Find den afledede af en kompleks funktion. Afledt af en kompleks funktion

I "gamle" lærebøger kaldes det også "kæde"-reglen. Så hvis y = f (u), og u = φ (x), dvs

y = f (φ (x))

kompleks - sammensat funktion (sammensætning af funktioner) da

Hvor , efter beregning anses kl u = φ (x).

Bemærk, at vi her tog "forskellige" sammensætninger fra de samme funktioner, og resultatet af differentiering viste sig naturligvis at afhænge af rækkefølgen af "blanding".

Kædereglen omfatter naturligvis sammensætninger af tre eller flere funktioner. I dette tilfælde vil der være tre eller flere "led" i "kæden", der udgør derivatet. Her er en analogi med multiplikation: "vi har" en tabel med afledte; "der" - multiplikationstabel; "hos os" er kædereglen og "der" er multiplikationsreglen for "kolonne". Når man beregner sådanne "komplekse" afledte, introduceres der selvfølgelig ingen hjælpeargumenter (u¸v osv.), men efter selv at have bemærket antallet og rækkefølgen af funktioner, der er involveret i sammensætningen, "strenges" de tilsvarende links. i den angivne rækkefølge.

Her, med "x" for at opnå værdien af "y", udføres fem operationer, det vil sige, at der er en sammensætning af fem funktioner: "ekstern" (den sidste af dem) - eksponentiel - e  ;

derefter i omvendt rækkefølge, magt. (♦) 2;

trigonometrisk synd();

berolige. () 3 og til sidst logaritmisk ln.().

Det er derfor

Med følgende eksempler vil vi "slå et par fluer ihjel med ét smæk": vi vil øve os i at differentiere komplekse funktioner og tilføje til tabellen over afledte elementære funktioner. Så:

4. For en potensfunktion - y = x α - omskrivning af den ved hjælp af den velkendte "basic logaritmic identitet" - b=e ln b - i formen x α = x α ln x vi opnår

5. For en vilkårlig eksponentiel funktion, ved at bruge den samme teknik, vi vil have

6. For en vilkårlig logaritmisk funktion, ved hjælp af den velkendte formel for overgang til en ny base, opnår vi konsekvent
,

7. For at differentiere tangenten (cotangens) bruger vi reglen til differentiering af kvotienter:

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. De følgende to eksempler kan virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så vil næsten alt andet i differentialregning virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om en nyttig teknik: vi tager for eksempel den eksperimentelle værdi af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte denne værdi med det "forfærdelige udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den yderste funktion kvadratroden:

Formel til at differentiere en kompleks funktion anvendes i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Det virker uden fejl:

1) Tag den afledede af kvadratroden.

2) Tag den afledede af forskellen ved hjælp af reglen

3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

4) Tag derivatet af cosinus.

6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel skal du løse på egen hånd.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Hvordan finder man den afledte af produktet af tre faktorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Først ser vi, er det muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, så kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig - dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan også blive snoet og sætte noget ud af parentes, men i dette tilfælde er det bedre at forlade svaret nøjagtigt i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning i prøven, den er løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke en kladde for at se, om svaret kan forenkles?

Lad os reducere udtrykket af tælleren til en fællesnævner og slippe af med brøkens tre-etagers struktur:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor den "forfærdelige" logaritme foreslås til differentiering

I denne lektion lærer vi at finde afledet af en kompleks funktion. Lektionen er en logisk fortsættelse af lektionen Hvordan finder man derivatet?, hvor vi undersøgte de simpleste derivater, og også stiftede bekendtskab med reglerne for differentiering og nogle tekniske teknikker til at finde derivater. Så hvis du ikke er særlig god med afledte funktioner eller nogle punkter i denne artikel ikke er helt klare, så læs først ovenstående lektion. Kom venligst i seriøst humør - materialet er ikke simpelt, men jeg vil alligevel forsøge at præsentere det enkelt og overskueligt.

I praksis skal man meget ofte beskæftige sig med den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg endda sige, næsten altid, når man får opgaver med at finde afledte.

Vi ser på tabellen ved reglen (nr. 5) for at differentiere en kompleks funktion:

Lad os finde ud af det. Først og fremmest, lad os være opmærksomme på posten. Her har vi to funktioner – og , og funktionen er billedligt talt indlejret i funktionen . En funktion af denne type (når en funktion er indlejret i en anden) kaldes en kompleks funktion.

Jeg vil kalde funktionen ekstern funktion, og funktionen – intern (eller indlejret) funktion.

! Disse definitioner er ikke teoretiske og bør ikke fremgå af den endelige udformning af opgaver. Jeg bruger uformelle udtryk "ekstern funktion", "intern" funktion kun for at gøre det lettere for dig at forstå materialet.

For at afklare situationen skal du overveje:

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

Under sinus har vi ikke kun bogstavet "X", men et helt udtryk, så det virker ikke at finde den afledede med det samme fra tabellen. Vi bemærker også, at det er umuligt at anvende de første fire regler her, der ser ud til at være en forskel, men faktum er, at sinus ikke kan "rives i stykker":

I dette eksempel er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer, at en funktion er en kompleks funktion, og polynomiet er en intern funktion (indlejring) og en ekstern funktion.

Første skridt hvad du skal gøre, når du skal finde den afledede af en kompleks funktion er at forstå hvilken funktion der er intern og hvilken der er ekstern.

I tilfælde af simple eksempler synes det klart, at et polynomium er indlejret under sinus. Men hvad hvis alt ikke er indlysende? Hvordan bestemmer man præcist, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern? For at gøre dette foreslår jeg at bruge følgende teknik, som kan gøres mentalt eller i et udkast.

Lad os forestille os, at vi skal beregne værdien af udtrykket på en lommeregner (i stedet for et kan der være et hvilket som helst tal).

Hvad beregner vi først? Først og fremmest du skal udføre følgende handling: , derfor vil polynomiet være en intern funktion:

For det andet skal findes, så sinus – vil være en ekstern funktion:

Efter vi UDSOLGT Med interne og eksterne funktioner er det tid til at anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner.

Lad os begynde at beslutte. Fra klassen Hvordan finder man derivatet? vi husker, at designet af en løsning til en hvilken som helst afledt altid begynder sådan - vi omslutter udtrykket i parentes og sætter et streg øverst til højre:

Først vi finder den afledede af den ydre funktion (sinus), ser på tabellen over afledte af elementære funktioner og bemærker, at . Alle tabelformler er også anvendelige, hvis "x" erstattes med et komplekst udtryk, i dette tilfælde:

Bemærk venligst, at den indre funktion har ikke ændret sig, vi rører det ikke.

Tja, det er helt indlysende

Det endelige resultat af at anvende formlen ser således ud:

Konstantfaktoren placeres normalt i begyndelsen af udtrykket:

Hvis der er en misforståelse, så skriv løsningen ned på papir og læs forklaringerne igen.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Som altid skriver vi ned:

Lad os finde ud af, hvor vi har en ekstern funktion, og hvor vi har en intern. For at gøre dette forsøger vi (mentalt eller i et udkast) at beregne værdien af udtrykket ved . Hvad skal du gøre først? Først og fremmest skal du beregne, hvad basen er lig med: derfor er polynomiet den interne funktion:

Og først derefter udføres eksponentieringen, derfor er potensfunktionen en ekstern funktion:

Ifølge formlen skal du først finde den afledede af den eksterne funktion, i dette tilfælde graden. Vi leder efter den nødvendige formel i tabellen: . Vi gentager igen: enhver tabelformel er ikke kun gyldig for "X", men også for et komplekst udtryk. Således er resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion som følger:

Jeg understreger igen, at når vi tager den afledede af den ydre funktion, ændres vores indre funktion ikke:

Nu er der kun tilbage at finde en meget simpel afledning af den interne funktion og justere resultatet lidt:

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

For at konsolidere din forståelse af den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg give et eksempel uden kommentarer, prøve at finde ud af det på egen hånd, begrunde hvor den eksterne og hvor den interne funktion er, hvorfor opgaverne løses på denne måde?

Eksempel 5

a) Find den afledede af funktionen

b) Find den afledede af funktionen

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Her har vi en rod, og for at kunne differentiere roden skal den repræsenteres som en magt. Derfor bringer vi først funktionen i den form, der er passende til differentiering:

Ved at analysere funktionen kommer vi til den konklusion, at summen af de tre led er en intern funktion, og at hæve til en potens er en ekstern funktion. Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner:

Vi repræsenterer igen graden som en radikal (rod), og for den afledede af den interne funktion anvender vi en simpel regel til at differentiere summen:

Parat. Du kan også reducere udtrykket til en fællesnævner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig smukt, men når du får besværlige lange derivater, er det bedre ikke at gøre dette (det er nemt at blive forvirret, lave en unødvendig fejl, og det vil være ubelejligt for læreren at tjekke).

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Det er interessant at bemærke, at nogle gange i stedet for reglen for at differentiere en kompleks funktion, kan du bruge reglen til at differentiere en kvotient , men sådan en løsning vil ligne en sjov perversion. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du bruge reglen om differentiering af kvotienten , men det er meget mere rentabelt at finde den afledede gennem reglen om differentiering af en kompleks funktion:

Vi forbereder funktionen til differentiering - vi flytter minus ud af det afledte fortegn og hæver cosinus til tælleren:

Cosinus er en intern funktion, eksponentiering er en ekstern funktion.
Lad os bruge vores regel:

Vi finder den afledede af den interne funktion og nulstiller cosinus igen:

Parat. I det betragtede eksempel er det vigtigt ikke at blive forvirret i skiltene. Prøv i øvrigt at løse det ved hjælp af reglen , skal svarene stemme overens.

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Indtil videre har vi set på tilfælde, hvor vi kun havde én rede i en kompleks funktion. I praktiske opgaver kan du ofte finde derivater, hvor der, ligesom nesting-dukker, den ene inde i den anden, er indlejret 3 eller endda 4-5 funktioner på én gang.

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Lad os forstå vedhæftninger af denne funktion. Lad os prøve at beregne udtrykket ved hjælp af den eksperimentelle værdi. Hvordan ville vi regne med en lommeregner?

Først skal du finde , hvilket betyder, at arcsine er den dybeste indlejring:

Denne arcsinus af en skal så kvadreres:

Og til sidst hæver vi syv til en magt:

Det vil sige, at vi i dette eksempel har tre forskellige funktioner og to indlejringer, mens den inderste funktion er arcsinus, og den yderste funktion er den eksponentielle funktion.

Lad os begynde at bestemme

Ifølge reglen skal du først tage den afledte af den eksterne funktion. Vi ser på tabellen over afledte og finder den afledede af eksponentialfunktionen: Den eneste forskel er, at vi i stedet for "x" har et komplekst udtryk, som ikke afkræfter gyldigheden af denne formel. Så resultatet af at anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion er som følger:

Under slaget har vi igen en kompleks funktion! Men det er allerede nemmere. Det er let at verificere, at den indre funktion er arcsinus, den ydre funktion er graden. Ifølge reglen for differentiering af en kompleks funktion skal du først tage den afledede af potensen.

Meget let at huske.

Nå, lad os ikke gå langt, lad os straks overveje den omvendte funktion. Hvilken funktion er den inverse af eksponentialfunktionen? Logaritme:

I vores tilfælde er basen tallet:

En sådan logaritme (det vil sige en logaritme med en base) kaldes "naturlig", og vi bruger en speciel notation til den: vi skriver i stedet.

Hvad er det lig med? Selvfølgelig.

Den afledte af den naturlige logaritme er også meget enkel:

Eksempler:

Find den afledede af funktionen.
Hvad er den afledede af funktionen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritme er entydigt simple funktioner fra et afledt perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funktioner med enhver anden base vil have en anden afledet, som vi vil analysere senere, efter at vi har gennemgået reglerne for differentiering.

Regler for differentiering

Regler for hvad? Igen en ny periode, igen?!...

Differentiering er processen med at finde derivatet.

Det er alt. Hvad kan du ellers kalde denne proces med ét ord? Ikke afledt... Differentialet for matematikere er det samme tilvækst af en funktion ved. Dette udtryk kommer fra det latinske differentia - forskel. Her.

Når vi udleder alle disse regler, vil vi bruge to funktioner, for eksempel og. Vi skal også bruge formler for deres trin:

Der er i alt 5 regler.

Konstanten tages ud af det afledte fortegn.

Hvis - et eller andet konstant tal (konstant), så.

Denne regel virker naturligvis også for forskellen: .

Lad os bevise det. Lad det være, eller mere enkelt.

Eksempler.

Find de afledte funktioner:

på et tidspunkt;
på et tidspunkt;
på et tidspunkt;
på punktet.

Løsninger:

(den afledte er den samme i alle punkter, da det er en lineær funktion, husker du?);

Afledt af produktet

Alt ligner her: lad os introducere en ny funktion og finde dens stigning:

Afledt:

Eksempler:

Find de afledte funktioner og;
Find den afledede af funktionen i et punkt.

Løsninger:

Afledt af en eksponentiel funktion

Nu er din viden nok til at lære at finde den afledede af enhver eksponentiel funktion, og ikke kun eksponenter (har du glemt, hvad det er endnu?).

Så hvor er et tal.

Vi kender allerede den afledede af funktionen, så lad os prøve at bringe vores funktion til en ny base:

For at gøre dette bruger vi en simpel regel: . Så:

Nå, det virkede. Prøv nu at finde den afledede, og glem ikke, at denne funktion er kompleks.

Virkede det?

Tjek dig selv her:

Formlen viste sig at være meget lig den afledte af en eksponent: Som den var, forbliver den den samme, kun en faktor dukkede op, som kun er et tal, men ikke en variabel.

Eksempler:
Find de afledte funktioner:

Svar:

Dette er blot et tal, der ikke kan beregnes uden en lommeregner, det vil sige, at det ikke kan skrives ned på en enklere form. Derfor efterlader vi det i denne form i svaret.

Bemærk, at her er kvotienten af to funktioner, så vi anvender den tilsvarende differentieringsregel:

I dette eksempel er produktet af to funktioner:

Afledt af en logaritmisk funktion

Det ligner her: du kender allerede den afledede af den naturlige logaritme:

Derfor, for at finde en vilkårlig logaritme med en anden base, for eksempel:

Vi er nødt til at reducere denne logaritme til basen. Hvordan ændrer man basen for en logaritme? Jeg håber du husker denne formel:

Først nu skriver vi i stedet:

Nævneren er simpelthen en konstant (et konstant tal, uden en variabel). Den afledte opnås meget enkelt:

Derivater af eksponentielle og logaritmiske funktioner findes næsten aldrig i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødigt at kende dem.

Afledt af en kompleks funktion.

Hvad er en "kompleks funktion"? Nej, dette er ikke en logaritme og ikke en arctangens. Disse funktioner kan være svære at forstå (selvom hvis du synes, logaritmen er svær, så læs emnet "Logarithms", og du vil være i orden), men fra et matematisk synspunkt betyder ordet "kompleks" ikke "svært".

Forestil dig et lille transportbånd: to personer sidder og laver nogle handlinger med nogle genstande. For eksempel pakker den første en chokoladebar ind i en indpakning, og den anden binder den med et bånd. Resultatet er en sammensat genstand: en chokoladebar pakket ind og bundet med et bånd. For at spise en chokoladebar skal du udføre de omvendte trin i omvendt rækkefølge.

Lad os skabe en lignende matematisk pipeline: først finder vi cosinus af et tal og derefter kvadreret det resulterende tal. Så vi får et nummer (chokolade), jeg finder dens cosinus (omslag), og så firkanter du det, jeg fik (bind det med et bånd). Hvad skete der? Fungere. Dette er et eksempel på en kompleks funktion: når vi, for at finde dens værdi, udfører den første handling direkte med variablen, og derefter en anden handling med det, der er resultatet af den første.

Med andre ord, en kompleks funktion er en funktion, hvis argument er en anden funktion: .

For vores eksempel.

Vi kan nemt udføre de samme trin i omvendt rækkefølge: Først skal du kvadrere det, og jeg leder derefter efter cosinus af det resulterende tal: . Det er let at gætte, at resultatet næsten altid vil være anderledes. Et vigtigt træk ved komplekse funktioner: Når rækkefølgen af handlinger ændres, ændres funktionen.

Andet eksempel: (samme ting). .

Den handling, vi laver sidst, vil blive kaldt "ekstern" funktion, og handlingen udført først - i overensstemmelse hermed "intern" funktion(dette er uformelle navne, jeg bruger dem kun til at forklare materialet i et enkelt sprog).

Prøv selv at afgøre, hvilken funktion der er ekstern og hvilken intern:

Svar: At adskille indre og ydre funktioner ligner meget at ændre variable: for eksempel i en funktion

Hvilken handling vil vi udføre først? Lad os først beregne sinus, og først derefter kube den. Det betyder, at det er en intern funktion, men en ekstern.
Og den oprindelige funktion er deres sammensætning:.
Internt: ; ekstern:.
Eksamen:.
Internt: ; ekstern:.
Eksamen:.
Internt: ; ekstern:.
Eksamen:.
Internt: ; ekstern:.
Eksamen:.

Vi ændrer variable og får en funktion.

Nå, nu vil vi udtrække vores chokoladebar og lede efter derivatet. Fremgangsmåden er altid omvendt: først ser vi efter den afledede af den ydre funktion, derefter gange vi resultatet med den afledede af den indre funktion. I forhold til det originale eksempel ser det sådan ud:

Et andet eksempel:

Så lad os endelig formulere den officielle regel:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

Det virker simpelt, ikke?

Lad os tjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Prøv bare ikke at skære det af nu! Der kommer ikke noget ud under cosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart, at dette er en kompleks funktion på tre niveauer: Dette er trods alt allerede en kompleks funktion i sig selv, og vi udtrækker også roden fra den, det vil sige, vi udfører den tredje handling (læg chokoladen i en indpakning og med et bånd i mappen). Men der er ingen grund til at være bange: vi vil stadig "pakke ud" denne funktion i samme rækkefølge som normalt: fra slutningen.

Det vil sige, at vi først differentierer roden, derefter cosinus og først derefter udtrykket i parentes. Og så formerer vi det hele.

I sådanne tilfælde er det praktisk at nummerere handlingerne. Det vil sige, lad os forestille os, hvad vi ved. I hvilken rækkefølge vil vi udføre handlinger for at beregne værdien af dette udtryk? Lad os se på et eksempel:

Jo senere handlingen udføres, jo mere "ekstern" vil den tilsvarende funktion være. Rækkefølgen af handlinger er den samme som før:

Her er redet generelt 4-niveau. Lad os bestemme handlingsforløbet.

1. Radikale udtryk. .

2. Rod. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sæt det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Afledt af en funktion- forholdet mellem stigningen af funktionen og stigningen af argumentet for en infinitesimal stigning af argumentet:

Grundlæggende derivater:

Regler for differentiering:

Konstanten tages ud af det afledte fortegn:

Afledt af summen:

Afledte af produktet:

Afledt af kvotienten:

Afledt af en kompleks funktion:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

Vi definerer den "interne" funktion og finder dens afledede.
Vi definerer den "eksterne" funktion og finder dens afledede.
Vi multiplicerer resultaterne af det første og andet punkt.

Hvis du følger definitionen, så er den afledede af en funktion i et punkt grænsen for forholdet mellem tilvæksten af funktionen Δ y til argumenttilvæksten Δ x:

Alt ser ud til at være klart. Men prøv at bruge denne formel til at beregne f.eks. den afledede af funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gør alt pr. definition, falder du simpelthen i søvn efter et par siders beregninger. Derfor er der enklere og mere effektive måder.

Til at begynde med bemærker vi, at vi fra hele rækken af funktioner kan skelne de såkaldte elementære funktioner. Det er relativt simple udtryk, hvis afledninger længe er blevet beregnet og opstillet i tabelform. Sådanne funktioner er ret nemme at huske - sammen med deres derivater.

Afledte af elementære funktioner

Elementære funktioner er alle dem, der er anført nedenfor. Afledte af disse funktioner skal kendes udenad. Desuden er det slet ikke svært at huske dem - det er derfor, de er elementære.

Så afledte af elementære funktioner:

Navn	Fungere	Afledt
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, nul!)
Power med rationel eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Bihule	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = log x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = log -en x	1/(x ln -en)
Eksponentiel funktion	f(x) = e x	e x(intet har ændret sig)

Hvis en elementær funktion ganges med en vilkårlig konstant, beregnes den afledede af den nye funktion også let:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tages ud af fortegn for den afledte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart, at elementære funktioner kan lægges til hinanden, ganges, divideres - og meget mere. Sådan vil nye funktioner fremstå, ikke længere særligt elementære, men også differentierede efter bestemte regler. Disse regler diskuteres nedenfor.

Afledt af sum og forskel

Lad funktionerne være givet f(x) Og g(x), hvis afledte er kendt af os. For eksempel kan du tage de elementære funktioner diskuteret ovenfor. Så kan du finde den afledede af summen og forskellen af disse funktioner:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så den afledte af summen (forskel) af to funktioner er lig med summen (forskel) af de afledte. Der kan være flere vilkår. For eksempel ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt taget er der ikke noget begreb om "subtraktion" i algebra. Der er et begreb om "negativt element". Derfor forskellen f − g kan omskrives som en sum f+ (−1) g, og så er der kun én formel tilbage - den afledte af summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungere f(x) er summen af to elementære funktioner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi ræsonnerer på samme måde for funktionen g(x). Kun der er allerede tre udtryk (fra et algebra synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Afledt af produktet

Matematik er en logisk videnskab, så mange mennesker tror, at hvis den afledede af en sum er lig med summen af afledte, så er den afledte af produktet strejke">lig med produktet af derivater. Men pyt dig! Den afledte af et produkt beregnes ved hjælp af en helt anden formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formlen er enkel, men den bliver ofte glemt. Og ikke kun skolebørn, men også studerende. Resultatet er forkert løste problemer.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungere f(x) er produktet af to elementære funktioner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungere g(x) den første multiplikator er lidt mere kompliceret, men den generelle ordning ændres ikke. Det er klart, den første faktor af funktionen g(x) er et polynomium, og dets afledte er den afledede af summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Bemærk venligst, at i det sidste trin faktoriseres den afledte. Formelt set skal dette ikke gøres, men de fleste afledte beregnes ikke alene, men for at undersøge funktionen. Det betyder, at yderligere vil den afledede blive lig med nul, dens fortegn vil blive bestemt, og så videre. I et sådant tilfælde er det bedre at få et udtryk faktoriseret.

Hvis der er to funktioner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på det sæt, vi er interesseret i, kan vi definere en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). For en sådan funktion kan du også finde den afledede:

Ikke svag, vel? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og så! Dette er en af de mest komplekse formler - du kan ikke finde ud af det uden en flaske. Derfor er det bedre at studere det med specifikke eksempler.

Opgave. Find afledede funktioner:

Tælleren og nævneren for hver brøk indeholder elementære funktioner, så alt, hvad vi behøver, er formlen for den afledede af kvotienten:

Ifølge traditionen, lad os faktorisere tælleren - dette vil i høj grad forenkle svaret:

En kompleks funktion er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok at tage funktionen f(x) = synd x og erstatte variablen x, siger, på x 2 + ln x. Det går nok f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funktion. Det har også en derivat, men det vil ikke være muligt at finde det ved at bruge reglerne diskuteret ovenfor.

Hvad skal jeg gøre? I sådanne tilfælde hjælper det at erstatte en variabel og formel for den afledede af en kompleks funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x erstattes af t(x).

Som regel er situationen med at forstå denne formel endnu mere trist end med kvotientens afledte. Derfor er det også bedre at forklare det ved hjælp af specifikke eksempler med en detaljeret beskrivelse af hvert trin.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Bemærk, at hvis i funktionen f(x) i stedet for udtryk 2 x+ 3 vil være let x, så får vi en elementær funktion f(x) = e x. Derfor laver vi en erstatning: lad 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi leder efter den afledede af en kompleks funktion ved hjælp af formlen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nu - opmærksomhed! Vi udfører den omvendte udskiftning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Lad os nu se på funktionen g(x). Det er klart, at det skal udskiftes x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt udskiftning: t = x 2 + ln x. Så:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er det! Som det fremgår af det sidste udtryk, er hele problemet reduceret til at beregne den afledte sum.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Meget ofte i mine lektioner, i stedet for udtrykket "afledt", bruger jeg ordet "prime". For eksempel er summens streg lig med summen af streger. Er det klarere? Nå, det er godt.

Beregning af den afledte kommer således ned til at slippe af med de samme slag i henhold til reglerne diskuteret ovenfor. Som et sidste eksempel, lad os vende tilbage til den afledte potens med en rationel eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste kender det i rollen n kan godt være et brøktal. Roden er f.eks x 0,5. Hvad hvis der er noget fancy under roden? Igen bliver resultatet en kompleks funktion - de giver gerne sådanne konstruktioner i prøver og eksamener.