Regler for reduktion af brøker med ukendte. Reduktion af algebraiske brøker

Afdeling og tælleren og nævneren af brøken på deres fælles divisor , forskellig fra én, kaldes reducere en brøkdel.

For at reducere en fælles brøk skal du dividere dens tæller og nævner med det samme naturlige tal.

Dette tal er den største fælles divisor for tælleren og nævneren for den givne brøk.

Følgende er mulige formularer til registrering af beslutninger Eksempler på reduktion af almindelige brøker.

Eleven har ret til at vælge enhver form for optagelse.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reducer brøken med 3 (divider tælleren med 3;

dividere nævneren med 3).

Reducer fraktionen med 7.

Vi udfører de angivne handlinger i brøkens tæller og nævner.

Den resulterende fraktion reduceres med 5.

Lad os reducere denne brøkdel 4) på 5·7³- den største fælles divisor (GCD) af tælleren og nævneren, som består af de fælles faktorer for tælleren og nævneren, taget i potens med den mindste eksponent.

Lad os faktorisere tælleren og nævneren af denne brøk i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største fælles divisor) for tælleren og nævneren af brøken 5) .

Dette er produktet af fælles faktorer taget med de laveste eksponenter.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi dividerer tælleren og nævneren af denne brøk med deres gcd, dvs 2²·3·7 vi får en irreducerbar brøkdel 9/14 .

Eller det var muligt at skrive nedbrydningen af tæller og nævner i form af et produkt af primfaktorer, uden at bruge begrebet potens, og derefter reducere brøken ved at strege de samme faktorer ud i tæller og nævner. Når der ikke er identiske faktorer tilbage, multiplicerer vi de resterende faktorer separat i tælleren og separat i nævneren og skriver den resulterende brøk ud. 9/14 .

Og endelig var det muligt at reducere denne fraktion 5) gradvist, ved at anvende tegn på deletal til både tælleren og nævneren af brøken. Vi ræsonnerer sådan her: tal 756 Og 1176 ende i et lige tal, hvilket betyder at begge er delelige med 2 . Vi reducerer fraktionen med 2 . Den nye brøks tæller og nævner er tal 378 Og 588 også opdelt i 2 . Vi reducerer fraktionen med 2 . Vi bemærker, at tallet 294 - endda, og 189 er ulige, og reduktion med 2 er ikke længere mulig. Lad os tjekke deleligheden af tal 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er deleligt med 3 og (2+9+4)=15 er deleligt med 3, deraf selve tallene 189 Og 294 er opdelt i 3 . Vi reducerer fraktionen med 3 . Næste, 63 er deleligt med 3 og 98 - Nej. Lad os se på andre primære faktorer. Begge tal er delelige med 7 . Vi reducerer fraktionen med 7 og vi får den irreducerbare brøkdel 9/14 .

I denne artikel vil vi se på grundlæggende operationer med algebraiske brøker:

reducerende fraktioner
gange brøker
dividere brøker

Lad os starte med reduktion af algebraiske brøker.

Det ser ud til algoritme indlysende.

Til reducere algebraiske brøker, har brug for

1. Faktor brøkens tæller og nævner.

2. Reducer lige faktorer.

Skolebørn begår dog ofte den fejl at "reducere" ikke faktorerne, men vilkårene. For eksempel er der amatører, der "reducerer" brøker med og får som et resultat, hvilket selvfølgelig ikke er sandt.

Lad os se på eksempler:

1. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren ved hjælp af formlen for kvadratet af summen, og nævneren ved hjælp af formlen for kvadratforskellen

2. Divider tæller og nævner med

2. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren. Da tælleren indeholder fire led, bruger vi gruppering.

2. Lad os faktorisere nævneren. Vi kan også bruge gruppering.

3. Lad os skrive den brøk ned, vi fik, og reducere de samme faktorer:

Multiplikation af algebraiske brøker.

Når vi multiplicerer algebraiske brøker, gange vi tælleren med tælleren og gange nævneren med nævneren.

Vigtig! Der er ingen grund til at skynde sig at gange tælleren og nævneren af en brøk. Efter at vi har nedskrevet produktet af tællere af brøkerne i tælleren og produktet af nævnerne i nævneren, skal vi faktorisere hver faktor og reducere brøken.

Lad os se på eksempler:

3. Forenkle udtrykket:

1. Lad os skrive produktet af brøker: i tælleren produktet af tællerne, og i nævneren produktet af nævnerne:

2. Lad os faktorisere hver parentes:

Nu skal vi reducere de samme faktorer. Bemærk, at udtrykkene og kun adskiller sig i tegn: og som et resultat af at dividere det første udtryk med det andet får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker efter følgende regel:

Det vil sige For at dividere med en brøk skal du gange med den "omvendte".

Vi ser, at dividere brøker kommer ned til at gange, og Multiplikation kommer i sidste ende ned på at reducere brøker.

Lad os se på et eksempel:

4. Forenkle udtrykket:

Når en elev flytter til gymnasium, matematik er opdelt i 2 fag: algebra og geometri. Der kommer flere og flere begreber, opgaverne bliver sværere og sværere. Nogle mennesker har svært ved at forstå brøker. Gik glip af den første lektion om dette emne, og voila. brøker? Et spørgsmål, der vil plage hele mit skoleliv.

Begrebet en algebraisk brøk

Lad os starte med en definition. Under algebraisk brøk henviser til udtrykkene P/Q, hvor P er tælleren og Q er nævneren. Et nummer kan være skjult under bogstavindtastningen, numerisk udtryk, tal-bogstav udtryk.

Før du spekulerer på, hvordan man løser algebraiske brøker, skal du først forstå, at et sådant udtryk er en del af helheden.

Som regel er et heltal 1. Tallet i nævneren viser, hvor mange dele enheden er opdelt i. Tælleren er nødvendig for at finde ud af, hvor mange elementer der tages. Brøklinjen svarer til divisionstegnet. Optagelse tilladt fraktioneret udtryk som en matematisk operation "Division". I dette tilfælde er tælleren udbyttet, nævneren er divisor.

Grundregel for almindelige brøker

Når eleverne består dette emne i skolen får de eksempler at forstærke. At løse dem korrekt og finde forskellige veje fra svære situationer, skal du anvende den grundlæggende egenskab for brøker.

Det går sådan her: Hvis du ganger både tælleren og nævneren med det samme tal eller udtryk (bortset fra nul), så almindelig brøk vil ikke ændre sig. En særlig sag fra af denne regel er divisionen af begge sider af et udtryk med det samme tal eller polynomium. Sådanne transformationer kaldes identiske ligheder.

Nedenfor vil vi se på, hvordan man løser addition og subtraktion af algebraiske brøker, gange, dividere og reducere brøker.

Matematiske operationer med brøker

Lad os se på, hvordan man løser, hovedegenskaben for en algebraisk brøk, og hvordan man anvender den i praksis. Hvis du skal gange to brøker, lægge dem sammen, dividere med hinanden eller trække fra, skal du altid følge reglerne.

Til driften af addition og subtraktion skal der således findes en yderligere faktor for at bringe udtrykkene til en fællesnævner. Hvis brøkerne i første omgang er givet med de samme udtryk Q, så skal du udelade dette element. Når fællesnævneren er fundet, hvordan løser man så algebraiske brøker? Du skal tilføje eller trække tællere fra. Men! Det skal huskes, at hvis der er et "-"-tegn foran brøken, er alle tegn i tælleren omvendt. Nogle gange bør du ikke udføre nogen substitutioner eller matematiske operationer. Det er nok at ændre tegnet foran brøken.

Begrebet bruges ofte som reducerende fraktioner. Det betyder følgende: hvis tæller og nævner divideres med et udtryk, der er forskelligt fra ét (det samme for begge dele), så opnås en ny brøk. Udbytte og divisor er mindre end før, men på grund af den grundlæggende regel om brøker forbliver de lig med det oprindelige eksempel.

Formålet med denne operation er at opnå et nyt irreducerbart udtryk. Du kan løse dette problem ved at reducere tælleren og nævneren med den største fælles faktor. Operationsalgoritmen består af to punkter:

Finde gcd for begge sider af brøken.
At dividere tælleren og nævneren med det fundne udtryk og opnå en irreducerbar brøk lig med den foregående.

Nedenfor er en tabel, der viser formlerne. For nemheds skyld kan du printe det ud og bære det med dig i en notesbog. Men for at der i fremtiden, når man løser en test eller eksamen, ikke vil være vanskeligheder i spørgsmålet om, hvordan man løser algebraiske brøker, skal disse formler læres udenad.

Flere eksempler med løsninger

Fra et teoretisk synspunkt overvejes spørgsmålet om, hvordan man løser algebraiske brøker. Eksemplerne i artiklen hjælper dig med bedre at forstå materialet.

1. Omregn brøker og bring dem til en fællesnævner.

2. Omregn brøker og bring dem til en fællesnævner.

Efter at have studeret den teoretiske del og overvejet praktiske spørgsmål der burde ikke være mere.

Det er baseret på deres hovedegenskab: hvis tælleren og nævneren af en brøk divideres med det samme polynomium, der ikke er nul, vil en lige brøk blive opnået.

Du kan kun reducere multiplikatorer!

Medlemmer af polynomier kan ikke forkortes!

For at reducere en algebraisk brøk skal polynomierne i tælleren og nævneren først faktoriseres.

Lad os se på eksempler på reduktion af brøker.

Brøkens tæller og nævner indeholder monomialer. De repræsenterer arbejde(tal, variable og deres potenser), multiplikatorer vi kan reducere.

Vi reducerer tallene med deres største fælles divisor, det vil sige med det største tal, som hvert af disse tal er divideret med. For 24 og 36 er dette 12. Efter reduktion er der 2 tilbage fra 24 og 3 fra 36.

Vi reducerer graderne med graden med det laveste indeks. At reducere en brøk betyder at dividere tælleren og nævneren med den samme divisor og trække eksponenterne fra.

a² og a⁷ reduceres til a². I dette tilfælde forbliver man i tælleren af a² (vi skriver kun 1 i det tilfælde, hvor der efter reduktion ikke er andre faktorer tilbage. Fra 24 forbliver 2, så vi skriver ikke 1 tilbage fra a²). Fra a⁷, efter reduktion, forbliver a⁵.

b og b er reduceret med b. De resulterende enheder skrives ikke.

c³º og c⁵ forkortes til c⁵. Fra c³º er der tilbage c²⁵, fra c⁵ er en (vi skriver det ikke). Således,

Tælleren og nævneren for denne algebraiske brøk er polynomier. Du kan ikke annullere vilkår for polynomier! (du kan ikke reducere f.eks. 8x² og 2x!). For at reducere denne brøkdel skal du . Tælleren har en fælles faktor på 4x. Lad os tage det ud af parentes:

Både tæller og nævner har samme faktor (2x-3). Vi reducerer fraktionen med denne faktor. I tælleren fik vi 4x, i nævneren - 1. Ifølge 1 egenskab for algebraiske brøker er brøken lig med 4x.

Du kan kun reducere faktorer (du kan ikke reducere denne brøk med 25x²!). Derfor skal polynomierne i brøkens tæller og nævner faktoriseres.

Tælleren er det fulde kvadrat af summen, nævneren er forskellen af kvadrater. Efter nedbrydning ved hjælp af forkortede multiplikationsformler får vi:

Vi reducerer brøken med (5x+1) (for at gøre dette skal du strege de to i tælleren ud som en eksponent, og efterlade (5x+1)² (5x+1)):

Tælleren har en fælles faktor på 2, lad os tage den ud af parentes. Nævneren er formlen for forskellen mellem terninger:

Som et resultat af udvidelsen fik tæller og nævner samme faktor (9+3a+a²). Vi reducerer brøken med det:

Polynomiet i tælleren består af 4 led. det første led med det andet, det tredje med det fjerde, og fjern den fælles faktor x² fra de første parenteser. Vi dekomponerer nævneren ved at bruge summen af terninger:

Lad os i tælleren tage den fælles faktor (x+2) ud af parentes:

Reducer brøken med (x+2):

I denne artikel vil vi se nærmere på hvordan reducerende fraktioner. Lad os først diskutere, hvad der kaldes at reducere en brøk. Efter dette, lad os tale om at reducere en reducerbar brøkdel til en irreducerbar form. Dernæst vil vi få reglen for reduktion af brøker og til sidst overveje eksempler på anvendelsen af denne regel.

Sidenavigation.

Hvad vil det sige at reducere en brøkdel?

Vi ved, at almindelige brøker er opdelt i reducerbare og irreducerbare brøker. Du kan gætte ud fra navnene, at reducerbare brøker kan reduceres, men ikke-reducerbare brøker kan ikke.

Hvad vil det sige at reducere en brøkdel? Reducer en brøkdel- dette betyder at dividere dens tæller og nævner med deres positive og forskellig fra enhed. Det er klart, at som et resultat af at reducere en brøk, opnås en ny brøk med en mindre tæller og nævner, og på grund af brøkens grundlæggende egenskab er den resulterende brøk lig med den oprindelige.

Lad os for eksempel reducere den fælles brøk 8/24 ved at dividere dens tæller og nævner med 2. Med andre ord, lad os reducere brøken 8/24 med 2. Da 8:2=4 og 24:2=12 resulterer denne reduktion i brøken 4/12, som er lig med den oprindelige brøk 8/24 (se lige og ulige brøker). Som et resultat har vi .

Reduktion af almindelige fraktioner til irreducerbar form

Typisk er det endelige mål med at reducere en fraktion at opnå en irreducerbar fraktion, der er lig med den oprindelige reducerbare fraktion. Dette mål kan opnås ved at reducere den oprindelige reducerbare brøk til dens tæller og nævner. Som et resultat af en sådan reduktion opnås altid en irreducerbar fraktion. Faktisk en brøkdel er irreducerbar, da det er kendt, at Og - . Her vil vi sige, at den største fælles divisor for tælleren og nævneren af en brøk er det største antal, hvormed denne fraktion kan reduceres.

Så, reduktion af en almindelig fraktion til en irreducerbar form består i at dividere tælleren og nævneren af den oprindelige reducerbare brøk med deres gcd.

Lad os se på et eksempel, hvor vi vender tilbage til brøken 8/24 og reducerer den med den største fælles divisor af tallene 8 og 24, som er lig med 8. Da 8:8=1 og 24:8=3 kommer vi til den irreducerbare brøk 1/3. Så, .

Bemærk, at sætningen "reducer en brøk" ofte betyder, at den oprindelige brøk reduceres til dens irreducerbare form. Med andre ord refererer reduktion af en brøk meget ofte til at dividere tælleren og nævneren med deres største fælles faktor (i stedet for med nogen fælles faktor).

Hvordan reducerer man en brøkdel? Regler og eksempler på reduktion af brøker

Tilbage er blot at se på reglen for reduktion af brøker, som forklarer, hvordan man reducerer en given brøk.

Regel for reduktion af brøker består af to trin:

for det første findes gcd for brøkens tæller og nævner;
for det andet divideres brøkens tæller og nævner med deres gcd, hvilket giver en irreducerbar brøk lig med den oprindelige.

Lad os ordne det eksempel på at reducere en brøkdel efter den angivne regel.

Eksempel.

Reducer fraktionen 182/195.

Løsning.

Lad os udføre begge trin foreskrevet af reglen for reduktion af en brøk.

Først finder vi GCD(182, 195) . Det er mest bekvemt at bruge den euklidiske algoritme (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil sige GCD(182, 195)=13.

Nu dividerer vi tælleren og nævneren af brøken 182/195 med 13, og vi får den irreducible brøk 14/15, som er lig med den oprindelige brøk. Dette fuldender reduktionen af fraktionen.

Kort fortalt kan løsningen skrives således: .

Svar:

Det er her, vi kan afslutte med at reducere fraktioner. Men for at fuldende billedet, lad os se på yderligere to måder at reducere brøker på, som normalt bruges i nemme tilfælde.

Nogle gange er tælleren og nævneren for den brøk, der reduceres, ikke vanskelig. At reducere en brøk i dette tilfælde er meget simpelt: du skal bare fjerne alle fælles faktorer fra tælleren og nævneren.

Det er værd at bemærke, at denne metode følger direkte af reglen om reducerende brøker, da produktet af alle fælles primfaktorer af tælleren og nævneren er lig med deres største fælles divisor.

Lad os se på løsningen på eksemplet.

Eksempel.

Reducer fraktionen 360/2 940.

Løsning.

Lad os faktorisere tælleren og nævneren til simple faktorer: 360=2·2·2·3·3·5 og 2.940=2·2·3·5·7·7. Således, .

Nu slipper vi af med de fælles faktorer i tælleren og nævneren for nemheds skyld, vi streger dem simpelthen ud: .

Til sidst multiplicerer vi de resterende faktorer: , og reduktionen af brøken fuldføres.

Her er en kort oversigt over løsningen: .

Svar:

Lad os overveje en anden måde at reducere en brøk på, som består af sekventiel reduktion. Her reduceres brøken ved hvert trin med en eller anden fælles divisor af tæller og nævner, som enten er indlysende eller let bestemmes vha.