Firkant buet trapez numerisk lig med et bestemt integral

Ethvert bestemt integral (der eksisterer) har en meget god geometrisk betydning. I klassen sagde jeg, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige en mere nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integral AREA.

Det er, det bestemte integral (hvis det findes) svarer geometrisk til arealet af en bestemt figur. Overvej for eksempel det bestemte integral. Integranden definerer en bestemt kurve på planet (den kan altid tegnes, hvis det ønskes), og selve det bestemte integral er numerisk lig med areal tilsvarende buet trapez.

Eksempel 1

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Først og det vigtigste øjeblik løsninger - tegning. Desuden skal tegningen være konstrueret HØJRE.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: i første omgang det er bedre at konstruere alle lige linjer (hvis de findes) og kun Derefter– parabler, hyperbler, grafer for andre funktioner. Det er mere rentabelt at bygge grafer over funktioner punkt for punkt, kan punkt-for-punkt byggeteknikken findes i referencemateriale.

Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.
Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen definerer aksen):

Jeg vil ikke udklække en buet trapez, det er tydeligt her hvad området er vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, Derfor:

Svar:

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen , se foredraget Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer , , og akse

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslen?

Eksempel 3

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjer og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez helt placeret under aksen, så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:
I dette tilfælde:

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor fra den enkleste skoleproblemer Lad os gå videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjerne, .

Løsning: Først skal du lave en tegning. Generelt set er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter, når vi konstruerer en tegning i arealproblemer. Lad os finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration er, den øvre grænse for integration er.
Det er bedre ikke at bruge denne metode, hvis det er muligt.

Det er meget mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv". Punkt-for-punkt konstruktionsteknikken for forskellige grafer er beskrevet detaljeret i hjælpen Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Og vi vil også overveje et sådant eksempel.

Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Jeg gentager, at når man konstruerer punktvis, bliver grænserne for integration oftest fundet ud af "automatisk".

Og nu arbejdsformlen: Hvis der på et segment er en eller anden kontinuerlig funktion større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion, så kan arealet af den tilsvarende figur findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, og groft sagt, det betyder noget, hvilken graf der er HØJERE(i forhold til en anden graf), og hvilken er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor er det nødvendigt at trække fra

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel over og en lige linje nedenunder.
På segmentet ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se simpelt eksempel nr. 3) særlig situation formler . Da aksen er specificeret af ligningen og grafen for funktionen er placeret under aksen, så

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af figuren afgrænset af linjerne, .

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen var udført korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed... området med den forkerte figur blev fundet, det er præcis sådan, din ydmyge tjener skruede sammen flere gange. Her reelle tilfælde fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne , , , .

Lad os først lave en tegning:

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret blå(se nøje på tilstanden - hvor er tallet begrænset!). Men i praksis opstår det på grund af uopmærksomhed ofte, at du skal finde arealet af en figur, der er skraveret grøn!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet over aksen er der en graf af en ret linje;

2) På segmentet over aksen er der en graf over en hyperbel.

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer,
Lad os præsentere ligningerne i "skole"-form og lave en punkt-for-punkt tegning:

Af tegningen fremgår det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": .
Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det? Måske ? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan godt vise sig, at... Eller roden. Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for en ret linje og en parabel.
For at gøre dette løser vi ligningen:

Derfor,.

Den videre løsning er triviel, det vigtigste er ikke at blive forvirret i substitutioner og tegn, beregningerne her er ikke de enkleste.

På segmentet , ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Nå, for at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne, ,

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For at tegne en punkt-for-punkt-tegning skal du vide udseende sinusoider (og generelt nyttige at kende grafer over alle elementære funktioner), samt nogle sinusværdier, de kan findes i trigonometrisk tabel. I nogle tilfælde (som i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her, de følger direkte af betingelsen: "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, derfor:

(1) Du kan se, hvordan sinus og cosinus er integreret i ulige potenser i lektionen Integraler fra trigonometriske funktioner . Dette er en typisk teknik, vi kniber den ene sinus af.

(2) Vi bruger den trigonometriske hovedidentitet i formularen

(3) Lad os ændre variablen, så:

Nye integrationsområder:

Enhver, der er rigtig dårlig med udskiftninger, bedes tage en lektion. Udskiftningsmetode i ubestemt integral . For dem, der ikke helt forstår udskiftningsalgoritmen i et bestemt integral, besøg siden Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Det er påkrævet at beregne arealet af en buet trapez afgrænset af lige linjer,
,
og kurve
.

Lad os opdele segmentet
dotmina elementære segmenter, længde
segment
. Lad os genoprette perpendikulære fra segmentets divisionspunkter til skæringspunktet med kurven
, lad
. Som et resultat får vi elementære trapezoider, er summen af ​​deres arealer åbenbart lig med summen af ​​et givet krumt trapez.

Lad os bestemme de største og mindste værdier af funktionen på hvert elementært interval, dette er
, på den anden
og så videre. Lad os beregne beløbene

Den første sum repræsenterer arealet af alle beskrevne, den anden er arealet af alle rektangler indskrevet i en buet trapez.

Det er klart, at den første sum giver en omtrentlig værdi af arealet af trapezoidet "med et overskud", den anden - "med en mangel". Den første sum kaldes den øvre Darboux-sum, den anden - følgelig den nedre Darboux-sum. Således er arealet af en buet trapez tilfredsstiller uligheden
. Lad os finde ud af, hvordan Darboux-summen opfører sig, når antallet af partitionspunkter for segmentet stiger
. Lad antallet af partitionspunkter stige med et, og det er i midten af ​​intervallet
.

Nu er tallet ligesom
indskrevne og omskrevne rektangler øget med én. Lad os overveje, hvordan den lavere Darboux-sum ændrede sig. I stedet for en firkant
th indskrevne rektangel, lig med
vi får summen af ​​arealer af to rektangler
, siden længden
kan ikke være mindre
den mindste værdi af funktionen ved
. På den anden side,
der kan ikke være mere
den største værdi af funktionen på intervallet
. Så tilføjelse af nye point for at opdele et segment øger værdien af ​​den nedre Darboux-sum og mindsker den øvre Darboux-sum. I dette tilfælde kan den nedre Darboux-sum, med enhver stigning i antallet af partitionspunkter, ikke overstige værdien af ​​en øvre sum, da summen af ​​arealerne af de beskrevne rektangler altid er mere end beløbet områder af rektangler indskrevet i en buet trapez.

Således stiger sekvensen af ​​lavere Darboux-summer med antallet af partitionspunkter for segmentet og er afgrænset ovenfra ifølge den velkendte sætning, den har en grænse. Denne grænse er arealet af en given buet trapez.

På samme måde falder rækkefølgen af ​​øvre Darboux-summer med stigende antal punkter for deling af intervallet og begrænses nedefra af enhver lavere Darboux-sum, hvilket betyder, at den også har en grænse, og den er også lig med arealet af den buede trapez.

Derfor er det nok at beregne arealet af en buet trapez partitioner af intervallet, bestem enten den nedre eller øvre Darboux-sum, og beregn derefter
, eller
.

En sådan løsning på problemet forudsætter dog for enhver, vilkårligt stort antal skillevægge
, at finde den største eller mindste værdi af en funktion på hvert elementært interval, hvilket er en meget arbejdskrævende opgave.

En enklere løsning opnås ved at bruge Riemann-integralsummen, som er

Hvor
et punkt af hvert elementært interval, dvs
. Som følge heraf er Riemann-integralsummen summen af ​​arealerne af alle mulige rektangler, og
. Som vist ovenfor er grænserne for de øvre og nedre Darboux-summer de samme og lig med arealet af den buede trapez. Ved at bruge en af ​​egenskaberne for grænsen for en funktion (to-politi-reglen), opnår vi det for enhver partition af segmentet
og udvælgelse af punkter Arealet af en buet trapez kan beregnes ved hjælp af formlen
.

Eksempel 1 . Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 og x = 2

Lad os konstruere en figur (se figur) Vi bygger en ret linje x + 2y – 4 = 0 ved at bruge to punkter A(4;0) og B(0;2). Ved at udtrykke y til x får vi y = -0,5x + 2. Ved hjælp af formel (1), hvor f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finder vi

S = = [-0,25=11,25 kvm. enheder

Eksempel 2. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 og y = 0.

Løsning. Lad os konstruere figuren.

Lad os konstruere en ret linje x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Lad os konstruere en ret linje x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Lad os finde skæringspunktet for linjerne ved at løse ligningssystemet:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

For at beregne det nødvendige areal opdeler vi trekanten AMC i to trekanter AMN og NMC, da når x ændres fra A til N, er arealet begrænset af en ret linje, og når x ændres fra N til C - af en ret linje

For trekant AMN har vi: ; y = 0,5x + 2, dvs. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

For trekant NMC har vi: y = - x + 5, dvs. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Ved at beregne arealet af hver trekant og tilføje resultaterne finder vi:

sq. enheder

sq. enheder

9 + 4, 5 = 13,5 kvm. enheder Tjek: = 0,5 AC = 0,5 kvm. enheder

Eksempel 3. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

I dette tilfælde skal du beregne arealet af en buet trapez afgrænset af parablen y = x 2 , rette linjer x = 2 og x = 3 og Ox-aksen (se figur) Ved hjælp af formel (1) finder vi arealet af den buede trapezoide

= = 6 kvm. enheder

Eksempel 4. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = - x 2 + 4 og y = 0

Lad os konstruere figuren. Det nødvendige areal er indesluttet mellem parablen y = - x 2 + 4 og okseaksen.

Lad os finde skæringspunkterne for parablen med Ox-aksen. Hvis vi antager y = 0, finder vi x = Da denne figur er symmetrisk om Oy-aksen, beregner vi arealet af figuren placeret til højre for Oy-aksen, og fordobler det opnåede resultat: = +4x]sq. enheder 2 = 2 kvm. enheder

Eksempel 5. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her skal du beregne arealet af en buet trapez afgrænset af den øvre gren af ​​parablen 2 = x, Ox-akse og rette linjer x = 1 og x = 4 (se figur)

Ifølge formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheder.

Eksempel 6 . Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det påkrævede område er begrænset af halvbølgen af ​​sinus- og okseaksen (se figur).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheder

Eksempel 7. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er placeret under Ox-aksen (se figur).

Derfor finder vi dets areal ved hjælp af formel (3)

= =

Eksempel 8. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = og x = 2. Konstruer y = kurven ud fra punkterne (se figur). Således finder vi arealet af figuren ved hjælp af formel (4)

Eksempel 9 .

x 2 + y 2 = r 2 .

Her skal du beregne arealet omgivet af cirklen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet af en cirkel med radius r med centrum i origo. Lad os finde den fjerde del af dette område ved at tage grænserne for integration fra 0

Før; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer: y= x 2 og y = 2x

Denne figur begrænset af parablen y=x 2 og den rette linje y = 2x (se figur) For at bestemme skæringspunkterne for de givne linjer løser vi ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved at bruge formel (5) til at finde området, får vi

= }