Et af de vigtigste kendetegn i algebra, og i al matematik, er grad. Selvfølgelig kan alle beregninger i det 21. århundrede laves på en online lommeregner, men det er bedre for hjernens udvikling at lære at gøre det selv.

I denne artikel vil vi overveje de vigtigste spørgsmål vedrørende denne definition. Lad os nemlig forstå, hvad det er generelt, og hvad dets hovedfunktioner er, hvilke egenskaber der er i matematik.

Lad os se på eksempler på, hvordan regnestykket ser ud, og hvad de grundlæggende formler er. Lad os se på hovedtyperne af mængder, og hvordan de adskiller sig fra andre funktioner.

Lad os forstå, hvordan man løser forskellige problemer ved hjælp af denne mængde. Vi vil med eksempler vise, hvordan man hæver til nulstyrken, irrationel, negativ osv.

Online eksponentieringsberegner

Hvad er en potens af et tal

Hvad menes med udtrykket "hæve et tal til en magt"?

Potensen n af et tal er produktet af størrelsesfaktorer n gange i træk.

Matematisk ser det sådan ud:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 for at trin. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 for at trin. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 i 5 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100.000;
• 10 4 = 10 i 4 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.

Nedenfor er en tabel med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabel over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultaterne af at hæve naturlige tal til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. st.	3. etape
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Egenskaber for grader

Hvad er karakteristisk for sådan en matematisk funktion? Lad os se på de grundlæggende egenskaber.

Forskere har fastslået følgende tegn, der er karakteristiske for alle grader:

• an*am = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

Lad os tjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den anden side er 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hvad hvis det er anderledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, virker reglerne.

Men hvad med med addition og subtraktion? Det er enkelt. Først udføres eksponentiering og derefter addition og subtraktion.

Lad os se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Bemærk venligst: reglen gælder ikke, hvis du trækker først: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Men i dette tilfælde skal du først beregne tilføjelsen, da der er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan man producerer beregninger i mere svære sager ? Rækkefølgen er den samme:

• hvis der er beslag, skal du starte med dem;
• derefter eksponentiering;
• udfør derefter operationerne multiplikation og division;
• efter addition, subtraktion.

Spise specifikke egenskaber, ikke typisk for alle grader:

1. Den n-te rod af tallet a til graden m vil blive skrevet som: a m / n.
2. Når du hæver en brøk til en potens: både tælleren og dens nævner er underlagt denne procedure.
3. Når man bygger et værk forskellige tal til en potens, vil udtrykket svare til produktet af disse tal til den givne potens. Det vil sige: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hæver et tal til en negativ potens, skal du dividere 1 med et tal i samme århundrede, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nævneren af ​​en brøk er in negativ grad, så vil dette udtryk være lig med produktet af tælleren og nævneren til en positiv potens.
6. Ethvert tal i potensen 0 = 1 og i potensen. 1 = til dig selv.

Disse regler er vigtige i nogle tilfælde, vi vil overveje dem mere detaljeret nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hvad skal man gøre med en minusgrad, dvs. når indikatoren er negativ?

Baseret på egenskab 4 og 5(se punkt ovenfor), viser det sig:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Og omvendt:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Hvad hvis det er en brøkdel?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Grad med naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lig med heltal.

Ting at huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Derudover, hvis (-a) 2 n +2, n=0, 1, 2... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tal hæves til en ulige potens, så omvendt.

Generelle egenskaber og alle de specifikke funktioner beskrevet ovenfor er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne type kan skrives som et skema: A m / n. Læs som: den n'te rod af tallet A i potensen m.

Du kan gøre, hvad du vil med en brøkindikator: reducere den, opdele den i dele, hæve den til en anden magt osv.

Grad med irrationel eksponent

Lad α være et irrationelt tal og A ˃ 0.

For at forstå essensen af ​​en grad med en sådan indikator, Lad os se på forskellige mulige tilfælde:

• A = 1. Resultatet vil være lig med 1. Da der er et aksiom - er 1 i alle potenser lig med en;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – rationelle tal;

• 0˂А˂1.

I dette tilfælde er det omvendt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 under samme betingelser som i andet afsnit.

For eksempel er eksponenten tallet π. Det er rationelt.

r 1 - i dette tilfælde er lig med 3;

r 2 – vil være lig med 4.

Så for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, derefter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, derefter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Sådanne grader er karakteriseret ved alle de matematiske operationer og specifikke egenskaber beskrevet ovenfor.

Konklusion

Lad os opsummere - hvad er disse mængder nødvendige til, hvad er fordelene ved sådanne funktioner? Selvfølgelig forenkler de først og fremmest matematikeres og programmørers liv, når de løser eksempler, da de giver dem mulighed for at minimere beregninger, forkorte algoritmer, systematisere data og meget mere.

Hvor ellers kan denne viden være nyttig? Inden for ethvert arbejdsspeciale: medicin, farmakologi, tandpleje, konstruktion, teknologi, teknik, design osv.

Gradsformler bruges i processen med at reducere og forenkle komplekse udtryk, ved løsning af ligninger og uligheder.

Antal c er n-te potens af et tal -en Når:

Operationer med grader.

1. Ved at gange grader med den samme base tilføjes deres indikatorer:

en m·a n = a m + n .

2. Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra:

3. Effekt af produktet af 2 eller mere faktorer er lig med produktet af styrkerne af disse faktorer:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Graden af ​​en brøk er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet og divisoren:

(a/b) n = a n/b n .

5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:

(a m) n = a m n .

Hver formel ovenfor er sand i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.

F.eks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationer med rødder.

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​et forhold er lig med forholdet mellem udbyttet og divisor af rødderne:

3. Når du hæver en rod til en magt, er det nok at hæve det radikale tal til denne magt:

4. Hvis du øger graden af ​​roden ind nén gang og samtidig bygge ind n th potens er et radikalt tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis du reducerer graden af ​​roden ind n udtræk roden på samme tid n-potens af et radikalt tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

En grad med negativ eksponent. Potensen af ​​et bestemt tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med potensen af ​​det samme tal med en eksponent lig med absolut værdi ikke-positiv indikator:

Formel en m:a n =a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også med m< n.

F.eks. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n =a m - n blev fair når m=n, tilstedeværelsen af ​​nul grader er påkrævet.

En grad med et nulindeks. Potensen af ​​ethvert tal, der ikke er lig med nul med en nuleksponent, er lig med en.

F.eks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. At hæve et reelt tal EN i den grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m-potens af dette tal EN.

Lektionstype: lektion om generalisering og systematisering af viden

Mål:

• pædagogisk– gentage definitionen af ​​en grad, reglerne for at gange og dividere grader, hæve en grad til en potens, konsolidere færdighederne til at løse eksempler, der indeholder grader,
• udvikle sig- udvikling logisk tænkning studerende, interesse for det materiale, der studeres,
• hæve– at fremme en ansvarlig holdning til læring, en kommunikationskultur og en følelse af kollektivisme.

Udstyr: computer, multimedieprojektor, interaktiv tavle, præsentation af "Grader" til mundtlig udregning, opgavekort, uddelingskopier.

Lektionsplan:

1. Organisatorisk øjeblik.
2. Gentagelse af regler
3. Mundtlig tælling.
4. Historiske oplysninger.
5. Arbejde i bestyrelsen.
6. Idrætsminut.
7. Arbejder på en interaktiv tavle.
8. Selvstændigt arbejde.
9. Lektier.
10. Opsummering af lektionen.

Lektionens fremskridt

I. Organisatorisk øjeblik

Kommuniker emnet og målene for lektionen.

I tidligere lektioner opdagede du fantastiske verden grader, lært at gange og dividere grader og hæve dem til en potens. I dag skal vi konsolidere den tilegnede viden ved at løse eksempler.

II. Gentagelse af regler(mundtligt)

1. Giv definitionen af ​​grad med en naturlig eksponent? (Talets magt EN med en naturlig eksponent større end 1 kaldes et produkt n faktorer, som hver er ens EN.)
2. Hvordan ganges to potenser? (For at gange potenser med de samme grundtal, skal du lade grundtallet være det samme og tilføje eksponenterne.)
3. Hvordan deler man grad for grad? (For at dividere potenser med de samme grundtal, skal du lade grundtallet være det samme og trække eksponenterne fra.)
4. Hvordan hæver man et produkt til en magt? (For at hæve et produkt til en magt, skal du hæve hver faktor til den magt)
5. Hvordan hæver man en grad til en magt? (For at hæve en potens til en potens, skal du lade grundtallet være det samme og gange eksponenterne)

III. Mundtlig tælling(via multimedie)

IV. Historisk baggrund

Alle problemer er fra Ahmes-papyrusen, som blev skrevet omkring 1650 f.Kr. e. relateret til byggepraksis, afgrænsning af grunde etc. Opgaverne er grupperet efter emne. Det er hovedsageligt opgaver med at finde arealer af en trekant, firkanter og en cirkel, forskellige operationer med heltal og brøker, proportional division, finde forhold, der er også hævning i forskellige grader, løsning af ligninger af første og anden grad med en ukendt.

Der er fuldstændig mangel på forklaring eller beviser. Det ønskede resultat gives enten direkte eller en kort algoritme til at beregne det. Denne metode til præsentation, typisk for videnskab i lande oldtidens øst, tyder på, at matematikken dér udviklede sig gennem generaliseringer og gæt, der ikke dannede nogen generel teori. Papyrusen indeholder dog en række beviser på, at egyptiske matematikere vidste, hvordan man udtrækker rødder og hæver til magter, løser ligninger og endda mestrede algebraens grundprincipper.

V. Arbejde i bestyrelsen

Find betydningen af ​​udtrykket på en rationel måde:

Beregn værdien af ​​udtrykket:

VI. Idrætsminut

1. for øjnene
2. for nakken
3. for hænder
4. for torsoen
5. for fødder

VII. Problemløsning(med visning på den interaktive tavle)

Er roden af ​​ligningen et positivt tal?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Selvstændigt arbejde

IX. Lektier

X. Opsummering af lektionen

Analyse af resultater, offentliggørelse af karakterer.

Vi vil bruge den tilegnede viden om grader, når vi løser ligninger og problemer i gymnasiet, de findes også ofte i Unified State Exam.

Gå til youtube-kanalen på vores hjemmeside for at holde dig opdateret med alle de nye videolektioner.

Lad os først huske de grundlæggende formler for magter og deres egenskaber.

Produkt af et nummer -en forekommer på sig selv n gange, kan vi skrive dette udtryk som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens- eller eksponentialligninger– det er ligninger, hvor variablerne er i potenser (eller eksponenter), og grundfladen er et tal.

Eksempler eksponentielle ligninger:

I i dette eksempel tallet 6 er basen, det er altid nederst og variablen x grad eller indikator.

Lad os give flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Lad os nu se på, hvordan eksponentielle ligninger løses?

Lad os tage en simpel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksempel kan løses selv i dit hoved. Det kan ses, at x=3. Når alt kommer til alt, for at venstre og højre side skal være ens, skal du sætte tallet 3 i stedet for x.
Lad os nu se, hvordan man formaliserer denne beslutning:

2 x = 2 3
x = 3

For at løse sådan en ligning fjernede vi identiske grunde(altså toere) og skrev ned hvad der var tilbage, det er grader. Vi fik det svar, vi ledte efter.

Lad os nu opsummere vores beslutning.

Algoritme til løsning af eksponentialligningen:
1. Skal tjekkes identisk om ligningen har baser til højre og venstre. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at baserne er blevet de samme, sidestille grader og løs den resulterende nye ligning.

Lad os nu se på et par eksempler:

Lad os starte med noget simpelt.

Baserne på venstre og højre side er lig med tallet 2, hvilket betyder, at vi kan kassere basen og sidestille deres potenser.

x+2=4 Den enkleste ligning opnås.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I det følgende eksempel kan du se, at baserne er forskellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flyt først de ni til højre, så får vi:

Nu skal du lave de samme bunde. Vi ved, at 9=3 2. Lad os bruge potensformlen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu er det klart, at på venstre og højre side er baserne ens og lig med tre, hvilket betyder, at vi kan kassere dem og sidestille graderne.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligning
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Lad os se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først og fremmest ser vi på baserne, base to og fire. Og vi har brug for, at de er de samme. Vi transformerer de fire ved at bruge formlen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruger også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tilføj til ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav et eksempel af samme årsager. Men andre tal 10 og 24 generer os. Hvad skal vi gøre med dem? Hvis du ser godt efter kan du se, at vi i venstre side har 2 2x gentaget, her er svaret - vi kan sætte 2 2x ud af parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lad os beregne udtrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerer hele ligningen med 6:

Lad os forestille os 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er ens, vi kasserer dem og sætter lighedstegn mellem graderne.
2x = 2 er den enkleste ligning. Divider det med 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Lad os løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lad os konvertere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Vores baser er de samme, lig med tre. I dette eksempel kan du se, at de tre første har en grad to gange (2x) end den anden (kun x). I dette tilfælde kan du løse udskiftningsmetode. Vi erstatter tallet med den mindste grad:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får andengradsligning. Løser vi gennem diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vender tilbage til variablen x.

Tag t 1:
t1 = 9 = 3 x

Derfor,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På hjemmesiden kan du stille alle de spørgsmål, du måtte have i sektionen HJÆLP BESLUT, vi vil helt sikkert svare dig.

Deltag i gruppen

Indgangsniveau

Grad og dens egenskaber. Omfattende guide (2019)

Hvorfor er der behov for grader? Hvor skal du bruge dem? Hvorfor skal du tage dig tid til at studere dem?

At lære alt om grader, hvad de er til, hvordan du bruger din viden til hverdagen læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil viden om grader bringe dig tættere på vellykket afslutning OGE eller Unified State Exam og optagelse på dit drømmeuniversitet.

Lad os gå... (Lad os gå!)

Vigtig bemærkning! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. For at gøre dette skal du trykke på CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

INDGANGSNIVEAU

Eksponentiering er en matematisk operation ligesom addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt på menneskeligt sprog på meget simple eksempler. Vær forsigtig. Eksemplerne er elementære, men forklarer vigtige ting.

Lad os starte med tilføjelse.

Der er ikke noget at forklare her. Du ved allerede alt: vi er otte. Hver person har to flasker cola. Hvor meget cola er der? Det er rigtigt - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme eksempel med cola kan skrives anderledes: . Matematikere er snedige og dovne mennesker. De bemærker først nogle mønstre og finder derefter ud af en måde at "tælle" dem hurtigere på. I vores tilfælde bemærkede de, at hver af de otte personer havde det samme antal colaflasker og fandt på en teknik kaldet multiplikation. Enig, det anses for nemmere og hurtigere end.

Så for at tælle hurtigere, nemmere og uden fejl, skal du bare huske multiplikationstabel. Selvfølgelig kan du gøre alt langsommere, sværere og med fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og en anden, smukkere en:

Hvilke andre smarte tælletricks har dovne matematikere fundet på? højre - hæve et tal til en magt.

At hæve et tal til en magt

Hvis du skal gange et tal med sig selv fem gange, så siger matematikere, at du skal hæve det tal til femte potens. For eksempel. Matematikere husker, at to til femte potens er... Og de løser sådanne problemer i deres hoveder - hurtigere, nemmere og uden fejl.

Alt du skal gøre er husk, hvad der er fremhævet med farve i tabellen over talmagter. Tro mig, dette vil gøre dit liv meget lettere.

Forresten, hvorfor kaldes det anden grad? firkant tal, og den tredje - terning? Hvad betyder det? Meget godt spørgsmål. Nu vil du have både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

Lad os starte med kvadratet eller anden potens af tallet.

Forestil dig et kvadratisk bassin, der måler en meter gange en meter. Poolen er på din dacha. Det er varmt, og jeg vil rigtig gerne svømme. Men... poolen har ingen bund! Du skal dække bunden af ​​poolen med fliser. Hvor mange fliser har du brug for? For at bestemme dette skal du kende poolens bundområde.

Du kan blot ved at pege fingeren beregne, at bunden af ​​bassinet består af meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter gange en meter, skal du bruge brikker. Det er nemt... Men hvor har du set sådanne fliser? Flisen vil højst sandsynligt være cm for cm Og så vil du blive tortureret ved at "tælle med din finger." Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af ​​poolen vil vi montere fliser (stykker) og på den anden side også fliser. Gang med og du får fliser ().

Har du bemærket, at for at bestemme arealet af poolbunden multiplicerede vi det samme tal med sig selv? Hvad betyder det? Da vi multiplicerer det samme tal, kan vi bruge "eksponentierings"-teknikken. (Selvfølgelig, når du kun har to tal, skal du stadig gange dem eller hæve dem til en potens. Men hvis du har mange af dem, så er det meget nemmere at hæve dem til en potens, og der er også færre fejl i beregningerne For Unified State-eksamenen er dette meget vigtigt).
Så tredive til anden potens vil være (). Eller vi kan sige, at tredive kvadrat vil være. Med andre ord kan anden potens af et tal altid repræsenteres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser et kvadrat, er det ALTID anden potens af et tal. Et kvadrat er et billede af anden potens af et tal.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en opgave til dig: tæl hvor mange felter der er på skakbrættet ved at bruge kvadratet af tallet... På den ene side af cellerne og også på den anden side. For at beregne deres antal skal du gange otte med otte eller... hvis du bemærker, at et skakbræt er en firkant med en side, så kan du kvadre otte. Du får celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nu terningen eller tredje potens af et tal. Den samme pool. Men nu skal du finde ud af, hvor meget vand der skal hældes i denne pool. Du skal beregne volumen. (Mængder og væsker måles i øvrigt i kubikmeter. Uventet, ikke?) Tegn en pool: Bunden er en meter stor og en meter dyb, og prøv at regne ud, hvor mange terninger der måler en meter gange en meter vil passer ind i din pool.

Bare peg fingeren og tæl! En, to, tre, fire...toogtyve, treogtyve...Hvor mange fik du? Ikke tabt? Er det svært at tælle med fingeren? Det er det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, så de bemærkede, at for at beregne poolens volumen skal du gange dens længde, bredde og højde med hinanden. I vores tilfælde vil puljens volumen være lig med terninger... Nemmere, ikke?

Forestil dig nu, hvor dovne og snedige matematikere er, hvis de også forenklede dette. Vi reducerede alt til én handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er ens, og at det samme tal ganges med sig selv... Hvad betyder det? Det betyder, at du kan drage fordel af graden. Så hvad du engang talte med din finger, gør de i én handling: tre terninger er lig. Det er skrevet sådan her:.

Det eneste der er tilbage er husk gradertabellen. Medmindre du selvfølgelig er lige så doven og snu som matematikere. Hvis du kan lide at arbejde hårdt og lave fejl, kan du fortsætte med at tælle med fingeren.

Nå, for endelig at overbevise dig om, at grader blev opfundet af quittere og snedige mennesker for at løse deres egne livsproblemer, og ikke for at skabe problemer for dig, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begyndelsen af ​​hvert år, for hver million du tjener, tjener du endnu en million. Det vil sige, at hver million du har fordobles i begyndelsen af ​​hvert år. Hvor mange penge vil du have om år? Hvis du nu sidder og "tæller med fingeren", så er du et meget hårdtarbejdende menneske og... dum. Men højst sandsynligt giver du et svar om et par sekunder, for du er klog! Så i det første år - to ganget med to... i det andet år - hvad skete der, med to mere, i det tredje år... Stop! Du har bemærket, at tallet ganges med sig selv gange. Så to til femte potens er en million! Forestil dig nu, at du har en konkurrence, og den, der kan tælle hurtigst, vil få disse millioner... Det er værd at huske tallenes magt, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begyndelsen af ​​hvert år tjener du to mere for hver million du tjener. Fantastisk er det ikke? Hver million er tredoblet. Hvor mange penge vil du have om et år? Lad os tælle. Det første år - gange med, så resultatet med et andet... Det er allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: tre ganges med sig selv gange. Så i fjerde potens er det lig med en million. Du skal bare huske, at tre til fjerde potens er eller.

Nu ved du, at ved at hæve et tal til en magt, vil du gøre dit liv meget lettere. Lad os se nærmere på, hvad du kan gøre med grader, og hvad du har brug for at vide om dem.

Begreber og begreber... for ikke at blive forvirrede

Så lad os først definere begreberne. Tror du hvad er en eksponent? Det er meget enkelt - det er tallet, der er "øverst" af tallets potens. Ikke videnskabeligt, men klart og let at huske...

Nå, på samme tid, hvad sådan et gradsgrundlag? Endnu enklere - dette er nummeret, der er placeret nedenfor, i bunden.

Her er en tegning for god ordens skyld.

Vel inde generel opfattelse, for at generalisere og bedre huske... En grad med en base " " og en eksponent " " læses som "i graden" og skrives som følger:

Potens for et tal med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gættet: fordi eksponenten er naturligt tal. Ja, men hvad er det naturligt tal? Elementært! Naturlige tal er de tal, der bruges til at tælle, når man opregner objekter: en, to, tre... Når vi tæller objekter, siger vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv." Vi siger heller ikke: "en tredjedel" eller "nul komma fem". Det er ikke naturlige tal. Hvilke tal tror du, det er?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tal. Generelt omfatter heltal alle naturlige tal, tal modsat naturlige tal (det vil sige taget med et minustegn) og tal. Nul er let at forstå – det er, når der ikke er noget. Hvad betyder negative (“minus”) tal? Men de blev først og fremmest opfundet for at angive gæld: Hvis du har en saldo på din telefon i rubler, betyder det, at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rationelle tal. Hvordan er de opstået, tror du? Meget simpelt. For flere tusinde år siden opdagede vores forfædre, at de manglede naturlige tal til at måle længde, vægt, areal osv. Og de fandt på rationelle tal... Interessant, ikke?

Der er også irrationelle tal. Hvad er disse tal? Kort sagt uendelig decimal. For eksempel, hvis du dividerer omkredsen af ​​en cirkel med dens diameter, får du et irrationelt tal.

Genoptage:

Lad os definere begrebet en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

1. Ethvert tal i første potens er lig med sig selv:
2. At kvadrere et tal betyder at gange det med sig selv:
3. At kubere et tal betyder at gange det med sig selv tre gange:

Definition. At hæve et tal til en naturlig potens betyder at gange tallet med sig selv gange:
.

Egenskaber for grader

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg skal vise dig det nu.

Lad os se: hvad er det Og ?

Per definition:

Hvor mange multiplikatorer er der i alt?

Det er meget enkelt: Vi tilføjede multiplikatorer til faktorerne, og resultatet var multiplikatorer.

Men per definition er dette en potens af et tal med en eksponent, det vil sige: , hvilket er det, der skulle bevises.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde!
Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

kun for kræfternes produkt!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

2. det er det potens af et tal

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt:

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive?

Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad eksponenten skal være.

Men hvad skal grundlaget være?

I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer. Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige.

Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den simple regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Altså eller. Men hvis vi ganger med, virker det.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarede du dig?

Her er svarene: I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt!

6 eksempler til praksis

Analyse af løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Så kan du huske? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne reglen gælde.

Men hvordan gør man dette? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Hel vi kalder de naturlige tal, deres modsætninger (det vil sige taget med tegnet " ") og tallet.

positivt heltal, og det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:

Lad os som altid spørge os selv: hvorfor er det sådan?

Lad os overveje en vis grad med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med, og vi fik det samme som det var - . Hvilket tal skal du gange med, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulpotensen er lig med en.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad - uanset hvor meget du gange nul med sig selv, vil du stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, ligesom ethvert tal i nulpotensen, skal det være ens. Så hvor meget af dette er sandt? Matematikerne besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul potens. Det vil sige, at nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til nul-potensen.

Lad os komme videre. Ud over naturlige tal og tal omfatter heltal også negative tal. For at forstå, hvad en negativ potens er, lad os gøre som sidste gang: gange et normalt tal med det samme tal til en negativ potens:

Herfra er det nemt at udtrykke, hvad du leder efter:

Lad os nu udvide den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere en regel:

Et tal med en negativ potens er det gensidige af det samme tal med en positiv potens. Men på samme tid Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dividere med).

Lad os opsummere:

I. Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis altså.

II. Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul til en negativ potens, er det omvendte af det samme tal til en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, som sædvanlig, eksempler på uafhængige løsninger:

Analyse af problemer til uafhængig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er skræmmende, men på Unified State Exam skal du være forberedt på hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsninger, hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære at håndtere dem nemt i eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide rækken af ​​tal "egnede" som eksponent.

Lad os nu overveje rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal, og.

For at forstå hvad det er "brøkdel grad", overvej brøken:

Lad os hæve begge sider af ligningen til en potens:

Lad os nu huske reglen om "grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af ​​roden af ​​th grad.

Lad mig minde dig om: roden af ​​den th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig med.

Det vil sige, at roden af ​​th potens er den omvendte operation af at hæve til en potens:.

Det viser sig at. Det er klart dette særligt tilfælde kan udvides: .

Nu tilføjer vi tælleren: hvad er det? Svaret er nemt at få ved hjælp af magt-til-kraft-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan jo ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Lad os huske reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at det er umuligt at udtrække lige rødder fra negative tal!

Det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtrykket?

Men her opstår et problem.

Et tal kan repræsenteres som andre, reducerbare brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det findes, men ikke eksisterer, men det er blot to forskellige optegnelser med samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver indikatoren anderledes ned, kommer vi i problemer igen: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

For at undgå sådanne paradokser, overvejer vi kun positiv baseeksponent med fraktioneret eksponent.

Så hvis:

• — naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Rationelle eksponenter er meget nyttige til at transformere udtryk med rødder, for eksempel:

5 eksempler til praksis

Analyse af 5 eksempler til træning

Nå, nu kommer den sværeste del. Nu finder vi ud af det grad med irrationel eksponent.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse

Irrationelle tal er jo per definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (det vil sige, at irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...tal til nul potens- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, de er endnu ikke begyndt at gange det, hvilket betyder, at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et vist "tomt tal" , nemlig et nummer;

...negativ heltalsgrad- det er som om der var sket en "omvendt proces", det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den sædvanlige regel for at hæve en magt til en magt:

Se nu på indikatoren. Minder han dig ikke om noget? Lad os huske formlen for forkortet multiplikation af forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig, at:

Svar: .

2. Vi reducerer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får fx:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

AVANCERET NIVEAU

Gradsbestemmelse

En grad er et udtryk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

At hæve et tal til den naturlige potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Grad med en heltalseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltal antal:

Konstruktion til nulgraden:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad er dette, og på den anden side er ethvert tal i th grad dette.

Hvis eksponenten er negativt heltal antal:

(fordi du ikke kan dividere med).

Endnu en gang om nuller: udtrykket er ikke defineret i casen. Hvis altså.

Eksempler:

Magt med rationel eksponent

• — naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Egenskaber for grader

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

Per definition:

Så på højre side af dette udtryk får vi følgende produkt:

Men per definition er det en potens af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde. Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

En anden vigtig bemærkning: denne regel - kun for produkt af beføjelser!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Lad os omgruppere dette arbejde sådan her:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt: !

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvordan det skulle være indikator grader. Men hvad skal grundlaget være? I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den simple regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre ad infinitum: For hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Vi kan formulere følgende simple regler:

1. endog grad, - antal positiv.
2. Negativt tal, indbygget ulige grad, - antal negativ.
3. Positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
4. Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: når alt kommer til alt, er det lige meget, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis vi husker det, bliver det klart, hvilket betyder, at basen er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af ​​grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af ​​grader ned og deler dem med hinanden, deler dem i par og får:

Før vi ser på den sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn udtrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 finde anvendelse. Men hvordan? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu bliver det sådan her:

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: Alle tegn ændrer sig på samme tid! Du kan ikke erstatte det med kun at ændre én ulempe, vi ikke kan lide!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan vil vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle det:

Nå, lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver er der i alt? gange med multiplikatorer - hvad minder det dig om? Dette er intet andet end en definition af en operation multiplikation: Der var kun multiplikatorer der. Det vil sige, at dette per definition er en potens af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrationel eksponent

Udover information om grader for gennemsnitsniveauet vil vi analysere graden med en irrationel eksponent. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelsen - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (dvs. , irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationale tal).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal til nulpotensen er så at sige et tal ganget med sig selv gange, det vil sige, at de endnu ikke er begyndt at gange det, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et sikkert tal "blankt nummer", nemlig et tal; en grad med en heltal negativ eksponent - det er som om en "omvendt proces" havde fundet sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematikere skabte for at udvide begrebet grad til hele rummet af tal.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser en irrationel eksponent? Vi gør vores bedste for at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Lad os huske forskellen mellem kvadraters formel. Svar: .
2. Vi reducerer brøkerne til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

RESUMÉ AF AFSNIT OG GRUNDFORMLER

Grad kaldet et udtryk for formen: , hvor:

Grad med en heltalseksponent

en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

Power med rationel eksponent

grad, hvis eksponent er negative tal og brøktal.

Grad med irrationel eksponent

en grad, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Egenskaber for grader

Funktioner af grader.

• Negativt tal hævet til endog grad, - antal positiv.
• Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
• Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
• Nul er lig med enhver magt.
• Ethvert tal i nulpotensen er lig.

NU HAR DU ORDET...

Hvordan kan du lide artiklen? Skriv nedenfor i kommentarerne, om du kunne lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med at bruge gradsegenskaber.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!