Antiderivat område af en krumt trapez. Online lommeregner Beregn det bestemte integral (arealet af en buet trapez).

Lad os betragte en buet trapez afgrænset af Ox-aksen, kurven y=f(x) og to rette linjer: x=a og x=b (fig. 85). Lad os tage en vilkårlig værdi af x (bare ikke a og ikke b). Lad os give det en stigning h = dx og betragte en strimmel afgrænset af rette linjer AB og CD, Ox-aksen og buen BD, der hører til den betragtede kurve. Vi vil kalde denne strimmel en elementær strimmel. Arealet af en elementær strimmel adskiller sig fra arealet af rektanglet ACQB med den buede trekant BQD, og arealet af sidstnævnte er mindre end arealet af rektanglet BQDM med siderne BQ = =h= dx) QD=Ay og areal lig med hAy = Ay dx. Efterhånden som side h falder, falder side Du også og har samtidig en tendens til nul. Derfor er arealet af BQDM andenordens uendeligt lille. Arealet af en elementær strimmel er tilvæksten af arealet, og arealet af rektanglet ACQB, lig med AB-AC ==/(x) dx> er arealets differens. Derfor finder vi selve området ved at integrere dets differentiale. Inden for den betragtede figur ændres den uafhængige variabel l: fra a til b, så det nødvendige areal 5 vil være lig med 5= \f(x) dx. (I) Eksempel 1. Lad os beregne arealet afgrænset af parablen y - 1 -x*, rette linjer X =--Fj-, x = 1 og O*-aksen (fig. 86). ved Fig. 87. Fig. 86. 1 Her f(x) = 1 - l?, grænserne for integration er a = - og £ = 1, derfor J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Eksempel 2. Lad os beregne arealet begrænset af sinusformen y = sinXy, Ox-aksen og den rette linje (fig. 87). Ved at anvende formel (I) får vi A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Eksempel 3. Beregn arealet begrænset af buen af sinusoiden ^у = sin jc, indesluttet mellem to tilstødende skæringspunkter med Ox-aksen (f.eks. mellem origo og punktet med abscissen i). Bemærk, at det ud fra geometriske overvejelser er klart, at dette område vil være dobbelt så stort som det foregående eksempel. Men lad os lave beregningerne: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Vores antagelse viste sig faktisk at være korrekt. Eksempel 4. Beregn arealet afgrænset af sinus- og Ox-aksen i én periode (fig. 88). Foreløbige beregninger tyder på, at arealet vil være fire gange større end i eksempel 2. Men efter at have foretaget beregninger får vi "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dette resultat kræver afklaring. For at afklare sagens essens beregner vi også arealet begrænset af den samme sinusform y = sin l: og Ox-aksen i området fra l til 2i. Ved at anvende formel (I) får vi 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Vi ser således, at dette område viste sig at være negativt. Sammenligner vi det med arealet beregnet i øvelse 3, finder vi, at deres absolutte værdier er de samme, men fortegnene er forskellige. Hvis vi anvender egenskab V (se kapitel XI, § 4), får vi 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Det, der skete i dette eksempel, er ikke et uheld. Altid området placeret under Ox-aksen, forudsat at den uafhængige variabel ændres fra venstre mod højre, opnås, når den beregnes ved hjælp af integraler. På dette kursus vil vi altid overveje områder uden skilte. Derfor vil svaret i det netop omtalte eksempel være: det nødvendige areal er 2 + |-2| = 4. Eksempel 5. Lad os beregne arealet af BAB vist i fig. 89. Dette område er begrænset af Ox-aksen, parablen y = - xr og den rette linje y - = -x+\. Areal af en buet trapez Det nødvendige område OAB består af to dele: OAM og MAV. Da punkt A er skæringspunktet for en parabel og en ret linje, finder vi dets koordinater ved at løse ligningssystemet 3 2 Y = mx. (vi skal kun finde abscissen af punkt A). Løser vi systemet, finder vi l; = ~. Derfor skal arealet beregnes i dele, første kvadrat. OAM og derefter pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x sq. enheder 2 = 2 kvm. enheder

Eksempel 5. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her skal du beregne arealet af en buet trapez afgrænset af den øvre gren af parablen 2 = x, akse Ox og rette linjer x = 1 и x = 4 (se figur)

Ifølge formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheder.

Eksempel 6 . Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det påkrævede område er begrænset af halvbølgen af sinus- og okseaksen (se figur).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheder

Eksempel 7. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er placeret under Ox-aksen (se figur).

Derfor finder vi dets areal ved hjælp af formel (3)

= =

Eksempel 8. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = og x = 2. Konstruer y = kurven ud fra punkterne (se figur). Således finder vi arealet af figuren ved hjælp af formel (4)

Eksempel 9 .

x 2 + y 2 = r 2 .

Her skal du beregne arealet omgivet af cirklen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet af en cirkel med radius r med centrum i origo. Lad os finde den fjerde del af dette område ved at tage grænserne for integration fra 0

Før; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer: y= x 2 og y = 2x

Dette tal er begrænset af parablen y = x 2 og den rette linje y = 2x (se figur) For at bestemme skæringspunkterne for de givne linjer løser vi ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved at bruge formel (5) til at finde området, får vi

= arealet af den buede trapez dannet af funktionen f, er lig med stigningen af antiderivatet af denne funktion:

Øvelse 1:

Find arealet af en buet trapez afgrænset af grafen for funktionen: f(x) = x 2 og lige y = 0, x = 1, x = 2.

Løsning: ( ifølge algoritmen slide 3)

Lad os tegne en graf over funktionen og linjerne

Lad os finde en af funktionens antiderivater f(x) = x 2 :

Slide selvtest

Integral

Overvej en kurvelineær trapezoid defineret af funktionen f på segmentet [ en; b]. Lad os opdele dette segment i flere dele. Arealet af hele trapezoidet vil blive opdelt i summen af arealer af mindre buede trapezoider. ( slide 5). Hver sådan trapez kan omtrent betragtes som et rektangel. Summen af arealerne af disse rektangler giver en omtrentlig idé om hele arealet af den buede trapez. Jo mindre vi deler segmentet [ en; b], jo mere nøjagtigt beregner vi arealet.

Lad os skrive disse argumenter i form af formler.

Del segmentet [ en; b] i n dele med prikker x 0 =a, x1,...,xn = b. Længde k- th betegne med xk = xk – xk-1. Lad os lave en sum

Geometrisk repræsenterer denne sum arealet af figuren, der er skraveret i figuren ( sh.m.)

Summer af formen kaldes integralsummer for funktionen f. (sh.m.)

Integrale summer giver en omtrentlig værdi af arealet. Den nøjagtige værdi opnås ved at gå til grænsen. Lad os forestille os, at vi forfiner segmentets partition [ en; b] således at længderne af alle små segmenter har en tendens til nul. Derefter vil området af den sammensatte figur nærme sig området af den buede trapez. Vi kan sige, at arealet af en buet trapez er lig med grænsen for integral summer, Sc.t. (sh.m.) eller integral, dvs.

Definition:

Integral af en funktion f(x) fra -en Før b kaldet grænsen for integralsummer

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formel.

Vi husker, at grænsen for integralsummer er lig med arealet af en kurvelineær trapez, hvilket betyder, at vi kan skrive:

Sc.t. = (sh.m.)

På den anden side beregnes arealet af en buet trapez ved formlen

S k.t. (sh.m.)

Ved at sammenligne disse formler får vi:

= (sh.m.)

Denne lighed kaldes Newton-Leibniz-formlen.

For at lette beregningen er formlen skrevet som:

= = (sh.m.)

Opgaver: (sh.m.)

1. Beregn integralet ved hjælp af Newton-Leibniz formlen: ( tjek på slide 5)

2. Komponer integraler i henhold til tegningen ( tjek på slide 6)

3. Find arealet af figuren afgrænset af linjerne: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Find områderne af flyvefigurer ( slide 8)

Hvordan finder man arealet af figurer, der ikke er buede trapezoider?

Lad der gives to funktioner, hvis grafer du ser på sliden . (sh.m.) Find området af den skraverede figur . (sh.m.). Er den pågældende figur en buet trapez? Hvordan kan du finde dets areal ved hjælp af egenskaben additivitet af areal? Overvej to buede trapezoider og træk arealet af den anden fra arealet af den ene af dem ( sh.m.)

Lad os oprette en algoritme til at finde området ved hjælp af animation på et dias:

Graffunktioner
Projicér grafernes skæringspunkter på x-aksen
Skygge den figur, der opnås, når graferne skærer hinanden
Find kurvelineære trapezoider, hvis skæringspunkt eller forening er den givne figur.
Beregn arealet af hver af dem
Find forskellen eller summen af arealer

Mundtlig opgave: Sådan opnås arealet af en skraveret figur (fortælle ved hjælp af animation, slide 8 og 9)

Lektier: Gennemfør noterne, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografi

Algebra og analysens begyndelse: en lærebog for klasse 9-11 i aften (skifte)skole / red. G.D. Glaser. - M: Oplysning, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra og begyndelsen af analysen: en lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet / Bashmakov M.I. - M: Oplysning, 1991.
Bashmakov M.I. Matematik: lærebog for institutioner begynder. og onsdag prof. uddannelse / M.I. Bashmakov. - M: Akademiet, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra og begyndelsen af analyse: lærebog for klasse 10-11. uddannelsesinstitutioner / A.N. Kolmogorov. - M: Uddannelse, 2010.
Ostrovsky S.L. Hvordan laver man en præsentation til en lektion?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1. september 2010.

Færdige arbejder

GRAD VIRKER

Meget er allerede gået, og nu er du færdiguddannet, hvis du selvfølgelig skriver dit speciale til tiden. Men livet er sådan noget, at det først nu bliver klart for dig, at efter at være ophørt med at være studerende, vil du miste alle de studerendes glæder, hvoraf mange du aldrig har prøvet, udsætte alt og udsætte det til senere. Og nu, i stedet for at indhente det, arbejder du på dit speciale? Der er en fremragende løsning: download det speciale, du har brug for, fra vores hjemmeside - og du vil øjeblikkeligt have en masse fritid!
Specialer er blevet forsvaret med succes på førende universiteter i Republikken Kasakhstan.
Udgifter til arbejde fra 20.000 tenge

KURSUS VIRKER

Kursusprojektet er det første seriøse praktiske arbejde. Det er med skrivningen af kurser, at forberedelsen til udviklingen af diplomprojekter begynder. Hvis en studerende lærer at præsentere indholdet af et emne korrekt i et kursusprojekt og formatere det kompetent, så vil han i fremtiden ikke have problemer med at skrive rapporter, sammensætte specialer eller udføre andre praktiske opgaver. For at hjælpe eleverne med at skrive denne type elevarbejde og for at afklare spørgsmål, der opstår under forberedelsen, blev denne informationssektion faktisk oprettet.
Udgifter til arbejde fra 2.500 tenge

MASTERAFhandlinger

I øjeblikket, i videregående uddannelsesinstitutioner i Kasakhstan og CIS-landene, er niveauet for videregående faglig uddannelse, der følger efter en bachelorgrad, en mastergrad. På kandidatuddannelsen studerer de studerende med det formål at opnå en kandidatgrad, som er anerkendt i de fleste lande i verden mere end en bachelorgrad, og som også er anerkendt af udenlandske arbejdsgivere. Resultatet af kandidatstudier er forsvaret af en kandidatafhandling.
Vi vil give dig opdateret analytisk og tekstmateriale. Prisen inkluderer 2 videnskabelige artikler og et abstract.
Udgifter til arbejde fra 35.000 tenge

PRAKTISK RAPPORTER

Efter at have gennemført enhver form for studerende praktik (uddannelse, industriel, pre-graduation), er en rapport påkrævet. Dette dokument vil være en bekræftelse af den studerendes praktiske arbejde og grundlaget for at danne en vurdering til praksis. Normalt skal du for at udarbejde en rapport om et praktikophold indsamle og analysere oplysninger om virksomheden, overveje strukturen og arbejdsrutinen i den organisation, hvor praktikken foregår, udarbejde en kalenderplan og beskrive din praktiske aktiviteter.
Vi hjælper dig med at skrive en rapport om dit praktikophold under hensyntagen til detaljerne i aktiviteterne i en bestemt virksomhed.