevægelsen af den viskøse væske, som er beskrevet af dette ligningssystem.

At løse integraler er en nem opgave, men kun for nogle få udvalgte. Denne artikel er for dem, der ønsker at lære at forstå integraler, men ved intet eller næsten intet om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendigt? Hvordan beregner man det? Hvad er bestemte og ubestemte integraler? Hvis den eneste brug, du kender til et integral, er at bruge en hæklenål formet som et integreret ikon for at få noget brugbart ud af svært tilgængelige steder, så velkommen! Find ud af, hvordan du løser integraler, og hvorfor du ikke kan undvære det.

Vi studerer begrebet "integral"

Integration var kendt tilbage i Det gamle Egypten. Selvfølgelig ikke i moderne form, men stadig. Siden da har matematikere skrevet mange bøger om dette emne. Især udmærkede sig Newton Og Leibniz , men essensen af tingene har ikke ændret sig. Hvordan forstår man integraler fra bunden? Ingen måde! For at forstå dette emne skal du stadig bruge basis viden grundlæggende matematisk analyse. Det er denne grundlæggende information, du finder på vores blog.

Ubestemt integral

Lad os have en funktion f(x) .

Ubestemt integralfunktion f(x) denne funktion kaldes F(x) , hvis afledte er lig med funktionen f(x) .

Med andre ord er et integral en afledt omvendt eller en antiderivat. Læs forresten om hvordan i vores artikel.

Der findes et antiderivat for alle kontinuerte funktioner. Også et konstant tegn tilføjes ofte til antiderivatet, da afledte funktioner, der adskiller sig med en konstant, falder sammen. Processen med at finde integralet kaldes integration.

Simpelt eksempel:

For ikke konstant at beregne antiderivater af elementære funktioner, er det praktisk at opsummere dem i en tabel og bruge færdige værdier:

Bestemt integral

Når vi beskæftiger os med begrebet et integral, har vi at gøre med uendelige små størrelser. Integralet hjælper med at beregne arealet af figuren, massen af det inhomogene legeme, afstanden tilbagelagt ved ujævn bevægelse sti og meget mere. Det skal huskes, at et integral er summen af et uendeligt stort antal infinitesimale led.

Forestil dig som et eksempel en graf over en funktion. Sådan finder du arealet af en figur, begrænset af tidsplanen funktioner?

Brug af et integral! Lad os opdele det krumlinjede trapez, begrænset af koordinatakserne og grafen for funktionen, i infinitesimale segmenter. På denne måde vil figuren blive opdelt i tynde søjler. Summen af søjlernes areal vil være arealet af trapez. Men husk, at en sådan beregning vil give et omtrentligt resultat. Men jo mindre og smallere segmenterne er, jo mere nøjagtig bliver beregningen. Hvis vi reducerer dem i en sådan grad, at længden har en tendens til nul, vil summen af segmenternes areal tendere til arealet af figuren. Dette er et bestemt integral, som er skrevet således:

Punkt a og b kaldes integrationsgrænser.

Bari Alibasov og gruppen "Integral"

I øvrigt! Til vores læsere er der nu 10% rabat på

Regler for beregning af integraler for dummies

Egenskaber for det ubestemte integral

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her vil vi se på egenskaberne for det ubestemte integral, hvilket vil være nyttigt ved løsning af eksempler.

Den afledede af integralet er lig med integranden:

Konstanten kan tages ud under integraltegnet:

Integral af summen lig med summen integraler. Dette gælder også for forskellen:

Egenskaber af et bestemt integral

Linearitet:

Integralets fortegn ændres, hvis grænserne for integrationen ombyttes:

På nogen point -en, b Og Med:

Vi har allerede fundet ud af, at et bestemt integral er grænsen for en sum. Men hvordan får man en bestemt værdi, når man løser et eksempel? Til dette er der Newton-Leibniz formlen:

Eksempler på løsning af integraler

Nedenfor vil vi overveje flere eksempler på at finde ubestemte integraler. Vi inviterer dig til selv at finde ud af løsningens forviklinger, og hvis noget er uklart, så stil spørgsmål i kommentarerne.

For at forstærke materialet, se en video om, hvordan integraler løses i praksis. Fortvivl ikke, hvis integralet ikke gives med det samme. Spørg, og de vil fortælle dig alt, hvad de ved om beregning af integraler. Med vores hjælp vil enhver tredobbelt eller buet integral over en lukket overflade være inden for din magt.

Find ubestemt integral(sæt af antiderivater eller "antiderivater") betyder at rekonstruere en funktion fra en kendt derivat af denne funktion. Restaureret sæt af antiderivater F(x) + MED til funktion f(x) tager højde for integrationskonstanten C. Baseret på bevægelseshastigheden af et materielt punkt (afledt), kan bevægelsesloven for dette punkt (antiafledt) genoprettes; i henhold til accelerationen af et punkts bevægelse - dets hastighed og bevægelsesloven. Som du kan se, er integration et bredt felt for aktiviteterne i fysikkens Sherlock Holmeses. Og i økonomi er mange begreber repræsenteret gennem funktioner og deres afledte, og derfor er det for eksempel muligt at genoprette mængden af produkter, der produceres på det tilsvarende tidspunkt ved hjælp af arbejdsproduktivitet på et bestemt tidspunkt (afledt).

For at finde det ubestemte integral kræver det en del et stort antal af grundlæggende integrationsformler. Men processen med at finde det er meget sværere end blot at anvende disse formler. Al kompleksiteten relaterer sig ikke til integration, men til at bringe det integrerbare udtryk til en form, der gør det muligt at finde det ubestemte integral ved hjælp af de ovenfor nævnte grundformler. Det betyder, at for at begynde integrationspraksis skal du aktivere det, du har lært i Gymnasium evner til at transformere udtryk.

Vi vil lære at finde integraler vha egenskaber og tabel over ubestemte integraler fra en lektion om de grundlæggende begreber i dette emne (åbner i et nyt vindue).

Der er flere metoder til at finde integralet, hvoraf variabel udskiftningsmetode Og integration af dele metode- et obligatorisk herresæt til alle, der har bestået højere matematik. Det er dog mere nyttigt og sjovt at begynde at mestre integration ved hjælp af ekspansionsmetoden, baseret på de følgende to sætninger om egenskaberne for det ubestemte integral, som vi gentager her for nemheds skyld.

Sætning 3. Konstantfaktoren i integranden kan tages ud af fortegnet for det ubestemte integral, dvs.

Sætning 4. Det ubestemte integral af en algebraisk sum af et endeligt antal funktioner er lig med algebraisk sum ubestemte integraler af disse funktioner, dvs.

(2)

Derudover kan følgende regel være nyttig i integrationen: hvis udtrykket af integranden indeholder en konstant faktor, så ganges udtrykket af antiderivatet med det inverse af den konstante faktor, dvs.

(3)

Da dette er en introduktion til løsning af integrationsproblemer, er det vigtigt at bemærke to ting, som enten i begyndelsen eller lidt senere kan overraske dig. Overraskelsen skyldes det faktum, at integration er den omvendte operation af differentiering, og det ubestemte integral med rette kan kaldes "antiderivatet".

Det første du ikke bør blive overrasket over, når du integrerer. I tabellen over integraler der er formler, der ikke har nogen analoger blandt de afledte tabelformler . Disse er følgende formler:

Du kan dog sikre dig, at de afledte udtryk på højre side af disse formler falder sammen med de tilsvarende integrander.

Den anden ting, der ikke burde være overraskende, når man integrerer. Selvom den afledede af enhver elementær funktion også er en elementær funktion, ubestemte integraler af nogle elementære funktioner er ikke længere elementære funktioner . Eksempler på sådanne integraler kunne være følgende:

For at udvikle integrationsteknikker vil følgende færdigheder være nyttige: at reducere brøker, dividere et polynomium i tælleren af en brøk med et monomial i nævneren (for at opnå summen af ubestemte integraler), konvertere rødder til potenser, gange et monomial med en polynomium, hæve til en potens. Disse færdigheder er nødvendige for transformationer af integranden, hvilket skulle resultere i summen af integralerne i tabellen over integraler.

At finde ubestemte integraler sammen

Eksempel 1. Find det ubestemte integral

Løsning. Vi ser i nævneren af integranden et polynomium, hvor x er i anden. Dette er et næsten sikkert tegn på, at du kan anvende tabelintegral 21 (med en arctangent som resultat). Vi tager faktor-to ud fra nævneren (der er en sådan egenskab ved integralet - konstantfaktoren kan tages ud over integralets fortegn; den blev nævnt ovenfor som sætning 3). Resultatet af alt dette:

Nu er nævneren summen af kvadrater, hvilket betyder, at vi kan anvende det nævnte tabelintegral. Til sidst får vi svaret:

Eksempel 2. Find det ubestemte integral

Løsning. Vi anvender igen sætning 3 - integralets egenskab, på grundlag af hvilket den konstante faktor kan tages ud af integralets fortegn:

Vi anvender formel 7 fra tabellen over integraler (variabel til en potens) til integrandfunktionen:

Vi reducerer de resulterende fraktioner, og vi har det endelige svar:

Eksempel 3. Find det ubestemte integral

Løsning. Ved først at anvende sætning 4 og derefter sætning 3 på egenskaber finder vi dette integral som summen af tre integraler:

Alle tre opnåede integraler er tabelformede. Vi bruger formel (7) fra tabellen over integraler til n = 1/2, n= 2 og n= 1/5, og derefter

kombinerer alle tre vilkårlige konstanter, der blev introduceret ved at finde de tre integraler. Derfor bør der i lignende situationer kun indføres én vilkårlig integrationskonstant.

Eksempel 4. Find det ubestemte integral

Løsning. Når nævneren af integranden indeholder et monomial, kan vi dividere tælleren med nævneren led for led. Det oprindelige integral blev til summen af to integraler:

For at anvende tabelintegralet omdanner vi rødderne til potenser, og her er det endelige svar:

Vi fortsætter med at finde ubestemte integraler sammen

Eksempel 7. Find det ubestemte integral

Løsning. Hvis vi transformerer integranden ved at kvadrere binomialet og dividere tælleren med nævneren led for led, så bliver det oprindelige integral summen af tre integraler.

Ubestemt integral.
Detaljerede eksempler løsninger

I denne lektion vil vi begynde at studere emnet Ubestemt integral, og vi vil også analysere i detaljer eksempler på løsninger til de enkleste (og knap så simple) integraler. I denne artikel vil jeg begrænse mig til et minimum af teori, og nu er vores opgave at lære at løse integraler.

Hvad skal du vide for at kunne mestre materialet? For at kunne klare integralregning skal du som minimum kunne finde afledte på et mellemniveau. Hvis materialet er lanceret, anbefaler jeg derfor, at du først læser lektionerne grundigt igennem Hvordan finder man derivatet? Og Afledt af en kompleks funktion. Det vil ikke være spild af erfaring, hvis du har flere dusin (helst hundrede) uafhængigt fundne derivater under dit bælte. Du bør i det mindste ikke blive forvirret af opgaver for at skelne mellem de enkleste og mest almindelige funktioner. Det ser ud til, hvad har derivater med det at gøre, hvis artiklen handler om integraler?! Her er sagen. Faktum er, at det at finde afledte og at finde ubestemte integraler (differentiering og integration) er to gensidigt omvendte handlinger, såsom addition/subtraktion eller multiplikation/division. Uden evnen (+ en vis erfaring) til at finde derivater kan du således desværre ikke komme videre.

I denne forbindelse har vi brug for følgende undervisningsmaterialer: Derivater tabel Og Tabel over integraler. Referencemanualer kan åbnes, downloades eller udskrives på siden Matematiske formler og tabeller.

Hvad er vanskeligheden ved at lære ubestemte integraler? Hvis der i derivater er strengt 5 regler for differentiering, en tabel med derivater og en ret klar algoritme for handlinger, så er alt anderledes i integraler. Der er snesevis af integrationsmetoder og teknikker. Og hvis integrationsmetoden oprindeligt er valgt forkert (dvs. du ved ikke, hvordan man løser), så kan du "prikke" integralet bogstaveligt talt i dagevis, som et rigtigt puslespil, og forsøge at få øje på forskellige teknikker og tricks. Nogle mennesker kan endda lide det. Det er i øvrigt ikke en joke, jeg hørte ret ofte fra studerende en mening som “Jeg har aldrig haft nogen interesse i at løse en grænse eller afledede, men integraler er en helt anden sag, det er fascinerende, der er altid et ønske om at "hack" et komplekst integral." Hold op. Nok af den sorte humor, lad os gå videre til disse meget ubestemte integraler.

Da der er så mange måder at løse det på, hvor skal man så begynde at studere ubestemte integraler til en tekande? I integralregning er der efter min mening tre søjler eller en slags "akse", som alt andet drejer sig om. Først og fremmest bør du have en god forståelse af de enkleste integraler (denne artikel). Derefter skal du gennemarbejde lektionen i detaljer. DET HER DEN VIGTIGSTE TEKNIK! Måske endda den vigtigste artikel af alle mine artikler om integraler. Og for det tredje bør du helt sikkert gøre dig bekendt med metoden til integration af dele, da den kan bruges til at integrere en bred klasse af funktioner. Hvis du mestrer mindst disse tre lektioner, så har du ikke længere to. Du kan blive tilgivet for ikke at kende integraler fra trigonometriske funktioner, integraler fra brøker, integraler fra brøk-rationelle funktioner, integraler fra irrationelle funktioner (rødder), men hvis du går i stå ved udskiftningsmetoden eller metoden til integration af dele, så vil være meget, meget dårligt.

Demotivatorer er nu meget almindelige på RuNet. I forbindelse med at studere integraler er det tværtimod simpelthen nødvendigt MOTIVATOR. Som i den joke om Vasily Ivanovich, der motiverede både Petka og Anka. Kære dovne mennesker, frilæsere og andre normale studerende, sørg for at læse følgende. Viden og færdigheder om det ubestemte integral vil være påkrævet i videre studier, især når man studerer det bestemte integral, ukorrekte integraler og differentialligninger på 2. år. Behovet for at tage integralet opstår selv i sandsynlighedsteori! Dermed, uden integraler VIL stien til sommersession og 2. år VIRKELIG VÆRE LUKKET. Jeg er seriøs. Konklusionen er denne. Jo flere integraler forskellige typer du bestemmer, jo nemmere bliver det fremtidige liv . Ja, det vil tage ret meget tid, ja, nogle gange vil du ikke, ja, nogle gange "for helvede med det, med dette integral, bliver du måske ikke fanget." Men den næste tanke bør inspirere og varme din sjæl, din indsats vil betale sig fuldt ud! Du vil være i stand til at knække differentialligninger som nødder og nemt håndtere integraler, som du vil støde på i andre sektioner af højere matematik. Efter at have grundigt forstået det ubestemte integral, VIL DU FAKTISK MESTRE EN FLERE FLERE AFDELINGER AF TÅRNET.

Så jeg kunne bare ikke lade være med at skabe intensivt kursus på integrationsteknikken, som viste sig at være overraskende kort - de, der ønsker det, kan bruge pdf-bogen og forberede sig MEGET hurtigt. Men materialerne på siden er på ingen måde værre!

Så lad os starte enkelt. Lad os se på tabellen over integraler. Som med derivater bemærker vi adskillige integrationsregler og en tabel med integraler af nogle elementære funktioner. Det er let at se, at ethvert tabelintegral (og faktisk ethvert ubestemt integral) har formen:

Lad os straks forstå notationerne og termerne:

– integreret ikon.

– integrand funktion (skrevet med bogstavet "s").

– differentialikon. Når du skriver integralet og under løsningen, er det vigtigt ikke at miste dette ikon. Der vil være en mærkbar fejl.

– integrant udtryk eller "fyldning" af integralet.

– antiderivative funktion.

– mange originale funktioner. Der er ingen grund til at være tungt belastet med termer, det vigtigste er, at der i ethvert ubestemt integral tilføjes en konstant til svaret.

At løse et integral betyder at finde en bestemt funktion ved hjælp af nogle regler, teknikker og en tabel.

Lad os se på indlægget igen:

Lad os se på tabellen over integraler.

Hvad sker der? Vi har de venstre dele blive til til andre funktioner: .

Lad os forenkle vores definition.

At løse et ubestemt integral betyder, at man transformerer det til en bestemt funktion ved at bruge nogle regler, teknikker og en tabel.

Tag for eksempel tabelintegralet . Hvad skete der? forvandlet til en funktion.

Som i tilfældet med derivater, for at lære at finde integraler, behøver du ikke at være opmærksom på hvad er et integral, en antiafledt funktion fra et teoretisk synspunkt. Det er nok blot at udføre transformationer i henhold til nogle formelle regler. Så i tilfælde af Det er slet ikke nødvendigt at forstå, hvorfor integralet bliver til . Indtil videre kan vi tage denne og andre formler for givet. Alle bruger elektricitet, men de færreste tænker på, hvordan elektroner bevæger sig gennem ledninger.

Da differentiering og integration er modsatte operationer, så for enhver antiderivat, der findes Højre, følgende er sandt:

Med andre ord, hvis du differentierer det rigtige svar, så skal du få den oprindelige integrand-funktion.

Lad os vende tilbage til det samme tabelintegral .

Lad os kontrollere gyldigheden af denne formel. Vi tager den afledede af højre side:

er den oprindelige integrand-funktion.

Det er i øvrigt blevet tydeligere, hvorfor en konstant altid tildeles en funktion. Når den differentieres, bliver konstanten altid nul.

Løs ubestemt integral- det betyder at finde en masse alle sammen antiderivater, og ikke kun én funktion. I det undersøgte tabeleksempel, , , , osv. – er alle disse funktioner løsninger på integralet. Der er uendeligt mange løsninger, så vi skriver det kort ned:

Således er ethvert ubestemt integral ret nemt at kontrollere (i modsætning til derivater, hvor en god kontrol kun kan udføres vha. matematiske programmer). Dette er en vis kompensation for et stort antal integraler af forskellige typer.

Lad os gå videre til at overveje specifikke eksempler. Lad os starte, som med at studere den afledte,
med to regler for integration, også kaldet linearitetsegenskaber ubestemt integral:

– konstantfaktoren kan (og bør) tages ud af integraltegnet.

– integralet af den algebraiske sum af to funktioner er lig med den algebraiske sum af to integraler af hver funktion separat. Denne ejendom gyldig for et vilkårligt antal vilkår.

Som du kan se, er reglerne stort set de samme som for derivater.

Eksempel 1

Løsning: Det er mere praktisk at omskrive det på papir.

(1) Anvend reglen . Glem ikke at skrive differentialsymbolet ned under hvert integral. Hvorfor under hver? - dette er en fuld multiplikator, hvis vi beskriver løsningen i detaljer, så skal det første trin skrives sådan:

(2) Efter reglen , tager vi alle konstanterne uden for integraltegnene. Bemærk venligst, at sidste termin er en konstant, den tager vi også ud.
Derudover forbereder vi på dette trin rødder og kræfter til integration. På samme måde som ved differentiering skal rødderne være repræsenteret i formen . Flyt rødderne og potenserne, der er placeret i nævneren, opad.

! Bemærk: I modsætning til derivater bør rødder i integraler ikke altid reduceres til formen , men grader skal overføres opad. For eksempel er dette en færdiglavet bordintegral, og alle mulige kinesiske tricks som helt unødvendigt. Tilsvarende: – også et tabelintegral, det nytter ikke noget at repræsentere brøken i formen . Studer tabellen omhyggeligt!

(3) Alle vores integraler er tabelformede. Vi udfører transformationen ved hjælp af en tabel ved hjælp af formlerne: , Og .
Særlig opmærksomhed Jeg henviser til integrationsformlen power funktion , det forekommer meget ofte, det er bedre at huske det. Det skal bemærkes, at tabelintegralet er særlig situation samme formel: .
Det er nok at tilføje konstanten én gang i slutningen af udtrykket (og ikke sætte dem efter hvert integral).
(4) Vi skriver det opnåede resultat i en mere kompakt form, alle potenser af formen er igen repræsenteret som rødder, potenser med en negativ eksponent nulstilles tilbage til nævneren.

Undersøgelse. For at udføre kontrollen skal du skelne mellem det modtagne svar:

Modtog originalen integrand, hvilket betyder, at integralet blev fundet korrekt. Det, de dansede fra, er det, de vendte tilbage til. Du ved, det er meget godt, når en historie med et integral ender på denne måde.

Fra tid til anden er der en lidt anderledes tilgang til at kontrollere det ubestemte integral, ikke den afledede, men differentialet er taget fra svaret:

Dem, der forstod fra første semester, forstod det, men nu er det, der er vigtigt for os, ikke de teoretiske finesser, men det, der er vigtigt, er, hvad vi skal gøre med denne differentiale. Det skal afsløres, og fra et formelt teknisk synspunkt er det næsten det samme som at finde en afledt. Differentialet afsløres som følger: vi fjerner ikonet, sætter et streg til højre over parentesen og tilføjer en faktor til slutningen af udtrykket:

Modtaget original integrand, hvilket betyder, at integralet blev fundet korrekt.

Jeg kan godt lide den anden metode til at kontrollere mindre, da jeg desuden skal tegne store parenteser og trække differentialikonet indtil slutningen af kontrollen. Selvom det er mere korrekt eller "mere respektabelt" eller noget.

Faktisk kunne jeg helt have forholdt mig tavs om den anden verifikationsmetode. Pointen ligger ikke i metoden, men i det faktum, at vi har lært at åbne differentialet. En gang til.

Forskellen afsløres som følger:

1) fjern ikonet;
2) til højre over parentesen sætter vi et streg (betegnelse af derivatet);
3) i slutningen af udtrykket tildeler vi en faktor.

For eksempel:

Husk dette. Vi får brug for denne teknik meget snart.

Eksempel 2

Find det ubestemte integral. Udfør kontrol.

Når vi finder et ubestemt integral, forsøger vi ALTID at tjekke Desuden er der en stor mulighed for dette. Ikke alle typer problemer i højere matematik er en gave fra dette synspunkt. Det betyder ikke så tit testopgaver der kræves ingen verifikation, ingen tjekker det, og intet forhindrer det i at blive udført på et udkast. En undtagelse kan kun gøres, når der ikke er tid nok (for eksempel under en prøve eller eksamen). Personligt tjekker jeg altid integraler, og jeg betragter den manglende kontrol som et hack-job og en dårligt udført opgave.

Eksempel 3

Find det ubestemte integral. Udfør kontrol.

Løsning: Ved at analysere integralet ser vi, at vi har produktet af to funktioner, og endda eksponentieringen af et helt udtryk. Desværre er der inden for integreret kamp ingen gode og bekvemme formler til at integrere produktet og det særlige , .

Og derfor, når et produkt eller en kvotient er givet, giver det altid mening at se, om det er muligt at transformere integranden til en sum?

Det undersøgte eksempel er tilfældet, når det er muligt. Først vil jeg give den komplette løsning, kommentarer vil være nedenfor.

(1) Vi bruger den gode gamle formel med kvadratet af summen, for at slippe af med graden.

(2) Vi sætter det i parentes og slipper af med produktet.

Eksempel 4

Find det ubestemte integral. Udfør kontrol.

Dette er et eksempel for dig at løse selv. Svaret og den komplette løsning er i slutningen af lektionen.

Eksempel 5

Find det ubestemte integral. Udfør kontrol.

I i dette eksempel integranden er en brøk. Når vi ser en brøk i integranden, bør den første tanke være spørgsmålet: Er det muligt på en eller anden måde at slippe af med denne brøk, eller i det mindste forenkle den?

Vi bemærker, at nævneren indeholder en enkelt rod af "X". En i feltet er ikke en kriger, hvilket betyder, at vi kan dividere tælleren med nævneren led for led:

Handlinger med brøkkræfter Jeg kommenterer ikke, da de er blevet diskuteret mange gange i artikler om den afledte funktion af en funktion. Hvis du stadig er forvirret over et eksempel som f.eks., og du stadig ikke kan få det rigtige svar, så anbefaler jeg, at du slår til i skolebøgerne. I højere matematik støder man på brøker og operationer med dem ved hvert trin.

Bemærk også, at løsningen mangler et trin, nemlig at anvende reglerne , . Normalt, selv under den første erfaring med at løse integraler, tages disse egenskaber for givet og beskrives ikke i detaljer.

Eksempel 6

Find det ubestemte integral. Udfør kontrol.

Dette er et eksempel for dig at løse selv. Svaret og den komplette løsning er i slutningen af lektionen.

Generelt er tingene ikke så enkle med brøker i integraler, yderligere materiale om integration af fraktioner af nogle typer kan findes i artiklen Integrering af nogle brøker.

! Men før du går videre til ovenstående artikel, skal du gøre dig bekendt med lektionen Substitutionsmetode i ubestemt integral. Pointen er, at subsumering af en funktion under en differentiel eller variabel erstatningsmetode er centralt punkt i studiet af emnet, da det ikke kun findes "i rene opgaver på udskiftningsmetoden", men også i mange andre typer integraler.

Jeg ville virkelig gerne have nogle flere eksempler med denne lektion, men jeg sidder her nu og skriver denne tekst på Verde og bemærker, at artiklen allerede er vokset til en anstændig størrelse.
Og derfor introduktionskursus integraler til dummies er kommet til en ende.

Jeg ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: