Forkortelse af bogstavudtryk. Ordrette udtryk

Et algebraisk udtryk, hvor man sammen med operationerne addition, subtraktion og multiplikation også bruger division i bogstavudtryk, kaldes et brøkalgebraisk udtryk. Sådan er for eksempel udtrykkene

Vi kalder en algebraisk brøk algebraisk udtryk, som har form af kvotienten af ​​divisionen af ​​to heltal algebraiske udtryk (for eksempel monomialer eller polynomier). Sådan er for eksempel udtrykkene

Det tredje af udtrykkene).

Identiske transformationer af brøkalgebraiske udtryk er for det meste beregnet til at repræsentere dem i formen algebraisk brøk. For at finde fællesnævneren bruges faktorisering af nævnerne af brøker - udtryk for at finde deres mindste fælles multiplum. Ved reduktion af algebraiske brøker kan den strenge identitet af udtryk blive krænket: det er nødvendigt at udelukke værdier af mængder, hvor den faktor, hvormed reduktionen foretages, bliver nul.

Lad os give eksempler på identiske transformationer af brøkalgebraiske udtryk.

Eksempel 1: Simplificere et udtryk

Alle udtryk kan reduceres til en fællesnævner (det er praktisk at ændre tegnet i nævneren for det sidste led og tegnet foran det):

Vores udtryk er lig med én for alle værdier undtagen disse værdier, det er udefineret, og det er ulovligt at reducere brøken).

Eksempel 2. Fremstil udtrykket som en algebraisk fraktion

Løsning. Udtrykket kan tages som en fællesnævner. Vi finder sekventielt:

Øvelser

1. Find værdierne af algebraiske udtryk for de angivne parameterværdier:

2. Faktoriser.

Forenkling af algebraiske udtryk er et af de centrale punkter lære algebra og en yderst nyttig færdighed for alle matematikere. Forenkling giver dig mulighed for at reducere et komplekst eller langt udtryk til et simpelt udtryk, der er nemt at arbejde med. Grundlæggende færdigheder til forenkling er gode selv for dem, der ikke er begejstrede for matematik. Ved at observere flere simple regler, kan du forenkle mange af de mest almindelige typer algebraiske udtryk uden nogen særlig matematisk viden.

Trin

Vigtige definitioner

1. Lignende medlemmer. Disse er medlemmer med en variabel af samme rækkefølge, medlemmer med de samme variabler eller frie medlemmer (medlemmer, der ikke indeholder en variabel). Med andre ord inkluderer lignende udtryk den samme variabel i samme grad, inkluderer flere af de samme variabler eller inkluderer slet ikke en variabel. Rækkefølgen af ​​vilkårene i udtrykket er ligegyldig.

   • For eksempel er 3x 2 og 4x 2 lignende udtryk, fordi de indeholder en andenordens (i anden potens) variabel "x". Men x og x2 er ikke ens udtryk, da de indeholder variablen "x" af forskellige ordener (første og anden). Ligeledes er -3yx og 5xz ikke ens udtryk, fordi de indeholder forskellige variabler.

2. Faktorisering. Dette er at finde numre, hvis produkt fører til det oprindelige nummer. Ethvert originalnummer kan have flere faktorer. For eksempel kan tallet 12 indregnes i følgende række af faktorer: 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan sige, at tallene 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer af tal 12. Faktorerne er de samme som faktorerne, det vil sige de tal, som det oprindelige tal er divideret med.

   • For eksempel, hvis du vil faktorisere tallet 20, så skriv det sådan her: 4×5.
   • Bemærk, at der ved factoring tages højde for variablen. For eksempel, 20x = 4 (5x).
   • Primtal kan ikke faktoriseres, fordi de kun er delelige med sig selv og 1.

3. Husk og følg rækkefølgen af ​​operationer for at undgå fejl.

   • Beslag
   • Grad
   • Multiplikation
   • Division
   • Tilføjelse
   • Subtraktion

   Medbringelse af lignende medlemmer

   1. Skriv udtrykket ned. Simple algebraiske udtryk (dem, der ikke indeholder brøker, rødder osv.) kan løses (forenklet) i nogle få trin.

      • Forenkle fx udtrykket 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definer lignende udtryk (udtryk med samme variabel, udtryk med samme variable eller frie udtryk).

      • Find lignende udtryk i dette udtryk. Begreberne 2x og 4x indeholder en variabel af samme orden (først). Desuden er 1 og -3 frie termer (indeholder ikke en variabel). Således er i dette udtryk vilkårene 2x og 4x er ens, og medlemmerne 1 og -3 er også ens.

   3. Giv lignende medlemmer. Det betyder at tilføje eller trække dem fra og forenkle udtrykket.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Omskriv udtrykket under hensyntagen til de givne udtryk. Du får et enkelt udtryk med færre udtryk. Det nye udtryk er lig med det oprindelige.

      • I vores eksempel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, det vil sige, at det originale udtryk er forenklet og lettere at arbejde med.

   5. Følg rækkefølgen af ​​operationer, når du bringer lignende medlemmer. I vores eksempel var det nemt at give lignende udtryk. Men i tilfælde af komplekse udtryk, hvor termer er indesluttet i parentes og brøker og rødder er til stede, er det ikke så let at bringe sådanne udtryk. I disse tilfælde skal du følge rækkefølgen af ​​operationer.

      • Overvej f.eks. udtrykket 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Her vil det være en fejl straks at definere 3x og 2x som lignende udtryk og præsentere dem, fordi det er nødvendigt at åbne parenteserne først. Udfør derfor operationerne i henhold til deres rækkefølge.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nu, når udtrykket kun indeholder additions- og subtraktionsoperationer, kan du bringe lignende udtryk.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Tager multiplikatoren ud af parentes

   1. Find den største fælles divisor (GCD) af alle udtrykkets koefficienter. GCD er største antal, som alle udtrykkets koefficienter er divideret med.

      • Overvej for eksempel ligningen 9x 2 + 27x - 3. I dette tilfælde er GCD = 3, da enhver koefficient af dette udtryk er delelig med 3.

   2. Divider hvert led i udtrykket med gcd. De resulterende udtryk vil indeholde mindre koefficienter end i det oprindelige udtryk.

      • I vores eksempel skal du dividere hvert led i udtrykket med 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Resultatet var et udtryk 3x 2 + 9x - 1. Det er ikke lig med det oprindelige udtryk.

   3. Skriv det oprindelige udtryk som lig med produktet GCD af det resulterende udtryk. Det vil sige, omslut det resulterende udtryk i parenteser, og tag gcd'en ud af parenteserne.

      • I vores eksempel: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Forenkling af brøkudtryk ved at sætte faktoren ud af parentes. Hvorfor blot sætte multiplikatoren ud af parentes, som det blev gjort tidligere? Derefter for at lære at forenkle komplekse udtryk, såsom brøkudtryk. I dette tilfælde kan det at sætte faktoren ud af parentes hjælpe med at slippe af med brøken (fra nævneren).

      • Overvej f.eks. brøkudtrykket (9x 2 + 27x - 3)/3. Brug faktorisering ud af parenteser for at forenkle dette udtryk.
        • Sæt faktoren 3 ud af parentes (som du gjorde tidligere): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Bemærk, at der nu er 3 i både tælleren og nævneren. Dette kan reduceres til at give udtrykket: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Da enhver brøk, der har tallet 1 i nævneren, simpelthen er lig med tælleren, forenkles det oprindelige brøkudtryk til: 3x 2 + 9x - 1.

   Yderligere forenklingsmetoder

4. Lad os betragte et simpelt eksempel: √(90). Tallet 90 kan indregnes i følgende faktorer: 9 og 10 og udtrækkes fra 9 Kvadrat rod(3) og fjern 3 fra under roden.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Forenkling af udtryk med kræfter. Nogle udtryk indeholder operationer med multiplikation eller division af led med potenser. Når man multiplicerer led med samme grundtal, lægges deres potenser sammen; i tilfælde af at dividere led med samme grundtal, trækkes deres potenser fra.

   • Overvej f.eks. udtrykket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). I tilfælde af multiplikation, addér potenserne, og i tilfælde af division, træk dem fra.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48 x 7 + x 2
   • Det følgende er en forklaring af reglerne for at gange og dividere led med potenser.
     • At multiplicere led med potenser svarer til at gange led med sig selv. For eksempel, da x 3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, så x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) eller x8.
     • Ligeledes svarer det at dividere termer med grader til at dele termer af sig selv. x 5 /x 3 = (x x x x x x x x)/(x x x x x). Da lignende udtryk, der findes i både tælleren og nævneren, kan reduceres, forbliver produktet af to "x" eller x 2 i tælleren.

• Husk altid tegnene (plus eller minus) foran udtrykkets udtryk, da mange mennesker har svært ved at vælge det rigtige tegn.
• Spørg om hjælp, hvis det er nødvendigt!
• Det er ikke let at forenkle algebraiske udtryk, men når du først har fået styr på det, er det en færdighed, du kan bruge resten af ​​dit liv.

Note 1

En boolsk funktion kan skrives ved hjælp af et boolsk udtryk og kan derefter flyttes til et logisk kredsløb. Det er nødvendigt at forenkle logiske udtryk for at opnå det enklest mulige (og derfor billigere) logiske kredsløb. Grundlæggende er en logisk funktion, et logisk udtryk og et logisk kredsløb tre forskellige sprog, der fortæller om én enhed.

Brug for at forenkle logiske udtryk algebralogikkens love.

Nogle transformationer ligner transformationer af formler i klassisk algebra (ved at tage den fælles faktor ud af parentes, ved hjælp af kommutative og kombinationslove osv.), mens andre transformationer er baseret på egenskaber, som operationerne i klassisk algebra ikke har (ved at bruge den distributive lov for konjunktion, love om absorption, limning, de Morgans regler osv.).

Lovene for logisk algebra er formuleret til grundlæggende logiske operationer - "NOT" - inversion (negation), "AND" - konjunktion (logisk multiplikation) og "ELLER" - disjunktion (logisk addition).

Loven om dobbelt negation betyder, at "NOT"-operationen er reversibel: hvis du anvender den to gange, vil den logiske værdi i sidste ende ikke ændre sig.

Loven om udelukket mellem siger, at ethvert logisk udtryk er enten sandt eller falsk ("der er ingen tredje"). Derfor, hvis $A=1$, så $\bar(A)=0$ (og omvendt), hvilket betyder, at konjunktionen af ​​disse størrelser altid er lig med nul, og disjunktionen altid er lig med én.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Lad os forenkle denne formel:

Figur 3.

Det følger, at $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Svar: Elever $B$, $C$ og $D$ spiller skak, men elev $A$ spiller ikke.

Når du forenkler logiske udtryk, kan du udføre følgende rækkefølge af handlinger:

1. Erstat alle "ikke-grundlæggende" operationer (ækvivalens, implikation, eksklusiv ELLER osv.) med deres udtryk gennem de grundlæggende operationer inversion, konjunktion og disjunktion.
2. Udvid inversioner af komplekse udtryk i henhold til De Morgans regler på en sådan måde, at negationsoperationer kun forbliver for individuelle variable.
3. Forenkle derefter udtrykket ved at bruge åbne parenteser, placere fælles faktorer uden for parenteser og andre love for logisk algebra.

Eksempel 2

Her bruges De Morgans regel, den distributive lov, loven om det udelukkede middel, den kommutative lov, loven om gentagelse, igen den kommutative lov og loven om absorption successivt.

Ofte kræver opgaver et forenklet svar. Selvom både forenklede og uforenklede svar er korrekte, kan din instruktør sænke din karakter, hvis du ikke forenkler dit svar. Desuden er det forenklede matematiske udtryk meget nemmere at arbejde med. Derfor er det meget vigtigt at lære at forenkle udtryk.

Trin

Korrekt rækkefølge af matematiske operationer

1. Husk den korrekte rækkefølge for at udføre matematiske operationer. Når man forenkler et matematisk udtryk, er det nødvendigt at observere bestemt rækkefølge handlinger, da nogle matematiske operationer har forrang frem for andre og skal udføres først (faktisk vil ikke følge den korrekte rækkefølge for at udføre operationerne føre dig til det forkerte resultat). Husk følgende rækkefølge af matematiske operationer: udtryk i parentes, eksponentiering, multiplikation, division, addition, subtraktion.

   • Bemærk, at kendskab til den korrekte rækkefølge af operationer vil give dig mulighed for at forenkle de fleste simple udtryk, men for at forenkle et polynomium (et udtryk med en variabel) skal du kende specielle tricks (se næste afsnit).

2. Start med at løse udtrykket i parentes. I matematik angiver parenteser, at udtrykket i dem skal evalueres først. Når du forenkler et hvilket som helst matematisk udtryk, skal du derfor starte med at løse udtrykket i parentes (det er ligegyldigt, hvilke operationer du skal udføre inde i parentesen). Men husk, at når du arbejder med et udtryk i parentes, skal du følge rækkefølgen af ​​operationer, det vil sige, at led i parentes først ganges, divideres, adderes, trækkes fra, og så videre.

   • Lad os for eksempel forenkle udtrykket 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Her starter vi med udtrykkene i parentes: 5 + 2 = 7 og 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Udtrykket i det andet par parenteser forenkles til 5, fordi 4/2 skal deles først (i henhold til den korrekte rækkefølge af operationer). Hvis du ikke følger denne rækkefølge, får du det forkerte svar: 3 + 4 = 7 og 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Hvis der er endnu et par parenteser i parentesen, skal du begynde at simplificere ved at løse udtrykket i de indre parenteser og derefter gå videre til at løse udtrykket i den ydre parentes.

3. Eksponentiere. Efter at have løst udtrykkene i parentes, gå videre til eksponentiering (husk, at en potens har en eksponent og en base). Hæv det tilsvarende udtryk (eller tal) til en potens og erstat resultatet med det udtryk, du har fået.

   • I vores eksempel er det eneste udtryk (tal) i potensen 3 2: 3 2 = 9. I det udtryk, du har fået, skal du erstatte 3 2 med 9, og du får: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Formere sig. Husk, at multiplikationsoperationen kan repræsenteres af følgende symboler: "x", "∙" eller "*". Men hvis der ikke er nogen symboler mellem tallet og variablen (f.eks. 2x) eller mellem tallet og tallet i parentes (f.eks. 4(7)), så er dette også en multiplikationsoperation.

   • I vores eksempel er der to multiplikationsoperationer: 2x (to ganget med variablen "x") og 4(7) (fire ganget med syv). Vi kender ikke værdien af ​​x, så vi lader udtrykket 2x være som det er. 4(7) = 4 x 7 = 28. Nu kan du omskrive udtrykket givet til dig som følger: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dele. Husk, at divisionsoperationen kan repræsenteres af følgende symboler: "/", "÷" eller "–" (du kan se dette sidste tegn i brøker). For eksempel er 3/4 tre divideret med fire.

   • I vores eksempel er der ikke længere en divisionsoperation, da du allerede har divideret 4 med 2 (4/2), når du løser udtrykket i parentes. Så du kan gå til Næste skridt. Husk, at de fleste udtryk ikke indeholder alle de matematiske operationer (kun nogle af dem).

6. Folde. Når du tilføjer udtryk for et udtryk, kan du starte med termen længst (til venstre), eller du kan tilføje de termer, der nemt tilføjer først. For eksempel, i udtrykket 49 + 29 + 51 +71 er det først lettere at tilføje 49 + 51 = 100, derefter 29 + 71 = 100 og til sidst 100 + 100 = 200. Det er meget sværere at tilføje sådan: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • I vores eksempel 2x + 28 + 9 + 5 er der to additionsoperationer. Lad os starte med det yderste (venstre) led: 2x + 28; du kan ikke tilføje 2x og 28, fordi du ikke kender værdien af ​​variablen "x". Tilføj derfor 28 + 9 = 37. Nu kan udtrykket omskrives som følger: 2x + 37 - 5.

7. Trække fra. Dette er den sidste operation i i den rigtige rækkefølge udføre matematiske operationer. På dette stadium kan du også tilføje negative tal eller gør det på tidspunktet for tilføjelse af medlemmer - dette vil ikke påvirke det endelige resultat på nogen måde.

   • I vores eksempel 2x + 37 - 5 er der kun én subtraktionsoperation: 37 - 5 = 32.

8. På dette stadium, efter at have udført alle de matematiske operationer, bør du få et forenklet udtryk. Men hvis det udtryk, du får, indeholder en eller flere variable, så husk, at termen med variablen forbliver, som den er. At løse (ikke forenkle) et udtryk med en variabel involverer at finde værdien af ​​den variabel. Nogle gange kan variable udtryk forenkles ved hjælp af specielle metoder (se næste afsnit).

   • I vores eksempel er det endelige svar 2x + 32. Du kan ikke tilføje de to led, før du kender værdien af ​​variablen "x". Når du kender værdien af ​​variablen, kan du nemt forenkle dette binomiale.

   Forenkling af komplekse udtryk

   1. Tilføjelse af lignende vilkår. Husk, at du kun kan trække fra og tilføje lignende led, det vil sige led med samme variabel og samme eksponent. For eksempel kan du tilføje 7x og 5x, men du kan ikke tilføje 7x og 5x 2 (da eksponenterne er forskellige).

      • Denne regel gælder også for medlemmer med flere variable. For eksempel kan du tilføje 2xy 2 og -3xy 2 , men du kan ikke tilføje 2xy 2 og -3x 2 y eller 2xy 2 og -3y 2 .
      • Lad os se på et eksempel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Her er de lignende udtryk 3x og 8x, så de kan lægges sammen. Et forenklet udtryk ser således ud: x 2 - 5x + 6.

   2. Forenkle talbrøken. I en sådan brøk indeholder både tælleren og nævneren tal (uden variabel). En talbrøk kan forenkles på flere måder. Først skal du blot dividere nævneren med tælleren. For det andet, faktor tælleren og nævneren og annuller de lignende faktorer (da at dividere et tal i sig selv vil give dig 1). Med andre ord, hvis både tæller og nævner har samme faktor, kan du droppe den og få en forenklet brøk.

      • Overvej f.eks. brøken 36/60. Brug en lommeregner til at dividere 36 med 60 for at få 0,6. Men du kan forenkle denne brøk på en anden måde ved at faktorisere tælleren og nævneren: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Da 6/6 = 1, er den forenklede brøk: 1 x 6/10 = 6/10. Men denne brøk kan også simplificeres: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Hvis en brøk indeholder en variabel, kan du annullere lignende faktorer med variablen. Faktorer både tælleren og nævneren og annuller de lignende faktorer, selvom de indeholder variablen (husk, at de ens faktorer her kan indeholde variablen).

      • Lad os se på et eksempel: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dette udtryk kan omskrives (faktoriseres) i formen: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Da 3x-leddet er i både tælleren og nævneren, kan du annullere det for at give et forenklet udtryk: (x + 1)/(5 - x). Lad os se på et andet eksempel: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Bemærk, at du ikke kan annullere nogen vilkår - kun identiske faktorer, der er til stede i både tæller og nævner, annulleres. For eksempel, i udtrykket (x(x + 2))/x er variablen (faktoren) "x" i både tælleren og nævneren, så "x" kan reduceres for at opnå et forenklet udtryk: (x + 2)/1 = x + 2. I udtrykket (x + 2)/x kan variablen "x" dog ikke reduceres (da "x" ikke er en faktor i tælleren).

   4. Åbn parentes. For at gøre dette skal du gange udtrykket uden for parentes med hvert led i parentes. Nogle gange er dette med til at forenkle et komplekst udtryk. Dette gælder for begge medlemmer, der er Primtal, og til medlemmer, der indeholder variablen.

      • For eksempel, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 og 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Bemærk venligst, at i brøkudtryk Det er ikke nødvendigt at åbne parenteser, hvis den samme faktor er til stede i både tælleren og nævneren. For eksempel i udtrykket (3(x 2 + 8))/3x er der ikke behov for at udvide parenteserne, da man her kan annullere faktoren 3 og få det forenklede udtryk (x 2 + 8)/x. Dette udtryk er lettere at arbejde med; hvis du skulle udvide parenteserne, ville du få følgende komplekse udtryk: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktor polynomier. Ved at bruge denne metode kan du forenkle nogle udtryk og polynomier. Factoring er den modsatte operation af at åbne parenteser, det vil sige, at et udtryk skrives som produktet af to udtryk, som hver er indesluttet i parentes. I nogle tilfælde kan faktorisering reduceres samme udtryk. I særlige tilfælde(normalt med andengradsligninger) factoring giver dig mulighed for at løse ligningen.

      • Overvej udtrykket x 2 - 5x + 6. Det er faktoriseret: (x - 3)(x - 2). Hvis udtrykket for eksempel er givet (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), så kan du omskrive det som (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), reducere udtrykket (x - 2) og opnå et forenklet udtryk (x - 3)/2.
      • Faktoreringspolynomier bruges til at løse (finde rødder) ligninger (en ligning er et polynomium lig med 0). Overvej for eksempel ligningen x 2 - 5x + 6 = 0. Ved at faktorisere den får du (x - 3)(x - 2) = 0. Da ethvert udtryk ganget med 0 er lig med 0, kan vi skrive det som dette : x - 3 = 0 og x - 2 = 0. Således er x = 3 og x = 2, det vil sige, at du har fundet to rødder af den ligning, du har fået.

Et bogstaveligt udtryk (eller variabelt udtryk) er et matematisk udtryk, der består af tal, bogstaver og matematiske symboler. For eksempel er følgende udtryk bogstaveligt:

a+b+4

Ved hjælp af alfabetiske udtryk kan du skrive love, formler, ligninger og funktioner. Evnen til at manipulere bogstavudtryk er nøglen til et godt kendskab til algebra og højere matematik.

Ethvert alvorligt problem i matematik kommer ned til at løse ligninger. Og for at kunne løse ligninger skal du kunne arbejde med bogstavelige udtryk.

For at arbejde med bogstavelige udtryk skal du være velbevandret i grundlæggende aritmetik: addition, subtraktion, multiplikation, division, matematikkens grundlæggende love, brøker, operationer med brøker, proportioner. Og ikke bare studere, men forstå grundigt.

Lektionens indhold

Variabler

Bogstaver, der er indeholdt i bogstavelige udtryk kaldes variabler. For eksempel i udtrykket a+b+4 variablerne er bogstaverne -en Og b. Hvis du erstatter et hvilket som helst tal i stedet for disse variable, så det bogstavelige udtryk a+b+4 kontakt numerisk udtryk, hvis værdi kan findes.

Tal, der erstattes af variable, kaldes værdier af variabler. Lad os for eksempel ændre værdierne af variablerne -en Og b. Lighedstegnet bruges til at ændre værdier

a = 2, b = 3

Vi har ændret værdierne af variablerne -en Og b. Variabel -en tildelt en værdi 2 , variabel b tildelt en værdi 3 . Det resulterende bogstavelige udtryk a+b+4 bliver til et regulært numerisk udtryk 2+3+4 hvis værdi kan findes:

2 + 3 + 4 = 9

Når variabler ganges, skrives de sammen. For eksempel optage ab betyder det samme som indgangen a×b. Hvis vi erstatter variablerne -en Og b tal 2 Og 3 , så får vi 6

2 × 3 = 6

Du kan også sammenskrive multiplikationen af ​​et tal med et udtryk i parentes. For eksempel i stedet for a×(b + c) kan skrives ned a(b + c). Ved at anvende fordelingsloven for multiplikation får vi a(b + c)=ab+ac.

Odds

I bogstavelige udtryk kan man ofte finde en notation, hvor et tal og en variabel f.eks. er skrevet sammen 3a. Dette er faktisk en forkortelse for at gange tallet 3 med en variabel. -en og denne post ser ud 3×a .

Med andre ord udtrykket 3a er produktet af tallet 3 og variablen -en. Nummer 3 i dette værk kalder de koefficient. Denne koefficient viser, hvor mange gange variablen øges -en. Dette udtryk kan læses som " -en tre gange" eller "tre gange EN", eller "øg værdien af ​​en variabel -en tre gange", men oftest læses som "tre -en«

For eksempel hvis variablen -en svarende til 5 , derefter værdien af ​​udtrykket 3a vil være lig med 15.

3 × 5 = 15

Taler i et enkelt sprog, koefficienten er det tal, der kommer før bogstavet (før variablen).

Der kan f.eks. være flere bogstaver 5 abc. Her er koefficienten tallet 5 . Denne koefficient viser, at produktet af variable abc femdobles. Dette udtryk kan læses som " abc fem gange" eller "øge værdien af ​​udtrykket abc fem gange" eller "fem abc«.

Hvis i stedet for variable abc erstatte tallene 2, 3 og 4, derefter værdien af ​​udtrykket 5 abc vil være lige 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Du kan mentalt forestille dig, hvordan tallene 2, 3 og 4 først blev ganget, og den resulterende værdi blev femdoblet:

Koefficientens tegn refererer kun til koefficienten og gælder ikke for variablerne.

Overvej udtrykket -6b. Minus før koefficienten 6 , gælder kun for koefficienten 6 , og hører ikke til variablen b. At forstå dette faktum vil give dig mulighed for ikke at lave fejl i fremtiden med tegn.

Lad os finde værdien af ​​udtrykket -6b på b = 3.

-6b −6×b. For klarhedens skyld, lad os skrive udtrykket -6b i udvidet form og erstatte værdien af ​​variablen b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Eksempel 2. Find værdien af ​​et udtryk -6b på b = −5

Lad os skrive udtrykket ned -6b i udvidet form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Eksempel 3. Find værdien af ​​et udtryk −5a+b på a = 3 Og b = 2

−5a+b dette er en kort formular til −5 × a + b, så for klarhedens skyld skriver vi udtrykket −5×a+b i udvidet form og erstatte værdierne af variablerne -en Og b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Nogle gange skrives bogstaver uden koefficient, f.eks -en eller ab. I dette tilfælde er koefficienten enhed:

men traditionelt er enheden ikke skrevet ned, så de skriver simpelthen -en eller ab

Hvis der er et minus før bogstavet, så er koefficienten et tal −1 . For eksempel udtrykket −a ser faktisk ud −1a. Dette er produktet af minus en og variablen en. Det blev sådan her:

−1 × a = −1a

Der er en lille fangst her. I udtryk −a minustegn foran variablen -en refererer faktisk til en "usynlig enhed" snarere end en variabel -en. Derfor bør du være forsigtig, når du løser problemer.

For eksempel hvis udtrykket gives −a og vi bliver bedt om at finde dens værdi på a = 2, så i skolen erstattede vi en to i stedet for en variabel -en og fik svar −2 uden at fokusere for meget på, hvordan det blev. Faktisk blev minus én ganget med positivt tal 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Hvis udtrykket gives −a og du skal finde dens værdi på a = −2, så erstatter vi −2 i stedet for en variabel -en

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

For at undgå fejl kan usynlige enheder i første omgang nedskrives eksplicit.

Eksempel 4. Find værdien af ​​et udtryk abc på a=2 , b=3 Og c=4

Udtryk abc 1×a×b×c. For klarhedens skyld, lad os skrive udtrykket abc a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Eksempel 5. Find værdien af ​​et udtryk abc på a=−2, b=−3 Og c=−4

Lad os skrive udtrykket ned abc i udvidet form og erstatte værdierne af variablerne a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Eksempel 6. Find værdien af ​​et udtryk − abc på a=3, b=5 og c=7

Udtryk − abc dette er en kort formular til −1×a×b×c. For klarhedens skyld, lad os skrive udtrykket − abc i udvidet form og erstatte værdierne af variablerne a, b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Eksempel 7. Find værdien af ​​et udtryk − abc på a=−2, b=−4 og c=−3

Lad os skrive udtrykket ned − abc i udvidet form:

−abc = −1 × a × b × c

Lad os erstatte værdierne af variablerne -en , b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Sådan bestemmes koefficienten

Nogle gange skal du løse et problem, hvor du skal bestemme koefficienten for et udtryk. I princippet er denne opgave meget enkel. Det er nok at kunne gange tal korrekt.

For at bestemme koefficienten i et udtryk skal du separat gange tallene inkluderet i dette udtryk og gange bogstaverne separat. Den resulterende numeriske faktor vil være koefficienten.

Eksempel 1. 7m×5a×(−3)×n

Udtrykket består af flere faktorer. Dette kan tydeligt ses, hvis du skriver udtrykket i udvidet form. Altså værkerne 7m Og 5a skriv det i formularen 7×m Og 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Lad os anvende den associative lov om multiplikation, som giver dig mulighed for at multiplicere faktorer i vilkårlig rækkefølge. Nemlig, vi vil separat gange tallene og separat gange bogstaverne (variabler):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 mand

Koefficienten er −105 . Efter afslutningen er det tilrådeligt at arrangere bogstavdelen i alfabetisk rækkefølge:

-105 om morgenen

Eksempel 2. Bestem koefficienten i udtrykket: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koefficienten er 6.

Eksempel 3. Bestem koefficienten i udtrykket:

Lad os gange tal og bogstaver hver for sig:

Koefficienten er −1. Bemærk, at enheden ikke nedskrives, da det er sædvanligt ikke at skrive koefficienten 1.

Disse tilsyneladende simpleste opgaver kan spille en meget grusom joke med os. Det viser sig ofte, at koefficientens tegn er indstillet forkert: enten mangler minus, eller tværtimod er det sat forgæves. For at undgå disse irriterende fejl, skal det studeres på et godt niveau.

Tilføjer bogstavelige udtryk

Når flere tal lægges sammen, fås summen af ​​disse tal. Tal, der tilføjer, kaldes addends. Der kan være flere udtryk, f.eks.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Når et udtryk består af termer, er det meget nemmere at evaluere, fordi det er lettere at lægge til end at trække fra. Men udtrykket kan ikke kun indeholde addition, men også subtraktion, for eksempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I dette udtryk er tallene 3 og 5 subtrahends, ikke addends. Men intet forhindrer os i at erstatte subtraktion med addition. Så får vi igen et udtryk bestående af termer:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Det gør ikke noget, at tallene −3 og −5 nu har et minustegn. Det vigtigste er, at alle tallene i dette udtryk er forbundet med et additionstegn, det vil sige, at udtrykket er en sum.

Begge udtryk 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Og 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lig med samme værdi - minus en

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Således vil betydningen af ​​udtrykket ikke lide, hvis vi erstatter subtraktion med addition et sted.

Du kan også erstatte subtraktion med addition i bogstavelige udtryk. Overvej for eksempel følgende udtryk:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

For alle værdier af variabler a, b, c, d Og s udtryk 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Og 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) vil være lig med samme værdi.

Du skal være forberedt på, at en lærer på skolen eller en lærer på et institut kan kalde lige tal (eller variable), der ikke er addends.

For eksempel hvis forskellen er skrevet på tavlen a − b, så vil læreren ikke sige det -en er en minuend, og b- kan trækkes fra. Han vil kalde begge variabler med et fælles ord - betingelser. Og alt sammen på grund af formens udtryk a − b matematikeren ser, hvordan summen a+(−b). I dette tilfælde bliver udtrykket en sum, og variablerne -en Og (-b) blive vilkår.

Lignende udtryk

Lignende udtryk- det er udtryk, der har samme bogstavdel. Overvej for eksempel udtrykket 7a + 6b + 2a. Komponenter 7a Og 2a har samme bogstavdel - variabel -en. Altså vilkårene 7a Og 2a er ens.

Typisk tilføjes lignende udtryk for at forenkle et udtryk eller løse en ligning. Denne operation kaldes med lignende vilkår.

For at bringe lignende udtryk skal du tilføje koefficienterne for disse termer og gange det resulterende resultat med den fælles bogstavdel.

Lad os for eksempel præsentere lignende udtryk i udtrykket 3a + 4a + 5a. I dette tilfælde er alle udtryk ens. Lad os lægge deres koefficienter sammen og gange resultatet med den fælles bogstavdel - med variablen -en

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Sådanne udtryk kommer man normalt i tankerne, og resultatet skrives straks ned:

3a + 4a + 5a = 12a

Man kan også begrunde som følger:

Der var 3 variable a , 4 flere variable a og 5 flere variable a blev tilføjet til dem. Som et resultat fik vi 12 variable a

Lad os se på flere eksempler på at bringe lignende udtryk. Overvejer det dette emne er meget vigtigt, i første omgang vil vi skrive ned hver lille detalje i detaljer. På trods af at alt er meget enkelt her, laver de fleste mange fejl. Hovedsageligt på grund af uopmærksomhed, ikke uvidenhed.

Eksempel 1. 3a + 2a + 6a + 8-en

Lad os lægge koefficienterne sammen i dette udtryk og gange det resulterende resultat med den fælles bogstavdel:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

design (3 + 2 + 6 + 8)×a Du behøver ikke at skrive det ned, så vi skriver svaret ned med det samme

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Eksempel 2. Giv lignende udtryk i udtrykket 2a+a

Anden periode -en skrevet uden en koefficient, men faktisk er der en koefficient foran den 1 , som vi ikke ser, fordi det ikke er optaget. Så udtrykket ser således ud:

2a + 1a

Lad os nu præsentere lignende udtryk. Det vil sige, at vi lægger koefficienterne sammen og multiplicerer resultatet med den fælles bogstavdel:

2a + la = (2 + 1) x a = 3a

Lad os kort skrive løsningen ned:

2a + a = 3a

2a+a, du kan tænke anderledes:

Eksempel 3. Giv lignende udtryk i udtrykket 2a-a

Lad os erstatte subtraktion med addition:

2a + (-a)

Anden periode (−a) skrevet uden en koefficient, men i virkeligheden ser det ud som (−1a). Koefficient −1 igen usynlig på grund af, at den ikke er optaget. Så udtrykket ser således ud:

2a + (−1a)

Lad os nu præsentere lignende udtryk. Lad os tilføje koefficienterne og gange resultatet med den fælles bogstavdel:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Normalt skrevet kortere:

2a − a = a

Giver lignende udtryk i udtrykket 2a-a Du kan tænke anderledes:

Der var 2 variable a, subtraher en variabel a, til sidst var der kun en variabel a tilbage

Eksempel 4. Giv lignende udtryk i udtrykket 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Lad os nu præsentere lignende udtryk. Lad os lægge koefficienterne sammen og gange resultatet med den samlede bogstavdel

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Lad os kort skrive løsningen ned:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Der er udtryk, der indeholder flere forskellige grupper af lignende udtryk. For eksempel, 3a + 3b + 7a + 2b. For sådanne udtryk gælder de samme regler som for de andre, nemlig at lægge koefficienterne sammen og gange resultatet med den fælles bogstavdel. Men for at undgå fejl er det praktisk at fremhæve forskellige grupper af udtryk med forskellige linjer.

For eksempel i udtrykket 3a + 3b + 7a + 2b de udtryk, der indeholder en variabel -en, kan understreges med én linje, og de termer, der indeholder en variabel b, kan understreges med to linjer:

Nu kan vi præsentere lignende udtryk. Det vil sige, add koefficienterne og gange det resulterende resultat med den samlede bogstavdel. Dette skal gøres for begge grupper af udtryk: for termer, der indeholder en variabel -en og for udtryk, der indeholder en variabel b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Igen, vi gentager, udtrykket er enkelt, og lignende udtryk kan gives i tankerne:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Eksempel 5. Giv lignende udtryk i udtrykket 5a − 6a −7b + b

Lad os erstatte subtraktion med addition, hvor det er muligt:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Lad os understrege lignende udtryk med forskellige linjer. Udtryk, der indeholder variable -en vi understreger med én linje, og termerne er indholdet af variablerne b, understreg med to linjer:

Nu kan vi præsentere lignende udtryk. Det vil sige, add koefficienterne og gange det resulterende resultat med den fælles bogstavdel:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Hvis udtrykket indeholder almindelige tal uden bogstavfaktorer, så tilføjes de separat.

Eksempel 6. Giv lignende udtryk i udtrykket 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Lad os erstatte subtraktion med addition, hvor det er muligt:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Lad os præsentere lignende udtryk. Tal −5 Og 7 har ikke bogstavfaktorer, men de er lignende udtryk - de skal blot tilføjes. Og udtrykket 2b vil forblive uændret, da det er den eneste i dette udtryk, der har en bogstavfaktor b, og der er ikke noget at tilføje det med:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Lad os kort skrive løsningen ned:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termerne kan ordnes, så de termer, der har samme bogstavdel, er placeret i samme del af udtrykket.

Eksempel 7. Giv lignende udtryk i udtrykket 5t+2x+3x+5t+x

Da udtrykket er en sum af flere led, giver dette os mulighed for at evaluere det i en hvilken som helst rækkefølge. Derfor er termerne, der indeholder variablen t, kan skrives i begyndelsen af ​​udtrykket, og de termer, der indeholder variablen x i slutningen af ​​udtrykket:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nu kan vi præsentere lignende udtryk:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Lad os kort skrive løsningen ned:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summen af ​​modsatte tal er nul. Denne regel fungerer også for bogstavelige udtryk. Hvis udtrykket indeholder identiske udtryk, men med modsatte tegn, så kan du slippe af med dem på tidspunktet for at reducere lignende vilkår. Med andre ord skal du blot fjerne dem fra udtrykket, da deres sum er nul.

Eksempel 8. Giv lignende udtryk i udtrykket 3t − 4t − 3t + 2t

Lad os erstatte subtraktion med addition, hvor det er muligt:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponenter 3t Og (-3t) er modsatte. Summen af ​​modsatte led er nul. Hvis vi fjerner dette nul fra udtrykket, ændres værdien af ​​udtrykket ikke, så vi fjerner det. Og vi fjerner det ved blot at strege vilkårene over 3t Og (-3t)

Som et resultat vil vi stå tilbage med udtrykket (−4t) + 2t. I dette udtryk kan du tilføje lignende udtryk og få det endelige svar:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Lad os kort skrive løsningen ned:

Forenkling af udtryk

"forenkle udtrykket" og nedenfor er udtrykket, der skal forenkles. Forenkle et udtryk betyder at gøre det enklere og kortere.

Faktisk har vi allerede forenklet udtryk, når vi har reduceret brøker. Efter reduktion blev fraktionen kortere og lettere at forstå.

Overvej følgende eksempel. Forenkle udtrykket.

Denne opgave kan bogstaveligt forstås som følger: "Anvend alle gyldige handlinger på dette udtryk, men gør det enklere." .

I dette tilfælde kan du reducere brøken, nemlig dividere brøkens tæller og nævner med 2:

Hvad kan du ellers gøre? Du kan beregne den resulterende brøk. Så får vi decimalbrøken 0,5

Som et resultat blev fraktionen forenklet til 0,5.

Det første spørgsmål, du skal stille dig selv, når du løser sådanne problemer, bør være "Hvad kan man gøre?" . For der er handlinger, du kan gøre, og der er handlinger, du ikke kan gøre.

En anden vigtigt punkt Det, du skal huske, er, at værdien af ​​udtrykket ikke bør ændre sig efter at have forenklet udtrykket. Lad os vende tilbage til udtrykket. Dette udtryk repræsenterer en opdeling, der kan udføres. Efter at have udført denne division får vi værdien af ​​dette udtryk, som er lig med 0,5

Men vi forenklede udtrykket og fik et nyt forenklet udtryk. Værdien af ​​det nye forenklede udtryk er stadig 0,5

Men vi forsøgte også at forenkle udtrykket ved at beregne det. Som et resultat fik vi et endeligt svar på 0,5.

Uanset hvordan vi forenkler udtrykket, er værdien af ​​de resulterende udtryk stadig lig med 0,5. Det betyder, at forenklingen blev udført korrekt på alle trin. Det er netop det, vi skal stræbe efter, når vi simplificerer udtryk – meningen med udtrykket skal ikke lide under vores handlinger.

Det er ofte nødvendigt at forenkle bogstavelige udtryk. De samme forenklingsregler gælder for dem som for numeriske udtryk. Du kan udføre alle gyldige handlinger, så længe værdien af ​​udtrykket ikke ændres.

Lad os se på et par eksempler.

Eksempel 1. Forenkle et udtryk 5,21s × t × 2,5

For at forenkle dette udtryk kan du gange tallene hver for sig og gange bogstaverne hver for sig. Denne opgave ligner meget den, vi så på, da vi lærte at bestemme koefficienten:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Altså udtrykket 5,21s × t × 2,5 forenklet til 13.025st.

Eksempel 2. Forenkle et udtryk −0,4 × (−6,3b) × 2

Andet stykke (−6.3b) kan oversættes til en for os forståelig form, nemlig skrevet i formen ( −6,3)×b , gange derefter tallene hver for sig og gange bogstaverne hver for sig:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Altså udtrykket −0,4 × (−6,3b) × 2 forenklet til 5.04b

Eksempel 3. Forenkle et udtryk

Lad os skrive dette udtryk mere detaljeret for tydeligt at se, hvor tallene er, og hvor bogstaverne er:

Lad os nu gange tallene separat og gange bogstaverne separat:

Altså udtrykket forenklet til −abc. Denne løsning kan kort skrives:

Ved simplificering af udtryk kan brøker reduceres under løsningsprocessen og ikke til allersidst, som vi gjorde med almindelige brøker. For eksempel, hvis vi i løbet af løsningen støder på et udtryk for formen , så er det slet ikke nødvendigt at beregne tælleren og nævneren og gøre noget som dette:

En brøk kan reduceres ved at vælge en faktor i tælleren og nævneren og reducere disse faktorer med deres største fælles divisor. Med andre ord, brug, hvor vi ikke beskriver i detaljer, hvad tælleren og nævneren var opdelt i.

For eksempel i tælleren er faktoren 12 og i nævneren kan faktoren 4 reduceres med 4. Vi beholder de fire i tankerne, og dividerer 12 og 4 med disse fire, skriver vi svarene ned ved siden af ​​disse tal. først at have streget dem ud

Nu kan du gange de resulterende små faktorer. I dette tilfælde er der få af dem, og du kan gange dem i dit sind:

Med tiden kan du opleve, at når du løser et bestemt problem, begynder udtryk at "blive fede", så det er tilrådeligt at vænne sig til hurtige udregninger. Hvad der kan beregnes i sindet, skal beregnes i sindet. Det, der hurtigt kan reduceres, skal hurtigt reduceres.

Eksempel 4. Forenkle et udtryk

Altså udtrykket forenklet til

Eksempel 5. Forenkle et udtryk

Lad os gange tallene hver for sig og bogstaverne hver for sig:

Altså udtrykket forenklet til mn.

Eksempel 6. Forenkle et udtryk

Lad os skrive dette udtryk mere detaljeret for tydeligt at se, hvor tallene er, og hvor bogstaverne er:

Lad os nu gange tallene hver for sig og bogstaverne hver for sig. For at lette beregningen, decimalbrøken −6,4 og blandet antal kan konverteres til almindelige brøker:

Altså udtrykket forenklet til

Løsningen til dette eksempel kan skrives meget kortere. Det vil se sådan ud:

Eksempel 7. Forenkle et udtryk

Lad os gange tal for sig og bogstaver for sig. For at lette beregningen, et blandet antal og decimaler 0,1 og 0,6 kan konverteres til almindelige brøker:

Altså udtrykket forenklet til abcd. Hvis du springer detaljerne over, så denne beslutning kan skrives meget kortere:

Læg mærke til, hvordan fraktionen er blevet reduceret. Nye faktorer, der er opnået som følge af reduktion af tidligere faktorer, tillades også reduceret.

Lad os nu tale om, hvad vi ikke skal gøre. Ved forenkling af udtryk er det strengt forbudt at gange tal og bogstaver, hvis udtrykket er en sum og ikke et produkt.

For eksempel hvis du ønsker at forenkle udtrykket 5a+4b, så kan du ikke skrive det sådan her:

Det er det samme, som hvis vi blev bedt om at lægge to tal sammen, og vi gangede dem i stedet for at lægge dem sammen.

Når du erstatter eventuelle variabelværdier -en Og b udtryk 5a +4b bliver til et almindeligt numerisk udtryk. Lad os antage, at variablerne -en Og b har følgende betydninger:

a = 2, b = 3

Så vil værdien af ​​udtrykket være lig med 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Først udføres multiplikation, og derefter tilføjes resultaterne. Og hvis vi forsøgte at forenkle dette udtryk ved at gange tal og bogstaver, ville vi få følgende:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Det viser sig en helt anden betydning af udtrykket. I det første tilfælde virkede det 22 , i det andet tilfælde 120 . Det betyder at forenkle udtrykket 5a+4b blev udført forkert.

Efter at have forenklet udtrykket, bør dets værdi ikke ændre sig med de samme værdier af variablerne. Hvis der opnås én værdi, når der erstattes variabelværdier i det oprindelige udtryk, skal den samme værdi opnås efter forenkling af udtrykket som før forenklingen.

Med udtryk 5a+4b der er virkelig ikke noget du kan gøre. Det forenkler det ikke.

Hvis et udtryk indeholder lignende udtryk, så kan de tilføjes, hvis vores mål er at forenkle udtrykket.

Eksempel 8. Forenkle et udtryk 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

eller kortere: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Altså udtrykket 0,3a−0,4a+a forenklet til 0,9a

Eksempel 9. Forenkle et udtryk -7,5a - 2,5b + 4a

For at forenkle dette udtryk kan vi tilføje lignende udtryk:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

eller kortere −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Semester (−2,5b) forblev uændret, fordi der ikke var noget at stille det med.

Eksempel 10. Forenkle et udtryk

For at forenkle dette udtryk kan vi tilføje lignende udtryk:

Koefficienten var for at lette beregningen.

Altså udtrykket forenklet til

Eksempel 11. Forenkle et udtryk

For at forenkle dette udtryk kan vi tilføje lignende udtryk:

Altså udtrykket forenklet til.

I i dette eksempel Det ville være mere hensigtsmæssigt at tilføje den første og den sidste koefficient først. I dette tilfælde ville vi have en kort løsning. Det ville se sådan ud:

Eksempel 12. Forenkle et udtryk

For at forenkle dette udtryk kan vi tilføje lignende udtryk:

Altså udtrykket forenklet til .

Udtrykket forblev uændret, da der ikke var noget at tilføje det.

Denne løsning kan skrives meget kortere. Det vil se sådan ud:

Den korte løsning sprang over trinene med at erstatte subtraktion med addition og detaljeret hvordan brøker blev reduceret til en fællesnævner.

En anden forskel er, at i detaljeret løsning svaret ser ud , men kort sagt . Faktisk er de det samme udtryk. Forskellen er, at i det første tilfælde erstattes subtraktion med addition, da vi i begyndelsen skrev løsningen i i detaljer, erstattede vi subtraktion med addition, hvor det var muligt, og denne erstatning blev bevaret for svaret.

Identiteter. Identisk lige udtryk

Når vi har forenklet ethvert udtryk, bliver det enklere og kortere. For at kontrollere, om det forenklede udtryk er korrekt, er det nok at erstatte eventuelle variabelværdier først i det tidligere udtryk, der skulle forenkles, og derefter i det nye, der blev forenklet. Hvis værdien i begge udtryk er den samme, er det forenklede udtryk sandt.

Lad os overveje enkleste eksempel. Lad det være nødvendigt at forenkle udtrykket 2a×7b. For at forenkle dette udtryk kan du gange tal og bogstaver separat:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Lad os tjekke, om vi har forenklet udtrykket korrekt. For at gøre dette, lad os erstatte eventuelle værdier af variablerne -en Og b først ind i det første udtryk, der skulle forenkles, og derefter i det andet, som blev forenklet.

Lad værdierne af variablerne -en , b bliver som følger:

a = 4, b = 5

Lad os erstatte dem med det første udtryk 2a×7b

Lad os nu erstatte de samme variabelværdier i det udtryk, der er resultatet af forenkling 2a×7b, nemlig i udtrykket 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Det ser vi hvornår a=4 Og b=5 værdien af ​​det første udtryk 2a×7b og betydningen af ​​det andet udtryk 14ab lige

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Det samme vil ske for alle andre værdier. Lad f.eks a=1 Og b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Således for alle værdier af udtryksvariablerne 2a×7b Og 14ab er lig med samme værdi. Sådanne udtryk kaldes identisk lige.

Det konkluderer vi mellem udtrykkene 2a×7b Og 14ab du kan sætte et lighedstegn, fordi de er lig med samme værdi.

2a × 7b = 14ab

En lighed er ethvert udtryk, der er forbundet med et lighedstegn (=).

Og lighed i formen 2a×7b = 14ab hedder identitet.

En identitet er en lighed, der er sand for enhver værdi af variablerne.

Andre eksempler på identiteter:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, matematikkens love, som vi studerede, er identiteter.

Ægte numeriske ligheder er også identiteter. For eksempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Ved løsning af et komplekst problem erstattes det komplekse udtryk for at lette beregningen med et enklere udtryk, der er identisk med det foregående. Denne udskiftning kaldes identisk transformation af udtrykket eller simpelthen transformere udtrykket.

For eksempel har vi forenklet udtrykket 2a×7b, og fik et mere enkelt udtryk 14ab. Denne forenkling kan kaldes identitetstransformationen.

Du kan ofte finde en opgave, der siger "bevis, at ligestilling er en identitet" og så gives den ligestilling, der skal bevises. Typisk består denne lighed af to dele: venstre og højre side af ligheden. Vores opgave er at udføre identitetstransformationer med den ene del af ligestillingen og opnå den anden del. Eller udfør identiske transformationer på begge sider af ligheden og sørg for, at begge sider af ligheden indeholder de samme udtryk.

Lad os for eksempel bevise, at ligheden 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Lad os forenkle venstre side af denne ligestilling. For at gøre dette skal du gange tallene og bogstaverne separat:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Som følge af en lille identitetstransformation blev venstre side af ligestillingen lig med højre side af ligestillingen. Så vi har bevist, at ligestillingen 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Fra identiske transformationer lærte vi at addere, subtrahere, gange og dividere tal, reducere brøker, tilføje lignende udtryk og også forenkle nogle udtryk.

Men disse er ikke alle identiske transformationer, der findes i matematik. Der er mange flere identiske transformationer. Det vil vi se mere end én gang i fremtiden.

Opgaver til selvstændig løsning:

Kunne du lide lektionen?
Deltag i vores ny gruppe VKontakte og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner