Afdeling og tælleren og nævneren af ​​brøken på deres fælles divisor , forskellig fra én, kaldes reducere en brøkdel.

For at reducere en fælles brøk skal du dividere dens tæller og nævner med det samme naturligt tal.

Dette tal er den største fælles divisor for tælleren og nævneren for den givne brøk.

Følgende er mulige formularer til registrering af beslutninger Eksempler på reduktion af almindelige brøker.

Eleven har ret til at vælge enhver form for optagelse.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reducer brøken med 3 (divider tælleren med 3;

dividere nævneren med 3).

Reducer fraktionen med 7.

Vi udfører de angivne handlinger i brøkens tæller og nævner.

Den resulterende fraktion reduceres med 5.

Lad os reducere denne brøkdel 4) på 5·7³- den største fælles divisor (GCD) af tælleren og nævneren, som består af de fælles faktorer for tælleren og nævneren, taget i potens med den mindste eksponent.

Lad os faktorisere tælleren og nævneren af ​​denne brøk i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største fælles divisor) for tælleren og nævneren af ​​brøken 5) .

Dette er produktet af fælles faktorer taget med de laveste eksponenter.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi dividerer tælleren og nævneren af ​​denne brøk med deres gcd, dvs 2²·3·7 vi får en irreducerbar brøkdel 9/14 .

Eller det var muligt at skrive nedbrydningen af ​​tæller og nævner i form af et produkt af primfaktorer, uden at bruge begrebet potens, og derefter reducere brøken ved at strege de samme faktorer ud i tæller og nævner. Når der ikke er identiske faktorer tilbage, multiplicerer vi de resterende faktorer separat i tælleren og separat i nævneren og skriver den resulterende brøk ud. 9/14 .

Og endelig var det muligt at reducere denne fraktion 5) gradvist, ved at anvende tegn på deletal til både tælleren og nævneren af ​​brøken. Vi ræsonnerer sådan her: tal 756 Og 1176 ende i et lige tal, hvilket betyder at begge er delelige med 2 . Vi reducerer fraktionen med 2 . Den nye brøks tæller og nævner er tal 378 Og 588 også opdelt i 2 . Vi reducerer fraktionen med 2 . Vi bemærker, at tallet 294 - endda, og 189 er ulige, og reduktion med 2 er ikke længere mulig. Lad os tjekke deleligheden af ​​tal 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er deleligt med 3 og (2+9+4)=15 er deleligt med 3, deraf selve tallene 189 Og 294 er opdelt i 3 . Vi reducerer fraktionen med 3 . Næste, 63 er deleligt med 3 og 98 - Nej. Lad os se på andre primære faktorer. Begge tal er delelige med 7 . Vi reducerer fraktionen med 7 og vi får den irreducerbare brøkdel 9/14 .

I denne artikel vil vi se på grundlæggende operationer med algebraiske brøker:

• reducerende fraktioner
• gange brøker
• dividere brøker

Lad os starte med reduktion af algebraiske brøker.

Det ser ud til algoritme indlysende.

Til reducere algebraiske brøker , har brug for

1. Faktor brøkens tæller og nævner.

2. Reducer lige faktorer.

Skolebørn begår dog ofte den fejl at "reducere" ikke faktorerne, men vilkårene. For eksempel er der amatører, der "reducerer" brøker med og får som et resultat, hvilket selvfølgelig ikke er sandt.

Lad os se på eksempler:

1. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren ved hjælp af formlen for kvadratet af summen, og nævneren ved hjælp af formlen for kvadratforskellen

2. Divider tæller og nævner med

2. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren. Da tælleren indeholder fire led, bruger vi gruppering.

2. Lad os faktorisere nævneren. Vi kan også bruge gruppering.

3. Lad os skrive den brøk ned, vi fik, og reducere de samme faktorer:

Multiplikation af algebraiske brøker.

Når vi multiplicerer algebraiske brøker, gange vi tælleren med tælleren og gange nævneren med nævneren.

Vigtig! Der er ingen grund til at skynde sig at gange tælleren og nævneren af ​​en brøk. Efter at vi har nedskrevet produktet af tællere af brøkerne i tælleren og produktet af nævnerne i nævneren, skal vi faktorisere hver faktor og reducere brøken.

Lad os se på eksempler:

3. Forenkle udtrykket:

1. Lad os skrive produktet af brøker: i tælleren produktet af tællerne, og i nævneren produktet af nævnerne:

2. Lad os faktorisere hver parentes:

Nu skal vi reducere de samme faktorer. Bemærk, at udtrykkene og kun adskiller sig i tegn: og som et resultat af at dividere det første udtryk med det andet får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker efter følgende regel:

Det vil sige For at dividere med en brøk skal du gange med den "omvendte".

Vi ser, at dividere brøker kommer ned til at gange, og Multiplikation kommer i sidste ende ned på at reducere brøker.

Lad os se på et eksempel:

4. Forenkle udtrykket:

Mål:

1. Pædagogisk- konsolidere opnået viden og færdigheder i at reducere algebraiske brøker ved løsning af mere komplekse øvelser, ved at bruge faktorisering af et polynomium på forskellige måder og udvikle færdigheder i at reducere algebraiske brøker. Gentag forkortede multiplikationsformler: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(en-b) 2 =en 2-2ab+b 2,en 2 -b 2 =(a+b)(en-b), metode til gruppering, hvor den fælles faktor placeres i parentes.

2. Udviklingsmæssigt – udvikling af logisk tænkning for bevidst perception undervisningsmateriale, opmærksomhed, aktivitet af elever i lektionen.

3. Uddannelse - uddannelse af kognitiv aktivitet, dannelse af personlige kvaliteter: nøjagtighed og klarhed af verbalt udtryk af tanker; koncentration og opmærksomhed; vedholdenhed og ansvar, positiv motivation til at studere emnet, nøjagtighed, samvittighedsfuldhed og ansvarsfølelse.

Opgaver:

1. Styrk det undersøgte materiale ved at ændre typer arbejde om dette emne "Algebraisk brøk. Reduktion af fraktioner."

2. Udvikle færdigheder og evner til at reducere algebraiske brøker ved hjælp af forskellige måder faktorisering af tæller og nævner, udvikle logisk tænkning, korrekt og kompetent matematisk tale, udvikling af uafhængighed og tillid til ens viden og færdigheder, når du udfører forskellige typer virker

3. At dyrke interessen for matematik ved at introducere forskellige typer konsolidering af materiale: mundtligt arbejde, arbejde med en lærebog, arbejde ved tavlen, matematisk diktat, test, selvstændigt arbejde, spillet "Matematikturnering"; stimulerende og opmuntrende elevaktiviteter.

Plan:
JEG. Organisatorisk øjeblik.
II . Mundtligt arbejde.
III. Matematisk diktat.
IV.
1.Arbejd efter lærebogen og ved tavlen.
2. Arbejd i grupper ved hjælp af kort - spillet "Matematikturnering".
3. Selvstændigt arbejde efter niveauer (A, B, C).
V. Bundlinjen.
1. Test (gensidig verifikation).
VI. Lektier.

Lektionens fremskridt:

I. Organisatorisk øjeblik.

Lærerens og elevernes følelsesmæssige humør og parathed til lektionen. Eleverne sætter mål og mål - denne lektion, ud fra lærerens ledende spørgsmål, bestemme emnet for lektionen.

II. Mundtligt arbejde.

1. Reducer fraktioner:

2. Find værdien af ​​den algebraiske brøk:
ved c = 8, c = -13, c = 11.
Svar: 6; -1; 3.

3. Besvar spørgsmålene:

1) Hvad er den nyttige rækkefølge at følge, når man faktoriserer polynomier?
(Når man faktoriserer polynomier, er det nyttigt at følge følgende rækkefølge: a) Sæt den fælles faktor ud af parentes, hvis der er en; b) forsøg at faktorisere polynomiet ved hjælp af forkortede multiplikationsformler; c) forsøg at anvende grupperingsmetoden, hvis de tidligere metoder ikke førte til målet).

2) Hvad er kvadratet af summen?
(Kvadratet af summen af ​​to tal er lig med kvadratet af det første tal plus to gange produktet af det første tal og det andet plus kvadratet af det andet tal).

3) Hvad er kvadratet af forskellen?
(Kvadratet af forskellen mellem to tal er lig med kvadratet af det første tal minus to gange produktet af det første tal og det andet plus kvadratet af det andet tal).

4) Hvad er forskellen mellem kvadraterne af to tal?
(Forskellen mellem kvadraterne af to tal er lig med produktet af forskellen mellem disse tal og deres sum).

5) Hvad skal der gøres, når man bruger grupperingsmetoden? (For at faktorisere et polynomium ved hjælp af grupperingsmetoden skal du: a) kombinere medlemmerne af polynomiet i grupper, der har en fælles faktor i form af et polynomium; b) tag denne fælles faktor ud af parentes).
6) For at tage den fælles faktor ud af parentes, har du brug for......?
(Find denne fælles faktor; 2. sæt den ud af parentes).

7) Hvilke metoder kender du til faktorisering af et polynomium?
(Sæt den fælles faktor ud af parentes, grupperingsmetode, forkortede multiplikationsformler).

8) Hvad skal der til for at reducere en brøk?
(For at reducere en brøk skal du dividere tælleren og nævneren med deres fælles faktor.)

III. Matematisk diktat.

1. Understreg algebraiske brøker:

Mulighed I:

Mulighed II:

1. Er det muligt at forestille sig udtrykket

Mulighed I:

Mulighed II:

som polynomium? Kan du forestille dig?

3. Hvilke bogstavværdier er acceptable for udtrykket:
Mulighed I:

Mulighed II:
(x-5)(x+7).

4. Skriv en algebraisk brøk med en tæller
Mulighed I:
3x2.
Mulighed II:
5 år.
og nævner

Mulighed I:
x(x+3).
Mulighed II:
y2 (y+7).
og forkort den.

IV. Konsolidering af emnet: "Algebraisk brøk. Reducerende brøker":

1.Arbejd efter lærebogen og ved tavlen.

Faktorer brøkens tæller og nævner og reducer den.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2.Arbejd i grupper ved hjælp af kort - spillet "Matematikturnering".

(Opgaver til spillet – “Bilag 1”.)
Konsolidering og test af færdigheder i løsning af eksempler om dette emne udføres i form af en turnering. Klassen er inddelt i grupper, og de får opgaver på kort (kort på forskellige niveauer).
Efter en vis tid skal hver elev skrive løsningen på sit holds opgaver ned i en notesbog og kunne forklare dem.
Konsultationer inden for holdet er tilladt (udført af kaptajnen).
Så begynder turneringen: hvert hold har ret til at udfordre andre, men kun én gang. For eksempel kalder kaptajnen på det første hold elever fra det andet hold til at deltage i turneringen; Det samme gør anføreren på andetholdet, de går til brættet, bytter kort og løser problemer osv.

3. Selvstændigt arbejde på niveau (A, B, C)

"Didaktisk materiale" L.I. Zvavich et al., s. 95, C-52 (bogen er tilgængelig for alle elever).
EN . №1: I mulighed-1) a, b; 2) a,c; 5) a.
II mulighed-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Mulighed I - a.
Mulighed II - b.
I . №3: Mulighed I - a.
Mulighed II - b.

V. Bundlinjen.

1. Test (gensidig verifikation).
(Opgaver til testen - “Bilag 2”.)
(på kort til hver elev, alt efter muligheder)

VI. Lektier.

1) "D.M." side 95 nr. 1. (3,4,6);
2) nr. 447 (lige);
3) §24, gentag § 19 - §23.

I denne artikel vil vi gå i detaljer om reduktion af algebraiske brøker. Lad os først finde ud af, hvad der menes med udtrykket "reduktion af en algebraisk brøk" og finde ud af, om en algebraisk brøk altid kan reduceres. Nedenfor præsenterer vi en regel, der gør det muligt at udføre denne transformation. Til sidst vil vi overveje løsninger på typiske eksempler, der giver os mulighed for at forstå alle forviklingerne i processen.

Sidenavigation.

Hvad vil det sige at reducere en algebraisk brøk?

Mens vi studerede, talte vi om deres reduktion. vi kaldte at dividere dens tæller og nævner med en fælles faktor. For eksempel kan den fælles brøk 30/54 reduceres med 6 (det vil sige dens tæller og nævner divideret med 6), hvilket fører os til brøken 5/9.

Ved at reducere en algebraisk brøk mener vi lignende handling. Reducer en algebraisk brøk- det betyder at dividere dens tæller og nævner med en fælles faktor. Men hvis den fælles faktor for tælleren og nævneren almindelig brøk kan kun være et tal, så kan den fælles faktor for tælleren og nævneren af ​​en algebraisk brøk være et polynomium, især et monomial eller et tal.

For eksempel kan en algebraisk brøk reduceres med tallet 3, hvilket giver brøken . Det er også muligt at udføre en kontraktion til variablen x, hvilket resulterer i udtrykket . Den oprindelige algebraiske fraktion kan reduceres med monomialet 3 x, såvel som med et hvilket som helst af polynomierne x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y eller 3 x 2 +6 x y.

Det ultimative mål med at reducere en algebraisk brøk er at opnå en brøkdel af en enklere form, i bedste fald en irreducerbar brøk.

Kan enhver algebraisk brøk reduceres?

Vi ved, at almindelige brøker er opdelt i . Irreducible brøker har ikke fælles faktorer i tælleren og nævneren ud over én, og kan derfor ikke reduceres.

Algebraiske brøker kan have fælles faktorer i tælleren og nævneren. Hvis der er fælles faktorer, er det muligt at reducere en algebraisk brøk. Hvis der ikke er nogen fælles faktorer, så er det umuligt at forenkle en algebraisk brøk ved at reducere den.

Generelt ifølge udseende algebraisk brøk, er det ret svært at afgøre, om den kan reduceres. Selvfølgelig er de fælles faktorer for tælleren og nævneren i nogle tilfælde indlysende. For eksempel ses det tydeligt, at tælleren og nævneren af ​​en algebraisk brøk har en fælles faktor 3. Det er også let at bemærke, at en algebraisk brøk kan reduceres med x, med y eller direkte med x·y. Men meget oftere er den fælles faktor for tælleren og nævneren af ​​en algebraisk brøk ikke umiddelbart synlig, og endnu oftere eksisterer den simpelthen ikke. For eksempel er det muligt at reducere en brøk med x−1, men denne fælles faktor er ikke tydeligt til stede i notationen. Og en algebraisk brøk det er umuligt at reducere, da dets tæller og nævner ikke har fælles faktorer.

Generelt er spørgsmålet om reducerbarheden af ​​en algebraisk brøk meget vanskeligt. Og nogle gange er det lettere at løse et problem ved at arbejde med en algebraisk brøk i sin oprindelige form end at finde ud af, om denne brøk kan reduceres først. Men der er stadig transformationer, der i nogle tilfælde gør det muligt med relativt lille indsats at finde de fælles faktorer for tælleren og nævneren, hvis nogen, eller at konkludere, at den oprindelige algebraiske brøk er irreducerbar. Disse oplysninger vil blive offentliggjort i næste afsnit.

Regel for reduktion af algebraiske brøker

Oplysningerne i de foregående afsnit tillader naturligt opfatter følgende regel for reduktion af algebraiske brøker, som består af to trin:

• først findes de fælles faktorer for tælleren og nævneren for den oprindelige brøk;
• hvis der er nogen, foretages en reduktion af disse faktorer.

De angivne trin i den annoncerede regel skal præciseres.

Mest bekvem måde at finde fælles består i at faktorisere de polynomier, der er i tælleren og nævneren af ​​den oprindelige algebraiske brøk. I dette tilfælde bliver tællerens og nævnerens fælles faktorer umiddelbart synlige, eller det bliver tydeligt, at der ikke er nogen fælles faktorer.

Hvis der ikke er nogen fælles faktorer, kan vi konkludere, at den algebraiske fraktion er irreducerbar. Hvis der findes fælles faktorer, reduceres de i andet trin. Resultatet er en ny brøkdel af en enklere form.

Reglen for reduktion af algebraiske brøker er baseret på den grundlæggende egenskab for en algebraisk brøk, som er udtrykt ved ligheden, hvor a, b og c er nogle polynomier, og b og c er ikke-nul. På det første trin reduceres den oprindelige algebraiske brøk til den form, hvorfra den fælles faktor c bliver synlig, og i det andet trin udføres reduktionen - overgangen til brøken.

Lad os gå videre til at løse eksempler ved hjælp af af denne regel. På dem vil vi analysere alle de mulige nuancer, der opstår, når man faktoriserer tælleren og nævneren af ​​en algebraisk brøk i faktorer og efterfølgende reduktion.

Typiske eksempler

Først skal vi tale om at reducere algebraiske brøker, hvis tæller og nævner er ens. Sådanne fraktioner er identisk lig med én på hele ODZ af de variabler, der er inkluderet i den, f.eks.
osv.

Nu skader det ikke at huske, hvordan man reducerer almindelige brøker - trods alt er de et særligt tilfælde af algebraiske brøker. Naturlige tal i tælleren og nævneren af ​​en fælles brøk, hvorefter de fælles faktorer annulleres (hvis nogen). f.eks. . Produktet af identiske primfaktorer kan skrives i form af potenser og bruges ved forkortelse. I dette tilfælde vil løsningen se sådan ud: , her dividerede vi tælleren og nævneren med en fælles faktor 2 2 3. Eller for større klarhed, baseret på egenskaberne ved multiplikation og division, præsenteres løsningen i formularen.

Absolut lignende principper bruges til at reducere algebraiske brøker, hvis tæller og nævner indeholder monomer med heltalskoefficienter.

Eksempel.

Annuller en algebraisk brøk .

Løsning.

Du kan repræsentere tælleren og nævneren af ​​den oprindelige algebraiske brøk som et produkt af simple faktorer og variabler og derefter udføre reduktionen:

Men det er mere rationelt at skrive løsningen i form af et udtryk med grader:

Svar:

.

Hvad angår reduktionen af ​​algebraiske brøker, der har brøktalskoefficienter i tælleren og nævneren, kan du gøre to ting: enten dividere disse brøkkoefficienter separat, eller først slippe af med brøkkoefficienterne ved at gange tælleren og nævneren med et naturligt tal. Vi talte om den sidste transformation i artiklen, der bringer en algebraisk brøk til en ny nævner, den kan udføres på grund af den grundlæggende egenskab for en algebraisk brøk. Lad os forstå dette med et eksempel.

Eksempel.

Udfør fraktionsreduktion.

Løsning.

Du kan reducere fraktionen som følger: .

Eller du kan først slippe af med brøkkoefficienter ved at gange tælleren og nævneren med nævnerne af disse koefficienter, det vil sige med LCM(5, 10)=10. I dette tilfælde har vi .

Svar:

.

Vi kan gå videre til algebraiske brøker generel opfattelse, hvor tæller og nævner kan indeholde både tal og monomer samt polynomier.

Når man reducerer sådanne brøker, er hovedproblemet, at den fælles faktor for tælleren og nævneren ikke altid er synlig. Desuden eksisterer det ikke altid. For at finde en fælles faktor eller bekræfte dens fravær, skal du faktorisere tælleren og nævneren for en algebraisk brøk.

Eksempel.

Reducer en rationel brøkdel .

Løsning.

For at gøre dette skal du faktorisere polynomierne i tælleren og nævneren. Lad os starte med at sætte det ud af parentes: . Det er klart, at udtrykkene i parentes kan transformeres vha

Indgangsniveau

Konvertering af udtryk. Detaljeret teori (2019)

Konvertering af udtryk

Vi hører ofte denne ubehagelige sætning: "forenkle udtrykket." Normalt ser vi en slags monster som dette:

"Det er meget nemmere," siger vi, men sådan et svar fungerer normalt ikke.

Nu vil jeg lære dig ikke at være bange for sådanne opgaver. Desuden vil du i slutningen af ​​lektionen selv forenkle dette eksempel til (bare!) et almindeligt tal (ja, for helvede med disse bogstaver).

Men før du starter denne lektion, skal du være i stand til at håndtere brøker og faktorpolynomier. Derfor, hvis du ikke har gjort dette før, skal du sørge for at mestre emnerne "" og "".

Har du læst den? Hvis ja, så er du nu klar.

Grundlæggende forenklingsoperationer

Lad os nu se på de grundlæggende teknikker, der bruges til at forenkle udtryk.

Den enkleste er

1. Bringe lignende

Hvad ligner hinanden? Det tog du i 7. klasse, da der først dukkede bogstaver i stedet for tal op i matematik. Lignende er udtryk (monomier) med samme bogstavdel. For eksempel er lignende udtryk og.

Kan du huske?

At bringe lignende betyder at tilføje flere lignende udtryk til hinanden og få ét udtryk.

Hvordan kan vi sætte bogstaverne sammen? - spørger du.

Dette er meget let at forstå, hvis du forestiller dig, at bogstaverne er en slags objekter. For eksempel er et bogstav en stol. Hvad er udtrykket så lig? To stole plus tre stole, hvor mange bliver det? Det er rigtigt, stole:.

Prøv nu dette udtryk: .

For at undgå forvirring, lad forskellige bogstaver repræsentere forskellige objekter. For eksempel - er (som sædvanligt) en stol, og - er et bord. Så:

stole borde stole borde stole stole borde

De tal, som bogstaverne i sådanne termer ganges med, kaldes koefficienter. For eksempel er koefficienten lig i et monomial. Og i det er lige.

Så reglen for at bringe lignende er:

Eksempler:

Giv lignende:

Svar:

2. (og lignende, da disse udtryk derfor har samme bogstavdel).

2. Faktorisering

Dette er normalt den vigtigste del i at forenkle udtryk. Efter at du har givet lignende, skal det resulterende udtryk oftest faktoriseres, det vil sige præsenteret som et produkt. Dette er især vigtigt i brøker: For at kunne reducere en brøk, skal tæller og nævner repræsenteres som et produkt.

Du gennemgik metoderne til faktorisering af udtryk i detaljer i emnet "", så her skal du bare huske, hvad du har lært. For at gøre dette skal du beslutte et par stykker eksempler(skal faktoriseres):

Løsninger:

3. Reduktion af en brøkdel.

Nå, hvad kunne være mere behageligt end at strege en del af tælleren og nævneren ud og smide dem ud af dit liv?

Det er det smukke ved nedtrapning.

Det er enkelt:

Hvis tæller og nævner indeholder de samme faktorer, kan de reduceres, det vil sige fjernes fra brøken.

Denne regel følger af den grundlæggende egenskab for en brøk:

Det vil sige, at essensen af ​​reduktionsoperationen er det Vi dividerer brøkens tæller og nævner med det samme tal (eller med det samme udtryk).

For at reducere en brøkdel skal du:

1) tæller og nævner faktorisere

2) hvis tæller og nævner indeholder fælles faktorer, kan de streges over.

Princippet, tror jeg, er klart?

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på én ting typisk fejl ved kontraktindgåelse. Selvom dette emne er enkelt, gør mange mennesker alt forkert, uden at forstå det reducere- det betyder dele tæller og nævner er det samme tal.

Ingen forkortelser, hvis tælleren eller nævneren er en sum.

For eksempel: Vi skal forenkle.

Nogle mennesker gør dette: hvilket er helt forkert.

Et andet eksempel: reducere.

De "klogeste" vil gøre dette: .

Fortæl mig, hvad der er galt her? Det ser ud til: - dette er en multiplikator, hvilket betyder, at den kan reduceres.

Men nej: - dette er en faktor på kun et led i tælleren, men selve tælleren som helhed er ikke faktoriseret.

Her er et andet eksempel: .

Dette udtryk er faktoriseret, hvilket betyder, at du kan reducere det, det vil sige dividere tælleren og nævneren med og derefter med:

Du kan straks opdele det i:

For at undgå sådanne fejl, husk nem måde hvordan man bestemmer, om et udtryk er faktoriseret:

Den aritmetiske operation, der udføres sidst, når værdien af ​​et udtryk beregnes, er "master"-operationen. Det vil sige, at hvis du erstatter nogle (vilkårlige) tal i stedet for bogstaver og forsøger at beregne værdien af ​​udtrykket, så hvis den sidste handling er multiplikation, så har vi et produkt (udtrykket er faktoriseret). Hvis den sidste handling er addition eller subtraktion, betyder det, at udtrykket ikke er faktoriseret (og derfor ikke kan reduceres).

For at konsolidere, løs nogle få selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håber ikke du straks skyndte dig at klippe og? Det var stadig ikke nok at "reducere" enheder som dette:

Det første trin bør være faktorisering:

4. Addere og trække brøker fra. Reduktion af brøker til en fællesnævner.

Addition og subtraktion almindelige brøker- operationen er velkendt: vi leder efter en fællesnævner, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtraherer tællerne. Lad os huske:

Svar:

1. Nævnerne og er relativt prime, det vil sige, at de ikke har fælles faktorer. Derfor er LCM af disse tal lig med deres produkt. Dette vil være fællesnævneren:

2. Her er fællesnævneren:

3. Første ting her blandede fraktioner vi gør dem til forkerte og følger derefter det sædvanlige mønster:

Det er en helt anden sag, hvis brøkerne indeholder bogstaver, for eksempel:

Lad os starte med noget simpelt:

a) Nævnere indeholder ikke bogstaver

Her er alt det samme som med almindelige numeriske brøker: vi finder fællesnævneren, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtrahere tællerne:

Nu i tælleren kan du give lignende, hvis nogen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nævnere indeholder bogstaver

Lad os huske princippet om at finde en fællesnævner uden bogstaver:

· først og fremmest bestemmer vi de fælles faktorer;

· så skriver vi alle de fælles faktorer ud én ad gangen;

· og gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

For at bestemme de fælles faktorer for nævnerne, indregner vi dem først i primfaktorer:

Lad os understrege de fælles faktorer:

Lad os nu skrive de fælles faktorer ud én ad gangen og tilføje alle de ikke-almindelige (ikke understregede) faktorer til dem:

Dette er fællesnævneren.

Lad os vende tilbage til bogstaverne. Nævnerne er givet på nøjagtig samme måde:

· indregne nævnerne;

· bestemme fælles (identiske) faktorer;

· skrive alle fælles faktorer én gang;

· gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

Så i rækkefølge:

1) faktor nævnerne:

2) bestemme fælles (identiske) faktorer:

3) skriv alle fælles faktorer ud én gang og gange dem med alle andre (ikke understregede) faktorer:

Så der er en fællesnævner her. Den første brøk skal ganges med, den anden med:

Forresten er der et trick:

For eksempel:.

Vi ser de samme faktorer i nævnerne, kun alle med forskellige indikatorer. Fællesnævneren vil være:

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad.

Lad os komplicere opgaven:

Hvordan får man brøker til at have samme nævner?

Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk:

Ingen steder står der, at det samme tal kan trækkes fra (eller adderes) fra tælleren og nævneren af ​​en brøk. For det er ikke sandt!

Se for dig selv: Tag en hvilken som helst brøk, for eksempel, og læg et tal til tælleren og nævneren, for eksempel. Hvad lærte du?

Så en anden urokkelig regel:

Når du reducerer brøker til en fællesnævner, skal du kun bruge multiplikationsoperationen!

Men hvad skal du gange med for at få?

Så gange med. Og gange med:

Vi vil kalde udtryk, der ikke kan faktoriseres, "elementære faktorer". For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nej: det kan faktoriseres.

Hvad med udtrykket? Er det elementært?

Nej, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede læst om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorer, som du dekomponerer et udtryk i med bogstaver, er en analog af de simple faktorer, som du nedbryder tal i. Og vi vil håndtere dem på samme måde.

Vi ser, at begge nævnere har en multiplikator. Det vil gå til fællesnævneren til den grad (husk hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en fælles faktor, hvilket betyder, at den første brøk blot skal ganges med den:

Et andet eksempel:

Løsning:

Før du multiplicerer disse nævnere i panik, er du nødt til at tænke over, hvordan du kan faktorisere dem? De repræsenterer begge:

Stor! Så:

Et andet eksempel:

Løsning:

Lad os som sædvanlig faktorisere nævnerne. I den første nævner sætter vi det ganske enkelt uden for parentes; i den anden - forskellen mellem kvadrater:

Det ser ud til, at der ikke er nogen fælles faktorer. Men hvis du ser godt efter, ligner de hinanden... Og det er sandt:

Så lad os skrive:

Det vil sige, det blev sådan her: inde i parentesen byttede vi vilkårene, og samtidig skiftede tegnet foran brøken til det modsatte. Bemærk, du bliver nødt til at gøre dette ofte.

Lad os nu bringe det til en fællesnævner:

Har du det? Lad os tjekke det nu.

Opgaver til selvstændig løsning:

Svar:

Her skal vi huske en ting mere - forskellen på terninger:

Bemærk venligst, at nævneren i den anden brøk ikke indeholder formlen "kvadrat af summen"! Kvadraten af ​​summen ville se sådan ud: .

A er det såkaldte ufuldstændige kvadrat af summen: det andet led i det er produktet af det første og det sidste, og ikke deres dobbeltprodukt. Summens partialkvadrat er en af ​​faktorerne i udvidelsen af ​​forskellen på terninger:

Hvad skal man gøre, hvis der allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først og fremmest, lad os sikre os det maksimal mængde faktorerne i nævnerne var de samme:

Bemærk venligst: Hvis du ændrer tegnene inden for den ene parentes, ændres tegnet foran brøken til det modsatte. Når vi ændrer fortegnene i anden parentes, skifter tegnet foran brøken igen til det modsatte. Som følge heraf er det (tegnet foran brøken) ikke ændret.

Vi skriver hele den første nævner ud i fællesnævneren, og tilføjer så alle de faktorer, der endnu ikke er skrevet, fra den anden og derefter fra den tredje (og så videre, hvis der er flere brøker). Det vil sige, det bliver sådan her:

Hmm... Det er klart, hvad man skal gøre med brøker. Men hvad med de to?

Det er enkelt: du ved, hvordan man tilføjer brøker, ikke? Så vi skal få to til at blive en brøkdel! Lad os huske: en brøk er en divisionsoperation (tælleren divideres med nævneren, hvis du har glemt det). Og der er ikke noget nemmere end at dividere et tal med. I dette tilfælde ændres tallet ikke i sig selv, men bliver til en brøk:

Lige hvad du har brug for!

5. Multiplikation og division af brøker.

Nå, den sværeste del er forbi nu. Og foran os er det enkleste, men samtidig det vigtigste:

Procedure

Hvad er proceduren for optælling? numerisk udtryk? Husk ved at beregne betydningen af ​​dette udtryk:

Har du talt?

Det burde virke.

Så lad mig minde dig om.

Det første skridt er at beregne graden.

Den anden er multiplikation og division. Hvis der er flere gange og divisioner på samme tid, kan de udføres i vilkårlig rækkefølge.

Og til sidst udfører vi addition og subtraktion. Igen, i vilkårlig rækkefølge.

Men: udtrykket i parentes vurderes ude af tur!

Hvis flere parenteser ganges eller divideres med hinanden, beregner vi først udtrykket i hver af parenteserne, og derefter gange eller dividere dem.

Hvad hvis der er flere beslag inde i beslagene? Nå, lad os tænke: et eller andet udtryk er skrevet inden for parentes. Når du beregner et udtryk, hvad skal du så gøre først? Det er rigtigt, beregn parenteserne. Nå, vi fandt ud af det: først beregner vi de indre parenteser, så alt andet.

Så proceduren for udtrykket ovenfor er som følger (den aktuelle handling er fremhævet med rødt, det vil sige den handling, jeg udfører lige nu):

Okay, det hele er enkelt.

Men det er ikke det samme som et udtryk med bogstaver?

Nej, det er det samme! Kun i stedet for aritmetiske operationer du skal lave algebraisk, det vil sige handlingerne beskrevet i det foregående afsnit: bringe lignende, tilføjelse af brøker, reduktion af brøker og så videre. Den eneste forskel vil være handlingen med at faktorisere polynomier (vi bruger ofte dette, når vi arbejder med brøker). For at faktorisere skal du oftest bruge I eller blot sætte den fælles faktor ud af parentes.

Normalt er vores mål at repræsentere udtrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

Lad os forenkle udtrykket.

1) Først forenkler vi udtrykket i parentes. Der har vi en brøkforskel, og vores mål er at præsentere det som et produkt eller en kvotient. Så vi bringer brøkerne til en fællesnævner og tilføjer:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk yderligere, alle faktorerne her er elementære (kan du stadig huske, hvad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation af brøker: hvad kunne være enklere.

3) Nu kan du forkorte:

Nå, det er alt. Intet kompliceret, vel?

Et andet eksempel:

Forenkle udtrykket.

Prøv først at løse det selv, og se først derefter på løsningen.

Først og fremmest, lad os bestemme rækkefølgen af ​​handlinger. Lad os først tilføje brøkerne i parentes, så i stedet for to brøker får vi én. Så laver vi division af brøker. Nå, lad os tilføje resultatet med den sidste brøk. Jeg vil nummerere trinene skematisk:

Nu vil jeg vise dig processen og tone den aktuelle handling i rødt:

Til sidst vil jeg give dig to nyttige tips:

1. Er der lignende, skal de straks medbringes. På hvilket tidspunkt lignende opstår i vores land, er det tilrådeligt at bringe dem op med det samme.

2. Det samme gælder for reducerende fraktioner: Så snart muligheden for at reducere opstår, skal den udnyttes. Undtagelsen er for brøker, som du tilføjer eller trækker fra: hvis de nu har de samme nævnere, så skal reduktionen stå til senere.

Her er nogle opgaver, du kan løse på egen hånd:

Og hvad der blev lovet i begyndelsen:

Løsninger (kort):

Hvis du har klaret mindst de tre første eksempler, så anser dig selv for at have mestret emnet.

Nu til at lære!

KONVERTERING AF UDTRYK. RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

Grundlæggende forenklingsoperationer:

• Medbringer lignende: for at tilføje (reducere) lignende udtryk skal du tilføje deres koefficienter og tildele bogstavdelen.
• Faktorisering: sætte den fælles faktor ud af parentes, anvende den osv.
• Reduktion af en brøkdel: En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul, hvilket ikke ændrer brøkens værdi.
  1) tæller og nævner faktorisere
  2) hvis tæller og nævner har fælles faktorer, kan de streges over.

  VIGTIGT: Kun multiplikatorer kan reduceres!

• Addere og trække brøker fra:
  ;
• Multiplikation og division af brøker:
  ;