Sådan finder du siderne af et rektangel, hvis arealet er kendt. Omkreds og areal af et rektangel

Ved løsning er det nødvendigt at tage højde for, at løse problemet med at finde arealet af et rektangel kun fra længden af dets sider det er forbudt.

Dette er nemt at verificere. Lad rektanglets omkreds være lig med 20 cm. Dette vil være sandt, hvis siderne er 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 cm. Alle disse tre rektangler vil have samme omkreds, lig med tyve centimeter. (1 + 9) * 2 = 20 er nøjagtig det samme som (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Som du kan se, kan vi vælge uendeligt mange muligheder dimensionerne af rektanglets sider, hvis omkreds vil være lig med den angivne værdi.

Arealet af rektangler med en given omkreds på 20 cm, men med forskellige sider, vil være anderledes. For det givne eksempel - henholdsvis 9, 16 og 21 kvadratcentimeter.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Som du kan se, er der et uendeligt antal muligheder for arealet af en figur for en given omkreds.

Bemærk til de nysgerrige. I tilfælde af et rektangel med en given omkreds vil det maksimale areal være et kvadrat.

For at beregne arealet af et rektangel fra dets omkreds skal du kende enten forholdet mellem dets sider eller længden af en af dem. Den eneste figur, der har en utvetydig afhængighed af sit område på sin omkreds, er en cirkel. Kun for cirkel og en løsning er mulig.

I denne lektion:

Problem 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares

Opgave 1. Find siderne af et rektangel fra området

Omkredsen af rektanglet er 32 centimeter, og summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dets sider er 260 kvadratcentimeter. Find rektanglets sider.
Løsning.

2(x+y)=32
I henhold til problemets betingelser vil summen af arealerne af kvadraterne konstrueret på hver af dens sider (hhv. fire kvadrater) være lig med
2x2 +2y2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y)2+2y2=260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=16 (se ovenfor) ved x=9, så y=7 og omvendt, hvis x=7, så y=9
Svar: Rektangelets sider er 7 og 9 centimeter

Opgave 2. Find siderne af et rektangel fra omkredsen

Omkredsen af rektanglet er 26 cm, og summen af arealerne af firkanterne bygget på dets to tilstødende sider er 89 kvadratmeter. cm Find rektanglets sider.
Løsning.
Lad os betegne siderne af rektanglet som x og y.
Så er omkredsen af rektanglet:
2(x+y)=26
Summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dens sider (der er henholdsvis to kvadrater, og disse er kvadrater med bredde og højde, da siderne støder op til hinanden) vil være lig med
x2+y2=89
Vi løser det resulterende ligningssystem. Ud fra den første ligning udleder vi det
x+y=13
y=13-y
Nu udfører vi en substitution i den anden ligning, og erstatter x med dets ækvivalent.
(13-y)2+y2=89
169-26y+y2+y2-89=0
2y 2 -26y+80=0
Vi løser den resulterende andengradsligning.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=13 (se ovenfor) ved x=5, så y=8 og omvendt, hvis x=8, så y=5
Svar: 5 og 8 cm

Opgave 3. Find arealet af et rektangel ud fra forholdet mellem dets sider

Find arealet af et rektangel, hvis dets omkreds er 26 cm, og dets sider er proportionale med 2 til 3.

Løsning.
Lad os betegne rektanglets sider med proportionalitetskoefficienten x.
Derfor vil længden af den ene side være lig med 2x, den anden - 3x.

Så:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Nu, baseret på de opnåede data, bestemmer vi arealet af rektanglet:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2

Opgave 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares

Længden af rektanglet øges med 25%. Hvor mange procent skal bredden reduceres, så dens areal ikke ændres?

Løsning.
Arealet af rektanglet er
S = ab

I vores tilfælde steg en af faktorerne med 25 %, hvilket betyder a 2 = 1,25a. Så det nye område af rektanglet skal være lig med
S2 = 1,25ab

For således at returnere rektanglets areal til den oprindelige værdi, så
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Da den nye størrelse a ikke kan ændres, så
S2 = (1,25a) b/1,25

1 / 1,25 = 0,8
Værdien af den anden side skal således reduceres med (1 - 0,8) * 100% = 20%

Svar: bredden skal reduceres med 20%.

4a, hvor a er siden af en firkant eller rombe. Så længden sider lig med en fjerdedel af omkredsen: a = p/4.

Dette problem kan også let løses for en trekant. Han har tre af samme længde sider, så omkredsen p af en ligesidet trekant er 3a. Så er siden af den ligesidede trekant a = p/3.

For de resterende tal skal du bruge yderligere data. Du kan f.eks. finde sider, at kende dens omkreds og areal. Antag, at længden af de to modstående sider af rektanglet er a, og længden af de to andre sider er b. Så er omkredsen p af rektanglet 2(a+b), og arealet s er lig med ab. Vi får et system med to ukendte:
p = 2(a+b)
s = ab Udtryk fra den første ligning a: a = p/2 - b. Sæt ind i anden og find b: s = pb/2 - b². Diskriminanten af denne ligning er D = p²/4 - 4s. Så er b = (p/2±D^1/2)/2. Kassér roden, der er mindre end nul og erstat den sider en.

Kilder:

Find siderne af et rektangel

Hvis du kender værdien af a, så kan du sige, at du har løst andengradsligningen, fordi dens rødder vil blive fundet meget let.

Du skal bruge

-diskriminerende formel for en andengradsligning;
-kendskab til multiplikationstabeller

Instruktioner

Video om emnet

Nyttige råd

Diskriminanten af en andengradsligning kan være positiv, negativ eller lig med 0.

Kilder:

Løsning andengradsligninger
diskriminerende endda

Et særligt tilfælde af et parallelogram - et rektangel - kendes kun i euklidisk geometri. U rektangel Alle vinkler er ens, og hver af dem laver hver for sig 90 grader. Baseret på private ejendomme rektangel, og også ud fra et parallelograms egenskaber om modstående siders parallelitet kan findes sider figurer langs givne diagonaler og vinklen fra deres skæringspunkt. Beregning af sider rektangel er baseret på yderligere konstruktioner og anvendelse af egenskaberne for de resulterende figurer.

Instruktioner

Brug bogstavet A til at markere skæringspunktet mellem diagonalerne. Overvej EFA dannet af konstruktionerne. Ifølge ejendom rektangel dens diagonaler er lige store og halveret af skæringspunktet A. Beregn værdierne af FA og EA. Da trekant EFA er ligebenet og dens sider EA og FA er lig med hinanden og henholdsvis lig med halvdelen af den diagonale EG.

Beregn derefter den første EF rektangel. Denne side er den tredje ukendte side af trekanten EFA, der er under overvejelse. Ifølge cosinussætningen skal du bruge den passende formel til at finde siden EF. For at gøre dette skal du erstatte de tidligere opnåede værdier af siderne FA EA og cosinus af den kendte vinkel mellem dem α i cosinusformlen. Beregn og optag den resulterende EF-værdi.

Find den anden side rektangel F.G. For at gøre dette, overveje en anden trekant EFG. Den er rektangulær, hvor hypotenusen EG og benet EF er kendt. Ifølge Pythagoras sætning skal du finde det andet ben af FG ved hjælp af den passende formel.

Tip 4: Sådan finder du omkredsen af en ligesidet trekant

En ligesidet trekant er sammen med en firkant måske den enkleste og mest symmetriske figur i planimetri. Selvfølgelig gælder alle relationer, der er gyldige for en almindelig trekant, også for en ligesidet trekant. Men for en almindelig trekant bliver alle formler meget enklere.

Du skal bruge

lommeregner, lineal

Instruktioner

For at måle længden af en af dens sider og gange målingen med tre. Dette kan skrives som følger:

Prt = Ds * 3,

Prt - omkredsen af trekanten,
Ds er længden af enhver af dens sider.

Omkredsen af trekanten vil være i samme dimensioner som længden af dens side.

Da en ligesidet trekant har en høj grad af symmetri, er en af parametrene tilstrækkelig til at beregne dens omkreds. For eksempel areal, højde, indskrevet eller omskrevet cirkel.

Hvis radius af omkredsen af en ligesidet trekant er kendt, skal du bruge følgende formel for at beregne dens omkreds:

Prt = 6 * √3 * r,

hvor: r er radius af den indskrevne cirkel.
Denne regel følger af det faktum, at radius af omkredsen af en ligesidet trekant er udtrykt i længden af dens side ved følgende forhold:
r = √3/6 * Ds.

For at beregne omkredsen i form af cirkumradius skal du bruge formlen:

Prt = 3 * √3 * R,

hvor: R er radius af den omskrevne cirkel.
Dette er let afledt af det faktum, at omkredsen af en regulær trekant udtrykkes gennem længden af dens side ved følgende relation: R = √3/3 * Ds.

For at beregne omkredsen af en ligesidet trekant vha kendt firkant brug følgende forhold:
Srt = Dst² * √3 / 4,
hvor: Sрт – arealet af en ligesidet trekant.
Herfra kan vi udlede: Dst² = 4 * Sрт / √3, derfor: Dst = 2 * √(Sрт / √3).
Ved at erstatte dette forhold i omkredsformlen gennem længden af siden af en ligesidet trekant får vi:

Prt = 3 * Dst = 3 * 2 * √(Srt / √3) = 6 * √Sst / √(√3) = 6√Sst / 3^¼.

Video om emnet

Et kvadrat er en geometrisk figur, der består af fire lige lange sider og fire rette vinkler, som hver er 90°. Bestemmelse af areal el perimeter firkant, hvilken som helst slags, er påkrævet ikke kun ved løsning af problemer i geometri, men også i hverdagen. Disse færdigheder kan blive nyttige, for eksempel under reparationer ved beregning af den nødvendige mængde materialer - belægninger til gulve, vægge eller lofter, samt til udlægning af græsplæner og bede mv.

Arealet af et rektangel lyder måske ikke arrogant, men det er et vigtigt koncept. I hverdagen møder vi det konstant. Find ud af størrelsen på marker, køkkenhaver, beregn mængden af maling, der er nødvendig for at kalke loftet, hvor meget tapet, der skal bruges til at indsætte

penge og mere.

Geometrisk figur

Lad os først tale om rektanglet. Dette er en figur på et plan, der har fire rette vinkler, og dens modstående sider er lige store. Dens sider kaldes normalt længde og bredde. De måles i millimeter, centimeter, decimeter, meter osv. Nu vil vi besvare spørgsmålet: "Hvordan finder man arealet af et rektangel?" For at gøre dette skal du gange længden med bredden.

Areal=længde*bredde

Men endnu en advarsel: længde og bredde skal udtrykkes i de samme måleenheder, det vil sige meter og meter, og ikke meter og centimeter. Området optages latinsk bogstav S. Lad os for nemheds skyld betegne længden med det latinske bogstav b og bredden med det latinske bogstav a, som vist på figuren. Ud fra dette konkluderer vi, at arealenheden er mm 2, cm 2, m 2 osv.

Lad os se på et specifikt eksempel på, hvordan man finder arealet af et rektangel. Længde b=10 enheder. Bredde a=6 enheder. Løsning: S=a*b, S=10 enheder*6 enheder, S=60 enheder 2. Opgave. Hvordan finder man ud af arealet af et rektangel, hvis længden er 2 gange bredden og er 18 m? Løsning: hvis b=18 m, så a=b/2, a=9 m Hvordan finder man arealet af et rektangel, hvis begge sider er kendt? Det er rigtigt, indsæt det i formlen. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Svar: 162 m2. Opgave. Hvor mange ruller tapet skal du købe til et værelse, hvis dets dimensioner er: længde 5,5 m, bredde 3,5 og højde 3 m? Mål på en rulle tapet: længde 10 m, bredde 50 cm Løsning: lav en tegning af rummet.

Arealer af modsatte sider er lige store. Lad os beregne arealet af en væg med dimensioner på 5,5 m og 3 m S væg 1 = 5,5 * 3,

S væg 1 = 16,5 m 2. Derfor har den modsatte væg et areal på 16,5 m2. Lad os finde arealet af de næste to vægge. Deres sider er henholdsvis 3,5 m og 3 m S-væg 2 = 3,5 * 3, S-væg 2 = 10,5 m 2. Det betyder, at den modsatte side også er lig med 10,5 m2. Lad os lægge alle resultaterne sammen. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Hvordan man beregner arealet af et rektangel, hvis siderne er udtrykt i forskellige måleenheder. Tidligere har vi beregnet arealer i m2, og i dette tilfælde vil vi bruge målere. Så vil bredden af tapetrullen være lig med 0,5 m S-rulle = 10 * 0,5, S-rulle = 5 m 2. Nu finder vi ud af, hvor mange ruller der er nødvendige for at dække et rum. 54:5=10,8 (ruller). Da de er målt i hele tal, skal du købe 11 ruller tapet. Svar: 11 ruller tapet. Opgave. Hvordan beregnes arealet af et rektangel, hvis det vides, at bredden er 3 cm kortere end længden, og summen af rektanglets sider er 14 cm? Løsning: lad længden være x cm, så er bredden (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - længde rektangel, 5-3=2 cm - rektanglets bredde, S=5*2, S=10 cm 2 Svar: 10 cm 2.

Genoptage

Efter at have set på eksemplerne håber jeg, at det er blevet klart, hvordan man finder arealet af et rektangel. Lad mig minde dig om, at måleenhederne for længde og bredde skal matche, ellers får du et forkert resultat For at undgå fejl, skal du læse opgaven grundigt. Nogle gange kan en side udtrykkes gennem den anden side, vær ikke bange. Se venligst vores løste problemer, det er meget muligt, at de kan hjælpe. Men mindst en gang i vores liv står vi over for at finde arealet af et rektangel.

Instruktioner

For eksempel ved du, at længden af en af siderne (a) er 7 cm, og perimeter rektangel(P) er lig med 20 cm perimeter enhver figur lig med summen længderne af dens sider, og rektangel modsatte sider er lige store, så er dens perimeter a vil se sådan ud: P = 2 x (a + b), eller P = 2a + 2b. Af denne formel følger det, at du kan finde længden af den anden side (b) ved hjælp af en simpel operation: b = (P – 2a): 2. Så i vores tilfælde vil side b være lig med (20 – 2 x 7): 2 = 3 cm.

Når du nu kender længderne af begge tilstødende sider (a og b), kan du erstatte dem med arealformlen S = ab. I dette tilfælde rektangel vil være lig med 7x3 = 21. Bemærk venligst, at måleenhederne ikke længere vil være , men kvadratcentimeter, da du også har ganget længderne af de to sider af deres måleenheder (centimeter) med hinanden.

Kilder:

Hvad er omkredsen af et rektangel?

En flad figur bestående af fire sider og fire rette vinkler. Af alle figurerne firkant rektangel skal beregnes oftere end andre. Dette og firkant lejligheder, og firkant havegrund, Og firkant bord- eller hyldeoverflader. For eksempel at blot tapetsere et værelse, beregner de firkant dens rektangulære vægge.

Instruktioner

I øvrigt fra rektangel let kan beregnes firkant. Det er nok at fuldføre den rektangulære til rektangel så hypotenusen bliver en diagonal rektangel. Så vil det være åbenlyst firkant sådan rektangel er lig med produktet af trekantens ben, og firkant af selve trekanten er derfor lig med halvdelen af produktet af benene.

Video om emnet

Instruktioner

Henviser til de enkleste flade geometriske figurer og er et af de specielle tilfælde af et parallelogram. Særpræg af et sådant parallelogram - rette vinkler ved alle fire hjørner. Begrænset af parter rektangel firkant kan beregnes på flere måder ved at bruge dimensionerne af dens sider, diagonaler og vinkler mellem dem, radius af den indskrevne cirkel osv.

Instruktioner

Hvis størrelsen af den vinkel (α), der udgør diagonalen, er kendt rektangel på en af dens sider, såvel som længden (C) af denne diagonal, så for at beregne arealet kan du bruge definitionerne af trigonometrisk i en rektangulær. Den retvinklede trekant er her dannet af to sider af firkanten og dens diagonal. Af definitionen af cosinus følger det, at længden af en af siderne vil være lig med produktet af længden af diagonalen og vinklen, værdien er kendt. Ud fra definitionen af sinus kan vi udlede formlen for længden af den anden side - den er lig med produktet af længden af diagonalen og sinus af samme vinkel. Erstat disse identiteter i formlen fra det foregående trin, og det viser sig, at for at finde arealet skal du gange sinus og cosinus af en kendt vinkel samt længden af diagonalen rektangel: S=sin(α)*cos(α)*С².

Hvis ud over diagonallængden (C) rektangel Hvis størrelsen af vinklen (β) som diagonalerne danner er kendt, så kan du også bruge en af figurens areal til at beregne trigonometriske funktioner- sinus. Kvadret længden af diagonalen og gange resultatet med halvdelen af sinus af den kendte vinkel: S=С²*sin(β)/2.

Hvis (r) af cirklen indskrevet i rektanglet er kendt, skal du for at beregne arealet hæve denne værdi til anden potens og firdoble resultatet: S=4*r². En firkant, hvori det er muligt, vil være en firkant, og længden af dens side er lig med diameteren af den indskrevne cirkel, det vil sige to gange radius. Formlen opnås ved at erstatte længderne af siderne, udtrykt i radius, i identiteten fra det første trin.

Hvis længderne (P) og en af siderne (A) er kendt rektangel, så for at finde arealet inden for denne omkreds, beregne halvdelen af produktet af sidelængden og forskellen mellem længden af omkredsen og de to længder af denne side: S=A*(P-2*A)/2.

Video om emnet

Ikke kun elever i geometritimer står over for opgaven med at finde omkredsen eller arealet af en polygon. Nogle gange bliver det løst af en voksen. Har du nogensinde skullet beregne den nødvendige mængde tapet til et værelse? Eller måske har du målt omfanget sommerhus at indhegne det? Kendskab til det grundlæggende i geometri er således nogle gange uundværligt for gennemførelsen af vigtige projekter.

Et rektangel er særligt tilfælde firkantet. Det betyder, at rektanglet har fire sider. Dens modstående sider er ens: for eksempel, hvis en af dens sider er 10 cm, vil den modsatte side også være lig med 10 cm. Et specialtilfælde af et rektangel er et kvadrat. Et kvadrat er et rektangel med alle sider lige. For at beregne arealet af en firkant kan du bruge den samme algoritme som til at beregne arealet af et rektangel.

Sådan finder du ud af arealet af et rektangel baseret på to sider

For at finde arealet af et rektangel skal du gange dets længde med dets bredde: Areal = Længde × Bredde. I nedenstående tilfælde: Areal = AB × BC.

Sådan finder du ud af arealet af et rektangel ved side og diagonal længde

Nogle problemer kræver, at du finder arealet af et rektangel ved hjælp af længden af diagonalen og en af siderne. Diagonalen af et rektangel deler det i to lige store dele retvinklet trekant. Derfor kan vi bestemme den anden side af rektanglet ved hjælp af Pythagoras sætning. Herefter reduceres opgaven til forrige punkt.

Sådan finder du ud af arealet af et rektangel ved dets omkreds og side

Omkredsen af et rektangel er summen af alle dets sider. Hvis du kender omkredsen af rektanglet og den ene side (såsom bredden), kan du beregne arealet af rektanglet ved hjælp af følgende formel:
Område = (perimeter×bredde – bredde^2)/2.

Arealet af et rektangel gennem sinus af den spidse vinkel mellem diagonalerne og længden af diagonalen

Diagonalerne i et rektangel er ens, så for at beregne arealet baseret på længden af diagonalen og sinus spids vinkel mellem dem skal du bruge følgende formel: Areal = Diagonal^2 × sin(spids vinkel mellem diagonaler)/2.