I begyndelsen af ​​lektionen vil vi gennemgå de grundlæggende egenskaber kvadratrødder, og overvej så et par stykker komplekse eksempler at forenkle udtryk, der indeholder kvadratrødder.

Emne:Fungere. Egenskaber kvadratrod

Lektie:Konvertering og forenkling af mere komplekse udtryk med rødder

1. Gennemgang af kvadratrøddernes egenskaber

Lad os kort gentage teorien og huske kvadratrøddernes grundlæggende egenskaber.

Egenskaber af kvadratrødder:

1. derfor,;

3. ;

4. .

2. Eksempler på forenkling af udtryk med rødder

Lad os gå videre til eksempler på brug af disse egenskaber.

Eksempel 1: Simplificere et udtryk .

Løsning. For at forenkle skal tallet 120 faktoriseres til primfaktorer:

Vi vil afsløre kvadratet af summen ved at bruge den passende formel:

Eksempel 2: Simplificere et udtryk .

Løsning. Lad os tage i betragtning, at dette udtryk ikke giver mening for alle mulige værdier variabel, fordi dette udtryk indeholder kvadratrødder og brøker, hvilket fører til en "indsnævring" af arealet acceptable værdier. ODZ: ().

Lad os bringe udtrykket i parentes til fællesnævneren og skrive tælleren for den sidste brøk som forskellen mellem kvadrater:

Svar. på.

Eksempel 3: Simplificere et udtryk .

Løsning. Det kan ses, at den anden tællerparentes har et ubekvemt udseende og skal forenkles, lad os prøve at faktorisere det ved hjælp af grupperingsmetoden.

For at kunne udlede en fælles faktor, forenklede vi rødderne ved at faktorisere dem. Lad os erstatte det resulterende udtryk i den oprindelige fraktion:

Efter at have reduceret brøken, anvender vi forskellen mellem kvadraters formel.

3. Et eksempel på at slippe af med irrationalitet

Eksempel 4. Frigør dig fra irrationalitet (rødder) i nævneren: a) ; b) .

Løsning. a) For at slippe af med irrationalitet i nævneren bruges standardmetoden til at gange både tæller og nævner af en brøk med den konjugerede faktor til nævneren (samme udtryk, men med modsat fortegn). Dette gøres for at komplementere brøkens nævner til forskellen af ​​kvadrater, hvilket giver dig mulighed for at slippe af med rødderne i nævneren. Lad os gøre dette i vores tilfælde:

b) udføre lignende handlinger:

4. Eksempel på bevis og identifikation af et komplet kvadrat i en kompleks radikal

Eksempel 5. Bevis ligestilling .

Bevis. Lad os bruge definitionen af ​​en kvadratrod, hvoraf det følger, at kvadratet på højrehåndsudtrykket skal være lig med det radikale udtryk:

. Lad os åbne parenteserne ved at bruge formlen for kvadratet af summen:

, vi fik den rigtige ligestilling.

Bevist.

Eksempel 6. Forenkle udtrykket.

Løsning. Dette udtryk kaldes normalt en kompleks radikal (rod under rod). I i dette eksempel du skal gætte for at isolere en komplet firkant fra det radikale udtryk. For at gøre dette skal du bemærke, at af de to udtryk er det en kandidat til rollen som dobbelt produkt i formlen for kvadratforskellen (forskel, da der er et minus). Lad os skrive det i form af følgende produkt: , så hævder 1 at være et af led i et komplet kvadrat, og 1 hævder at være det andet.

Lad os erstatte dette udtryk under roden.

Indgangsniveau

Konvertering af udtryk. Detaljeret teori (2019)

Konvertering af udtryk

Vi hører ofte denne ubehagelige sætning: "forenkle udtrykket." Normalt ser vi en slags monster som dette:

"Det er meget enklere," siger vi, men sådan et svar fungerer normalt ikke.

Nu vil jeg lære dig ikke at være bange for sådanne opgaver. Desuden vil du i slutningen af ​​lektionen selv forenkle dette eksempel til (bare!) et almindeligt tal (ja, for helvede med disse bogstaver).

Men før du starter denne lektion, skal du være i stand til at håndtere brøker og faktorpolynomier. Derfor, hvis du ikke har gjort dette før, skal du sørge for at mestre emnerne "" og "".

Har du læst den? Hvis ja, så er du nu klar.

Grundlæggende forenklingsoperationer

Lad os nu se på de grundlæggende teknikker, der bruges til at forenkle udtryk.

Den enkleste er

1. Bringe lignende

Hvad ligner hinanden? Det tog du i 7. klasse, da der først dukkede bogstaver i stedet for tal op i matematik. Lignende er udtryk (monomier) med samme bogstavdel. For eksempel i summen er lignende udtryk og.

Kan du huske?

At bringe lignende betyder at tilføje flere lignende udtryk til hinanden og få ét udtryk.

Hvordan kan vi sætte bogstaverne sammen? - spørger du.

Dette er meget let at forstå, hvis du forestiller dig, at bogstaverne er en slags objekter. For eksempel er et bogstav en stol. Hvad er udtrykket så lig? To stole plus tre stole, hvor mange bliver det? Det er rigtigt, stole:.

Prøv nu dette udtryk: .

For at undgå forvirring, lad forskellige bogstaver repræsentere forskellige objekter. For eksempel - er (som sædvanligt) en stol, og - er et bord. Så:

stole borde stole borde stole stole borde

De tal, som bogstaverne i sådanne termer ganges med, kaldes koefficienter. For eksempel er koefficienten lig i et monomial. Og i det er lige.

Så reglen for at bringe lignende er:

Eksempler:

Giv lignende:

Svar:

2. (og lignende, da disse udtryk derfor har samme bogstavdel).

2. Faktorisering

Dette er normalt den vigtigste del i at forenkle udtryk. Efter at du har givet lignende, skal det resulterende udtryk oftest faktoriseres, det vil sige præsenteret som et produkt. Dette er især vigtigt i brøker: For at kunne reducere en brøk, skal tæller og nævner repræsenteres som et produkt.

Du gennemgik metoderne til faktorisering af udtryk i detaljer i emnet "", så her skal du bare huske, hvad du har lært. For at gøre dette skal du beslutte et par stykker eksempler(skal faktoriseres):

Løsninger:

3. Reduktion af en brøkdel.

Nå, hvad kunne være mere behageligt end at strege en del af tælleren og nævneren ud og smide dem ud af dit liv?

Det er det smukke ved nedtrapning.

Det er enkelt:

Hvis tæller og nævner indeholder de samme faktorer, kan de reduceres, det vil sige fjernes fra brøken.

Denne regel følger af den grundlæggende egenskab for en brøk:

Det vil sige, at essensen af ​​reduktionsoperationen er det Vi dividerer brøkens tæller og nævner med det samme tal (eller med det samme udtryk).

For at reducere en brøkdel skal du:

1) tæller og nævner faktorisere

2) hvis tæller og nævner indeholder fælles faktorer, kan de streges over.

Princippet, tror jeg, er klart?

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på én ting typisk fejl ved kontraktindgåelse. Selvom dette emne er enkelt, gør mange mennesker alt forkert, uden at forstå det reducere- det betyder dele tæller og nævner er det samme tal.

Ingen forkortelser, hvis tælleren eller nævneren er en sum.

For eksempel: Vi skal forenkle.

Nogle mennesker gør dette: hvilket er helt forkert.

Et andet eksempel: reducere.

De "klogeste" vil gøre dette: .

Fortæl mig, hvad der er galt her? Det ser ud til: - dette er en multiplikator, hvilket betyder, at den kan reduceres.

Men nej: - dette er en faktor på kun et led i tælleren, men selve tælleren som helhed er ikke faktoriseret.

Her er et andet eksempel: .

Dette udtryk er faktoriseret, hvilket betyder, at du kan reducere det, det vil sige dividere tælleren og nævneren med og derefter med:

Du kan straks opdele det i:

For at undgå sådanne fejl, husk nem måde hvordan man bestemmer, om et udtryk er faktoriseret:

Den aritmetiske operation, der udføres sidst, når værdien af ​​et udtryk beregnes, er "master"-operationen. Det vil sige, at hvis du erstatter nogle (vilkårlige) tal i stedet for bogstaver og forsøger at beregne værdien af ​​udtrykket, så hvis den sidste handling er multiplikation, så har vi et produkt (udtrykket er faktoriseret). Hvis den sidste handling er addition eller subtraktion, betyder det, at udtrykket ikke er faktoriseret (og derfor ikke kan reduceres).

For at konsolidere, løs nogle få selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håber ikke du straks skyndte dig at klippe og? Det var stadig ikke nok at "reducere" enheder som dette:

Det første trin bør være faktorisering:

4. Addere og trække brøker fra. Reduktion af brøker til en fællesnævner.

Addition og subtraktion almindelige brøker- operationen er velkendt: vi leder efter en fællesnævner, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtraherer tællerne. Lad os huske:

Svar:

1. Nævnerne og er relativt prime, det vil sige, at de ikke har fælles faktorer. Derfor er LCM af disse tal lig med deres produkt. Dette vil være fællesnævneren:

2. Her er fællesnævneren:

3. Første ting her blandede fraktioner vi forvandler dem til forkerte, og følger derefter det sædvanlige mønster:

Det er en helt anden sag, hvis brøkerne indeholder bogstaver, for eksempel:

Lad os starte med noget simpelt:

a) Nævnere indeholder ikke bogstaver

Her er alt det samme som med almindelige numeriske brøker: vi finder fællesnævneren, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtrahere tællerne:

Nu i tælleren kan du give lignende, hvis nogen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nævnere indeholder bogstaver

Lad os huske princippet om at finde en fællesnævner uden bogstaver:

· først og fremmest bestemmer vi de fælles faktorer;

· så skriver vi alle de fælles faktorer ud én ad gangen;

· og gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

For at bestemme de fælles faktorer for nævnerne, indregner vi dem først i primfaktorer:

Lad os understrege de fælles faktorer:

Lad os nu skrive de fælles faktorer ud én ad gangen og tilføje alle de ikke-almindelige (ikke understregede) faktorer til dem:

Dette er fællesnævneren.

Lad os vende tilbage til bogstaverne. Nævnerne er givet på nøjagtig samme måde:

· indregne nævnerne;

· bestemme fælles (identiske) faktorer;

· skrive alle fælles faktorer én gang;

· gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

Så i rækkefølge:

1) faktor nævnerne:

2) bestemme fælles (identiske) faktorer:

3) skriv alle fælles faktorer ud én gang og gange dem med alle andre (ikke understregede) faktorer:

Så der er en fællesnævner her. Den første brøk skal ganges med, den anden med:

Forresten er der et trick:

For eksempel:.

Vi ser de samme faktorer i nævnerne, kun alle med forskellige indikatorer. Fællesnævneren vil være:

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad.

Lad os komplicere opgaven:

Hvordan får man brøker til at have samme nævner?

Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk:

Ingen steder står der, at det samme tal kan trækkes fra (eller adderes) fra tælleren og nævneren af ​​en brøk. For det er ikke sandt!

Se for dig selv: Tag en hvilken som helst brøk, for eksempel, og læg et tal til tælleren og nævneren, for eksempel. Hvad lærte du?

Så en anden urokkelig regel:

Når du reducerer brøker til en fællesnævner, skal du kun bruge multiplikationsoperationen!

Men hvad skal du gange med for at få?

Så gange med. Og gange med:

Vi vil kalde udtryk, der ikke kan faktoriseres, "elementære faktorer". For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nej: det kan faktoriseres.

Hvad med udtrykket? Er det elementært?

Nej, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede læst om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorer, som du dekomponerer et udtryk i med bogstaver, er en analog af de simple faktorer, som du nedbryder tal i. Og vi vil håndtere dem på samme måde.

Vi ser, at begge nævnere har en multiplikator. Det vil gå til fællesnævneren til den grad (husk hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en fælles faktor, hvilket betyder, at den første brøk blot skal ganges med den:

Et andet eksempel:

Løsning:

Før du multiplicerer disse nævnere i panik, er du nødt til at tænke over, hvordan du kan faktorisere dem? De repræsenterer begge:

Stor! Så:

Et andet eksempel:

Løsning:

Lad os som sædvanlig faktorisere nævnerne. I den første nævner sætter vi det ganske enkelt uden for parentes; i den anden - forskellen mellem kvadrater:

Det ser ud til, at der ikke er nogen fælles faktorer. Men hvis du ser godt efter, ligner de hinanden... Og det er sandt:

Så lad os skrive:

Det vil sige, det blev sådan her: inde i parentesen byttede vi vilkårene, og samtidig skiftede tegnet foran brøken til det modsatte. Bemærk, du bliver nødt til at gøre dette ofte.

Lad os nu bringe det til en fællesnævner:

Har du det? Lad os tjekke det nu.

Opgaver til selvstændig løsning:

Svar:

Her skal vi huske en ting mere - forskellen på terninger:

Bemærk venligst, at nævneren i den anden brøk ikke indeholder formlen "kvadrat af summen"! Kvadraten af ​​summen ville se sådan ud: .

A er det såkaldte ufuldstændige kvadrat af summen: det andet led i det er produktet af det første og det sidste, og ikke deres dobbeltprodukt. Summens partialkvadrat er en af ​​faktorerne i udvidelsen af ​​forskellen på terninger:

Hvad skal man gøre, hvis der allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først og fremmest, lad os sikre os det maksimal mængde faktorerne i nævnerne var de samme:

Bemærk venligst: Hvis du ændrer tegnene inden for den ene parentes, ændres tegnet foran brøken til det modsatte. Når vi ændrer fortegnene i anden parentes, skifter tegnet foran brøken igen til det modsatte. Som følge heraf er det (tegnet foran brøken) ikke ændret.

Vi skriver hele den første nævner ud i fællesnævneren, og tilføjer så alle de faktorer, der endnu ikke er skrevet, fra den anden og derefter fra den tredje (og så videre, hvis der er flere brøker). Det vil sige, det bliver sådan her:

Hmm... Det er klart, hvad man skal gøre med brøker. Men hvad med de to?

Det er enkelt: du ved, hvordan man tilføjer brøker, ikke? Så vi skal få to til at blive en brøkdel! Lad os huske: en brøk er en divisionsoperation (tælleren divideres med nævneren, hvis du har glemt det). Og der er ikke noget nemmere end at dividere et tal med. I dette tilfælde ændres tallet ikke i sig selv, men bliver til en brøk:

Lige hvad du har brug for!

5. Multiplikation og division af brøker.

Nå, den sværeste del er forbi nu. Og foran os er det enkleste, men samtidig det vigtigste:

Procedure

Hvad er proceduren for at beregne et numerisk udtryk? Husk ved at beregne betydningen af ​​dette udtryk:

Har du talt?

Det burde virke.

Så lad mig minde dig om.

Det første skridt er at beregne graden.

Den anden er multiplikation og division. Hvis der er flere gange og divisioner på samme tid, kan de udføres i vilkårlig rækkefølge.

Og til sidst udfører vi addition og subtraktion. Igen, i vilkårlig rækkefølge.

Men: udtrykket i parentes vurderes ude af tur!

Hvis flere parenteser ganges eller divideres med hinanden, beregner vi først udtrykket i hver af parenteserne, og derefter gange eller dividere dem.

Hvad hvis der er flere beslag inde i beslagene? Nå, lad os tænke: et eller andet udtryk er skrevet inden for parentes. Når du beregner et udtryk, hvad skal du så gøre først? Det er rigtigt, beregn parenteserne. Nå, vi fandt ud af det: først beregner vi de indre parenteser, så alt andet.

Så proceduren for udtrykket ovenfor er som følger (den aktuelle handling er fremhævet med rødt, det vil sige den handling, jeg udfører lige nu):

Okay, det hele er enkelt.

Men det er ikke det samme som et udtryk med bogstaver?

Nej, det er det samme! Kun i stedet for aritmetiske operationer du skal lave algebraisk, det vil sige handlingerne beskrevet i det foregående afsnit: bringe lignende, tilføjelse af brøker, reduktion af brøker og så videre. Den eneste forskel vil være handlingen med at faktorisere polynomier (vi bruger ofte dette, når vi arbejder med brøker). For at faktorisere skal du oftest bruge I eller blot sætte den fælles faktor ud af parentes.

Normalt er vores mål at repræsentere udtrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

Lad os forenkle udtrykket.

1) Først forenkler vi udtrykket i parentes. Der har vi en brøkforskel, og vores mål er at præsentere det som et produkt eller en kvotient. Så vi bringer brøkerne til en fællesnævner og tilføjer:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk yderligere, alle faktorerne her er elementære (kan du stadig huske, hvad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation af brøker: hvad kunne være enklere.

3) Nu kan du forkorte:

Nå, det er alt. Intet kompliceret, vel?

Et andet eksempel:

Forenkle udtrykket.

Prøv først at løse det selv, og se først derefter på løsningen.

Først og fremmest, lad os bestemme rækkefølgen af ​​handlinger. Lad os først tilføje brøkerne i parentes, så i stedet for to brøker får vi én. Så laver vi division af brøker. Nå, lad os tilføje resultatet med den sidste brøk. Jeg vil nummerere trinene skematisk:

Nu vil jeg vise dig processen og tone den aktuelle handling i rødt:

Til sidst vil jeg give dig to nyttige tips:

1. Er der lignende, skal de straks medbringes. På hvilket tidspunkt lignende opstår i vores land, er det tilrådeligt at bringe dem op med det samme.

2. Det samme gælder for reducerende fraktioner: Så snart muligheden for at reducere opstår, skal den udnyttes. Undtagelsen er for brøker, som du tilføjer eller trækker fra: hvis de nu har samme nævnere, så skal reduktionen stå til senere.

Her er nogle opgaver, du kan løse på egen hånd:

Og hvad der blev lovet i begyndelsen:

Løsninger (kort):

Hvis du har klaret mindst de tre første eksempler, så anser dig selv for at have mestret emnet.

Nu til at lære!

KONVERTERING AF UDTRYK. RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

Grundlæggende forenklingsoperationer:

• Medbringer lignende: for at tilføje (reducere) lignende udtryk skal du tilføje deres koefficienter og tildele bogstavdelen.
• Faktorisering: sætte den fælles faktor ud af parentes, anvende den osv.
• Reduktion af en brøkdel: En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul, hvilket ikke ændrer brøkens værdi.
  1) tæller og nævner faktorisere
  2) hvis tæller og nævner har fælles faktorer, kan de overstreges.

  VIGTIGT: Kun multiplikatorer kan reduceres!

• Addere og trække brøker fra:
  ;
• Multiplikation og division af brøker:
  ;

Ethvert sprog kan udtrykke den samme information med forskellige ord og revolutioner. Matematisk sprog er ingen undtagelse. Men det samme udtryk kan skrives ækvivalent på forskellige måder. Og i nogle situationer er en af ​​posterne enklere. Vi vil tale om at forenkle udtryk i denne lektion.

Folk kommunikerer videre forskellige sprog. For os vigtig sammenligning er parret "russisk sprog - matematisk sprog". Den samme information kan kommunikeres på forskellige sprog. Men udover dette kan det udtales på forskellige måder på ét sprog.

For eksempel: "Petya er venner med Vasya", "Vasya er venner med Petya", "Petya og Vasya er venner". Sagt forskelligt, men det samme. Ud fra enhver af disse sætninger ville vi forstå, hvad vi taler om.

Lad os se på denne sætning: "Drengen Petya og drengen Vasya er venner." Vi forstår, hvad vi mener vi taler om. Vi kan dog ikke lide lyden af ​​denne sætning. Kan vi ikke forenkle det, sige det samme, men enklere? "Dreng og dreng" - du kan sige en gang: "Drenge Petya og Vasya er venner."

"Drenge"... Står det ikke klart ud fra deres navne, at de ikke er piger? Vi fjerner "drengene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat blev den første, lange, grimme sætning erstattet med et tilsvarende udsagn, der er lettere at sige og lettere at forstå. Vi har forenklet denne sætning. At forenkle betyder at sige det mere enkelt, men ikke at miste eller fordreje betydningen.

I matematisk sprog der sker nogenlunde det samme. Det samme kan siges, skrevet anderledes. Hvad vil det sige at forenkle et udtryk? Det betyder, at der for det oprindelige udtryk er mange ækvivalente udtryk, det vil sige dem, der betyder det samme. Og fra al denne variation skal vi vælge den enkleste, efter vores mening, eller den mest egnede til vores videre formål.

Overvej f.eks. det numeriske udtryk . Det vil svare til.

Det vil også svare til de to første: .

Det viser sig, at vi har forenklet vores udtryk og fundet det korteste ækvivalente udtryk.

For numeriske udtryk du skal altid udføre alle handlingerne og få det tilsvarende udtryk i form af et enkelt tal.

Lad os se på et eksempel på et bogstaveligt udtryk . Det er klart, at det bliver enklere.

Når man forenkler bogstavelige udtryk det er nødvendigt at udføre alle mulige handlinger.

Er det altid nødvendigt at forenkle et udtryk? Nej, nogle gange vil det være mere bekvemt for os at have en tilsvarende, men længere adgang.

Eksempel: du skal trække et tal fra et tal.

Det er muligt at beregne, men hvis det første tal var repræsenteret ved dets ækvivalente notation: , så ville beregningerne være øjeblikkelige: .

Det vil sige, at et forenklet udtryk ikke altid er gavnligt for os til yderligere beregninger.

Ikke desto mindre står vi meget ofte over for en opgave, der bare lyder som "forenkle udtrykket."

Forenkle udtrykket: .

Løsning

1) Udfør handlingerne i første og anden parentes: .

2) Lad os beregne produkterne: .

Det sidste udtryk har naturligvis en enklere form end det oprindelige. Vi har forenklet det.

For at forenkle udtrykket skal det erstattes med et ækvivalent (lige).

For at bestemme det ækvivalente udtryk skal du bruge:

1) udføre alle mulige handlinger,

2) bruge egenskaberne addition, subtraktion, multiplikation og division til at forenkle beregninger.

Egenskaber for addition og subtraktion:

1. Kommutativ egenskab ved addition: omarrangering af vilkårene ændrer ikke summen.

2. Kombinationsegenskab for addition: For at tilføje et tredje tal til summen af ​​to tal, kan du tilføje summen af ​​det andet og tredje tal til det første tal.

3. Egenskaben ved at trække en sum fra et tal: for at trække en sum fra et tal, kan du trække hvert led separat.

Egenskaber ved multiplikation og division

1. Kommutativ egenskab ved multiplikation: omarrangering af faktorerne ændrer ikke produktet.

2. Kombinativ egenskab: for at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med den anden faktor.

3. Fordelingsegenskab ved multiplikation: For at gange et tal med en sum, skal du gange det med hvert led separat.

Lad os se, hvordan vi rent faktisk laver mentale beregninger.

Beregne:

Løsning

1) Lad os forestille os hvordan

2) Lad os forestille os den første faktor som summen af ​​bitled og udføre multiplikationen:

3) du kan forestille dig hvordan og udføre multiplikation:

4) Erstat den første faktor med en tilsvarende sum:

Fordelingsloven kan også bruges i bagsiden: .

Følg disse trin:

1) 2)

Løsning

1) For nemheds skyld kan du bruge fordelingsloven, kun bruge den i den modsatte retning - tag den fælles faktor ud af parentes.

2) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes

Det er nødvendigt at købe linoleum til køkkenet og gangen. Køkkenafdeling - , gang - . Der er tre typer linoleum: for og rubler for. Hvor meget vil hver koste? tre typer linoleum? (Fig. 1)

Ris. 1. Illustration til problemformuleringen

Løsning

Metode 1. Du kan separat finde ud af, hvor mange penge det vil tage at købe linoleum til køkkenet, og derefter lægge det i gangen og tilføje de resulterende produkter.

Afsnit 5 UDTRYK OG LIGNINGER

I dette afsnit lærer du:

ü o udtryk og deres forenklinger;

ü hvad er egenskaberne ved ligheder;

ü hvordan man løser ligninger baseret på egenskaber af ligheder;

ü hvilke typer problemer løses ved hjælp af ligninger; hvad er vinkelrette linjer og hvordan man bygger dem;

ü hvilke linjer kaldes parallelle og hvordan man bygger dem;

ü hvad er et koordinatplan?

ü hvordan man bestemmer koordinaterne for et punkt på et plan;

ü hvad er en graf over forholdet mellem mængder og hvordan man konstruerer det;

ü hvordan man anvender det undersøgte materiale i praksis

§ 30. UDTRYK OG DERES FORENKLING

Du ved allerede, hvad bogstavudtryk er og ved, hvordan du forenkler dem ved hjælp af lovene om addition og multiplikation. For eksempel, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . I det resulterende udtryk kaldes tallet -8 udtrykkets koefficient.

Gør udtrykket CD koefficient? Så. Det er lig med 1 fordi cd - 1 ∙ cd .

Husk at konvertere et udtryk med parentes til et udtryk uden parentes kaldes at udvide parenteserne. For eksempel: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Den omvendte handling i dette eksempel er at tage den fælles faktor ud af parentes.

Udtryk, der indeholder de samme bogstavfaktorer, kaldes lignende udtryk. Ved at tage den fælles faktor ud af parentes hæves lignende udtryk:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Regler for åbning af parenteser

1. Hvis der er et "+"-tegn foran beslagene, så bevares tegnene på termerne i parenteserne, når beslagene åbnes;

2. Hvis der er et "-"-tegn foran parenteserne, så når parenteserne åbnes, ændres fortegnene for termerne i parentesen til det modsatte.

Opgave 1. Forenkle udtrykket:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 år -(-8 + 7 år).

Løsninger. 1. Før parenteserne er der et "+"-tegn, så når du åbner parenteserne, bevares fortegnene for alle termer:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Før parenteserne er der et "-"-tegn, så når du åbner parenteserne: fortegnene på alle termer er omvendt:

15 - (- 8 + 7 år) = 15 år + 8 - 7 år = 8 år +8.

For at åbne parenteserne skal du bruge den fordelende egenskab for multiplikation: a( b + c) = ab + ac. Hvis a > 0, så er vilkårenes tegn b og med ikke ændres. Hvis en< 0, то знаки слагаемых b og skifte til det modsatte.

Opgave 2. Simplificere udtrykket:

1) 2(6y-8) + 7y;

2)-5(2-5x) + 12.

Løsninger. 1. Faktoren 2 foran parenteserne er positiv, derfor bevarer vi tegnene for alle led, når vi åbner parenteserne: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktoren -5 foran parenteserne er negativ, så når vi åbner parenteserne, ændrer vi fortegnene for alle led til det modsatte:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Find ud af mere

1. Ordet "sum" kommer fra latin opsummering , hvilket betyder "total", "samlet beløb".

2. Ordet "plus" kommer fra latin plus som betyder "mere" og ordet "minus" er fra latin minus Hvad betyder "mindre"? Tegnene "+" og "-" bruges til at angive operationerne med addition og subtraktion. Disse tegn blev introduceret af den tjekkiske videnskabsmand J. Widman i 1489 i bogen "En hurtig og behagelig beretning for alle købmænd"(Fig. 138).

Ris. 138

HUSK DET VIGTIGE

1. Hvilke udtryk kaldes ens? Hvordan er sådanne udtryk opbygget?

2. Hvordan åbner man parenteser med et "+"-tegn foran?

3. Hvordan åbner man parenteser med et "-"-tegn foran?

4. Hvordan åbner man parenteser forud for en positiv faktor?

5. Hvordan åbner man parenteser, der er forudgået af en negativ faktor?

1374". Navngiv koefficienten for udtrykket:

1)12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nævn de udtryk, der kun adskiller sig efter koefficient:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m-4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4)5x + 4y-x + y.

Hvad kaldes disse udtryk?

1376". Er der nogen lignende udtryk i udtrykket:

1)11a+10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6)8 k +10 k - n?

1377". Er det nødvendigt at ændre fortegnene for udtrykkene i parentes ved at åbne parenteserne i udtrykket:

1)4+ (a+ 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Forenkle udtrykket og understreg koefficienten:

1379°. Forenkle udtrykket og understreg koefficienten:

1380°. Kombiner lignende udtryk:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="DA-DK">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kombiner lignende udtryk:

1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1)1,2a +1,2b; 3) -3n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Åbn parenteserne og kombiner lignende udtryk;

1) 5+ (4a-4); 4) -(5c-d)+ (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Åbn parenteserne og kombiner lignende udtryk:

1) 10a+ (4-4a); 3) (s - 5 d) - (-d + 5c);

2) -(46-10)+ (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m-5 n).

1386°. Åbn parenteserne og find betydningen af ​​udtrykket:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Åbn parenteserne og find betydningen af ​​udtrykket:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Udvid parenteserne:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Udvid parenteserne:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c-d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n-m); 4)6- (-r + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Forenkle udtrykket:

1391. Forenkle udtrykket:

1392. Reducer lignende udtryk:

1393. Kombiner lignende udtryk:

1394. Forenkle udtrykket:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, af ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Forenkle udtrykket:

1396. Find meningen med udtrykket;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), hvis a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), hvis = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Find betydningen af ​​udtrykket:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), hvis x = -0,25;

1398*. Find fejlen i løsningen:

1)5-(a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Åbn parenteserne og forenkle udtrykket:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Arranger parenteserne for at få den korrekte lighed:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a-2b-2a + b = 3a-3b.

1401*. Bevis, at for alle tal a og b hvis a > b , så gælder ligheden:

1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Vil denne lighed være korrekt, hvis: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Bevis det for enhver naturligt tal og det aritmetiske middelværdi af de foregående og følgende tal er lig med tallet a.

GØR DET I PRAKTISK

1403. Til madlavning frugt dessert til tre personer skal du bruge: 2 æbler, 1 appelsin, 2 bananer og 1 kiwi. Hvordan opretter man et bogstavudtryk for at bestemme mængden af ​​frugt, der skal til for at tilberede dessert til gæster? Hjælp Marin med at beregne, hvor mange frugter hun skal købe, hvis: 1) 5 venner kommer for at besøge hende; 2) 8 venner.

1404. Lav et bogstavudtryk for at bestemme den tid, der kræves for at færdiggøre dit matematik hjemmearbejde, hvis:

1) et min blev brugt på at løse problemer; 2) simplificering af udtryk er 2 gange større end for at løse problemer. Hvor lang tid tog det at gennemføre lektier Vasilko, hvis han brugte 15 minutter på at løse problemer?

1405. Frokosten i skolens cafeteria består af salat, borsjtj, kålruller og kompot. Omkostningerne til salat er 20%, borscht - 30%, kålruller - 45%, kompot - 5% af de samlede omkostninger for hele frokosten. Skriv et udtryk for at finde udgifterne til frokost i skolens kantine. Hvor meget koster frokosten, hvis prisen på salat er 2 UAH?

GENNEMGÅ PROBLEMER

1406. Løs ligningen:

1407. Tanya brugte på isalle tilgængelige penge, og for slik -resten. Hvor mange penge har Tanya tilbage?

hvis slik koster 12 UAH?

Ved at bruge et hvilket som helst sprog kan du udtrykke den samme information i forskellige ord og sætninger. Matematisk sprog er ingen undtagelse. Men det samme udtryk kan skrives ækvivalent på forskellige måder. Og i nogle situationer er en af ​​posterne enklere. Vi vil tale om at forenkle udtryk i denne lektion.

Folk kommunikerer på forskellige sprog. For os er en vigtig sammenligning parret "Russisk sprog - matematisk sprog". Den samme information kan kommunikeres på forskellige sprog. Men udover dette kan det udtales på forskellige måder på ét sprog.

For eksempel: "Petya er venner med Vasya", "Vasya er venner med Petya", "Petya og Vasya er venner". Sagt forskelligt, men det samme. Ud fra enhver af disse sætninger ville vi forstå, hvad vi taler om.

Lad os se på denne sætning: "Drengen Petya og drengen Vasya er venner." Vi forstår, hvad vi taler om. Vi kan dog ikke lide lyden af ​​denne sætning. Kan vi ikke forenkle det, sige det samme, men enklere? "Dreng og dreng" - du kan sige en gang: "Drenge Petya og Vasya er venner."

"Drenge"... Står det ikke klart ud fra deres navne, at de ikke er piger? Vi fjerner "drengene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat blev den første, lange, grimme sætning erstattet med et tilsvarende udsagn, der er lettere at sige og lettere at forstå. Vi har forenklet denne sætning. At forenkle betyder at sige det mere enkelt, men ikke at miste eller fordreje betydningen.

I matematisk sprog sker der nogenlunde det samme. Det samme kan siges, skrevet anderledes. Hvad vil det sige at forenkle et udtryk? Det betyder, at der for det oprindelige udtryk er mange ækvivalente udtryk, det vil sige dem, der betyder det samme. Og fra al denne variation skal vi vælge den enkleste, efter vores mening, eller den mest egnede til vores videre formål.

Overvej f.eks. det numeriske udtryk . Det vil svare til.

Det vil også svare til de to første: .

Det viser sig, at vi har forenklet vores udtryk og fundet det korteste ækvivalente udtryk.

For numeriske udtryk skal du altid gøre alt og få det tilsvarende udtryk som et enkelt tal.

Lad os se på et eksempel på et bogstaveligt udtryk . Det er klart, at det bliver enklere.

Når man forenkler bogstavelige udtryk, er det nødvendigt at udføre alle mulige handlinger.

Er det altid nødvendigt at forenkle et udtryk? Nej, nogle gange vil det være mere bekvemt for os at have en tilsvarende, men længere adgang.

Eksempel: du skal trække et tal fra et tal.

Det er muligt at beregne, men hvis det første tal var repræsenteret ved dets ækvivalente notation: , så ville beregningerne være øjeblikkelige: .

Det vil sige, at et forenklet udtryk ikke altid er gavnligt for os til yderligere beregninger.

Ikke desto mindre står vi meget ofte over for en opgave, der bare lyder som "forenkle udtrykket."

Forenkle udtrykket: .

Løsning

1) Udfør handlingerne i første og anden parentes: .

2) Lad os beregne produkterne: .

Det sidste udtryk har naturligvis en enklere form end det oprindelige. Vi har forenklet det.

For at forenkle udtrykket skal det erstattes med et ækvivalent (lige).

For at bestemme det ækvivalente udtryk skal du bruge:

1) udføre alle mulige handlinger,

2) bruge egenskaberne addition, subtraktion, multiplikation og division til at forenkle beregninger.

Egenskaber for addition og subtraktion:

1. Kommutativ egenskab ved addition: omarrangering af vilkårene ændrer ikke summen.

2. Kombinationsegenskab for addition: For at tilføje et tredje tal til summen af ​​to tal, kan du tilføje summen af ​​det andet og tredje tal til det første tal.

3. Egenskaben ved at trække en sum fra et tal: for at trække en sum fra et tal, kan du trække hvert led separat.

Egenskaber ved multiplikation og division

1. Kommutativ egenskab ved multiplikation: omarrangering af faktorerne ændrer ikke produktet.

2. Kombinativ egenskab: for at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med den anden faktor.

3. Fordelingsegenskab ved multiplikation: For at gange et tal med en sum, skal du gange det med hvert led separat.

Lad os se, hvordan vi rent faktisk laver mentale beregninger.

Beregne:

Løsning

1) Lad os forestille os hvordan

2) Lad os forestille os den første faktor som summen af ​​bitled og udføre multiplikationen:

3) du kan forestille dig hvordan og udføre multiplikation:

4) Erstat den første faktor med en tilsvarende sum:

Fordelingsloven kan også bruges i modsat retning: .

Følg disse trin:

1) 2)

Løsning

1) For nemheds skyld kan du bruge fordelingsloven, kun bruge den i den modsatte retning - tag den fælles faktor ud af parentes.

2) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes

Det er nødvendigt at købe linoleum til køkkenet og gangen. Køkkenafdeling - , gang - . Der er tre typer linoleum: for og rubler for. Hvor meget vil hver af de tre typer linoleum koste? (Fig. 1)

Ris. 1. Illustration til problemformuleringen

Løsning

Metode 1. Du kan separat finde ud af, hvor mange penge det vil tage at købe linoleum til køkkenet, og derefter lægge det i gangen og tilføje de resulterende produkter.