Lad os betragte en buet trapez afgrænset af Ox-aksen, kurven y=f(x) og to rette linjer: x=a og x=b (fig. 85). Lad os tage en vilkårlig værdi af x (bare ikke a og ikke b). Lad os give det en stigning h = dx og betragte en strimmel afgrænset af rette linjer AB og CD, Ox-aksen og buen BD, der hører til den betragtede kurve. Vi vil kalde denne strimmel en elementær strimmel. Arealet af en elementær strimmel adskiller sig fra arealet af rektanglet ACQB med den buede trekant BQD, og ​​arealet af sidstnævnte er mindre end arealet af rektanglet BQDM med siderne BQ = =h= dx) QD=Ay og areal lig med hAy = Ay dx. Efterhånden som side h falder, falder side Du også og har samtidig en tendens til nul. Derfor er arealet af BQDM andenordens uendeligt lille. Arealet af en elementær strimmel er tilvæksten af ​​arealet, og arealet af rektanglet ACQB, lig med AB-AC ==/(x) dx> er differensen af ​​området. Derfor finder vi selve området ved at integrere dets differentiale. Inden for den betragtede figur ændres den uafhængige variabel l: fra a til b, så det nødvendige areal 5 vil være lig med 5= \f(x) dx. (I) Eksempel 1. Lad os beregne arealet afgrænset af parablen y - 1 -x*, rette linjer X =--Fj-, x = 1 og O*-aksen (fig. 86). ved Fig. 87. Fig. 86. 1 Her f(x) = 1 - l?, grænserne for integration er a = - og £ = 1, derfor J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Eksempel 2. Lad os beregne arealet begrænset af sinusformen y = sinXy, Ox-aksen og den rette linje (fig. 87). Ved at anvende formel (I) får vi A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Eksempel 3. Beregn arealet begrænset af buen af ​​sinusoiden ^у = sin jc, indesluttet mellem to tilstødende skæringspunkter med Ox-aksen (f.eks. mellem origo og punktet med abscissen i). Bemærk, at det ud fra geometriske overvejelser er klart, at dette areal vil være to gange mere område tidligere eksempel. Men lad os lave beregningerne: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Vores antagelse viste sig faktisk at være korrekt. Eksempel 4. Beregn arealet afgrænset af sinus- og Ox-aksen ved én periode (fig. 88). Foreløbige beregninger tyder på, at arealet vil være fire gange større end i eksempel 2. Men efter at have foretaget beregninger får vi "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dette resultat kræver afklaring. For at afklare sagens essens, beregner vi også arealet begrænset af den samme sinusform y = sin l: og Ox-aksen i området fra l til 2i. Ved at anvende formel (I) får vi 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Vi ser således, at dette område viste sig at være negativt. Sammenligner vi det med arealet beregnet i opgave 3, finder vi, at deres absolutte værdier er de samme, men tegnene er forskellige. Hvis vi anvender egenskab V (se kapitel XI, § 4), får vi 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Det, der skete i dette eksempel, er ikke et uheld. Altid området placeret under Ox-aksen, forudsat at den uafhængige variabel ændres fra venstre mod højre, opnås, når den beregnes ved hjælp af integraler. På dette kursus vil vi altid overveje områder uden skilte. Derfor vil svaret i det netop omtalte eksempel være: det nødvendige areal er 2 + |-2| = 4. Eksempel 5. Lad os beregne arealet af BAB vist i fig. 89. Dette område er begrænset af Ox-aksen, parablen y = - xr og den rette linje y - = -x+\. Firkant buet trapez Det nødvendige område af OAB består af to dele: OAM og MAV. Da punkt A er skæringspunktet for en parabel og en ret linje, finder vi dets koordinater ved at løse ligningssystemet 3 2 Y = mx. (vi skal kun finde abscissen af ​​punkt A). Løser vi systemet, finder vi l; = ~. Derfor skal arealet beregnes i dele, første kvadrat. OAM og derefter pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [udskiftning:

] =

Det betyder, at det ukorrekte integral konvergerer, og dets værdi er lig med .

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Nøgleord: integreret, buet trapez, område af figurer afgrænset af liljer

Udstyr: markeringstavle, computer, multimedieprojektor

Lektionstype: lektion-forelæsning

Lektionens mål:

• pædagogisk: at skabe en kultur for mentalt arbejde, skabe en successituation for hver elev og skabe positiv motivation for læring; udvikle evnen til at tale og lytte til andre.
• udvikler: dannelse af selvstændig tænkning af eleven i at anvende viden i forskellige situationer, evnen til at analysere og drage konklusioner, udvikling af logik, udvikling af evnen til at stille spørgsmål korrekt og finde svar på dem. Forbedring af dannelsen af ​​beregningsevner, udvikling af elevernes tænkning i løbet af udførelse af foreslåede opgaver, udvikling af en algoritmisk kultur.
• pædagogisk: at danne begreber om et krumt trapez, om et integral, at mestre færdighederne i at beregne arealer af plane figurer

Undervisningsmetode: forklarende og illustrerende.

Under timerne

I tidligere klasser lærte vi at beregne arealer af figurer, hvis grænser er stiplede linjer. I matematik er der metoder, der giver dig mulighed for at beregne arealer af figurer afgrænset af kurver. Sådanne figurer kaldes kurvelineære trapezoider, og deres areal beregnes ved hjælp af antiderivater.

krumt trapez ( slide 1)

Et buet trapez er en figur afgrænset af grafen for en funktion, ( sh.m.), lige x = a Og x = b og x-aksen

Forskellige typer buede trapezformer ( slide 2)

Vi overvejer forskellige slags buede trapezoider og bemærk: en af ​​de rette linjer er degenereret til et punkt, rollen som den begrænsende funktion spilles af den rette linje

Arealet af en buet trapez (slide 3)

Fastgør den venstre ende af intervallet EN, og den rigtige x vi vil ændre, det vil sige, vi flytter den højre væg af den buede trapez og får en skiftende figur. Arealet af en variabel krumlinjet trapez afgrænset af grafen for funktionen er en antiderivativ F til funktion f

Og på segmentet [ en; b] område af et krumt trapez dannet af funktionen f, er lig med stigningen af ​​antiderivatet af denne funktion:

Øvelse 1:

Find arealet af en buet trapez afgrænset af grafen for funktionen: f(x) = x 2 og lige y = 0, x = 1, x = 2.

Løsning: ( ifølge algoritmen slide 3)

Lad os tegne en graf over funktionen og linjerne

Lad os finde en af ​​dem antiderivative funktioner f(x) = x 2 :

Selvtest på rutsjebane

Integral

Overvej en krumt trapez, defineret af funktionen f på segmentet [ en; b]. Lad os opdele dette segment i flere dele. Arealet af hele trapezoidet vil blive opdelt i summen af ​​arealer af mindre buede trapezoider. ( slide 5). Hver sådan trapez kan omtrent betragtes som et rektangel. Summen af ​​arealerne af disse rektangler giver en omtrentlig idé om hele arealet af den buede trapez. Jo mindre vi deler segmentet [ en; b], jo mere nøjagtigt beregner vi arealet.

Lad os skrive disse argumenter i form af formler.

Del segmentet [ en; b] i n dele med prikker x 0 =a, x1,...,xn = b. Længde k- th betegne med xk = xk – xk-1. Lad os lave en sum

Geometrisk repræsenterer denne sum arealet af figuren, der er skraveret i figuren ( sh.m.)

Summer af formen kaldes integralsummer for funktionen f. (sh.m.)

Integrale summer giver en omtrentlig værdi af arealet. Præcise værdi opnås ved at passere til grænsen. Lad os forestille os, at vi forfiner segmentets partition [ en; b] således at længderne af alle små segmenter har en tendens til nul. Derefter vil området af den sammensatte figur nærme sig området af den buede trapez. Vi kan sige, at arealet af en buet trapez er lig med grænsen for integral summer, Sc.t. (sh.m.) eller integral, dvs.

Definition:

Integral af en funktion f(x) fra -en Før b kaldet grænsen for integralsummer

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formel.

Vi husker, at grænsen for integralsummer er lig med arealet af en kurvelineær trapez, hvilket betyder, at vi kan skrive:

Sc.t. = (sh.m.)

På den anden side beregnes arealet af en buet trapez ved formlen

S k.t. (sh.m.)

Ved at sammenligne disse formler får vi:

= (sh.m.)

Denne lighed kaldes Newton-Leibniz-formlen.

For at lette beregningen er formlen skrevet som:

= = (sh.m.)

Opgaver: (sh.m.)

1. Beregn integralet ved hjælp af Newton-Leibniz formlen: ( tjek på slide 5)

2. Komponer integraler i henhold til tegningen ( tjek på slide 6)

3. Find arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Find områderne af flyvefigurer ( slide 8)

Hvordan finder man arealet af figurer, der ikke er buede trapezoider?

Lad der gives to funktioner, hvis grafer du ser på sliden . (sh.m.) Find området af den skraverede figur . (sh.m.). Er den pågældende figur en buet trapez? Hvordan kan du finde dets areal ved hjælp af egenskaben additivitet af areal? Overvej to buede trapezoider og træk arealet af den anden fra arealet af den ene af dem ( sh.m.)

Lad os oprette en algoritme til at finde området ved hjælp af animation på et dias:

1. Graffunktioner
2. Projicér grafernes skæringspunkter på x-aksen
3. Skygge den figur, der opnås, når graferne skærer hinanden
4. Find kurvelineære trapezoider, hvis skæringspunkt eller forening er den givne figur.
5. Beregn arealet af hver af dem
6. Find forskellen eller summen af ​​arealer

Mundtlig opgave: Sådan får du arealet af en skraveret figur (fortæl ved hjælp af animation, slide 8 og 9)

Lektier: Gennemfør noterne, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografi

1. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: en lærebog for klasse 9-11 i aften (skifte)skole / red. G.D. Glaser. - M: Oplysning, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra og begyndelsen af ​​analysen: en lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet / Bashmakov M.I. - M: Oplysning, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematik: lærebog for institutioner begynder. og onsdag prof. uddannelse / M.I. Bashmakov. - M: Akademiet, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: lærebog for klasse 10-11. uddannelsesinstitutioner / A.N. Kolmogorov. - M: Uddannelse, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Hvordan laver man en præsentation til en lektion?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Første september 2010.

Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi analysere den typiske og mest almindelige opgave – hvordan man bruger et bestemt integral til at beregne arealet af en plan figur. Til sidst, dem, der leder efter mening i højere matematik - må de finde den. Man ved aldrig. Vi bliver nødt til at bringe det tættere på i livet sommerhusområde elementære funktioner og find sit areal ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå ubestemt integral i hvert fald på et gennemsnitligt niveau. Dummies bør derfor først læse lektionen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne bestemt integral. Sæt varmt op venskabelige forbindelser med bestemte integraler kan findes på siden Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Faktisk, for at finde arealet af en figur, behøver du ikke så meget viden om det ubestemte og bestemte integral. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, så meget mere aktuel problemstilling vil være din viden og færdigheder i at tegne. I denne henseende er det nyttigt at genopfriske din hukommelse om graferne for grundlæggende elementære funktioner og som minimum at være i stand til at konstruere en lige linje, parabel og hyperbel. Dette kan gøres (for mange er det nødvendigt) vha metodisk materiale og artikler om geometriske transformationer af grafer.

Faktisk kender alle opgaven med at finde området ved hjælp af et decideret integral siden skolen, og vi kommer ikke meget længere fra skolepensum. Denne artikel eksisterede måske slet ikke, men faktum er, at problemet opstår i 99 tilfælde ud af 100, når en elev lider af en hadet skole og entusiastisk mestrer et kursus i højere matematik.

Materialerne til denne workshop præsenteres enkelt, detaljeret og med et minimum af teori.

Lad os starte med en buet trapez.

Krumt trapez er en flad figur afgrænset af en akse, rette linjer og grafen for en funktion kontinuert på et interval, der ikke skifter fortegn på dette interval. Lad denne figur være placeret ikke mindre x-akse:

Derefter arealet af en buet trapez er numerisk lig med et bestemt integral. Ethvert bestemt integral (der eksisterer) har en meget god geometrisk betydning. Ved lektionen Bestemt integral. Eksempler på løsninger Jeg sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige en mere nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integral AREA.

Det er, det bestemte integral (hvis det findes) svarer geometrisk til arealet af en bestemt figur. Overvej for eksempel det bestemte integral. Integranden definerer en kurve på planet placeret over aksen (de, der ønsker det, kan lave en tegning), og selve det bestemte integral er numerisk lig med areal tilsvarende buet trapez.

Eksempel 1

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Først og det vigtigste øjeblik løsninger - tegning. Desuden skal tegningen være konstrueret HØJRE.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: i første omgang det er bedre at konstruere alle lige linjer (hvis de findes) og kun Derefter– parabler, hyperbler, grafer for andre funktioner. Det er mere rentabelt at bygge grafer over funktioner punkt for punkt, kan punkt-for-punkt byggeteknikken findes i referencemateriale Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.
Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen definerer aksen):

Jeg vil ikke udklække en buet trapez, det er tydeligt her hvad området er vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, Derfor:

Svar:

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen , se foredraget Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, hvilket ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer , , og akse

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslen?

Eksempel 3

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjer og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez er placeret under akslen(eller i det mindste ikke højere givet akse), så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:
I dette tilfælde:

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om at løse blot et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor fra den enkleste skoleproblemer Lad os gå videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjerne, .

Løsning: Først skal du færdiggøre tegningen. Generelt set er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter, når vi konstruerer en tegning i arealproblemer. Lad os finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration er, den øvre grænse for integration er.
Hvis det er muligt, er det bedre ikke at bruge denne metode..

Det er meget mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv". Punkt-for-punkt konstruktionsteknikken for forskellige grafer er beskrevet detaljeret i hjælpen Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Og vi vil også overveje et sådant eksempel.

Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Jeg gentager, at når man konstruerer punktvis, finder man oftest grænserne for integration ud "automatisk".

Og nu arbejdsformlen: Hvis der er en eller anden kontinuerlig funktion på segmentet større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion, derefter arealet af figuren, begrænset af tidsplaner givne funktioner og rette linjer , , kan findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, og groft sagt, det betyder noget, hvilken graf der er HØJERE(i forhold til en anden graf), og hvilken er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor er det nødvendigt at trække fra

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel over og en lige linje nedenunder.
På segmentet ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se simpelt eksempel nr. 3) særlig situation formler . Da aksen er specificeret af ligningen, og grafen for funktionen er placeret ikke højereøkser altså

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af figuren afgrænset af linjerne, .

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen var udført korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed... området med den forkerte figur blev fundet, det er præcis sådan, din ydmyge tjener skruede sammen flere gange. Her reelle tilfælde fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne , , , .

Løsning: Først, lad os lave en tegning:

...Eh, tegningen blev lort, men alt ser ud til at være læseligt.

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret blå(se nøje på tilstanden - hvor er tallet begrænset!). Men i praksis, på grund af uopmærksomhed, opstår der ofte en "fejl", at du skal finde området af en figur, der er skraveret grøn!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet over aksen er der en graf af en ret linje;

2) På segmentet over aksen er der en graf over en hyperbel.

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Lad os gå videre til en anden meningsfuld opgave.

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer,
Lad os præsentere ligningerne i "skole"-form og lave en punkt-for-punkt tegning:

Af tegningen fremgår det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": .
Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det? Måske ? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan godt vise sig, at... Eller roden. Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for en ret linje og en parabel.
For at gøre dette løser vi ligningen:


,

Virkelig,.

Den videre løsning er triviel, det vigtigste er ikke at blive forvirret i substitutioner og tegn, beregningerne her er ikke de enkleste.

På segmentet , ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Nå, for at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne, ,

Løsning: Lad os skildre denne figur på tegningen.

For fanden, jeg glemte at underskrive tidsplanen, og undskyld, jeg ville ikke lave billedet om. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)

For punkt-for-punkt konstruktion skal du vide udseende sinusoider (og generelt nyttige at kende grafer over alle elementære funktioner), samt nogle sinusværdier, de kan findes i trigonometrisk tabel. I nogle tilfælde (som i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her, de følger direkte af betingelsen: "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, derfor: