Hvad er konstanten e Historien om tallet e

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Privat uddannelsesinstitution "St. Petersburg School "Tete-a-Tete"

Matematiklærer af højeste kategori

Nummer e

Nummeret dukkede først op imatematiksom noget ubetydeligt. Dette skete i 1618. I appendiks til Napiers arbejde med logaritmer var der givet en tabel over naturlige logaritmer af forskellige tal. Men ingen indså, at disse var logaritmer til basen, da begrebet logaritme på det tidspunkt ikke omfattede sådan noget som en base. Det er det, vi nu kalder en logaritme, den potens, som basen skal hæves til for at opnå det nødvendige tal. Det vender vi tilbage til senere. Tabellen i tillægget er højst sandsynligt lavet af Augthred, selvom forfatteren ikke var identificeret. Et par år senere, i 1624, optræder det igen i den matematiske litteratur, men igen på en tilsløret måde. Dette år gav Briggs en numerisk tilnærmelse decimallogaritme, men selve nummeret er ikke nævnt i hans arbejde.

Den næste optræden af nummeret er igen tvivlsomt. I 1647 beregnede Saint-Vincent arealet af hyperbelsektoren. Om han forstod sammenhængen med logaritmer, kan man kun gætte på, men selvom han forstod det, er det usandsynligt, at han kunne komme til selve tallet. Det var først i 1661, at Huygens forstod sammenhængen mellem den ligesidede hyperbel og logaritmer. Han beviste, at arealet under grafen for en ligesidet hyperbel af en ligesidet hyperbel i intervallet fra 1 til er lig med 1. Denne egenskab danner grundlaget for naturlige logaritmer, men dette blev ikke forstået af datidens matematikere, men de var langsomt nærmer sig denne forståelse.

Det gjorde Huygens næste skridt i 1661. Han definerede en kurve, som han kaldte logaritmisk (i vores terminologi vil vi kalde den eksponentiel). Dette er en typekurve. Og igen dukker decimallogaritmen op, som Huygens finder nøjagtig med 17 decimaltal. Det opstod dog fra Huygens som en slags konstant og var ikke forbundet med logaritmen af et tal (så igen kom de tæt på , men selve tallet forbliver ukendt).

I videre arbejde for logaritmer vises tallet igen ikke eksplicit. Studiet af logaritmer fortsætter dog. I 1668 udgav Nicolaus Mercator et værkLogaritmoteknik, som indeholder en serieudvidelse. I dette arbejde bruger Mercator først navnet "naturlig logaritme" for basislogaritmen. Nummeret dukker tydeligvis ikke op igen, men forbliver uhåndgribeligt et sted til siden.

Det er overraskende, at tal først optræder i eksplicit form, ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 forsøger Jacob Bernoulli at finde

Han bruger binomialsætningen til at bevise, at denne grænse er mellem 2 og 3, hvilket vi kan tænke på som en første tilnærmelse af . Selvom vi opfatter dette som definitionen af , er det første gang, et tal er blevet defineret som en grænse. Bernoulli forstod naturligvis ikke sammenhængen mellem hans arbejde og arbejdet med logaritmer.

Det blev tidligere nævnt, at logaritmer i begyndelsen af deres undersøgelse ikke var forbundet på nogen måde med eksponenter. Selvfølgelig finder vi ud fra ligningen, men dette er en meget senere måde at opfatte på. Her mener vi faktisk en funktion med en logaritme, hvorimod logaritmen først blev betragtet som et tal, der hjalp i beregninger. Jacob Bernoulli kan have været den første til at indse, at den logaritmiske funktion er den omvendte eksponentielle. På den anden side kan den første person til at forbinde logaritmer og potenser have været James Gregory. I 1684 anerkendte han ganske vist sammenhængen mellem logaritmer og potenser, men han var måske ikke den første.

Vi ved, at nummeret optrådte i sin nuværende form i 1690. Leibniz brugte i et brev til Huygens betegnelsen for det. Endelig dukkede en betegnelse op (selv om den ikke faldt sammen med den moderne), og denne betegnelse blev anerkendt.

I 1697 begyndte Johann Bernoulli at studere eksponentiel funktion og udgiverPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbejde beregnes summen af forskellige eksponentielle serier, og nogle resultater opnås ved deres term-for-term integration.

Euler introducerede så mange matematiske notationer, at
ikke overraskende tilhører betegnelsen også ham. Det virker latterligt at sige, at han brugte bogstavet, fordi det er det første bogstav i hans navn. Dette er sandsynligvis ikke engang, fordi det er taget fra ordet "eksponentiel", men simpelthen fordi det er den næste vokal efter "a", og Euler havde allerede brugt notationen "a" i sit arbejde. Uanset årsagen optræder notationen første gang i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange opdagelser, mens han studerede videre, men først i 1748.Introduktion til Analysin infinitorumhan gav fuld begrundelse for alle ideer i forbindelse med. Det viste han

Euler fandt også de første 18 decimaler af et tal:

dog uden at forklare, hvordan han fik dem. Det ser ud til, at han selv har beregnet denne værdi. Faktisk, hvis vi tager omkring 20 termer af serier (1), får vi den nøjagtighed, som Euler opnåede. Blandt andet interessante resultater hans arbejde viser sammenhængen mellem funktionerne sinus og cosinus og den komplekse eksponentialfunktion, som Euler udledte af Moivres formel.

Det er interessant, at Euler endda fandt nedbrydningen af et tal i fortsatte fraktioner og gav eksempler på en sådan nedbrydning. Især fik han

Euler leverede ikke bevis for, at disse fraktioner fortsætter på samme måde, men han vidste, at hvis der var et sådant bevis, ville det bevise irrationalitet. Faktisk, hvis den fortsatte brøk for , fortsatte på samme måde som i det givne eksempel, 6,10,14,18,22,26, (vi tilføjer 4 hver gang), så ville den aldrig blive afbrudt, og (og derfor ) kunne ikke være rationel. Dette er åbenbart det første forsøg på at bevise irrationalitet.

Den første til at beregne helt stort antal decimaler af tallet, var Shanks i 1854. Glaisher viste, at de første 137 steder beregnet af Shanks var korrekte, men fandt så en fejl. Shanks rettede det, og 205 decimaler blev opnået. I virkeligheden har du brug for ca
120 udvidelsesbetingelser (1) for at få 200 korrekte cifre af nummeret.

I 1864 stod Benjamin Peirce ved en tavle, hvorpå der var skrevet

I sine forelæsninger kunne han sige til sine elever: "Mine herrer, vi har ikke den mindste idé om, hvad det betyder, men vi kan være sikre på, at det betyder noget meget vigtigt."

De fleste mennesker tror, at Euler beviste irrationaliteten af tallet. Dette blev dog gjort af Hermite i 1873. Spørgsmålet om, hvorvidt tallet er algebraisk, er stadig åbent. Seneste resultat i denne retning er, at mindst et af tallene er transcendentalt.

Dernæst blev de næste decimaler af tallet beregnet. I 1884 beregnede Boorman 346 cifre, hvoraf de første 187 faldt sammen med Shanks' cifre, men de efterfølgende adskilte sig. I 1887 beregnede Adams de 272 cifre i decimallogaritmen.

| Euler nummer (E)

e - basis af den naturlige logaritme, en matematisk konstant, et irrationelt og transcendentalt tal. Omtrent lig med 2,71828. Nogle gange bliver nummeret ringet op Euler nummer eller Napier nummer. Angivet med små bogstaver latinsk bogstav « e».

Historie

Antal e dukkede først op i matematikken som noget ubetydeligt. Dette skete i 1618. I appendiks til John Napiers arbejde med logaritmer blev der givet en tabel over naturlige logaritmer af forskellige tal. Men ingen indså, at disse er logaritmer til basen e , da begrebet en logaritme fra den tid ikke omfattede sådan noget som en base. Det er det, vi nu kalder en logaritme, den potens, som grundtallet skal hæves til for at opnå det nødvendige tal. Vi vender tilbage til dette senere. Tabellen i tillægget er højst sandsynligt lavet af Augthred, selvom forfatteren ikke var identificeret. Et par år senere, i 1624, dukker det op igen i matematisk litteratur. e , men igen på en tilsløret måde. I år gav Briggs en numerisk tilnærmelse til decimallogaritmen e , men selve nummeret e ikke nævnt i hans arbejde.

Næste forekomst af nummeret e igen tvivlsomt. I 1647 beregnede Saint-Vincent arealet af hyperbelsektoren. Om han forstod sammenhængen med logaritmer kan man kun gætte på, men selvom han gjorde det, er det usandsynligt, at han kunne være nået frem til selve tallet e . Det var først i 1661, at Huygens forstod sammenhængen mellem den ligesidede hyperbel og logaritmer. Han beviste, at området under grafen af en ligesidet hyperbel xy = 1 ligesidet hyperbel på intervallet fra 1 til e er lig med 1. Denne egenskab gør e grundlaget for naturlige logaritmer, men dette blev ikke forstået af datidens matematikere, men de nærmede sig langsomt denne forståelse.

Huygens tog det næste skridt i 1661. Han definerede en kurve, som han kaldte logaritmisk (i vores terminologi vil vi kalde den eksponentiel). Dette er en kurve af formen y = ka x . Og decimallogaritmen vises igen e , som Huygens finder nøjagtig med 17 decimaler. Det opstod dog fra Huygens som en slags konstant og var ikke forbundet med logaritmen af et tal (så igen kom vi tæt på e , men selve nummeret e forbliver ukendt).

I det videre arbejde med logaritmer, igen tallet e fremgår ikke eksplicit. Studiet af logaritmer fortsætter dog. I 1668 udgav Nicolaus Mercator et værk Logaritmoteknik, som indeholder en serieudvidelse log(1 + x) . I dette arbejde bruger Mercator først navnet "naturlig logaritme" for basislogaritmen e . Antal e dukker tydeligvis ikke op igen, men forbliver uhåndgribelig et sted til siden.

Det er overraskende, at antallet e optræder eksplicit for første gang ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 forsøger Jacob Bernoulli at finde

Han bruger binomialsætningen til at bevise, at denne grænse er mellem 2 og 3, hvilket vi kan tænke på som en første tilnærmelse af tallet e . Selvom vi tager dette som en definition e , det er første gang, et tal er defineret som en grænse. Bernoulli forstod naturligvis ikke sammenhængen mellem hans arbejde og arbejdet med logaritmer.

Det blev tidligere nævnt, at logaritmer i begyndelsen af deres undersøgelse ikke var forbundet på nogen måde med eksponenter. Selvfølgelig ud fra ligningen x = a t det finder vi t = log akse , men dette er en meget senere måde at opfatte på. Her mener vi faktisk en funktion med en logaritme, hvorimod logaritmen først blev betragtet som et tal, der hjalp i beregninger. Jacob Bernoulli kan have været den første til at indse, at den logaritmiske funktion er den omvendte eksponentielle. På den anden side kan den første person til at forbinde logaritmer og potenser have været James Gregory. I 1684 anerkendte han ganske vist sammenhængen mellem logaritmer og potenser, men han var måske ikke den første.

Vi ved, at antallet e udkom i sin nuværende form i 1690. Leibniz brugte i et brev til Huygens betegnelsen for det b . Endelig e en betegnelse dukkede op (selv om den ikke faldt sammen med den moderne), og denne betegnelse blev anerkendt.

I 1697 begyndte Johann Bernoulli at studere den eksponentielle funktion og publicerede Principia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbejde beregnes summen af forskellige eksponentielle serier, og nogle resultater opnås ved deres term-for-term integration.

Leonhard Euler introducerede så meget matematisk notation, at det ikke er overraskende, at notationen e også tilhører ham. Det virker latterligt at sige, at han brugte brevet e på grund af, at det er det første bogstav i hans navn. Det er nok ikke engang fordi e taget fra ordet "eksponentiel", er det simpelthen den næste vokal efter "a", og Euler havde allerede brugt notationen "a" i sit arbejde. Uanset årsagen optræder notationen første gang i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange opdagelser, mens han studerede e senere, men først i 1748 Introduktion til Analysin infinitorum han gav fuld begrundelse for alle ideer i forbindelse med e . Det viste han

Euler fandt også de første 18 decimaler i tallet e :

Sandt nok uden at forklare, hvordan han fik dem. Det ser ud til, at han selv har beregnet denne værdi. Faktisk, hvis vi tager omkring 20 termer i rækken (1), får vi den nøjagtighed, som Euler opnåede. Blandt andre interessante resultater i hans arbejde er sammenhængen mellem funktionerne sinus og cosinus og den komplekse eksponentielle funktion, som Euler udledte fra De Moivres formel.

Interessant nok fandt Euler endda en nedbrydning af tallet e i fortsatte fraktioner og gav eksempler på en sådan nedbrydning. Især fik han

Euler leverede ikke bevis for, at disse fraktioner fortsætter på samme måde, men han vidste, at hvis der var et sådant bevis, ville det bevise irrationalitet e . Faktisk, hvis den fortsatte fraktion for (e - 1) / 2 , fortsat på samme måde som i ovenstående eksempel, 6,10,14,18,22,26, (vi tilføjer 4 hver gang), så ville den aldrig være blevet afbrudt, og (e -1) / 2 (og derfor e ) kunne ikke være rationel. Dette er naturligvis det første forsøg på at bevise irrationalitet e .

Den første til at beregne et ret stort antal decimaler af et tal e , var Shanks i 1854. Glaisher viste, at de første 137 tegn beregnet af Shanks var korrekte, men fandt så en fejl. Shanks rettede det, og 205 decimaler af tallet blev opnået e . Faktisk er der brug for omkring 120 udvidelsesbetingelser (1) for at få 200 korrekte cifre af tallet e .

I 1864 stod Benjamin Peirce ved en tavle, hvorpå der var skrevet

I sine forelæsninger kunne han sige til sine elever: "Mine herrer, vi har ikke den mindste idé om, hvad det betyder, men vi kan være sikre på, at det betyder noget meget vigtigt."

De fleste mener, at Euler beviste irrationaliteten af tallet e . Dette blev dog gjort af Hermite i 1873. Spørgsmålet er stadig åbent, om antallet er e e algebraisk. Det endelige resultat i denne retning er, at mindst et af tallene e e Og e e 2 er transcendental.

Dernæst blev følgende decimaler af tallet beregnet e . I 1884 beregnede Boorman 346 cifre e , hvoraf de første 187 faldt sammen med Shanks' tegn, men de efterfølgende adskilte sig. I 1887 beregnede Adams de 272 cifre i decimallogaritmen e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Nummeret e.

Som noget ubetydeligt. Dette skete i 1618. I appendiks til Napiers arbejde med logaritmer var der givet en tabel over naturlige logaritmer af forskellige tal. Men ingen indså, at disse var logaritmer til basen, da begrebet logaritme på det tidspunkt ikke omfattede sådan noget som en base. Det er det, vi nu kalder en logaritme, den potens, som basen skal hæves til for at opnå det nødvendige tal. Vi vender tilbage til dette senere. Tabellen i tillægget er højst sandsynligt lavet af Augthred, selvom forfatteren ikke var identificeret. Et par år senere, i 1624, optræder det igen i matematisk litteratur, men igen på en tilsløret måde. I år gav Briggs en numerisk tilnærmelse af decimallogaritmen, men selve tallet er ikke nævnt i hans arbejde.

Den næste optræden af nummeret er igen tvivlsomt. I 1647 beregnede Saint-Vincent arealet af hyperbelsektoren. Om han forstod sammenhængen med logaritmer, kan man kun gætte på, men selvom han forstod det, er det usandsynligt, at han kunne komme til selve tallet. Det var først i 1661, at Huygens forstod sammenhængen mellem den ligesidede hyperbel og logaritmer. Han beviste, at arealet under grafen for en ligesidet hyperbel af en ligesidet hyperbel på intervallet fra til er lig med . Denne egenskab danner grundlaget for naturlige logaritmer, men dette blev ikke forstået af datidens matematikere, men de nærmede sig langsomt denne forståelse.

Huygens tog det næste skridt i 1661. Han definerede en kurve, som han kaldte logaritmisk (i vores terminologi vil vi kalde den eksponentiel). Dette er en typekurve. Og igen dukker decimallogaritmen op, som Huygens finder nøjagtig med 17 decimaltal. Det opstod dog fra Huygens som en slags konstant og var ikke forbundet med logaritmen af et tal (så igen kom de tæt på , men selve tallet forbliver ukendt).

I det videre arbejde med logaritmer optræder tallet igen ikke eksplicit. Studiet af logaritmer fortsætter dog. I 1668 udgav Nicolaus Mercator et værk Logaritmoteknik, som indeholder en serieudvidelse. I dette arbejde bruger Mercator først navnet "naturlig logaritme" for basislogaritmen. Nummeret dukker tydeligvis ikke op igen, men forbliver uhåndgribeligt et sted til siden.

Det er overraskende, at antallet for første gang optræder i eksplicit form, ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 forsøger Jacob Bernoulli at finde

Han bruger binomialsætningen til at bevise, at denne grænse er mellem og , som vi kan tænke på som en første tilnærmelse af . Selvom vi opfatter dette som definitionen af , er det første gang, et tal er blevet defineret som en grænse. Bernoulli forstod naturligvis ikke sammenhængen mellem hans arbejde og arbejdet med logaritmer.

Euler introducerede så mange matematiske notationer, at
ikke overraskende tilhører betegnelsen også ham. Det virker latterligt at sige, at han brugte bogstavet, fordi det er det første bogstav i hans navn. Dette er sandsynligvis ikke engang, fordi det er taget fra ordet "eksponentiel", men simpelthen fordi det er den næste vokal efter "a", og Euler havde allerede brugt notationen "a" i sit arbejde. Uanset årsagen optræder notationen første gang i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange opdagelser, mens han studerede videre, men først i 1748. Introduktion til Analysin infinitorum han gav fuld begrundelse for alle ideer i forbindelse med. Det viste han

Euler fandt også de første 18 decimaler af et tal:

dog uden at forklare, hvordan han fik dem. Det ser ud til, at han selv har beregnet denne værdi. Faktisk, hvis vi tager omkring 20 termer af serie (1), får vi den nøjagtighed, som Euler opnåede. Blandt andre interessante resultater i hans arbejde er sammenhængen mellem funktionerne sinus og cosinus og den komplekse eksponentielle funktion, som Euler udledte fra De Moivres formel.

Det er interessant, at Euler endda fandt nedbrydningen af et tal i fortsatte fraktioner og gav eksempler på en sådan nedbrydning. Især fik han
Og
Euler leverede ikke bevis for, at disse fraktioner fortsætter på samme måde, men han vidste, at hvis der var et sådant bevis, ville det bevise irrationalitet. Faktisk, hvis den fortsatte brøk for fortsatte på samme måde som i ovenstående eksempel (vi tilføjer hver gang), så ville den aldrig blive afbrudt, og (og derfor) kunne den ikke være rationel. Dette er åbenbart det første forsøg på at bevise irrationalitet.

Den første til at beregne et ret stort antal decimaler var Shanks i 1854. Glaisher viste, at de første 137 cifre beregnet af Shanks var korrekte, men fandt så en fejl. Shanks rettede det, og 205 decimaler blev opnået. I virkeligheden har du brug for ca
120 udvidelsesbetingelser (1) for at få 200 korrekte cifre af nummeret.

I 1864 stod Benjamin Peirce ved en tavle, hvorpå der var skrevet

I sine forelæsninger kunne han sige til sine elever: "Mine herrer, vi har ikke den mindste idé om, hvad det betyder, men vi kan være sikre på, at det betyder noget meget vigtigt."

De fleste mennesker tror, at Euler beviste irrationaliteten af tallet. Dette blev dog gjort af Hermite i 1873. Spørgsmålet om, hvorvidt tallet er algebraisk, er stadig åbent. Det endelige resultat i denne retning er, at mindst et af tallene er transcendentalt.

y (x) = e x, hvis afledte er lig med selve funktionen.

Eksponenten er angivet som , eller .

Nummer e

Grundlaget for eksponentgraden er nummer e. Dette er et irrationelt tal. Det er omtrent lige
e ≈ 2,718281828459045...

Tallet e bestemmes gennem sekvensens grænse. Dette er den såkaldte anden vidunderlig grænse:
.

Tallet e kan også repræsenteres som en serie:
.

Eksponentiel graf

Eksponentiel graf, y = e x .

Grafen viser eksponentialet e til en vis grad X.
y (x) = e x
Grafen viser, at eksponenten stiger monotont.

Formler

Grundformlerne er de samme som for eksponentialfunktionen med basis af grad e.

;
;
;

Udtryk af en eksponentiel funktion med en vilkårlig basis af grad a til en eksponentiel:
.

Private værdier

Lad y (x) = e x.
.

Så

Eksponentegenskaber e > 1 .

Eksponenten har egenskaberne for en eksponentiel funktion med en potensbase

Domæne, værdisæt (x) = e x Eksponent y
defineret for alle x.
- ∞ < x + ∞ .
Dens definitionsdomæne:
0 < y < + ∞ .

Dens mange betydninger:

Ekstremer, stigende, faldende

Eksponentialet er en monotont stigende funktion, så det har ingen ekstrema. Dens vigtigste egenskaber er vist i tabellen.

Det omvendte af eksponenten er den naturlige logaritme.
;
.

Afledt af eksponenten

Afledt e til en vis grad X lig med e til en vis grad X :
.
Afledt af n. orden:
.
Udledning af formler > > >

Integral

Komplekse tal

Operationer med komplekse tal udføres vha Eulers formler:
,
hvor er den imaginære enhed:
.

Udtryk gennem hyperbolske funktioner

; ;
.

Udtryk ved hjælp af trigonometriske funktioner

; ;
;
.

Udvidelse af Power-serien

Brugt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Doktor i geologiske og mineralogiske videnskaber, kandidat i fysiske og matematiske videnskaber B. GOROBETS.

Grafer for funktioner y = bue x, invers funktion y = sin x

Grafen for funktionen y = arctan x, den inverse af funktionen y = tan x.

Normalfordelingsfunktion (gaussisk fordeling). Det maksimale af dens graf svarer til den mest sandsynlige værdi af en tilfældig variabel (for eksempel længden af et objekt målt med en lineal), og graden af "spredning" af kurven afhænger af parametrene a og sigma.

Præsterne i det gamle Babylon beregnede, at solskiven passer på himlen 180 gange fra daggry til solnedgang og indførte en ny måleenhed - en grad svarende til dens vinkelstørrelse.

Dimensioner naturlige formationer- klitter, bakker og bjerge - stige med hvert skridt med et gennemsnit på 3,14 gange.

Videnskab og liv // Illustrationer

Pendulet, der svinger uden friktion og modstand, opretholder en konstant amplitude af svingninger. Udseendet af modstand fører til eksponentiel dæmpning af svingninger.

I et meget viskøst medium bevæger et afbøjet pendul sig eksponentielt mod sin ligevægtsposition.

Vægt fyrrekogler og krøllerne på skallerne på mange bløddyr er arrangeret i logaritmiske spiraler.

Videnskab og liv // Illustrationer

En logaritmisk spiral skærer alle stråler, der udgår fra punkt O, i de samme vinkler.

Sandsynligvis vil enhver ansøger eller studerende, når de bliver spurgt om, hvad tal og e er, svare: - dette er et tal, der er lig med forholdet mellem omkreds og diameter, og e er basis for naturlige logaritmer. Hvis de bliver bedt om at definere disse tal mere stringent og beregne dem, vil eleverne give formler:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183...

(husk at faktor n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Newtons serie er den sidste, der er andre serier).

Alt dette er sandt, men som du ved, er tal og e inkluderet i mange formler i matematik, fysik, kemi, biologi og også i økonomi. Det betyder, at de afspejler nogle almindelige love natur. Hvilke præcist? Definitionerne af disse tal gennem serier, på trods af deres korrekthed og stringens, efterlader stadig en følelse af utilfredshed. De er abstrakte og formidler ikke de pågældende tals forbindelse med omverdenen gennem hverdagserfaring. Det er ikke muligt at finde svar på det stillede spørgsmål i undervisningslitteraturen.

I mellemtiden kan det hævdes, at konstanten e er direkte relateret til homogeniteten af rum og tid, og til rummets isotropi. De afspejler således bevarelseslovene: tallet e - energi og momentum (momentum), og tallet - moment (momentum). Normalt forårsager sådanne uventede udsagn overraskelse, selvom der i det væsentlige fra teoretisk fysiks synspunkt ikke er noget nyt i dem. Den dybe betydning af disse verdenskonstanter forbliver terra incognita for skolebørn, studerende og tilsyneladende selv for flertallet af lærere i matematik og generel fysik, for ikke at nævne andre områder inden for naturvidenskab og økonomi.

På det første år på universitetet kan studerende blive forbløffet over for eksempel et spørgsmål: hvorfor optræder arctangensen, når funktioner af type 1/(x 2 +1) og cirkulære trigonometriske funktioner af arcsine-typen integreres, der udtrykker størrelsen af en cirkelbue? Med andre ord, hvor "kommer cirklerne fra" under integrationen, og hvor forsvinder de så under den omvendte handling - ved at differentiere arctangens og arcsine? Det er usandsynligt, at udledningen af de tilsvarende formler for differentiering og integration vil besvare det stillede spørgsmål af sig selv.

Yderligere, på det andet år på universitetet, når man studerer sandsynlighedsteori, vises tallet i formlen for loven om normalfordeling tilfældige variable(se "Science and Life" nr. 2, 1995); ud fra den kan du f.eks. beregne sandsynligheden for, at en mønt vil falde på våbenskjoldet et vilkårligt antal gange med f.eks. 100 kast. Hvor er cirklerne her? Betyder formen på mønten virkelig noget? Nej, formlen for sandsynlighed er den samme for en firkantet mønt. Det er faktisk ikke lette spørgsmål.

Men karakteren af tallet e er nyttig for studerende i kemi og materialevidenskab, biologer og økonomer til at vide mere dybere. Dette vil hjælpe dem med at forstå kinetikken af nedbrydningen af radioaktive grundstoffer, mætning af opløsninger, slitage af materialer, spredning af mikrober, indvirkningen af signaler på sanserne, processer af kapitalakkumulering osv. - et uendeligt antal fænomener i lever og livløs natur og menneskelige aktiviteter.

Rummets antal og sfæriske symmetri

Først formulerer vi den første hovedafhandling og forklarer derefter dens betydning og konsekvenser.

1. Tallet afspejler isotropien af egenskaberne i det tomme rum i vores univers, deres ensartethed i enhver retning. Loven om bevarelse af drejningsmoment er forbundet med rummets isotropi.

Dette fører til velkendte konsekvenser, som man studerer i gymnasiet.

Konsekvens 1. Længden af buen af en cirkel, langs hvilken dens radius passer, er den naturlige bue og vinkelenhed radian.

Denne enhed er dimensionsløs. For at finde antallet af radianer i en cirkelbue skal du måle dens længde og dividere med længden af radius af denne cirkel. Som vi ved, langs evt fuld cirkel dens radius er cirka 6,28 gange. Mere præcist er længden af en hel cirkelbue 2 radianer og i ethvert talsystemer og længdeenheder. Da hjulet blev opfundet, viste det sig at være det samme blandt indianerne i Amerika, nomaderne i Asien og de sorte i Afrika. Kun buemålingsenhederne var forskellige og konventionelle. Således blev vores vinkel- og buegrader introduceret af de babylonske præster, som mente, at Solens skive, der ligger næsten i zenit, passer 180 gange på himlen fra daggry til solnedgang. 1 grad er 0,0175 rad eller 1 rad er 57,3°. Det kan argumenteres for, at hypotetiske fremmede civilisationer let ville forstå hinanden ved at udveksle et budskab, hvor cirklen er opdelt i seks dele "med en hale"; dette ville betyde, at "forhandlingspartneren" allerede i det mindste har bestået stadiet med at genopfinde hjulet og ved, hvad tallet er.

Konsekvens 2. Formål trigonometriske funktioner- udtrykke forholdet mellem genstandes bue og lineære dimensioner, samt mellem de rumlige parametre for processer, der foregår i et sfærisk symmetrisk rum.

Ud fra ovenstående er det klart, at argumenterne for trigonometriske funktioner i princippet er dimensionsløse, ligesom for andre typer funktioner, dvs. det er reelle tal - punkter på talaksen, der ikke behøver gradnotation.

Erfaring viser, at skolebørn, højskole- og universitetsstuderende har svært ved at vænne sig til dimensionsløse argumenter for sinus, tangent osv. Ikke alle ansøgere vil være i stand til at besvare spørgsmålet uden en lommeregner hvad cos1 (ca. 0,5) eller arctg / 3. Det sidste eksempel er især forvirrende. Det siges ofte, at dette er nonsens: "en bue, hvis arctangens er 60 o." Hvis du siger præcis det, så vil fejlen være i uautoriseret brug gradsmål til funktionsargumentet. Og det rigtige svar er: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Desværre siger ansøgere og studerende ret ofte, at = 180 0, hvorefter de skal rette dem: i decimaltalsystemet = 3,14…. Men vi kan selvfølgelig sige, at en radian er lig med 180 0.

Lad os undersøge en anden ikke-triviel situation, vi støder på i sandsynlighedsteorien. Det drejer sig om den vigtige formel for sandsynligheden for en tilfældig fejl (eller normal lov sandsynlighedsfordeling), som inkluderer tallet . Ved hjælp af denne formel kan du for eksempel beregne sandsynligheden for, at en mønt falder på våbenskjoldet 50 gange med 100 kast. Så hvor kom tallet i den fra? Der ser jo ikke ud til at nogen cirkler eller cirkler er synlige der. Men pointen er, at mønten falder tilfældigt i et sfærisk symmetrisk rum, i alle retninger, hvor tilfældige fluktuationer skal tages lige så godt i betragtning. Det gør matematikere ved at integrere omkring en cirkel og beregne det såkaldte Poisson-integral, som er lig med og indgår i den angivne sandsynlighedsformel. En klar illustration af sådanne udsving er eksemplet med at skyde mod et mål under konstante forhold. Hullerne på målet er spredt i en cirkel (!) med den højeste tæthed nær midten af målet, og sandsynligheden for et hit kan beregnes ved hjælp af den samme formel, der indeholder tallet.

Er tal "involveret" i naturlige strukturer?

Lad os prøve at forstå fænomenerne, hvis årsager er langt fra klare, men som måske heller ikke var uden antal.

Indenlandsk geograf V.V. Piotrovsky sammenlignede de gennemsnitlige karakteristiske størrelser naturlige relieffer i næste række: sandriffel på lavvandede, klitter, bakker, bjergsystemer Kaukasus, Himalaya osv. Det viste sig, at den gennemsnitlige stigning i størrelse er 3,14. Et lignende mønster synes for nylig at være blevet opdaget i Månens og Mars topografi. Piotrovsky skriver: "Tektoniske strukturelle former dannet i jordskorpen og udtrykt på dens overflade i form af reliefformer, udvikles som et resultat af nogle generelle processer, der forekommer i jordens krop, de er proportionale med jordens størrelse." For at være mere præcis er de proportionale med forholdet af dens lineære og buedimensioner.

Grundlaget for disse fænomener kan være den såkaldte lov om fordeling af maksima af tilfældige rækker, eller "loven om trillinger", formuleret tilbage i 1927 af E. E. Slutsky.

Statistisk set dannes der ifølge loven om tre havets kystnære bølger, som de gamle grækere kendte. Hver tredje bølge er i gennemsnit lidt højere end sine naboer. Og i rækken af disse tredje maksima er hver tredje til gengæld højere end sine naboer. Sådan dannes den berømte niende bølge. Han er toppen af "anden rang periode". Nogle videnskabsmænd antyder, at der ifølge loven om trillinger også forekommer udsving i sol-, komet- og meteoritaktiviteter. Intervallerne mellem deres maksima er ni til tolv år, eller cirka 3 2 . Hvad mener lægen? biologiske videnskaber G. Rosenberg, vi kan fortsætte med at konstruere tidssekvenser som følger. Perioden i tredje rang 3 3 svarer til intervallet mellem alvorlige tørkeperioder, som i gennemsnit er 27-36 år; periode 3 4 - sekulær cyklus solaktivitet(81-108 år); periode 3 5 - glaciationscyklusser (243-324 år). Tilfældighederne vil blive endnu bedre, hvis vi afviger fra loven om "rene" trillinger og går videre til talmagter. Forresten er de meget nemme at beregne, da 2 næsten er lig med 10 (engang i Indien blev tallet endda defineret som roden af 10). Du kan fortsætte med at justere cyklusser af geologiske epoker, perioder og epoker til hele tre potenser (hvilket er, hvad G. Rosenberg især gør i samlingen "Eureka-88", 1988) eller tallene 3.14. Og du kan altid tage ønsketænkning med forskellige grader af nøjagtighed. (I forbindelse med justeringer kommer en matematisk joke til at tænke på. Lad os bevise det

ulige tal

Essensen af tallene er enkel. Vi tager: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 osv., og 9 her er en eksperimentel fejl.) Og alligevel er ideen om den uoplagte rolle af tallet p i mange geologiske og biologiske fænomener, ser det ud til, ikke er helt tomme, og måske vil det vise sig i fremtiden. Tallet e og homogeniteten af tid og rum Lad os nu gå videre til den anden store verdenskonstant - tallet e. Den matematisk fejlfrie bestemmelse af tallet e ved hjælp af serien angivet ovenfor, afklarer i det væsentlige på ingen måde dets forbindelse med fysisk eller andet.

Alle ved, at en kontinuerlig bølge i tid kan beskrives ved en sinusbølge eller summen af sinus- og cosinusbølger. I matematik, fysik og elektroteknik er en sådan bølge (med en amplitude lig med 1) beskrevet af eksponentialfunktionen e iβt =cos βt + isin βt, hvor β er frekvensen af harmoniske svingninger. En af de mest berømte matematiske formler er skrevet her - Eulers formel. Det var til ære for den store Leonhard Euler (1707-1783), at tallet e blev opkaldt efter det første bogstav i hans efternavn.

Denne formel er velkendt for eleverne, men den skal forklares for elever på ikke-matematiske skoler, fordi i vores tid, fra alm. skoleprogrammer Komplekse tal er udelukket. Det komplekse tal z = x+iy består af to led - det reelle tal (x) og det imaginære tal, som er det reelle tal y ganget med den imaginære enhed. Reelle tal tælles langs den reelle akse O x, og imaginære tal tælles på samme skala langs den imaginære akse O y, hvis enhed er i, og længden af dette enhedssegment er modulet | jeg | =1. Det er derfor komplekst tal svarer til et punkt på planet med koordinater (x, y). Så, usædvanligt udseende et tal e med en eksponent, der kun indeholder imaginære enheder i betyder tilstedeværelsen af kun udæmpede svingninger beskrevet af en cosinus- og sinusbølge.

Det er klart, at en udæmpet bølge demonstrerer overholdelse af loven om bevarelse af energi for elektromagnetisk bølge i et vakuum. Denne situation opstår under den "elastiske" interaktion af en bølge med et medium uden tab af dets energi. Formelt kan dette udtrykkes som følger: flytter man referencepunktet langs tidsaksen, bevares bølgens energi, da den harmoniske bølge bevarer samme amplitude og frekvens, altså energienheder, og kun dens fase, den del af perioden, der er fjern fra det nye referencepunkt, ændres. Men fasen påvirker ikke energien netop på grund af tidens ensartethed, når referencepunktet forskydes. Så parallel overførsel af koordinatsystemet (det kaldes oversættelse) er lovligt på grund af homogeniteten af tiden t. Nu er det formentlig principielt klart, hvorfor homogenitet i tid fører til loven om energibevarelse.

Lad os dernæst forestille os en bølge ikke i tid, men i rummet. Et tydeligt eksempel det kan være en stående bølge (svingninger af en streng ubevægelig ved flere knudepunkter) eller kystsand krusninger. Matematisk vil denne bølge langs O x-aksen blive skrevet som e ix = cos x + isin x. Det er klart, at i dette tilfælde vil translation langs x ikke ændre hverken cosinus eller sinus, hvis rummet er homogent langs denne akse. Igen vil kun deres fase ændre sig. Det er kendt fra teoretisk fysik, at rummets homogenitet fører til loven om bevarelse af momentum (momentum), det vil sige masse ganget med hastighed. Lad nu rummet være homogent i tid (og loven om energibevarelse er opfyldt), men inhomogen i koordinat. Så ville hastigheden på forskellige punkter af inhomogent rum også være uens, da der pr. homogen tidsenhed ville være forskellige betydninger længden af segmenterne dækket pr. sekund af en partikel med en given masse (eller en bølge med et givet momentum).

Så vi kan formulere den anden hovedtese:

2. Tallet e som grundlag for en funktion af en kompleks variabel afspejler to grundlæggende bevarelseslove: energi - gennem tidens homogenitet, momentum - gennem rummets homogenitet.

Og alligevel, hvorfor netop tallet e, og ikke et andet, blev inkluderet i Eulers formel og viste sig at være i bunden af bølgefunktionen? At holde sig inden for grænserne skolekurser matematik og fysik, er det ikke let at besvare dette spørgsmål. Forfatteren diskuterede dette problem med teoretikeren, Doctor of Physical and Mathematical Sciences V.D. Efros, og vi forsøgte at forklare situationen som følger.

Den vigtigste klasse af processer - lineære og lineariserede processer - bevarer sin linearitet netop på grund af rum- og tidshomogeniteten. Matematisk beskrives en lineær proces ved en funktion, der tjener som løsning på en differentialligning med konstante koefficienter(denne type ligninger studeres i første og andet år på universiteter og gymnasier). Og dens kerne er ovenstående Euler-formel. Så løsningen indeholder en kompleks funktion med basis e, ligesom bølgeligningen. Desuden er det e, og ikke et andet tal i bunden af graden! Fordi det kun er funktionen ex, der ikke ændres for et hvilket som helst antal differentieringer og integrationer. Og derfor, efter substitution i den oprindelige ligning, vil kun løsningen med basen e give en identitet, som en korrekt løsning burde.

Lad os nu nedskrive løsningen til en differentialligning med konstante koefficienter, der beskriver udbredelsen af en harmonisk bølge i et medium under hensyntagen til den uelastiske interaktion med den, hvilket fører til energispredning eller erhvervelse af energi fra eksterne kilder:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Vi ser, at Eulers formel ganges med en reel variabel e αt, som er amplituden af bølgen, der ændrer sig over tid. Ovenfor antog vi for nemheds skyld, at den er konstant og lig med 1. Dette kan gøres i tilfælde af udæmpede harmoniske svingninger, med α = 0. I det generelle tilfælde af enhver bølge afhænger amplitudens opførsel af fortegnet af koefficienten a med variablen t (tid): hvis α > 0, øges amplituden af oscillationer, hvis α< 0, затухает по экспоненте.

Måske er det sidste afsnit svært for kandidater fra mange almindelige skoler. Det burde dog være forståeligt for studerende fra universiteter og gymnasier, som grundigt studerer differentialligninger med konstante koefficienter.

Lad os nu sætte β = 0, det vil sige, vi vil ødelægge oscillerende faktor med nummer i i løsningen, der indeholder Eulers formel. Fra de tidligere svingninger vil kun "amplituden", der henfalder (eller vokser) eksponentielt forblive.

For at illustrere begge tilfælde, forestil dig et pendul. I tomt rum svinger den uden dæmpning. I rummet med et resistivt medium forekommer svingninger med eksponentielt fald i amplituden. Hvis du afbøjer et ikke for massivt pendul i et tilstrækkeligt tyktflydende medium, vil det jævnt bevæge sig mod ligevægtspositionen og bremse mere og mere.

Så ud fra afhandling 2 kan vi udlede følgende konsekvens:

Konsekvens 1. I mangel af en imaginær, rent vibrationsdel af funktionen f(t), ved β = 0 (det vil sige ved nul frekvens), er den reelle del eksponentiel funktion beskriver mange naturlige processer, der forløber i overensstemmelse med det grundlæggende princip: værdistigningen er proportional med selve værdien .

Det formulerede princip ser matematisk sådan ud: ∆I ~ I∆t, hvor, lad os sige, I er et signal, og ∆t er et lille tidsinterval, hvor signalet ∆I stiger. Ved at dividere begge sider af ligheden med I og integrere, opnår vi lnI ~ kt. Eller: I ~ e kt - loven om eksponentiel stigning eller formindskelse af signalet (afhængigt af tegnet for k). Således fører loven om proportionalitet af værdistigningen til selve værdien til naturlig logaritme og dermed til tallet e (Og her er dette vist i en form, der er tilgængelig for gymnasieelever, der kender til integrationselementerne.)

Mange processer inden for fysik, kemi, biologi, økologi, økonomi osv. forløber eksponentielt med et rigtigt argument uden tøven. Vi bemærker især den universelle psykofysiske lov om Weber - Fechner (af en eller anden grund ignoreret i uddannelsesprogrammer skoler og universiteter). Den lyder: "Sansningens styrke er proportional med logaritmen af stimulationens styrke."

Syn, hørelse, lugt, berøring, smag, følelser og hukommelse er underlagt denne lov (naturligvis indtil fysiologiske processer brat bliver til patologiske, når receptorerne har undergået modifikation eller ødelæggelse). Ifølge loven: 1) en lille stigning i irritationssignalet i ethvert interval svarer til en lineær stigning (med et plus eller minus) i sansningsstyrken; 2) i området med svage irritationssignaler er stigningen i fornemmelsesstyrken meget stejlere end i området med stærke signaler. Lad os tage te som eksempel: et glas te med to stykker sukker opfattes som dobbelt så sødt som te med et stykke sukker; men te med 20 stykker sukker vil næppe virke mærkbart sødere end med 10 stykker. Det dynamiske område af biologiske receptorer er kolossalt: signaler modtaget af øjet kan variere i styrke med ~ 10 10 , og af øret - med ~ 10 12 gange. Dyreliv tilpasset sådanne områder. Det beskytter sig selv ved at tage en logaritme (ved biologisk begrænsning) af indkommende stimuli, ellers ville receptorerne dø. Den udbredte logaritmiske (decibel) lydintensitetsskala er baseret på Weber-Fechner-loven, i overensstemmelse med hvilken lydudstyrets lydstyrkekontroller fungerer: deres forskydning er proportional med den opfattede lydstyrke, men ikke med lydintensiteten! (Fornemmelsen er proportional med lg/ 0. Tærsklen for hørbarhed er taget til at være p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Ved tærsklen har vi lg1 = 0. En stigning i lydens styrke (tryk) ved 10 gange svarer cirka til fornemmelsen af en hvisken, som er 1 bel over tærsklen på en logaritmisk skala Lydforstærkning en million gange fra en hvisken til et skrig (op til 10 -5 J/m 2 s) på en logaritmisk skala. er en stigning på 6 størrelsesordener eller 6 Bel.)

Sandsynligvis er et sådant princip optimalt økonomisk for udviklingen af mange organismer. Dette kan tydeligt observeres i dannelsen af logaritmiske spiraler i bløddyrskaller, rækker af frø i en solsikkekurv og skæl i kogler. Afstanden fra centrum øges efter loven r = ae kj. I hvert øjeblik er væksthastigheden lineært proportional med selve denne afstand (hvilket er let at se, hvis vi tager den afledede af den skrevne funktion). Profilerne af roterende knive og fræsere er lavet i en logaritmisk spiral.

Konsekvens 2. Tilstedeværelsen af kun den imaginære del af funktionen ved α = 0, β 0 i løsningen af differentialligninger med konstante koefficienter beskriver en række lineære og lineariserede processer, hvor udæmpede harmoniske oscillationer finder sted.

Denne konsekvens bringer os tilbage til den model, der allerede er diskuteret ovenfor.

Konsekvens 3. Ved implementering af Corollary 2 er der en "lukning" i en enkelt formel med tal og e gennem Eulers historiske formel i dens oprindelige form e i = -1.

I denne form udgav Euler først sin eksponent med en imaginær eksponent. Det er ikke svært at udtrykke det gennem cosinus og sinus på venstre side. Så vil den geometriske model af denne formel være bevægelse i en cirkel med en hastighedskonstant i absolut værdi, som er summen af to harmoniske svingninger. Ifølge den fysiske essens afspejler formlen og dens model alle tre grundlæggende egenskaber ved rumtiden - deres homogenitet og isotropi, og dermed alle tre bevarelseslove.

Konklusion

Udsagnet om bevaringslovenes sammenhæng med tidens og rummets homogenitet er uden tvivl korrekt for det euklidiske rum i klassisk fysik og for det pseudo-euklidiske Minkowski-rum i den generelle relativitetsteori (GR, hvor tiden er den fjerde koordinat). Men inden for rammerne af den generelle relativitetsteori opstår et naturligt spørgsmål: hvad er situationen i områder med enorme gravitationsfelter, nær singulariteter, især nær sorte huller? Fysikernes meninger her er forskellige: flertallet mener, at de angivne grundlæggende bestemmelser er bevaret i disse ekstreme forhold. Der er dog andre synspunkter fra autoritative forskere. Begge arbejder på at skabe en ny teori om kvantetyngdekraften.

For kort at forestille os, hvilke problemer der opstår her, lad os citere ordene fra den teoretiske fysiker akademiker A. A. Logunov: "Det (Minkowski space. - Auto.) afspejler egenskaber, der er fælles for alle former for stof. Dette sikrer eksistensen af forenet fysiske egenskaber- energi, momentum, vinkelmomentum, love for bevarelse af energi, momentum. Men Einstein hævdede, at dette kun er muligt under én betingelse - i fravær af tyngdekraften<...>. Af denne udtalelse fra Einstein fulgte det, at rum-tid ikke bliver pseudo-euklidisk, men meget mere kompleks i sin geometri - Riemannsk. Sidstnævnte er ikke længere homogen. Det skifter fra punkt til punkt. Egenskaben rumkrumning vises. Den nøjagtige formulering af bevaringslove, som de blev accepteret i klassisk fysik, forsvinder også i den.<...>Strengt taget er det i princippet umuligt at indføre lovene for bevarelse af energimomentum, de kan ikke formuleres" (se "Science and Life" nr. 2, 3, 1987).

De grundlæggende konstanter i vores verden, hvis natur vi talte om, er kendte ikke kun af fysikere, men også for lyrikere. Således inspirerede det irrationelle tal svarende til 3,14159265358979323846... den fremragende polske digter i det tyvende århundrede, prisvinder Nobelprisen 1996 til Wisław Szymborska for skabelsen af digtet "Pi", med et citat, hvorfra vi vil afslutte disse noter:

En række, der fortjener beundring:
Tre komma en fire en.
Hvert tal giver en følelse
start - fem ni to,
fordi du aldrig når slutningen.
Du kan ikke forstå alle tallene på et øjeblik -
seks fem tre fem.
Aritmetiske operationer -
otte ni -
er ikke længere nok, og det er svært at tro -
syv ni -
at du ikke kan slippe afsted med det - tre to tre
otte -
heller ikke en ligning, der ikke eksisterer,
ikke en sjov sammenligning -
du kan ikke tælle dem.
Lad os gå videre: fire seks...
(Oversættelse fra polsk - B.G.)