Ligning af grad x med forskellige baser. Løsning af eksponentielle potensligninger, algoritmer og eksempler

1º. Eksponentialligninger kaldes ligninger, der indeholder en variabel i en eksponent.

Løsning eksponentielle ligninger baseret på egenskaben af ​​en grad: to potenser med samme grundtal er lige, hvis og kun hvis deres eksponenter er ens.

2º. Grundlæggende metoder til løsning af eksponentialligninger:

1) den enkleste ligning har en løsning;

2) en ligning af formen logaritmisk til grunden -en reducere til form;

3) en ligning af formen svarer til ligningen ;

4) formens ligning svarer til ligningen.

5) en ligning af formen reduceres gennem substitution til en ligning, og derefter løses et sæt simple eksponentialligninger;

6) ligning med gensidig gensidige ved substitution reducerer de til en ligning og løser derefter et sæt ligninger;

7) ligninger homogene mhp a g(x) Og b g(x) givet det venlig gennem substitution reducerer de til en ligning og løser derefter et sæt ligninger.

Klassifikation af eksponentialligninger.

1. Ligninger løses ved at gå til én base.

Eksempel 18. Løs ligningen .

Løsning: Lad os udnytte det faktum, at alle potensgrundlag er potenser af tallet 5: .

2. Ligninger løses ved at overføre til én eksponent.

Disse ligninger løses ved at transformere den oprindelige ligning til formen , som reduceres til sin enkleste ved hjælp af egenskaben proportion.

Eksempel 19. Løs ligningen:

3. Ligninger løses ved at tage den fælles faktor ud af parentes.

Hvis hver eksponent i en ligning adskiller sig fra den anden med et vist tal, så løses ligningerne ved at sætte eksponenten med den mindste eksponent ud af parentes.

Eksempel 20. Løs ligningen.

Løsning: Lad os tage graden med den mindste eksponent ud af parentes i venstre side af ligningen:

Eksempel 21. Løs ligningen

Løsning: Lad os gruppere separat på venstre side af ligningen de led, der indeholder potenser med grundtal 4, på højre side - med grundtal 3, og derefter sætte potenserne med den mindste eksponent ud af parentes:

4. Ligninger, der reducerer til kvadratiske (eller kubiske) ligninger.

Følgende ligninger reduceres til en andengradsligning for en ny variabel y:

a) type substitution, i dette tilfælde;

b) typen af ​​substitution og .

Eksempel 22. Løs ligningen .

Løsning: Lad os lave en ændring af variabel og løse andengradsligningen:

.

Svar: 0; 1.

5. Ligninger, der er homogene med hensyn til eksponentielle funktioner.

En ligning af formen er homogen ligning anden grad i forhold til ukendte et x Og b x. Sådanne ligninger reduceres ved først at dividere begge sider med og derefter erstatte dem i andengradsligninger.

Eksempel 23. Løs ligningen.

Løsning: Divider begge sider af ligningen med:

Putting får vi en andengradsligning med rødder.

Nu handler problemet om at løse et sæt ligninger . Fra den første ligning finder vi at . Den anden ligning har ingen rødder, siden for enhver værdi x.

Svar: -1/2.

6. Rationelle ligninger med hensyn til eksponentialfunktioner.

Eksempel 24. Løs ligningen.

Løsning: Divider brøkens tæller og nævner med 3 x og i stedet for to får vi en eksponentiel funktion:

7. Formens ligninger .

Sådanne ligninger med et sæt acceptable værdier(ODZ), bestemt af betingelsen, ved at tage logaritmen af ​​begge sider af ligningen reduceres til en ækvivalent ligning, som igen svarer til et sæt af to ligninger eller.

Eksempel 25. Løs ligningen: .

.

Didaktisk stof.

Løs ligningerne:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Find produktet af ligningens rødder .

27. Find summen af ​​ligningens rødder .

Find betydningen af ​​udtrykket:

28. , hvor x 0- roden af ​​ligningen;

29. , hvor x 0 – hele rod ligninger .

Løs ligningen:

31. ; 32. .

Svar: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4, 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10,8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Emne nr. 8.

Eksponentielle uligheder.

1º. En ulighed, der indeholder en variabel i eksponenten, kaldes eksponentiel ulighed.

2º. Løsning eksponentielle uligheder type er baseret på følgende udsagn:

hvis , så er uligheden ækvivalent med ;

hvis , så er uligheden lig med .

Ved løsning af eksponentielle uligheder bruges de samme teknikker som ved løsning af eksponentielle ligninger.

Eksempel 26. Løs ulighed (metode til at flytte til én base).

Løsning: Siden , så kan den givne ulighed skrives som: . Siden , så er denne ulighed lig med uligheden .

Løser vi den sidste ulighed, får vi .

Eksempel 27. Løs uligheden: ( ved at tage den fælles faktor ud af parentes).

Løsning: Lad os tage ud af parenteser på venstre side af uligheden, på højre side af uligheden og dividere begge sider af uligheden med (-2), og ændre tegnet for uligheden til det modsatte:

Siden , så når man flytter til ulighed af indikatorer, skifter tegnet på ulighed igen til det modsatte. Vi får. Således er mængden af ​​alle løsninger på denne ulighed intervallet.

Eksempel 28. Løs ulighed ( ved at indføre en ny variabel).

Løsning: Lad . Så vil denne ulighed antage formen: eller , hvis løsning er intervallet .

Herfra. Da funktionen øges, så .

Didaktisk stof.

Angiv sæt af løsninger på uligheden:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Til hvilke værdier x Ligger punkterne på funktionsgrafen under den rette linje?

7. Til hvilke værdier x Ligger punkterne på grafen for funktionen mindst lige så lavt som den rette linje?

Løs uligheden:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Angiv den største heltalsløsning til uligheden .

14. Find produktet af det største heltal og det mindste heltals løsninger til uligheden .

Løs uligheden:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Find funktionens domæne:

27. ; 28. .

29. Find det sæt af argumentværdier, for hvilke værdierne for hver funktion er større end 3:

Og .

Svar: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2); 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )