Et trapez er en konveks firkant, hvor to modstående sider er parallelle, og de to andre er ikke-parallelle. Hvis alle modsatte sider af en firkant er parallelle i par, så er det et parallelogram.

Du skal bruge

• - alle sider af trapezet (AB, BC, CD, DA).

Instruktioner

• Ikke-parallelle sider trapez kaldes laterale, og parallelle kaldes baser. Linjen mellem baserne, vinkelret på dem - højde trapez. Hvis siderne trapez er lige store, så kaldes det ligebenet. Lad os først se på løsningen for trapez, som ikke er ligebenet.
• Tegn linjestykke BE fra punkt B til den nederste base AD parallelt med siden trapez CD. Da BE og CD er parallelle og tegnet mellem parallelle baser trapez BC og DA, så er BCDE et parallelogram, og dets modsatte sider BE og CD er lige store. BE=CD.
• Overvej trekant ABE. Beregn side AE. AE=AD-ED. Grunde trapez BC og AD er kendt, og i parallelogram BCDE er de modsatte sider ED og BC lige store. ED=BC, så AE=AD-BC.
• Find nu ud af arealet af trekanten ABE ved hjælp af Herons formel ved at beregne halvperimeteren. S=rod(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). I denne formel er p halvperimeteren af ​​trekanten ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). For at beregne arealet kender du alle de nødvendige data: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Skriv derefter arealet af trekanten ABE på en anden måde - det er lig med halvdelen af ​​produktet af højden af ​​trekanten BH og siden AE, som den er tegnet til. S=1/2*BH*AE.
• Udtryk fra denne formel højde trekant, som også er højden trapez. BH=2*S/AE. Beregn det.

Hvis trapezet er ligebenet, kan løsningen gøres anderledes. Overvej trekant ABH. Det er rektangulært, fordi et af hjørnerne, BHA, er rigtigt.

• Stryg fra toppunktet C højde CF.
• Undersøg HBCF-figuren. HBCF er et rektangel, fordi to af dets sider er højder, og de to andre er baser trapez, det vil sige, at vinklerne er rette, og de modsatte sider er parallelle. Det betyder, at BC=HF.
• Se på retvinklede trekanter ABH og FCD. Vinklerne i højderne BHA og CFD er rigtige, og vinklerne på siderne BAH og CDF er ens, da trapezoidet ABCD er ligebenet, hvilket betyder, at trekanterne ligner hinanden. Da højderne BH og CF er ens eller sidesiderne af en ligebenet trapez AB og CD er kongruente, så er lignende trekanter kongruente. Det betyder, at deres sider AH og FD også er lige.
• Find AH. AH+FD=AD-HF. Da fra et parallelogram HF=BC, og fra trekanter AH=FD, så AH=(AD-BC)*1/2.
• Beregn derefter fra den retvinklede trekant ABH ved hjælp af Pythagoras sætning højde B.H. Hypotenus kvadrat AB lig med summen kvadrater af ben AH og BH. BH=rod(AB*AB-AH*AH).

Trapeze kaldes en firkant, hvis kun to siderne er parallelle med hinanden.

De kaldes figurens baser, resten kaldes siderne. Parallelogrammer betragtes som særlige tilfælde af figuren. Der er også en buet trapez, som inkluderer grafen for en funktion. Formler for området af en trapez omfatter næsten alle dets elementer, og bedste løsning vælges afhængigt af de angivne værdier.
Hovedrollerne i trapezet er tildelt højden og midterlinjen. Midterste linje- Dette er en linje, der forbinder sidernes midtpunkter. Højde Trapezoiden er tegnet i rette vinkler fra det øverste hjørne til bunden.
Arealet af en trapezoid gennem dens højde er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​længderne af baserne ganget med højden:

Hvis den gennemsnitlige linje er kendt i henhold til betingelserne, er denne formel væsentligt forenklet, da den er lig med halvdelen af ​​summen af ​​længderne af baserne:

Hvis længden af ​​alle sider er givet i henhold til betingelserne, kan vi overveje et eksempel på beregning af arealet af en trapez ved hjælp af disse data:

Antag, at vi får en trapez med baser a = 3 cm, b = 7 cm og sider c = 5 cm, d = 4 cm Lad os finde arealet af figuren:

Arealet af en ligebenet trapez

Et ligebenet trapez, eller, som det også kaldes, et ligebenet trapez, betragtes som et særskilt tilfælde.
Et særligt tilfælde er at finde arealet af en ligebenet (ligesidet) trapez. Formlen er afledt på forskellige måder– gennem diagonaler, gennem vinkler, der støder op til bunden og radius af den indskrevne cirkel.
Hvis længden af ​​diagonalerne er angivet i henhold til betingelserne, og vinklen mellem dem er kendt, kan du bruge følgende formel:

Husk at diagonalerne på en ligebenet trapezoid er lig med hinanden!

Det vil sige, ved at kende en af ​​deres baser, side og vinkel, kan du nemt beregne arealet.

Arealet af en buet trapez

Et særligt tilfælde er buet trapez. Den er placeret på koordinataksen og er begrænset af grafen for en kontinuerlig positiv funktion.

Dens base er placeret på X-aksen og er begrænset til to punkter:
Integraler hjælper med at beregne areal buet trapez.
Formlen er skrevet sådan:

Lad os overveje et eksempel på beregning af arealet af en buet trapez. Formlen kræver noget viden at arbejde med visse integraler. Lad os først se på værdien af ​​det bestemte integral:

Her er F(a) værdien antiderivative funktion f(x) i punkt a, F(b) er værdien af ​​den samme funktion f(x) i punkt b.

Lad os nu løse problemet. Figuren viser en buet trapez afgrænset af funktionen. Fungere
Vi skal finde arealet af den valgte figur, som er en buet trapez afgrænset over af grafen, til højre af den lige linje x =(-8), til venstre af den lige linje x =(-10) ) og OX-aksen nedenfor.
Vi vil beregne arealet af denne figur ved hjælp af formlen:

Betingelserne for problemet giver os en funktion. Ved at bruge det finder vi værdierne af antiderivatet på hvert af vores punkter:


Nu
Svar: Arealet af en given buet trapez er 4.

Der er ikke noget kompliceret i at beregne denne værdi. Det eneste, der er vigtigt, er ekstrem omhu i beregninger.

Der er mange måder at finde arealet af en trapez. Normalt kender en matematikvejleder flere metoder til at beregne det, lad os se på dem mere detaljeret:
1) , hvor AD og BC er baserne, og BH er højden af ​​trapez. Bevis: tegn diagonalen BD og udtryk arealerne af trekanter ABD og CDB gennem halvproduktet af deres baser og højder:

, hvor DP er den udvendige højde i

Lad os tilføje disse ligheder termin for termin, og under hensyntagen til, at højderne BH og DP er ens, opnår vi:

Lad os sætte det uden for parentes

Q.E.D.

En konsekvens af formlen for arealet af en trapez:
Da den halve sum af baserne er lig med MN - midtlinjen af ​​trapezoidet, altså

2) Anvendelse generel formel areal af en firkant.
Arealet af en firkant er lig med halvdelen af ​​produktet af diagonalerne ganget med sinus af vinklen mellem dem
For at bevise det er det nok at opdele trapezoidet i 4 trekanter, udtrykke arealet af hver gennem "halvdelen af ​​produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem" (taget som vinklen, tilføj de resulterende udtryk, tag dem ud af parentesen og faktor denne parentes ved hjælp af grupperingsmetoden for at opnå dens lighed med udtrykket

3) Diagonalforskydningsmetode
Dette er mit navn. En matematikvejleder vil ikke støde på sådan en overskrift i skolebøgerne. En beskrivelse af teknikken kan kun findes i tillæg lærebøger som eksempel på løsning af et problem. Jeg bemærker, at de fleste af de interessante og nyttige fakta planimetri matematik vejledere afslører for studerende i færd med at udføre praktisk arbejde. Dette er ekstremt suboptimalt, fordi eleven skal isolere dem i separate teoremer og kalde dem " store navne" En af disse er "diagonalforskydning". Om hvad vi taler om?Lad os tegne en linje parallel med AC gennem toppunkt B, indtil den skærer den nederste base i punktet E. I dette tilfælde vil firkantet EBCA være et parallelogram (per definition) og derfor BC=EA og EB=AC. Den første ligestilling er vigtig for os nu. Vi har:

Bemærk, at trekanten BED, hvis areal er lig med arealet af trapezoidet, har flere mere bemærkelsesværdige egenskaber:
1) Dens areal er lig med arealet af trapez
2) Dens ligebenede forekommer samtidig med selve trapezets ligebenede
3) Dens øvre vinkel ved toppunkt B er lig med vinklen mellem diagonalerne på trapezoidet (som meget ofte bruges i opgaver)
4) Dens median BK er lig med afstanden QS mellem midtpunkterne af trapezets baser. Jeg stødte for nylig på brugen af ​​denne egenskab, da jeg forberedte en studerende til mekanik og matematik ved Moscow State University ved hjælp af Tkachuks lærebog, version 1973 (problemet er angivet nederst på siden).

Særlige teknikker for en matematikvejleder.

Nogle gange foreslår jeg problemer ved at bruge en meget vanskelig måde at finde området af en trapez. Jeg klassificerer det som en speciel teknik, fordi vejlederen i praksis bruger dem ekstremt sjældent. Hvis du kun har brug for forberedelse til Unified State-eksamen i matematik i del B, behøver du ikke læse om dem. For andre vil jeg fortælle dig videre. Det viser sig, at arealet af trapezoidet er fordoblet mere område en trekant med spidser i enderne af den ene side og midten af ​​den anden, det vil sige ABS-trekanten i figuren:
Bevis: tegn højderne SM og SN i trekanter BCS og ADS og udtryk summen af ​​arealerne af disse trekanter:

Da punkt S er midtpunktet af CD, så (bevis det selv).

Da denne sum viste sig at være lig med halvdelen af ​​trapezets areal, så dens anden halvdel. Osv.

I vejlederens samling af specielle teknikker vil jeg inkludere formen til at beregne arealet af et ligebenet trapez langs dets sider: hvor p er halvperimeteren af ​​trapezet. Jeg vil ikke give bevis. Ellers står din matematikvejleder uden job :). Kom til undervisningen!

Problemer på arealet af en trapez:

Matematikvejleders notat: Listen nedenfor er ikke et metodisk akkompagnement til emnet, det er kun et lille udvalg af interessante opgaver baseret på de teknikker, der er diskuteret ovenfor.

1) Den nederste base af en ligebenet trapez er 13, og den øvre er 5. Find arealet af trapezet, hvis dens diagonal er vinkelret på siden.
2) Find arealet af en trapez, hvis dens baser er 2 cm og 5 cm, og dens sider er 2 cm og 3 cm.
3) I en ligebenet trapez er den største base 11, siden er 5, og diagonalen er Find arealet af trapez.
4) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez er 5 og midterlinjen er 4. Find arealet.
5) I et ligebenet trapez er baserne 12 og 20, og diagonalerne er indbyrdes vinkelrette. Beregn arealet af en trapez
6) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez danner en vinkel med sin nederste base. Find arealet af trapezet, hvis dets højde er 6 cm.
7) Arealet af trapezet er 20, og en af ​​siderne er 4 cm. Find afstanden til det fra midten af ​​den modsatte side.
8) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez opdeler den i trekanter med arealer på 6 og 14. Find højden, hvis sidesiden er 4.
9) I et trapez er diagonalerne lig med 3 og 5, og segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, er lig med 2. Find arealet af trapezet (Mekhmat MSU, 1970).

Jeg valgte ikke de sværeste problemer (vær ikke bange for maskinteknik!) med forventning om, at jeg ville være i stand til at løse dem selvstændigt. Beslut dig for dit helbred! Hvis du har brug for forberedelse til Unified State Exam i matematik, kan der uden deltagelse i denne proces opstå formler for arealet af en trapezoid alvorlige problemer selv med problem B6 og endnu mere med C4. Start ikke emnet, og spørg om hjælp i tilfælde af problemer. En matematikvejleder hjælper dig altid gerne.

Kolpakov A.N.
Matematiklærer i Moskva, forberedelse til Unified State eksamen i Strogino.

Et trapez er en relieffirkant, hvor to modstående sider er parallelle, og de to andre er ikke-parallelle. Hvis alle modsatte sider af en firkant er parallelle i par, så er det et parallelogram.

Du skal bruge

• – alle sider af trapezoidet (AB, BC, CD, DA).

Instruktioner

1. Ikke-parallel sider trapez kaldes laterale sider, og parallelle sider kaldes baser. Linjen mellem baserne, vinkelret på dem - højde trapez. Hvis lateral sider trapez er lige store, så kaldes det ligebenet. Lad os først se på løsningen for trapez, som ikke er ligebenet.

2. Tegn linjestykke BE fra punkt B til den nederste base AD parallelt med siden trapez CD. Fordi BE og CD er parallelle og tegnet mellem parallelle baser trapez BC og DA, så er BCDE et parallelogram, og dets modsætning sider BE og CD er lige store. BE=CD.

3. Se på trekanten ABE. Beregn side AE. AE=AD-ED. Grunde trapez BC og AD er kendt, og i et parallelogram er BCDE modsatte sider ED og BC er lige store. ED=BC, så AE=AD-BC.

4. Find nu ud af arealet af trekanten ABE ved hjælp af Herons formel ved at beregne halvperimeteren. S=rod(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). I denne formel er p halvperimeteren af ​​trekanten ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). For at beregne arealet kender du alle de nødvendige data: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Udtryk fra denne formel højden af ​​trekanten, som også er højden trapez. BH=2*S/AE. Beregn det.

7. Hvis trapezet er ligebenet, kan løsningen udføres anderledes. Se på trekanten ABH. Det er rektangulært, fordi et af hjørnerne, BHA, er rigtigt.

8. Tegn højden CF fra toppunktet C.

9. Undersøg HBCF-figuren. HBCF rektangel, fordi der er to af det sider er højder, og de to andre er baser trapez, det vil sige, at vinklerne er rigtige, og det modsatte sider parallel. Det betyder, at BC=HF.

10. Se på de rigtige trekanter ABH og FCD. Vinklerne i højderne BHA og CFD er rigtige, og vinklerne på siden sider x BAH og CDF er ens, fordi trapezet ABCD er ligebenet, hvilket betyder, at trekanterne ligner hinanden. Fordi højderne BH og CF er lige store eller laterale sider ligebenet trapez AB og CD er kongruente, så er lignende trekanter kongruente. Så de sider AH og FD er også lige.

11. Opdag AH. AH+FD=AD-HF. Fordi fra et parallelogram HF=BC, og fra trekanter AH=FD, så AH=(AD-BC)*1/2.

Trapez - geometrisk figur, som er en firkant, hvor to sider, kaldet baser, er parallelle, og de to andre ikke er parallelle. De kaldes sider trapez. Det segment, der trækkes gennem midtpunkterne på sidesiderne, kaldes midtlinjen trapez. Et trapez kan have forskellige sidelængder eller identiske, i så fald kaldes det ligebenet. Hvis en af ​​siderne er vinkelret på basen, vil trapezet være rektangulært. Men det er meget mere praktisk at vide, hvordan man opdager firkant trapez .

Du skal bruge

• Lineal med millimeterinddelinger

Instruktioner

1. Mål alle sider trapez: AB, BC, CD og DA. Registrer dine mål.

2. På segment AB markeres det midterste - punkt K. På segment DA markeres punkt L, som også er i midten af ​​segment AD. Kombiner punkterne K og L, det resulterende segment KL vil være midterlinjen trapez ABCD. Mål segmentet KL.

3. Fra toppen trapez– kast C, sænk vinkelret på dets base AD på segmentet CE. Det bliver højden trapez ABCD. Mål segmentet CE.

4. Lad os kalde segmentet KL bogstavet m, og segmentet CE bogstavet h, så firkant S trapez ABCD beregnes ved hjælp af formlen: S=m*h, hvor m er midterlinjen trapez ABCD, h – højde trapez ABCD.

5. Der er en anden formel, der giver dig mulighed for at beregne firkant trapez ABCD. Nederste bund trapez– Lad os kalde AD bogstavet b, og den øverste base BC bogstavet a. Arealet bestemmes af formlen S=1/2*(a+b)*h, hvor a og b er baserne trapez, h – højde trapez .

Video om emnet

Tip 3: Sådan finder du højden af ​​en trapez, hvis området er kendt

Et trapez er en firkant, hvor to af dens fire sider er parallelle med hinanden. Parallelle sider er grundlaget for dette trapez, de to andre er de laterale sider af denne trapez. Opdage højde trapez, hvis du kender dens område, vil det være meget nemt.

Instruktioner

1. Vi skal finde ud af, hvordan man beregner arealet af initialen trapez. Der er flere formler for dette, afhængig af startdata: S = ((a+b)*h)/2, hvor a og b er længderne af baserne trapez, og h er dens højde (Højde trapez– vinkelret, sænket fra én base trapez til en anden);S = m*h, hvor m er midterlinjen trapez(Den midterste linje er et segment parallelt med baserne trapez og forbinder midtpunkterne af dens sider).

2. Nu kender du formlerne til beregning af areal trapez, er det tilladt at udlede nye fra dem for at finde højden trapez:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. For at gøre det tydeligere, hvordan man løser lignende problemer, kan du se på eksempler: Eksempel 1: Givet en trapez, hvis areal er 68 cm?, hvis midterlinje er 8 cm, skal du finde højde givet trapez. For at løse dette problem skal du bruge den tidligere afledte formel: h = 68/8 = 8,5 cm Svar: højden af ​​denne trapez er 8,5 cmEksempel 2: Lad y trapez areal er 120 cm?, længden af ​​baserne er angivet trapez er lig med henholdsvis 8 cm og 12 cm, er det nødvendigt at detektere højde denne trapez. For at gøre dette skal du anvende en af ​​de afledte formler: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmSvar: højden af ​​den givne trapez lig med 12 cm

Video om emnet

Vær opmærksom!
Ethvert trapez har en række egenskaber: - midterlinjen af ​​en trapez er lig med halvdelen af ​​dens baser - segmentet, der forbinder trapezets diagonaler, er lig med halvdelen af ​​forskellen på dens baser; tegnes gennem grundpunkternes midtpunkter, så vil den skære skæringspunktet for trapezets diagonaler - Du kan indskrive en cirkel i en trapezform, hvis summen af ​​grundlængderne i en given trapezform er lig med summen af ​​dens; sider Brug disse egenskaber, når du løser problemer.

Tip 4: Sådan finder du højden af ​​en trekant givet punkternes koordinater

Højden i en trekant er det lige linjestykke, der forbinder figurens toppunkt til den modsatte side. Dette segment skal nødvendigvis være vinkelret på siden, derfor er det kun tilladt at tegne en højde. Fordi der er tre hjørner i denne figur, er der det samme antal højder. Hvis en trekant er givet ved koordinaterne af dens hjørner, kan længden af ​​hver af højderne beregnes, f.eks. ved at bruge formlen til at finde arealet og beregne længderne af siderne.

Instruktioner

1. Gå videre i dine beregninger fra det faktum, at området trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​hver af dens sider med længden af ​​højden sænket ned på denne side. Af denne definition følger det, at for at finde højden skal du kende området af figuren og længden af ​​siden.

2. Start med at beregne længderne af siderne trekant. Angiv koordinaterne for hjørnerne af figuren som følger: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) og C(X?,Y?,Z?). Derefter kan du beregne længden af ​​side AB ved hjælp af formlen AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). For de andre 2 sider vil disse formler se sådan ud: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) og AC = ?(( Xa-Xa) + (Ya-Ya) + (Za-Za)? Lad os sige for trekant med koordinaterne A(3,5,7), B(16,14,19) og C(1,2,13) ​​vil længden af ​​siden AB være?((3-16)? + (5-14) )a + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = a394 ? 19,85. Længderne af siderne BC og AC, beregnet efter samme metode, vil være lig?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20,12 og a(2a + 3a + (-6a)) = 49 = 7.

3. At kende længderne af 3 sider opnået i det foregående trin er nok til at beregne arealet trekant(S) ifølge Herons formel: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Lad os sige, efter at have erstattet værdierne fra koordinaterne i denne formel trekant-eksempel fra det forrige trin, vil denne formel give følgende værdi: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ??*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Baseret på areal trekant, beregnet i det foregående trin, og længderne af siderne opnået i det andet trin, beregn højderne for hver af siderne. Fordi arealet er lig med halvdelen af ​​produktet af højden og længden af ​​den side, som det er tegnet til, skal du for at finde højden dividere det fordoblede område med længden af ​​den ønskede side: H = 2*S/a. For det anvendte eksempel ovenfor vil højden sænket til side AB være 2*68.815/16.09? 8.55, vil højden til BC-siden have en længde på 2*68.815/20.12? 6,84, og for AC-siden vil denne værdi være lig med 2*68,815/7? 19,66.

Udøvelsen af ​​sidste års Unified State Exam og State Examination viser, at geometriproblemer volder vanskeligheder for mange skolebørn. Du kan nemt klare dem, hvis du husker alle de nødvendige formler og øver dig i at løse problemer.

I denne artikel vil du se formler til at finde arealet af en trapez, samt eksempler på problemer med løsninger. Du kan støde på de samme i KIM'er under certificeringseksamener eller ved olympiader. Behandl dem derfor omhyggeligt.

Hvad du behøver at vide om trapez?

Til at begynde med, lad os huske det trapez kaldes en firkant, hvor to modstående sider, også kaldet baser, er parallelle, og de to andre ikke er det.

I en trapez kan højden (vinkelret på bunden) også sænkes. Den midterste linje er tegnet - dette er en lige linje, der er parallel med baserne og lig med halvdelen af ​​deres sum. Samt diagonaler, der kan skære hinanden og danne spidse og stumpe vinkler. Eller i nogle tilfælde i en ret vinkel. Hvis trapezet er ligebenet, kan der desuden indskrives en cirkel i den. Og beskriv en cirkel omkring den.

Trapezområdeformler

Lad os først se på standardformlerne til at finde arealet af en trapez. Vi vil overveje måder at beregne arealet af ligebenede og buede trapezoider nedenfor.

Så forestil dig, at du har en trapez med base a og b, hvor højden h er sænket til den større base. At beregne arealet af en figur i dette tilfælde er lige så let som at beskyde pærer. Du skal bare dividere summen af ​​længderne af baserne med to og gange resultatet med højden: S = 1/2(a + b)*h.

Lad os tage et andet tilfælde: antag, at der i en trapez ud over højden er en midterlinje m. Vi kender formlen til at finde længden af ​​midterlinjen: m = 1/2(a + b). Derfor kan vi med rette forenkle formlen for arealet af en trapez til følgende type: S = m* h. Med andre ord, for at finde arealet af en trapez, skal du gange midterlinjen med højden.

Lad os overveje en anden mulighed: trapezoidet indeholder diagonaler d 1 og d 2, som ikke skærer hinanden i rette vinkler α. For at beregne arealet af en sådan trapez skal du dividere produktet af diagonalerne med to og gange resultatet med synden af ​​vinklen mellem dem: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Overvej nu formlen for at finde arealet af en trapez, hvis intet er kendt om det undtagen længderne af alle dets sider: a, b, c og d. Dette er en besværlig og kompleks formel, men det vil være nyttigt for dig at huske det i tilfælde af: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Forresten er ovenstående eksempler også sande for det tilfælde, hvor du har brug for formlen for arealet af en rektangulær trapez. Dette er en trapez, hvis side støder op til baserne i en ret vinkel.

Ligebenet trapez

Et trapez, hvis sider er lige store, kaldes ligebenet. Vi vil overveje flere muligheder for formlen for arealet af en ligebenet trapez.

Første mulighed: i det tilfælde, hvor en cirkel med radius r er indskrevet inde i en ligebenet trapez, og siden og den større base danner spids vinkelα. En cirkel kan indskrives i en trapez, forudsat at summen af ​​længderne af dens baser er lig med summen af ​​længderne af siderne.

Arealet af et ligebenet trapez beregnes som følger: gange kvadratet af radius af den indskrevne cirkel med fire og dividere det hele med sinα: S = 4r2/sina. En anden arealformel er et specialtilfælde for muligheden, når vinklen mellem den store base og siden er 30 0: S = 8r2.

Anden mulighed: denne gang tager vi en ligebenet trapez, hvori derudover diagonalerne d 1 og d 2 er tegnet, samt højden h. Hvis diagonalerne af et trapez er indbyrdes vinkelrette, er højden halvdelen af ​​summen af ​​baserne: h = 1/2(a + b). Når du ved dette, er det nemt at omdanne formlen for området af en trapez, som du allerede kender til, til denne form: S = h 2.

Formel for området af en buet trapez

Lad os starte med at finde ud af, hvad en buet trapez er. Forestil dig en koordinatakse og en graf af en kontinuert og ikke-negativ funktion f, der ikke ændrer fortegn inden for et givet segment på x-aksen. Et krumt trapez dannes af grafen for funktionen y = f(x) - øverst er x-aksen i bunden (segment), og på siderne - rette linjer tegnet mellem punkt a og b og grafen for funktionen.

Det er umuligt at beregne arealet af en sådan ikke-standardfigur ved hjælp af ovenstående metoder. Her skal du ansøge matematisk analyse og brug integralet. Nemlig: Newton-Leibniz formlen - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denne formel er F antiderivatet af vores funktion på det valgte segment. Og arealet af en krumt trapez svarer til stigningen af ​​antiderivatet på et givet segment.

Prøveproblemer

For at gøre alle disse formler lettere at forstå i dit hoved, er her nogle eksempler på problemer med at finde arealet af en trapez. Det bedste vil være, hvis du først selv forsøger at løse problemerne, og først derefter sammenligner det svar, du får, med den færdige løsning.

Opgave #1: Givet en trapez. Dens større base er 11 cm, den mindre er 4 cm. Trapezoiden har diagonaler, den ene 12 cm lang, den anden 9 cm.

Løsning: Konstruer en trapezformet AMRS. Tegn en ret linje РХ gennem toppunktet P, så den er parallel med diagonalen MC og skærer den rette linje AC i punktet X. Du får en trekant APХ.

Vi vil overveje to figurer opnået som et resultat af disse manipulationer: trekant APX og parallelogram CMRX.

Takket være parallelogrammet lærer vi, at PX = MC = 12 cm og CX = MR = 4 cm. Hvorfra kan vi beregne siden AX af trekanten ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Vi kan også bevise, at trekanten APX er retvinklet (for at gøre dette skal du anvende Pythagoras sætning - AX 2 = AP 2 + PX 2). Og beregn dens areal: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Dernæst skal du bevise, at trekanter AMP og PCX er lige store. Grundlaget vil være lighed mellem parterne MR og CX (allerede bevist ovenfor). Og også de højder, som du sænker på disse sider - de er lig med højden af ​​AMRS trapez.

Alt dette vil tillade dig at sige, at S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Opgave #2: Den trapezformede KRMS er givet. På dens laterale sider er der punkt O og E, mens OE og KS er parallelle. Det er også kendt, at arealet af trapezerne ORME og OKSE er i forholdet 1:5. RM = a og KS = b. Du skal finde OE.

Løsning: Tegn en linje parallelt med RK gennem punktet M, og angiv punktet for dens skæringspunkt med OE som T. A er skæringspunktet for en linje trukket gennem punktet E parallelt med RK med grundfladen KS.

Lad os introducere endnu en notation - OE = x. Og også højden h 1 for trekanten TME og højden h 2 for trekanten AEC (du kan uafhængigt bevise ligheden mellem disse trekanter).

Vi vil antage, at b > a. Arealerne af trapezerne ORME og OKSE er i forholdet 1:5, hvilket giver os ret til at lave følgende ligning: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lad os transformere og få: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da trekanterne TME og AEC ligner hinanden, har vi h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Lad os kombinere begge indtastninger og få: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Således er OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Konklusion

Geometri er ikke den nemmeste videnskab, men du kan helt sikkert klare eksamensspørgsmålene. Det er nok at vise lidt udholdenhed i forberedelsen. Og husk selvfølgelig alle de nødvendige formler.

Vi forsøgte at samle alle formlerne til at beregne arealet af en trapez på ét sted, så du kan bruge dem, når du forbereder dig til eksamen og reviderer materialet.

Sørg for at fortælle dine klassekammerater og venner om denne artikel. sociale netværk. Lad der være flere gode karakterer til Unified State Examination og State Examination!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.