Integraler til dummies: hvordan man løser, regneregler, forklaring. Metoder til beregning af ubestemte integraler

Er det muligt at indordne en ikke-lineær funktion under differentialtegnet? Ja, hvis integranden er produktet af to faktorer: den ene faktor er en kompleks funktion af en eller anden ikke-lineær funktion, og den anden faktor er den afledte af denne ikke-lineære funktion. Lad os se på, hvad der er blevet sagt med eksempler.

Kan ikke finde bestemte integraler.

Eksempel 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Hvad repræsenterer dette integrand? Arbejde power funktion fra (x 2 + x + 2) og multiplikatoren (2x + 1), som er lig med den afledte af potensens basis: (x 2 + x + 2)" = 2x + 1.

Dette gjorde det muligt for os at sætte (2x + 1) under differentialtegnet:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (formel 1). )

Undersøgelse. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 6 (x 2 + x + 2) 5 (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Eksempel 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6+C

Og hvordan adskiller dette eksempel sig fra eksempel 1? Ikke noget! Den samme femte potens med grundfladen (x 3 – x 2 + 3x + 1) ganges med trinomialet (3x 2 – 2x + 3), som er den afledte af grundfladen af ​​potensen: (x 3 – x 2 + 3x + 1)" = 3x 2 – 2x + 3. Vi bragte denne basis af graden under differentialtegnet, hvorfra værdien af ​​integranden ikke ændrede sig, og anvendte derefter den samme formel 1 (). Integraler)

Eksempel 3.

Her vil den afledte af (2x 3 – 3x) give (6x 2 – 3), og med os

der er (12x 2 – 6), altså udtrykket i 2 gange større, hvilket betyder, at vi sætter (2x 3 – 3x) under differentialtegnet og sætter en faktor foran integralet 2 . Lad os anvende formlen 2) ( ark ).

Her er hvad der sker:

Lad os tjekke under hensyntagen til:

Eksempler. Find ubestemte integraler.

1. ∫(6x+5) 3 dx. Hvordan beslutter vi os? Ser på arket og vi begrunder noget som dette: integranden repræsenterer en grad, og vi har en formel for gradens integral (formel 1) ), men i det grundlaget for graden u og integrationsvariablen også u.

Og vi har en integrationsvariabel x, og gradens basis (6x+5). Lad os lave en ændring af integrationsvariablen: i stedet for dx skriver vi d (6x+5). Hvad ændrede sig? Da det, der kommer efter differentialtegnet d, som standard er differentieret,

derefter d (6x+5)=6dx, dvs. ved udskiftning af variablen x med variablen (6x+5), steg integrandfunktionen 6 gange, så vi sætter faktoren 1/6 foran integraltegnet. Disse argumenter kan skrives således:

Så vi løste dette eksempel ved at introducere en ny variabel (variablen x blev erstattet af variablen 6x+5). Hvor skrev du den nye variabel (6x+5)? Under differentialtegnet. Derfor kaldes denne metode til at introducere en ny variabel ofte metode ( eller måde ) opsummering(ny variabel ) under differentialtegnet.

I det andet eksempel opnåede vi først en grad med en negativ eksponent og satte den derefter under differentialtegnet (7x-2) og brugte formlen for gradens integral 1) (Integraler ).

Lad os se på eksempelløsningen 3.

Integralet indledes med en koefficient på 1/5. Hvorfor? Da d (5x-2) = 5dx, så ved at erstatte funktionen u = 5x-2 under differentialtegnet, øgede vi integranden med 5 gange, derfor, for at værdien af ​​dette udtryk ikke skulle ændre sig, var det nødvendigt at dividere med 5, dvs. gange med 1/5. Dernæst blev formlen brugt 2) (Integraler) .

Alle de enkleste integralformler vil se sådan ud:

∫f (x) dx=F (x)+C, og ligestillingen skal være opfyldt:

(F (x)+C)"=f (x).

Integrationsformler kan opnås ved at invertere de tilsvarende differentieringsformler.

Virkelig,

Eksponent n kan være fraktioneret. Ofte skal man finde det ubestemte integral af funktionen y=√x. Lad os beregne integralet af funktionen f (x)=√x ved hjælp af formlen 1) .

Lad os skrive dette eksempel som en formel 2) .

Da (x+C)"=1, så er ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Ved at erstatte 1/x² med x -2, beregner vi integralet af 1/x².

Og det var muligt at få dette svar ved at invertere den velkendte differentieringsformel:

Lad os skrive vores ræsonnement i form af en formel 4).

Ved at gange begge sider af den resulterende lighed med 2 får vi formlen 5).

Lad os finde integralerne af de vigtigste trigonometriske funktioner, ved at kende deres derivater: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Vi får integrationsformlerne 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Efter at have studeret de eksponentielle og logaritmiske funktioner, lad os tilføje et par flere formler.

Grundlæggende egenskaber ved det ubestemte integral.

JEG. Den afledte af det ubestemte integral er lig med integranden .

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Differentialet af et ubestemt integral er lig med integranden.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Ubestemt integral af differentialet (afledt) af en eller anden funktion lig med summen denne funktion og en vilkårlig konstant C.

∫dF (x)=F (x)+C eller ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Bemærk venligst: I egenskaberne I, II og III "spiser" tegnene for differential og integral (integral og differential) hinanden!

IV. Integrandens konstante faktor kan tages ud af integraltegnet.

∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx, Hvor k- en konstant værdi, der ikke er lig med nul.

V. Integralet af den algebraiske sum af funktioner er lig med algebraisk sum integraler af disse funktioner.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Hvis F (x) er en antiderivat af f (x), og k Og b er konstante værdier, og k≠0, så er (1/k)·F (kx+b) et antiderivat for f (kx+b). Faktisk har vi ifølge reglen for beregning af den afledte af en kompleks funktion:

Du kan skrive:

For hver matematisk handling er der en omvendt handling. For handlingen af ​​differentiering (finde afledte funktioner) er der også en omvendt handling - integration. Gennem integration findes (rekonstrueret) en funktion ud fra dens givne afledede eller differentiale. Den fundne funktion kaldes antiderivat.

Definition. Differentierbar funktion F(x) kaldes antiderivatet af funktionen f(x) på et givet interval, hvis for alle x fra dette interval gælder følgende lighed: F′(x)=f (x).

Eksempler. Find antiderivater for funktionerne: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Da (x²)′=2x, så vil funktionen F (x)=x² per definition være en antiderivat af funktionen f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Hvis vi betegner f (x)=3cos3x og F (x)=sin3x, så har vi per definition af en antiderivativ: F′(x)=f (x), og derfor er F (x)=sin3x et antiderivat for f ( x)=3cos3x.

Bemærk at (sin3x +5 )′= 3cos3x, og (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V generel opfattelse kan skrives: (sin3x +C)′= 3cos3x, Hvor MED- en eller anden konstant værdi. Disse eksempler angiver tvetydigheden af ​​integrationshandlingen i modsætning til differentieringshandlingen, når enhver differentierbar funktion har en enkelt afledt.

Definition. Hvis funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x) på et bestemt interval, så har sættet af alle antiderivater af denne funktion formen:

F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.

Mættet af alle antiderivater F (x) + C af funktionen f (x) på det pågældende interval kaldes det ubestemte integral og er angivet med symbolet ∫ (integraltegn). Skriv ned: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Udtryk ∫f(x)dx læs: "integral ef fra x til de x."

f(x)dx- integrant udtryk,

f(x)— Integrand funktion,

x er integrationsvariablen.

F(x)- antiderivat af en funktion f(x),

MED- en eller anden konstant værdi.

Nu kan de overvejede eksempler skrives som følger:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Hvad betyder tegnet d?

d— differentialtegn - har et dobbelt formål: for det første adskiller dette fortegn integranden fra integrationsvariablen; for det andet er alt, der kommer efter dette tegn, differentieret som standard og ganget med integranden.

Eksempler. Find integralerne: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Efter differentialikonet d omkostninger xx, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Sammenlign med eksempel 1).

Lad os tage et tjek. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Efter differentialikonet d omkostninger R. Det betyder, at integrationsvariablen R, og multiplikatoren x bør betragtes som en konstant værdi.

∫ 2хрдр=р²х+С. Sammenlign med eksempler 1) Og 3).

Lad os tage et tjek. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Side 1 af 1 1

At løse integraler er en nem opgave, men kun for nogle få udvalgte. Denne artikel er for dem, der ønsker at lære at forstå integraler, men ved intet eller næsten intet om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendigt? Hvordan beregner man det? Hvad er bestemte og ubestemte integraler? Hvis den eneste brug, du kender til et integral, er at bruge en hæklenål formet som et integreret ikon for at få noget brugbart ud af svært tilgængelige steder, så velkommen! Find ud af, hvordan du løser integraler, og hvorfor du ikke kan undvære det.

Vi studerer begrebet "integral"

Integration var kendt tilbage i Det gamle Egypten. Selvfølgelig ikke i moderne form, men stadig. Siden da har matematikere skrevet mange bøger om dette emne. Især udmærkede sig Newton Og Leibniz , men tingenes essens har ikke ændret sig. Hvordan forstår man integraler fra bunden? Ingen måde! For at forstå dette emne skal du stadig bruge basis viden grundlæggende matematisk analyse. Det er denne grundlæggende information, du finder på vores blog.

Ubestemt integral

Lad os have en funktion f(x) .

Ubestemt integralfunktion f(x) denne funktion kaldes F(x) , hvis afledte er lig med funktionen f(x) .

Med andre ord er et integral en afledt omvendt eller en antiderivat. Læs forresten om hvordan i vores artikel.

Der findes et antiderivat for alle kontinuerte funktioner. Også et konstant tegn tilføjes ofte til antiderivatet, da afledte funktioner, der adskiller sig med en konstant, falder sammen. Processen med at finde integralet kaldes integration.

Simpelt eksempel:

For ikke konstant at beregne antiderivater af elementære funktioner, er det praktisk at sætte dem i en tabel og bruge færdige værdier:

Bestemt integral

Når vi beskæftiger os med begrebet et integral, har vi at gøre med uendelige små mængder. Integralet hjælper med at beregne arealet af figuren, massen af ​​det inhomogene legeme, afstanden tilbagelagt ved ujævn bevægelse sti og meget mere. Det skal huskes, at et integral er en uendelig sum stor mængde uendelige vilkår.

Forestil dig som et eksempel en graf over en funktion. Sådan finder du arealet af en figur, begrænset af tidsplanen funktioner?

Brug af et integral! Lad os opdele det krumlinjede trapez, begrænset af koordinatakserne og grafen for funktionen, i infinitesimale segmenter. På denne måde vil figuren blive opdelt i tynde søjler. Summen af ​​søjlernes areal vil være arealet af trapez. Men husk, at en sådan beregning vil give et omtrentligt resultat. Men jo mindre og smallere segmenterne er, jo mere nøjagtig bliver beregningen. Hvis vi reducerer dem i en sådan grad, at længden har en tendens til nul, vil summen af ​​segmenternes areal tendere til arealet af figuren. Dette er et bestemt integral, som er skrevet således:

Punkt a og b kaldes integrationsgrænser.

Bari Alibasov og gruppen "Integral"

I øvrigt! Til vores læsere er der nu 10% rabat på

Regler for beregning af integraler for dummies

Egenskaber for det ubestemte integral

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her vil vi se på egenskaberne for det ubestemte integral, hvilket vil være nyttigt ved løsning af eksempler.

• Den afledede af integralet er lig med integranden:

• Konstanten kan tages ud under integraltegnet:

• Integralet af summen er lig med summen af ​​integralerne. Dette gælder også for forskellen:

Egenskaber af et bestemt integral

• Linearitet:

• Integralets fortegn ændres, hvis grænserne for integrationen byttes om:

• På nogen point -en, b Og Med:

Vi har allerede fundet ud af, at et bestemt integral er grænsen for en sum. Men hvordan får man en bestemt værdi, når man løser et eksempel? Til dette er der Newton-Leibniz formlen:

Eksempler på løsning af integraler

Nedenfor vil vi overveje flere eksempler på at finde ubestemte integraler. Vi inviterer dig til selv at finde ud af løsningens forviklinger, og hvis noget er uklart, så stil spørgsmål i kommentarerne.

For at forstærke materialet, se en video om, hvordan integraler løses i praksis. Fortvivl ikke, hvis integralet ikke gives med det samme. Spørg, og de vil fortælle dig alt, hvad de ved om beregning af integraler. Med vores hjælp vil enhver tredobbelt eller buet integral over en lukket overflade være inden for din magt.

Tidligere vi givet funktion, styret af forskellige formler og regler, fandt sin afledte. Afledten har adskillige anvendelser: det er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af ​​enhver proces); hældning tangent til grafen for en funktion; ved hjælp af den afledede kan du undersøge en funktion for monotonicitet og ekstrema; det hjælper med at løse optimeringsproblemer.

Men sammen med problemet med at finde hastigheden i henhold til en kendt bevægelseslov, er der også et omvendt problem - problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.

Eksempel 1. Et materialepunkt bevæger sig i en ret linje, dets hastighed på tidspunktet t er givet af formlen v=gt. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = v(t). Det betyder, at for at løse problemet skal du vælge en funktion s = s(t), hvis afledte er lig med gt. Det er ikke svært at gætte at \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Svar: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fik \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktisk har problemet uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), hvor C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevægelse, da \(\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

For at gøre problemet mere specifikt var vi nødt til at rette op på startsituationen: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så fra lighed s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematik tildeles gensidige operationer forskellige navne, kom med specielle notationer, for eksempel: kvadrering (x 2) og udtrækning kvadrat rod(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) og arcsine (arcsin x) osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den omvendte operation, altså processen med at finde en funktion fra en given afledt, er integration.

Selve udtrykket "afledt" kan retfærdiggøres "i hverdagen": funktionen y = f(x) "producerer" ny funktion y" = f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder", men matematikere kalder den naturligvis ikke en "forælder" eller "producent", de siger, at den er, i forhold til funktionen y" = f"(; x) , primært billede eller primitivt.

Definition. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på intervallet X, hvis ligheden F"(x) = f(x) gælder for \(x \i X\)

I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).

Lad os give eksempler.
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for enhver x er ligheden (x 2)" = 2x sand
2) Funktionen y = x 3 er antiafledt for funktionen y = 3x 2, da for enhver x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand
3) Funktionen y = sin(x) er antiafledt for funktionen y = cos(x), da for enhver x er ligheden (sin(x))" = cos(x) sand

Når man finder antiderivater, såvel som derivater, bruges ikke kun formler, men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.

Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af ​​dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af ​​antiderivaterne.

Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Sætning 1. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y = f(kx + m) funktionen \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Sætning 2. Hvis y = F(x) er en antiafledning for funktionen y = f(x) på intervallet X, så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integrationsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitutionsmetode)

Metoden til integration ved substitution involverer at indføre en ny integrationsvariabel (det vil sige substitution). I dette tilfælde reduceres det givne integral til et nyt integral, som er tabelformet eller kan reduceres til det. Der er ingen generelle metoder til at vælge substitutioner. Evnen til korrekt at bestemme substitution opnås gennem praksis.
Lad det være nødvendigt at beregne integralet \(\tekststil \int F(x)dx \). Lad os lave substitutionen \(x= \varphi(t) \) hvor \(\varphi(t) \) er en funktion, der har en kontinuert afledet.
Derefter \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) og baseret på invariansegenskaben for integrationsformlen for det ubestemte integral, får vi integrationsformlen ved substitution:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integration af udtryk af formen \(\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Hvis m er ulige, m > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen sin x = t.
Hvis n er ulige, n > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen cos x = t.
Hvis n og m er lige, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen tg x = t.

Integration af dele

Integration af dele - anvendelse af følgende formel for integration:
\(\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
eller:
\(\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Processen med at løse integraler i videnskaben kaldet matematik kaldes integration. Ved hjælp af integration kan vi finde nogle fysiske mængder: areal, volumen, masse af legemer og meget mere.

Integraler kan være ubestemte eller bestemte. Lad os overveje formen af ​​det bestemte integral og prøve at forstå dets fysiske betydning. Det er repræsenteret i denne form: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Særpræg at skrive et bestemt integral af et ubestemt integral er, at der er grænser for integration af a og b. Nu skal vi finde ud af, hvorfor de er nødvendige, og hvad et bestemt integral egentlig betyder. I en geometrisk forstand sådan et integral lig med areal en figur afgrænset af kurven f(x), linjerne a og b og Ox-aksen.

Fra fig. 1 er det tydeligt, at det bestemte integral er det samme område, der er skraveret grå. Lad os tjekke dette med et simpelt eksempel. Lad os finde arealet af figuren på billedet nedenfor ved hjælp af integration, og derefter beregne det på den sædvanlige måde at gange længden med bredden.

Fra fig. 2 er det tydeligt, at $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nu erstatter vi dem i definitionen af ​​integralet, vi får at $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(enheder)^2 $$ Lad os foretage kontrollen på den sædvanlige måde. I vores tilfælde er længde = 3, bredden af ​​figuren = 1. $$ S = \tekst(længde) \cdot \text(bredde) = 3 \cdot 1 = 3 \text(enheder)^2 $$ Som du kan se, alt passer perfekt.

Spørgsmålet opstår: hvordan løser man ubestemte integraler, og hvad er deres betydning? At løse sådanne integraler er at finde antiafledte funktioner. Denne proces er det modsatte af at finde derivatet. For at finde antiderivatet kan du bruge vores hjælp til at løse problemer i matematik, eller du skal selvstændigt huske integralernes egenskaber og tabellen over integration af de enkleste elementære funktioner. Fundet ser således ud: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(hvor) F(x) $ er antiderivatet af $ f(x), C = const $.

For at løse integralet skal du integrere funktionen $ f(x) $ over en variabel. Hvis funktionen er tabelformet, skrives svaret i den passende form. Hvis ikke, så kommer processen ned til at opnå en tabelfunktion fra funktionen $ f(x) $ gennem vanskelige matematiske transformationer. For dette er der forskellige metoder og egenskaber, som vi vil overveje nærmere.

Så lad os nu skabe en algoritme til at løse integraler for dummies?

Algoritme til beregning af integraler

1. Lad os finde ud af det konkrete integral eller ej.
2. Hvis det ikke er defineret, skal du finde antiderivatfunktionen $ F(x) $ af integranden $ f(x) $ ved hjælp af matematiske transformationer, der fører til en tabelform af funktionen $ f(x) $.
3. Hvis det er defineret, skal du udføre trin 2 og derefter erstatte grænserne $ a $ og $ b $ i antiafledte funktion $ F(x) $. Du vil finde ud af, hvilken formel du skal bruge til at gøre dette i artiklen "Newton-Leibniz Formel".

Eksempler på løsninger

Så du har lært at løse integraler for dummies, eksempler på løsning af integraler er blevet sorteret fra. Vi lærte deres fysiske og geometriske betydning. Løsningsmetoderne vil blive beskrevet i andre artikler.

Ansøgning

Integraler online på webstedet for studerende og skolebørn til at konsolidere det materiale, de har dækket. Og træne dine praktiske færdigheder. En komplet løsning af integraler online til dig i løbet af få øjeblikke vil hjælpe dig med at bestemme alle stadier af processen du betragter integralet som et tabelformet. Ikke alle tabelintegraler er tydeligt synlige fra et givet eksempel, nogle gange er du nødt til at transformere den oprindelige funktion for at finde antiderivatet. I praksis kommer løsning af integraler ned på at fortolke problemet med at finde originalen, det vil sige antiafledt fra en uendelig familie af funktioner, men hvis grænserne for integration er givet, så er der ifølge Newton-Leibniz formlen kun én enkelt funktion tilbage at anvende beregninger på. Online integraler - online ubestemt integral og online bestemt integral. Integralet af en funktion online er summen af ​​eventuelle tal beregnet til deres integration. Derfor, uformelt, er det online bestemte integral området mellem funktionens graf og x-aksen inden for grænserne for integration. Eksempler på problemløsning med integraler. Lad os beregne komplekst integral på én variabel og forbinde hans svar med den videre løsning af problemet. Det er muligt, som de siger, direkte at finde integralet af integranden. Ethvert integral bestemmer med høj nøjagtighed området af figuren afgrænset af linjerne. Dette er en af ​​hans geometriske betydninger . Denne metode gør tingene lettere for eleverne. Flere trin vil faktisk ikke have stor indflydelse på vektoranalysen. Integralet af en funktion online er det grundlæggende koncept for integralregning Løsning af ubestemte integraler. Ifølge analysens hovedsætning er integration den omvendte operation af differentiering, som hjælper med at løse differentialligninger. Der er flere forskellige definitioner af driften af ​​integration, der adskiller sig i tekniske detaljer. Men de er alle kompatible, det vil sige, at alle to metoder til integration, hvis de kan anvendes på en given funktion, vil give det samme resultat. Det enkleste er Riemann-integralet - et bestemt integral eller et ubestemt integral. Uformelt kan integralet af en funktion af en variabel indføres som arealet under grafen (figuren indesluttet mellem grafen for funktionen og x-aksen). Ethvert sådant underproblem kan retfærdiggøre, at beregning af integralet vil være yderst nødvendig i begyndelsen af ​​en vigtig tilgang. Glem ikke dette! I et forsøg på at finde dette område kan vi overveje figurer, der består af et vist antal lodrette rektangler, hvis baser tilsammen danner et integrationssegment og opnås ved at opdele segmentet i det passende antal små segmenter. Løsning af integraler online.. Integral online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Løsning af integraler online: online ubestemt integral og online bestemt integral. Lommeregneren løser integraler med en detaljeret beskrivelse af handlingerne og gratis! Et online ubestemt integral for en funktion er mængden af ​​alle antiderivater af en given funktion. Hvis en funktion er defineret og kontinuert på et interval, så er der en antiderivatfunktion (eller en familie af antiderivater) for den. Integralet definerer kun et udtryk, hvis betingelser sættes af dig, når et sådant behov opstår. Det er bedre at nærme sig denne sag omhyggeligt og opleve indre tilfredsstillelse fra det udførte arbejde. Men at beregne integralet ved hjælp af en anden metode end den klassiske fører nogle gange til uventede resultater, og man bør ikke blive overrasket over dette. Jeg er glad for, at dette faktum vil have en positiv resonans for, hvad der sker. Liste over bestemte integraler og ubestemte integraler af integraler med komplet detaljeret trinvis løsning. Alle integraler med detaljerede løsninger online. Ubestemt integral. At finde det ubestemte integral online er et meget almindeligt problem i højere matematik og andre tekniske områder af videnskaben. Grundlæggende metoder til integration. Definition af integral, bestemt og ubestemt integral, tabel over integraler, Newton-Leibniz formel. Igen kan du finde dit integral ved hjælp af tabellen over integraludtryk, men dette skal stadig nås, da alt ikke er så enkelt, som det måske ser ud ved første øjekast. Tænk på færdige bygninger, før der opdages fejl. Bestemt integral og metoder til dets beregning. Online bestemt integral med variabel øvre grænse. Løsning af integraler online. Ethvert eksempel, der vil hjælpe med at beregne integralet ved hjælp af tabelformler, vil være brugbar guide til handling for elever på alle niveauer af forberedelse. Det vigtigste skridt mod det rigtige svar.. Integraler online. Ubestemte integraler, der indeholder eksponentielle og logaritmiske funktioner. Løsning af integraler online - du får en detaljeret løsning til forskellige typer integraler: ubestemt, bestemt, upassende. Definite Integral Calculator beregner det definitive integral online af en funktion over et interval ved hjælp af numerisk integration. Integralet af en funktion er en analog af summen af ​​en sekvens. Uformelt set er et bestemt integral arealet af en del af grafen for en funktion. Løsning af integralen online.. Integral online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Ofte bestemmer et sådant integral, hvor meget tungere et legeme er end et objekt med samme tæthed sammenlignet med det, og det er lige meget, hvilken form det har, fordi overfladen ikke absorberer vand. Løsning af integraler online.. Integraler online - ubestemt integral online og bestemt integral online. Hver junior studerende ved, hvordan man finder integralet online. På basen skolepensum denne sektion af matematik studeres også, men ikke i detaljer, men kun det grundlæggende i et så komplekst og vigtigt emne. I de fleste tilfælde begynder eleverne at studere integraler med omfattende teori, som også er forudgået af vigtige emner, såsom afledet og passage til grænsen - de er også grænser. Løsning af integraler begynder gradvist med de mest elementære eksempler på simple funktioner og slutter med brugen af ​​mange tilgange og regler foreslået i det sidste århundrede og endda meget tidligere. Integralregning er til undervisningsformål på lyceumer og skoler, dvs. uddannelsesinstitutioner. Vores hjemmeside vil altid hjælpe dig, og løsning af integraler online vil blive almindeligt for dig, og vigtigst af alt, en forståelig opgave. Baseret på denne ressource kan du nemt opnå perfektion i dette matematiske afsnit. Ved at forstå de regler, du lærer trin for trin, såsom integration efter dele eller anvendelsen af ​​Chebyshevs metode, kan du nemt beslutte dig for maksimalt beløb point for enhver prøve. Så hvordan kan vi stadig beregne integralet ved hjælp af den velkendte tabel over integraler, men på en sådan måde, at løsningen er korrekt, korrekt og med det mest præcise svar som muligt? Hvordan lærer man dette, og er det muligt for en almindelig nybegynder at gøre dette? så hurtigt som muligt? Lad os besvare dette spørgsmål bekræftende - det kan du! Samtidig vil du ikke kun være i stand til at løse ethvert eksempel, men også nå niveauet som en højt kvalificeret ingeniør. Hemmeligheden er enklere end nogensinde - du skal yde maksimal indsats og afsætte den nødvendige mængde tid til selvforberedelse. Desværre er der endnu ingen, der har fundet på en anden måde! Men ikke alt er så overskyet, som det ser ud ved første øjekast. Hvis du kontakter vores servicewebsted med dette spørgsmål, så vil vi gøre dit liv lettere, fordi vores hjemmeside kan beregne integraler online i detaljer, med meget høj hastighed og et upåklageligt præcist svar. I sin kerne bestemmer integralet ikke, hvordan forholdet mellem argumenter påvirker stabiliteten af ​​systemet som helhed. Hvis bare alt ville være afbalanceret. Sammen med hvordan du vil lære det grundlæggende i dette matematisk emne, kan tjenesten finde integralet af enhver integrand, hvis dette integral kan løses i elementære funktioner. Ellers er det for integraler, der ikke er taget i elementære funktioner, i praksis ikke nødvendigt at finde svaret i en analytisk eller med andre ord i en eksplicit form. Alle beregninger af integraler er reduceret til definitionen antiderivat funktion fra den givne integrandfunktion. For at gøre dette skal du først beregne det ubestemte integral i henhold til alle matematikkens love online. derefter om nødvendigt erstatte de øvre og nedre værdier af integralet. Hvis du ikke skal bestemme eller beregne numerisk værdi ubestemt integral, så tilføjes en konstant til den resulterende antiafledte funktion, hvorved en familie af antiafledte funktioner defineres. Særligt sted i videnskab og generelt inden for ethvert ingeniørfelt, herunder kontinuummekanik, beskriver integration hele mekaniske systemer, deres bevægelser og meget mere. I mange tilfælde bestemmer det sammensatte integral bevægelsesloven materiale punkt. Det er et meget vigtigt værktøj i studiet af anvendt videnskab. Ud fra dette kan man ikke undgå at nævne storskalaberegninger for at bestemme eksistens- og adfærdslovene mekaniske systemer. Lommeregner til løsning af integraler online på hjemmesiden er et stærkt værktøj til professionelle ingeniører . Det garanterer vi dig bestemt, men vi vil først kunne beregne dit integral, når du har indtastet det korrekte udtryk i integrandens domæne. Vær ikke bange for at lave fejl, alt kan rettes i denne sag! Normalt kommer løsning af integraler ned på at bruge tabelfunktioner fra velkendte lærebøger eller encyklopædier. Som ethvert andet ubestemt integral vil det blive beregnet ved hjælp af standardformlen uden større kritik. Førsteårsstuderende fatter let og naturligt det materiale, de har studeret på stedet, og for dem tager det nogle gange ikke mere end to minutter at finde et integral. Og hvis en elev har lært tabellen over integraler, så kan han generelt bestemme svarene i sit hoved. Udvidelse af funktioner med variable i forhold til overflader betyder oprindeligt den korrekte vektorretning på et eller andet abscissepunkt. Den uforudsigelige opførsel af overfladelinjer tager bestemte integraler som grundlag i responskilden for matematiske funktioner. Kuglens venstre kant rører ikke cylinderen, hvori cirklen er indskrevet, hvis man ser på snittet i et plan. Summen af ​​små områder opdelt i hundredvis af stykkevis kontinuerlige funktioner er online-integralet af en given funktion. Den mekaniske betydning af integralet ligger i mange anvendte problemer, såsom bestemmelse af legemers volumen og beregning af en krops masse. Tredobbelte og dobbelte integraler er involveret i disse beregninger. Vi insisterer på, at løsningen af ​​integraler online kun udføres under opsyn af erfarne lærere og gennem adskillige kontroller. selve integralen. Vi svarer, at studerende er frie mennesker og er ganske i stand til at studere eksternt, forberede sig til en prøve eller eksamen i komfort i deres eget hjem. I løbet af få sekunder vil vores service hjælpe enhver med at beregne integralet af en given funktion over en variabel. Det opnåede resultat bør kontrolleres ved at tage derivatet af antiderivatfunktionen. I dette tilfælde bliver konstanten fra opløsningen af ​​integralet nul. Denne regel gælder naturligvis for alle. Da multidirektionelle operationer er berettigede, reduceres det ubestemte integral ofte til at opdele domænet i små dele. Nogle elever og skolebørn forsømmer dog dette krav. Som altid kan online-integraler løses i detaljer af vores servicewebsted, og der er ingen begrænsninger på antallet af anmodninger, alt er gratis og tilgængeligt for alle. Der er ikke mange sider, der giver et trin-for-trin svar på få sekunder, og vigtigst af alt med høj nøjagtighed og i en bekvem form. I det sidste eksempel på side fem lektier Jeg stødte på en, der indikerer behovet for at beregne integralet trin for trin. Men vi må ikke glemme, hvordan det er muligt at finde integralet ved hjælp af en færdiglavet service, tidstestet og testet på tusindvis af løste eksempler online. Hvordan et sådant integral bestemmer systemets bevægelse er klart og tydeligt demonstreret for os af arten af ​​bevægelsen af ​​den viskøse væske, som er beskrevet af dette ligningssystem.