Ulighed kaldes eksponentiel. Eksponentielle ligninger og uligheder

Det har været nødvendigt at sammenligne mængder og mængder ved løsning af praktiske problemer siden oldtiden. Samtidig dukkede ord op som mere og mindre, højere og lavere, lettere og tungere, roligere og højere, billigere og dyrere osv., der betegner resultaterne af at sammenligne homogene mængder.

Begreberne mere og mindre opstod i forbindelse med optælling af genstande, måling og sammenligning af mængder. For eksempel vidste matematikere fra det antikke Grækenland, at siden af enhver trekant er mindre end summen af de to andre sider, og at den større side ligger modsat den større vinkel i en trekant. Arkimedes, mens han beregnede omkredsen, fastslog, at omkredsen af enhver cirkel er lig med tre gange diameteren med et overskud, der er mindre end en syvendedel af diameteren, men mere end ti halvfjerds gange diameteren.

Skriv symbolsk relationer mellem tal og mængder ved at bruge fortegnene > og b. Optegnelser, hvor to tal er forbundet med et af tegnene: > (større end), Du stødte også på numeriske uligheder i de lavere karakterer. Du ved, at uligheder kan være sande, eller de kan være falske. For eksempel er $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ korrekt numerisk ulighed, 0,23 > 0,235 er en forkert numerisk ulighed.

Uligheder, der involverer ukendte, kan være sande for nogle værdier af de ukendte og falske for andre. For eksempel er uligheden 2x+1>5 sand for x = 3, men falsk for x = -3. For en ulighed med en ukendt, kan du stille opgaven: løse uligheden. I praksis stilles og løses problemer med at løse uligheder ikke sjældnere end problemer med at løse ligninger. For eksempel kommer mange økonomiske problemer ned til undersøgelse og løsning af systemer med lineære uligheder. I mange grene af matematikken er uligheder mere almindelige end ligninger.

Nogle uligheder tjener som den eneste hjælpe, hvilket giver dig mulighed for at bevise eller modbevise eksistensen af et bestemt objekt, for eksempel roden af en ligning.

Numeriske uligheder

Du kan sammenligne hele tal og decimalbrøker. Kende reglerne for sammenligning af almindelige brøker med de samme nævnere, men forskellige tællere; med de samme tællere, men forskellige nævnere. Her lærer du, hvordan du sammenligner to tal ved at finde tegnet på deres forskel.

Sammenligning af tal er meget brugt i praksis. For eksempel sammenligner en økonom planlagte indikatorer med faktiske, en læge sammenligner en patients temperatur med normal, en turner sammenligner dimensionerne af en bearbejdet del med en standard. I alle sådanne tilfælde sammenlignes nogle tal. Som et resultat af sammenligning af tal opstår der numeriske uligheder.

Definition. Tal a er større end tal b if forskel a-b positiv. Nummer a mindre antal b, hvis forskellen a-b er negativ.

Hvis a er større end b, så skriver de: a > b; hvis a er mindre end b, så skriver de: a Uligheden a > b betyder altså, at forskellen a - b er positiv, dvs. a - b > 0. Ulighed a For alle to tal a og b fra følgende tre relationer a > b, a = b, a At sammenligne tallene a og b betyder at finde ud af hvilket af tegnene >, = eller Sætning. Hvis a > b og b > c, så a > c.

Sætning. Hvis du lægger det samme tal til på begge sider af uligheden, vil fortegnet for uligheden ikke ændre sig.
Følge. Ethvert led kan flyttes fra en del af uligheden til en anden ved at ændre denne terms fortegn til det modsatte.

Sætning. Hvis begge sider af uligheden ganges med det samme positivt tal, så ændres ulighedstegnet ikke. Hvis begge sider af uligheden ganges med det samme et negativt tal, så vil tegnet på ulighed ændre sig til det modsatte.
Følge. Hvis begge sider af uligheden divideres med det samme positive tal, så vil fortegnet for uligheden ikke ændre sig. Hvis begge sider af uligheden divideres med det samme negative tal, vil fortegnet for uligheden ændre sig til det modsatte.

Du ved, at numeriske ligheder kan tilføjes og ganges led for led. Dernæst vil du lære, hvordan du udfører lignende handlinger med uligheder. Evnen til at tilføje og multiplicere uligheder led for led bruges ofte i praksis. Disse handlinger hjælper med at løse problemer med at evaluere og sammenligne betydningen af udtryk.

Når man løser forskellige problemer, er det ofte nødvendigt at tilføje eller gange venstre og højre side af uligheder led for led. Samtidig siges det nogle gange, at uligheder lægger op eller formerer sig. For eksempel, hvis en turist gik mere end 20 km på den første dag og mere end 25 km på den anden, så kan vi sige, at han på to dage gik mere end 45 km. Tilsvarende, hvis længden af et rektangel er mindre end 13 cm og bredden er mindre end 5 cm, kan vi sige, at arealet af dette rektangel er mindre end 65 cm2.

Når man betragtede disse eksempler, blev følgende brugt: teoremer om addition og multiplikation af uligheder:

Sætning. Når man tilføjer uligheder af samme fortegn, opnås en ulighed med samme fortegn: hvis a > b og c > d, så a + c > b + d.

Sætning. Når man multiplicerer uligheder af samme fortegn, hvis venstre og højre side er positive, opnås en ulighed med samme fortegn: hvis a > b, c > d og a, b, c, d er positive tal, så ac > bd.

Uligheder med tegnet > (større end) og 1/2, 3/4 b, c Sammen med tegnene for strenge uligheder > og På samme måde betyder uligheden $a \geq b $, at tallet a er større end eller lig med b, dvs. .og ikke mindre b.

Uligheder, der indeholder tegnet $\geq $ eller $\leq $-tegnet, kaldes ikke-strenge. For eksempel er $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ ikke strenge uligheder.

Alle egenskaber ved strenge uligheder er også gyldige for ikke-strenge uligheder. Desuden, hvis for strenge uligheder tegnene > blev betragtet som modsatte, og du ved, at for at løse en række anvendte problemer skal du oprette en matematisk model i form af en ligning eller et ligningssystem. Næste vil du finde ud af det matematiske modeller For at løse mange problemer er der uligheder med ukendte. Konceptet med at løse en ulighed vil blive introduceret, og hvordan man tester, om et givet tal er en løsning på en bestemt ulighed, vil blive vist.

Formens uligheder
\(ax > b, \quad ax, hvor a og b er givet tal, og x er en ukendt, kaldes lineære uligheder med en ukendt.

Definition. Løsningen på en ulighed med en ukendt er værdien af det ukendte, hvorved denne ulighed bliver en sand numerisk ulighed. At løse en ulighed betyder at finde alle dens løsninger eller fastslå, at der ikke er nogen.

Du løste ligningerne ved at reducere dem til de enkleste ligninger. På samme måde, når man løser uligheder, forsøger man at reducere dem ved hjælp af egenskaber til form af simple uligheder.

Løsning af anden grads uligheder med én variabel

Formens uligheder
$ax^2+bx+c >0 $ og $ax^2+bx+c, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal og \(a \neq 0 $, kaldet uligheder af anden grad med én variabel.

Løsning på ulighed
$ax^2+bx+c >0 $ eller $ax^2+bx+c kan betragtes som at finde intervaller, hvori funktionen \(y= ax^2+bx+c $ tager positive eller negative værdier For at gøre dette er det nok at analysere, hvordan grafen for funktionen $y= ax^2+bx+c$ er placeret i koordinatplanet: hvor grenene af parablen er rettet - op eller ned, uanset om parablen skærer x-aksen og hvis den gør, så på hvilke punkter.

Algoritme til løsning af anden grads uligheder med én variabel:
1) find diskriminanten af kvadrattrinomiet $ax^2+bx+c$ og find ud af, om trinomiet har rødder;
2) hvis trinomiet har rødder, så marker dem på x-aksen og gennem de markerede punkter tegn en skematisk parabel, hvis grene er rettet opad for a > 0 eller nedad for et 0 eller nederst for en 3) find intervaller på x-aksen, for hvilke punktparablerne er placeret over x-aksen (hvis de løser uligheden $ax^2+bx+c >0$) eller under x-aksen (hvis de løser ulighed
\(ax^2+bx+c Løsning af uligheder ved hjælp af intervalmetoden

Overvej funktionen
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domænet for denne funktion er mængden af alle tal. Funktionens nuller er tallene -2, 3, 5. De opdeler funktionens definitionsdomæne i intervallerne $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) $ og $ (5; +\infty)$

Lad os finde ud af, hvad tegnene på denne funktion er i hvert af de angivne intervaller.

Udtrykket (x + 2)(x - 3)(x - 5) er produktet af tre faktorer. Tegnet for hver af disse faktorer i de undersøgte intervaller er angivet i tabellen:

Lad generelt funktionen være givet af formlen
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
hvor x er en variabel, og x 1, x 2, ..., x n er tal, der ikke er lig med hinanden. Tallene x 1 , x 2 , ..., x n er funktionens nuller. I hvert af de intervaller, hvori definitionsdomænet er divideret med funktionens nuller, bevares funktionens fortegn, og når det passerer gennem nul, ændres dets fortegn.

Denne egenskab bruges til at løse formens uligheder
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) hvor x 1, x 2, ..., x n er tal, der ikke er lig med hinanden

Overvejet metode at løse uligheder kaldes intervalmetoden.

Lad os give eksempler på løsning af uligheder ved hjælp af intervalmetoden.

Løs ulighed:

$x(0,5-x)(x+4) Det er klart, at nullerne i funktionen f(x) = x(0,5-x)(x+4) er punkterne \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \; x=-4 $

Vi plotter funktionens nuller på talaksen og beregner tegnet på hvert interval:

Vi vælger de intervaller, hvor funktionen er mindre end eller lig med nul, og skriver svaret ned.

Svar:
$x \i \venstre(-\infty; \; 1 \right) \kop \venstre[ 4; \; +\infty \right) $

Mange mennesker tror, at eksponentielle uligheder er noget komplekst og uforståeligt. Og at lære at løse dem er næsten en stor kunst, som kun de Udvalgte er i stand til at begribe...

Fuldstændig nonsens! Eksponentielle uligheder er nemme. Og de løses altid enkelt. Nå, næsten altid.

I dag vil vi se på dette emne inde og ude. Denne lektion vil være meget nyttig for dem, der lige er begyndt at forstå denne del af skolens matematik. Lad os starte med simple opgaver og vi vil gå videre til mere komplekse spørgsmål. Der vil ikke være noget hårdt arbejde i dag, men det, du skal til at læse, vil være nok til at løse de fleste uligheder på alle slags tests og tests. selvstændigt arbejde. Og også til din eksamen.

Lad os som altid starte med definitionen. En eksponentiel ulighed er enhver ulighed, der indeholder en eksponentiel funktion. Det kan med andre ord altid reduceres til en ulighed i formen

\[((a)^(x)) \gt b\]

Hvor rollen som $b$ kan være et almindeligt nummer, eller måske noget hårdere. Eksempler? Ja tak:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jeg tror, meningen er klar: der er eksponentiel funktion$((a)^(x))$, sammenlignes det med noget, og bliver derefter bedt om at finde $x$. I særligt kliniske tilfælde kan de i stedet for variablen $x$ sætte en eller anden funktion $f\left(x \right)$ og derved komplicere uligheden lidt :)

Selvfølgelig kan uligheden i nogle tilfælde forekomme mere alvorlig. For eksempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller endda dette:

Generelt kan kompleksiteten af sådanne uligheder være meget forskellig, men i sidste ende kommer de stadig ned til den simple konstruktion $((a)^(x)) \gt b$. Og vi vil på en eller anden måde finde ud af en sådan konstruktion (i især kliniske tilfælde, når intet kommer til at tænke på, vil logaritmer hjælpe os). Derfor vil vi nu lære dig, hvordan du løser sådanne simple konstruktioner.

Løsning af simple eksponentielle uligheder

Lad os overveje noget meget simpelt. For eksempel dette:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Det er klart, at tallet til højre kan omskrives som en potens af to: $4=((2)^(2))$. Således kan den oprindelige ulighed omskrives i en meget bekvem form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Og nu klør mine hænder efter at "strege" toerne i magtens baser for at få svaret $x \gt 2$. Men før vi overstreger noget, lad os huske tos kræfter:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som vi ser, end større antal er i eksponenten, jo større outputtal. "Tak, Cap!" - vil en af eleverne udbryde. Er det anderledes? Desværre sker det. For eksempel:

\[((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ højre))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Alt er også logisk her: hvad mere grad, jo flere gange tallet 0,5 ganges med sig selv (dvs. divideres i halve). Således er den resulterende talrække aftagende, og forskellen mellem den første og anden rækkefølge er kun i basen:

Hvis basisgraden $a \gt 1$, så vil tallet $((a)^(n))$ også stige, når eksponenten $n$ stiger;
Og omvendt, hvis $0 \lt a \lt 1$, så falder tallet $((a)^(n))$, når eksponenten $n$ stiger.

Ved at opsummere disse fakta får vi den vigtigste erklæring, som hele løsningen af eksponentielle uligheder er baseret på:

Hvis $a \gt 1$, så svarer uligheden $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ til uligheden $x \gt n$. Hvis $0 \lt a \lt 1$, så svarer uligheden $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ til uligheden $x \lt n$.

Med andre ord, hvis basen er større end én, kan du blot fjerne den - ulighedstegnet vil ikke ændre sig. Og hvis basen er mindre end én, så kan den også fjernes, men samtidig skal du ændre ulighedstegnet.

Bemærk venligst, at vi ikke har overvejet mulighederne $a=1$ og $a\le 0$. For i disse tilfælde opstår der usikkerhed. Lad os sige, hvordan man løser en ulighed på formen $((1)^(x)) \gt 3$? En til enhver magt vil igen give en - vi vil aldrig få tre eller flere. De der. der er ingen løsninger.

MED negative årsager stadig mere interessant. Overvej for eksempel denne ulighed:

\[((\venstre(-2 \højre))^(x)) \gt 4\]

Ved første øjekast er alt simpelt:

Højre? Men nej! Det er nok at erstatte et par lige og et par i stedet for $x$ ulige tal for at sikre, at løsningen er forkert. Tag et kig:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Højrepil ((\venstre(-2 \højre))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Højrepil ((\venstre(-2 \højre))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Højrepil ((\venstre(-2 \højre))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se, veksler skiltene. Men der er mere brøkkræfter og andet tin. Hvordan vil du for eksempel bestille $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus to i syv potens)? Ingen måde!

Derfor antager vi for bestemtheden, at i alle eksponentielle uligheder (og ligninger i øvrigt også) $1\ne a \gt 0$. Og så er alt løst meget enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Højrepil \venstre[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \venstre(0 \lt a \lt 1 \højre). \\\end(align) \right.\]

Generelt skal du huske hovedreglen igen: Hvis grundtallet i en eksponentielligning er større end én, kan du blot fjerne det; og hvis basen er mindre end én, kan den også fjernes, men tegnet på ulighed vil ændre sig.

Eksempler på løsninger

Så lad os se på et par simple eksponentielle uligheder:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primære opgave er i alle tilfælde den samme: at reducere ulighederne til den simpleste form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Det er præcis, hvad vi nu vil gøre med hver ulighed, og vi vil samtidig gentage egenskaberne for grader og eksponentielle funktioner. Så lad os gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Hvad kan du gøre her? Nå, til venstre har vi allerede et vejledende udtryk – intet skal ændres. Men til højre er der en slags lort: en brøkdel og endda en rod i nævneren!

Lad os dog huske reglerne for at arbejde med brøker og potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Hvad betyder det? For det første kan vi nemt slippe af med brøken ved at gøre den til en potens med negativ eksponent. Og for det andet, da nævneren har en rod, ville det være rart at lave den om til en potens - denne gang med en brøkeksponent.

Lad os anvende disse handlinger sekventielt til højre side af uligheden og se, hvad der sker:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\venstre(\sqrt(2) \højre))^(-1))=((\venstre(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Glem ikke, at når du hæver en grad til en potens, tæller eksponenterne for disse grader sammen. Og generelt, når man arbejder med eksponentielle ligninger og uligheder, er det absolut nødvendigt at kende i det mindste de enkleste regler for at arbejde med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\venstre(((a)^(x)) \højre))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Faktisk brugte vi bare den sidste regel. Derfor vil vores oprindelige ulighed blive omskrevet som følger:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Højrepil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nu slipper vi af med de to ved basen. Da 2 > 1 vil ulighedstegnet forblive det samme:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Højrepil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Den største vanskelighed er slet ikke i den eksponentielle funktion, men i den kompetente transformation af det oprindelige udtryk: du skal omhyggeligt og hurtigt bringe det til sin enkleste form.

Overvej den anden ulighed:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Så så. Decimalbrøker venter os her. Som jeg har sagt mange gange, bør du i alle udtryk med potenser slippe af med decimaler - det er ofte den eneste måde at se en hurtig og enkel løsning på. Her slipper vi af med:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Højrepil ((\venstre(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\venstre(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Her har vi igen den simpleste ulighed, og endda med en base på 1/10, dvs. mindre end en. Nå, vi fjerner baserne og ændrer samtidig tegnet fra "mindre" til "mere", og vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi modtog det endelige svar: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Bemærk venligst: svaret er netop et sæt, og i intet tilfælde en konstruktion af formen $x \lt -1$. For formelt set er en sådan konstruktion slet ikke et sæt, men en ulighed i forhold til variablen $x$. Ja, det er meget enkelt, men det er ikke svaret!

Vigtig note. Denne ulighed kunne løses på en anden måde - ved at reducere begge sider til en potens med en base større end én. Tag et kig:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Højrepil ((\venstre(((10)^(-1)) \højre))^(1-x)) \ lt ((\venstre(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Efter en sådan transformation vil vi igen opnå en eksponentiel ulighed, men med en base på 10 > 1. Det betyder, at vi blot kan strege de ti - ulighedens fortegnet ændrer sig ikke. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se, var svaret nøjagtigt det samme. Samtidig reddede vi os selv fra behovet for at skifte skiltet og generelt huske eventuelle regler :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Lad dog ikke dette skræmme dig. Uanset hvad der står i indikatorerne, forbliver teknologien til at løse ulighed i sig selv den samme. Lad os derfor først bemærke, at 16 = 2 4. Lad os omskrive den oprindelige ulighed under hensyntagen til dette faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fik den sædvanlige kvadratiske ulighed! Tegnet har ikke ændret sig nogen steder, da basen er to - et tal større end et.

Nullpunkter for en funktion på tallinjen

Vi arrangerer tegnene for funktionen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - naturligvis vil dens graf være en parabel med grene op, så der vil være "pluser" ” på siderne. Vi er interesserede i den region, hvor funktionen er mindre end nul, dvs. $x\in \left(2;5 \right)$ er svaret på det oprindelige problem.

Overvej endelig en anden ulighed:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Igen ser vi en eksponentiel funktion med en decimalbrøk ved basen. Lad os konvertere denne brøk til en almindelig brøk:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Højrepil \\ & \Højrepil ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\venstre(((5)^(-1)) \højre))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I dette tilfælde brugte vi den tidligere angivne bemærkning - vi reducerede basen til tallet 5 > 1 for at forenkle vores yderligere løsning. Lad os gøre det samme med højre side:

\[\frac(1)(25)=((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\venstre(((5)^(-1)) \ højre))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Lad os omskrive den oprindelige ulighed under hensyntagen til begge transformationer:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Højrepil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \højre)))\ge ((5)^(-2))\]

Baserne på begge sider er de samme og overstiger én. Der er ingen andre begreber til højre og venstre, så vi "streger" blot femterne og får et meget simpelt udtryk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det er her, du skal være mere forsigtig. Mange elever kan lide at blot udtrække Kvadrat rod af begge sider af uligheden og skriv noget som $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. I intet tilfælde bør du gøre dette, da roden af et nøjagtigt kvadrat er modul, og under ingen omstændigheder den oprindelige variabel:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\venstre| x\right|\]

Men at arbejde med moduler er ikke den mest behagelige oplevelse, vel? Så vi vil ikke arbejde. I stedet flytter vi blot alle led til venstre og løser den sædvanlige ulighed ved hjælp af intervalmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \venstre(x-1 \højre)\venstre(x+1 \højre)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Vi markerer igen de opnåede punkter på tallinjen og ser på tegnene:

Bemærk venligst: prikkerne er skraverede

Da vi løser en ikke-streng ulighed, er alle punkter på grafen skraverede. Derfor vil svaret være: $x\in \left[ -1;1 \right]$ er ikke et interval, men et segment.

Generelt vil jeg gerne bemærke, at der ikke er noget kompliceret ved eksponentielle uligheder. Betydningen af alle de transformationer, vi udførte i dag, kommer ned til en simpel algoritme:

Find det grundlag, som vi vil reducere alle grader til;
Udfør omhyggeligt transformationerne for at opnå en ulighed på formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. I stedet for variablerne $x$ og $n$ kan der selvfølgelig være meget mere komplekse funktioner, men betydningen vil ikke ændre sig;
Overstreg gradernes grundflader. I dette tilfælde kan ulighedstegnet ændre sig, hvis grundtallet $a \lt 1$.

Faktisk er dette en universel algoritme til at løse alle sådanne uligheder. Og alt andet, de vil fortælle dig om dette emne, er bare specifikke teknikker og tricks, der vil forenkle og fremskynde transformationen. Vi taler om en af disse teknikker nu :)

Rationaliseringsmetode

Lad os overveje et andet sæt uligheder:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Så hvad er så specielt ved dem? De er lette. Selvom, stop! Er tallet π hævet til en vis potens? Sikke noget sludder?

Hvordan hæver man tallet $2\sqrt(3)-3$ til en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Problemskribenterne drak åbenbart for meget Hawthorn, før de satte sig på arbejde :)

Faktisk er der ikke noget skræmmende ved disse opgaver. Lad mig minde dig om: en eksponentiel funktion er et udtryk på formen $((a)^(x))$, hvor grundtallet $a$ er et hvilket som helst positivt tal undtagen ét. Tallet π er positivt - det ved vi allerede. Tallene $2\sqrt(3)-3$ og $3-2\sqrt(2)$ er også positive - det er nemt at se, hvis man sammenligner dem med nul.

Det viser sig, at alle disse "skræmmende" uligheder ikke er løst anderledes end de simple, der er diskuteret ovenfor? Og er de løst på samme måde? Ja, det er helt rigtigt. Men ved at bruge deres eksempel vil jeg gerne overveje en teknik, der i høj grad sparer tid på selvstændigt arbejde og eksamener. Vi vil tale om metoden til rationalisering. Så, opmærksomhed:

Enhver eksponentiel ulighed af formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ svarer til uligheden $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ højre) \gt 0 $.

Det er hele metoden :) Troede du, at der ville være et andet spil? Intet som dette! Men denne simple kendsgerning, skrevet bogstaveligt talt på én linje, vil i høj grad forenkle vores arbejde. Tag et kig:

\[\begin(matrix) ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi\ !\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \venstre(x+7-\venstre(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Så der er ikke flere eksponentielle funktioner! Og du skal ikke huske, om skiltet ændrer sig eller ej. Men det opstår nyt problem: hvad skal man gøre med multiplikatoren \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi ved ikke, hvad det handler om præcise værdi tal π. Kaptajnen synes dog at antyde det åbenlyse:

\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )\ca. 3.14... \gt 3\Højrepil \tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )- 1\gt 3-1=2\]

Generelt angår den nøjagtige værdi af π os ikke rigtig - det er kun vigtigt for os at forstå, at under alle omstændigheder $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. dette er en positiv konstant, og vi kan dividere begge sider af uligheden med det:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\venstre(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, måtte vi på et bestemt tidspunkt dividere med minus en – og tegnet på ulighed ændrede sig. Til sidst udvidede jeg det kvadratiske trinomium ved hjælp af Vietas sætning - det er tydeligt, at rødderne er lig med $((x)_(1))=5$ og $((x)_(2))=-1$ . Så er alt løst ved hjælp af den klassiske intervalmetode:

Løsning af ulighed ved hjælp af intervalmetoden

Alle punkter fjernes, fordi den oprindelige ulighed er streng. Vi er interesseret i regionen med negative værdier, så svaret er $x\in \left(-1;5 \right)$. Det er løsningen.

Lad os gå videre til næste opgave:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Alt her er generelt simpelt, fordi der er en enhed til højre. Og vi husker, at et er et hvilket som helst tal hævet til nulpotensen. Selvom dette tal er et irrationelt udtryk i bunden til venstre:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(align)\]

Nå, lad os rationalisere:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tilbage er kun at finde ud af tegnene. Faktoren $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ indeholder ikke variablen $x$ - det er kun en konstant, og vi skal finde ud af dens fortegn. For at gøre dette skal du bemærke følgende:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Det viser sig, at den anden faktor ikke bare er en konstant, men en negativ konstant! Og når man dividerer med det, ændres tegnet på den oprindelige ulighed til det modsatte:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\venstre(x-2 \højre) \gt 0. \\\end(align)\]

Nu bliver alt helt indlysende. Rødderne af det kvadratiske trinomium til højre er: $((x)_(1))=0$ og $((x)_(2))=2$. Vi markerer dem på tallinjen og ser på tegnene for funktionen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Tilfældet, når vi er interesserede i sideintervaller

Vi er interesserede i intervallerne markeret med et plustegn. Tilbage er blot at skrive svaret ned:

Lad os gå videre til næste eksempel:

\[((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ højre))^(16-x))\]

Nå, alt er fuldstændig indlysende her: Baserne indeholder potenser af samme tal. Derfor vil jeg skrive alt kort:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\venstre(((3)^(-1)) \højre))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\venstre(((3)^(-2)) \højre))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ venstre(16-x \højre))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\venstre(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, var vi under transformationsprocessen nødt til at gange med et negativt tal, så ulighedstegnet ændrede sig. Til allersidst anvendte jeg igen Vietas teorem til at faktorisere det kvadratiske trinomium. Som et resultat vil svaret være følgende: $x\in \left(-8;4 \right)$ - enhver kan verificere dette ved at tegne en tallinje, markere punkterne og tælle fortegnene. I mellemtiden vil vi gå videre til den sidste ulighed fra vores "sæt":

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se, er der i basen igen et irrationelt tal, og til højre er der igen en enhed. Derfor omskriver vi vores eksponentielle ulighed som følger:

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ højre))^(0))\]

Vi anvender rationalisering:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det er dog ret indlysende, at $1-\sqrt(2) \lt 0$, da $\sqrt(2)\ca. 1,4... \gt 1$. Derfor er den anden faktor igen en negativ konstant, som begge sider af uligheden kan divideres med:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\venstre(x-3 \højre) \lt 0. \\\end(align)\]

Flyt til en anden base

Et separat problem ved løsning af eksponentielle uligheder er søgen efter det "korrekte" grundlag. Desværre er det ikke altid indlysende ved første øjekast på en opgave, hvad man skal tage udgangspunkt i, og hvad man skal gøre efter graden af dette grundlag.

Men bare rolig: der er ingen magi eller "hemmelig" teknologi her. I matematik kan enhver færdighed, der ikke kan algoritmiseres, let udvikles gennem praksis. Men for dette bliver du nødt til at løse problemer forskellige niveauer vanskeligheder. For eksempel sådan her:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Svært? Skræmmende? Det er nemmere end at slå en kylling på asfalten! Lad os prøve. Første ulighed:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Nå, jeg tror, at alt er klart her:

Vi omskriver den oprindelige ulighed og reducerer alt til base to:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Højrepil \venstre(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du hørte det rigtigt: Jeg har lige anvendt den ovenfor beskrevne rationaliseringsmetode. Nu skal vi arbejde forsigtigt: vi har en brøk-rationel ulighed (dette er en, der har en variabel i nævneren), så før vi sætter lighedstegn mellem noget med nul, skal vi bringe alt til en fællesnævner og slippe af med den konstante faktor .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \venstre(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nu bruger vi standardintervalmetoden. Tællernuller: $x=\pm 4$. Nævneren går kun til nul, når $x=0$. Der er tre punkter i alt, der skal markeres på tallinjen (alle punkter er fastgjort, fordi ulighedstegnet er strengt). Vi får:

Mere vanskelig sag: tre rødder

Som du måske kan gætte, markerer skyggen de intervaller, hvor udtrykket til venstre tager negative værdier. Derfor vil det endelige svar indeholde to intervaller på én gang:

Enderne af intervallerne er ikke inkluderet i svaret, fordi den oprindelige ulighed var streng. Der kræves ingen yderligere bekræftelse af dette svar. I denne henseende er eksponentielle uligheder meget enklere end logaritmiske: ingen ODZ, ingen begrænsninger osv.

Lad os gå videre til næste opgave:

\[((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Der er heller ingen problemer her, da vi allerede ved, at $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hele uligheden kan omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\venstre(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Højrepil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\venstre(-2 \højre) \højre. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Bemærk venligst: i tredje linje besluttede jeg ikke at spilde tid på bagateller og straks dividere alt med (−2). Minul gik ind i den første parentes (nu er der plusser overalt), og to blev reduceret med en konstant faktor. Det er præcis, hvad du skal gøre, når du forbereder rigtige skærme på uafhængige og tests— der er ingen grund til at beskrive enhver handling og transformation.

Dernæst kommer den velkendte metode med intervaller i spil. Tællernuller: men der er ingen. Fordi diskriminanten vil være negativ. Til gengæld nulstilles nævneren kun, når $x=0$ - ligesom sidste gang. Nå, det er klart, at til højre for $x=0$ vil brøken tage positive værdier, og til venstre er negative. Da vi er interesseret i negative værdier, er det endelige svar: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Hvad skal du gøre med decimalbrøker i eksponentielle uligheder? Det er rigtigt: Slip af med dem, forvandl dem til almindelige. Her vil vi oversætte:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\højre))^(x)). \\\end(align)\]

Så hvad fik vi i grundlaget for eksponentielle funktioner? Og vi fik to gensidigt omvendte tal:

\[\frac(25)(4)=((\venstre(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Højrepil ((\venstre(\frac(25)(4) \ højre))^(x))=((\venstre(((\venstre(\frac(4)(25) \højre))^(-1)) \højre))^(x))=((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Således kan den oprindelige ulighed omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Når potenser ganges med samme grundtal, summeres deres eksponenter naturligvis, hvilket er hvad der skete i anden linje. Derudover repræsenterede vi enheden til højre, også som en potens i base 4/25. Tilbage er kun at rationalisere:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Bemærk, at $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den anden faktor er en negativ konstant, og når man dividerer med den, vil ulighedstegnet ændre sig:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Højrepil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Til sidst den sidste ulighed fra det nuværende "sæt":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I princippet er ideen om løsningen her også klar: alle eksponentielle funktioner inkluderet i uligheden skal reduceres til base "3". Men for dette bliver du nødt til at pille lidt med rødder og kræfter:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Under hensyntagen til disse fakta kan den oprindelige ulighed omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\højre))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Vær opmærksom på 2. og 3. linje i beregningerne: før du gør noget med uligheden, skal du sørge for at bringe den til den form, som vi talte om lige fra begyndelsen af lektionen: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Så længe du har nogle venstrehåndsfaktorer, yderligere konstanter osv. til venstre eller højre, ingen rationalisering eller "overstregning" af grunde kan udføres! Utallige opgaver er blevet udført forkert på grund af manglende forståelse herfor simpelt faktum. Jeg observerer selv konstant dette problem hos mine elever, når vi lige er begyndt at analysere eksponentielle og logaritmiske uligheder.

Men lad os vende tilbage til vores opgave. Lad os prøve at undvære rationalisering denne gang. Lad os huske: bunden af graden er større end én, så tripplerne kan simpelthen overstreges - ulighedstegnet vil ikke ændre sig. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det er alt. Endeligt svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolering af et stabilt udtryk og erstatning af en variabel

Afslutningsvis foreslår jeg at løse yderligere fire eksponentielle uligheder, som allerede er ret vanskelige for uforberedte elever. For at klare dem skal du huske reglerne for at arbejde med grader. Især at sætte fælles faktorer ud af parentes.

Men det vigtigste er at lære at forstå, hvad der præcist kan tages ud af parentes. Sådan et udtryk kaldes stabilt - det kan betegnes med en ny variabel og dermed slippe af med eksponentialfunktionen. Så lad os se på opgaverne:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Lad os starte fra den allerførste linje. Lad os skrive denne ulighed separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Bemærk, at $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, så højre hånd side kan omskrives:

Bemærk, at der ikke er andre eksponentielle funktioner undtagen $((5)^(x+1))$ i uligheden. Og generelt vises variablen $x$ ikke andre steder, så lad os introducere en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får følgende konstruktion:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi vender tilbage til den oprindelige variabel ($t=((5)^(x+1))$), og husker samtidig, at 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lad os gå videre til den anden ulighed:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Alt er det samme her. Bemærk, at $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Så kan venstre side omskrives:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \højre. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Højrepil ((3)^(x))\ge 9\Højrepil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Højrepil x\i \venstre[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Det er cirka sådan, du skal udarbejde en løsning til rigtige tests og selvstændigt arbejde.

Nå, lad os prøve noget mere kompliceret. For eksempel her er uligheden:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Hvad er problemet her? Først og fremmest er grundlaget for eksponentialfunktionerne til venstre forskellige: 5 og 25. Men 25 = 5 2, så det første led kan transformeres:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\venstre(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se, bragte vi først alt til den samme base, og så bemærkede vi, at det første led nemt kan reduceres til det andet - du skal bare udvide eksponenten. Nu kan du roligt indføre en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, og hele uligheden vil blive omskrevet som følger:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Og igen, ingen vanskeligheder! Endeligt svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Lad os gå videre til den endelige ulighed i dagens lektion:

\[((\venstre(0,5 \højre))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det første du skal være opmærksom på er selvfølgelig decimal ved bunden af den første grad. Det er nødvendigt at slippe af med det, og samtidig bringe alle eksponentielle funktioner til den samme base - tallet "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\venstre(((2)^(-1)) \højre))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Højrepil ((16)^(x+1,5))=((\venstre(((2)^(4)) \højre))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Fantastisk, vi har taget det første skridt - alt har ført til det samme grundlag. Nu skal du vælge stabilt udtryk. Bemærk at $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Hvis vi introducerer en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, så kan den oprindelige ulighed omskrives som følger:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Spørgsmålet kan naturligvis opstå: hvordan opdagede vi, at 256 = 2 8? Desværre skal du her blot kende to-potenserne (og samtidig tre- og fempotenserne). Nå, eller divider 256 med 2 (du kan dividere, da 256 er lige tal), indtil vi får resultatet. Det kommer til at se sådan ud:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Det samme er tilfældet med tre (tallene 9, 27, 81 og 243 er dens grader), og med syv (tallene 49 og 343 ville også være rart at huske). Nå, de fem har også "smukke" grader, som du skal vide:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Selvfølgelig, hvis du ønsker det, kan alle disse tal gendannes i dit sind ved blot at gange dem successivt med hinanden. Men når du skal løse flere eksponentielle uligheder, og hver næste er sværere end den forrige, så er det sidste du vil tænke på potenserne af nogle tal. Og i denne forstand er disse problemer mere komplekse end "klassiske" uligheder, der løses med intervalmetoden.

Eksponentielle ligninger og uligheder er dem, hvor det ukendte er indeholdt i eksponenten.

At løse eksponentielle ligninger kommer ofte ned på at løse ligningen a x = a b, hvor a > 0, a ≠ 1, x er en ukendt. Denne ligning har en enkelt rod x = b, da følgende sætning er sand:

Sætning. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.

Lad os underbygge den overvejede udsagn.

Lad os antage, at ligheden x 1 = x 2 ikke holder, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øges eksponentialfunktionen y = a x og derfor skal uligheden a x 1 være opfyldt< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfælde modtog vi en modsigelse til betingelsen a x 1 = a x 2.

Lad os overveje flere problemer.

Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.

Løsning.

Lad os skrive ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, hvorfra vi får x + 2 = 0, dvs. x = -2.

Svar. x = -2.

Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.

Løsning.

Da 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kan ligningen skrives som 8 x ∙ 3 x = 24 2 eller som 24 x = 24 2.

Herfra får vi x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Løsning.

Tager vi den fælles faktor 3 x - 2 ud af parenteser på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

hvorfra 3 x - 2 = 1, dvs. x – 2 = 0, x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x = 7 x.

Løsning.

Da 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x /7 x = 1, hvorfra (3/7) x = 1, x = 0.

Svar. x = 0.

Løs ligningen 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Løsning.

Ved at erstatte 3 x = a reduceres denne ligning til andengradsligning a 2 – 4a – 45 = 0.

Ved at løse denne ligning finder vi dens rødder: a 1 = 9 og 2 = -5, hvoraf 3 x = 9, 3 x = -5.

Ligningen 3 x = 9 har rod 2, og ligningen 3 x = -5 har ingen rødder, da eksponentialfunktionen ikke kan tage negative værdier.

Svar. x = 2.

At løse eksponentielle uligheder kommer ofte ned på at løse ulighederne a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Lad os se på nogle problemer.

Løs ulighed 3 x< 81.

Løsning.

Lad os skrive uligheden på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så er funktionen y = 3 x stigende.

Derfor for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Således ved x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. x< 4.

Løs uligheden 16 x +4 x – 2 > 0.

Løsning.

Lad os betegne 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulighed t2 + t – 2 > 0.

Denne ulighed gælder for t< -2 и при t > 1.

Da t = 4 x, får vi to uligheder 4 x< -2, 4 х > 1.

Den første ulighed har ingen løsninger, da 4 x > 0 for alle x € R.

Vi skriver den anden ulighed på formen 4 x > 4 0, hvorfra x > 0.

Svar. x > 0.

Løs grafisk ligningen (1/3) x = x – 2/3.

Løsning.

1) Lad os bygge grafer over funktionerne y = (1/3) x og y = x – 2/3.

2) Baseret på vores figur kan vi konkludere, at graferne for de betragtede funktioner skærer hinanden i punktet med abscissen x ≈ 1. Kontrol beviser, at

x = 1 er roden af denne ligning:

(1/3) 1 = 1/3 og 1 – 2/3 = 1/3.

Vi har med andre ord fundet en af ligningens rødder.

3) Lad os finde andre rødder eller bevise, at der ikke er nogen. Funktionen (1/3) x er faldende, og funktionen y = x – 2/3 er stigende. Derfor, for x > 1, er værdierne af den første funktion mindre end 1/3, og den anden - mere end 1/3; ved x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x = 1.

Bemærk, at især af løsningen af dette problem følger, at uligheden (1/3) x > x – 2/3 er opfyldt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Teori:

Ved løsning af uligheder anvendes følgende regler:

1. Ethvert led i uligheden kan overføres fra én del
uligheder til en anden modsat fortegn, mens tegnet på ulighed ikke ændres.

2. Begge sider af uligheden kan ganges eller divideres med en
og det samme positive tal uden at ændre ulighedstegnet.

3. Begge sider af uligheden kan ganges eller divideres med en
og det samme negative tal, ændre ulighedstegnet til
modsat.

Løs ulighed − 8 x + 11< − 3 x − 4
Løsning.

1. Lad os flytte penis - 3 x til venstre side af uligheden, og udtrykket 11 - til højre side af uligheden, mens fortegnene ændres til de modsatte - 3 x og kl 11 .
Så får vi

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

- 5 x< − 15

2. Lad os opdele begge sider af uligheden - 5 x< − 15 til et negativt tal − 5 , og ulighedstegnet < , vil skifte til > , dvs. vi går videre til en ulighed af den modsatte betydning.
Vi får:

- 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— løsning af en given ulighed.

Vær opmærksom!

Der er to muligheder for at skrive en løsning: x > 3 eller som et talinterval.

Lad os markere mængden af løsninger til uligheden på tallinjen og skrive svaret i form af et numerisk interval.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Svar: x > 3 eller x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraiske uligheder.

Kvadratiske uligheder. Rationelle uligheder af højere grader.

Metoder til løsning af uligheder afhænger hovedsageligt af, hvilken klasse de funktioner, der udgør uligheden, tilhører.

jeg. Kvadratiske uligheder, det vil sige uligheder i formen

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

For at løse uligheden kan du:

Faktorer det kvadratiske trinomium, det vil sige skriv uligheden i formen

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

Plot rødderne af polynomiet på tallinjen. Rødderne opdeler mængden af reelle tal i intervaller, i hver af dem er der et tilsvarende kvadratisk funktion vil være af konstant tegn.
Bestem tegnet for a (x - x 1) (x - x 2) i hvert interval og skriv svaret ned.

Hvis et kvadratisk trinomium ikke har nogen rødder, så for D<0 и a>0 kvadrattrinomium er positivt for enhver x.

Løs ulighed. x 2 + x - 6 > 0.

Faktor det kvadratiske trinomium (x + 3) (x - 2) > 0

Svar: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Denne ulighed er sand for enhver x undtagen x = 6.

Svar: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Her D< 0, a = 1 >0. Det kvadratiske trinomium er positivt for alle x.

Svar: x Î Ø.

Løs uligheder:

1 + x - 2x²< 0. Ответ:
3x² - 12x + 12 ≤ 0. Svar:
3x² - 7x + 5 ≤ 0. Svar:
2x² - 12x + 18 > 0. Svar:
For hvilke værdier af a gør uligheden

x² - ax > gælder for enhver x? Svar:

II. Rationelle uligheder af højere grader, det vil sige uligheder i formen

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Et polynomium af højeste grad skal faktoriseres, det vil sige uligheden skal skrives i formen

a n (x - x 1) (x - x 2) ·...· (x - x n) > 0 (<0).

Marker de punkter på tallinjen, hvor polynomiet forsvinder.

Bestem fortegnene for polynomiet på hvert interval.

1) Løs uligheden x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Så x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Svar: (0; 1) (2; 3).

2) Løs uligheden (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Lad os markere de punkter på talaksen, hvor polynomiet forsvinder. Disse er x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

I punktet x = - ½ er der ingen fortegnsændring, fordi binomialet (2x + 1) hæves til en lige potens, dvs. udtrykket (2x + 1) 4 ændrer ikke fortegn, når det passerer gennem punktet x = - ½.

Svar: (-∞; -2) (½; 1).

3) Løs uligheden: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Denne ulighed svarer til følgende sæt

Løsningen til (1) er x (-∞; -2) (3; +∞). Løsningen til (2) er x = 0, x = -2, x = 3. Ved at kombinere de opnåede løsninger får vi x О (-∞; -2] (0) (0) )