Hvad er tangent lig med i trigonometri? Regler for at finde trigonometriske funktioner: sinus, cosinus, tangent og cotangens

Tegnet for den trigonometriske funktion afhænger udelukkende af den koordinatkvadrant, hvori det numeriske argument er placeret. Sidste gang lærte vi at konvertere argumenter fra et radianmål til et gradmål (se lektion " Radian og gradmål for en vinkel"), og derefter bestemme det samme koordinatkvartal. Lad os nu faktisk bestemme fortegnet for sinus, cosinus og tangens.

Sinus for vinklen α er ordinaten (y-koordinaten) af et punkt på en trigonometrisk cirkel, der opstår, når radius drejes med vinklen α.

Cosinus for vinkel α er abscissen (x-koordinat) af et punkt på en trigonometrisk cirkel, som opstår, når radius drejes med vinkel α.

Tangens af vinklen α er forholdet mellem sinus og cosinus. Eller, hvilket er det samme, forholdet mellem y-koordinaten og x-koordinaten.

Notation: sin α = y ; cos α = x; tg α = y : x .

Alle disse definitioner kender du fra gymnasiets algebra. Vi er dog ikke interesserede i selve definitionerne, men i de konsekvenser, der opstår på den trigonometriske cirkel. Tag et kig:

Blå farve angiver den positive retning af OY-aksen (ordinataksen), rød angiver den positive retning af OX-aksen (abscisseaksen). Der er tegn på denne "radar" trigonometriske funktioner blive indlysende. Især:

sin α > 0 hvis vinklen α ligger i I- eller II-koordinatkvadranten. Dette skyldes, at sinus per definition er en ordinat (y-koordinat). Og y-koordinaten vil være positiv netop i I- og II-koordinatkvartererne;
cos α > 0, hvis vinklen α ligger i 1. eller 4. koordinatkvadrant. For kun dér vil x-koordinaten (aka abscisse) være større end nul;
tan α > 0 hvis vinklen α ligger i I- eller III-koordinatkvadranten. Dette følger af definitionen: tan α = y : x, derfor er den kun positiv, hvor fortegnene for x og y er sammenfaldende. Dette sker i det første koordinatkvartal (her x > 0, y > 0) og det tredje koordinatkvartal (x< 0, y < 0).

For klarhedens skyld, lad os bemærke tegnene for hver trigonometrisk funktion - sinus, cosinus og tangent - på separate "radarer". Vi får følgende billede:

Bemærk venligst: i mine diskussioner talte jeg aldrig om den fjerde trigonometriske funktion - cotangens. Faktum er, at cotangens-tegnene falder sammen med tangent-tegnene - der er ingen særlige regler der.

Nu foreslår jeg at overveje eksempler svarende til problemer B11 fra prøve Unified State Exam i matematik, som fandt sted den 27. september 2011. bedste måde at forstå teori er praksis. Det er tilrådeligt at have en masse øvelse. Naturligvis blev betingelserne for opgaverne lidt ændret.

Opgave. Bestem tegnene for trigonometriske funktioner og udtryk (værdierne af funktionerne i sig selv behøver ikke at blive beregnet):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

tg(5π/3);

sin (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin (5π/6) cos (7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Handlingsplanen er som følger: Først konverterer vi alle vinkler fra radianmål til grader (π → 180°), og ser derefter på hvilket koordinatkvartal det resulterende tal ligger i. Ved at kende kvartererne kan vi nemt finde skiltene - efter de netop beskrevne regler. Vi har:

sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Siden 135° ∈ er dette en vinkel fra II-koordinatkvadranten. Men sinus i andet kvartal er positiv, så sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Fordi 210° ∈ , dette er vinklen fra III-koordinatkvadranten, hvor alle cosinus er negative. Derfor cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Siden 300° ∈ er vi i IV-kvarteret, hvor tangenten tager negative værdier. Derfor tan (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Lad os beskæftige os med sinus: fordi 135° ∈ , dette er det andet kvartal, hvor sinuserne er positive, dvs. sin (3π/4) > 0. Nu arbejder vi med cosinus: 150° ∈ - igen den anden fjerdedel, cosinusene der er negative. Derfor cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vi ser på cosinus: 120° ∈ er II-koordinatkvartalet, så cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Igen fik vi et produkt, hvor faktorerne har forskellige fortegn. Da "minus ved plus giver minus", har vi: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Vi arbejder med sinus: siden 150° ∈ , vi taler om om II-koordinatkvarteret, hvor sinuserne er positive. Derfor er sin (5π/6) > 0. På samme måde er 315° ∈ IV-koordinatkvartalet, cosinusene der er positive. Derfor cos (7π/4) > 0. Vi opnåede produktet af to positive tal- sådan et udtryk er altid positivt. Vi konkluderer: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Men vinklen 135° ∈ er anden fjerdedel, dvs. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Da "minus ved plus giver et minustegn", har vi: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vi ser på cotangens-argumentet: 240° ∈ er III-koordinatkvartalet, derfor ctg (4π/3) > 0. Tilsvarende har vi for tangenten: 30° ∈ er I-koordinatkvartalet, dvs. den enkleste vinkel. Derfor tan (π/6) > 0. Igen har vi to positive udtryk - deres produkt vil også være positivt. Derfor barneseng (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lad os endelig se på nogle mere komplekse problemer. Udover at finde ud af fortegnet for den trigonometriske funktion, skal du her lave lidt matematik – præcis som det gøres i rigtige opgaver B11. I princippet er det næsten reelle problemer, der faktisk optræder i Unified State Examination i matematik.

Opgave. Find sin α hvis sin 2 α = 0,64 og α ∈ [π/2; π].

Da sin 2 α = 0,64, har vi: sin α = ±0,8. Tilbage er kun at beslutte: plus eller minus? Ved betingelse, vinkel α ∈ [π/2; π] er II-koordinatkvartalet, hvor alle sinus er positive. Derfor er sin α = 0,8 - usikkerheden med fortegn elimineres.

Opgave. Find cos α hvis cos 2 α = 0,04 og α ∈ [π; 3π/2].

Vi handler på samme måde, dvs. ekstrakt kvadratrod: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Ved betingelse, vinkel α ∈ [π; 3π/2], dvs. Vi taler om tredje koordinatkvartal. Alle cosinus der er negative, så cos α = −0,2.

Opgave. Find sin α hvis sin 2 α = 0,25 og α ∈ .

Vi har: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Vi ser på vinklen igen: α ∈ er IV-koordinatkvartalet, hvor sinus som bekendt vil være negativ. Således konkluderer vi: sin α = −0,5.

Opgave. Find tan α hvis tan 2 α = 9 og α ∈ .

Alt er det samme, kun for tangenten. Udtræk kvadratroden: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Men i henhold til betingelsen er vinklen α ∈ I-koordinatkvartalet. Alle trigonometriske funktioner, inkl. tangent, der er positive, så tan α = 3. Det er det!

Denne artikel indeholder tabeller over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter. Først vil vi give en tabel over de grundlæggende værdier af trigonometriske funktioner, det vil sige en tabel over sinus, cosinus, tangenter og cotangens af vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Herefter vil vi give en tabel over sinus og cosinus, samt en tabel over tangenter og cotangenter af V. M. Bradis, og vise, hvordan man bruger disse tabeller, når man finder værdierne af trigonometriske funktioner.

Sidenavigation.

Tabel over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, ... grader

Referencer.

Algebra: Lærebog for 9. klasse. gns. skole/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Uddannelse, 1990. - 272 s.: ISBN 5-09-002727
Bashmakov M. I. Algebra og begyndelsen af analyse: Lærebog. for 10-11 klassetrin. gns. skole - 3. udg. - M.: Uddannelse, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra og begyndelsen af analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. udg. - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.
Bradis V. M. Firecifrede matematiske tabeller: Til almen uddannelse. lærebog virksomheder. - 2. udg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Begreberne sinus, cosinus, tangent og cotangens er hovedkategorierne af trigonometri, en gren af matematikken, og er uløseligt forbundet med definitionen af vinkel. Beherskelse af denne matematiske videnskab kræver memorering og forståelse af formler og teoremer samt udviklet rumlig tænkning. Dette er grunden til, at trigonometriske beregninger ofte forårsager vanskeligheder for skolebørn og elever. For at overvinde dem bør du blive mere fortrolig med trigonometriske funktioner og formler.

Begreber i trigonometri

For at forstå trigonometriens grundlæggende begreber skal du først forstå, hvad en retvinklet trekant og en vinkel i en cirkel er, og hvorfor alle grundlæggende trigonometriske beregninger er forbundet med dem. En trekant, hvor en af vinklerne måler 90 grader, er rektangulær. Historisk set blev denne figur ofte brugt af mennesker inden for arkitektur, navigation, kunst og astronomi. Ved at studere og analysere egenskaberne af denne figur kom folk derfor til at beregne de tilsvarende forhold mellem dens parametre.

Hovedkategorierne forbundet med retvinklede trekanter er hypotenusen og benene. Hypotenusen er siden af en trekant modsat den rette vinkel. Benene er henholdsvis de resterende to sider. Summen af vinklerne i trekanter er altid 180 grader.

Sfærisk trigonometri er et afsnit af trigonometri, der ikke studeres i skolen, men i anvendte videnskaber som astronomi og geodæsi bruger videnskabsmænd det. Det særlige ved en trekant i sfærisk trigonometri er, at den altid har en sum af vinkler, der er større end 180 grader.

Vinkler af en trekant

I en retvinklet trekant er en vinkels sinus forholdet mellem benet modsat den ønskede vinkel og trekantens hypotenus. Følgelig er cosinus forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen. Begge disse værdier har altid en størrelse mindre end én, da hypotenusen altid er længere end benet.

Tangens af en vinkel er en værdi lig med forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side af den ønskede vinkel, eller sinus til cosinus. Cotangens er på sin side forholdet mellem den tilstødende side af den ønskede vinkel og den modsatte side. Cotangensen af en vinkel kan også fås ved at dividere en med tangentværdien.

Enhedscirkel

En enhedscirkel i geometri er en cirkel, hvis radius er lig med én. En sådan cirkel er konstrueret i et kartesisk koordinatsystem, hvor cirklens centrum falder sammen med oprindelsespunktet, og radiusvektorens begyndelsesposition bestemmes langs X-aksens positive retning (abscisse-aksen). Hvert punkt på cirklen har to koordinater: XX og YY, det vil sige koordinaterne for abscissen og ordinaten. Ved at vælge et hvilket som helst punkt på cirklen i XX-planet og slippe en vinkelret fra den til abscisse-aksen, får vi en retvinklet trekant dannet af radius til det valgte punkt (angivet med bogstavet C), vinkelret tegnet på X-aksen (skæringspunktet er angivet med bogstavet G), og segmentet abscisseaksen er mellem koordinaternes oprindelse (punktet er betegnet med bogstavet A) og skæringspunktet G. Den resulterende trekant ACG er en retvinklet trekant indskrevet i en cirkel, hvor AG er hypotenusen, og AC og GC er benene. Vinklen mellem radius af cirklen AC og segmentet af abscisseaksen med betegnelsen AG er defineret som α (alfa). Så cos α = AG/AC. I betragtning af at AC er radius af enhedscirklen, og den er lig med én, viser det sig, at cos α=AG. Ligeledes er sin α=CG.

Ved at kende disse data kan du desuden bestemme koordinaten for punkt C på cirklen, da cos α=AG, og sin α=CG, hvilket betyder, at punkt C har de givne koordinater (cos α;sin α). Ved at vide, at tangenten er lig med forholdet mellem sinus og cosinus, kan vi bestemme, at tan α = y/x, og cot α = x/y. Ved at betragte vinkler i et negativt koordinatsystem kan man beregne, at sinus- og cosinusværdierne for nogle vinkler kan være negative.

Beregninger og grundlæggende formler

Trigonometriske funktionsværdier

Efter at have overvejet essensen af trigonometriske funktioner gennem enhedscirklen, kan vi udlede værdierne af disse funktioner for nogle vinkler. Værdierne er angivet i tabellen nedenfor.

De enkleste trigonometriske identiteter

Ligninger, hvori tegnet for den trigonometriske funktion indeholder ukendt værdi, kaldes trigonometriske. Identiteter med værdien sin x = α, k - ethvert heltal:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteter med værdien cos x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med værdien tg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identiteter med værdien ctg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:

barneseng x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Reduktionsformler

Denne kategori af konstante formler angiver metoder, hvormed du kan flytte fra trigonometriske funktioner af formen til funktioner af argument, det vil sige reducere sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel af enhver værdi til de tilsvarende indikatorer for vinklen af interval fra 0 til 90 grader for større nem beregning.

Formler til reduktion af funktioner for en vinkels sinus ser således ud:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

For cosinus af vinkel:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Brugen af ovenstående formler er mulig under forudsætning af to regler. For det første, hvis vinklen kan repræsenteres som en værdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ændres værdien af funktionen:

fra synd til cos;
fra cos til synd;
fra tg til ctg;
fra ctg til tg.

Værdien af funktionen forbliver uændret, hvis vinklen kan repræsenteres som (π ± a) eller (2π ± a).

For det andet ændres tegnet på den reducerede funktion ikke: hvis det oprindeligt var positivt, forbliver det sådan. Det samme med negative funktioner.

Tilføjelsesformler

Disse formler udtrykker værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens af summen og forskellen af to rotationsvinkler gennem deres trigonometriske funktioner. Typisk er vinklerne betegnet som α og β.

Formlerne ser således ud:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Disse formler er gyldige for alle vinkler α og β.

Dobbelt- og tredobbeltvinkelformler

De dobbelte og tredobbelte trigonometriske formler er formler, der relaterer funktionerne af henholdsvis vinklerne 2α og 3α til de trigonometriske funktioner af vinklen α. Afledt af additionsformler:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Overgang fra sum til produkt

I betragtning af at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), forenklet denne formel, opnår vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Overgang fra produkt til sum

Disse formler følger af identiteten af overgangen af en sum til et produkt:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Formler for gradreduktion

I disse identiteter kan kvadrat- og kubikkpotenserne af sinus og cosinus udtrykkes i form af sinus og cosinus af den første potens af en multipel vinkel:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universel substitution

Formler for universel trigonometrisk substitution udtrykker trigonometriske funktioner i form af tangenten til en halv vinkel.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), med x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
barneseng x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), med x = π + 2πn.

Særlige tilfælde

Særlige tilfælde af protozoer trigonometriske ligninger er givet nedenfor (k er et hvilket som helst heltal).

Quotienter for sinus:

Sin x værdi	x værdi
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Kvotienter for cosinus:

cos x værdi	x værdi
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Quotienter for tangent:

tg x værdi	x værdi
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kvotienter for cotangens:

ctg x værdi	x værdi
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Sætninger

Sinussætning

Der er to versioner af sætningen - enkel og udvidet. Enkel sinussætning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfælde er a, b, c siderne af trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de modsatte vinkler.

Udvidet sinussætning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identitet betegner R radius af cirklen, hvori den givne trekant er indskrevet.

Cosinus-sætning

Identiteten vises som følger: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formlen er a, b, c siderne i trekanten, og α er vinklen modsat side a.

Tangentsætning

Formlen udtrykker forholdet mellem tangenterne af to vinkler og længden af siderne modsat dem. Siderne er mærket a, b, c, og de tilsvarende modsatte vinkler er α, β, γ. Tangentsætningens formel: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangenssætning

Forbinder radius af en cirkel indskrevet i en trekant med længden af dens sider. Hvis a, b, c er siderne af trekanten, og A, B, C, henholdsvis er vinklerne modsat dem, r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af trekanten, er følgende identiteter er gyldige:

barneseng A/2 = (p-a)/r;
barneseng B/2 = (p-b)/r;
tremmeseng C/2 = (p-c)/r.

Anvendelse

Trigonometri er ikke kun en teoretisk videnskab forbundet med matematiske formler. Dens egenskaber, teoremer og regler bruges i praksis af forskellige industrier. menneskelig aktivitet- astronomi, luft og sønavigation, musikteori, geodæsi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, økonomi, maskinteknik, målearbejde, computergrafik, kartografi, oceanografi og mange andre.

Sinus, cosinus, tangent og cotangens er trigonometriens grundbegreber, ved hjælp af hvilke man matematisk kan udtrykke sammenhængene mellem sidernes vinkler og længder i en trekant, og finde de nødvendige størrelser gennem identiteter, sætninger og regler.

Opgave 6.12. Samme spørgsmål som i forrige opgave, men for en regulær femkant (tip: se opgave 3.5).

Opgave 6.13. I opgave 4.8 blev det sagt, at vi som en tilnærmet værdi af cosinus af en lille vinkel α kan tage tallet 1, altså værdien af cosinusfunktionen til nul. Hvad hvis vi uden videre tager 0 = sin 0 som en omtrentlig værdi for sinus af en lille vinkel α? Hvorfor er det slemt?

Ris. 6.4. Punkt M bevæger sig langs en cykloid.

Opgave 6.14. Betragt et hjul med radius 1, der rører x-aksen ved origo (fig. 6.4). Lad os antage, at hjulet ruller langs x-aksen i positiv retning med en hastighed på 1 (det vil sige i løbet af tiden t skifter dets centrum t til højre).

a) Tegn (cirka) en kurve, der vil blive beskrevet ved punkt M, idet den rører abscisseaksen i det første øjeblik.

b) Find hvad abscissen og ordinaten af punktet M bliver efter tidspunkt t efter bevægelsens start.

6.1. Tangent akse

I dette afsnit definerede vi sinus og cosinus geometrisk, som ordinat og abscisse af et punkt, og tangent - algebraisk, som sin t/ cos t. Det er dog muligt at give tangenten en geometrisk betydning.

For at gøre dette skal du tegne gennem punktet med koordinater (1; 0) (originalen på den trigonometriske cirkel) en tangent til den trigonometriske cirkel - en ret linje parallel med aksen

Ris. 6.5. Tangent akse.

ordinere Lad os kalde denne rette linje tangentaksen (fig. 6.5). Dette navn begrundes på denne måde: Lad M være et punkt på den trigonometriske cirkel svarende til tallet t. Lad os fortsætte radius SM, indtil den skærer tangentaksen. Så viser det sig, at ordinaten for skæringspunktet er lig med tg t.

Faktisk er trekanter NOS og MP S i fig. 6,5, selvfølgelig

	men lignende. Herfra



	hvilket er hvad der blev sagt.									eller (0; −1), derefter direkte
	Hvis punkt M har koordinater (0; 1)

Maj SM er parallel med tangentaksen, og tangenten kan ikke bestemmes ved hjælp af vores metode. Dette er ikke overraskende: abscissen af disse punkter er 0, så cos t = 0 for de tilsvarende værdier af t, og tg t = sin t/ cos t er ikke defineret.

6.2. Tegn på trigonometriske funktioner

Lad os finde ud af, ved hvilke værdier af t sinus, cosinus og tangens er positive, og ved hvilke værdier de er negative. Ifølge definitionen er sin t ordinaten af et punkt på den trigonometriske cirkel svarende til tallet t. Derfor sin t > 0 hvis punkt t er tændt

Centreret i et punkt EN.
α - vinkel udtrykt i radianer.

Definition
Sinus (sin α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af den modsatte side |BC| til længden af hypotenusen |AC|.

Cosinus (cos α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af det tilstødende ben |AB| til længden af hypotenusen |AC|.

Accepterede notationer

;
;
.

Graf over sinusfunktionen, y = sin x

Graf over cosinusfunktionen, y = cos x

Egenskaber for sinus og cosinus

Periodicitet

Funktioner y = synd x og y = fordi x periodisk med punktum 2π.

Paritet

Sinusfunktionen er ulige. Cosinusfunktionen er jævn.

Definitionsdomæne og værdier, ekstrema, stigning, fald

Sinus- og cosinusfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne, det vil sige for alle x (se bevis for kontinuitet). Deres hovedegenskaber er præsenteret i tabellen (n - heltal).

	y = synd x	y = fordi x
Omfang og kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vifte af værdier	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Stigende
Faldende
Maxima, y = 1
Minima, y = - 1
Nuller, y = 0
Skæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y = 0	y = 1

Grundlæggende formler

Summen af kvadrater af sinus og cosinus

Formler for sinus og cosinus fra sum og forskel

;
;

Formler for produktet af sinus og cosinus

Sum- og differensformler

Udtrykker sinus gennem cosinus

;
;
;
.

Udtrykker cosinus gennem sinus