Y x 2 er en kvadratisk funktion. GIA

Navngiv koordinaterne for punkter, der er symmetriske med disse punkter
i forhold til y-aksen:
y
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
X

Grafen viser, at OY-aksen deler parablen i symmetrisk
venstre og højre del (parabelgrene), i punktet med koordinaterne (0; 0)
(hjørnet af parablen) værdien af ​​funktionen x 2 er den mindste.
Funktionen har ikke den største betydning. En parabels toppunkt er
grafens skæringspunkt med symmetriaksen OY.
I sektionen af ​​grafen for x ∈ (– ∞; 0 ] falder funktionen,
og for x ∈ [ 0; + ∞) øges.

Grafen for funktionen y = x 2 + 3 er den samme parabel, men dens
toppunktet er i punktet med koordinaterne (0; 3) .

Find værdien af ​​funktionen
y = 5x + 4 hvis:
x=-1
y = - 1 y = 19
x=-2
y=-6
y=29
x=3
x=5

Angiv
funktionsdomæne:
y = 16 – 5x
10
y
X
x - enhver
antal
x≠0
1
y
x 7
4x 1
y
5
x≠7

Tegn grafiske funktioner:
1).U=2X+3
2).U=-2X-1;
3).

10.

Matematisk
studere
Emne: Funktion y = x2

11.

Byg
skema
funktioner
y = x2

12.

Algoritme til at konstruere en parabel..
1. Udfyld tabellen med X- og Y-værdier.
2. Marker punkter i koordinatplanet,
hvis koordinater er angivet i tabellen.
3. Forbind disse punkter med en glat linje.

13.

Utrolig
men det er et faktum!
Parabelpas

14.

Vidste du det?
Banen for en sten kastet under
vinkel til horisonten, vil flyve med
parabel.

15. Egenskaber for funktionen y = x2

*
Funktionsegenskaber
y=
2
x

16.

*Definitionsomfang
funktioner D(f):
x – et hvilket som helst tal.
*Værdiinterval
funktioner E(f):
alle værdier af y ≥ 0.

17.

*Hvis
x = 0, derefter y = 0.
Graf over en funktion
går igennem
koordinaternes oprindelse.

18.

II
jeg
*Hvis
x ≠ 0,
derefter y > 0.
Alle grafpunkter
andre funktioner end punkt
(0; 0), lokaliseret
over x-aksen.

19.

*Modsat
x værdier
matcher en
og samme værdi for y.
Graf over en funktion
symmetrisk
i forhold til aksen
ordinere

20.

Geometrisk
egenskaber ved en parabel
* Har symmetri
*Aksen skærer parablen ind
to dele: grene
parabler
*Punkt (0; 0) – toppunkt
parabler
*Parablen rører ved aksen
abscisse
Akse
symmetri

21.

Find y hvis:
"Viden er et værktøj,
ikke målet"
L. N. Tolstoj
x = 1,4
- 1,4
y = 1,96
x = 2,6
-2,6
y = 6,76
x = 3,1
- 3,1
y = 9,61
Find x hvis:
y=6
y=4
x ≈ 2,5 x ≈ -2,5
x=2 x=-2

22.

bygge i én
koordinatsystem
grafer over to funktioner
1. Sag:
y=x2
Y=x+1
2.sag:
Y=x2
y= -1

23.

Finde
flere betydninger
x, for hvilket
funktionsværdier:
mindre end 4
mere end 4

24.

Hører grafen for funktionen y = x2 til punktet:
P(-18; 324)
R(-99; -9081)
hører til
hører ikke til
S(17; 279)
hører ikke til
Uden at udføre beregninger skal du bestemme hvilken af ​​de
punkter hører ikke til grafen for funktionen y = x2:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
Ved hvilke værdier af a hører punktet P(a; 64) til grafen for funktionen y = x2.
a = 8; a = - 8
(16; 0)

25.

Algoritme til løsning af ligningen
grafisk
1. Indbygg et system
koordinater for de stående funktioners grafik
på venstre og højre side af ligningen.
2. Find skæringspunkternes abscisse
grafer. Disse vil være rødderne
ligninger
3. Hvis der ikke er nogen skæringspunkter, så
ligningen har ingen rødder

Tidligere studerede vi andre funktioner, for eksempel lineære, lad os huske dens standardform:

deraf det åbenlyse grundlæggende forskel- i en lineær funktion X står i første grad, og i det ny funktion, som vi begynder at studere, X står til anden potens.

Husk, at grafen for en lineær funktion er en ret linje, og grafen for en funktion, som vi vil se, er en kurve, der kaldes en parabel.

Lad os starte med at finde ud af, hvor formlen kom fra. Forklaringen er denne: hvis vi får et kvadrat med side EN, så kan vi beregne dens areal sådan her:

Hvis vi ændrer længden af ​​siden af ​​en firkant, vil dens areal ændre sig.

Så dette er en af ​​grundene til, at funktionen studeres

Husk at variablen X- dette er en uafhængig variabel, eller argument i en fysisk fortolkning, det kan for eksempel være tid. Afstand er tværtimod en afhængig variabel den afhænger af tid. Den afhængige variabel eller funktion er en variabel på.

Dette er loven om korrespondance, ifølge hvilken hver værdi X en enkelt værdi tildeles på.

Enhver korrespondancelov skal opfylde kravet om unikhed fra argument til funktion. I en fysisk fortolkning ser dette ganske klart ud ud fra eksemplet med afstandens afhængighed af tid: i hvert tidspunkt er vi i en vis afstand fra udgangspunktet, og det er umuligt på samme tid på tidspunktet t at være både 10 og 20 kilometer fra rejsens begyndelse.

Samtidig kan hver funktionsværdi opnås med flere argumentværdier.

Så vi skal bygge en graf over funktionen, for dette skal vi lave en tabel. Undersøg derefter funktionen og dens egenskaber ved hjælp af grafen. Men allerede før vi konstruerer en graf baseret på typen af ​​funktion, kan vi sige noget om dens egenskaber: det er indlysende, at på kan ikke tage negative værdier, da

Så lad os lave en tabel:

Ris. 1

Fra grafen er det let at bemærke følgende egenskaber:

Akse på- dette er grafens symmetriakse;

Parablens toppunkt er punkt (0; 0);

Vi ser, at funktionen kun accepterer negative værdier;

I intervallet hvor funktionen falder, og på det interval, hvor funktionen øges;

Funktionen får sin mindste værdi i toppunktet, ;

Der er ingen største værdi af en funktion;

Eksempel 1

Tilstand:

Løsning:

Siden X ved tilstandsændringer på et bestemt interval, kan vi sige om funktionen, at den øges og ændres på intervallet . Funktionen har en minimumsværdi og en maksimumværdi på dette interval

Ris. 2. Graf for funktionen y = x 2 , x ∈

Eksempel 2

Tilstand: Find den største og mindste værdi Funktioner:

Løsning:

Xændringer over intervallet, hvilket betyder på falder på intervallet mens og øges på intervallet mens .

Altså grænserne for forandring X, og grænserne for forandring på, og derfor er der på et givet interval både en minimumsværdi for funktionen og et maksimum

Ris. 3. Graf for funktionen y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Lad os illustrere det faktum, at den samme funktionsværdi kan opnås med flere argumentværdier.

Lektion om emnet: "Graf og egenskaber for funktionen $y=x^2$. Eksempler på plotning af grafer"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 7. klasse
Interaktiv simulator "Regler og øvelser i algebra"
Elektronisk algebra projektmappe for klasse 7, online version

Fungere er en variabels afhængighed af en anden.

Graf over en funktion– grafisk gengivelse af funktionen.

Funktionsegenskaber

• Funktion Domæne– alle værdier, som en uafhængig variabel kan tage.
• Funktionsområde– alle værdier, som den afhængige variabel kan tage.
• Funktion nuller – værdi uafhængig variabel, således at den afhængige variabel er lig med 0.
• Minimum funktionsværdi– minimumsværdien af ​​den afhængige variabel.
• Maksimal funktionsværdi– maksimal værdi af den afhængige variabel.

Egenskaber for funktionen $y=x^2$

Lad os beskrive egenskaberne for denne funktion:

1. x er en uafhængig variabel, y er en afhængig variabel.

2. Definitionsdomæne: det er indlysende, at for enhver værdi af argumentet (x) er der en værdi af funktionen (y). Derfor er definitionsdomænet for denne funktion hele tallinjen.

3. Værdiområde: y må ikke være mindre end 0, da kvadratet af ethvert tal er et positivt tal.

4. Hvis x=0, så er y=0.

5. Bemærk venligst, at for modsatte værdier af argumentet har funktionen den samme værdi. For et talpar x = 1 og x = -1 vil værdien af ​​funktionen være 1, dvs. y = 1. For et talpar x = 2 og x = – 2; y = 4 osv.
$y = x^2 =(-x)^2$.

Graf for funktionen $y=x^2$

Lad os omhyggeligt se på formlen y = x 2 og prøve at beskrive den fremtidige grafs omtrentlige udseende med ord.

1. Da y ≥ 0, kan hele grafen ikke placeres under OX-aksen.

2. Grafen er symmetrisk om OY-aksen. Alt, hvad vi skal gøre, er at plotte grafen for positive værdier af x og derefter spejle den for negative værdier af x.

Lad os finde flere værdier af y:

Lad os plotte disse punkter (se fig. 1).

Hvis vi forsøger at forbinde dem med en stiplet linje, som vist i fig. 1, så falder nogle funktionsværdier ikke på disse linjer, for eksempel punkterne A (x = 0,5; y = 0,25) og B (x = 2,5; y = 6,25). Selvom vi bygger mange punkter og forbinder dem med små lige segmenter, vil der altid være y-værdier, der ikke falder på disse segmenter. Derfor skal punkterne forbindes med en glat buet linje (se fig. 2).

Nu er det tilbage at spejle grafen for negative værdier af x (se fig. 3). Sådan en kurve kaldes en parabel. Punkt O (0;0) kaldes parablens toppunkt. Symmetriske kurver kaldes grene af en parabel.

Eksempler

I. Designeren skal male en del af væggen i et hus i form af en firkant med sider på 2,7 meter. Specialmaling til vægge sælges i emballage til en dåse pr. 1 m2. Uden at lave nogen beregninger, så find ud af hvor mange dåser maling du skal købe, så der efter maling ikke er ekstra uåbnede dåser tilbage.

Løsning:
1. Lad os bygge en parabel.
2. Find punkt A på parablen, hvis koordinat er x=2,7 (se fig. 4).
3. Vi ser, at funktionsværdien på dette tidspunkt er større end 7, men mindre end 8. Det betyder, at designeren skal bruge mindst 8 dåser maling.

II. Konstruer en graf for funktionen y = (x + 1) 2.

Lad os finde flere værdier af y.

Lad os konstruere disse punkter og en ret linje x= -1 parallel med OY-aksen. Det er indlysende, at de konstruerede punkter er symmetriske omkring denne linje. Som et resultat vil vi få den samme parabel, kun forskudt til venstre langs OX-aksen (se fig. 5).

Hvordan bygger man en parabel? Der er flere måder at tegne en kvadratisk funktion på. Hver af dem har sine fordele og ulemper. Lad os overveje to måder.

Lad os starte med at plotte en kvadratisk funktion af formen y=x²+bx+c og y= -x²+bx+c.

Eksempel.

Tegn grafen til funktionen y=x²+2x-3.

Løsning:

y=x²+2x-3 er en kvadratisk funktion. Grafen er en parabel med grene opad. Parabolens toppunkts koordinater

Fra toppunktet (-1;-4) bygger vi en graf af parablen y=x² (som fra koordinaternes oprindelse. I stedet for (0;0) - toppunkt (-1;-4). Fra (-1; -4) vi går til højre med 1 enhed og op med 1 enhed, derefter venstre med 1 og derefter: 2 - højre, 4 - op, 2 - venstre, 3 - op, 3 -; venstre, 9 - op Hvis disse 7 point ikke er nok, så 4 til højre, 16 til toppen osv.).

Grafen for den kvadratiske funktion y= -x²+bx+c er en parabel, hvis forgreninger er rettet nedad. For at konstruere en graf ser vi efter koordinaterne for toppunktet og ud fra den konstruerer vi en parabel y= -x².

Eksempel.

Tegn grafen til funktionen y= -x²+2x+8.

Løsning:

y= -x²+2x+8 er en andengradsfunktion. Grafen er en parabel med forgreninger nedad. Parabolens toppunkts koordinater

Fra toppen bygger vi en parabel y= -x² (1 - til højre, 1- ned; 1 - venstre, 1 - ned; 2 - højre, 4 - ned; 2 - venstre, 4 - ned osv.):

Denne metode giver dig mulighed for hurtigt at bygge en parabel og er ikke svær, hvis du ved, hvordan man tegner funktionerne y=x² og y= -x². Ulempe: hvis koordinaterne for toppunktet er brøktal, er det ikke særlig praktisk at bygge en graf. Hvis du har brug for at vide nøjagtige værdier grafens skæringspunkter med Ox-aksen, skal du desuden løse ligningen x²+bx+c=0 (eller -x²+bx+c=0), selvom disse punkter kan bestemmes direkte ud fra tegningen.

En anden måde at konstruere en parabel på er ved punkter, det vil sige, at du kan finde flere punkter på grafen og tegne en parabel gennem dem (under hensyntagen til, at linjen x=xₒ er dens symmetriakse). Normalt tager de parablens toppunkt, grafens skæringspunkter med koordinatakserne og 1-2 yderligere punkter.

Tegn en graf over funktionen y=x²+5x+4.

Løsning:

y=x²+5x+4 er en kvadratisk funktion. Grafen er en parabel med grene opad. Parabolens toppunkts koordinater

det vil sige, at parablens toppunkt er punktet (-2,5; -2,25).

Vi leder efter. I skæringspunktet med Ox-aksen y=0: x²+5x+4=0. Rødder andengradsligning x1=-1, x2=-4, det vil sige, vi fik to punkter på grafen (-1; 0) og (-4; 0).

Ved skæringspunktet for grafen med Oy-aksen x=0: y=0²+5∙0+4=4. Vi fik pointen (0; 4).

For at tydeliggøre grafen kan du finde et ekstra punkt. Lad os tage x=1, så y=1²+5∙1+4=10, det vil sige et andet punkt på grafen er (1; 10). Vi markerer disse punkter på koordinatplanet. Under hensyntagen til parablens symmetri i forhold til linjen, der går gennem dens toppunkt, markerer vi yderligere to punkter: (-5; 6) og (-6; 10) og tegner en parabel gennem dem:

Tegn grafen til funktionen y= -x²-3x.

Løsning:

y= -x²-3x er en andengradsfunktion. Grafen er en parabel med forgreninger nedad. Parabolens toppunkts koordinater

Toppunktet (-1,5; 2,25) er det første punkt i parablen.

I grafens skæringspunkter med abscisseaksen y=0, det vil sige, vi løser ligningen -x²-3x=0. Dens rødder er x=0 og x=-3, det vil sige (0;0) og (-3;0) - yderligere to punkter på grafen. Punktet (o; 0) er også skæringspunktet for parablen med ordinataksen.

Ved x=1 er y=-1²-3∙1=-4, det vil sige (1; -4) et ekstra punkt til plotning.

At konstruere en parabel ud fra punkter er en mere arbejdskrævende metode sammenlignet med den første. Hvis parablen ikke skærer Ox-aksen, kræves der flere yderligere punkter.

Før vi fortsætter med at konstruere grafer af kvadratiske funktioner af formen y=ax²+bx+c, lad os overveje konstruktionen af ​​grafer for funktioner ved hjælp af geometriske transformationer. Det er også mest bekvemt at konstruere grafer af funktioner af formen y=x²+c ved at bruge en af ​​disse transformationer - parallel translation.

Kategori: |

Lad os vælge et rektangulært koordinatsystem på planet og plotte værdierne af argumentet på abscisse-aksen X, og på ordinaten - værdierne af funktionen y = f(x).

Funktionsgraf y = f(x) er mængden af ​​alle punkter, hvis abscisser hører til funktionens definitionsdomæne, og ordinaterne er lig med de tilsvarende værdier af funktionen.

Med andre ord er grafen for funktionen y = f (x) mængden af ​​alle punkter i planet, koordinater X, på som opfylder forholdet y = f(x).

I fig. 45 og 46 viser grafer over funktioner y = 2x + 1 Og y = x 2 - 2x.

Strengt taget bør man skelne mellem en graf for en funktion (hvis den nøjagtige matematiske definition er givet ovenfor) og en tegnet kurve, som altid kun giver en mere eller mindre nøjagtig skitse af grafen (og selv da, som regel, ikke hele grafen, men kun dens del placeret i de sidste dele af flyet). I det følgende vil vi dog generelt sige "graf" snarere end "grafskitse."

Ved hjælp af en graf kan du finde værdien af ​​en funktion i et punkt. Nemlig hvis pointen x = a hører til funktionens definitionsdomæne y = f(x), derefter for at finde nummeret f(a)(dvs. funktionsværdierne ved punktet x = a) bør du gøre dette. Det er nødvendigt gennem abscissepunktet x = a tegne en lige linje parallelt med ordinataksen; denne linje vil skære grafen for funktionen y = f(x) på et tidspunkt; ordinaten af ​​dette punkt vil i kraft af grafens definition være lig med f(a)(Fig. 47).

For eksempel til funktionen f(x) = x 2 - 2x ved hjælp af grafen (fig. 46) finder vi f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 osv.

En funktionsgraf illustrerer tydeligt en funktions adfærd og egenskaber. For eksempel ud fra betragtning af fig. 46 er det klart, at funktionen y = x 2 - 2x accepterer positive værdier på X< 0 og kl x > 2, negativ - ved 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x tager imod kl x = 1.

At tegne en funktion f(x) du skal finde alle punkter i flyet, koordinater X,på som opfylder ligningen y = f(x). I de fleste tilfælde er dette umuligt at gøre, da der er et uendeligt antal af sådanne punkter. Derfor er grafen for funktionen afbildet tilnærmelsesvis - med større eller mindre nøjagtighed. Den enkleste er metoden til at plotte en graf ved hjælp af flere punkter. Den består i, at argumentet X giv et endeligt antal værdier - f.eks. x 1, x 2, x 3,..., x k og opret en tabel, der inkluderer de valgte funktionsværdier.

Tabellen ser således ud:

Efter at have udarbejdet en sådan tabel, kan vi skitsere flere punkter på grafen for funktionen y = f(x). Ved at forbinde disse punkter med en glat linje får vi en omtrentlig visning af funktionens graf y = f(x).

Det skal dog bemærkes, at flerpunktsplottemetoden er meget upålidelig. Faktisk forbliver opførselen af ​​grafen mellem de tilsigtede punkter og dens adfærd uden for segmentet mellem de taget ekstreme punkter ukendt.

Eksempel 1. At tegne en funktion y = f(x) nogen kompilerede en tabel med argument- og funktionsværdier:

De tilsvarende fem punkter er vist i fig. 48.

Baseret på placeringen af ​​disse punkter konkluderede han, at grafen for funktionen er en ret linje (vist i fig. 48 med en stiplet linje). Kan denne konklusion betragtes som pålidelig? Medmindre der er yderligere overvejelser til støtte for denne konklusion, kan den næppe anses for pålidelig. pålidelig.

Overvej funktionen for at underbygge vores udsagn

.

Beregninger viser, at værdierne af denne funktion i punkterne -2, -1, 0, 1, 2 er nøjagtigt beskrevet af tabellen ovenfor. Grafen for denne funktion er dog slet ikke en ret linje (den er vist i fig. 49). Et andet eksempel ville være funktionen y = x + l + sinπx; dens betydning er også beskrevet i tabellen ovenfor.

Disse eksempler viser, at metoden til at plotte en graf ved hjælp af flere punkter i sin "rene" form er upålidelig. For at plotte en graf for en given funktion går man derfor normalt frem som følger. Først studerer vi egenskaberne for denne funktion, ved hjælp af hvilken vi kan bygge en skitse af grafen. Derefter, ved at beregne værdierne af funktionen på flere punkter (hvis valget afhænger af funktionens etablerede egenskaber), findes de tilsvarende punkter i grafen. Og til sidst tegnes en kurve gennem de konstruerede punkter ved hjælp af egenskaberne for denne funktion.

Vi vil senere se på nogle (de enkleste og mest anvendte) egenskaber ved funktioner, der bruges til at finde en grafskitse, men nu vil vi se på nogle almindeligt anvendte metoder til at konstruere grafer.

Graf for funktionen y = |f(x)|.

Det er ofte nødvendigt at plotte en funktion y = |f(x)|, hvor f(x) - givet funktion. Lad os minde dig om, hvordan dette gøres. Per definition absolut værdi tal kan skrives

Det betyder, at grafen for funktionen y =|f(x)| kan hentes fra grafen, funktion y = f(x) som følger: alle punkter på grafen for funktionen y = f(x), hvis ordinater er ikke-negative, bør lades uændret; yderligere i stedet for punkterne i funktionens graf y = f(x) har negative koordinater, bør du konstruere de tilsvarende punkter på grafen for funktionen y = -f(x)(dvs. en del af funktionens graf
y = f(x), som ligger under aksen X, skal reflekteres symmetrisk om aksen X).

Eksempel 2. Tegn en graf af funktionen y = |x|.

Lad os tage grafen for funktionen y = x(Fig. 50, a) og en del af denne graf kl X< 0 (ligger under aksen X) symmetrisk reflekteret i forhold til aksen X. Som et resultat får vi en graf over funktionen y = |x|(Fig. 50, b).

Eksempel 3. Tegn en graf af funktionen y = |x 2 - 2x|.

Lad os først plotte funktionen y = x 2 - 2x. Grafen for denne funktion er en parabel, hvis grene er rettet opad, parablens toppunkt har koordinater (1; -1), dens graf skærer x-aksen i punkterne 0 og 2. I intervallet (0; 2) funktionen tager negative værdier, derfor reflekteres denne del af grafen symmetrisk i forhold til abscisseaksen. Figur 51 viser grafen for funktionen y = |x 2 -2x|, baseret på grafen for funktionen y = x 2 - 2x

Graf for funktionen y = f(x) + g(x)

Overvej problemet med at konstruere en graf for en funktion y = f(x) + g(x). hvis der er givet funktionsgrafer y = f(x) Og y = g(x).

Bemærk, at definitionsdomænet for funktionen y = |f(x) + g(x)| er mængden af ​​alle de værdier af x, for hvilke både funktioner y = f(x) og y = g(x) er defineret, dvs. dette definitionsdomæne er skæringspunktet mellem definitionsdomænerne, funktioner f(x) og g(x).

Lad pointene (x 0, y 1) Og (x 0, y 2) tilhører henholdsvis graferne for funktioner y = f(x) Og y = g(x), dvs. y 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Så hører punktet (x0;. y1 + y2) til funktionens graf y = f(x) + g(x)(for f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. og ethvert punkt på grafen for funktionen y = f(x) + g(x) kan fås på denne måde. Derfor grafen for funktionen y = f(x) + g(x) kan hentes fra funktionsgrafer y = f(x). Og y = g(x) erstatter hvert punkt ( x n, y 1) funktionsgrafik y = f(x) prik (x n, y 1 + y 2), Hvor y2 = g(x n), dvs. ved at flytte hvert punkt ( x n, y 1) funktionsgraf y = f(x) langs aksen på med beløbet y 1 = g(x n). I dette tilfælde tages kun sådanne punkter i betragtning X n, hvor begge funktioner er defineret y = f(x) Og y = g(x).

Denne metode til at plotte en funktion y = f(x) + g(x) kaldes addition af funktionsgrafer y = f(x) Og y = g(x)

Eksempel 4. På figuren er en graf over funktionen konstrueret ved hjælp af metoden til at tilføje grafer
y = x + sinx.

Når du plotter en funktion y = x + sinx det troede vi f(x) = x, EN g(x) = sinx. For at plotte funktionsgrafen udvælger vi punkter med abscisser -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Værdier f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Lad os beregne på de valgte punkter og placere resultaterne i tabellen.