Find arealet af trapezet, hvis alle sider er kendt. Sådan finder du højden af ​​en trapez: formler til alle lejligheder

(S) trapez, start med at beregne højden (h) ved at finde halvdelen af ​​summen af ​​længderne af de parallelle sider: (a+b)/2. Derefter divideres arealet med den resulterende værdi - resultatet bliver den ønskede værdi: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Ved at kende længden af ​​midterlinjen (m) og området (S), kan du forenkle formlen fra det forrige trin. Per definition er midtlinjen af ​​en trapez lig med halvdelen af ​​summen af ​​dens baser, så for at beregne højden (h) af figuren skal du blot dividere arealet med længden af ​​midterlinjen: h = S/m.

Det er muligt at bestemme højden (h) af sådan en, hvis kun længden af ​​en af ​​siderne (c) og vinklen (α) dannet af den og den lange base er angivet. I dette tilfælde bør man overveje formen dannet af denne side, højden og det korte segment af basen, som er afskåret af højden sænket ned på den. Denne trekant vil være retvinklet kendt side vil være hypotenusen i den, og højden vil være benet. Forholdet mellem længderne og hypotenusen er lig med vinklen modsat benet, så for at beregne højden af ​​trapezoidet skal du gange den kendte længde af siden med sinus af den kendte vinkel: h = с*sin(α).

Den samme trekant er værd at overveje, hvis længden af ​​siden (c) og størrelsen af ​​vinklen (β) mellem den og den anden (korte) base er angivet. I dette tilfælde vil vinklen mellem siden (hypotenusen) og højden (benet) være 90° mindre end vinklen kendt fra betingelserne: β-90°. Da forholdet mellem længderne af benet og hypotenusen er lig med cosinus af vinklen mellem dem, beregnes højden af ​​trapez ved at gange cosinus af vinklen reduceret med 90° med længden af ​​siden: h = с* cos (β-90°).

Hvis en cirkel med kendt radius (r) er indskrevet, vil beregningen af ​​højden (h) være meget enkel og vil ikke kræve andre parametre. En sådan cirkel skal per definition kun have et punkt ved hver af sine baser, og disse punkter vil ligge på samme linje med midten. Det betyder, at afstanden mellem dem vil være lig med diameteren (to gange radius) tegnet vinkelret på baserne, det vil sige faldende sammen med højden af ​​trapezoidet: h=2*r.

Et trapez er en firkant, hvor to sider er parallelle, og de to andre ikke er det. Højden af ​​et trapez er et segment tegnet vinkelret mellem to parallelle linjer. Afhængigt af kildedata kan det beregnes på forskellige måder.

Du får brug for

• Kendskab til siderne, baserne, midterlinjen af ​​en trapez, og også, eventuelt, dens areal og/eller omkreds.

Instruktioner

Lad os sige, at der er en trapez med de samme data som i figur 1. Lad os tegne 2 højder, vi får , som har 2 mindre sider ved benene af retvinklede trekanter. Lad os betegne den mindre rulle som x. Han er med

Geometri er en af ​​de videnskaber, som folk møder i praksis næsten hver dag. Blandt mangfoldigheden geometriske former Trapezoiden fortjener også særlig opmærksomhed. Det er en konveks figur med fire sider, hvoraf to er parallelle med hinanden. Sidstnævnte kaldes baser, og de resterende to kaldes sider. Segmentet vinkelret på baserne og bestemme størrelsen af ​​mellemrummet mellem dem vil være højden af ​​trapez. Hvordan kan du beregne dens længde?

Find højden af ​​en vilkårlig trapez

Baseret på de indledende data er det muligt at bestemme højden af ​​en figur på flere måder.

Kendt område

Hvis længden af ​​de parallelle sider er kendt, og området af figuren også er angivet, kan du bruge følgende forhold for at bestemme den ønskede vinkelret:

S=h*(a+b)/2,
h – den ønskede værdi (højde),
S - areal af figuren,
a og b er sider parallelle med hinanden.
Af ovenstående formel følger det, at h=2S/(a+b).

Værdien af ​​midterlinjen er kendt

Hvis blandt de indledende data, ud over arealet af trapezoidet (S), også er længden af ​​dens midterlinje (l) kendt, så er en anden formel nyttig til beregninger. For det første er det værd at præcisere, hvad midtlinjen er for denne type firkant. Udtrykket definerer den del af den lige linje, der forbinder midtpunkterne på figurens laterale sider.

Baseret på trapezegenskaben l=(a+b)/2,
l – midterlinje,
a, b – firkantens grundsider.
Derfor h=2S/(a+b)=S/l.

4 sider af figuren kendes

I dette tilfælde vil Pythagoras sætning hjælpe. Efter at have sænket perpendikulerne til den større basisside, skal du bruge den til de to resulterende retvinklede trekanter. Det endelige udtryk vil se sådan ud:

h=√c 2 -(((a-b) 2 + c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c og d – 2 andre sider.

Vinkler i bunden

Hvis du har data om grundvinklerne, skal du bruge trigonometriske funktioner.

h = c* sinα = d*sinβ,

α og β er vinklerne ved bunden af ​​firkanten,
c og d er dens sider.

Diagonaler af en figur og de vinkler, som skærer dem

Længden af ​​diagonalen er længden af ​​det segment, der forbinder figurens modsatte hjørner. Lad os betegne disse størrelser med symbolerne d1 og d2, og vinklerne mellem dem med γ og φ. Derefter:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a og b er grundsiderne af figuren,
d1 og d2 er diagonalerne af trapezoidet,
γ og φ er vinklerne mellem diagonalerne.

Figurens højde og radius af cirklen, der er indskrevet i den

Som det følger af definitionen af ​​denne type cirkel, rører den hver base ved 1 punkt, som er en del af en lige linje. Derfor er afstanden mellem dem diameteren - den ønskede højde af figuren. Og da diameteren er to gange radius, så:

h = 2 * r,
r er radius af cirklen, der er indskrevet i denne trapez.

Find højden af ​​en ligebenet trapez

• Som det følger af formuleringen, er et karakteristisk kendetegn ved en ligebenet trapez ligheden af ​​dens laterale sider. Derfor, for at finde højden af ​​en figur, skal du bruge formlen til at bestemme denne værdi i det tilfælde, hvor siderne af trapezoidet er kendt.

Så hvis c = d, så er h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - basissider af firkanten,
c = d – dens sider.

• Hvis der er vinkler dannet af to sider (basis og side), er højden af ​​trapezoidet bestemt af følgende forhold:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – vinkel i bunden af ​​figuren,
a, b(a< b) – основания фигуры,
c = d – dens sider.

• Hvis værdierne af figurens diagonaler er givet, vil udtrykket for at finde figurens højde ændre sig, fordi d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d12 /2*l*sinγ = d12 /2*l*sinφ.

Udøvelsen af ​​sidste års Unified State Examination og State Examination viser, at geometriproblemer volder vanskeligheder for mange skolebørn. Du kan nemt klare dem, hvis du husker alle de nødvendige formler og øver dig i at løse problemer.

I denne artikel vil du se formler til at finde arealet af en trapez, samt eksempler på problemer med løsninger. Du kan støde på de samme i KIM'er under certificeringseksamener eller ved olympiader. Behandl dem derfor omhyggeligt.

Hvad du behøver at vide om trapez?

Til at begynde med, lad os huske det trapez kaldes en firkant, hvor to modstående sider, også kaldet baser, er parallelle, og de to andre ikke er det.

I en trapez kan højden (vinkelret på bunden) også sænkes. Den midterste linje er tegnet - dette er en lige linje, der er parallel med baserne og lig med halvdelen af ​​deres sum. Samt diagonaler, der kan skære hinanden og danne spidse og stumpe vinkler. Eller i nogle tilfælde i en ret vinkel. Hvis trapezet er ligebenet, kan der desuden indskrives en cirkel i den. Og beskriv en cirkel omkring det.

Trapezområdeformler

Lad os først se på standardformlerne til at finde arealet af en trapez. Vi vil overveje måder at beregne arealet af ligebenede og buede trapezoider nedenfor.

Så forestil dig, at du har en trapez med base a og b, hvor højden h er sænket til den større base. At beregne arealet af en figur i dette tilfælde er lige så let som at beskyde pærer. Du skal bare dividere summen af ​​længderne af baserne med to og gange resultatet med højden: S = 1/2(a + b)*h.

Lad os tage et andet tilfælde: antag, at der i en trapez ud over højden er en midterlinje m. Vi kender formlen til at finde længden af ​​midterlinjen: m = 1/2(a + b). Derfor kan vi med rette forenkle formlen for arealet af en trapez til følgende type: S = m* h. Med andre ord, for at finde arealet af en trapez, skal du gange midterlinjen med højden.

Lad os overveje en anden mulighed: trapezoidet indeholder diagonaler d 1 og d 2, som ikke skærer hinanden i rette vinkler α. For at beregne arealet af en sådan trapez skal du dividere produktet af diagonalerne med to og gange resultatet med synden af ​​vinklen mellem dem: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Overvej nu formlen for at finde arealet af en trapez, hvis intet er kendt om det undtagen længderne af alle dets sider: a, b, c og d. Dette er en besværlig og kompleks formel, men det vil være nyttigt for dig at huske det i tilfælde af: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Forresten er ovenstående eksempler også sande for det tilfælde, hvor du har brug for formlen for arealet af en rektangulær trapez. Dette er en trapez, hvis side støder op til baserne i en ret vinkel.

Ligebenet trapez

Et trapez, hvis sider er lige store, kaldes ligebenet. Vi vil overveje flere muligheder for formlen for arealet af en ligebenet trapez.

Første mulighed: i det tilfælde, hvor en cirkel med radius r er indskrevet inde i en ligebenet trapez, og siden og den større base danner skarpt hjørneα. En cirkel kan indskrives i en trapez, forudsat at summen af ​​længderne af dens baser er lig med summen af ​​længderne af siderne.

Arealet af et ligebenet trapez beregnes som følger: multiplicer kvadratet af radius af den indskrevne cirkel med fire og divider det hele med sinα: S = 4r2/sina. En anden arealformel er et specialtilfælde for muligheden, når vinklen mellem den store base og siden er 30 0: S = 8r2.

Anden mulighed: denne gang tager vi en ligebenet trapez, hvori derudover diagonalerne d 1 og d 2 er tegnet, samt højden h. Hvis diagonalerne af et trapez er indbyrdes vinkelrette, er højden halvdelen af ​​summen af ​​baserne: h = 1/2(a + b). Når du ved dette, er det let at omdanne formlen for området af en trapez, som du allerede kender til, til denne form: S = h 2.

Formel for området af en buet trapez

Lad os starte med at finde ud af, hvad en buet trapez er. Forestil dig en koordinatakse og en graf af en kontinuert og ikke-negativ funktion f, der ikke ændrer fortegn inden for et givet segment på x-aksen. Et krumt trapez dannes af grafen for funktionen y = f(x) - øverst er x-aksen i bunden (segment), og på siderne - rette linjer tegnet mellem punkt a og b og grafen for funktionen.

Det er umuligt at beregne arealet af en sådan ikke-standardfigur ved hjælp af ovenstående metoder. Her skal du ansøge matematisk analyse og brug integralet. Nemlig: Newton-Leibniz formlen - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denne formel er F antiderivatet af vores funktion på det valgte segment. Og området buet trapez svarer til stigningen af ​​antiderivatet på et givet segment.

Prøveproblemer

For at gøre alle disse formler lettere at forstå i dit hoved, er her nogle eksempler på problemer med at finde arealet af en trapez. Det bedste vil være, hvis du først selv forsøger at løse problemerne, og først derefter sammenligner det svar, du får, med den færdige løsning.

Opgave #1: Givet en trapez. Dens større base er 11 cm, den mindre er 4 cm. Trapezoiden har diagonaler, den ene 12 cm lang, den anden 9 cm.

Løsning: Konstruer en trapezformet AMRS. Tegn en ret linje РХ gennem toppunktet P, så den er parallel med diagonalen MC og skærer den rette linje AC i punktet X. Du får en trekant APХ.

Vi vil overveje to figurer opnået som et resultat af disse manipulationer: trekant APX og parallelogram CMRX.

Takket være parallelogrammet lærer vi, at PX = MC = 12 cm og CX = MR = 4 cm. Hvorfra vi kan beregne siden AX af trekanten ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Vi kan også bevise, at trekanten APX er retvinklet (for at gøre dette skal du anvende Pythagoras sætning - AX 2 = AP 2 + PX 2). Og beregn dets areal: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Dernæst skal du bevise, at trekanter AMP og PCX er lige store. Grundlaget vil være lighed mellem parterne MR og CX (allerede bevist ovenfor). Og også de højder, som du sænker på disse sider - de er lig med højden af ​​AMRS trapez.

Alt dette vil tillade dig at sige, at S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Opgave #2: Den trapezformede KRMS er givet. På dens laterale sider er der punkt O og E, mens OE og KS er parallelle. Det er også kendt, at arealet af trapezerne ORME og OKSE er i forholdet 1:5. RM = a og KS = b. Du skal finde OE.

Løsning: Tegn en linje parallelt med RK gennem punktet M, og angiv punktet for dens skæringspunkt med OE som T. A er skæringspunktet for en linje trukket gennem punktet E parallelt med RK med grundfladen KS.

Lad os introducere endnu en notation - OE = x. Og også højden h 1 for trekanten TME og højden h 2 for trekanten AEC (du kan uafhængigt bevise ligheden mellem disse trekanter).

Vi vil antage, at b > a. Arealerne af trapezerne ORME og OKSE er i forholdet 1:5, hvilket giver os ret til at lave følgende ligning: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lad os transformere og få: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da trekanterne TME og AEC ligner hinanden, har vi h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Lad os kombinere begge indtastninger og få: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Således er OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Konklusion

Geometri er ikke den nemmeste videnskab, men du kan helt sikkert klare eksamensspørgsmålene. Det er nok at vise lidt udholdenhed i forberedelsen. Og husk selvfølgelig alle de nødvendige formler.

Vi forsøgte at samle alle formlerne til at beregne arealet af en trapez på ét sted, så du kan bruge dem, når du forbereder dig til eksamen og reviderer materialet.

Sørg for at fortælle dine klassekammerater og venner om denne artikel. i sociale netværk. Lad der være flere gode karakterer til Unified State Examination og State Examination!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Der er mange måder at finde arealet af en trapez. Normalt kender en matematikvejleder flere metoder til at beregne det, lad os se på dem mere detaljeret:
1) , hvor AD og BC er baserne, og BH er højden af ​​trapez. Bevis: tegn diagonalen BD og udtryk arealerne af trekanter ABD og CDB gennem halvproduktet af deres baser og højder:

, hvor DP er den udvendige højde i

Lad os tilføje disse ligheder termin for termin, og under hensyntagen til, at højderne BH og DP er ens, opnår vi:

Lad os sætte det uden for parentes

Q.E.D.

En konsekvens af formlen for arealet af en trapez:
Da den halve sum af baserne er lig med MN - midtlinjen af ​​trapezoidet, altså

2) Ansøgning generel formel areal af en firkant.
Arealet af en firkant er lig med halvdelen af ​​produktet af diagonalerne ganget med sinus af vinklen mellem dem
For at bevise det er det nok at opdele trapezoidet i 4 trekanter, udtrykke arealet af hver gennem "halvdelen af ​​produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem" (taget som vinklen, tilføj de resulterende udtryk, tag dem ud af parentesen og faktor denne parentes ved hjælp af grupperingsmetoden for at opnå dens lighed med udtrykket

3) Diagonalforskydningsmetode
Dette er mit navn. En matematikvejleder vil ikke støde på sådan en overskrift i skolebøgerne. En beskrivelse af teknikken kan kun findes i tillæg lærebøger som eksempel på løsning af et problem. Jeg bemærker, at de fleste af de interessante og nyttige fakta matematikvejledere afslører planimetri for elever i færd med at udføre praktisk arbejde. Dette er ekstremt suboptimalt, fordi eleven skal isolere dem i separate teoremer og kalde dem " store navne" En af disse er "diagonalforskydning". Om hvad vi taler om?Lad os tegne en linje parallel med AC gennem toppunkt B, indtil den skærer den nederste base i punktet E. I dette tilfælde vil firkantet EBCA være et parallelogram (per definition) og derfor BC=EA og EB=AC. Den første ligestilling er vigtig for os nu. Vi har:

Bemærk, at trekanten BED, hvis areal er lig med arealet af trapezoidet, har flere mere bemærkelsesværdige egenskaber:
1) Dens areal er lig med arealet af trapez
2) Dens ligebenede forekommer samtidig med selve trapezets ligebenede
3) Dens øvre vinkel ved toppunkt B er lig med vinklen mellem diagonalerne på trapezoidet (som meget ofte bruges i opgaver)
4) Dens median BK er lig med afstanden QS mellem midtpunkterne af trapezets baser. Jeg stødte for nylig på brugen af ​​denne egenskab, da jeg forberedte en studerende til mekanik og matematik ved Moscow State University ved hjælp af Tkachuks lærebog, version 1973 (problemet er angivet nederst på siden).

Særlige teknikker for en matematikvejleder.

Nogle gange foreslår jeg problemer ved at bruge en meget vanskelig måde at finde området af en trapez. Jeg klassificerer det som en speciel teknik, fordi vejlederen i praksis bruger dem ekstremt sjældent. Hvis du kun har brug for forberedelse til Unified State-eksamen i matematik i del B, behøver du ikke læse om dem. For andre vil jeg fortælle dig videre. Det viser sig, at arealet af trapezoidet er fordoblet mere område en trekant med spidser i enderne af den ene side og midten af ​​den anden, det vil sige ABS-trekanten i figuren:
Bevis: tegn højderne SM og SN i trekanter BCS og ADS og udtryk summen af ​​arealerne af disse trekanter:

Da punkt S er midtpunktet af CD, så (bevis det selv) Find summen af ​​trekanternes areal:

Da denne sum viste sig at være lig med halvdelen af ​​trapezets areal, så dens anden halvdel. Etc.

Jeg vil inkludere i vejlederens samling af specielle teknikker formen til at beregne arealet af et ligebenet trapez langs dets sider: hvor p er halvperimeteren af ​​trapezet. Jeg vil ikke give bevis. Ellers står din matematikvejleder uden job :). Kom til undervisningen!

Problemer på arealet af en trapez:

Matematikvejleders notat: Listen nedenfor er ikke et metodisk akkompagnement til emnet, det er kun et lille udvalg af interessante opgaver baseret på de teknikker, der er diskuteret ovenfor.

1) Den nederste base af en ligebenet trapez er 13, og den øvre er 5. Find arealet af trapezet, hvis dens diagonal er vinkelret på siden.
2) Find arealet af en trapez, hvis dens baser er 2 cm og 5 cm, og dens sider er 2 cm og 3 cm.
3) I en ligebenet trapez er den største base 11, siden er 5, og diagonalen er Find arealet af trapez.
4) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez er 5 og midterlinjen er 4. Find arealet.
5) I en ligebenet trapez er baserne 12 og 20, og diagonalerne er indbyrdes vinkelrette. Beregn arealet af en trapez
6) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez danner en vinkel med sin nederste base. Find arealet af trapezet, hvis dets højde er 6 cm.
7) Arealet af trapezet er 20, og en af ​​siderne er 4 cm. Find afstanden til det fra midten af ​​den modsatte side.
8) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez opdeler den i trekanter med arealer på 6 og 14. Find højden, hvis sidesiden er 4.
9) I et trapez er diagonalerne lig med 3 og 5, og segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, er lig med 2. Find arealet af trapezet (Mekhmat MSU, 1970).

Jeg valgte ikke de sværeste problemer (vær ikke bange for maskinteknik!) med forventning om, at jeg ville være i stand til at løse dem selvstændigt. Beslut dig for dit helbred! Hvis du har brug for forberedelse til Unified State Exam i matematik, kan der uden deltagelse i denne proces opstå formler for arealet af en trapezoid alvorlige problemer selv med problem B6 og endnu mere med C4. Start ikke emnet, og spørg om hjælp i tilfælde af problemer. En matematikvejleder hjælper dig altid gerne.

Kolpakov A.N.
Matematiklærer i Moskva, forberedelse til Unified State eksamen i Strogino.

Et trapez er en firkant, hvis to sider er parallelle (disse er baserne af trapezet, angivet i figur a og b), og de to andre er ikke (i figur AD og CB). Højden af ​​et trapez er et segment h tegnet vinkelret på baserne.

Hvordan finder man højden af ​​en trapez, givet de kendte værdier for arealet af trapezet og længderne af baserne?

For at beregne arealet S af trapezet ABCD bruger vi formlen:

S = ((a+b) x h)/2.

Her er segmenterne a og b basis for trapezet, h er højden af ​​trapezet.

Ved at transformere denne formel kan vi skrive:

Ved hjælp af denne formel får vi værdien af ​​h, hvis arealet S og længderne af baserne a og b er kendt.

Eksempel

Hvis det er kendt, at arealet af trapezet S er 50 cm², længden af ​​basen a er 4 cm, og længden af ​​basen b er 6 cm, så for at finde højden h, bruger vi formlen:

Vi erstatter kendte mængder i formlen.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Svar: Højden på trapez er 10 cm.

Hvordan finder man højden af ​​en trapez, hvis arealet af trapezet og længden af ​​midterlinjen er givet?

Lad os bruge formlen til at beregne arealet af en trapez:

Her er m midterlinjen, h er højden af ​​trapez.

Hvis spørgsmålet opstår, hvordan man finder højden af ​​en trapez, er formlen:

h = S/m vil være svaret.

Således kan vi finde højden af ​​trapezoidet h, givet de kendte værdier af området S og midterlinjesegmentet m.

Eksempel

Længden af ​​midterlinjen af ​​trapezformen m, som er 20 cm, og arealet S, som er 200 cm², er kendt. Lad os finde værdien af ​​højden af ​​trapezformen h.

Ved at erstatte værdierne af S og m får vi:

h = 200/20 = 10 cm

Svar: højden af ​​trapez er 10 cm

Hvordan finder man højden af ​​et rektangulært trapez?

Hvis et trapez er en firkant, med to parallelle sider (baser) af trapez. Så er en diagonal et segment, der forbinder to modsatte hjørner af hjørnerne af en trapez (segment AC på figuren). Hvis trapezet er rektangulært, ved hjælp af diagonalen, finder vi højden af ​​trapezet h.

Et rektangulært trapez er et trapez, hvor en af ​​siderne er vinkelret på baserne. I dette tilfælde falder dens længde (AD) sammen med højden h.

Så overvej en rektangulær trapezoid ABCD, hvor AD er højden, DC er basen, AC er diagonalen. Lad os bruge Pythagoras sætning. Hypotenus kvadrat AC retvinklet trekant ADC lig med summen kvadraterne på dens ben AB og BC.

Så kan vi skrive:

AC² = AD² + DC².

AD er trekantens ben, den laterale side af trapezoidet og på samme tid dens højde. Segmentet AD er jo vinkelret på baserne. Dens længde vil være:

AD = √(AC² - DC²)

Så vi har en formel til at beregne højden af ​​et trapez h = AD

Eksempel

Hvis længden af ​​bunden af ​​en rektangulær trapez (DC) er 14 cm, og diagonalen (AC) er 15 cm, bruger vi Pythagoras sætning til at få værdien af ​​højden (AD - side).

Lad x være det ukendte ben i en retvinklet trekant (AD), så

AC² = AD² + DC² kan skrives

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Svar: Højden af ​​en rektangulær trapez (AB) vil være √29 cm, hvilket er cirka 5,385 cm

Hvordan finder man højden af ​​en ligebenet trapez?

Et ligebenet trapez er et trapez, hvis sidelængder er lig med hinanden. Den rette linje trukket gennem midtpunkterne af baserne af en sådan trapezoid vil være symmetriaksen. Et særligt tilfælde er en trapez, hvis diagonaler er vinkelrette på hinanden, så vil højden h være lig med halvdelen af ​​summen af ​​baserne.

Lad os overveje sagen, hvis diagonalerne ikke er vinkelrette på hinanden. I en ligesidet (ligebenet) trapez er vinklerne ved baserne ens og længderne af diagonalerne ens. Det er også kendt, at alle hjørner af et ligebenet trapez rører linjen i en cirkel tegnet rundt om denne trapez.

Lad os se på tegningen. ABCD er et ligebenet trapez. Man ved, at basene i trapezoidet er parallelle, hvilket betyder at BC = b er parallel med AD = a, side AB = CD = c, hvilket betyder at vinklerne ved baserne er tilsvarende ens, vi kan skrive vinklen BAQ = CDS = α, og vinklen ABC = BCD = β. Således konkluderer vi, at trekant ABQ er lig med trekant SCD, hvilket betyder segmentet

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Efter at have, i henhold til betingelserne for problemet, værdierne af baserne a og b og længden af ​​sidesiden c, finder vi højden af ​​trapezformen h, lig med segmentet BQ.

Overvej retvinklet trekant ABQ. VO er højden af ​​trapezoidet, vinkelret på basis AD, og ​​derfor på segmentet AQ. Vi finder side AQ af trekant ABQ ved at bruge formlen, vi udledte tidligere:

Med værdierne af to ben i en retvinklet trekant finder vi hypotenusen BQ = h. Vi bruger Pythagoras sætning.

AB²= AQ² + BQ²

Lad os erstatte disse opgaver:

c² = AQ² + h².

Vi får en formel til at finde højden af ​​et ligebenet trapez:

h = √(c²-AQ²).

Eksempel

Givet en ligebenet trapezoid ABCD, hvor base AD = a = 10 cm, base BC = b = 4 cm, og side AB = c = 12 cm. Lad os under sådanne forhold se på et eksempel på, hvordan man finder højden af ​​en trapez, en ligebenet trapezoid ABCD.

Lad os finde side AQ af trekant ABQ ved at erstatte de kendte data:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3 cm.

Lad os nu erstatte værdierne af trekantens sider med formlen for Pythagoras sætning.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Svar. Højden h af den ligebenede trapezoid ABCD er 11,6 cm.