Uanset om tvungne vibrationer. Omdannelse af energi under oscillerende bevægelse

1. Lad os finde ud af, hvilke energitransformationer der sker under svingninger af et fjederpendul (se fig. 80). Når fjederen strækkes, er den potentiel energi stiger og ved maksimal udstrækning betyder det noget E n = .

Når belastningen bevæger sig mod ligevægtspositionen, falder fjederens potentielle energi, og belastningens kinetiske energi øges. I ligevægtspositionen er belastningens kinetiske energi maksimal E k = , og fjederens potentielle energi er nul.

Når en fjeder komprimeres, øges dens potentielle energi, og belastningens kinetiske energi falder. Ved maksimal kompression er fjederens potentielle energi maksimal, og belastningens kinetiske energi er nul.

Hvis vi negligerer friktionskraften, så er summen af potentiale og på ethvert tidspunkt kinetisk energi forbliver uændret

E = E n+ E k = konst.

Ved tilstedeværelse af en friktionskraft bruges energi på at arbejde mod denne kraft, amplituden af svingninger falder, og svingningerne dør ud.

Pendulets frie svingninger, der opstår på grund af den indledende energiforsyning, er således altid falmning.

2. Spørgsmålet opstår, hvad der skal til for at sikre, at udsvingene ikke stopper over tid. For at opnå udæmpede svingninger er det naturligvis nødvendigt at kompensere for energitab. Det kan lade sig gøre forskellige veje. Lad os overveje en af dem.

Du ved godt, at vibrationerne fra en gynge ikke vil dø ud, hvis du konstant skubber den, det vil sige handler på den med en vis kraft. I dette tilfælde er svingningens vibrationer ikke længere frie, de vil forekomme under påvirkning af en ekstern kraft. Arbejdet med denne ydre kraft genopbygger præcist energitabet forårsaget af friktion.

Lad os finde ud af, hvad den ydre kraft skal være? Lad os antage, at kraftens størrelse og retning er konstant. Det er klart, at svingningerne i dette tilfælde stopper, fordi kroppen, efter at have passeret ligevægtspositionen, ikke vender tilbage til den. Derfor skal størrelsen og retningen af den ydre kraft ændres periodisk.

Dermed,

tvangssvingninger er svingninger, der opstår under påvirkning af en ekstern, periodisk skiftende kraft.

Forcerede vibrationer, i modsætning til frie, kan forekomme ved enhver frekvens. Frekvensen af tvangssvingninger er lig med frekvensen af ændring af kraften, der virker på kroppen, i dette tilfælde kaldes det tvinge.

3. Lad os lave et eksperiment. Lad os hænge flere pendler fra et reb fast i stativerne forskellige længder(Fig. 82). Lad os afbøje pendulet EN fra ligevægtspositionen og overlade det til sig selv. Det vil oscillere frit og virker med en vis periodisk kraft på rebet. Rebet vil til gengæld virke på de resterende penduler. Som et resultat vil alle penduler begynde at udføre tvungne svingninger med frekvensen af svingninger af pendulet EN.

Vi vil se, at alle pendulerne vil begynde at svinge med en frekvens svarende til frekvensen af pendulets svingninger EN. Men deres amplitude af svingninger, bortset fra pendulet C, vil være mindre end amplituden af pendulsvingningerne EN. Pendulet C, hvis længde er lig med længden af pendulet EN, vil svinge meget stærkt. Pendulet har derfor den største svingningsamplitude, hvis egenfrekvens af svingninger falder sammen med drivkraftens frekvens. I dette tilfælde siger de, at det er observeret resonans.

Resonans er fænomenet med en kraftig stigning i amplituden af tvungne oscillationer, når frekvensen af drivkraften falder sammen med den naturlige frekvens af det oscillerende system (pendul).

Resonans kan observeres, når svinget svinger. Nu kan du forklare, at gyngen vil svinge kraftigere, hvis den bliver skubbet i takt med sine egne vibrationer. I dette tilfælde er frekvensen af den ydre kraft lig med svingningsfrekvensen. Ethvert tryk mod gyngens bevægelse vil medføre et fald i dets amplitude.

4 * . Lad os finde ud af, hvilke energitransformationer der sker under resonans.

Hvis frekvensen af drivkraften afviger fra kroppens naturlige vibrationsfrekvens, vil drivkraften blive rettet enten i kroppens bevægelsesretning eller mod den. Følgelig vil denne krafts arbejde enten være negativt eller positivt. Generelt ændrer drivkraftens arbejde i dette tilfælde lidt systemets energi.

Lad nu frekvensen af den ydre kraft være lig med kroppens naturlige frekvens af svingninger. I dette tilfælde falder retningen af drivkraften sammen med retningen af kroppens hastighed, og modstandskraften kompenseres af en ekstern kraft. Kroppen vibrerer kun under påvirkning af indre kræfter. Med andre ord er det negative arbejde mod modstandskraften lig med det positive arbejde af den ydre kraft. Derfor opstår svingninger med maksimal amplitude.

5. Fænomenet resonans skal tages i betragtning i praksis. Især værktøjsmaskiner og maskiner udsættes for små vibrationer under drift. Hvis frekvensen af disse vibrationer falder sammen med den naturlige frekvens af individuelle dele af maskinerne, så kan amplituden af vibrationerne være meget stor. Maskinen eller støtten, som den står på, vil kollapse.

Der er kendte tilfælde, hvor et fly på grund af resonans faldt fra hinanden i luften, skibes propeller gik i stykker, og jernbaneskinner kollapsede.

Resonans kan forhindres ved at ændre enten systemets egenfrekvens eller frekvensen af den kraft, der forårsager oscillationerne. Til dette formål går soldater, der krydser en bro, ikke i takt, men i frit tempo. Ellers kan frekvensen af deres trin falde sammen med broens naturlige frekvens, og den vil kollapse. Det skete i 1750 i Frankrig, da en afdeling af soldater passerede over en 102 m lang bro, der hang på lænker. En lignende hændelse fandt sted i Sankt Petersborg i 1906. Da en kavaleri-eskadron krydsede den egyptiske bro over Fontanka-floden, faldt hyppigheden af hestenes klare skridt sammen med broens vibrationsfrekvens.

For at forhindre resonans krydser tog broer ved lav eller meget høj hastighed, således at frekvensen af hjulpåvirkninger på skinnesamlingerne er væsentligt mindre eller væsentligt større end broens egenfrekvens.

Fænomenet resonans er ikke altid skadeligt. Nogle gange kan det være nyttigt, fordi det giver dig mulighed for at få lige lille kraft en stor stigning i amplituden af oscillationer.

Handlingen af en enhed, der giver dig mulighed for at måle frekvensen af oscillationer, er baseret på fænomenet resonans. Denne enhed kaldes frekvensmåler. Hans arbejde kan illustreres ved følgende eksperiment. En frekvensmålermodel er fastgjort til centrifugalmaskinen, som består af et sæt plader (tunger) af forskellig længde (fig. 83). For enderne af pladerne er der blikflag belagt med hvid maling. Du kan bemærke, at når du ændrer maskinhåndtagets rotationshastighed, begynder forskellige plader at vibrere. De plader, hvis naturlige frekvens er lig med rotationsfrekvensen, begynder at vibrere.

Selvtest spørgsmål

1. Hvad bestemmer amplituden af frie svingninger af et fjederpendul?

2. Forbliver amplituden af et penduls svingninger konstant i nærvær af friktionskræfter?

3. Hvilke energitransformationer sker, når et fjederpendul svinger?

4. Hvorfor dæmpes frie svingninger?

5. Hvilke vibrationer kaldes forcerede? Giv eksempler på forcerede svingninger.

6. Hvad er resonans?

7. Giv eksempler på skadelige manifestationer af resonans. Hvad skal der gøres for at forhindre resonans?

8. Giv eksempler på brugen af resonansfænomenet.

Opgave 26

1. Udfyld tabel 14, og skriv ned, hvilken kraft der virker på svingningssystemet, hvis det udfører frie eller forcerede svingninger; hvad er frekvensen og amplituden af disse oscillationer; om de er dæmpede eller ej.

Tabel 14

Oscillationsegenskaber	Type af vibrationer
	Ledig	Tvunget
Handlekraft
Frekvens
Amplitude
Dæmpning

2 e.Foreslå et eksperiment til observation af forcerede svingninger.

3 e.Undersøg eksperimentelt fænomenet resonans ved hjælp af matematiske penduler, du har lavet.

4. Ved en vis omdrejningshastighed af symaskinens hjul, svajer bordet, som det står på, nogle gange kraftigt. Hvorfor?

I modsætning til frie svingninger, når systemet kun modtager én gang (når systemet fjernes fra), i tilfælde af tvangssvingninger, absorberer systemet denne energi fra en kilde til ekstern periodisk kraft kontinuerligt. Denne energi genopbygger de tab, der bruges på at overvinde, og derfor forbliver det samlede nej stadig uændret.

Forcerede vibrationer, i modsætning til frie, kan forekomme ved enhver frekvens. falder sammen med frekvensen af den ydre kraft, der virker på oscillatorsystemet. Frekvensen af tvangssvingninger bestemmes således ikke af systemets egenskaber, men af frekvensen ydre påvirkning.

Eksempler på tvungne vibrationer er vibrationer af en børnegynge, vibrationer af en nål i symaskine, et stempel i en cylinder i en bilmotor, fjedre i en bil, der bevæger sig på en ujævn vej osv.

Resonans

DEFINITION

Resonans– dette er fænomenet med en kraftig stigning i tvangssvingninger, når frekvensen af drivkraften nærmer sig oscillationssystemets egenfrekvens.

Resonans opstår på grund af det faktum, at når en ydre kraft, der virker i takt med frie vibrationer, altid har samme retning fra det oscillerende legeme og udfører positivt arbejde: energien i det oscillerende legeme øges og bliver stor. Hvis en ekstern kraft virker "ude af trit", så udfører denne kraft skiftevis negativt og positivt arbejde, og som et resultat ændres systemets energi en smule.

Figur 1 viser afhængigheden af amplituden af tvungne oscillationer af frekvensen af drivkraften. Det kan ses, at denne amplitude når et maksimum ved en bestemt frekvensværdi, dvs. ved , hvor er den naturlige frekvens af det oscillerende system. Kurver 1 og 2 adskiller sig i størrelsen af friktionskraften. Ved lav friktion (kurve 1) har resonanskurven et skarpt maksimum, kl større styrke friktion (kurve 2) der er ikke et så skarpt maksimum.

Vi støder ofte på fænomenet resonans i Hverdagen. Hvis vinduerne i rummet begyndte at ryste, da en tung lastbil kørte langs gaden, betyder det, at glassets naturlige vibrationsfrekvens er lig med bilens vibrationsfrekvens. Hvis havets bølger falder i resonans med skibets periode, bliver bevægelsen særlig stærk.

Fænomenet resonans skal tages i betragtning ved design af broer, bygninger og andre konstruktioner, der oplever vibrationer under belastning, ellers kan disse konstruktioner under visse forhold blive ødelagt. Resonans kan dog også være gavnlig. Fænomenet resonans bruges, når man tuner en radiomodtager til en bestemt sendefrekvens, såvel som i mange andre tilfælde.

Eksempler på problemløsning

EKSEMPEL 1

Dyrke motion

Enden af fjederen af et vandret pendul, hvis belastning har en masse på 1 kg, påvirkes af en variabel kraft, hvis svingningsfrekvens er 16 Hz. Vil der blive observeret resonans, hvis fjederstivheden er 400 N/m?

Løsning

Lad os bestemme den naturlige frekvens af det oscillerende system ved hjælp af formlen:

Da frekvensen af den ydre kraft ikke er lig med systemets naturlige frekvens, vil fænomenet resonans ikke blive observeret.

Svar

Fænomenet resonans vil ikke blive observeret.

EKSEMPEL 2

Dyrke motion

En lille kugle er ophængt i en 1 m lang tråd fra loftet på en vogn. Ved hvilken hastighed af bilen vil bolden vibrere særligt kraftigt under påvirkning af hjulene, der rammer skinneforbindelserne? Skinnelængde 12,5 m.

Løsning

Bolden udfører tvangssvingninger med en frekvens svarende til hyppigheden af hjulenes stød på skinneforbindelserne:

Hvis kuglens dimensioner er små sammenlignet med længden af gevindet, kan systemet anses for at have en naturlig svingningsfrekvens:

amplituden af tvungne udæmpede svingninger er maksimal i tilfælde af resonans, dvs. Hvornår . Så kan vi skrive:

Forcerede vibrationer

vibrationer, der opstår i ethvert system under påvirkning af en variabel ekstern kraft (f.eks. vibrationer af en telefonmembran under påvirkning af en vekslende magnetfelt, vibrationer af en mekanisk struktur under påvirkning af en variabel belastning osv.). Et militær systems natur bestemmes både af den ydre krafts natur og af systemets egenskaber. I begyndelsen af virkningen af en periodisk ydre kraft, ændres karakteren af V. c. med tiden (især V. c. er ikke periodiske), og først efter nogen tid periodiske V. c system med en periode svarende til perioden for den ydre kraft (steady-state VC.). Etableringen af en spænding i et oscillerende system sker jo hurtigere, jo større dæmpning af svingninger i dette system.

Især i lineære oscillatoriske systemer (se oscillatoriske systemer), når en ekstern kraft aktiveres, opstår der samtidig frie (eller naturlige) svingninger og svingninger i systemet, og amplituderne af disse oscillationer i det indledende øjeblik er ens, og faser er modsatte ( ris. ). Efter den gradvise dæmpning af frie svingninger er der kun stabile svingninger tilbage i systemet.

Amplituden af VK bestemmes af amplituden handlekraft og dæmpning i systemet. Hvis dæmpningen er lille, afhænger amplituden af spændingsbølgen væsentligt af forholdet mellem frekvensen af den virkende kraft og frekvensen af systemets naturlige oscillationer. Når frekvensen af den ydre kraft nærmer sig systemets naturlige frekvens, stiger amplituden af VK kraftigt - der opstår resonans. I ikke-lineære systemer (Se ikke-lineære systemer) er opdeling i frit og fritflydende systemer ikke altid mulig.

Lit.: Khaikin S.E., Fysiske grundlæggende mekanik, M., 1963.

Store sovjetiske encyklopædi. - M.: Sovjetisk Encyklopædi. 1969-1978 .

Se, hvad "Tvangssvingninger" er i andre ordbøger:

Forcerede vibrationer- Forcerede vibrationer. Afhængighed af deres amplitude af frekvensen af ekstern påvirkning ved forskellig dæmpning: 1 svag dæmpning; 2 stærk dæmpning; 3 kritisk dæmpning. TVUNGTE VIBRATIONER, svingninger, der forekommer i ethvert system i... ... Illustreret encyklopædisk ordbog

tvangssvingninger- Oscillationer, der forekommer under periodisk påvirkning af en ekstern generaliseret kraft. [Ikke-destruktivt testsystem. Typer (metoder) og teknologi for ikke-destruktiv testning. Begreber og definitioner (opslagsbog). Moskva 2003] tvunget... ... Teknisk oversættervejledning

Forcerede svingninger er svingninger, der opstår under påvirkning af eksterne kræfter, der ændrer sig over tid. Selvsvingninger adskiller sig fra tvangssvingninger ved, at sidstnævnte er forårsaget af periodiske ydre påvirkninger og forekommer med frekvensen af denne ... Wikipedia

TVUNGTE VIBRATIONER, vibrationer, der opstår i ethvert system som følge af periodisk skiftende ydre påvirkninger: kræfter i mekanisk system, spænding eller strøm i oscillerende kredsløb. Tvangssvingninger forekommer altid med... ... Moderne encyklopædi

Oscillationer, der opstår i den kosmiske l. system under påvirkning af periodiske ext. kræfter (for eksempel vibrationer af telefonmembranen under påvirkning af et vekslende magnetfelt, vibrationer af en mekanisk struktur under påvirkning af en vekslende belastning). Har r V. k er defineret som ekstern. med magt... Fysisk encyklopædi

Oscillationer, der opstår i den kosmiske l. system under påvirkning af alternerende ext. påvirkninger (f.eks. udsving i spænding og strøm i et elektrisk kredsløb forårsaget af vekslende emk; vibrationer i et mekanisk system forårsaget af vekslende belastning). Karakteren af V. K. bestemmes af... ... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

De opstår i et system under påvirkning af periodiske ydre påvirkninger (for eksempel tvangssvingninger af et pendul under påvirkning af en periodisk kraft, tvangssvingninger i et oscillerende kredsløb under påvirkning af en periodisk elektromotorisk kraft). Hvis … … Stor encyklopædisk ordbog

Forcerede vibrationer- (vibration) – oscillationer (vibrationer) af systemet forårsaget og understøttet af kraft og (eller) kinematisk excitation. [GOST 24346 80] Tvungede vibrationer er vibrationer i systemer forårsaget af virkningen af tidsvarierende belastninger. [Branche ... ... Encyklopædi af begreber, definitioner og forklaringer byggematerialer

- (Begrænsede vibrationer, tvungne vibrationer) vibrationer af kroppen forårsaget af en periodisk virkende ydre kraft. Hvis perioden med tvangssvingninger falder sammen med kroppens naturlige svingninger, opstår fænomenet resonans. Samoilov K.I.... ...Marine Ordbog

TVUNGTE VIBRATIONER- (se), der opstår i ethvert system under indflydelse af ekstern variabel indflydelse; deres karakter bestemmes både af egenskaberne ved den ydre påvirkning og af egenskaberne ved selve systemet. Når frekvensen af ekstern påvirkning nærmer sig frekvensen af naturlig... Big Polytechnic Encyclopedia

Bøger

Forcerede vibrationer af akseltorsion under hensyntagen til dæmpning, A.P. Filippov, Gengivet i den originale forfatters stavemåde fra 1934-udgaven (forlaget Izvestia fra USSR Academy of Sciences). I… Kategori: Matematik Udgiver: YOYO Media, Producent: Yoyo Media,
Tvungen tværgående vibrationer af stænger under hensyntagen til dæmpning, A.P. Filippov, Gengivet i den originale forfatters stavemåde af 1935-udgaven (forlaget "Izvestia of the USSR Academy of Sciences")... Kategori:

Tab af mekanisk energi i ethvert oscillerende system på grund af tilstedeværelsen af friktionskræfter er uundgåeligt, derfor vil oscillationerne blive dæmpet uden at "pumpe" energi udefra. Der er flere fundamentalt forskellige måder at skabe oscillerende systemer af kontinuerlige svingninger. Lad os se nærmere på udæmpede svingninger under påvirkning af en ekstern periodisk kraft. Sådanne svingninger kaldes tvungne. Lad os fortsætte med at studere bevægelsen af et harmonisk pendul (fig. 6.9).

Ud over de tidligere omtalte elasticitetskræfter og viskøs friktion påvirkes bolden af en ekstern overbevisende periodisk kraft, der varierer i henhold til en harmonisk lov

frekvens, som kan afvige fra pendulets naturlige svingningsfrekvens ω o. Arten af denne kraft i dette tilfælde er ikke vigtig for os. En sådan kraft kan skabes på forskellige måder, for eksempel ved at give bolden en elektrisk ladning og placere den i et eksternt vekslende elektrisk felt. Kuglens bevægelsesligning i det pågældende tilfælde har formen

Lad os dividere det med kuglens masse og bruge den foregående notation til systemparametrene. Som et resultat får vi tvangssvingningsligning:

Hvor f o =F o /m− forholdet mellem amplitudeværdien af den ydre drivkraft og kuglens masse. Den generelle løsning af ligning (3) er ret besværlig og afhænger naturligvis af startbetingelserne. Arten af boldens bevægelse, beskrevet af ligning (3), er klar: under påvirkning af drivkraften vil der opstå svingninger, hvis amplitude vil stige. Denne overgangsordning er ret kompleks og afhænger af de oprindelige betingelser. Efter et vist tidsrum vil den oscillerende tilstand blive etableret, og deres amplitude vil ophøre med at ændre sig. Nemlig stabil oscillationstilstand, er i mange tilfælde af primær interesse. Vi vil ikke overveje overgangen af systemet til en stabil tilstand, men vil koncentrere os om at beskrive og studere denne tilstands egenskaber. Med denne formulering af problemet er der ikke behov for at specificere begyndelsesbetingelser, da den steady state, vi er interesseret i, ikke afhænger af startbetingelserne, dens karakteristika er fuldstændig bestemt af selve ligningen. Vi stødte på en lignende situation, da vi studerede et legemes bevægelse under påvirkning af en konstant ydre kraft og kraften af viskøs friktion

Efter nogen tid bevæger kroppen sig med en konstant konstant hastighed v = F o /β , som ikke afhænger af startbetingelserne og er fuldstændig bestemt af bevægelsesligningen. Indledende forhold bestemme tilstanden overgang til stabil bevægelse. Baseret på sund fornuft er det rimeligt at antage, at i en steady mode of oscillation vil bolden oscillere med frekvensen af den eksterne drivkraft. Derfor bør løsningen til ligning (3) søges i en harmonisk funktion med frekvensen af drivkraften. Lad os først løse ligning (3) og negligere modstandskraften

Lad os prøve at finde dens løsning i form af en harmonisk funktion

For at gøre dette beregner vi afhængigheden af kroppens hastighed og acceleration til tiden, som afledte af bevægelsesloven

og erstatte deres værdier i ligning (4)

Nu kan du reducere det med koste. Som følge heraf bliver dette udtryk til den korrekte identitet til enhver tid, forudsat at betingelsen er opfyldt

Således var vores antagelse om løsningen af ligning (4) i form (5) berettiget: den stabile tilstand af oscillationer er beskrevet af funktionen

Bemærk, at koefficienten EN ifølge det resulterende udtryk kan (6) enten være positivt (med ω < ω o), og negativ (med ω > ω o). Ændringen i fortegn svarer til en ændring i fasen af svingninger med π (årsagen til denne ændring vil blive afklaret lidt senere), derfor er amplituden af oscillationerne modulet af denne koefficient |A|. Amplituden af steady-state oscillationerne er, som man kunne forvente, proportional med størrelsen af drivkraften. Derudover afhænger denne amplitude på en kompleks måde af frekvensen af drivkraften. En skematisk graf over dette forhold er vist i fig. 6.10

Ris. 6.10 Resonanskurve

Som det følger af formel (6) og tydeligt ses på grafen, når frekvensen af drivkraften nærmer sig systemets egenfrekvens, øges amplituden kraftigt. Årsagen til denne stigning i amplitude er klar: drivkraften "under" skubber bolden, når frekvenserne falder helt sammen, er den etablerede tilstand fraværende - amplituden stiger til uendelig. Selvfølgelig er det i praksis umuligt at observere en sådan uendelig stigning: for det første, dette kan føre til ødelæggelse af selve oscillerende systemet, For det andet, ved store svingningsamplituder kan mediets modstandskræfter ikke negligeres.

Naturligvis bør løsningen også i dette tilfælde søges i form af en harmonisk funktion med frekvensen af drivkraften. Det er let at se, at søgning efter en løsning i form (5) i dette tilfælde ikke vil føre til succes. Faktisk indeholder ligning (8), i modsætning til ligning (4), partikelhastigheden, som beskrives af sinusfunktionen. Derfor vil tidsdelen i ligning (8) ikke blive reduceret. Derfor bør løsningen til ligning (8) repræsenteres i den generelle form af en harmonisk funktion

hvor der er to parametre EN o Og φ skal findes ved hjælp af ligning (8). Parameter EN o er amplituden af tvungne oscillationer, φ − faseskift mellem den skiftende koordinat og den variable drivkraft. Ved at bruge den trigonometriske formel for summens cosinus kan funktion (9) repræsenteres i den ækvivalente form

som også indeholder to parametre B=A o cosφ Og C = −A o sinφ mangler at blive afklaret. Ved hjælp af funktion (10) skriver vi eksplicitte udtryk for afhængighederne af en partikels hastighed og acceleration til tiden

og indsæt i ligning (8):

Lad os omskrive dette udtryk i formen

For at lighed (13) til enhver tid skal være opfyldt, er det nødvendigt, at koefficienterne for cosinus og sinus er lig med nul. Baseret på denne betingelse får vi to lineære ligninger til bestemmelse af funktionsparametrene (10):

Løsningen til dette ligningssystem har formen

Baseret på formel (10) bestemmer vi egenskaberne for tvungne oscillationer: amplitude

faseskift

Ved lav dæmpning har denne afhængighed et skarpt maksimum, når drivkraftfrekvensen nærmer sig ω til systemets naturlige frekvens ω o. Der kan således også i dette tilfælde forekomme resonans, hvorfor de plottede afhængigheder ofte kaldes en resonanskurve. Under hensyntagen til svag dæmpning viser, at amplituden ikke stiger til uendeligt, dens maksimale værdi afhænger af dæmpningskoefficienten - når sidstnævnte stiger, falder den maksimale amplitude hurtigt. Den resulterende afhængighed af oscillationsamplituden af frekvensen af drivkraften (16) indeholder for mange uafhængige parametre ( f o , ω o , γ ) for at konstruere en komplet familie af resonanskurver. Som i mange tilfælde kan dette forhold forenkles betydeligt ved at flytte til "dimensionsløse" variabler. Lad os transformere formel (16) til følgende form

og betegne

− relativ frekvens (forholdet mellem frekvensen af drivkraften og den naturlige frekvens af oscillationer i systemet);

− relativ amplitude (forholdet mellem oscillationsamplituden og afvigelsesværdien EN o = f/ω o 2 ved nul frekvens);

− dimensionsløs parameter, der bestemmer mængden af dæmpning. Ved at bruge disse notationer er funktion (16) væsentligt forenklet

da den kun indeholder én parameter − δ . En én-parameter familie af resonanskurver beskrevet af funktion (16 b) kan konstrueres, især let ved hjælp af en computer. Resultatet af denne konstruktion er vist i fig. 629.

ris. 6.11

Bemærk, at overgangen til "konventionelle" måleenheder kan udføres ved blot at ændre skalaen af koordinatakserne.

Det skal bemærkes, at frekvensen af drivkraften, ved hvilken amplituden af tvangssvingninger er maksimal, også afhænger af dæmpningskoefficienten, idet den falder lidt efterhånden som sidstnævnte stiger. Til sidst understreger vi, at en stigning i dæmpningskoefficienten fører til en væsentlig forøgelse af bredden af resonanskurven. Den resulterende faseforskydning mellem punktets svingninger og drivkraften afhænger også af svingningernes frekvens og deres dæmpningskoefficient. Vi vil blive mere fortrolige med denne faseskifts rolle, når vi overvejer energiomdannelse i processen med tvangssvingninger.

frekvensen af frie udæmpede svingninger falder sammen med egenfrekvensen, frekvensen af dæmpede svingninger er lidt mindre end den naturlige, og frekvensen af forcerede svingninger falder sammen med frekvensen af drivkraften, og ikke egenfrekvensen.

Forcerede elektromagnetiske svingninger Tvunget

Disse er de svingninger, der opstår i et svingningssystem under påvirkning af en ekstern periodisk påvirkning.

Fig.6.12. Kredsløb med tvungne elektriske svingninger Lad os overveje de processer, der forekommer i et elektrisk oscillerende kredsløb ( Fig.6.12

), forbundet til en ekstern kilde, hvis emk varierer i henhold til den harmoniske lov  Hvor m

– amplitude af ekstern EMF,

 – cyklisk frekvens af EMF. Lad os betegne med C U spænding over kondensatoren og igennem - jeg  (strømstyrken i kredsløbet. I dette kredsløb, ud over den variable EMF t  ) den selv-inducerede emk er også aktiv L

i induktoren.

Selvinduktions-emk er direkte proportional med strømændringshastigheden i kredsløbet Til tilbagetrækning differentialligning for tvangssvingninger

opstår i et sådant kredsløb, bruger vi Kirchhoffs anden regel Spænding over aktiv modstand R

finde efter Ohms lov

Styrken af den elektriske strøm er lig med ladningen, der strømmer per tidsenhed gennem lederens tværsnit

Derfor Lad os betegne med C Spænding

på kondensatoren er direkte proportional med ladningen på kondensatorpladerne

At erstatte spænding og EMF i Kirchhoffs anden regel

At dividere begge sider af dette udtryk med ) den selv-inducerede emk er også aktiv og fordeler vilkårene i overensstemmelse med graden af aftagende rækkefølge af den afledte, får vi en andenordens differentialligning

Lad os introducere følgende notation og få

– dæmpningskoefficient,

– cyklisk frekvens af naturlige svingninger i kredsløbet.

. (1)

Ligning (1) er heterogen lineær differentialligning af anden orden. Denne type ligning beskriver adfærden af en bred klasse af oscillerende systemer (elektriske, mekaniske) under påvirkning af ekstern periodisk påvirkning (ydre emk eller ekstern kraft).

Den generelle løsning af ligning (1) består af den generelle løsning q 1 homogen differentialligning (2)

(2)

og enhver privat løsning q 2 heterogen ligninger (1)

Type generel løsning homogen ligning (2) afhænger af værdien af dæmpningskoefficienten  . Vi vil være interesserede i tilfælde af svag dæmpning  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Hvor B Og  0 – konstanter angivet af startbetingelserne.

Løsning (3) beskriver dæmpede svingninger i kredsløbet. Værdier inkluderet i (3):

– cyklisk frekvens af dæmpede svingninger;

– amplitude af dæmpede svingninger;

-fase af dæmpede svingninger.

Vi leder efter en bestemt løsning til ligning (1) i form af en harmonisk svingning, der forekommer med en frekvens lig med frekvensen  ekstern periodisk påvirkning - EMF, og halter i fase ved  Fra ham

Hvor
– amplitude af tvungne svingninger, afhængig af frekvens.

Lad os erstatte (4) med (1) og få identiteten

For at sammenligne faserne af oscillationer bruger vi trigonometriske reduktionsformler

Så vil vores ligning blive omskrevet som

Lad os repræsentere oscillationerne på venstre side af den resulterende identitet i formen vektor diagram (ris.6.13)..

Det tredje led svarende til svingninger på kapacitansen MED, have fase (  strømstyrken i kredsløbet. I dette kredsløb, ud over den variable EMF –  ) og amplitude
, repræsenterer vi det som en vandret vektor rettet mod højre.

Fig.6.13. Vektor diagram

Det første led på venstre side, svarende til svingninger i induktans ) den selv-inducerede emk er også aktiv, vil blive afbildet på vektordiagrammet som en vektor rettet vandret til venstre (dens amplitude
).

Andet led svarende til oscillationer i modstand Spænding over aktiv modstand, repræsenterer vi det som en vektor rettet lodret opad (dens amplitude
), fordi dens fase er /2 bag fasen af det første led.

Da summen af tre vibrationer til venstre for lighedstegnet giver en harmonisk vibration
, så viser vektorsummen på diagrammet (diagonalen af rektanglet) en oscillation med en amplitude og fase  strømstyrken i kredsløbet. I dette kredsløb, ud over den variable EMF, som er tændt  fremskynder oscillationsfasen i tredje termin.

Fra en retvinklet trekant kan du ved hjælp af Pythagoras sætning finde amplituden EN( )

(5)

Og tg som forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.

. (6)

Følgelig vil løsning (4) under hensyntagen til (5) og (6) antage formen

. (7)

Generel løsning af en differentialligning(1) er summen q 1 og q 2

. (8)

Formel (8) viser, at når et kredsløb udsættes for en periodisk ekstern EMF, opstår der oscillationer af to frekvenser i det, dvs. udæmpede svingninger med frekvensen af ekstern EMF  og dæmpede svingninger med frekvens
. Amplitude af dæmpede svingninger
Over tid bliver det ubetydeligt lille, og kun tvungne svingninger forbliver i kredsløbet, hvis amplitude ikke afhænger af tiden. Følgelig beskrives steady-state forcerede oscillationer ved funktion (4). Det vil sige, at der forekommer tvungne harmoniske oscillationer i kredsløbet med en frekvens svarende til frekvensen af den eksterne påvirkning og amplitude
afhængigt af denne frekvens ( ris. 3EN) ifølge lov (5). I dette tilfælde halter fasen af den tvungne oscillation bagud  fra tvangspåvirkning.

Efter at have differentieret udtryk (4) med hensyn til tid, finder vi strømstyrken i kredsløbet

Hvor
– strømamplitude.

Lad os skrive dette udtryk for den aktuelle styrke i formen

, (9)

Hvor
–faseforskydning mellem strøm og ekstern emk.

I overensstemmelse med (6) og ris. 2

. (10)

Af denne formel følger det, at faseforskydningen mellem strømmen og den eksterne emk afhænger ved konstant modstand Spænding over aktiv modstand, fra forholdet mellem frekvensen af den drivende EMF  og kredsløbets egenfrekvens  0 .

Hvis  <  0, derefter faseforskydningen mellem den nuværende og den eksterne EMF  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Hvis  >  0 så  > 0. Strømudsving halter efter EMF-udsving i fase med en vinkel  .

Hvis  =  0 (resonansfrekvens), At  = 0, dvs. strømmen og EMF svinger i samme fase.

Resonans– dette er fænomenet med en kraftig stigning i amplituden af svingninger, når frekvensen af den ydre, drivende kraft falder sammen med den naturlige frekvens i det oscillerende system.

Ved resonans  =  0 og svingningsperiode

I betragtning af, at dæmpningskoefficienten

får vi udtryk for kvalitetsfaktoren ved resonans T = T 0

på den anden side

Spændingsamplituderne over induktans og kapacitans ved resonans kan udtrykkes gennem kredsløbets kvalitetsfaktor

, (15)

. (16)

Af (15) og (16) fremgår det klart, at hvornår  =  0, spændingsamplitude over kondensatoren og induktans ind Q gange større end amplituden af den eksterne emf. Dette er en egenskab af sekventiel RLC kredsløb bruges til at isolere et radiosignal af en bestemt frekvens
fra radiofrekvensspektret ved ombygning af radiomodtageren.

På praksis RLC kredsløb er forbundet med andre kredsløb, måleinstrumenter eller forstærkeranordninger, der indfører yderligere dæmpning i RLC kredsløb. Derfor er den reelle værdi af kvalitetsfaktoren for den indlæste RLC kredsløb viser sig at være lavere end værdien af kvalitetsfaktoren, estimeret af formlen

Den reelle værdi af kvalitetsfaktoren kan estimeres som

Fig.6.14. Bestemmelse af kvalitetsfaktoren ud fra resonanskurven

hvor  f– båndbredde af frekvenser, hvor amplituden er 0,7 af den maksimale værdi ( ris. 4).

Kondensator spænding Lad os betegne med C, på aktiv modstand Lad os betegne med Spænding over aktiv modstand og på induktoren Lad os betegne med ) den selv-inducerede emk er også aktiv nå et maksimum ved henholdsvis forskellige frekvenser

,
,
.

Hvis dæmpningen er lav  0 >>  , så er alle disse frekvenser praktisk talt sammenfaldende, og det kan vi antage

Tvundne svingninger er de svingninger, der opstår i et system, når en ekstern forcering, periodisk skiftende kraft, kaldet en drivkraft, virker på det.

Karakteren (tidsafhængighed) af drivkraften kan være anderledes. Dette kan være en kraft, der ændrer sig ifølge en harmonisk lov. For eksempel rammer en lydbølge, hvis kilde er en stemmegaffel, trommehinden eller mikrofonmembranen. En harmonisk skiftende kraft af lufttrykket begynder at virke på membranen.

Drivkraften kan have karakter af stød eller korte impulser. For eksempel svinger en voksen et barn på en gynge og skubber dem med jævne mellemrum i det øjeblik, hvor gyngen når en af sine yderstillinger.

Vores opgave er at finde ud af, hvordan det oscillerende system reagerer på påvirkningen fra en periodisk skiftende drivkraft.

§ 1 Drivkraften ændres efter den harmoniske lov

F resist = - rv x og tvingende kraft F ud = F 0 sin wt.

Newtons anden lov vil blive skrevet som:

Løsningen til ligning (1) søges på formen , hvor er løsningen til ligning (1), hvis den ikke havde højre side. Det kan ses, at uden højre side bliver ligningen til den velkendte ligning af dæmpede svingninger, hvis løsning vi allerede kender. Over tilstrækkelig lang tid vil de frie svingninger, der opstår i systemet, når det fjernes fra ligevægtspositionen, praktisk talt dø ud, og kun det andet led forbliver i ligningens løsning. Vi vil lede efter denne løsning i formularen
Lad os gruppere begreberne anderledes:

Denne lighed skal være sand til enhver tid t, hvilket kun er muligt, hvis koefficienterne for sinus og cosinus er lig med nul.

Så et legeme, der påvirkes af en drivkraft, der ændrer sig i henhold til en harmonisk lov, udfører oscillerende bevægelse med drivkraftens frekvens.

Lad os undersøge mere detaljeret spørgsmålet om amplituden af tvungne oscillationer:

1 Amplituden af steady-state forcerede oscillationer ændres ikke over tid. (Sammenlign med amplituden af frie dæmpede svingninger).

2 Amplituden af tvangssvingninger er direkte proportional med amplituden af drivkraften.

3 Amplituden afhænger af friktionen i systemet (A afhænger af d, og dæmpningskoefficienten d afhænger til gengæld af modstandskoefficienten r). Jo større friktionen i systemet er, jo mindre er amplituden af tvungne svingninger.

4 Amplituden af tvungne oscillationer afhænger af frekvensen af drivkraften w. Hvordan? Lad os studere funktionen A(w).

Ved w = 0 (en konstant kraft virker på svingningssystemet) er kroppens forskydning konstant over tid (det skal tages i betragtning, at dette refererer til en steady state, hvor de naturlige svingninger næsten er uddøde).

· Når w ® ¥, så, som det er let at se, tenderer amplitude A til nul.

· Det er klart, at ved en eller anden frekvens af drivkraften vil amplituden af de tvungne oscillationer tage højeste værdi(for en given d). Fænomenet med en kraftig stigning i amplituden af tvungne svingninger ved en vis værdi af drivkraftens frekvens kaldes mekanisk resonans.

Det er interessant, at kvalitetsfaktoren af det oscillerende system i dette tilfælde viser, hvor mange gange resonansamplituden overstiger kroppens forskydning fra ligevægtspositionen under påvirkning af en konstant kraft F 0 .

Vi ser, at både resonansfrekvensen og resonansamplituden afhænger af dæmpningskoefficienten d. Når d falder til nul, stiger resonansfrekvensen og tenderer til den naturlige oscillationsfrekvens af systemet w 0 . I dette tilfælde øges resonansamplituden, og ved d = 0 går den til uendelig. Selvfølgelig kan amplituden af svingninger i praksis ikke være uendelig, da modstandskræfter altid virker i virkelige oscillatoriske systemer. Hvis systemet har lav dæmpning, kan vi omtrent antage, at resonans forekommer ved frekvensen af naturlige svingninger:

hvor i det pågældende tilfælde er faseforskydningen mellem drivkraften og kroppens forskydning fra ligevægtspositionen.

Det er let at se, at faseforskydningen mellem kraft og forskydning afhænger af friktionen i systemet og frekvensen af den eksterne drivkraft. Denne afhængighed er vist på figuren. Det er klart, hvornår< тангенс принимает negative værdier, og for > - positiv.

Ved at kende afhængigheden af vinklen, kan man opnå afhængigheden af frekvensen af drivkraften.

Ved frekvenser af den ydre kraft, der er væsentligt lavere end den naturlige kraft, halter forskydningen lidt efter drivkraften i fase. Når frekvensen af den ydre kraft stiger, øges denne faseforsinkelse. Ved resonans (hvis lille), bliver faseforskydningen lig med . Når >> forskydningen og kraftoscillationerne forekommer i modfase. Denne afhængighed kan virke underlig ved første øjekast. For at forstå denne kendsgerning, lad os vende os til energitransformationer i processen med tvungne oscillationer.

§ 2 Energiomdannelser

Som vi allerede ved, er amplituden af oscillationer bestemt af den samlede energi af det oscillerende system. Det blev tidligere vist, at amplituden af tvungne svingninger forbliver uændret over tid. Det betyder, at den samlede mekaniske energi i det oscillerende system ikke ændrer sig over tid. Hvorfor? Systemet er jo ikke lukket! To kræfter - en ekstern periodisk skiftende kraft og en modstandskraft - udfører arbejde, der skal ændre systemets samlede energi.

Lad os prøve at finde ud af, hvad der foregår. Styrken af den ydre drivkraft kan findes som følger:

Vi ser, at kraften af den ydre kraft, der forsyner oscillationssystemet med energi, er proportional med oscillationsamplituden.

På grund af modstandskraftens arbejde bør energien i det oscillerende system falde og blive til intern. Modstandskraft:

Det er klart, at kraften af modstandskraften er proportional med kvadratet af amplituden. Lad os plotte begge afhængigheder på en graf.

For at svingningerne skal være stabile (amplituden ændrer sig ikke over tid), skal den ydre krafts arbejde i perioden kompensere for systemets energitab på grund af modstandskraftens arbejde. Skæringspunktet for effektgraferne svarer nøjagtigt til dette regime. Lad os forestille os, at amplituden af tvungne oscillationer af en eller anden grund er faldet. Dette vil føre til det faktum, at den øjeblikkelige kraft af den ydre kraft vil være større end kraften af tab. Dette vil føre til en stigning i energien i det oscillatoriske system, og amplituden af oscillationerne vil genoprette dens tidligere værdi.

På lignende måde kan man være overbevist om, at med en tilfældig stigning i amplituden af svingninger vil effekttabene overstige effekten af den eksterne kraft, hvilket vil føre til et fald i systemets energi, og som følge heraf et fald i amplituden.

Lad os vende tilbage til spørgsmålet om faseforskydningen mellem forskydningen og drivkraften ved resonans. Vi har allerede vist, at forskydningen halter bagud, og derfor leder kraften forskydningen, med . På den anden side er hastighedsprojektionen i processen med harmoniske svingninger altid foran koordinaten med . Det betyder, at under resonans svinger den ydre drivkraft og hastighed i samme fase. Det betyder, at de er co-dirigeret til enhver tid! Den ydre krafts arbejde i dette tilfælde er altid positivt, det alle går til at genopbygge svingningssystemet med energi.

§ 3 Ikke-sinusformet periodisk påvirkning

Forcerede oscillatoroscillationer er mulige under enhver periodisk ekstern påvirkning, ikke kun sinusformet. I dette tilfælde vil de etablerede svingninger generelt set ikke være sinusformede, men de vil repræsentere en periodisk bevægelse med en periode svarende til perioden for den ydre påvirkning.

En ydre påvirkning kan for eksempel være successive stød (husk, hvordan en voksen "gynger" et barn, der sidder på en gynge). Hvis perioden med eksterne stød falder sammen med perioden med naturlige svingninger, kan der forekomme resonans i systemet. Oscillationerne vil være næsten sinusformede. Den energi, der tildeles systemet ved hvert tryk, genopbygger systemets samlede energi, der går tabt på grund af friktion. Det er klart, at i dette tilfælde er muligheder mulige: hvis energien tilført under et skub er lig med eller overstiger friktionstabene pr. periode, så vil svingningerne enten være stabile, eller deres omfang vil stige. Dette er tydeligt synligt i fasediagrammet.

Det er indlysende, at resonans også er mulig i det tilfælde, hvor perioden med gentagelse af stød er et multiplum af perioden med naturlige svingninger. Dette er umuligt med den sinusformede natur af den ydre påvirkning.

På den anden side, selvom stødfrekvensen falder sammen med den naturlige frekvens, kan resonans muligvis ikke observeres. Hvis kun friktionstabene i perioden overstiger den energi, som systemet modtager under skubningen, vil systemets samlede energi falde, og svingningerne dæmpes.

§ 4 Parametrisk resonans

Ydre påvirkning af det oscillatoriske system kan reduceres til periodiske ændringer i selve oscillatorsystemets parametre. De på denne måde exciterede svingninger kaldes parametriske, og selve mekanismen kaldes parametrisk resonans .

Først og fremmest, lad os prøve at besvare spørgsmålet: er det muligt at ryste op i de små svingninger, der allerede eksisterer i systemet ved periodisk at ændre på en bestemt måde nogen af dens parametre.

Som et eksempel kan du overveje en person, der gynger på en gynge. Ved at bøje og rette benene i de "rigtige" øjeblikke ændrer han faktisk længden af pendulet. I ekstreme stillinger sætter en person sig på hug, og sænker derved tyngdepunktet af det oscillerende system en smule i midterpositionen, en person retter sig, og hæver systemets tyngdepunkt.

For at forstå, hvorfor en person svinger på samme tid, skal du overveje en ekstremt forenklet model af en person på en gynge - et almindeligt lille pendul, det vil sige en lille vægt på en let og lang tråd. For at simulere hævning og sænkning af tyngdepunktet vil vi føre den øverste ende af tråden gennem et lille hul og trække tråden i de øjeblikke, hvor pendulet passerer ligevægtspositionen, og sænke tråden lige meget, når pendul passerer yderstillingen.

Trådspændingskraftens arbejde pr. periode (under hensyntagen til, at lasten løftes og sænkes to gange pr. periode, og at D l << l):

Bemærk venligst, at der i parentes ikke er mere end tredobbelt energien i det oscillerende system. Forresten er denne mængde positiv, derfor er spændingskraftens arbejde (vores arbejde) positivt, det fører til en stigning i systemets samlede energi og derfor til pendulets sving.

Interessant nok afhænger den relative ændring i energi over en periode ikke af, om pendulet svinger svagt eller kraftigt. Dette er meget vigtigt, og her er hvorfor. Hvis pendulet ikke "pumpes op" med energi, vil det for hver periode miste en vis del af sin energi på grund af friktionskraften, og svingningerne vil dø ud. Og for at rækken af svingninger skal øges, er det nødvendigt, at den opnåede energi overstiger den tabte for at overvinde friktion. Og denne tilstand, viser det sig, er den samme - både for en lille amplitude og for en stor.

For eksempel, hvis energien af frie svingninger i en periode falder med 6%, så for at svingningerne i et pendul på 1 m ikke skal dæmpes, er det nok at reducere dens længde med 1 cm i midterpositionen og øge det med samme mængde i yderstillingen.

Tilbage til gyngen: hvis du begynder at gynge, så er der ingen grund til at squatte dybere og dybere - squat på samme måde hele tiden, og du vil flyve højere og højere!

*** Kvalitet igen!

Som vi allerede har sagt, for den parametriske opbygning af svingninger skal betingelsen DE > A for friktion pr. periode være opfyldt.

Lad os finde det arbejde, der er udført af friktionskraften over perioden

Det kan ses, at den relative størrelse af pendulets stigning til at svinge det bestemmes af systemets kvalitetsfaktor.

§ 5 Betydningen af resonans

Forcerede svingninger og resonans er meget udbredt inden for teknologi, især inden for akustik, elektroteknik og radioteknik. Resonans bruges primært, når man ud fra et stort sæt af svingninger af forskellige frekvenser ønsker at isolere svingninger af en bestemt frekvens. Resonans bruges også til undersøgelse af meget svage, periodisk gentagne mængder.

Men i nogle tilfælde er resonans et uønsket fænomen, da det kan føre til store deformationer og ødelæggelse af strukturer.

§ 6 Eksempler på problemløsning

Opgave 1 Forcerede svingninger af et fjederpendul under påvirkning af en ekstern sinusformet kraft.

En belastning med masse m = 10 g blev ophængt i en fjeder med stivhed k = 10 N/m, og systemet blev anbragt i et viskøst medium med en modstandskoefficient r = 0,1 kg/s. Sammenlign systemets naturlige frekvenser og resonansfrekvenser. Bestem amplituden af svingninger af pendulet ved resonans under påvirkning af en sinusformet kraft med amplitude F 0 = 20 mN.

Løsning:

1 Den naturlige frekvens af et oscillerende system er frekvensen af frie vibrationer i fravær af friktion. Den naturlige cykliske frekvens er lig med oscillationsfrekvensen.

2 Resonansfrekvens er frekvensen af en ekstern drivkraft, ved hvilken amplituden af tvungne svingninger stiger kraftigt. Den resonanscykliske frekvens er lig med , hvor er dæmpningskoefficienten lig med .

Således er resonansfrekvensen . Det er let at se, at resonansfrekvensen er mindre end den naturlige frekvens! Det er også klart, at jo lavere friktionen i systemet (r), jo tættere er resonansfrekvensen på egenfrekvensen.

3 Resonansamplituden er

Opgave 2 Resonansamplitude og kvalitetsfaktor for oscillatorsystemet

En belastning med masse m = 100 g blev ophængt i en fjeder med stivhed k = 10 N/m, og systemet blev anbragt i et viskøst medium med en modstandskoefficient

r = 0,02 kg/s. Bestem kvalitetsfaktoren af det oscillatoriske system og amplituden af svingninger af pendulet ved resonans under påvirkning af en sinusformet kraft med en amplitude F 0 = 10 mN. Find forholdet mellem resonansamplituden og den statiske forskydning under påvirkning af en konstant kraft F 0 = 20 mN og sammenlign dette forhold med kvalitetsfaktoren.

Løsning:

1 Kvalitetsfaktoren for det oscillerende system er lig med , hvor er den logaritmiske dæmpningsreduktion.

Den logaritmiske dæmpningsreduktion er lig med .

At finde kvalitetsfaktoren for det oscillerende system.

2 Resonansamplituden er

3 Statisk forskydning under påvirkning af en konstant kraft F 0 = 10 mN er lig med .

4 Forholdet mellem resonansamplituden og den statiske forskydning under påvirkning af en konstant kraft F 0 er lig med

Det er let at se, at dette forhold falder sammen med kvalitetsfaktoren i det oscillerende system

Opgave 3 Resonansvibrationer af en stråle

Under påvirkning af vægten af den elektriske motor bøjes den cantilever-tank, som den er installeret på, af . Ved hvilken hastighed af motorarmaturet kan der være fare for resonans?

Løsning:

1 Motorhuset og bjælken, som det er installeret på, udsættes for periodiske stød fra motorens roterende armatur og udfører derfor tvangssvingninger med stødfrekvensen.

Resonans vil blive observeret, når frekvensen af stød falder sammen med den naturlige vibrationsfrekvens af strålen med motoren. Det er nødvendigt at finde den naturlige vibrationsfrekvens for strålemotorsystemet.

2 En analog til strålemotoroscillatorsystemet kan være et lodret fjederpendul, hvis masse er lig med motorens masse. Den naturlige svingningsfrekvens for et fjederpendul er lig med . Men fjederstivheden og motorens masse kendes ikke! Hvad skal jeg gøre?

3 I fjederpendulets ligevægtsposition balanceres tyngdekraften af lasten af fjederens elastiske kraft

4 Find rotationen af motorankeret, dvs. stødfrekvens

Opgave 4 Forcerede svingninger af et fjederpendul under påvirkning af periodiske stød.

En vægt med masse m = 0,5 kg er ophængt i en spiralfjeder med stivhed k = 20 N/m. Den logaritmiske dæmpning af oscillatorsystemet er lig med . De ønsker at svinge vægten med korte skub, idet de virker på vægten med en kraft F = 100 mN i en tid τ = 0,01 s. Hvad skal frekvensen af slagene være, for at vægtens amplitude er størst? På hvilke punkter og i hvilken retning skal du skubbe kettlebellen? Til hvilken amplitude vil det være muligt at svinge vægten på denne måde?

Løsning:

1 Forcerede vibrationer kan forekomme under enhver periodisk påvirkning. I dette tilfælde vil steady-state oscillationen forekomme med frekvensen af den ydre påvirkning. Hvis perioden med eksterne stød falder sammen med frekvensen af naturlige svingninger, opstår der resonans i systemet - amplituden af oscillationer bliver størst. I vores tilfælde, for at resonans kan forekomme, skal perioden for stødene falde sammen med perioden med svingning af fjederpendulet.

Den logaritmiske dæmpningsreduktion er lille, derfor er der ringe friktion i systemet, og oscillationsperioden for et pendul i et viskøst medium falder praktisk talt sammen med oscillationsperioden for et pendul i et vakuum:

2 Det er klart, at retningen af skubberne skal falde sammen med vægtens hastighed. I dette tilfælde vil den eksterne krafts arbejde, der genopfylder systemet med energi, være positivt. Og vibrationerne vil svaje. Energi modtaget af systemet under påvirkningsprocessen

vil være størst, når belastningen passerer ligevægtspositionen, fordi i denne position er pendulets hastighed maksimal.

Så systemet svinger hurtigst under påvirkning af stød i belastningens bevægelsesretning, når den passerer gennem ligevægtspositionen.

3 Amplituden af oscillationer holder op med at vokse, når den energi, der tilføres systemet under slagprocessen, er lig med energitabet på grund af friktion i perioden: .

Vi vil finde energitabet over en periode gennem kvalitetsfaktoren i det oscillerende system

hvor E er den samlede energi af svingningssystemet, som kan beregnes som .

I stedet for tabsenergien erstatter vi energien modtaget af systemet under sammenstødet:

Maksimal hastighed under svingninger er lig med . Tager vi dette i betragtning, får vi .

§7 Opgaver til selvstændig løsning

Test "Tvangsvibrationer"

1 Hvilke svingninger kaldes forcerede?

A) Oscillationer, der forekommer under påvirkning af eksterne periodisk skiftende kræfter;

B) Oscillationer, der opstår i systemet efter et eksternt stød;

2 Hvilken af følgende svingninger er forceret?

A) Oscillation af en last ophængt i en fjeder efter dens enkelte afvigelse fra ligevægtspositionen;

B) Oscillation af højttalerkeglen under drift af modtageren;

B) Oscillation af en belastning ophængt i en fjeder efter et enkelt stød på belastningen i ligevægtspositionen;

D) Kropsvibrationer elektrisk motor i færd med sit arbejde;

D) Vibrationer i trommehinden hos en person, der lytter til musik.

3 Et oscillerende system med egen frekvens påvirkes af en ydre drivkraft, der varierer efter loven. Dæmpningskoefficienten i svingningssystemet er lig med . I henhold til hvilken lov ændres et organs koordinater over tid?

C) Amplituden af tvangssvingninger vil forblive uændret, da den energi, systemet taber på grund af friktion, vil blive kompenseret for af energiforstærkningen på grund af den ydre drivkrafts arbejde.

5 Systemet udfører forcerede oscillationer under påvirkning af en sinusformet kraft. Angiv Alle faktorer, som amplituden af disse svingninger afhænger af.

A) Fra amplituden af den eksterne drivkraft;

B) Tilstedeværelsen af energi i det oscillerende system i det øjeblik, hvor den ydre kraft begynder at virke;

C) Parametre for selve oscillatorsystemet;

D) Friktion i det oscillatoriske system;

D) Eksistensen af naturlige svingninger i systemet i det øjeblik den ydre kraft begynder at virke;

E) Tidspunkt for etablering af svingninger;

G) Frekvenser af ekstern drivkraft.

6 En blok med masse m udfører tvungne harmoniske svingninger langs et vandret plan med periode T og amplitude A. Friktionskoefficient μ. Hvilket arbejde udføres af den ydre drivkraft i en tid svarende til periode T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Det er umuligt at give et svar, da størrelsen af den ydre drivkraft ikke kendes.

7 Lav en korrekt udtalelse

Resonans er et fænomen...

A) Sammenfald af frekvensen af den ydre kraft med den naturlige frekvens af det oscillerende system;

B) En kraftig stigning i amplituden af tvungne svingninger.

Resonans observeres under tilstanden

A) Reduktion af friktion i det oscillatoriske system;

B) Forøgelse af amplituden af den eksterne drivkraft;

C) Sammenfaldet af frekvensen af den ydre kraft med den naturlige frekvens af det oscillatoriske system;

D) Når frekvensen af den ydre kraft falder sammen med resonansfrekvensen.

8 Fænomenet resonans kan observeres i...

A) I ethvert oscillerende system;

B) I et system, der udfører frie svingninger;

B) I et selvoscillerende system;

D) I et system, der gennemgår tvangssvingninger.

9 Figuren viser en graf over afhængigheden af amplituden af tvungne svingninger af frekvensen af drivkraften. Resonans opstår med en frekvens...

10 Tre identiske pendler placeret i forskellige viskøse medier udfører forcerede svingninger. Figuren viser resonanskurverne for disse penduler. Hvilket pendul oplever den største modstand fra det viskøse medium under svingning?

A) 1; B) 2; AT 3;

D) Det er umuligt at give et svar, da amplituden af tvungne svingninger, ud over frekvensen af den ydre kraft, også afhænger af dens amplitude. Tilstanden siger ikke noget om amplituden af den ydre drivkraft.

11 Perioden med naturlige svingninger i det oscillerende system er lig med T 0. Hvad kan perioden for stødene være, så amplituden af svingningerne stiger kraftigt, det vil sige, at der opstår en resonans i systemet?

A) To; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Gyngen kan vippes med tryk af enhver frekvens.

12 Dine lillebror sidder på en gynge, vugger du ham med korte skub. Hvilken periode skal rækkefølgen af stød være, for at processen kan foregå mest effektivt? Perioden med naturlige svingninger af svinget T 0.

D) Du kan gynge med skub af enhver frekvens.

13 Din lillebror sidder på en gynge, du svinger ham med korte skub. I hvilken position af gyngen skal skubningen foretages og i hvilken retning skal skubningen foretages, så processen foregår mest effektivt?

A) Skub gyngens øverste position ind mod ligevægtspositionen;

B) Skub gyngens øverste position ind i retning fra ligevægtspositionen;

B) Skub ind i en afbalanceret position i gyngens bevægelsesretning;

D) Du kan skubbe i enhver position, men altid i gyngens bevægelsesretning.

14 Det ser ud til, at man ved at skyde fra en slangebøsse på broen i takt med dens egne vibrationer og lave en masse skud kan svinge den kraftigt, men det er usandsynligt, at det lykkes. Hvorfor?

A) Broens masse (dens inerti) er stor sammenlignet med massen af "kuglen" fra en slangebøsse, vil broen ikke være i stand til at bevæge sig under påvirkning af sådanne påvirkninger;

B) Anslagskraften af en "kugle" fra en slangebøsse er så lille, at broen ikke vil være i stand til at bevæge sig under påvirkning af sådanne stød;

C) Den energi, der tilføres broen i et slag, er meget mindre end energitabet på grund af friktion over perioden.

15 Du bærer en spand vand. Vandet i spanden svinger og sprøjter ud. Hvad kan man gøre for at forhindre dette i at ske?

A) Sving hånden, hvori spanden er placeret i rytme med gang;

B) Ændre bevægelseshastigheden, og lad længden af skridt være uændret;

C) Stop med jævne mellemrum og vent på, at vandvibrationerne er faldet til ro;

D) Sørg for, at hånden med spanden under bevægelsen er placeret strengt lodret.

Opgaver

1 Systemet udfører dæmpede svingninger med en frekvens på 1000 Hz. Bestem frekvens v 0 naturlige svingninger, hvis resonansfrekvensen

2 Bestem med hvilken værdi D v resonansfrekvens adskiller sig fra naturlig frekvens v 0= 1000 Hz svingningssystem, karakteriseret ved en dæmpningskoefficient d = 400s -1.

3 En belastning med masse 100 g, ophængt i en fjeder med stivhed 10 N/m, udfører forcerede svingninger i et viskøst medium med en modstandskoefficient r = 0,02 kg/s. Bestem dæmpningskoefficient, resonansfrekvens og amplitude. Amplitudeværdien af drivkraften er 10 mN.

4 Amplituderne af tvungne harmoniske svingninger ved frekvenserne w 1 = 400 s -1 og w 2 = 600 s -1 er ens. Bestem resonansfrekvensen.

5 Lastbiler kører ind i et kornlager ad en grusvej på den ene side, læsser af og forlader lageret med samme hastighed, men på den anden side. Hvilken side af lageret har flere huller i vejen end den anden? Hvordan kan du afgøre, fra hvilken side af lageret er indgangen, og hvilken er udgangen baseret på vejens tilstand? Begrund svaret

Uanset om tvungne vibrationer. Omdannelse af energi under oscillerende bevægelse

Resonans

Eksempler på problemløsning

Se, hvad "Tvangssvingninger" er i andre ordbøger:

Bøger

Lignende artikler

Læs også