Resultatet af to kræfter. Hvad er resultanten af kræfterne F1 og F2, der virker på vognen, hvad er kræfterne f1 og f2 lig med?

For at besvare dette spørgsmål er det nødvendigt at drage nogle konklusioner fra problemforholdene:

Retningen af disse kræfter;
Modulær værdi af kræfterne F1 og F2;
Kan disse kræfter skabe en sådan resulterende kraft til at flytte vognen fra sin plads?

Retning af kræfter

For at bestemme de vigtigste egenskaber ved bevægelsen af en vogn under påvirkning af to kræfter, er det nødvendigt at kende deres retning. For eksempel, hvis en vogn trækkes til højre af en kraft lig med 5 N og den samme kraft trækker vognen til venstre, så er det logisk at antage, at vognen vil stå stille. Hvis kræfterne er codirectional, er det kun nødvendigt at finde deres sum for at finde den resulterende kraft. Hvis en kraft er rettet i en vinkel i forhold til vognens bevægelsesplan, så skal værdien af denne kraft multipliceres med cosinus af vinklen mellem kraftens retning og planet. Matematisk ville det se sådan ud:

F = F1 * cosa; Hvor

F – kraft rettet parallelt med bevægelsesoverfladen.

Cosinussætningen til at finde den resulterende vektor af kræfter

Hvis to kræfter har deres oprindelse i et punkt, og der er en vis vinkel mellem deres retning, er det nødvendigt at fuldføre trekanten med den resulterende vektor (det vil sige den, der forbinder enderne af vektorerne F1 og F2). Lad os finde den resulterende kraft ved hjælp af cosinussætningen, som siger, at kvadratet på enhver side af en trekant lig med summen kvadraterne af trekantens to andre sider minus to gange produktet af disse sider og cosinus af vinklen mellem dem. Lad os skrive dette i matematisk form:

F = F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Ved at erstatte alle kendte mængder kan du bestemme størrelsen af den resulterende kraft.

Resulterende. Du ved allerede, at to kræfter balancerer hinanden, når de er lige store og rettet i modsatte retninger. Sådanne er for eksempel tyngdekraften og den normale reaktionskraft, der virker på en bog, der ligger på et bord. I dette tilfælde siges resultanten af de to kræfter at være nul. Generelt er resultanten af to eller flere kræfter en kraft, der frembringer den samme effekt på et legeme som den samtidige virkning af disse kræfter.

Lad os eksperimentelt overveje, hvordan man finder resultanten af to kræfter rettet langs en ret linje.

Lad os lægge erfaringer

Lad os placere en let blok på en glat vandret overflade af bordet (så friktionen mellem blokken og bordfladen kan negligeres). Vi trækker blokken til højre ved hjælp af et dynamometer og til venstre ved hjælp af to dynamometre, som vist i fig. 16.3. Bemærk venligst, at dynamometrene til venstre er fastgjort til blokken, således at spændingskræfterne i disse dynamometres fjedre er forskellige.

Ris. 16.3. Hvordan kan du finde resultanten af to kræfter?

Vi vil se, at blokken er i ro, hvis størrelsen af den kraft, der trækker den til højre, er lig med summen af størrelserne af de kræfter, der trækker blokken til venstre. Diagrammet af dette eksperiment er vist i fig. 16.4.

Ris. 16.4. Skematisk fremstilling af de kræfter, der virker på blokken

Kraften F 3 balancerer resultanten af kræfterne F 1 og F 2, det vil sige, at den er lig med den i størrelse og modsat retning. Det betyder, at resultanten af kræfterne F 1 og F 2 er rettet mod venstre (som disse kræfter), og dens modul er lig F 1 + F 2. Således, hvis to kræfter rettes på samme måde, er deres resultant rettet på samme måde som disse kræfter, og resultantens modul er lig med summen af modulerne af komponentkræfterne.

Lad os overveje kraften F 1. Den afbalancerer de resulterende kræfter F 2 og F 3, rettet i modsatte retninger. Det betyder, at resultanten af kræfterne F 2 og F 3 er rettet mod højre (det vil sige mod den største af disse kræfter), og dens modul er lig med F 3 - F 2. Hvis to kræfter, der ikke er lige store, rettes modsat, rettes deres resultant som den største af disse kræfter, og resultantens modul er lig med forskellen mellem modulerne af den større og mindre kraft.

At finde resultanten af flere kræfter kaldes addition af disse kræfter.

To kræfter er rettet langs en lige linje. Modulet af den ene kraft er lig med 1 N, og modulet af den anden kraft er lig med 2 N. Kan modulet af resultanten af disse kræfter være lig med: a) nul; b) 1N; c) 2N; d) 3N?

Artiklens indhold

STATIK, gren af mekanik, hvis emne er materielle legemer, som er i hvile, når de udsættes for ydre kræfter. I ordets brede forstand er statik teorien om ligevægt i ethvert legeme - fast, flydende eller gasformigt. I en snævrere forstand refererer dette udtryk til studiet af ligevægten mellem faste legemer såvel som ikke-strækbare fleksible legemer - kabler, bælter og kæder. Ligevægten mellem deformerende faste stoffer betragtes i elasticitetsteorien, og ligevægten mellem væsker og gasser betragtes i hydroaeromekanik.
Cm. HYDROAEROMEKANIK.

Historisk reference.

Statik er den ældste sektion af mekanik; nogle af dens principper var allerede kendt af de gamle egyptere og babyloniere, hvilket fremgår af de pyramider og templer, de byggede. Blandt de første skabere af teoretisk statik var Arkimedes (ca. 287-212 f.Kr.), som udviklede teorien om løftestangen og formulerede hydrostatikkens grundlæggende lov. Grundlæggeren af moderne statik var hollænderen S. Stevin (1548–1620), som i 1586 formulerede loven om addition af kræfter eller parallelogramreglen og anvendte den til at løse en række problemer.

Grundlæggende love.

Statikkens love følger af almindelige love højttalere kan lide særlig situation, når faste legemers hastigheder har tendens til nul, men historiske årsager og pædagogiske overvejelser præsenteres statik ofte uafhængigt af dynamikker, idet den bygger på følgende postulerede love og principper: a) loven om addition af kræfter, b) princippet om ligevægt og c) princippet om handling og reaktion. I tilfælde af faste stoffer (mere præcist, ideelt set faste kroppe, der ikke deformeres under påvirkning af kræfter), introduceres et andet princip, baseret på definitionen af et stift legeme. Dette er princippet om kraftoverførsel: et fast legemes tilstand ændres ikke, når kraftpåvirkningspunktet bevæger sig langs linjen for dets virkning.

Kraft som vektor.

I statik kan kraft betragtes som en trækkende eller skubbekraft, der har en bestemt retning, størrelse og anvendelsespunkt. Fra et matematisk synspunkt er det en vektor, og derfor kan den repræsenteres af et rettet segment af en lige linje, hvis længde er proportional med kraftens størrelse. (Vektormængder, i modsætning til andre mængder, der ikke har en retning, er angivet med fede bogstaver.)

Parallelogram af kræfter.

Overvej kroppen (fig. 1, EN), som påvirkes af kræfter F 1 og F 2 anvendt ved punkt O og repræsenteret i figuren ved rettede segmenter O.A. Og O.B.. Som erfaringen viser, kræfternes handling F 1 og F 2 svarer til en kraft R, repræsenteret ved segmentet O.C.. Kraftens størrelse R lig med længden af diagonalen af et parallelogram bygget på vektorer O.A. Og O.B. ligesom dens sider; dens retning er vist i fig. 1, EN. Kraft R kaldet den resulterende kraft F 1 og F 2. Matematisk skrives dette som R = F 1 + F 2, hvor tilføjelse forstås i geometrisk sans ovennævnte ord. Dette er den første statiske lov, kaldet reglen om parallelogram af kræfter.

Resulterende kraft.

I stedet for at konstruere et parallelogram OACB, for at bestemme retningen og størrelsen af resultanten R du kan konstruere trekant OAC ved at flytte vektoren F 2 parallelt med sig selv, indtil dets startpunkt (tidligere punkt O) falder sammen med enden (punkt A) af vektoren O.A.. Den bagerste side af trekanten OAC vil naturligvis have samme størrelse og samme retning som vektoren R(Fig. 1, b). Denne metode til at finde resultanten kan generaliseres til et system med mange kræfter F 1 , F 2 ,..., F n anvendt på samme punkt O i det pågældende organ. Så hvis systemet består af fire kræfter (fig. 1, V), så kan vi finde den resulterende kraft F 1 og F 2, fold den med kraft F 3, tilsæt derefter den nye resultant med kraft F 4 og som et resultat opnå den fulde resultant R. Resulterende R, fundet ved en sådan grafisk konstruktion, er repræsenteret ved den afsluttende side af polygonen af kræfter OABCD (fig. 1, G).

Ovenstående definition af resultanten kan generaliseres til et kraftsystem F 1 , F 2 ,..., F n påført ved punkterne O 1, O 2,..., O n af det faste legeme. Et punkt O, kaldet reduktionspunktet, vælges, og der bygges et system af parallelt overførte kræfter, der er lige i størrelse og retning med kræfterne. F 1 , F 2 ,..., F n. Resulterende R af disse parallelt overførte vektorer, dvs. vektoren repræsenteret af kraftpolygonens lukkeside kaldes resultanten af de kræfter, der virker på legemet (fig. 2). Det er klart, at vektoren R afhænger ikke af det valgte referencepunkt. Hvis vektorstørrelsen R(segment ON) er ikke lig med nul, så kan kroppen ikke være i hvile: i overensstemmelse med Newtons lov skal ethvert legeme, som en kraft virker på, bevæge sig med acceleration. Et legeme kan således kun være i en ligevægtstilstand, hvis resultanten af alle kræfter påført det er lig med nul. Denne nødvendige betingelse kan dog ikke anses for tilstrækkelig - et legeme kan bevæge sig, når resultanten af alle kræfter, der påføres det, er lig med nul.

Som et simpelt, men vigtigt eksempel til at forklare dette, overveje en tynd stiv stang af længde l, hvis vægt er ubetydelig sammenlignet med størrelsen af de påførte kræfter. Lad to kræfter virke på stangen F Og -F, påført dens ender, af samme størrelse, men modsat rettet, som vist i fig. 3, EN. I dette tilfælde er resultatet R svarende til F – F= 0, men stangen vil ikke være i ligevægt; naturligvis vil den rotere omkring sit midtpunkt O. Et system af to lige store, men modsat rettede kræfter, der virker i mere end én ret linje, er et "kraftpar", som kan karakteriseres ved produktet af kraftens størrelse F på skulderen" l. Betydningen af et sådant produkt kan vises med følgende ræsonnement, som illustrerer den løftestangsregel, som Archimedes har udledt, og fører til konklusionen om betingelsen for rotationsligevægt. Lad os betragte en let homogen stiv stang, der er i stand til at rotere omkring en akse ved punkt O, som påvirkes af en kraft F 1 påført på afstand l 1 fra aksen, som vist i fig. 3, b. Under magt F 1 stang vil rotere rundt om punktet O. Som du nemt kan se af erfaring, kan rotation af en sådan stang forhindres ved at anvende en vis kraft F 2 på denne afstand l 2, således at ligestillingen holder F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Dermed kan rotation forhindres på utallige måder. Det er kun vigtigt at vælge kraften og punktet for dens påføring, så produktet af kraften ved skulderen er lig med F 1 l 1 . Dette er reglen om gearing.

Det er ikke svært at udlede ligevægtsbetingelserne for systemet. Kræfternes handling F 1 og F 2 på aksen forårsager modvirkning i form af en reaktionskraft R, påført ved punkt O og rettet modsat kræfterne F 1 og F 2. Ifølge mekanikkens lov om handling og reaktion, størrelsen af reaktionen R lig med summen af kræfter F 1 + F 2. Derfor er resultanten af alle kræfter, der virker på systemet, lig med F 1 + F 2 + R= 0, så den nødvendige ligevægtsbetingelse nævnt ovenfor er opfyldt. Kraft F 1 skaber et drejningsmoment, der virker med uret, dvs. magtens øjeblik F 1 l 1 i forhold til punkt O, som er afbalanceret af et drejningsmoment mod uret F 2 l 2 magter F 2. Det er klart, at betingelsen for ligevægt af en krop er lighed til nul algebraisk sum momenter, hvilket eliminerer muligheden for rotation. Hvis styrke F virker på stangen i en vinkel q, som vist i fig. 4, EN, så kan denne kraft repræsenteres som summen af to komponenter, hvoraf den ene ( F p), værdi F cos q, virker parallelt med stangen og afbalanceres af støttens reaktion - F p , og den anden ( F n), størrelse F synd q, rettet vinkelret på håndtaget. I dette tilfælde er drejningsmomentet lig med Fl synd q; den kan afbalanceres af enhver kraft, der skaber et lige drejningsmoment, der virker mod uret.

For at gøre det lettere at tage højde for tegn på øjeblikke i tilfælde, hvor mange kræfter virker på kroppen, kraftmomentet F i forhold til ethvert punkt O på kroppen (fig. 4, b) kan betragtes som en vektor L, lig med vektorproduktet r ґ F positionsvektor r til styrke F. Dermed, L = rґ F. Det er ikke svært at vise, at hvis solid der er et system af kræfter påført i punkterne O 1, O 2,..., O n (fig. 5), så kan dette system erstattes af resultanten R styrke F 1 , F 2 ,..., F n anvendes på ethvert punkt Oў af kroppen, og et par kræfter L, hvis moment er lig med summen [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. For at verificere dette er det nok mentalt på punktet Oў at anvende et system af par af lige store, men modsat rettede kræfter F 1 og - F 1 ; F 2 og - F 2 ;...; F n og - F n, hvilket naturligvis ikke vil ændre faststoffets tilstand.

Båret F 1 påført ved punkt O 1, og kraft – F 1 påført ved punktet Oў, danner et par kræfter, hvis moment i forhold til punktet Oў er lig med r 1 ґ F 1 . Ligeledes styrken F 2 og - F 2 påført ved henholdsvis punkterne O 2 og Oў danner et par med et moment r 2 ґ F 2 osv. Samlet øjeblik L af alle sådanne par i forhold til punktet Oў er givet af vektorens lighed L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. Andre kræfter F 1 , F 2 ,..., F n påført ved punkt Oў giver de i alt resultatet R. Men systemet kan ikke være i ligevægt, hvis mængderne R Og L er forskellige fra nul. Betingelsen for, at værdierne er lig med nul på samme tid R Og L er en nødvendig betingelse balance. Det kan påvises, at det også er tilstrækkeligt, hvis kroppen i første omgang er i hvile. Så ligevægtsproblemet er reduceret til to analytiske betingelser: R= 0 og L= 0. Disse to ligninger repræsenterer en matematisk fremstilling af ligevægtsprincippet.

Teoretiske principper for statik er meget brugt i analysen af kræfter, der virker på strukturer og strukturer. I tilfælde af en kontinuerlig fordeling af kræfter, de summer, der giver det resulterende moment L og resulterende R, erstattes af integraler og i overensstemmelse med de sædvanlige metoder for integralregning.

Opgave 3.2.1

Bestem resultanten af to kræfter F 1 =50N og F 2 =30N, der danner en vinkel på 30° mellem dem (fig. 3.2a).

Figur 3.2

Lad os flytte kraftvektorerne F 1 og F 2 til skæringspunktet for aktionslinjerne og tilføje dem efter parallelogramreglen (fig. 2.2b). Påføringspunktet og retningen af resultanten er vist i figuren. Modulet for den resulterende resultant bestemmes af formlen:

Svar: R=77,44N

Opgave 3.2.2

Bestem resultanten af systemet af konvergerende kræfter F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, hvis vinklerne dannet af vektorerne af disse kræfter med Ox-aksen er kendt: α 1 =30 °, α 2 = 45° og α3 =60° (Fig.3.3a)

Figur 3.3

Vi projicerer styrker på Ox og Oy akserne:

Resulterende modul

Baseret på de opnåede fremskrivninger bestemmer vi retningen af resultanten (fig. 3.3b)

Svar: R=44.04N

Opgave 3.2.3

Ved forbindelsespunktet for to gevind påføres en lodret kraft P = 100 N (fig. 3.4a). Bestem kræfterne i gevindene, hvis vinklerne dannet af gevindene med OY-aksen i ligevægt er lig med α=30°, β=75°.

Figur 3.4

Gevindenes spændingskræfter vil blive rettet langs gevindene fra tilslutningspunktet (fig. 3.4b). Kraftsystemet T 1, T 2, P er et system af konvergerende kræfter, fordi kræfternes virkningslinjer skærer hinanden i det punkt, hvor trådene samles. Ligevægtsbetingelsen for dette system:

Vi sammensætter analytiske ligevægtsligninger for et system af konvergerende kræfter og projicerer vektorligningen på akserne.

Vi løser systemet med opnåede ligninger. Fra den første udtrykker vi T 2.

Lad os erstatte det resulterende udtryk med det andet og bestemme T 1 og T 2 .

Lad os tjekke løsningen ud fra den betingelse, at modulet P af summen af kræfterne T 1 og T 2 skal være lig med P (fig. 3.4c).

Svar: T1 =100N, T2 =51,76N.

Opgave 3.2.4

Bestem resultanten af systemet af konvergerende kræfter, hvis deres moduler er givet: F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N og vinkel α = 60 ° (fig. 3.5a).

Figur 3.5

Vi bestemmer fremskrivningerne af resultatet

Resulterende modul:

Baseret på de opnåede fremskrivninger bestemmer vi retningen af resultanten (fig. 3.5b)

Svar: R=27,17N

Opgave 3.2.6

Tre stænger AC, BC, DC er hængslet forbundet i punkt C. Bestem kræfterne i stængerne, hvis kraften F=50N, vinkel α=60° og vinkel β=75° er givet. Kraften F er i Oyz-planet. (Fig. 3.6)

Figur 3.6

Indledningsvis antager vi, at alle stængerne er strakte, og derfor dirigerer vi reaktionerne i stængerne fra knudepunkt C. Det resulterende system N 1, N 2, N 3, F er et system af konvergerende kræfter. Ligevægtstilstand for dette system.

Ofte virker ikke én, men flere kræfter på kroppen på samme tid. Lad os overveje tilfældet, når kroppen påvirkes af to kræfter ( og ). For eksempel påvirkes et legeme, der hviler på en vandret overflade, af tyngdekraften () og overfladestøttens reaktion () (fig. 1).

Disse to kræfter kan erstattes af én, som kaldes den resulterende kraft (). Find det som en vektorsum af kræfter og:

Bestemmelse af resultanten af to kræfter

DEFINITION

Resultatet af to kræfter kaldes en kraft, der frembringer en effekt på et legeme, der ligner virkningen af to separate kræfter.

Bemærk, at hver krafts virkning ikke afhænger af, om der er andre kræfter eller ej.

Newtons anden lov for resultanten af to kræfter

Hvis to kræfter virker på et legeme, så skriver vi Newtons anden lov som:

Retningen af resultanten falder altid i retning med kroppens accelerationsretning.

Dette betyder, at hvis et legeme påvirkes af to kræfter () på samme tidspunkt, så vil accelerationen () af dette legeme være direkte proportional med vektorsummen af disse kræfter (eller proportional med de resulterende kræfter):

M er massen af det pågældende legeme. Essensen af Newtons anden lov er, at de kræfter, der virker på et legeme, bestemmer, hvordan kroppens hastighed ændres, og ikke kun størrelsen af kroppens hastighed. Bemærk, at Newtons anden lov udelukkende er opfyldt i inertielle referencerammer.

Resultanten af to kræfter kan være lig nul, hvis kræfterne, der virker på kroppen, er rettet ind forskellige sider og er ens i modul.

Finde størrelsen af resultanten af to kræfter

For at finde resultatet skal du på tegningen afbilde alle de kræfter, der skal tages i betragtning i problemet, der virker på kroppen. Kræfter skal tilføjes efter reglerne for vektoraddition.

Lad os antage, at kroppen påvirkes af to kræfter, der er rettet langs den samme rette linje (fig. 1). Det kan ses på figuren, at de er rettet i forskellige retninger.

De resulterende kræfter () påført kroppen vil være lig med:

For at finde modulet af de resulterende kræfter, vælger vi en akse, betegner den X og leder den langs kræfternes virkningsretning. Derefter projicerer udtryk (4) på X-aksen, opnår vi, at størrelsen (modulus) af resultanten (F) er lig med:

hvor er modulerne af de tilsvarende kræfter.

Lad os forestille os, at to kræfter og virker på kroppen, rettet i en bestemt vinkel til hinanden (fig. 2). Resultatet af disse kræfter finder vi ved hjælp af parallelogramreglen. Størrelsen af resultanten vil være lig med længden af diagonalen af dette parallelogram.

Eksempler på problemløsning

EKSEMPEL 1

Dyrke motion

Et legeme med en masse på 2 kg flyttes lodret opad af en tråd, mens dets acceleration er lig med 1. Hvad er størrelsen og retningen af den resulterende kraft? Hvilke kræfter påføres kroppen?

Løsning

Tyngdekraften () og trådens reaktionskraft () påføres kroppen (fig. 3).