Sættet af alle primitiver. Antiafledt funktion og ubestemt integral

Mål:

Dannelse af begrebet antiderivat.
Forberedelse til opfattelsen af integralet.
Dannelse af computerfærdigheder.
At dyrke en følelse af skønhed (evnen til at se skønhed i det usædvanlige).

Matematisk analyse er et sæt grene af matematik, der er viet til studiet af funktioner og deres generaliseringer ved hjælp af metoderne til differential- og integralregning.

Indtil nu har vi studeret en gren af matematisk analyse kaldet differentialregning, hvis essens er studiet af en funktion i det "små".

Dem. undersøgelse af en funktion i tilstrækkeligt små kvarterer af hvert definitionspunkt. En af differentieringsoperationerne er at finde den afledede (differentiel) og anvende den til studiet af funktioner.

Det omvendte problem er ikke mindre vigtigt. Hvis adfærden af en funktion i nærheden af hvert punkt i dens definition er kendt, hvordan kan man så rekonstruere funktionen som helhed, dvs. gennem hele dens definition. Dette problem er genstand for undersøgelse af den såkaldte integralregning.

Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). latinske ord"Integro" betyder restaurering.

Eksempel nr. 1.

Lad (x)`=3x2.
Lad os finde f(x).

Løsning:

Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte, at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt.
Som f(x) kan vi tage
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den afledede af hver af dem er lig med 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Det er derfor generel løsning opgaven kan skrives på formen f(x)= x 3 +C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.

Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes PRIMODIUM for funktionen F`(x)= 3x 2

Definition. En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har bemærket, har denne funktion et uendeligt antal antiderivater (se eksempel nr. 1).

Eksempel nr. 2. Funktionen F(x)=x er antiafledt for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette interval gælder lighed.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel nr. 3. Funktionen F(x)=tg3x er en antiderivat for f(x)=3/cos3x i intervallet (-n/ 2; p/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel nr. 4. Funktionen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivativ for f(x)=12cos4x-1/x 2 i intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Foredrag 2.

Emne: Antiderivat. Hovedegenskaben ved en antiderivatfunktion.

Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende erklæring. Tegn for en funktions konstantitet: Hvis på intervallet J den afledede Ψ(x) af funktionen er lig med 0, så er funktionen Ψ(x) på dette interval konstant.

Dette udsagn kan demonstreres geometrisk.

Det er kendt, at Ψ`(x)=tgα, γde α er hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så tanα=0 δfor enhver tangent til grafen for funktionen Ψ(x). Det betyder, at tangenten til funktionens graf i ethvert punkt er parallel med abscisseaksen. Derfor falder grafen for funktionen Ψ(x) på det angivne interval sammen med det rette linjestykke y=C.

Så funktionen f(x)=c er konstant på intervallet J, hvis f`(x)=0 på dette interval.

Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved at bruge sætningen om middelværdien af en funktion, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, derefter f(x 2)= f(x 1)

Sætning: (Hovedegenskaben ved den antiderivative funktion)

Hvis F(x) er en af antiderivaterne for funktionen f(x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.

Bevis:

Lad F`(x) = f (x), derefter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Antag, at der findes Φ(x) - en anden antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
derefter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Det betyder, at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Det betyder, at hvis F(x) er en antiafledning for en funktion f (x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.
Som følge heraf adskiller to antiderivater af en given funktion sig fra hinanden med et konstant led.

Eksempel: Find mængden af antiderivater af funktionen f (x) = cos x. Tegn grafer over de første tre.

Løsning: Sin x er en af antiderivaterne for funktionen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – mængden af alle antiderivater.

Fi (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustration: Grafen for ethvert antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen for antiderivatet F(x) under anvendelse af parallel overførsel af r (0;c).

Eksempel: For funktionen f (x) = 2x, find en antiderivativ, hvis graf går gennem t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – mængden af alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til problemets betingelser.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

En af differentieringsoperationerne er at finde den afledede (differentiel) og anvende den til studiet af funktioner.

Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). Det latinske ord "integro" betyder restaurering.

Eksempel nr. 1.

Lad (f(x))' = 3x 2. Lad os finde f(x).

Løsning:

Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte på, at f(x) = x 3, fordi

(x 3)’ = 3x 2 Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt. Som f(x) kan du tage f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den afledte af hver af dem er 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Derfor kan den generelle løsning på problemet skrives som f(x) = x 3 + C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.

Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes antiderivat for funktionen F`(x)= 3x 2

Definition.

En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞). Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har bemærket, har denne funktion et uendeligt antal antiderivater.

Eksempel nr. 2.

Funktionen er antiderivativ for alle på intervallet (0; +∞), fordi for alle h fra dette interval gælder lighed.

Problemet med integration er at givet funktion finde alle dens antiderivater. Når du løser dette problem, spiller følgende udsagn en vigtig rolle:

Et tegn på konstant funktion. Hvis F"(x) = 0 på et interval I, så er funktionen F konstant på dette interval.

Bevis.

Lad os fastsætte noget x 0 fra intervallet I. Så for ethvert tal x fra et sådant interval, i kraft af Lagrange-formlen, kan vi angive et tal c indeholdt mellem x og x 0, således at

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x0).

Ved betingelse er F' (c) = 0, da c ∈1, derfor,

F(x) - F(x 0) = 0.

Så for alle x fra intervallet I

det vil sige, at funktionen F bevarer en konstant værdi.

Alle antiafledte funktioner f kan skrives ved hjælp af én formel, som kaldes generel form for antiderivater til funktionen f. Følgende sætning er sand ( antiderivaternes hovedegenskab):

Sætning. Enhver antiafledt for en funktion f på intervallet I kan skrives i formen

F(x) + C, (1) hvor F (x) er en af antiderivaterne for funktionen f (x) på intervallet I, og C er en vilkårlig konstant.

Lad os forklare denne erklæring, hvor to egenskaber af antiderivatet kort formuleres:

Uanset hvilket tal vi sætter i udtryk (1) i stedet for C, får vi antiderivatet for f på intervallet I;
uanset hvilken antiafledning Ф for f på intervallet I tages, er det muligt at vælge et tal C således, at for alle x fra intervallet I er ligheden

Bevis.

Ved betingelse er funktionen F antiafledt for f på intervallet I. Følgelig er F"(x)= f (x) for enhver x∈1, derfor (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), dvs. F(x) + C er antiderivatet for funktionen f.
Lad Ф (x) være en af antiderivaterne for funktionen f i samme interval I, dvs. Ф "(x) = f (х) for alle x∈I.

Derefter (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Herfra følger ca. potensen af funktionens konstanttegnet, at forskellen Ф(х) - F(х) er en funktion, der tager en eller anden konstant værdi C på intervallet I.

For alle x fra intervallet I er ligheden Ф(x) - F(x)=С således sand, hvilket er det, der skulle bevises. Antiderivatets hovedegenskab kan gives en geometrisk betydning: grafer af vilkårlige to antiderivater for funktionen f opnås fra hinanden ved parallel translation langs Oy-aksen

Spørgsmål til noter

Funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x). Find F(1), hvis f(x)=9x2 - 6x + 1 og F(-1) = 2.

Find alle antiderivater for funktionen

For funktionen (x) = cos2 * sin2x, find antiderivatet af F(x), hvis F(0) = 0.

For en funktion skal du finde en antiafledt, hvis graf går gennem punktet

Lektion og oplæg om emnet: "En antiafledt funktion. Graf over en funktion"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Algebraiske problemer med parametre, klassetrin 9-11
"Interaktive opgaver om at bygge i rummet for klasse 10 og 11"

Antiderivativ funktion. Indledning

Gutter, I ved, hvordan man finder afledte funktioner ved hjælp af forskellige formler og regler. I dag vil vi studere den omvendte operation ved beregning af den afledte. Begrebet afledt bruges ofte i det virkelige liv. Lad mig minde dig om: den afledede er ændringshastigheden for en funktion på et bestemt punkt. Processer, der involverer bevægelse og hastighed, er godt beskrevet i disse termer.

Lad os se på dette problem: “Hastigheden af et objekt, der bevæger sig i en lige linje, er beskrevet af formlen $V=gt$ Det er nødvendigt for at genoprette bevægelsesloven.
Løsning.
Vi kender godt formlen: $S"=v(t)$, hvor S er bevægelsesloven.
Vores opgave går ud på at finde en funktion $S=S(t)$, hvis afledte er lig med $gt$. Ser du grundigt efter, kan du gætte, at $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Lad os tjekke rigtigheden af løsningen på dette problem: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Ved at kende den afledede af funktionen fandt vi selve funktionen, det vil sige, vi udførte den omvendte operation.
Men det er værd at være opmærksom på dette øjeblik. Løsningen på vores problem kræver afklaring, hvis vi tilføjer et hvilket som helst tal (konstant) til den fundne funktion, vil værdien af den afledede ikke ændre sig: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=konst$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Gutter, vær opmærksom: vores problem har et uendeligt antal løsninger!
Hvis problemet ikke angiver en initial eller en anden betingelse, så glem ikke at tilføje en konstant til løsningen. For eksempel kan vores opgave specificere vores krops position helt i begyndelsen af bevægelsen. Så er det ikke svært at beregne konstanten ved at substituere nul i den resulterende ligning, får vi værdien af konstanten.

Hvad kaldes denne operation?
Den omvendte funktion af differentiering kaldes integration.
At finde en funktion ud fra en given afledet – integration.
Selve funktionen vil blive kaldt et antiderivat, det vil sige det billede, hvorfra funktionen afledt blev opnået.
Det er sædvanligt at skrive antiderivatet stort bogstav$y=F"(x)=f(x)$.

Definition. Funktionen $y=F(x)$ kaldes antiderivaten af funktionen $у=f(x)$ på intervallet X, hvis ligheden $F'(x)=f(x)$ for enhver $хϵХ$ gælder .

Lad os lave en tabel over antiderivater til forskellige funktioner. Den skal printes ud som en påmindelse og huskes.

Der er ingen i vores tabel begyndelsesbetingelser blev ikke spurgt. Det betyder, at der skal tilføjes en konstant til hvert udtryk i højre side af tabellen. Vi vil præcisere denne regel senere.

Regler for at finde antiderivater

Lad os skrive et par regler ned, der vil hjælpe os med at finde antiderivater. De ligner alle reglerne for differentiering.

Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Eksempel.
Find antiafledningen for funktionen $y=4x^3+cos(x)$.
Løsning.
Antiderivatet af summen er lig med summen af antiderivaterne, så skal vi finde antiderivativet for hver af de præsenterede funktioner.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Så vil antiafledningen af den oprindelige funktion være: $y=x^4+sin(x)$ eller en hvilken som helst funktion af formen $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2. Hvis $F(x)$ er en antiafledt for $f(x)$, så er $k*F(x)$ en antiderivativ for funktionen $k*f(x)$.(Vi kan sagtens tage koefficienten som en funktion).

Eksempel.
Find antiderivater af funktioner:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Løsning.
a) Antiderivatet af $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Så vil antiafledningen af den oprindelige funktion have formen: $y=-8cos(x)$.

B) Antiderivatet af $cos(x)$ er $sin(x)$. Så vil antiafledningen af den oprindelige funktion have formen: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Antiderivatet for $x^2$ er $\frac(x^3)(3)$. Antiderivatet af x er $\frac(x^2)(2)$. Antiderivatet af 1 er x. Så vil antiafledningen af den oprindelige funktion have formen: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3. Hvis $у=F(x)$ er en antiafledt for funktionen $y=f(x)$, så er den antiafledede for funktionen $y=f(kx+m)$ funktionen $y=\frac(1) )(k)* F(kx+m)$.

Eksempel.
Find antiderivater af følgende funktioner:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Løsning.
a) Antiderivatet af $cos(x)$ er $sin(x)$. Så vil antiderivatet for funktionen $y=cos(7x)$ være funktionen $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Antiderivatet af $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Så vil antiderivatet for funktionen $y=sin(\frac(x)(2))$ være funktionen $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Antiderivatet for $x^3$ er $\frac(x^4)(4)$, derefter antiderivatet af den oprindelige funktion $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Forenkle udtrykket en smule til potensen $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antiderivatet af den eksponentielle funktion er sig selv eksponentiel funktion. Antiderivatet af den oprindelige funktion vil være $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Sætning. Hvis $y=F(x)$ er en antiafledt for funktionen $y=f(x)$ i intervallet X, så har funktionen $y=f(x)$ uendeligt mange antiderivater, og alle har de form $y=F( x)+С$.

Hvis det i alle eksemplerne diskuteret ovenfor var nødvendigt at finde sættet af alle antiderivater, så skulle konstanten C tilføjes overalt.
For funktionen $y=cos(7x)$ har alle antiderivater formen: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
For funktionen $y=(-2x+3)^3$ har alle antiderivater formen: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Eksempel.
Ifølge den givne lov om ændring i et legemes hastighed over tid $v=-3sin(4t)$, find bevægelsesloven $S=S(t)$, hvis kroppen i det første tidspunkt havde en koordinat lig med 1,75.
Løsning.
Da $v=S’(t)$, skal vi finde antiderivatet for en given hastighed.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
I dette problem er der givet en yderligere betingelse - det indledende tidspunkt. Det betyder, at $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Så er bevægelsesloven beskrevet med formlen: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Find antiderivater af funktioner:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Find antiderivater af følgende funktioner:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. I henhold til den givne lov om ændring i et legemes hastighed over tid $v=4cos(6t)$, find bevægelsesloven $S=S(t)$, hvis kroppen i det indledende tidspunkt havde en koordinat lig med 2.

Ubestemt integral

Differentialregningens hovedopgave var at beregne den afledte eller differentiale af en given funktion. Integralregning, som vi går videre til undersøgelsen af, løser det omvendte problem, nemlig at finde selve funktionen ud fra dens afledte eller differentiale. Det vil sige at have dF(x)= f(x)d (7.1) eller F ′(x)= f(x),

Hvor f(x)- kendt funktion, skal finde funktionen F(x).

Definition:Funktionen F(x) kaldes antiderivat funktion f(x) på segmentet, hvis ligheden gælder på alle punkter i dette segment: F′(x) = f(x) eller dF(x)= f(x)d.

F.eks, en af de antiderivative funktioner for funktionen f(x)=3x2 vilje F(x)= x 3, fordi ( x 3)′=3x 2. Men en prototype til funktionen f(x)=3x2 der vil også være funktioner og , siden .

Altså denne funktion f(x)=3x2 har et uendeligt antal primitiver, som hver kun adskiller sig med et konstant led. Lad os vise, at dette resultat også gælder i det generelle tilfælde.

Sætning To forskellige antiderivater af samme funktion defineret i et bestemt interval adskiller sig fra hinanden på dette interval med et konstant led.

Bevis

Lad funktionen f(x) defineret på intervallet (a¸b) Og F 1 (x) Og F 2 (x) - antiderivater, dvs. F 1 ′(x)= f(x) og F 2 ′(x)= f(x).

Så F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Herfra, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Hvor MED - konstant (en følge af Lagranges sætning bruges her).

Sætningen er således bevist.

Geometrisk illustration. Hvis på = F 1 (x) Og på = F 2 (x) – antiderivater med samme funktion f(x), derefter tangenten til deres grafer i punkter med en fælles abscisse X parallelt med hinanden (fig. 7.1).

I dette tilfælde, afstanden mellem disse kurver langs aksen Åh forbliver konstant F 2 (x) - F 1 (x) = C , altså disse kurver ind en vis forståelse"parallelle" med hinanden.

Følge .

Tilføjelse til nogle antiderivater F(x) til denne funktion f(x), defineret på intervallet X, alle mulige konstanter MED, får vi alle mulige antiderivater for funktionen f(x).

Altså udtrykket F(x)+C , hvor , og F(x) – en eller anden antiderivat af en funktion f(x) omfatter alle mulige antiderivater til f(x).

Eksempel 1. Tjek om funktioner er antiderivater af funktionen

Løsning:

Svar: antiderivater for en funktion der vil være funktioner Og

Definition: Hvis funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x), så kaldes mængden af alle antiderivater F(x)+ C ubestemt integral af f(x) og angiv:

∫f(х)dх.

Per definition:

f(x) - integrand funktion,

f(х)dх - integrant udtryk

Det følger heraf, at ubestemt integral er en funktion generel opfattelse, hvis differentiale er lig med integranden, og hvis afledte med hensyn til variablen X er lig med integranden på alle punkter.

MED geometrisk punkt vision et ubestemt integral er en familie af kurver, som hver fås ved at flytte en af kurverne parallelt med sig selv op eller ned, det vil sige langs aksen Åh(Fig. 7.2).

Operationen med at beregne det ubestemte integral af en bestemt funktion kaldes integration denne funktion.

Bemærk, at hvis den afledede af en elementær funktion altid er en elementær funktion, så er antiafledningen af en elementær funktion muligvis ikke repræsenteret af et endeligt antal elementære funktioner.

Lad os nu overveje egenskaber ved det ubestemte integral.

Fra definition 2 følger:

1. Den afledte af det ubestemte integral er lig med integranden, det vil sige if F′(x) = f(x) , Det

2. Differentialet af det ubestemte integral er lig med integranden

. (7.4)

Fra definitionen af differential og ejendom (7.3)

3. Det ubestemte integral af differentialet af en eller anden funktion er lig med denne funktion op til et konstant led, dvs. (7.5)

Antiderivat.

Antiderivatet er let at forstå med et eksempel.

Lad os tage funktionen y = x 3. Som vi ved fra de foregående afsnit, er den afledte af X 3 er 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Derfor fra funktionen y = x 3 får vi ny funktion: på = 3X 2 .
Billedligt talt funktionen på = X 3 produceret funktion på = 3X 2 og er dens "forælder". I matematik er der ikke noget ord "forælder", men der er et beslægtet begreb: antiderivativ.

Altså: funktion y = x 3 er et antiderivat af funktionen på = 3X 2 .

Definition af antiderivat:

I vores eksempel ( X 3)" = 3X 2 derfor y = x 3 – antiderivat til på = 3X 2 .

Integration.

Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes som bekendt differentiering. Og den omvendte operation kaldes integration.

Eksempel-forklaring:

på = 3X 2 + synd x.

Løsning:

Vi ved, at antiderivatet for 3 X 2 er X 3 .

Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi tilføjer to antiderivater og får antiderivatet for den givne funktion:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Svar:
til funktion på = 3X 2 + synd x y = x 3 - cos x.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen på= 2 synd x.

Løsning:

Vi bemærker, at k = 2. Antiderivatet for synd x er –cos x.

Derfor for funktionen på= 2 synd x antiderivatet er funktionen på= –2cos x.
Koefficient 2 i funktionen y = 2 sin x svarer til koefficienten for det antiderivat, hvorfra denne funktion blev dannet.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen y= synd 2 x.

Løsning:

Det bemærker vi k= 2. Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi anvender vores formel til at finde funktionens antiderivative y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

for 2 x
y = – ----
2

for 2 x
Svar: for en funktion y= synd 2 x antiderivatet er funktionen y = – ----
2

(4)

Eksempel-forklaring.

Lad os tage funktionen fra det forrige eksempel: y= synd 2 x.

Til denne funktion har alle antiderivater formen:

for 2 x
y = – ---- + C.
2

Forklaring.

Lad os tage den første linje. Det lyder sådan her: hvis funktionen y = f( x) er 0, så er dens antiderivat 1. Hvorfor? Fordi den afledede af enhed er nul: 1" = 0.

De resterende linjer læses i samme rækkefølge.

Hvordan skriver man data fra en tabel? Lad os tage linje otte:

(-cos x)" = synd x

Vi skriver anden del med afledt fortegn, derefter lighedstegnet og afledt.

Vi læser: antiderivat for funktioner synd x er -cos-funktionen x.

Eller: funktion -cos x er antiderivat for funktionen sin x.