På hvilken vi analyserede de enkleste derivater og stiftede bekendtskab med reglerne for differentiering og nogle tekniske metoder at finde derivater. Så hvis du ikke er særlig god med afledte funktioner eller nogle punkter i denne artikel ikke er helt klare, så læs først ovenstående lektion. Kom venligst i seriøst humør - materialet er ikke simpelt, men jeg vil alligevel forsøge at præsentere det enkelt og overskueligt.

I praksis skal man beskæftige sig med den afledede af en kompleks funktion meget ofte, vil jeg endda sige, næsten altid, når man får opgaver med at finde afledte.

Vi ser på tabellen ved reglen (nr. 5) for at differentiere en kompleks funktion:

Lad os finde ud af det. Først og fremmest, lad os være opmærksomme på posten. Her har vi to funktioner - og , og funktionen er billedligt talt indlejret i funktionen . En funktion af denne type (når en funktion er indlejret i en anden) kaldes en kompleks funktion.

Jeg vil kalde funktionen ekstern funktion, og funktionen – intern (eller indlejret) funktion.

! Disse definitioner er ikke teoretiske og bør ikke indgå i den endelige udformning af opgaver. Jeg bruger uformelle udtryk "ekstern funktion", "intern" funktion kun for at gøre det nemmere for dig at forstå materialet.

For at afklare situationen skal du overveje:

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

Under sinus har vi ikke kun bogstavet "X", men et helt udtryk, så det virker ikke at finde den afledede med det samme fra tabellen. Vi bemærker også, at det er umuligt at anvende de første fire regler her, der ser ud til at være en forskel, men faktum er, at sinus ikke kan "rives i stykker":

I i dette eksempel Det fremgår allerede intuitivt af mine forklaringer, at en funktion er kompleks funktion, og polynomiet er en intern funktion (indlejring), og er en ekstern funktion.

Første skridt hvad du skal gøre, når du skal finde den afledede af en kompleks funktion er at forstå hvilken funktion der er intern og hvilken der er ekstern.

I tilfælde af simple eksempler Det synes klart, at et polynomium er indlejret under sinus. Men hvad nu hvis alt ikke er indlysende? Hvordan bestemmer man præcist, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern? For at gøre dette foreslår jeg at bruge følgende teknik, som kan gøres mentalt eller i et udkast.

Lad os forestille os, at vi skal bruge en lommeregner til at beregne værdien af ​​udtrykket ved (i stedet for et kan der være et hvilket som helst tal).

Hvad beregner vi først? Først og fremmest du skal udføre følgende handling: , derfor vil polynomiet være en intern funktion:

For det andet skal findes, så sinus – vil være en ekstern funktion:

Efter vi UDSOLGT med interne og eksterne funktioner er det tid til at anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner .

Lad os begynde at beslutte. Fra lektionen Hvordan finder man derivatet? vi husker, at designet af en løsning til en hvilken som helst afledt altid begynder sådan - vi omslutter udtrykket i parentes og sætter et streg øverst til højre:

Først vi finder den afledede af den ydre funktion (sinus), ser på tabellen over afledte af elementære funktioner og bemærker, at . Alle tabelformler er også anvendelige, hvis "x" erstattes med et komplekst udtryk, i dette tilfælde:

Bemærk venligst, at den indre funktion har ikke ændret sig, vi rører det ikke.

Tja, det er helt indlysende

Resultatet af at anvende formlen i sin endelige form ser det sådan ud:

Konstantfaktoren placeres normalt i begyndelsen af ​​udtrykket:

Hvis der er en misforståelse, så skriv løsningen ned på papir og læs forklaringerne igen.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Som altid skriver vi ned:

Lad os finde ud af, hvor vi har en ekstern funktion, og hvor vi har en intern. For at gøre dette forsøger vi (mentalt eller i et udkast) at beregne værdien af ​​udtrykket ved . Hvad skal du gøre først? Først og fremmest skal du beregne, hvad basen er lig med: derfor er polynomiet den interne funktion:

Og kun derefter udføres eksponentieringen, derfor er potensfunktionen en ekstern funktion:

Ifølge formlen , først skal du finde den afledte af den eksterne funktion, i dette tilfælde graden. Vi leder efter den nødvendige formel i tabellen: . Vi gentager igen: enhver tabelformel er ikke kun gyldig for "X", men også for et komplekst udtryk. Således resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion næste:

Jeg understreger igen, at når vi tager den afledte af den eksterne funktion, ændres vores interne funktion ikke:

Nu er der kun tilbage at finde en meget simpel afledning af den interne funktion og justere resultatet lidt:

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

For at konsolidere din forståelse af den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg give et eksempel uden kommentarer, prøve at finde ud af det på egen hånd, begrunde hvor den eksterne og hvor den interne funktion er, hvorfor opgaverne løses på denne måde?

Eksempel 5

a) Find den afledede af funktionen

b) Find den afledede af funktionen

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Her har vi en rod, og for at kunne differentiere roden skal den repræsenteres som en magt. Derfor bringer vi først funktionen i den form, der er passende til differentiering:

Ved at analysere funktionen kommer vi til den konklusion, at summen af ​​de tre led er en intern funktion, og at hæve til en potens er en ekstern funktion. Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner :

Vi repræsenterer igen graden som en radikal (rod), og for den afledede af den interne funktion anvender vi en simpel regel til at differentiere summen:

Parat. Du kan også reducere udtrykket til en fællesnævner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig smukt, men når du får besværlige lange derivater, er det bedre ikke at gøre dette (det er nemt at blive forvirret, lave en unødvendig fejl, og det vil være ubelejligt for læreren at tjekke).

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Det er interessant at bemærke, at nogle gange i stedet for reglen for at differentiere en kompleks funktion, kan du bruge reglen til at differentiere en kvotient , men en sådan løsning vil ligne en usædvanlig perversion. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du bruge reglen om differentiering af kvotienten , men det er meget mere rentabelt at finde den afledede gennem reglen om differentiering af en kompleks funktion:

Vi forbereder funktionen til differentiering - vi flytter minus ud af det afledte fortegn og hæver cosinus til tælleren:

Cosinus er en intern funktion, eksponentiering er en ekstern funktion.
Lad os bruge vores regel :

Vi finder den afledede af den interne funktion og nulstiller cosinus igen:

Parat. I det betragtede eksempel er det vigtigt ikke at blive forvirret i skiltene. Prøv i øvrigt at løse det ved hjælp af reglen , skal svarene stemme overens.

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Indtil videre har vi set på tilfælde, hvor vi kun havde én rede i en kompleks funktion. I praktiske opgaver kan du ofte finde derivater, hvor der, ligesom nesting-dukker, den ene inde i den anden, er indlejret 3 eller endda 4-5 funktioner på én gang.

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Lad os forstå vedhæftninger af denne funktion. Lad os prøve at beregne udtrykket ved hjælp af den eksperimentelle værdi. Hvordan ville vi regne med en lommeregner?

Først skal du finde , hvilket betyder, at arcsine er den dybeste indlejring:

Denne arcsinus af en skal så kvadreres:

Og til sidst hæver vi syv til en magt:

Det vil sige, at vi i dette eksempel har tre forskellige funktioner og to indlejringer, mens den inderste funktion er arcsinus, og den yderste funktion er den eksponentielle funktion.

Lad os begynde at beslutte

Ifølge reglen Først skal du tage den afledede af den ydre funktion. Vi ser på tabellen over afledte og finder den afledte eksponentiel funktion: Den eneste forskel er, at i stedet for "x" har vi et komplekst udtryk, som ikke afkræfter gyldigheden af ​​denne formel. Så resultatet af at anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion næste.

På denne lektion vi vil lære at finde afledet af en kompleks funktion. Lektionen er en logisk fortsættelse af lektionen Hvordan finder man derivatet?, hvor vi undersøgte de simpleste derivater, og også stiftede bekendtskab med reglerne for differentiering og nogle tekniske teknikker til at finde derivater. Så hvis du ikke er særlig god med afledte funktioner eller nogle punkter i denne artikel ikke er helt klare, så læs først ovenstående lektion. Kom venligst i seriøst humør - materialet er ikke simpelt, men jeg vil alligevel forsøge at præsentere det enkelt og overskueligt.

I praksis skal man beskæftige sig med den afledede af en kompleks funktion meget ofte, vil jeg endda sige, næsten altid, når man får opgaver med at finde afledte.

Vi ser på tabellen ved reglen (nr. 5) for at differentiere en kompleks funktion:

Lad os finde ud af det. Først og fremmest, lad os være opmærksomme på posten. Her har vi to funktioner - og , og funktionen er billedligt talt indlejret i funktionen . En funktion af denne type (når en funktion er indlejret i en anden) kaldes en kompleks funktion.

Jeg vil kalde funktionen ekstern funktion, og funktionen – intern (eller indlejret) funktion.

! Disse definitioner er ikke teoretiske og bør ikke indgå i den endelige udformning af opgaver. Jeg bruger uformelle udtryk "ekstern funktion", "intern" funktion kun for at gøre det nemmere for dig at forstå materialet.

For at afklare situationen skal du overveje:

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

Under sinus har vi ikke kun bogstavet "X", men et helt udtryk, så det virker ikke at finde den afledede med det samme fra tabellen. Vi bemærker også, at det er umuligt at anvende de første fire regler her, der ser ud til at være en forskel, men faktum er, at sinus ikke kan "rives i stykker":

I dette eksempel er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer, at en funktion er en kompleks funktion, og polynomiet er en intern funktion (indlejring) og en ekstern funktion.

Første skridt hvad du skal gøre, når du skal finde den afledede af en kompleks funktion er at forstå hvilken funktion der er intern og hvilken der er ekstern.

I tilfælde af simple eksempler synes det klart, at et polynomium er indlejret under sinus. Men hvad nu hvis alt ikke er indlysende? Hvordan bestemmer man præcist, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern? For at gøre dette foreslår jeg at bruge følgende teknik, som kan gøres mentalt eller i et udkast.

Lad os forestille os, at vi skal bruge en lommeregner til at beregne værdien af ​​udtrykket ved (i stedet for et kan der være et hvilket som helst tal).

Hvad beregner vi først? Først og fremmest du skal udføre følgende handling: , derfor vil polynomiet være en intern funktion:

For det andet skal findes, så sinus – vil være en ekstern funktion:

Efter vi UDSOLGT Med interne og eksterne funktioner er det tid til at anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner.

Lad os begynde at beslutte. Fra klassen Hvordan finder man derivatet? vi husker, at designet af en løsning til en hvilken som helst afledt altid begynder sådan - vi omslutter udtrykket i parentes og sætter et streg øverst til højre:

Først vi finder den afledede af den ydre funktion (sinus), ser på tabellen over afledte af elementære funktioner og bemærker, at . Alle tabelformler er også anvendelige, hvis "x" erstattes med et komplekst udtryk, i dette tilfælde:

Bemærk venligst, at den indre funktion har ikke ændret sig, vi rører det ikke.

Tja, det er helt indlysende

Det endelige resultat af at anvende formlen ser således ud:

Konstantfaktoren placeres normalt i begyndelsen af ​​udtrykket:

Hvis der er en misforståelse, så skriv løsningen ned på papir og læs forklaringerne igen.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Som altid skriver vi ned:

Lad os finde ud af, hvor vi har en ekstern funktion, og hvor vi har en intern. For at gøre dette forsøger vi (mentalt eller i et udkast) at beregne værdien af ​​udtrykket ved . Hvad skal du gøre først? Først og fremmest skal du beregne, hvad basen er lig med: derfor er polynomiet den interne funktion:

Og kun derefter udføres eksponentieringen, derfor er potensfunktionen en ekstern funktion:

Ifølge formlen skal du først finde den afledede af den eksterne funktion, i dette tilfælde graden. Vi leder efter den nødvendige formel i tabellen: . Vi gentager igen: enhver tabelformel er ikke kun gyldig for "X", men også for et komplekst udtryk. Således er resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion som følger:

Jeg understreger igen, at når vi tager den afledte af den eksterne funktion, ændres vores interne funktion ikke:

Nu er der kun tilbage at finde en meget simpel afledning af den interne funktion og justere resultatet lidt:

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

For at konsolidere din forståelse af den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg give et eksempel uden kommentarer, prøve at finde ud af det på egen hånd, begrunde hvor den eksterne og hvor den interne funktion er, hvorfor opgaverne løses på denne måde?

Eksempel 5

a) Find den afledede af funktionen

b) Find den afledede af funktionen

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Her har vi en rod, og for at kunne differentiere roden skal den repræsenteres som en magt. Derfor bringer vi først funktionen i den form, der er passende til differentiering:

Ved at analysere funktionen kommer vi til den konklusion, at summen af ​​de tre led er en intern funktion, og at hæve til en potens er en ekstern funktion. Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner:

Vi repræsenterer igen graden som en radikal (rod), og for den afledede af den interne funktion anvender vi en simpel regel til at differentiere summen:

Parat. Du kan også reducere udtrykket til en fællesnævner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig smukt, men når du får besværlige lange derivater, er det bedre ikke at gøre dette (det er nemt at blive forvirret, lave en unødvendig fejl, og det vil være ubelejligt for læreren at tjekke).

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Det er interessant at bemærke, at nogle gange i stedet for reglen for at differentiere en kompleks funktion, kan du bruge reglen til at differentiere en kvotient , men sådan en løsning vil ligne en sjov perversion. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du bruge reglen om differentiering af kvotienten , men det er meget mere rentabelt at finde den afledede gennem reglen om differentiering af en kompleks funktion:

Vi forbereder funktionen til differentiering - vi flytter minus ud af det afledte fortegn og hæver cosinus til tælleren:

Cosinus er en intern funktion, eksponentiering er en ekstern funktion.
Lad os bruge vores regel:

Vi finder den afledede af den interne funktion og nulstiller cosinus igen:

Parat. I det betragtede eksempel er det vigtigt ikke at blive forvirret i skiltene. Prøv i øvrigt at løse det ved hjælp af reglen , skal svarene stemme overens.

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Indtil videre har vi set på tilfælde, hvor vi kun havde én rede i en kompleks funktion. I praktiske opgaver kan du ofte finde derivater, hvor der, ligesom nesting-dukker, den ene inde i den anden, er indlejret 3 eller endda 4-5 funktioner på én gang.

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Lad os forstå vedhæftninger af denne funktion. Lad os prøve at beregne udtrykket ved hjælp af den eksperimentelle værdi. Hvordan ville vi regne med en lommeregner?

Først skal du finde , hvilket betyder, at arcsine er den dybeste indlejring:

Denne arcsinus af en skal så kvadreres:

Og til sidst hæver vi syv til en magt:

Det vil sige, at vi i dette eksempel har tre forskellige funktioner og to indlejringer, mens den inderste funktion er arcsinus, og den yderste funktion er den eksponentielle funktion.

Lad os begynde at beslutte

Ifølge reglen skal du først tage den afledte af den eksterne funktion. Vi ser på tabellen over afledte og finder den afledede af eksponentialfunktionen: Den eneste forskel er, at vi i stedet for "x" har et komplekst udtryk, som ikke afkræfter gyldigheden af ​​denne formel. Så resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion er som følger.

Definition. Lad funktionen \(y = f(x)\) defineres i et bestemt interval, der indeholder punktet \(x_0\) inde i den. Lad os give argumentet en stigning \(\Delta x \), således at det ikke forlader dette interval. Lad os finde den tilsvarende forøgelse af funktionen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relationen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis der er en grænse for dette forhold ved \(\Delta x \højrepil 0\), så kaldes den angivne grænse afledet af en funktion\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angiv \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y bruges ofte til at betegne den afledede Bemærk, at y" = f(x) er en ny funktion, men naturligt relateret til funktionen y = f(x), defineret i alle punkter x, hvor ovenstående grænse eksisterer. Denne funktion kaldes sådan: afledet af funktionen y = f(x).

Geometrisk betydning af afledte er som følger. Hvis det er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallel med y-aksen, så udtrykker f(a) hældningen af ​​tangenten :
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), så er ligheden \(f"(a) = tan(a) \) sand.

Lad os nu fortolke definitionen af ​​derivat ud fra synspunktet om omtrentlige ligheder. Lad funktionen \(y = f(x)\) have en afledet i et bestemt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyder, at nær punktet x den omtrentlige lighed \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulde betydning af den resulterende omtrentlige lighed er som følger: stigningen af ​​funktionen er "næsten proportional" med stigningen i argumentet, og proportionalitetskoefficienten er værdien af ​​den afledte i givet point X. For eksempel, for funktionen \(y = x^2\) er den omtrentlige lighed \(\Delta y \ca. 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi omhyggeligt analyserer definitionen af ​​en afledt, vil vi opdage, at den indeholder en algoritme til at finde den.

Lad os formulere det.

Hvordan finder man den afledede af funktionen y = f(x)?

1. Ret værdien af ​​\(x\), find \(f(x)\)
2. Giv argumentet \(x\) et trin \(\Delta x\), gå til nyt punkt\(x+ \Delta x \), find \(f(x+ \Delta x) \)
3. Find tilvæksten af ​​funktionen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opret relationen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grænse er den afledede af funktionen i punkt x.

Hvis en funktion y = f(x) har en afledet i et punkt x, så kaldes den differentiabel i et punkt x. Fremgangsmåden for at finde den afledede af funktionen y = f(x) kaldes differentiering funktioner y = f(x).

Lad os diskutere følgende spørgsmål: hvordan er kontinuitet og differentierbarhed af en funktion på et punkt relateret til hinanden?

Lad funktionen y = f(x) være differentiabel i punktet x. Derefter kan der tegnes en tangent til grafen for funktionen i punktet M(x; f(x)), og husk, tangens vinkelkoefficient er lig med f "(x). En sådan graf kan ikke "knække" ved punkt M, dvs. funktionen skal være kontinuert i punkt x.

Disse var "hands-on" argumenter. Lad os give en mere stringent begrundelse. Hvis funktionen y = f(x) er differentiabel i punktet x, så gælder den omtrentlige lighed \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Hvis i denne lighed \(\Delta x \) har tendens til nul, så vil \(\Delta y \) vende mod nul, og dette er betingelsen for kontinuiteten af ​​funktionen i et punkt.

Så, hvis en funktion er differentierbar i et punkt x, så er den kontinuert i det punkt.

Det omvendte udsagn er ikke sandt. For eksempel: funktion y = |x| er kontinuert overalt, især i punktet x = 0, men tangenten til grafen for funktionen i "forbindelsespunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trækkes til grafen for en funktion, så eksisterer den afledede ikke på det punkt.

Et andet eksempel. Funktionen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuert på hele tallinjen, inklusive i punktet x = 0. Og tangenten til funktionens graf findes på ethvert punkt, inklusive i punktet x = 0 Men på dette tidspunkt falder tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Hældningskoefficient sådan en linje har ikke, hvilket betyder at \(f"(0) \) heller ikke eksisterer

Så vi stiftede bekendtskab med en ny egenskab ved en funktion - differentiabilitet. Hvordan kan man ud fra grafen for en funktion konkludere, at den er differentierbar?

Svaret er faktisk givet ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er muligt at tegne en tangent til grafen for en funktion, der ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt differentierbar. Hvis tangenten til grafen for en funktion på et tidspunkt ikke eksisterer, eller den er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt ikke differentierbar.

Regler for differentiering

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når du udfører denne operation, skal du ofte arbejde med kvotienter, summer, produkter af funktioner såvel som "funktioner af funktioner", det vil sige komplekse funktioner. Ud fra definitionen af ​​afledt kan vi udlede differentieringsregler, der gør dette arbejde lettere. Hvis C - konstant tal og f=f(x), g=g(x) er nogle differentiable funktioner, så er følgende sande differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Afledt af en kompleks funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Problemet med at finde den afledte af givet funktion er et af hovedkurserne i matematik gymnasium og i højere uddannelsesinstitutioner. Det er umuligt fuldt ud at udforske en funktion og konstruere dens graf uden at tage dens afledede. Den afledede af en funktion kan nemt findes, hvis du kender de grundlæggende regler for differentiering, samt tabellen over afledte funktioner af grundlæggende funktioner. Lad os finde ud af, hvordan man finder den afledede af en funktion.

Den afledte af en funktion er grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet, når stigningen af ​​argumentet har en tendens til nul.

Det er ret svært at forstå denne definition, da begrebet en grænse ikke er fuldt ud undersøgt i skolen. Men for at finde afledte funktioner er det ikke nødvendigt at forstå definitionen, lad os overlade det til matematikere og gå direkte til at finde den afledede.

Processen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når vi differentierer funktionen, får vi ny funktion.

For at betegne dem vil vi bruge latinske bogstaver f, g osv.

Der er mange forskellige notationer for derivater. Vi vil bruge et slagtilfælde. At skrive g" betyder for eksempel, at vi finder den afledede af funktionen g.

Derivater tabel

For at besvare spørgsmålet om, hvordan man finder derivatet, er det nødvendigt at give en tabel over derivater af hovedfunktionerne. For at beregne afledte af elementære funktioner er det ikke nødvendigt at udføre komplekse beregninger. Det er nok bare at se på dens værdi i tabellen over derivater.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Eksempel 1. Find den afledede af funktionen y=500.

Vi ser, at dette er en konstant. Fra tabellen over afledte er det kendt, at den afledede af en konstant er lig med nul (formel 1).

Eksempel 2. Find den afledede af funktionen y=x 100.

Dette er en potensfunktion, hvis eksponent er 100, og for at finde dens afledte skal du gange funktionen med eksponenten og reducere den med 1 (formel 3).

(x 100)"=100 x 99

Eksempel 3. Find den afledede af funktionen y=5 x

Dette er en eksponentiel funktion, lad os beregne dens afledte ved hjælp af formel 4.

Eksempel 4. Find den afledede af funktionen y= log 4 x

Vi finder den afledede af logaritmen ved hjælp af formel 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regler for differentiering

Lad os nu finde ud af, hvordan man finder den afledede af en funktion, hvis den ikke er i tabellen. De fleste af de undersøgte funktioner er ikke elementære, men er kombinationer af elementære funktioner ved hjælp af simple operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division og multiplikation med et tal). For at finde deres derivater skal du kende reglerne for differentiering. Herunder betegner bogstaverne f og g funktioner, og C er en konstant.

1. Den konstante koefficient kan tages ud af fortegn for den afledte

Eksempel 5. Find den afledede af funktionen y= 6*x 8

Vi tager den ud konstant koefficient 6 og differentier kun x 4 . Dette er en potensfunktion, hvis afledte findes ved hjælp af formel 3 i tabellen over afledte.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Den afledte sum er lig med summen af ​​de afledte

(f + g)"=f" + g"

Eksempel 6. Find den afledede af funktionen y= x 100 +sin x

En funktion er summen af ​​to funktioner, hvis afledte vi kan finde ud af tabellen. Da (x 100)"=100 x 99 og (sin x)"=cos x. Den afledte sum vil være lig med summen af ​​disse afledte:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Forskellens afledte er lig med forskellen mellem de afledte

(f – g)"=f" – g"

Eksempel 7. Find den afledede af funktionen y= x 100 – cos x

Denne funktion er forskellen mellem to funktioner, hvis afledte vi også kan finde fra tabellen. Så er den afledte af forskellen lig med forskellen mellem de afledte, og glem ikke at ændre tegnet, da (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Eksempel 8. Find den afledede af funktionen y=e x +tg x– x 2.

Denne funktion har både en sum og en forskel lad os finde de afledte af hvert led:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Så er den afledede af den oprindelige funktion lig med:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Afledt af produktet

(f * g)"=f" * g + f * g"

Eksempel 9. Find den afledede af funktionen y= cos x *e x

For at gøre dette finder vi først den afledede af hver faktor (cos x)"=–sin x og (e x)"=e x. Lad os nu erstatte alt i produktformlen. Vi multiplicerer den afledede af den første funktion med den anden og adderer produktet af den første funktion med den afledede af den anden.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Afledt af kvotienten

(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Eksempel 10. Find den afledede af funktionen y= x 50 /sin x

For at finde den afledede af en kvotient finder vi først den afledede af tælleren og nævneren hver for sig: (x 50)"=50 x 49 og (sin x)"= cos x. Ved at erstatte den afledede af kvotienten i formlen får vi:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Afledt af en kompleks funktion

En kompleks funktion er en funktion repræsenteret ved en sammensætning af flere funktioner. Der er også en regel for at finde den afledede af en kompleks funktion:

(u (v))"=u"(v)*v"

Lad os finde ud af, hvordan man finder den afledede af en sådan funktion. Lad y= u(v(x)) være en kompleks funktion. Lad os kalde funktionen u ekstern og v - intern.

For eksempel:

y=sin (x 3) er en kompleks funktion.

Så er y=sin(t) en ekstern funktion

t=x 3 - intern.

Lad os prøve at beregne den afledede af denne funktion. Ifølge formlen skal du gange derivaterne af de interne og eksterne funktioner.

(sin t)"=cos (t) - afledt af den eksterne funktion (hvor t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - afledt af den interne funktion

Så (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 er den afledte af en kompleks funktion.

Indgangsniveau

Afledt af en funktion. Omfattende guide (2019)

Lad os forestille os en lige vej, der går gennem et bakket område. Det vil sige, at den går op og ned, men drejer hverken til højre eller venstre. Hvis aksen er rettet vandret langs vejen og lodret, vil vejlinjen være meget lig grafen for en kontinuerlig funktion:

Aksen er et vist niveau af nul højde i livet, vi bruger havniveau som det.

Når vi bevæger os fremad ad sådan en vej, bevæger vi os også op eller ned. Vi kan også sige: når argumentet ændres (bevægelse langs abscisseaksen), ændres værdien af ​​funktionen (bevægelse langs ordinataksen). Lad os nu tænke på, hvordan man bestemmer "stejlheden" af vores vej? Hvilken slags værdi kan dette være? Det er meget enkelt: hvor meget højden vil ændre sig, når man bevæger sig fremad en vis afstand. Faktisk, på forskellige sektioner af vejen, bevæger vi os fremad (langs x-aksen) med en kilometer, vil vi stige eller falde med forskellige mængder meter i forhold til havoverfladen (langs ordinataksen).

Lad os betegne fremskridt (læs "delta x").

Det græske bogstav (delta) er almindeligt brugt i matematik som et præfiks, der betyder "ændring". Det vil sige - dette er en ændring i mængde, - en ændring; hvad er det så? Det er rigtigt, en ændring i størrelse.

Vigtigt: et udtryk er en enkelt helhed, én variabel. Adskil aldrig "delta" fra "x" eller noget andet bogstav!

Det er for eksempel.

Så vi har bevæget os fremad, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner vejens linje med grafen for funktionen, hvordan betegner vi så stigningen? bestemt,. Det vil sige, at når vi bevæger os fremad, stiger vi højere.

Værdien er let at beregne: hvis vi i begyndelsen var i en højde, og efter at have flyttet vi befandt os i en højde, så. Hvis slutpunktet er lavere end startpunktet, vil det være negativt – det betyder, at vi ikke stiger op, men falder.

Lad os vende tilbage til "stejlhed": dette er en værdi, der viser, hvor meget (stejlt) højden stiger, når man bevæger sig en afstandsenhed frem:

Lad os antage, at på en del af vejen, når man bevæger sig en kilometer frem, stiger vejen en kilometer op. Så er hældningen på dette sted ens. Og hvis vejen, mens den bevægede sig frem med m, faldt med km? Så er hældningen ens.

Lad os nu se på toppen af ​​en bakke. Hvis du tager begyndelsen af ​​strækningen en halv kilometer før toppen, og slutningen en halv kilometer efter den, kan du se, at højden er næsten den samme.

I det virkelige liv At måle afstande til nærmeste millimeter er mere end nok. Men matematikere stræber altid efter perfektion. Derfor blev konceptet opfundet uendelig lille, det vil sige, at den absolutte værdi er mindre end ethvert tal, vi kan navngive. For eksempel siger du: en trilliontedel! Hvor meget mindre? Og du dividerer dette tal med - og det bliver endnu mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive, at en størrelse er uendelig, skriver vi sådan her: (vi læser "x har en tendens til nul"). Det er meget vigtigt at forstå at dette tal ikke er nul! Men meget tæt på det. Det betyder, at du kan dividere med det.

Begrebet modsat infinitesimal er uendeligt stort (). Du har sikkert allerede stødt på det, da du arbejdede på uligheder: dette tal er modulo større end noget tal, du kan komme i tanke om. Hvis du kommer op på det størst mulige tal, skal du bare gange det med to, og du får et endnu større tal. Og uendeligheden er endnu større, end hvad der sker. Faktisk er det uendeligt store og det uendeligt lille det omvendte af hinanden, det vil sige ved og omvendt: kl.

Lad os nu vende tilbage til vores vej. Den ideelt beregnede hældning er hældningen beregnet for et infinitesimalt segment af stien, dvs.

Jeg bemærker, at med en infinitesimal forskydning vil ændringen i højden også være infinitesimal. Men lad mig minde dig om, at infinitesimal ikke betyder lig med nul. Hvis man dividerer infinitesimale tal med hinanden, kan man få et helt almindeligt tal, f.eks. Det vil sige, at en lille værdi kan være nøjagtigt gange større end en anden.

Hvad er alt dette til for? Vejen, stejlheden... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematik. Og i matematik er alt præcis det samme, kun kaldet anderledes.

Begrebet afledt

Den afledte af en funktion er forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet for en uendelig stigning af argumentet.

Trinvist i matematik kalder de forandring. I hvilket omfang argumentet () ændres, når det bevæger sig langs aksen, kaldes argumentstigning og betegnes, hvor meget funktionen (højden) har ændret sig, når man bevæger sig fremad langs aksen med en afstand funktionstilvækst og er udpeget.

Så den afledede af en funktion er forholdet til hvornår. Vi betegner den afledede med samme bogstav som funktionen, kun med et primtal øverst til højre: eller simpelthen. Så lad os skrive den afledte formel ved hjælp af disse notationer:

Som i analogien med vejen, her, når funktionen øges, er den afledte positiv, og når den falder, er den negativ.

Kan den afledede være lig nul? Sikkert. For eksempel, hvis vi kører på en flad vandret vej, er stejlheden nul. Og det er rigtigt, højden ændrer sig overhovedet ikke. Sådan er det med den afledede: den afledede af en konstant funktion (konstant) er lig nul:

da stigningen af ​​en sådan funktion er lig med nul for enhver.

Lad os huske eksemplet på en bakketop. Det viste sig, at det var muligt at arrangere enderne af segmentet langs forskellige sider fra toppen, så højden i enderne er den samme, det vil sige, at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøjagtig måling. Vi hæver vores segment op parallelt med sig selv, så dets længde vil falde.

Til sidst, når vi er uendeligt tæt på toppen, vil længden af ​​segmentet blive uendeligt lille. Men på samme tid forblev det parallelt med aksen, det vil sige, at forskellen i højder ved dens ender er lig med nul (den plejer ikke, men er lig med). Altså den afledte

Dette kan forstås sådan: Når vi står helt øverst, ændrer et lille skift til venstre eller højre vores højde ubetydeligt.

Der er også en rent algebraisk forklaring: Til venstre for toppunktet øges funktionen, og til højre falder den. Som vi fandt ud af tidligere, når en funktion stiger, er den afledte positiv, og når den falder, er den negativ. Men det skifter jævnt uden hop (da vejen ikke ændrer sin hældning skarpt nogen steder). Derfor mellem negativ og positive værdier der skal bestemt være. Det vil være der, hvor funktionen hverken stiger eller falder - i toppunktet.

Det samme gælder for truget (det område, hvor funktionen til venstre falder og til højre øges):

Lidt mere om stigninger.

Så vi ændrer argumentet til størrelse. Vi ændrer fra hvilken værdi? Hvad er det (argumentet) blevet til nu? Vi kan vælge et hvilket som helst punkt, og nu vil vi danse ud fra det.

Overvej et punkt med en koordinat. Værdien af ​​funktionen i den er lig. Så laver vi den samme stigning: vi øger koordinaten med. Hvad er argumentet nu? Meget nemt:. Hvad er værdien af ​​funktionen nu? Hvor argumentet går, gør funktionen også: . Hvad med funktionstilvækst? Intet nyt: dette er stadig det beløb, som funktionen er ændret med:

Øv dig i at finde trin:

1. Find stigningen af ​​funktionen på et punkt, hvor stigningen af ​​argumentet er lig med.
2. Det samme gælder for funktionen på et punkt.

Løsninger:

På forskellige punkter med samme argumenttilvækst vil funktionen stigning være forskellig. Det betyder, at den afledte på hvert punkt er forskellig (vi diskuterede dette i begyndelsen - vejens stejlhed er forskellig på forskellige punkter). Derfor, når vi skriver en afledt, skal vi angive på hvilket tidspunkt:

Power funktion.

En potensfunktion er en funktion, hvor argumentet til en vis grad er (logisk, ikke?).

Desuden - i ethvert omfang: .

Det enkleste tilfælde er, når eksponenten er:

Lad os finde dens afledte på et tidspunkt. Lad os huske definitionen af ​​et derivat:

Så argumentet skifter fra til. Hvad er stigningen af ​​funktionen?

Tilvækst er dette. Men en funktion er til enhver tid lig med dens argument. Det er derfor:

Den afledte er lig med:

Den afledte af er lig med:

b) Overvej nu kvadratisk funktion (): .

Lad os nu huske det. Dette betyder, at værdien af ​​stigningen kan negligeres, da den er uendelig lille og derfor ubetydelig på baggrund af det andet udtryk:

Så vi fandt på en anden regel:

c) Vi fortsætter den logiske række: .

Dette udtryk kan forenkles på forskellige måder: Åbn den første parentes ved hjælp af formlen for forkortet multiplikation af summens terning, eller faktoriser hele udtrykket ved hjælp af formlen for forskellen mellem terninger. Prøv at gøre det selv ved hjælp af en af ​​de foreslåede metoder.

Så jeg fik følgende:

Og lad os igen huske det. Det betyder, at vi kan negligere alle udtryk, der indeholder:

Vi får:.

d) Lignende regler kan opnås for store magter:

e) Det viser sig, at denne regel kan generaliseres for en potensfunktion med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltal:

(2)

Reglen kan formuleres med ordene: "graden fremføres som en koefficient og reduceres derefter med ."

Vi vil bevise denne regel senere (næsten til allersidst). Lad os nu se på et par eksempler. Find den afledede af funktionerne:

1. (på to måder: ved formel og ved hjælp af definitionen af ​​afledt - ved at beregne stigningen af ​​funktionen);

1. . Tro det eller ej, dette er en magtfunktion. Hvis du har spørgsmål som "Hvordan er det her? Hvor er graden?”, husk emnet “”!
   Ja, ja, roden er også en grad, kun brøk:.
   Så vores kvadratrod- dette er kun en grad med en indikator:
   .
   Vi leder efter den afledte ved hjælp af den nyligt lærte formel:

   Hvis det på dette tidspunkt bliver uklart igen, gentag emnet ""!!! (ca. en grad med negativ eksponent)

2. . Nu eksponenten:

   Og nu gennem definitionen (har du glemt det endnu?):
   ;
   .
   Nu, som sædvanlig, forsømmer vi udtrykket, der indeholder:
   .

3. . Kombination af tidligere sager: .

Trigonometriske funktioner.

Her vil vi bruge et faktum fra højere matematik:

Med udtryk.

Du vil lære beviset i det første år af instituttet (og for at komme dertil skal du bestå Unified State Exam godt). Nu vil jeg bare vise det grafisk:

Vi ser, at når funktionen ikke eksisterer - skæres punktet på grafen ud. Men jo tættere på værdien, jo tættere er funktionen. Dette er, hvad "mål".

Derudover kan du kontrollere denne regel ved hjælp af en lommeregner. Ja, ja, vær ikke genert, tag en lommeregner, vi er ikke til Unified State Exam endnu.

Så lad os prøve: ;

Glem ikke at skifte din lommeregner til Radians-tilstand!

osv. Vi ser, at jo mindre, jo tættere er værdien af ​​forholdet.

a) Overvej funktionen. Lad os som sædvanlig finde dens stigning:

Lad os gøre forskellen på sinus til et produkt. For at gøre dette bruger vi formlen (husk emnet ""): .

Nu den afledte:

Lad os lave en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Udtrykket for har formen:

Og nu husker vi det med udtrykket. Og også, hvad nu hvis en uendelig størrelse kan negligeres i summen (det vil sige ved).

Så vi får følgende regel: afledet af sinus er lig med cosinus:

Disse er grundlæggende ("tabel") derivater. Her er de på én liste:

Senere vil vi tilføje nogle flere til dem, men disse er de vigtigste, da de bruges oftest.

Praksis:

1. Find den afledede af funktionen i et punkt;
2. Find den afledede af funktionen.

Løsninger:

1. Lad os først finde den afledte i generel opfattelse, og erstatte dens værdi:
   ;
   .
2. Her har vi noget lignende power funktion. Lad os prøve at bringe hende til
   normal visning:
   .
   Godt, nu kan du bruge formlen:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Hvad er det her????

Okay, du har ret, vi ved endnu ikke, hvordan man finder sådanne derivater. Her har vi en kombination af flere typer funktioner. For at arbejde med dem skal du lære nogle flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Der er en funktion i matematik, hvis afledede for enhver værdi er lig med værdien af ​​selve funktionen på samme tid. Det kaldes "eksponent", og er en eksponentiel funktion

Grundlaget for denne funktion er en konstant - den er uendelig decimal, altså et irrationelt tal (som f.eks.). Det kaldes "Euler-nummeret", hvorfor det er angivet med et bogstav.

Så reglen:

Meget let at huske.

Nå, lad os ikke gå langt, lad os straks overveje den omvendte funktion. Hvilken funktion er den inverse af eksponentialfunktionen? Logaritme:

I vores tilfælde er basen tallet:

En sådan logaritme (det vil sige en logaritme med en base) kaldes "naturlig", og vi bruger en speciel notation til den: vi skriver i stedet.

Hvad er det lig med? Selvfølgelig.

Den afledte af den naturlige logaritme er også meget enkel:

Eksempler:

1. Find den afledede af funktionen.
2. Hvad er den afledede af funktionen?

Svar: Udstiller og naturlig logaritme- funktioner er entydigt enkle med hensyn til afledte. Eksponentielle og logaritmiske funktioner med enhver anden base vil have en anden afledet, som vi vil analysere senere, efter at vi har gennemgået reglerne for differentiering.

Regler for differentiering

Regler for hvad? Igen en ny periode, igen?!...

Differentiering er processen med at finde derivatet.

Det er alt. Hvad kan du ellers kalde denne proces med ét ord? Ikke afledt... Differentialet for matematikere er det samme tilvækst af en funktion ved. Dette udtryk kommer fra det latinske differentia - forskel. Her.

Når vi udleder alle disse regler, vil vi bruge to funktioner, for eksempel og. Vi skal også bruge formler for deres trin:

Der er i alt 5 regler.

Konstanten tages ud af det afledte fortegn.

Hvis - et eller andet konstant tal (konstant), så.

Denne regel virker naturligvis også for forskellen: .

Lad os bevise det. Lad det være, eller mere enkelt.

Eksempler.

Find de afledte funktioner:

1. på et tidspunkt;
2. på et tidspunkt;
3. på et tidspunkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den afledte er den samme i alle punkter, da det er en lineær funktion, husker du?);

Afledt af produktet

Alt ligner her: lad os introducere en ny funktion og finde dens stigning:

Afledt:

Eksempler:

1. Find de afledte funktioner og;
2. Find den afledede af funktionen i et punkt.

Løsninger:

Afledt af en eksponentiel funktion

Nu er din viden nok til at lære at finde den afledede af enhver eksponentiel funktion, og ikke kun eksponenter (har du glemt, hvad det er endnu?).

Så hvor er et tal.

Vi kender allerede den afledede af funktionen, så lad os prøve at bringe vores funktion til en ny base:

Til dette vil vi bruge simpel regel: . Så:

Nå, det virkede. Prøv nu at finde den afledede, og glem ikke, at denne funktion er kompleks.

Virkede det?

Tjek dig selv her:

Formlen viste sig at være meget lig den afledte af en eksponent: Som den var, forbliver den den samme, kun en faktor dukkede op, som kun er et tal, men ikke en variabel.

Eksempler:
Find de afledte funktioner:

Svar:

Dette er bare et tal, der ikke kan beregnes uden en lommeregner, dvs. det kan ikke skrives ned i mere i simpel form. Derfor efterlader vi det i denne form i svaret.

Afledt af en logaritmisk funktion

Det ligner her: du kender allerede den afledede af den naturlige logaritme:

Derfor, for at finde en vilkårlig logaritme med en anden base, for eksempel:

Vi er nødt til at reducere denne logaritme til basen. Hvordan ændrer man basen for en logaritme? Jeg håber du husker denne formel:

Først nu skriver vi i stedet:

Nævneren er simpelthen en konstant (et konstant tal, uden en variabel). Den afledte opnås meget enkelt:

Derivater af eksponentielle og logaritmiske funktioner findes næsten aldrig i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødigt at kende dem.

Afledt af en kompleks funktion.

Hvad er en "kompleks funktion"? Nej, dette er ikke en logaritme og ikke en arctangens. Disse funktioner kan være svære at forstå (selvom hvis du synes, logaritmen er svær, så læs emnet "Logarithms", og du vil være i orden), men fra et matematisk synspunkt betyder ordet "kompleks" ikke "svært".

Forestil dig et lille transportbånd: to personer sidder og laver nogle handlinger med nogle genstande. For eksempel pakker den første en chokoladebar ind i en indpakning, og den anden binder den med et bånd. Resultatet er en sammensat genstand: en chokoladebar pakket ind og bundet med et bånd. For at spise en chokoladebar skal du udføre de omvendte trin i omvendt rækkefølge.

Lad os skabe en lignende matematisk pipeline: først finder vi cosinus af et tal og derefter kvadreret det resulterende tal. Så vi får et nummer (chokolade), jeg finder dens cosinus (omslag), og så firkanter du det, jeg fik (bind det med et bånd). Hvad skete der? Fungere. Dette er et eksempel på en kompleks funktion: når vi, for at finde dens værdi, udfører den første handling direkte med variablen, og derefter en anden handling med det, der er resultatet af den første.

Vi kan nemt udføre de samme trin i omvendt rækkefølge: Først skal du kvadrere det, og jeg leder derefter efter cosinus af det resulterende tal: . Det er let at gætte, at resultatet næsten altid vil være anderledes. Vigtig funktion komplekse funktioner: Når rækkefølgen af ​​handlinger ændres, ændres funktionen.

Med andre ord, en kompleks funktion er en funktion, hvis argument er en anden funktion: .

For det første eksempel.

Andet eksempel: (samme ting). .

Den handling, vi laver sidst, vil blive kaldt "ekstern" funktion, og handlingen udført først - i overensstemmelse hermed "intern" funktion(dette er uformelle navne, jeg bruger dem kun til at forklare materialet i et enkelt sprog).

Prøv selv at afgøre, hvilken funktion der er ekstern og hvilken intern:

Svar: At adskille indre og ydre funktioner minder meget om at ændre variable: for eksempel i en funktion

1. Hvilken handling udfører vi først? Lad os først beregne sinus, og først derefter kube den. Det betyder, at det er en intern funktion, men en ekstern.
   Og den oprindelige funktion er deres sammensætning: .
2. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.

Vi ændrer variable og får en funktion.

Nå, nu vil vi udtrække vores chokoladebar - se efter derivatet. Fremgangsmåden er altid omvendt: først ser vi efter den afledede af den ydre funktion, derefter gange vi resultatet med den afledede af den indre funktion. I forhold til det originale eksempel ser det sådan ud:

Et andet eksempel:

Så lad os endelig formulere den officielle regel:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

Det virker simpelt, ikke?

Lad os tjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Forsøg bare ikke at skære det nu! Der kommer ikke noget ud under cosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart, at dette er en kompleks funktion på tre niveauer: dette er trods alt allerede en kompleks funktion i sig selv, og vi udvinder også roden fra den, det vil sige, vi udfører den tredje handling (vi lægger chokoladen i en indpakning og med et bånd i mappen). Men der er ingen grund til at være bange: vi vil stadig "pakke ud" denne funktion i samme rækkefølge som normalt: fra slutningen.

Det vil sige, først differentierer vi roden, derefter cosinus og først derefter udtrykket i parentes. Og så formerer vi det hele.

I sådanne tilfælde er det praktisk at nummerere handlingerne. Det vil sige, lad os forestille os, hvad vi ved. I hvilken rækkefølge vil vi udføre handlinger for at beregne værdien af ​​dette udtryk? Lad os se på et eksempel:

Jo senere handlingen udføres, jo mere "ekstern" vil den tilsvarende funktion være. Rækkefølgen af ​​handlinger er den samme som før:

Her er redet generelt 4-niveau. Lad os bestemme rækkefølgen af ​​handling.

1. Radikale udtryk. .

2. Rod. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sæt det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Afledt af en funktion- forholdet mellem stigningen af ​​funktionen og stigningen af ​​argumentet for en infinitesimal stigning af argumentet:

Grundlæggende derivater:

Regler for differentiering:

Konstanten tages ud af det afledte fortegn:

Afledt af summen:

Afledte af produktet:

Afledt af kvotienten:

Afledt af en kompleks funktion:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

1. Vi definerer den "interne" funktion og finder dens afledede.
2. Vi definerer den "eksterne" funktion og finder dens afledede.
3. Vi multiplicerer resultaterne af det første og andet punkt.