Løsning begrænser, hvordan man løser. Vidunderlige grænser

Vi fortsætter med at analysere færdige svar på teorien om grænser, og i dag vil vi kun fokusere på det tilfælde, hvor en variabel i en funktion eller et tal i en sekvens har en tendens til uendelig. Instruktioner til beregning af grænsen for en variabel, der tenderer mod uendelighed, blev givet tidligere her, vi vil kun dvæle ved individuelle tilfælde, som ikke er indlysende og enkle for alle.

Eksempel 35. Vi har en sekvens i form af en brøk, hvor tæller og nævner indeholder rodfunktioner.
Vi skal finde grænsen, når tallet har en tendens til uendelig.
Her er der ingen grund til at afsløre irrationaliteten i tælleren, men kun omhyggeligt analysere rødderne og finde ud af, hvor en højere potens af tallet er indeholdt.
I den første er tællerens rødder multiplikator n^4, det vil sige, at n^2 kan tages ud af parentes.
Lad os gøre det samme med nævneren.
Dernæst vurderer vi betydningen af ​​radikale udtryk, når vi går til grænsen.

Vi fik divisioner med nul, hvilket er forkert i skoleforløbet, men i overgangen til grænsen er det acceptabelt.
Kun med et ændringsforslag "for at vurdere, hvor funktionen er på vej hen."
Derfor er det ikke alle lærere, der kan fortolke ovenstående notation som korrekt, selvom de forstår, at det resulterende resultat ikke vil ændre sig.
Lad os se på svaret, der er udarbejdet i henhold til lærernes krav i henhold til teorien.
For at forenkle vil vi kun evaluere de vigtigste tilføjelser under roden

Yderligere er potensen i tælleren lig med 2, i nævneren 2/3, derfor vokser tælleren hurtigere, hvilket betyder, at grænsen har en tendens til uendelig.
Dens fortegn afhænger af faktorerne n^2, n^(2/3), så det er positivt.

Eksempel 36. Overvej et eksempel på en delingsgrænse eksponentielle funktioner. Der er få praktiske eksempler af denne art, så det er ikke alle elever, der lige kan afsløre de usikkerheder, der opstår.
Den maksimale faktor for tælleren og nævneren er 8^n, og vi forenkler med det

Dernæst evaluerer vi bidraget fra hvert semester
Betingelserne 3/8 har en tendens til nul, da variablen går til det uendelige, da 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Eksempel 37. Grænsen for en sekvens med faktorialer afsløres ved at nedskrive faktorialet til den største fælles faktor for tæller og nævner.
Dernæst reducerer vi den og evaluerer grænsen ud fra værdien af ​​talindikatorerne i tælleren og nævneren.
I vores eksempel vokser nævneren hurtigere, så grænsen er nul.


Her bruges følgende

faktoriel ejendom.

Eksempel 38. Uden at anvende L'Hopitals regler sammenligner vi de maksimale indikatorer for variablen i brøkens tæller og nævner.
Da nævneren indeholder den højeste eksponent for variablen 4>2, vokser den hurtigere.
Ud fra dette konkluderer vi, at grænsen for funktionen har en tendens til nul.

Eksempel 39. Vi afslører det særlige ved formen uendelighed divideret med uendeligt ved at fjerne x^4 fra brøkens tæller og nævner.
Som et resultat af at passere til grænsen opnår vi uendelighed.

Eksempel 40. Vi har en division af polynomier, vi skal bestemme grænsen, da variablen har en tendens til uendelig.
Den højeste grad af variablen i tælleren og nævneren er lig med 3, hvilket betyder, at grænsen eksisterer og er lig med den nuværende.
Lad os tage x^3 ud og udføre passagen til det yderste

Eksempel 41. Vi har en singularitet af type et til uendelighedens magt.
Det betyder, at udtrykket i parentes og selve indikatoren skal bringes under den anden vigtige grænse.
Lad os skrive tælleren ned for at fremhæve det udtryk i den, der er identisk med nævneren.
Dernæst går vi videre til et udtryk, der indeholder et plus et led.
Graden skal skelnes med faktoren 1/(term).
Således får vi eksponenten i potensen af ​​grænsen for brøkfunktionen.

For at evaluere singulariteten brugte vi den anden grænse:

Eksempel 42. Vi har en singularitet af type et til uendelighedens magt.
For at afsløre det, bør man reducere funktionen til den anden bemærkelsesværdige grænse.
Hvordan man gør dette er vist i detaljer i den følgende formel


Du kan finde mange lignende problemer. Deres essens er at opnå den nødvendige grad i indikatoren, og den er lig med gensidig værdi udtrykket i parentes ved enhed.
Ved hjælp af denne metode får vi eksponenten. Yderligere beregning reduceres til at beregne grænsen for eksponentgraden.
Her eksponentiel funktion har en tendens til uendelig, da værdien er større end én e=2,72>1.

Eksempel 43 I nævneren af ​​brøken har vi en usikkerhed af typen uendelig minus uendelighed, som faktisk er lig med division med nul.
For at slippe af med roden multiplicerer vi med det konjugerede udtryk og bruger derefter formlen for kvadratforskellen til at omskrive nævneren.
Vi får uendelighedens usikkerhed divideret med uendeligheden, så vi tager variablen ud i størst grad og reducerer den med den.
Dernæst evaluerer vi bidraget fra hvert led og finder grænsen for funktionen ved uendelig

Teorien om grænser er et af afsnittene matematisk analyse. Spørgsmålet om at løse grænser er ret omfattende, da der er snesevis af metoder til at løse grænser forskellige typer. Der er snesevis af nuancer og tricks, der giver dig mulighed for at løse denne eller hin grænse. Ikke desto mindre vil vi stadig forsøge at forstå de hovedtyper af grænser, man oftest støder på i praksis.

Lad os starte med selve konceptet om en grænse. Men først en kort historisk reference. Der boede en franskmand, Augustin Louis Cauchy, i det 19. århundrede, som gav strenge definitioner til mange af begreberne matan og lagde dets grundlag. Det skal siges, at denne respekterede matematiker var, er og vil være i mareridt for alle studerende på fysik- og matematikafdelinger, da han beviste et stort antal matematiske analysers teoremer, og den ene sætning er mere dødelig end den anden. I denne forbindelse vil vi ikke overveje endnu bestemmelse af Cauchy-grænsen, men lad os prøve at gøre to ting:

1. Forstå, hvad en grænse er.
2. Lær at løse hovedtyperne af grænser.

Jeg beklager nogle uvidenskabelige forklaringer, det er vigtigt, at materialet er forståeligt selv for en tekande, hvilket faktisk er projektets opgave.

Så hvad er grænsen?

Og lige et eksempel på, hvorfor man skal shaggy farmor....

Enhver grænse består af tre dele:

1) Det velkendte grænseikon.
2) Indtastninger under grænseikonet, i dette tilfælde . Indlægget lyder "X har tendens til en." Oftest - nøjagtigt, selvom der i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske opgaver kan stedet for en være absolut et hvilket som helst tal, såvel som uendeligt ().
3) Fungerer under grænsetegnet, i dette tilfælde .

Selve optagelsen lyder sådan her: "grænsen for en funktion som x har en tendens til enhed."

Lad os se på det næste vigtige spørgsmål - hvad betyder udtrykket "x"? stræber efter til en"? Og hvad betyder "stræbe" overhovedet?
Begrebet en grænse er et begreb, så at sige, dynamisk. Lad os bygge en sekvens: først , derefter , , …, , ….
Det vil sige udtrykket "x stræber efter til én" skal forstås som følger: "x" antager konsekvent værdierne som nærmer sig enhed uendeligt tæt og praktisk talt falder sammen med den.

Hvordan løses ovenstående eksempel? Baseret på ovenstående skal du blot erstatte en i funktionen under grænsetegnet:

Så den første regel: Når der gives en grænse, prøver vi først blot at tilslutte nummeret til funktionen.

Vi har overvejet den enkleste grænse, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjældent!

Eksempel med uendelighed:

Lad os finde ud af, hvad det er? Dette er tilfældet, når det stiger uden grænser, det vil sige: først, så, så, så og så videre i det uendelige.

Hvad sker der med funktionen på dette tidspunkt?
, , , …

Så: hvis , så har funktionen en tendens til minus uendelig:

Groft sagt, ifølge vores første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelighed i funktionen og får svaret.

Et andet eksempel med uendelighed:

Igen begynder vi at øge til det uendelige og ser på funktionens adfærd:

Konklusion: når funktionen øges uden grænser:

Og endnu en række eksempler:

Prøv venligst at mentalt analysere følgende for dig selv og husk de enkleste typer grænser:

, , , , , , , , ,
Hvis du er i tvivl, kan du tage en lommeregner og øve dig lidt.
I tilfælde af at , prøv at konstruere sekvensen , , . Hvis så , , .

! Bemærk: Strengt taget er denne tilgang til at konstruere sekvenser af flere tal forkert, men til at forstå de enkleste eksempler er den ganske velegnet.

Vær også opmærksom på følgende ting. Selvom der gives en grænse med et stort antal på toppen, selv med en million: det er lige meget , da "X" før eller siden begynder at antage så gigantiske værdier, at en million i sammenligning vil være en rigtig mikrobe.

Hvad skal du huske og forstå ud fra ovenstående?

1) Når der gives en grænse, prøver vi først blot at erstatte tallet i funktionen.

2) Du skal forstå og straks løse de simpleste grænser, som f.eks , , etc.

Desuden har grænsen en meget god geometrisk betydning. For en bedre forståelse af emnet anbefaler jeg, at du læser metodisk materiale Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Efter at have læst denne artikel, vil du ikke kun endelig forstå, hvad en grænse er, men også stifte bekendtskab med interessante sager, når grænsen for funktionen er generelt eksisterer ikke!

I praksis er der desværre få gaver. Og derfor går vi videre til at overveje mere komplekse grænser. Forresten, om dette emne er der intensivt kursus i pdf-format, hvilket især er nyttigt, hvis du har MEGET lidt tid til at forberede dig. Men hjemmesidens materialer er selvfølgelig ikke værre:

Nu vil vi overveje gruppen af ​​grænser når , og funktionen er en brøk, hvis tæller og nævner indeholder polynomier

Eksempel:

Beregn grænse

Ifølge vores regel vil vi forsøge at erstatte uendelighed i funktionen. Hvad får vi på toppen? Uendelighed. Og hvad sker der nedenfor? Også uendelighed. Dermed har vi det, man kalder artsusikkerhed. Man kunne tro, at , og svaret er klar, men i det generelle tilfælde er dette slet ikke tilfældet, og det er nødvendigt at anvende en eller anden løsningsteknik, som vi nu vil overveje.

Hvordan løser man grænser af denne type?

Først ser vi på tælleren og finder den højeste potens:

Den ledende potens i tælleren er to.

Nu ser vi på nævneren og finder den også i højeste styrke:

Den højeste grad af nævneren er to.

Vi vælger derefter den højeste potens af tælleren og nævneren: in i dette eksempel de falder sammen og er lig med to.

Så løsningsmetoden er som følger: For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tælleren og nævneren med den højeste potens.

Her er det, svaret, og slet ikke uendeligheden.

Hvad er grundlæggende vigtigt i udformningen af ​​en beslutning?

Først angiver vi usikkerhed, hvis nogen.

For det andet er det tilrådeligt at afbryde løsningen for mellemliggende forklaringer. Jeg plejer at bruge tegnet, det har ikke nogen matematisk betydning, men betyder at løsningen afbrydes for en mellemliggende forklaring.

For det tredje, i grænsen er det tilrådeligt at markere, hvad der skal hvor. Når arbejdet er tegnet i hånden, er det mere bekvemt at gøre det på denne måde:

Det er bedre at bruge en simpel blyant til noter.

Selvfølgelig skal du ikke gøre noget af dette, men så vil læreren måske påpege mangler i løsningen eller begynde at stille yderligere spørgsmål til opgaven. Har du brug for det?

Eksempel 2

Find grænsen
Igen i tælleren og nævneren finder vi i højeste grad:

Maksimal grad i tæller: 3
Maksimal grad i nævner: 4
Vælge størst værdi, i dette tilfælde fire.
Ifølge vores algoritme, for at afsløre usikkerhed, dividerer vi tælleren og nævneren med .
Hele opgaven kan se sådan ud:

Divider tæller og nævner med

Eksempel 3

Find grænsen
Maksimal grad af "X" i tælleren: 2
Maksimal grad af "X" i nævneren: 1 (kan skrives som)
For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tæller og nævner med . Den endelige løsning kan se sådan ud:

Divider tæller og nævner med

Notation betyder ikke division med nul (du kan ikke dividere med nul), men division med et uendeligt lille tal.

Ved at afdække artsusikkerhed kan vi således muligvis endeligt nummer, nul eller uendelig.

Grænser med usikkerhed om type og metode til at løse dem

Den næste gruppe af grænser ligner lidt de grænser, der lige er blevet betragtet: tælleren og nævneren indeholder polynomier, men "x" har ikke længere en tendens til uendelig, men til begrænset antal.

Eksempel 4

Løs grænse
Lad os først prøve at erstatte -1 i brøken:

I dette tilfælde opnås den såkaldte usikkerhed.

Generel regel : hvis tælleren og nævneren indeholder polynomier, og der er usikkerhed om formen, så for at afsløre det du skal faktorisere tæller og nævner.

For at gøre dette skal du oftest løse en andengradsligning og/eller bruge forkortede multiplikationsformler. Hvis disse ting er blevet glemt, så besøg siden Matematiske formler og tabeller og læs undervisningsmaterialet Hotte formler skoleforløb matematikere. Forresten er det bedst at udskrive det meget ofte, og information absorberes bedre fra papir.

Så lad os løse vores grænse

Faktor tæller og nævner

For at faktorisere tælleren skal du løse andengradsligningen:

Først finder vi diskriminanten:

Og kvadratroden af ​​det:.

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruger vi en lommeregner, ekstraktionsfunktionen kvadrat rod tilgængelig på den enkleste lommeregner.

! Hvis roden ikke udtrækkes i sin helhed (der fås et brøktal med komma), er det meget sandsynligt, at diskriminanten er beregnet forkert, eller der har været en tastefejl i opgaven.

Dernæst finder vi rødderne:

Dermed:

Alle. Tælleren er faktoriseret.

Nævner. Nævneren er allerede den enkleste faktor, og der er ingen måde at forenkle den på.

Det kan naturligvis forkortes til:

Nu erstatter vi -1 i det udtryk, der forbliver under grænsetegnet:

Naturligvis i prøvearbejde, under en prøve eller eksamen bliver løsningen aldrig skrevet så detaljeret ud. I den endelige version skulle designet se sådan ud:

Lad os faktorisere tælleren.

Eksempel 5

Beregn grænse

Først den "finish"-version af løsningen

Lad os faktorisere tælleren og nævneren.

Tæller:
Nævner:



,

Hvad er vigtigt i dette eksempel?
For det første skal du have en god forståelse for, hvordan tælleren afsløres, først tog vi 2 ud af parentes, og brugte derefter formlen for forskellen på kvadrater. Dette er den formel, du skal kende og se.

Henstilling: Hvis det i en grænse (af næsten enhver type) er muligt at tage et antal ud af parentes, så gør vi det altid.
Desuden er det tilrådeligt at flytte sådanne tal ud over grænseikonet. For hvad? Ja, bare for at de ikke kommer i vejen. Det vigtigste er ikke at miste disse tal senere under løsningen.

Bemærk venligst, at i sidste fase af løsningen tog jeg de to ud af grænseikonet og derefter minus.

! Vigtig
Under opløsningen forekommer typefragmentet meget ofte. Reducer denne fraktiondet er forbudt . Først skal du ændre tegnet for tælleren eller nævneren (sæt -1 ud af parenteser).
, det vil sige, at der vises et minustegn, som tages i betragtning ved beregning af grænsen, og det er slet ikke nødvendigt at miste det.

Generelt bemærkede jeg, at vi oftest skal løse to, når vi skal finde grænser af denne type andengradsligninger, det vil sige, at både tæller og nævner indeholder kvadratiske trinomier.

Metode til at gange tæller og nævner med det konjugerede udtryk

Vi fortsætter med at overveje usikkerheden i formen

Den næste type grænser ligner den forrige type. Det eneste, udover polynomier, vil vi tilføje rødder.

Eksempel 6

Find grænsen

Lad os begynde at bestemme.

Først forsøger vi at erstatte 3 i udtrykket under grænsetegnet
Jeg gentager endnu en gang - dette er den første ting du skal gøre for ENHVER grænse. Denne handling udføres normalt mentalt eller i udkast.

Der er opnået en usikkerhed om formen, som skal fjernes.

Som du sikkert har bemærket, indeholder vores tæller forskellen på rødderne. Og i matematik er det kutyme at slippe af med rødder, hvis det er muligt. For hvad? Og livet er lettere uden dem.

Begreber om grænser for sekvenser og funktioner. Når det er nødvendigt at finde grænsen for en sekvens, skrives den som følger: lim xn=a. I en sådan sekvens af sekvenser tenderer xn til a og n har en tendens til uendelig. Sekvensen er normalt repræsenteret som en serie, for eksempel:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekvenser er opdelt i stigende og faldende. For eksempel:
xn=n^2 - stigende sekvens
yn=1/n - sekvens
Så for eksempel grænsen for sekvensen xn=1/n^ :
grænse 1/n^2=0

x→∞
Denne grænse er lig med nul, da n→∞, og sekvensen 1/n^2 har en tendens til nul.

Typisk har en variabel størrelse x tendens til en endelig grænse a, og x nærmer sig konstant a, og mængden a er konstant. Dette skrives som følger: limx =a, mens n også kan have tendens til enten nul eller uendelig. Der er uendelige funktioner, for hvilke grænsen har en tendens til uendelig. I andre tilfælde, når f.eks. funktionen bremser et tog, er det muligt, at grænsen tenderer til nul.
Limits har en række egenskaber. Typisk har enhver funktion kun én grænse. Dette er grænsens hovedegenskab. Andre er anført nedenfor:
* Beløbsgrænse lig med summen grænser:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produktgrænse lig med produktet grænser:
lim(xy)=lim x*lim y
* Grænsen for kvotienten er lig med kvotienten af ​​grænserne:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Den konstante faktor tages uden for grænsetegnet:
lim(Cx)=C lim x
Givet en funktion 1 /x hvor x →∞, er dens grænse nul. Hvis x→0, er grænsen for en sådan funktion ∞.
Til trigonometriske funktioner er fra disse regler. Fordi synd funktion x har altid en tendens til enhed, når det nærmer sig nul, identiteten gælder for det:
lim sin x/x=1

I en række funktioner er der funktioner, hvor der ved beregning af grænserne opstår usikkerhed - en situation, hvor grænsen ikke kan beregnes. Den eneste vej ud af denne situation er L'Hopital. Der er to typer usikkerheder:
* formusikkerhed 0/0
* formusikkerhed ∞/∞
For eksempel givet grænsen følgende type: grænse f(x)/l(x), og f(x0)=l(x0)=0. I dette tilfælde opstår en usikkerhed på formen 0/0. For at løse et sådant problem differentieres begge funktioner, hvorefter grænsen for resultatet findes. For usikkerheder af typen 0/0 er grænsen:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (ved x→0)
Den samme regel gælder også for usikkerheder af typen ∞/∞. Men i dette tilfælde gælder følgende lighed: f(x)=l(x)=∞
Ved at bruge L'Hopitals regel kan du finde værdierne for alle grænser, hvor der opstår usikkerheder. En forudsætning for

volumen - ingen fejl ved at finde derivater. Så for eksempel er den afledede af funktionen (x^2)" lig med 2x. Herfra kan vi konkludere, at:
f"(x)=nx^(n-1)

For dem, der ønsker at lære at finde grænser, vil vi i denne artikel fortælle dig om det. Vi vil ikke fordybe os i teorien, som lærere normalt giver til forelæsninger. Så den "kedelige teori" bør noteres ned i dine notesbøger. Hvis dette ikke er tilfældet, så kan du læse lærebøger lånt på biblioteket. uddannelsesinstitution eller på andre internetressourcer.

Så konceptet med en grænse er ret vigtigt i at studere et højere matematikkursus, især når du støder på integralregning og forstår sammenhængen mellem grænsen og integralet. I det aktuelle materiale vil vi overveje simple eksempler, samt måder at løse dem på.

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Beregn a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $

Løsning

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Folk sender os ofte disse grænser med en anmodning om at hjælpe med at løse dem. Vi besluttede at fremhæve dem et separat eksempel og forklar, at disse grænser som regel bare skal huskes. Hvis du ikke kan løse dit problem, så send det til os. Vi sørger for detaljeret løsning. Du vil være i stand til at se forløbet af beregningen og få information. Dette vil hjælpe dig med at få din karakter fra din lærer rettidigt!

Svar

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Hvad skal man gøre med usikkerheden i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Eksempel 3

Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

Som altid starter vi med at erstatte værdien $ x $ i udtrykket under grænsetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Hvad er det næste nu? Hvad skal der ske i sidste ende? Da dette er usikkerhed, er dette ikke et svar endnu, og vi fortsætter beregningen. Da vi har et polynomium i tællerne, vil vi faktorisere det ved hjælp af den formel, som alle fra skolen kender $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Kan du huske? Store! Gå nu videre og brug den sammen med sangen :) Vi finder, at tælleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsætter med at løse under hensyntagen til ovenstående transformation: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Lad os skubbe grænsen i de sidste to eksempler til det uendelige og overveje usikkerheden: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Eksempel 5

Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hvad skal man gøre? Hvad skal jeg gøre? Gå ikke i panik, for det umulige er muligt. Det er nødvendigt at tage x'et ud i både tælleren og nævneren og derefter reducere det. Efter dette, prøv at beregne grænsen. Lad os prøve... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \til \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved at bruge definitionen fra eksempel 2 og erstatte x med uendelighed får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritme til beregning af grænser

Så lad os kort opsummere eksemplerne og oprette en algoritme til at løse grænserne:

1. Erstat punkt x i udtrykket efter grænsetegnet. Hvis et vist tal eller uendelighed opnås, så er grænsen fuldstændig løst. Ellers har vi usikkerhed: "nul divideret med nul" eller "uendeligt divideret med uendeligt" og fortsæt til følgende punkter instruktioner.
2. For at eliminere usikkerheden ved "nul divideret med nul", skal du faktorisere tælleren og nævneren. Reducer lignende. Indsæt punkt x i udtrykket under grænsetegnet.
3. Hvis usikkerheden er "uendelighed divideret med uendelighed", så tager vi i højeste grad både tælleren og nævneren x ud. Vi forkorter X'erne. Vi erstatter værdierne af x fra under grænsen til det resterende udtryk.

I denne artikel lærte du det grundlæggende i at løse grænser, som ofte bruges i Calculus-kurset. Det er naturligvis ikke alle typer problemer, som eksaminatorer tilbyder, men kun de simpleste grænser. Vi vil tale om andre typer opgaver i fremtidige artikler, men først skal du lære denne lektion for at komme videre. Lad os diskutere, hvad vi skal gøre, hvis der er rødder, grader, studere uendeligt små ækvivalente funktioner, bemærkelsesværdige grænser, L'Hopitals regel.

Hvis du ikke selv kan finde ud af grænserne, så gå ikke i panik. Vi hjælper altid gerne!

Løsning online funktionsgrænser. Find grænseværdien for en funktion eller funktionel sekvens ved et punkt, beregn ultimative værdien af ​​funktionen ved uendelig. bestemme konvergensen af ​​en talserie, og meget mere kan gøres takket være vores online service- . Vi giver dig mulighed for at finde funktionsgrænser online hurtigt og præcist. Du indtaster selv funktionsvariablen og den grænse, den har tendens til, og vores service udfører alle beregningerne for dig, hvilket giver et præcist og enkelt svar. Og for finde grænsen online du kan indtaste både talserier og analytiske funktioner, der indeholder konstanter i bogstaveligt udtryk. I dette tilfælde vil den fundne grænse for funktionen indeholde disse konstanter som konstante argumenter i udtrykket. Vores service løser alle komplekse problemer med at finde grænser online, er det nok at angive funktionen og det punkt, hvor det er nødvendigt at beregne grænseværdi for funktion. Beregner online grænser, du kan bruge forskellige metoder og reglerne for deres løsning, mens man tjekker resultatet med løse grænser online på www.site, hvilket vil føre til en vellykket gennemførelse af opgaven - du undgår egne fejl og tastefejl. Eller du kan stole helt på os og bruge vores resultat i dit arbejde, uden at bruge ekstra kræfter og tid på selvstændigt at beregne grænsen for funktionen. Vi tillader indtastning af sådanne grænseværdier som uendelighed. Det er nødvendigt at indtaste et fælles medlem af en talrække og www.websted vil beregne værdien grænse online til plus eller minus uendeligt.

Et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse er funktionsgrænse Og rækkefølgegrænse på et punkt og i det uendelige er det vigtigt at kunne løse rigtigt grænser. Med vores service vil dette ikke være svært. Der tages en beslutning grænser online i løbet af få sekunder er svaret nøjagtigt og fuldstændigt. Studiet af matematisk analyse begynder med overgang til grænsen, grænser bruges i næsten alle områder af højere matematik, så det er nyttigt at have en server ved hånden online grænseløsninger, som er webstedet.