Snydeark: Undervisning i algebraisk materiale i folkeskolen. Studerer algebraisk materiale i folkeskolen

Forelæsning 8. Metoder til undersøgelse af algebraisk materiale.

Forelæsning 7. Begrebet omkredsen af ​​en polygon

1. Metode til at overveje elementerne i algebra.

2. Numeriske ligheder og uligheder.

3. Forberedelse til at blive fortrolig med variablen. Elementer af bogstavsymboler.

4. Uligheder med en variabel.

5. Ligning

1. Introduktionen af ​​algebra-elementer i det indledende matematikkursus gør det muligt lige fra begyndelsen af ​​træningen at udføre systematisk arbejde med det formål at udvikle så vigtige matematiske begreber hos børn som: udtryk, lighed, ulighed, ligning. At blive fortrolig med brugen af ​​et bogstav som et symbol, der angiver et hvilket som helst tal fra det talfelt, børn kender, skaber betingelser for at generalisere mange til indledende kursus Spørgsmål om regneteori er en god forberedelse til i fremtiden at introducere børn til begreber i funktionsvariablen. Tidligere introduktion til brug algebraisk metode problemløsning giver dig mulighed for at foretage seriøse forbedringer af hele systemet med at lære børn at løse en række ordproblemer.

Opgaver: 1. Udvikle elevernes evne til at læse, skrive og sammenligne numeriske udtryk.2. Introducer eleverne til reglerne for at udføre rækkefølgen af ​​handlinger i numeriske udtryk og udvikle evnen til at beregne værdier af udtryk i overensstemmelse med disse regler.3. At udvikle elevernes evne til at læse og skrive bogstavelige udtryk og beregne deres værdier for givne bogstavværdier.4. At gøre eleverne bekendt med ligninger af 1. grad, indeholdende handlingerne fra første og andet trin, at udvikle evnen til at løse dem ved hjælp af udvælgelsesmetoden, samt på grundlag af viden om sammenhængen mellem m/y komponenter og resultatet af aritmetiske operationer.

Program primære klasser Giver eleverne fortrolighed med brugen af ​​bogstavsymboler, løsninger af elementære ligninger af første grad med en ukendt og deres anvendelse på problemer i én handling. Disse spørgsmål studeres i tæt sammenhæng med regnemateriale, som bidrager til dannelsen af ​​tal og aritmetiske operationer.

Fra de første dage af uddannelsen begynder arbejdet med at udvikle begreberne om ligestilling blandt eleverne. I første omgang lærer børn at sammenligne mange objekter, udligne ulige grupper og omdanne lige grupper til ulige. Allerede når man studerer et dusin tal, introduceres sammenligningsøvelser. Først udføres de med støtte på genstande.

Udtryksbegrebet dannes hos yngre skolebørn i tæt sammenhæng med regneoperationsbegreberne. Metoden til at arbejde med udtryk omfatter to faser. Ved 1 dannes begrebet af de simpleste udtryk (sum, forskel, produkt, kvotient af to tal) og ved 2 om komplekse udtryk (summen af ​​et produkt og et tal, forskellen af ​​to kvotienter osv.) . Begreberne "matematisk udtryk" og "værdien af ​​et matematisk udtryk" (uden definitioner) introduceres. Efter at have registreret flere eksempler i én aktivitet oplyser læreren, at disse eksempler ellers kaldes metamatematiske udtryk. Når man studerer regneoperationer, indgår øvelser i at sammenligne udtryk de er opdelt i 3 grupper; At studere forretningsordenen. Målet på dette stadie er baseret på praktiske færdigheder elever, henled deres opmærksomhed på rækkefølgen for at udføre handlinger i sådanne udtryk og formulere den tilsvarende regel. Eleverne løser selvstændigt eksempler udvalgt af læreren og forklarer, i hvilken rækkefølge de udførte handlingerne i hvert eksempel. Dernæst formulerer de selv konklusionen eller læser den fra en lærebog. Identisk transformation af et udtryk er erstatningen af ​​et givet udtryk med et andet, hvis værdi er lig med værdien af ​​det givne udtryk. Elever udfører sådanne transformationer af udtryk, idet de stoler på egenskaberne ved aritmetiske operationer og konsekvenserne af dem (hvordan man lægger en sum til et tal, hvordan man trækker et tal fra en sum, hvordan man multiplicerer et tal med et produkt osv. ). Når man studerer hver egenskab, bliver eleverne overbevist om, at i udtryk af en bestemt type kan handlinger udføres på forskellige måder, men betydningen af ​​udtrykket ændres ikke.

2. Numeriske udtryk lige fra begyndelsen betragtes i uadskillelig forbindelse med numeriske lige og ulige. Numeriske ligheder og uligheder er opdelt i "sand" og "ukorrekt". Opgaver: sammenligne tal, sammenligne aritmetiske udtryk, løse simple uligheder med en ukendt, gå fra ulighed til lighed og fra lighed til ulighed

1. En øvelse, der har til formål at afklare elevernes viden om regneoperationer og deres anvendelse. Når eleverne introduceres til regneoperationer, sammenlignes udtryk på formen 5+3 og 5-3; 8*2 og 8/2. Udtrykkene sammenlignes først ved at finde værdierne af hver og sammenligne de resulterende tal. Fremover udføres opgaven ud fra, at summen af ​​to tal er større end deres forskel, og produktet er større end deres kvotient; beregningen bruges kun til at kontrollere resultatet. En sammenligning af udtryk på formen 7+7+7 og 7*3 udføres for at konsolidere elevernes viden om sammenhængen mellem addition og multiplikation.

Under sammenligningsprocessen bliver eleverne fortrolige med rækkefølgen af ​​udførelse af aritmetiske operationer. Først overvejer vi udtryk, der indeholder parenteser af formen 16 - (1+6).

2. Herefter betragtes rækkefølgen af ​​handlinger i udtryk uden parentes indeholdende handlinger på en og to grader. Eleverne lærer disse betydninger, når de færdiggør eksemplerne. Først overvejes rækkefølgen af ​​handlinger i udtryk, der indeholder handlinger på ét niveau, for eksempel: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Samtidig skal børn lære, at hvis udtryk kun indeholder addition og subtraktion eller kun multiplikation og division, så udføres de i den rækkefølge, de er skrevet. Dernæst introduceres udtryk, der indeholder handlinger fra begge stadier. Eleverne informeres om, at de i sådanne udtryk først skal udføre multiplikation og division i rækkefølge, og derefter addition og subtraktion, for eksempel: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. For at overbevise eleverne om den ekstreme vigtighed af at følge rækkefølgen af ​​handlinger, er det nyttigt at udføre dem i det samme udtryk i en anden rækkefølge og sammenligne resultaterne.

3. Øvelser, hvor eleverne lærer og konsoliderer viden om sammenhængen mellem komponenter og resultater af aritmetiske operationer. Οʜᴎ indgår allerede, når man studerer tallene ti.

I denne gruppe af øvelser bliver eleverne fortrolige med tilfælde af ændringer i resultater af handlinger baseret på en ændring i en af ​​komponenterne. Udtryk, hvor et af begreberne er ændret (6+3 og 6+4) eller reduceret 8-2 og 9-2 osv. sammenlignes. Lignende opgaver indgår også, når man studerer tabelmultiplikation og division og udføres ved hjælp af beregninger (5*3 og 6*3, 16:2 og 18:2) mv. I fremtiden kan du sammenligne disse udtryk uden at stole på beregninger.

De gennemgåede øvelser er tæt knyttet til programmaterialet og bidrager til dets assimilering. Samtidig med dette, i processen med at sammenligne tal og udtryk, modtager eleverne de første ideer om lighed og ulighed.

Så i 1. klasse, hvor begreberne "lighed" og "ulighed" endnu ikke er brugt, kan læreren, når han kontrollerer rigtigheden af ​​de beregninger, som børnene udfører, stille spørgsmål i følgende form: "Kolya tilføjede otte til seks og fik 15. Er denne løsning korrekt eller forkert?”, eller forslag til børn, øvelser, hvor du skal tjekke løsningen på givne eksempler, finde de rigtige poster osv. Tilsvarende, når man overvejer numeriske uligheder i form 5<6,8>4 og mere komplekst, kan læreren stille et spørgsmål i følgende form: "Er disse optegnelser korrekte?", og efter at have introduceret en ulighed - "Er disse uligheder sande?"

Fra 1. klasse bliver børn fortrolige med transformationer af numeriske udtryk, som udføres på baggrund af anvendelsen af ​​de undersøgte elementer i aritmetisk teori (nummerering, betydningen af ​​handlinger osv.). For eksempel, baseret på viden om nummerering og pladsværdien af ​​tal, kan eleverne repræsentere et hvilket som helst tal som summen af ​​dets steddele. Denne færdighed bruges, når man overvejer udtrykstransformationer i forhold til ekspressionen af ​​mange beregningsteknikker.

I forbindelse med sådanne transformationer møder børn allerede i første klasse en "kæde" af ligheder.

Forelæsning 8. Metoder til undersøgelse af algebraisk materiale. - koncept og typer. Klassifikation og funktioner i kategorien "Forelæsning 8. Metoder til at studere algebraisk materiale." 2017, 2018.

Spørgsmål og opgaver til selvstændigt arbejde

1. Nævn de geometriske begreber, der studeres i folkeskolen. Hvorfor er de genstand for undersøgelse?

2. Udgør geometrisk materiale et selvstændigt afsnit i det indledende matematikkursus? Hvorfor?

3. Beskriv metoden til at danne geometriske begreber blandt eleverne: linjestykke, trekant, vinkel, rektangel.

4. Hvad er mulighederne for udvikling? logisk tænkning studerende giver studiet af geometrisk materiale? Giv eksempler.

5. Hvilke sammenhænge bliver eleverne fortrolige med, når de studerer geometrisk materiale?

6. Hvilken funktion tjener byggeopgaver i folkeskolen?

7. Giv eksempler på typiske grundskole byggeopgaver.

8. Hvad er faserne for løsning af byggeproblemer? Vis i hvilket omfang den generelle ordning for løsning af byggeproblemer kan anvendes i grundskole.

Forelæsning 14. Metoder til undersøgelse af algebraisk materiale

1. Grundlæggende begreber i matematik.

2. Generelle spørgsmål Metoder til at studere algebraisk materiale i grundskolens matematikkurser.

3. Numeriske udtryk. At studere reglerne for rækkefølgen af ​​udførelse af aritmetiske operationer.

4. Udtryk med en variabel.

5. Metoder til at studere ligninger.

6. Metode til undersøgelse af numeriske ligheder og numeriske uligheder.

7. At introducere eleverne til funktionel afhængighed.

Referencer: (1) Kapitel 4; (2) § 27, 37, 52; (5) - (12).

Grundlæggende begreber i matematik

Numerisk udtryk i generel opfattelse kan defineres sådan:

1) Hvert tal er et numerisk udtryk.

2) Hvis A og B er numeriske udtryk, så (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A)⁽ⁿ⁾ og f(A), hvor f (x) er en numerisk funktion, er også numeriske udtryk.

Hvis alle handlingerne specificeret i det kan udføres i et numerisk udtryk, så kaldes det resulterende reelle tal den numeriske værdi af dette numeriske udtryk, og det numeriske udtryk siges at have betydning. Nogle gange har et numerisk udtryk ikke en numerisk værdi, fordi ikke alle handlinger specificeret i den er gennemførlige; et sådant numerisk udtryk siges ikke at have nogen betydning. Så de følgende numeriske udtryk (5 - 3): (2 – 8:4); √7 – 2 · 6 og (7 – 7)° giver ikke mening.

Således har ethvert numerisk udtryk enten en numerisk værdi eller giver ingen mening. -

Følgende procedure anvendes ved beregning af værdien af ​​et numerisk udtryk:

1. Alle handlinger inden for parentes udføres først. Hvis der er flere par parenteser, begynder beregningerne med de inderste.

2. Inden for parentesen bestemmes rækkefølgen af ​​beregninger af prioriteten af ​​operationerne: funktionsværdier beregnes først, derefter udføres eksponentiering, derefter udføres multiplikation eller division, og addition og subtraktion udføres sidst.

3. Hvis der er flere operationer med samme prioritet, udføres beregninger sekventielt fra venstre mod højre.

Numerisk lighed- to numeriske udtryk A og B, forbundet med et lighedstegn ("=").

Numerisk ulighed - to numeriske udtryk A og B, forbundet med et ulighedstegn ("<", ">", "≤" eller "≥").

Et udtryk, der indeholder en variabel, og som bliver til et tal, når variablen erstattes af dens værdi, kaldes udtryk med variabel eller numerisk form.

Ligning med én variabel(med en ukendt) – et prædikat af formen f₁(x) = f₂(x), hvor x ∊X, hvor f₁(x) og f₂(x) er udtryk med variabel x defineret i mængden X.

Enhver værdi af en variabel x fra mængden X, for hvilken ligningen bliver til en sand numerisk lighed, kaldes rod(løsning af ligningen). Løs ligningen- det betyder at finde alle dens rødder eller bevise, at de ikke eksisterer. Mængden af ​​alle ligningens rødder (eller sandhedsmængden T af prædikatet f₁(x) = f₂(x)) kaldes mængden af ​​løsninger til ligningen

Sættet af værdier, hvor begge sider af ligningen er defineret, kaldes området med tilladte værdier (ADV) af variablen x og definitionsområdet for ligningen.

2. Generelle spørgsmål om metoder til at studere algebraisk materiale

Det indledende forløb i matematik, sammen med grundlæggende aritmetisk materiale, inkluderer også elementer af algebra, præsenteret følgende begreber:

Numeriske udtryk;

Udtryk med en variabel;

Numeriske ligheder og uligheder;

Ligninger.

Formålet med at inkludere algebraelementer i et matematikkursus i grundskolen er:

Overvej aritmetisk materiale mere fuldstændigt og dybtgående;

Bring elevernes generaliseringer til mere højt niveau;

Skab forudsætningerne for mere vellykket studie algebra i mellem- og gymnasieskolen.

Algebraisk materiale er ikke fremhævet som et særskilt emne i programmet. Det er fordelt på hele folkeskolens matematikforløb separate spørgsmål. Disse spørgsmål studeres fra 1. klasse sideløbende med studiet af grundlæggende regnestof. Rækkefølgen af ​​overvejelse af de spørgsmål, som programmet foreslår, bestemmes af lærebogen.

At mestre de studerede algebraiske begreber i de elementære karakterer involverer at introducere passende terminologi og udføre simple operationer uden at konstruere formelle logiske definitioner.

1. Betydningen af ​​algebraisk materiale i grundskoleuddannelse matematik.

2. Problemer med at studere algebraisk materiale.

3. Metode til at arbejde med algebraiske begreber.

4. Metoder til undersøgelse af matematiske udtryk.

5. Metoder til undersøgelse af numeriske ligheder og uligheder.

6. Metoder til undervisning i løsning af ligninger og problemer på en algebraisk måde.

7. Metode til at arbejde med uligheder med en variabel.

8. Funktionel propædeutik i primær matematikundervisning.

1. Betydningen af ​​algebraisk materiale i den primære matematikundervisning

a) finde betydningen af ​​matematiske udtryk;

b) løsning af ligninger og uligheder;

a) love a×(b+c)=a×b+a×c;

b) afhængigheder, regler a+b=c

4. Udvikling af logisk og teoretisk tænkning.

5. Forberedelse til videre studier af matematik.

At. algebraisk materiale udfører en hjælpefunktion i studiet af aritmetisk materiale.

Selvom algebraisk materiale indtager et sted, der er underordnet aritmetisk indhold, har det også en vis uafhængighed, som først og fremmest viser sig i sekvensen af ​​introduktion af algebraiske elementer.

Hvilke algebraiske begreber introduceres i det indledende matematikkursus? Hvordan defineres de i matematik? (Se OS nr. 22)

I matematikkens elementære forløb bringes ingen af ​​dem til niveauet for formel definition. Derfor kan man ikke stille spørgsmålet: "Hvad hedder...?"

Eleverne skal: forstå udtrykket korrekt og anvende det korrekt i praktiske aktiviteter.

Forstå

Term Objekt

Anvende

Arbejdet med dannelsen af ​​algebraiske begreber udføres i etaper:

1. Forarbejde.

2. Introduktion af begrebet (term).

3. Konsolidering i praktiske aktiviteter.

Forberedende arbejde involverer at arbejde med tilsvarende objekter uden at bruge termer. For eksempel:

a) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2-5; (51-48):(27:9) og lignende→for at introducere begrebet "matematisk udtryk".

b) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

V) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→ækv.

På forberedelsesstadiet akkumuleres specifikke ideer, som generaliseres på næste stadium.

Algebraiske begreber introduceres:

a) kontekstuelt, det vil sige, at betydningen af ​​det nye udtryk afklares ud fra betydningen af ​​tekstpassagen. For eksempel: "Bogstavet x (x) angiver et ukendt tal. x+2=5 er ligningen. At løse en ligning betyder at finde et ukendt tal."

b) ostensiv, når objektet blot navngives og demonstreres. For eksempel: "Numeriske matematiske udtryk."

I dette tilfælde er det nødvendigt at bruge sammenligning, analyse, syntese, klassificering. For eksempel: "Ligestilling er ulighed."

Assimilation algebraiske begreber udføres i praktiske aktiviteter med deres specifikke repræsentanter.

Eleverne lærer at forstå og anvende de passende ord - termer korrekt.

Hvad vil det sige at studere matematiske udtryk? (se OS N22)

- lære at læse og skrive fra diktat eller fra en lærebog;

— kendskab til reglerne for proceduren for udførelse af handlinger;

- udarbejde udtryk for opgaver i henhold til skemaer;

— beregning af udtryksværdier;

— fortrolighed med transformationer (identiske) af udtryk;

— sammenligning af udtryk.

I temmelig lang tid var den fremherskende opfattelse i psykologi, at elementerne i algebra ikke skulle studeres i de elementære klasser, men i de overordnede klasser på grund af de særlige forhold ved et ungdomsskolebarns tænkning og hans manglende evne til at danne abstraktioner af en højere niveau. Sådanne fremtrædende psykologer som P.Ya, V.V. Davydov, etc., og lærere - A.I. Merkushevich, osv., fandt ud af, at børn i alderen 6 -10 år behersker fuldt ud indholdet af nogle algebraiske begreber. På baggrund af dette blev algebraisk materiale i 1969 inkluderet i folkeskolens matematikpensum.

Når de studerer elementerne i algebra, modtager yngre skolebørn indledende information om numeriske udtryk, numeriske ligheder og uligheder, uligheder med en variabel, udtryk med en variabel, med to variable og ligninger.

Algebraisk materiale studeres fra 1. klasse. i tæt forbindelse med aritmetik og geometri. Indførelsen af ​​algebraelementer bidrager til generaliseringen af ​​begreber om tal, aritmetiske operationer og matematiske relationer, og forbereder samtidig børn til at studere algebra i de følgende klasser.

Studiets hovedstadier og indholdet af algebraisk materiale

1. METODOLOGI TIL AT STUDIE NUMERISKE UDTRYK

Numerisk udtryk -

1. hvert tal er et numerisk udtryk.

2. hvis a og b er numeriske udtryk, så er deres sum a+b, forskel a-b, produkt a∙b og kvotient a:b også numeriske udtryk.

Numerisk udtryksværdi- dette er antallet opnået som et resultat af at udføre alle handlinger. angivet i numeriske termer.

Matematikprogrammet giver:

Introducer reglerne for rækkefølgen af ​​handlinger og lær dem at bruge dem i beregninger,

Introducer eleverne til identiske transformationer af udtryk.

Metoden til at blive fortrolig med CV'er kan opdeles i 3 faser:

Etape 1. Fortrolighed med udtryk, der indeholder én handling (sum, forskel, produkt, kvotient af to tal).

Bekendtskab med det første udtryk - summen - opstår i 1. klasse. når man studerer koncentrationen "10".

1. Når de udfører operationer på sæt, lærer børn først og fremmest den specifikke betydning af addition og subtraktion, derfor forstår de i notationer af formen 5 + 1,6-2 tegnene på handlinger som en kort betegnelse af ordene "tilføj" , "træk fra" (læser: læg 1 til 5, du får 6, træk 2 fra 6, du får 4).

2. I fremtiden bliver konceptet med disse handlinger uddybet. Eleverne lærer, at hvis man lægger nogle få enheder til, øges et tal med det samme antal enheder, og at trække et tal fra, mindsker det med det samme antal enheder.

(læsning: 5 øges med 1, 6 reduceres med 2).

3. Så lærer børn navnet på handlingstegnene: "plus", "minus"

(læsning: 5 plus 1,6 minus 1).

4. Børn lærer navnene på komponenterne i CV'et.

(læsning: 1 termin. 5, 2 terminer 1, sum lig med 6).

På nogenlunde samme måde arbejdes der på følgende udtryk: forskel (1. klasse), produkt og kvotient (2. klasse).

Etape 2. Kendskab til CV'er, der indeholder handlinger på et trin .

Inden man studerer udtryk med parentes, tilbydes eleverne udtryk på formen 8+1-7 10-5+4

I disse tilfælde findes først værdien af ​​udtrykket indesluttet i en oval, derefter trækkes tallet i kvadratet fra det resulterende resultat. I dette tilfælde bruger eleverne reglen for rækkefølgen af ​​handlinger i en implicit form og udfører de første identiske transformationer (8+1-7=9-7=2).

Senere introduceres parenteserne 6+4-1=(6+4)-1.

Reglen er dannet: handlingen skrevet i parentes udføres først.

For at mestre den indførte regel medfølger forskellige træningsøvelser. Samtidig lærer børn at læse og skrive disse udtryk korrekt:

Skriv og beregn:.

1. Træk 10 fra summen af ​​tallene 9 og 7.

2. Tilføj forskellen mellem tallene 9 og 7 til 10.

Efterfølgende introduceres begreberne for et numerisk udtryk (ostensiv, ved at vise) og betydningen af ​​et numerisk udtryk. 2 klasser Med. 68

Herefter læser eller nedskriver børn udtryk, finder deres betydninger og opfinder selv udtryk.

At mestre nye termer giver dem mulighed for at læse udtryk på nye måder ( skrive udtryk ned, finde betydningen af ​​et udtryk, sammenligne udtryk osv.) 2. klasse s.58 nr. 1,2, 6; s.69 nr. 2.

I komplekse udtryk har handlingstegnene, der forbinder udtrykkene, en dobbelt betydning, som afsløres for eleverne.

Indledning................................................. ...................................................... ............... 2

Kapitel I. Generelle teoretiske aspekter ved at studere algebraisk materiale i folkeskolen................................... ............................................... ........................................................ 7

1.1 Erfaring med at introducere algebraelementer i folkeskolen........................................... 7

1.2 Psykologiske grundlag for indførelse af algebraiske begreber

i folkeskolen ................................................... .......................................................... 12

1.3 Problemet med oprindelsen af ​​algebraiske begreber og dets betydning

til at konstruere et pædagogisk emne.......................................... ............ 20

2.1 Læring i folkeskolen ud fra et behovsperspektiv

gymnasium................................................ ..................................................... 33

2.1 Sammenligning (kontrast) af begreber i matematiktimer... 38

2.3 Fælles undersøgelse af addition og subtraktion, multiplikation og division 48

Kapitel III. Praksis med at studere algebraisk materiale i matematiktimerne i folkeskolens grundskole nr. 4 i Rylsk......................................... ..................... ...55

3.1 Begrundelse for brugen af ​​innovative teknologier (teknologier

konsolidering af didaktiske enheder)......................................... ...... 55

3.2 Om oplevelsen af ​​fortrolighed med algebraiske begreber i klasse I.... 61

3.3 Træning i at løse problemer relateret til kroppens bevægelse................................... 72

Konklusion ................................................... ................................................................ ...... .76

Bibliografi ................................................................ ............................................... 79

Indledning

I ethvert moderne system for almen uddannelse indtager matematik et af de centrale steder, hvilket utvivlsomt taler om det unikke ved dette vidensfelt.

Hvad er moderne matematik? Hvorfor er det nødvendigt? Disse og lignende spørgsmål bliver ofte stillet af børn til lærere. Og hver gang vil svaret være anderledes afhængigt af barnets udviklingsniveau og dets uddannelsesbehov.

Det siges ofte, at matematik er sproget i moderne videnskab. Der ser dog ud til at være en væsentlig fejl i denne udtalelse. Matematikkens sprog er så udbredt og så ofte effektivt, netop fordi matematik ikke kan reduceres til det.

Fremragende russisk matematiker A.N. Kolmogorov skrev: "Matematik er ikke bare et sprog plus ræsonnement, det er ligesom sprog og logik er et værktøj til at tænke. Det koncentrerer mange menneskers nøjagtige tænkning forbinde et ræsonnement med et andet ... Naturens åbenlyse kompleksiteter med dens mærkelige love og regler, som hver især giver mulighed for en særskilt meget detaljeret forklaring, er i virkeligheden nært beslægtede Men hvis du ikke ønsker at bruge matematik, så i denne enorme variation af fakta vil du ikke se, at logikken tillader dig at gå videre fra den ene til den anden" (s. 44).

Således giver matematik os mulighed for at danne visse former for tænkning, der er nødvendige for at studere verden omkring os.

I øjeblikket bliver misforholdet mellem graden af ​​vores viden om naturen og vores forståelse af mennesket, dets psyke og tænkeprocesser mere og mere mærkbart. W. W. Sawyer i bogen "Prelude to Mathematics" (s. 7) bemærker: "Vi kan lære eleverne at løse mange typer problemer, men ægte tilfredshed vil kun komme, når vi er i stand til at give vores elever ikke kun viden, men fleksibilitet of mind", hvilket ville give dem mulighed for i fremtiden ikke kun at løse selvstændigt, men også at sætte nye opgaver for sig selv.

Selvfølgelig er der visse grænser her, som ikke bør glemmes: meget bestemmes af medfødte evner og talent. Vi kan dog notere en hel række faktorer afhængig af uddannelse og opdragelse. Det gør det ekstremt vigtigt at vurdere det enorme uudnyttede potentiale i uddannelse i almindelighed og matematikundervisning i særdeleshed korrekt.

I de senere år har der været en konstant tendens til, at matematiske metoder trænger ind i videnskaber som historie, filologi, for ikke at nævne sprogvidenskab og psykologi. Derfor udvides kredsen af ​​personer, der kan bruge matematik i deres fremtidige faglige aktiviteter.

Vores uddannelsessystem er designet på en sådan måde, at skolen for mange giver den eneste mulighed i livet for at tilslutte sig en matematisk kultur og mestre de værdier, der er indeholdt i matematik.

Hvilken indflydelse har matematik i almindelighed og skolematematik i særdeleshed på uddannelsen af ​​en kreativ personlighed? At undervise i kunsten at løse problemer i matematiktimerne giver os en yderst gunstig mulighed for at udvikle en bestemt tankegang hos eleverne. Behovet for forskningsaktiviteter udvikler interesse for mønstre og lærer os at se skønheden og harmonien i menneskelig tankegang. Alt dette er efter vores mening det vigtigste element i den almene kultur. Matematikkurset har en vigtig indflydelse på dannelsen af ​​forskellige former for tænkning: logisk, rumlig-geometrisk, algoritmisk. Enhver kreativ proces begynder med formuleringen af ​​en hypotese. Matematik, med den passende tilrettelæggelse af uddannelse, er en god skole til at konstruere og teste hypoteser, lærer dig at sammenligne forskellige hypoteser, finde den bedste løsning, stille nye problemer og lede efter måder at løse dem på. Hun udvikler blandt andet også vanen med metodisk arbejde, uden hvilket ingen kreativ proces er tænkelig. Ved at maksimere mulighederne for menneskelig tænkning er matematik dens højeste præstation. Det hjælper en person til at forstå sig selv og forme sin karakter.

Dette er en lille liste over grunde til, hvorfor matematisk viden bør blive en integreret del af den almene kultur og et obligatorisk element i opdragelsen og uddannelsen af ​​et barn.

Matematikkurset (uden geometri) i vores 10-årige skole er faktisk opdelt i tre hoveddele: aritmetik (karaktererne I - V), algebra (graderne VI - VIII) og analyseelementer (graderne IX - X). Hvad er grundlaget for en sådan opdeling?

Selvfølgelig har hver af disse dele sin egen specielle "teknologi". Således forbindes det i aritmetik for eksempel med beregninger udført på flercifrede tal, i algebra - med identiske transformationer, logaritmisering, i analyse - med differentiering mv. Men hvad er de dybere årsager forbundet med det konceptuelle indhold af hver del?

Det næste spørgsmål vedrører grundlaget for at skelne mellem skoleregning og algebra (dvs. første og anden del af kurset). Aritmetik omfatter studiet af naturlige tal (positive heltal) og brøker (primtal og decimal). En særlig analyse viser dog, at det er ulovligt at kombinere disse typer tal i ét skolefag.

Faktum er, at disse tal har forskellige funktioner: den første er forbundet med at tælle objekter, den anden med at måle mængder. Denne omstændighed er meget vigtig for at forstå det faktum, at brøktal (rationelle) kun er et specialtilfælde af reelle tal.

Ud fra et synspunkt om måling af mængder, som bemærket af A.N. Kolmogorov, "der er ingen sådan dyb forskel mellem rationelle og irrationelle reelle tal Af pædagogiske årsager dvæler de i lang tid ved rationelle tal, da de dog er lette at skrive i form af brøker dem skulle lige fra begyndelsen umiddelbart føre til reelle tal i deres helhed" (), s. 9).

A.N. Kolmogorov betragtes som berettiget både fra et synspunkt af historien om udviklingen af ​​matematik og i det væsentlige forslaget fra A. Lebesgue til at flytte i undervisningen efter naturlige tal direkte til oprindelsen og logiske karakter af reelle tal. Samtidig, som bemærket af A.N. Kolmogorov, "tilgangen til konstruktionen af ​​rationelle og reelle tal fra synspunktet om at måle mængder er ikke mindre videnskabelig end for eksempel indførelsen af ​​rationelle tal i form af "par For skolen har det en utvivlsomt". fordel” (s. 10).

Der er således en reel mulighed for, på basis af naturlige (heltal) tal, umiddelbart at danne "det mest generelle talbegreb" (i A. Lebesgues terminologi), begrebet et reelt tal. Men fra et programkonstruktionssynspunkt betyder dette hverken mere eller mindre end eliminering af brøkregning i sin skolefortolkning. Overgangen fra heltal til reelle tal er en overgang fra aritmetik til "algebra", til skabelsen af ​​et grundlag for analyse.

Disse ideer, der blev udtrykt for mere end 20 år siden, er stadig relevante i dag. Er det muligt at ændre strukturen i undervisningen i matematik i folkeskolen i denne retning? Hvad er fordelene og ulemperne ved at "algebraisere" primær matematikundervisning? Formålet med dette arbejde er at forsøge at give svar på de stillede spørgsmål.

Realisering af dette mål kræver løsning af følgende opgaver:

Overvejelse af generelle teoretiske aspekter ved indførelse af algebraiske begreber om størrelse og antal i folkeskolen. Denne opgave stilles i værkets første kapitel;

Undersøgelse af specifikke metoder til undervisning i disse begreber i folkeskolen. Her er det især hensigten at overveje den såkaldte teori om udvidelse af didaktiske enheder (UDE), som vil blive diskuteret nedenfor;

Vis den praktiske anvendelighed af de bestemmelser, der overvejes i skolens matematiktimer i folkeskolen (lektioner blev undervist af forfatteren i gymnasiet nr. 4 i Rylsk). Værkets tredje kapitel er viet til dette.

Med hensyn til den bibliografi, der er afsat til dette spørgsmål, kan følgende bemærkes. På trods af det faktum, at den samlede mængde af offentliggjort metodologisk litteratur i matematik for nylig er ekstremt lille, var der ingen mangel på information, når værket blev skrevet. Faktisk fra 1960 (det tidspunkt, hvor problemet blev stillet) til 1990. I vores land er der udgivet en enorm mængde pædagogisk, videnskabelig og metodisk litteratur, der i en eller anden grad berører problemet med at indføre algebraiske begreber i matematikkurser for grundskoler. Derudover er disse emner regelmæssigt dækket i specialiserede tidsskrifter. Ved skrivningen af ​​værket blev der således i høj grad brugt publikationer i tidsskrifterne "Pædagogik", "Undervisning i matematik i skolen" og "Folkeskolen".

Kapitel I. Generelle teoretiske aspekter ved at studere algebraisk materiale i folkeskolen 1.1 Erfaring med at introducere algebraelementer i folkeskolen

Indholdet af et akademisk fag afhænger som bekendt af mange faktorer - af livets krav til elevernes viden, på niveauet af relevante videnskaber, af børns mentale og fysiske aldersevner mv. Korrekt overvejelse af disse faktorer er en væsentlig betingelse for den mest effektive uddannelse af skolebørn og udvidelse af deres kognitive evner. Men nogle gange er denne betingelse ikke opfyldt af en eller anden grund. I dette tilfælde giver undervisning ikke den ønskede effekt både med hensyn til børns tilegnelse af rækken af ​​nødvendig viden og med hensyn til udvikling af deres intelligens.

Det ser ud til, at undervisningsprogrammerne for nogle akademiske fag, især matematik, på nuværende tidspunkt ikke svarer til livets nye krav, udviklingsniveauet for moderne videnskaber (f.eks. matematik) og nye data fra udviklingspsykologi og logik. Denne omstændighed tilsiger behovet for en omfattende teoretisk og eksperimentel afprøvning af mulige projekter for nyt indhold i uddannelsesfagene.

Grundlaget for matematisk viden lægges i folkeskolen. Men desværre er både matematikere selv og metodologer og psykologer meget lidt opmærksomme på indholdet af elementær matematik. Det er tilstrækkeligt at sige, at uddannelsen for matematik i folkeskolen (klasse I - IV) i sine hovedtræk blev dannet for 50 - 60 år siden og naturligvis afspejler datidens matematiske, metodiske og psykologiske idésystem.

Lad os overveje de karakteristiske træk ved statsstandarden for matematik i grundskolen. Dens hovedindhold er heltal og operationer på dem, studeret i en bestemt rækkefølge. Først studeres fire operationer i grænsen på 10 og 20, derefter - mundtlige beregninger i grænsen på 100, mundtlige og skriftlige beregninger i grænsen på 1000, og endelig i grænsen på millioner og milliarder. I klasse IV studeres nogle sammenhænge mellem data og resultaterne af aritmetiske operationer samt simple brøker. Sammen med dette involverer programmet studiet af metriske mål og tidsmål, mestring af evnen til at bruge dem til måling, kendskab til nogle elementer af visuel geometri - tegning af et rektangel og kvadrat, måling af segmenter, arealer af et rektangel og kvadrat, beregning mængder.

Eleverne skal anvende den opnåede viden og færdigheder til at løse problemer og udføre simple beregninger. Gennem hele forløbet udføres problemløsning sideløbende med undersøgelse af tal og operationer - hertil afsættes halvdelen af ​​passende tid. At løse problemer hjælper eleverne med at forstå den specifikke betydning af handlinger, forstå forskellige tilfælde af deres anvendelse, etablere relationer mellem mængder og tilegne sig grundlæggende færdigheder inden for analyse og syntese. Fra klasse I til IV løser børn følgende hovedtyper af problemer (enkle og sammensatte): finde summen og resten, produkt og kvotient, øge og mindske givne tal, forskel og multiple sammenligning, simpel tredobbelt regel, proportional division, finde en ukendt med to forskelle, beregning af det aritmetiske middelværdi og nogle andre typer problemer.

Børn møder forskellige typer af mængdeafhængigheder, når de løser problemer. Men det er meget typisk, at elever begynder med problemer efter og mens de studerer tal; det vigtigste, der kræves ved løsning, er at finde et numerisk svar. Børn har meget svært ved at identificere egenskaberne ved kvantitative relationer i specifikke, særlige situationer, som normalt betragtes som regneproblemer. Praksis viser, at manipulation af tal ofte erstatter den faktiske analyse af problemets betingelser set ud fra afhængigheden af ​​reelle mængder. Desuden repræsenterer problemerne introduceret i lærebøger ikke et system, hvor mere "komplekse" situationer ville være forbundet med "dybere" lag af kvantitative relationer. Problemer med samme sværhedsgrad kan findes både i begyndelsen og i slutningen af ​​lærebogen. De varierer fra sektion til sektion og fra klasse til klasse med hensyn til plottets kompleksitet (antallet af handlinger stiger), antallet af numre (fra ti til en milliard), kompleksiteten af ​​fysiske afhængigheder (fra distributionsproblemer til bevægelse). problemer) og andre parametre. Kun én parameter - uddybning i selve systemet af matematiske love - manifesteres svagt og utydeligt i dem. Derfor er det meget vanskeligt at opstille et kriterium for den matematiske sværhedsgrad af et bestemt problem. Hvorfor er problemer med at finde en ukendt ud fra to forskelle og finde ud af det aritmetiske middelværdi (III-grad) sværere end problemer med forskel og multipel sammenligning (II-grad)? Metoden giver ikke et overbevisende og logisk svar på dette spørgsmål.

Folkeskoleelever får således ikke fyldestgørende, fuldstændig viden om afhængigheder af mængder og generelle egenskaber ah mængder hverken når man studerer elementerne i talteori, fordi de i skoleforløbet primært er forbundet med beregningsteknikken, eller når man løser problemer, fordi sidstnævnte ikke har den tilsvarende form og ikke har det nødvendige system. Metodologers forsøg på at forbedre undervisningsmetoder, selvom de fører til delvise succeser, ændrer ikke den generelle tilstand, da de på forhånd er begrænset af rammerne for det accepterede indhold.

Det ser ud til, at den kritiske analyse af det vedtagne regneprogram bør baseres på følgende bestemmelser:

Begrebet antal er ikke identisk med begrebet om genstandes kvantitative egenskaber;

Tal er ikke den oprindelige form for at udtrykke kvantitative relationer.

Lad os give begrundelsen for disse bestemmelser.

Det er velkendt, at moderne matematik (især algebra) studerer aspekter af kvantitative relationer, der ikke har en numerisk skal. Det er også velkendt, at nogle kvantitative sammenhænge er ret udtrykkelige uden tal og før tal, for eksempel i segmenter, volumener osv. (forhold "mere", "mindre", "lige"). Præsentationen af ​​de originale generelle matematiske begreber i moderne manualer udføres i en sådan symbolik, der ikke nødvendigvis indebærer udtryk for objekter med tal. Så i bogen af ​​E.G. Gonins "Theoretical Arithmetic" er de grundlæggende matematiske objekter betegnet helt fra begyndelsen med bogstaver og specielle tegn (, s. 12 – 15). Det er karakteristisk, at visse typer af tal og numeriske afhængigheder kun gives som eksempler, illustrationer af mængders egenskaber, og ikke som deres eneste mulige og eneste eksisterende udtryksform. Yderligere er det bemærkelsesværdigt, at mange illustrationer af individuelle matematiske definitioner er givet i grafisk form gennem forholdet mellem segmenter og arealer (s. 14-19). Alle grundlæggende egenskaber ved mængder og mængder kan udledes og begrundes uden at involvere numeriske systemer; Desuden modtager sidstnævnte selv begrundelse ud fra generelle matematiske begreber.

Til gengæld viser talrige observationer fra psykologer og lærere, at kvantitative ideer opstår hos børn længe før de tilegner sig viden om tal og hvordan de skal betjenes. Ganske vist er der en tendens til at klassificere disse ideer som "præ-matematiske formationer" (hvilket er ret naturligt for traditionelle metoder, der identificerer de kvantitative karakteristika af et objekt med et tal), men dette ændrer ikke deres væsentlige funktion i barnets almene orientering i tingenes egenskaber. Og nogle gange sker det, at dybden af ​​disse angiveligt "præmatematiske formationer" er mere betydningsfuld for udviklingen af ​​et barns egen matematiske tænkning end viden om computerteknologiens forviklinger og evnen til at finde rent numeriske afhængigheder. Det er bemærkelsesværdigt, at akademiker A.N. Kolmogorov, der karakteriserer træk ved matematisk kreativitet, bemærker specielt følgende omstændighed: "Grundlaget for de fleste matematiske opdagelser er en simpel idé: en visuel geometrisk konstruktion, en ny elementær ulighed osv. Det er kun nødvendigt at anvende denne enkle idé korrekt til løsningen af ​​det problem, der ved første øjekast synes utilgængelig" (, s. 17).

På nuværende tidspunkt er en række ideer vedrørende strukturen og måderne at konstruere et nyt program på passende. Det er nødvendigt at inddrage matematikere, psykologer, logikere og metodologer i arbejdet med dets konstruktion. Men i alle dens specifikke varianter ser den ud til at skulle opfylde følgende grundlæggende krav:

Overvinde den eksisterende kløft mellem indholdet af matematik i grundskoler og gymnasier;

At give et system af viden om de grundlæggende love for kvantitative relationer i den objektive verden; i dette tilfælde bør egenskaberne ved tal, som en særlig form for at udtrykke mængde, blive en speciel, men ikke hovedafsnittet af programmet;

Indgyd børn metoderne til matematisk tænkning, og ikke kun beregningsevner: dette involverer opbygning af et system af problemer baseret på at dykke ned i sfæren af ​​afhængigheder af reelle størrelser (matematikkens forbindelse med fysik, kemi, biologi og andre videnskaber, der studerer specifikke mængder);

Beslutsomt forenkle alle beregningsteknikker og minimere det arbejde, der ikke kan udføres uden passende tabeller, opslagsværker og andre hjælpemidler (især elektroniske).

Betydningen af ​​disse krav er klar: i folkeskolen er det ganske muligt at undervise i matematik som en videnskab om lovene for kvantitative sammenhænge, ​​om mængdernes afhængighed; regneteknikker og elementer af talteori bør blive en særlig og privat del af programmet.

Erfaringerne med at konstruere et nyt uddannelsesprogram i matematik og dets eksperimentelle afprøvning, udført siden slutningen af ​​1960'erne, giver os nu mulighed for at tale om muligheden for at indføre et systematisk matematikkursus i skolen fra første klasse, der giver viden om kvantitative sammenhænge og afhængigheder af mængder i algebraisk form.

1.2 Psykologiske grundlag for indførelse af algebraiske begreber i folkeskolen

På det seneste, ved moderniseringen af ​​uddannelserne, er der lagt særlig vægt på at lægge et set-teoretisk grundlag for skoleforløbet (denne tendens er tydeligt manifesteret både her og i udlandet). Implementeringen af ​​denne tendens i undervisningen (især i de elementære klasser, som det f.eks. observeres i en amerikansk skole) vil uundgåeligt stille en række vanskelige spørgsmål for børne- og pædagogisk psykologi og for didaktikken, for nu er der næsten ingen undersøgelser afsløre træk ved et barns assimilering af betydningen af ​​begrebet sæt (til forskel fra erhvervelsen af ​​tælle og tal, som er blevet studeret meget omfattende).

Logisk og psykologisk forskning i de senere år (især J. Piagets arbejde) har afsløret forbindelsen mellem nogle "mekanismer" i børns tænkning og generelle matematiske begreber. Nedenfor diskuterer vi specifikt træk ved denne forbindelse og deres betydning for konstruktionen af ​​matematik som et akademisk fag (vi vil tale om den teoretiske side af sagen, og ikke om nogen bestemt version af programmet).

Det naturlige tal har været et grundlæggende begreb i matematikken gennem dets historie; det spiller en meget væsentlig rolle inden for alle områder af produktion, teknologi og hverdagsliv. Dette giver teoretiske matematikere mulighed for at give det en særlig plads blandt andre matematikbegreber. I forskellige former fremsættes udsagn om, at begrebet et naturligt tal er den indledende fase af matematisk abstraktion, at det er grundlaget for opbygningen af ​​de fleste matematiske discipliner.

Valget af de indledende elementer i matematik som et akademisk fag implementerer i det væsentlige disse generelle bestemmelser. Det antages, at barnet, mens det bliver fortroligt med tal, samtidig selv opdager de indledende træk ved kvantitative forhold. Optælling og tal er grundlaget for al efterfølgende læring af matematik i skolen.

Der er dog grund til at tro, at disse bestemmelser, mens de med rette fremhæver tals særlige og grundlæggende betydning, samtidig i utilstrækkelig grad udtrykker dets sammenhæng med andre matematiske begreber og unøjagtigt vurderer antallets plads og rolle i processen med at beherske matematikken. . På grund af denne omstændighed opstår især nogle væsentlige mangler ved de vedtagne programmer, metoder og lærebøger i matematik. Det er nødvendigt specifikt at overveje den faktiske sammenhæng mellem talbegrebet og andre begreber.

Mange generelle matematiske begreber, og i særdeleshed begreberne ækvivalensrelationer og orden, overvejes systematisk i matematik uanset talformen. Disse begreber mister ikke deres selvstændige karakter på deres grundlag, det er muligt at beskrive og studere et bestemt emne - forskellige numeriske systemer, hvis begreber i sig selv ikke dækker betydningen og betydningen af ​​de oprindelige definitioner. Desuden udviklede generelle begreber sig i den matematiske videnskabs historie netop i den udstrækning, at "algebraiske operationer", et velkendt eksempel på hvilke er aritmetikkens fire operationer, begyndte at blive anvendt på elementer af fuldstændig ikke-numerisk karakter.

For nylig er der blevet gjort forsøg på at udvide stadiet med at introducere et barn til matematik i undervisningen. Denne tendens kommer til udtryk i metodiske manualer såvel som i nogle eksperimentelle lærebøger. I en amerikansk lærebog beregnet til undervisning af børn i alderen 6-7 år () introduceres således på de første sider opgaver og øvelser, der specifikt træner børn i at etablere identiteten af ​​faggrupper. Børn får vist teknikken til at forbinde sæt, og den tilsvarende matematiske symbolik introduceres. Arbejdet med tal er baseret på elementær viden om mængder.

Indholdet af konkrete forsøg på at implementere denne tendens kan vurderes forskelligt, men det er i sig selv efter vores mening ret legitimt og lovende.

Ved første øjekast kan begreberne "attitude", "struktur", "sammensætningslove" osv., som har komplekse matematiske definitioner, ikke forbindes med dannelsen af ​​matematiske begreber hos små børn. Selvfølgelig er hele den sande og abstrakte betydning af disse begreber og deres plads i matematikkens aksiomatiske struktur som en videnskab et objekt for assimilering for et hoved, der allerede er veludviklet og "trænet" i matematik. Men nogle egenskaber ved ting, der er fastsat af disse begreber, på den ene eller den anden måde, vises for barnet relativt tidligt: ​​der er specifikke psykologiske beviser for dette.

Først og fremmest skal det huskes, at fra fødslen til 7-10 år udvikler og udvikler et barn komplekse systemer af generelle ideer om verden omkring ham og lægger grundlaget for meningsfuld og objektiv tænkning. Desuden identificerer børn, baseret på relativt snævert empirisk materiale, generelle orienteringsmønstre i tings rumlige tidsmæssige og årsag-virkningsafhængigheder. Disse diagrammer fungerer som en slags ramme for "koordinatsystemet", inden for hvilket barnet i stigende grad begynder at mestre de forskellige egenskaber i den mangfoldige verden. Disse generelle mønstre er naturligvis kun lidt realiserede og kan i ringe grad udtrykkes af barnet selv i form af en abstrakt bedømmelse. De er billedligt talt en intuitiv form for organisering af barnets adfærd (selv om de selvfølgelig i stigende grad afspejles i domme).

I de seneste årtier er spørgsmålene om dannelsen af ​​børns intelligens og fremkomsten af ​​deres generelle ideer om virkelighed, tid og rum blevet studeret særligt intensivt af den berømte schweiziske psykolog J. Piaget og hans kolleger. Nogle af hans værker er direkte relateret til problemerne med at udvikle et barns matematiske tænkning, og derfor er det vigtigt for os at overveje dem i forhold til spørgsmål om læseplansdesign.

I en af ​​sine seneste bøger (), giver J. Piaget eksperimentelle data om tilblivelsen og dannelsen hos børn (op til 12 - 14 år) af sådanne elementære logiske strukturer som klassificering og serie. Klassificering involverer at udføre en inklusionsoperation (for eksempel A + A" = B) og dens inverse operation (B - A" = A). Seriation er rækkefølgen af ​​objekter i systematiske rækker (for eksempel kan pinde af forskellig længde arrangeres i en række, hvor hvert medlem er større end alle tidligere og mindre end alle efterfølgende).

Ved at analysere dannelsen af ​​klassifikation viser J. Piaget, hvordan børn fra dens oprindelige form, fra skabelsen af ​​et "figurativt aggregat", kun baseret på objekters rumlige nærhed, går videre til en klassifikation baseret på lighedsforholdet ("ikke- figurative aggregater"), og derefter til selve klassificeringen - til inklusion af klasser, bestemt af sammenhængen mellem begrebets volumen og indhold. Forfatteren overvejer specifikt spørgsmålet om at danne en klassifikation ikke kun efter et, men også efter to eller tre kriterier, og om at udvikle børns evne til at ændre klassificeringsgrundlaget, når der tilføjes nye elementer. Forfatterne finder lignende stadier i processen med dannelse af serie.

Disse undersøgelser forfulgte et meget specifikt mål - at identificere mønstrene for dannelse af operatørstrukturer i sindet og først og fremmest en sådan konstitutiv egenskab som reversibilitet, dvs. sindets evne til at bevæge sig frem og tilbage. Reversibilitet opstår, når "operationer og handlinger kan udfolde sig i to retninger, og forståelsen af ​​den ene af disse retninger forårsager ipso facto [i kraft af selve kendsgerningen] forståelsen af ​​den anden" (s. 15).

Reversibilitet repræsenterer ifølge J. Piaget den grundlæggende lov om sammensætning, der er iboende i sindet. Den har to komplementære og irreducerbare former: reversering (inversion eller negation) og reciprocitet. Reversering sker for eksempel i det tilfælde, hvor den rumlige bevægelse af et objekt fra A til B kan annulleres ved at overføre objektet tilbage fra B til A, hvilket i sidste ende svarer til en nultransformation (produktet af en operation og dens inverse er en identisk operation eller en nultransformation).

Gensidighed (eller kompensation) involverer det tilfælde, når f.eks. når en genstand flyttes fra A til B, objektet forbliver i B, men barnet selv bevæger sig fra A til B og gengiver den udgangsposition, da objektet var mod hans krop . Objektets bevægelse blev ikke annulleret her, men den blev kompenseret af den tilsvarende bevægelse af ens egen krop - og det er en anden form for transformation end cirkulation (s. 16).

I sine værker viste J. Piaget, at disse transformationer først optræder i form af sansemotoriske kredsløb (fra 10 til 12 måneder). Den gradvise koordinering af sansemotoriske kredsløb, funktionel symbolik og sproglig visning fører til, at cirkulation og gensidighed gennem en række stadier bliver egenskaber ved intellektuelle handlinger (operationer) og syntetiseres i en enkelt operatørstruktur (i perioden fra 7. til 11 og fra 12 til 15 år). Nu kan barnet koordinere alle bevægelser til én i henhold til to referencesystemer på én gang - den ene mobil, den anden stationær.

J. Piaget mener, at psykologisk forskning i udviklingen af ​​aritmetiske og geometriske operationer i barnets sind (især de logiske operationer, der udfører forudsætninger i dem) gør det muligt nøjagtigt at korrelere tænkningens operatorstrukturer med algebraiske strukturer, ordensstrukturer og topologiske strukturer. dem (s. 13). Således svarer den algebraiske struktur ("gruppe") til sindets operatørmekanismer, underlagt en af ​​formerne for reversibilitet - inversion (negation). En gruppe har fire elementære egenskaber: produktet af to elementer i en gruppe giver også et element af gruppen; en direkte operation svarer til én og kun én invers operation; der er en identitetsoperation; successive kompositioner er associative. I sproget om intellektuelle handlinger betyder dette:

Koordineringen af ​​to indsatssystemer udgør en ny ordning knyttet til de tidligere;

Operationen kan udvikle sig i to retninger;

Når vi vender tilbage til udgangspunktet finder vi det uændret;

Et og samme punkt kan nås på forskellige måder, og selve punktet forbliver uændret.

Fakta om et barns "uafhængige" udvikling (dvs. udvikling uafhængig af den direkte indflydelse fra skolegang) viser en uoverensstemmelse mellem rækkefølgen af ​​geometristadierne og stadierne af dannelsen af ​​geometriske begreber hos et barn. Sidstnævnte tilnærmer rækkefølgen af ​​hovedgrupperne, hvor topologi kommer først. Et barn udvikler ifølge J. Piaget først topologisk intuition, og derefter orienterer det sig i retning af projektive og metriske strukturer. Derfor, som J. Piaget bemærker, skelner barnet under de første forsøg på at tegne ikke mellem firkanter, cirkler, trekanter og andre metriske figurer, men skelner perfekt mellem åbne og lukkede figurer, positionen "udenfor" eller "indvendig". ” i forhold til grænse, opdeling og nærhed (uden foreløbig skelnen mellem afstande) mv. (, s. 23).

Lad os overveje de vigtigste bestemmelser formuleret af J. Piaget i forhold til spørgsmålene om at konstruere en læseplan. Først og fremmest viser J. Piagets forskning, at et barn i førskole- og skolebarndommen udvikler sådanne operatørstrukturer af tænkning, der tillader ham at evaluere de grundlæggende karakteristika ved klasser af objekter og deres relationer. Desuden erhverver barnets intellekt allerede på scenen af ​​specifikke operationer (fra 7 til 8 år) egenskaben af ​​reversibilitet, hvilket er ekstremt vigtigt for at forstå det teoretiske indhold af uddannelsesfag, især matematik.

Disse data indikerer, at traditionel psykologi og pædagogik ikke i tilstrækkelig grad tog højde for den komplekse og rummelige karakter af de stadier af et barns mentale udvikling, der er forbundet med perioden fra 2 til 7 og fra 7 til 11 år.

Betragtning af resultaterne opnået af J. Piaget giver os mulighed for at drage en række væsentlige konklusioner i forhold til udformningen af ​​et matematikpensum. Først og fremmest indikerer faktuelle data om dannelsen af ​​et barns intellekt fra 2 til 11 år, at på dette tidspunkt ikke kun er egenskaberne af objekter beskrevet gennem de matematiske begreber "forhold - struktur" ikke "fremmede" for ham, men sidstnævnte går selv organisk ind i barnets tænkning.

Traditionelle programmer tager ikke højde for dette. Derfor indser de ikke mange af de muligheder, der ligger gemt i processen med et barns intellektuelle udvikling.

De tilgængelige materialer i moderne børnepsykologi giver os mulighed for positivt at evaluere den generelle idé om at konstruere et pædagogisk emne, der ville være baseret på begreberne om indledende matematiske strukturer. Selvfølgelig opstår der store vanskeligheder langs denne vej, da der endnu ikke er nogen erfaring med at konstruere et sådant pædagogisk emne. Især en af ​​dem er relateret til at bestemme den alders "tærskel", fra hvilken træning under det nye program er muligt. Hvis vi følger J. Piagets logik, så kan disse programmer tilsyneladende kun undervises, når børn allerede har fuldt dannede operatørstrukturer (fra 14 til 15 år). Men hvis vi antager, at barnets egentlige matematiske tænkning er dannet netop inden for den proces, der er udpeget af J. Piaget som processen med at folde operatørstrukturer, så kan disse programmer introduceres meget tidligere (for eksempel fra 7 til 8 år) , når børn begynder at udføre specifikke operationer med det højeste niveau af reversibilitet. Under "naturlige" forhold, når man studerer efter traditionelle uddannelser, må formelle operationer først tage form i 13-15 års alderen. Men er det ikke muligt at "accelerere" deres dannelse ved tidligere at introducere sådant undervisningsmateriale, hvis assimilering kræver direkte analyse af matematiske strukturer?

Det ser ud til, at sådanne muligheder eksisterer. I en alder af 7 - 8 har børn allerede tilstrækkeligt udviklet en plan for mentale handlinger, og ved at træne i et passende program, hvor egenskaberne af matematiske strukturer er angivet "eksplicit", og børn får midlerne til at analysere dem, det er muligt hurtigt at bringe børn til niveauet af "formelle" operationer, end i den tidsramme, hvor dette udføres under den "uafhængige" opdagelse af disse egenskaber.

Det er vigtigt at tage hensyn til følgende forhold. Der er grund til at tro, at de særlige kendetegn ved tænkning på niveau med specifikke operationer, dateret af J. Piaget til alderen 7-11, i sig selv er uløseligt forbundet med de former for organisering af læring, der er karakteristiske for traditionel folkeskole. Denne træning (både her og i udlandet) gennemføres ud fra et ekstremt empirisk indhold, ofte slet ikke forbundet med en begrebsmæssig (teoretisk) holdning til objektet. Sådan træning understøtter og styrker børns tænkning, der er baseret på ydre, direkte perception, mærkbare tegn på ting.

Således er der på nuværende tidspunkt faktuelle data, der viser en tæt sammenhæng mellem strukturerne i børns tænkning og generelle algebraiske strukturer, selvom "mekanismen" af denne sammenhæng er langt fra klar og næsten uudforsket. Tilstedeværelsen af ​​denne forbindelse åbner op for grundlæggende muligheder (for nu kun muligheder!) for opbygningen af ​​et uddannelsesfag, der udvikler sig i henhold til skemaet "fra simple strukturer til deres komplekse kombinationer." En af betingelserne for at realisere disse muligheder er studiet af overgangen til medieret tænkning og dens aldersstandarder. Denne metode til at konstruere matematik som et akademisk fag kan i sig selv være en stærk løftestang til at udvikle en sådan tænkning hos børn, der er baseret på et ret stærkt begrebsmæssigt grundlag.

1.3 Problemet med oprindelsen af ​​algebraiske begreber og dets betydning for opbygningen af ​​et uddannelsesfag

Opdelingen af ​​skolematematikforløbet i algebra og aritmetik er naturligvis betinget. Overgangen fra den ene til den anden sker gradvist. I skolens praksis er betydningen af ​​denne overgang maskeret af, at undersøgelsen af ​​brøker faktisk foregår uden omfattende støtte til måling af mængder - brøker er angivet som forhold mellem talpar (selv om betydningen af ​​måling af mængder formelt er anerkendt i metodiske manualer ). En omfattende introduktion af brøktal baseret på måling af mængder fører uundgåeligt til begrebet et reelt tal. Men det sidste sker normalt ikke, da eleverne bliver ved med at arbejde med rationelle tal i lang tid, og derved forsinkes deres overgang til "algebra".

Skolealgebra begynder med andre ord netop, når betingelserne skabes for overgangen fra heltal til reelle tal, til at udtrykke resultatet af en måling som en brøk (simpel og decimal - endelig, og så uendelig).

Derudover kan udgangspunktet være fortrolighed med måleoperationen, opnåelse af endelige decimalbrøker og lære at operere på dem. Hvis eleverne allerede kender denne form for at skrive resultatet af en måling, så tjener dette som en forudsætning for at "opgive" tanken om, at et tal også kan udtrykkes som en uendelig brøk. Og det er tilrådeligt at skabe denne forudsætning allerede inden for folkeskolen.

Hvis begrebet et brøktal (rationelt) fjernes fra skolens aritmetiks område, vil grænsen mellem det og "algebra" passere langs forskellen mellem heltal og reelle tal. Det er dette, der "skærer" matematikkurset i to dele. Dette er ikke en simpel forskel, men en grundlæggende "dualisme" af kilder - optælling og måling.

Efter Lebesgues ideer om det "generelle talbegreb", er det muligt at sikre fuldstændig enhed i undervisningen i matematik, men først fra øjeblikket og efter at have gjort børn bekendt med tælle og heltal (naturlige) tal. Selvfølgelig kan tidspunktet for denne foreløbige bekendtgørelse være anderledes (i traditionelle programmer for folkeskoler er de tydeligt forsinkede elementer af praktiske målinger kan endda indføres i forløbet af elementær aritmetik (som finder sted i programmet) - dog, alt dette fjerner ikke forskellene i grundlaget for aritmetik og "algebra" som undervisningsfag. Udgangspunkternes "dualisme" forhindrer også, at afsnittene vedrørende måling af mængder og overgangen til reelle brøker virkelig "slår rod" i et regneforløb. Forfatterne af programmerne og metodologerne stræber efter at bevare stabiliteten og "renheden" af regning som skolefag. Denne forskel i kilder er hovedårsagen til at undervise i matematik i henhold til skemaet - først aritmetik (heltal), derefter "algebra" (reelt tal).

Denne ordning virker ret naturlig og urokkelig, desuden er den begrundet i mange års praksis i matematikundervisning. Men der er omstændigheder, der ud fra et logisk og psykologisk synspunkt kræver en mere grundig analyse af lovligheden af ​​denne rigide undervisningsordning.

Faktum er, at på trods af alle forskellene mellem disse typer af tal, så refererer de specifikt til tal, dvs. til en særlig form for at vise kvantitative sammenhænge. Det faktum, at heltal og reelle tal hører til "tal", tjener som grundlag for antagelsen om de genetiske afledte af selve forskellene mellem tælling og måling: De har en speciel og enkelt kilde, der svarer til selve tallets form. Kendskab til funktionerne i dette forenede grundlag for optælling og måling vil gøre det muligt mere klart at forestille sig betingelserne for deres oprindelse på den ene side og forholdet på den anden side.

Hvad skal vi vende os til for at finde den fælles rod i det forgrenede taltræ? Det ser ud til, at det først og fremmest er nødvendigt at analysere indholdet af begrebet kvantitet. Sandt nok er dette udtryk umiddelbart forbundet med en anden en - dimension. Imidlertid udelukker legitimiteten af ​​en sådan forbindelse ikke en vis uafhængighed af betydningen af ​​"størrelse". Overvejelse af dette aspekt giver os mulighed for at drage konklusioner, der samler på den ene side måling og optælling og på den anden side driften af ​​tal med visse generelle matematiske sammenhænge og mønstre.

Så hvad er "kvantitet", og hvilken interesse har det for at konstruere de indledende sektioner af skolematematik?

I almindelig brug er udtrykket "størrelse" forbundet med begreberne "lige", "mere", "mindre", som beskriver en række kvaliteter (længde og tæthed, temperatur og hvidhed). V.F. Kagan rejser spørgsmålet om, hvilke fælles egenskaber disse begreber har. Det viser, at de vedrører aggregater - sæt af homogene objekter, hvis sammenligning af elementer giver os mulighed for at anvende udtrykkene "mere", "lige", "mindre" (for eksempel på totaliteten af ​​alle lige linjesegmenter, vægte , hastigheder osv.).

Et sæt objekter omdannes kun til størrelse, når der er etableret kriterier, der gør det muligt med hensyn til et hvilket som helst af dets elementer A og B at fastslå, om A vil være lig med B, større end B eller mindre end B. to vilkårlige elementer A og B, én og kun én af forhold: A=B, A>B, A<В.

Disse sætninger udgør en fuldstændig disjunktion (mindst én holder, men hver udelukker alle de andre).

V.F. Kagan identificerer følgende otte grundlæggende egenskaber ved begreberne "lige", "mere", "mindre": (, s. 17-31).

1) Mindst en af ​​relationerne gælder: A=B, A>B, A<В.

2) Hvis relationen A = B holder, så holder relationen A ikke<В.

3) Hvis relationen A=B holder, så holder relationen A>B ikke.

4) Hvis A=B og B=C, så A=C.

5) Hvis A>B og B>C, så A>C.

6) Hvis A<В и В<С, то А<С.

7) Lighed er en reversibel relation: fra relationen A=B følger altid relationen B=A.

8) Ligestilling er en gensidig relation: uanset elementet A i det betragtede sæt, A = A.

De første tre sætninger karakteriserer disjunktionen af ​​de grundlæggende relationer "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Disse inferentielle egenskaber af V.F. Kagan beskriver i form af otte sætninger:

I. Forholdet A>B udelukker forholdet B>A (A<В исключает В<А).

II. Hvis A>B, så B<А (если А<В, то В>EN).

III. Hvis A>B holder, så holder A ikke.

IV. Hvis A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, så er A1=An.

V. Hvis A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, så A1>An.

VI. Hvis A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Hvis A=C og B=C, så A=B.

VIII. Hvis der er lighed eller ulighed A=B, eller A>B eller A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

hvis A=B og A=C, så C=B;

hvis A>B og A=C, så C>B osv.).

Sammenligningspostulater og teoremer, påpeger V.F. Kagan, "alle de egenskaber ved begreberne "lige", "mere" og "mindre" er udtømte, som i matematik er forbundet med dem og finder anvendelse uanset mængdens individuelle egenskaber til de elementer, som vi anvender dem i. forskellige særlige tilfælde” (side 31).

Egenskaberne specificeret i postulater og sætninger kan karakterisere ikke kun de umiddelbare træk ved objekter, som vi er vant til at forbinde med "lige", "mere", "mindre", men også med mange andre træk (for eksempel kan de karakterisere forholdet "forfader - efterkommer"). Dette giver os mulighed for at anlægge et generelt synspunkt, når vi beskriver dem og overveje, for eksempel fra synspunktet af disse postulater og sætninger, alle tre typer relationer "alfa", "beta", "gamma" (i dette tilfælde er det er muligt at fastslå, om disse relationer opfylder postulater og sætninger og under hvilke betingelser).

Fra dette synspunkt kan man for eksempel betragte en sådan egenskab ved ting som hårdhed (hårdere, blødere, lige hårdhed), hændelsesforløbet i tid (efterfølgende, forudgående, samtidige) osv. I alle disse tilfælde får forholdene "alfa", "beta", "gamma" deres egen specifikke fortolkning. Opgaven forbundet med udvælgelsen af ​​et sådant sæt af organer, der ville have disse relationer, såvel som identifikation af tegn, som man kunne karakterisere "alfa", "beta", "gamma" - dette er opgaven med at bestemme sammenligningskriterier i et givet sæt af organer (i praksis er det i nogle tilfælde ikke let at løse). "Ved at etablere sammenligningskriterier forvandler vi mangfoldighed til størrelse," skrev V.F. Kagan (, s. 41).

Virkelige objekter kan ses fra forskellige kriteriers perspektiv. Således kan en gruppe mennesker betragtes i henhold til et sådant kriterium som rækkefølgen af ​​fødslen af ​​hvert af dets medlemmer. Et andet kriterium er den relative position, som disse menneskers hoveder vil indtage, hvis de placeres side om side i samme vandrette plan. I hvert tilfælde vil gruppen blive omdannet til en mængde, der har et tilsvarende navn - alder, højde. I praksis betegner en mængde normalt ikke selve sættet af elementer, men et nyt koncept, der er introduceret for at skelne mellem sammenligningskriterier (navnet på mængden). Sådan opstår begreberne "volumen", "vægt", "elektrisk spænding" osv. "Samtidig er værdien for en matematiker fuldstændig defineret, når mange elementer og sammenligningskriterier er angivet," bemærkede V.F. Kagan (, s. 47).

Denne forfatter betragter den naturlige række af tal som det vigtigste eksempel på en matematisk størrelse. Set ud fra et sådant sammenligningskriterium som den position, som tal i en serie indtager (de indtager samme plads, følger efter ..., går forud), opfylder denne serie postulaterne og repræsenterer derfor en størrelse. Ifølge de tilsvarende sammenligningskriterier omregnes et sæt brøker også til en mængde.

Dette er ifølge V.F. Kagan, indholdet af kvantitetsteorien, som spiller en afgørende rolle i grundlaget for al matematik.

Når du arbejder med mængder (det er tilrådeligt at registrere deres individuelle værdier med bogstaver), kan du udføre et komplekst system af transformationer, etablere afhængighederne af deres egenskaber, gå fra lighed til ulighed, udføre addition (og subtraktion), og når du tilføjer du kan blive styret af kommutative og associative egenskaber. Så hvis relationen A=B er givet, kan man, når man "løser" problemer, blive styret af relationen B=A. I et andet tilfælde, hvis der er relationer A>B, B=C, kan vi konkludere, at A>C. Da der for a>b er en c sådan, at a=b+c, ​​så kan vi finde forskellen mellem a og b (a-b=c), osv. Alle disse transformationer kan udføres på fysiske kroppe og andre objekter, etablering af sammenligningskriterier og overholdelse af de udvalgte relationer med sammenligningspostulater.

Ovenstående materialer giver os mulighed for at konkludere, at både naturlige og reelle tal er lige stærkt forbundet med mængder og nogle af deres væsentlige træk. Er det muligt at gøre disse og andre egenskaber til genstand for særlig undersøgelse for barnet, allerede før den numeriske form for beskrivelse af mængdeforholdet er indført? De kan tjene som forudsætninger for den efterfølgende detaljerede introduktion af nummeret og dets forskellige typer, især for propædeutik af brøker, koordinatbegreber, funktioner og andre begreber allerede i ungdomsklasserne.

Hvad kunne indholdet af dette indledende afsnit være? Dette er et bekendtskab med fysiske objekter, kriterier for deres sammenligning, fremhævelse af en mængde som et emne for matematisk overvejelse, kendskab til sammenligningsmetoder og symbolske midler til at registrere dets resultater, med teknikker til at analysere de generelle egenskaber af mængder. Dette indhold skal udvikles til et relativt detaljeret undervisningsprogram og, vigtigst af alt, knyttes til de handlinger af barnet, hvorigennem det kan mestre dette indhold (naturligvis i den passende form). Samtidig er det nødvendigt eksperimentelt at fastslå, om 7-årige børn kan mestre dette program, og hvad er gennemførligheden af ​​dets introduktion til efterfølgende matematikundervisning i de primære klasser i retning af at bringe aritmetik og primær algebra tættere på. sammen.

Indtil nu har vores ræsonnement været af teoretisk karakter og rettet mod at klarlægge de matematiske forudsætninger for at konstruere et sådant indledende afsnit af kurset, der ville introducere børn til grundlæggende algebraiske begreber (før den særlige introduktion af tal).

De vigtigste egenskaber, der karakteriserer mængder, er beskrevet ovenfor. Det giver naturligvis ingen mening for 7-årige børn at holde "foredrag" om disse egenskaber. Det var nødvendigt at finde sådan en arbejdsform til børn med didaktisk stof, hvorigennem de på den ene side kunne identificere disse egenskaber i tingene omkring dem, på den anden side ville de lære at fiksere dem med en vis symbolik og udføre elementære matematisk analyse tildelte relationer.

I denne henseende bør programmet for det første indeholde en indikation af de egenskaber ved faget, der skal mestres, for det andet en beskrivelse af didaktiske materialer, for det tredje - og det er det vigtigste fra et psykologisk synspunkt - egenskaberne af de handlinger, hvorigennem barnet identificerer bestemte egenskaber ved et objekt og mestrer dem. Disse "komponenter" udgør undervisningsprogrammet i ordets rette betydning.

Det giver mening at præsentere de specifikke træk ved dette hypotetiske program og dets "komponenter", når man beskriver selve læreprocessen og dens resultater. Her er oversigten over dette program og dets nøgleemner.

Emne I. Nivellering og færdiggørelse af objekter (efter længde, volumen, vægt, sammensætning af dele og andre parametre).

Praktiske opgaver om nivellering og anskaffelse. Identifikation af karakteristika (kriterier), hvorved de samme objekter kan udlignes eller fuldføres. Verbal betegnelse af disse egenskaber ("efter længde", efter vægt osv.).

Disse opgaver løses i processen med at arbejde med didaktisk materiale (stænger, vægte osv.) af:

Ved at vælge det "samme" element,

Gengivelse (konstruktion) af det "samme" objekt i henhold til en valgt (specificeret) parameter.

Emne II. Sammenligning af objekter og fiksering af dets resultater ved hjælp af ligheds-ulighedsformlen.

1. Opgaver om at sammenligne objekter og symbolsk udpege resultaterne af denne handling.

2. Verbal registrering af sammenligningsresultater (udtryk "mere", "mindre", "lige"). Skrevne tegn ">", "<", "=".

3. Angivelse af sammenligningsresultatet med en tegning ("kopiering" og derefter "abstrakt" - linjer).

4. Betegnelse af sammenlignede objekter med bogstaver. Registrering af sammenligningsresultatet ved hjælp af formlerne: A=B; EN<Б, А>B.

Et bogstav som et tegn, der fastsætter en direkte given, bestemt værdi af et objekt i henhold til en valgt parameter (efter vægt, efter volumen osv.).

5. Umuligt at fastsætte sammenligningsresultatet ved hjælp af forskellige formler. Valg af en specifik formel for et givet resultat (komplet disjunktion af relationerne større - mindre - lige).

Emne III. Egenskaber ved lighed og ulighed.

1. Reversibilitet og refleksivitet af lighed (hvis A=B, så B=A; A=A).

2. Forbindelsen mellem relationerne "mere" og "mindre" i uligheder under "permutationer" af de sammenlignede parter (hvis A>B, så B<А и т.п.).

3. Transitivitet som en egenskab ved lighed og ulighed:

hvis A=B, hvis A>B, hvis A<Б,

a B=B, en B>B, en B<В,

derefter A=B; derefter A>B; derefter A<В.

4. Overgang fra at arbejde med fagdidaktisk stof til at vurdere egenskaberne ved lighed og ulighed i nærværelse af kun bogstavelige formler. Løsning af forskellige problemer, der kræver kendskab til disse egenskaber (for eksempel løsning af problemer relateret til sammenhængen af ​​relationer af typen: givet at A>B, og B=C; find ud af sammenhængen mellem A og C).

Emne IV. Addition (subtraktion) operation.

1. Observationer af ændringer i objekter i henhold til en eller anden parameter (efter volumen, efter vægt, efter varighed osv.). Illustration af stigende og faldende med "+" og "-" (plus og minus) tegn.

2. Krænkelse af tidligere etableret ligestilling med tilsvarende ændring i en eller anden af ​​dens sider. Overgangen fra lighed til ulighed. At skrive formler som:

hvis A=B, hvis A=B,

derefter A+K>B; derefter A-K<Б.

3. Metoder til overgang til ny lighed (dets "genoprettelse" ifølge princippet: tilføjelse af "lige" til "lige" giver "lige").

Arbejde med formler som:

derefter A+K>B,

men A+K=B+K.

4. Løsning af forskellige problemer, der kræver brug af addition (subtraktion), når man går fra lighed til ulighed og tilbage.

Emne V. Overgang fra type A ulighed<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Opgaver, der kræver en sådan overgang. Behovet for at bestemme værdien af ​​den mængde, som de sammenlignede objekter adskiller sig med. Evnen til at skrive lighed, når den specifikke værdi af denne mængde er ukendt. Metode til at bruge x (x).

At skrive formler som:

hvis A<Б, если А>B,

derefter A+x=B; så A-x=B.

2. Bestemmelse af værdien af ​​x. Sætter denne værdi ind i formlen (introduktion til parenteser). Skriv formler

3. Løsning af problemer (herunder "plot-tekstuelle"), der kræver udførelse af de specificerede operationer.

Tema Vl. Addition-subtraktion af ligheder-uligheder. Substitution.

1. Addition-subtraktion af ligheder-uligheder:

hvis A=B hvis A>B hvis A>B

og M=D, og ​​K>E, og B=G,

derefter A+M=B+D; derefter A+K>B+E; derefter A+-B>C+-G.

2. Evnen til at repræsentere værdien af ​​en mængde som summen af ​​flere værdier. Type erstatning:

3. Løsning af forskellige problemer, der kræver, at der tages hensyn til egenskaberne ved relationer, som børn blev fortrolige med i arbejdsprocessen (mange opgaver kræver samtidig overvejelse af flere egenskaber, intelligens i vurdering af betydningen af ​​formler; beskrivelser af problemer og løsninger er givet nedenfor ).

Dette er et program designet til 3,5 - 4 måneder. første halvdel af året. Som erfaringen med eksperimentel undervisning viser, med korrekt planlægning af lektioner, forbedring af undervisningsmetoder og et vellykket valg af didaktiske hjælpemidler, kan alt det materiale, der præsenteres i programmet, absorberes fuldt ud af børn på kortere tid (på 3 måneder) .

Hvordan går vores program fremad? Først og fremmest bliver børn fortrolige med metoden til at opnå et tal, der udtrykker forholdet mellem et objekt som helhed (den samme mængde repræsenteret af et kontinuerligt eller diskret objekt) til sin del. Dette forhold i sig selv og dets specifikke betydning er afbildet med formlen A/K = n, hvor n er et hvilket som helst heltal, der oftest udtrykker forholdet til nærmeste "enhed" (kun med et særligt udvalg af materiale eller ved kun at tælle "kvalitativt" individuelle ting kan man få helt nøjagtige heltal). Helt fra begyndelsen er børn "tvunget" til at huske på, at når de måler eller tæller, kan der opstå en rest, hvis tilstedeværelse skal være specielt fastsat. Dette er det første skridt til det efterfølgende arbejde med brøker.

Med denne form for at opnå et tal er det ikke svært at få børn til at beskrive et objekt med en formel som A = 5k (hvis forholdet var lig med "5"). Sammen med den første formel åbner den op for muligheder for en særlig undersøgelse af afhængighederne mellem objektet, basen (mål) og resultatet af tælling (måling), som også fungerer som en propædeutik for overgangen til brøktal (især , for at forstå den grundlæggende egenskab ved en brøk).

En anden linje i programudvikling, implementeret allerede i første klasse, er overførslen til tal (heltal) af de grundlæggende egenskaber for kvantitet (disjunktion af lighed-ulighed, transitivitet, invertibilitet) og driften af ​​addition (kommutativitet, associativitet, monotonitet, mulighed for subtraktion). Især ved at arbejde på tallinjen kan børn hurtigt konvertere talsekvenser til størrelser (for eksempel klart vurdere deres transitivitet ved at lave type 3 notationer<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Kendskab til nogle af de såkaldte "strukturelle" træk ved ligestilling gør det muligt for børn at gribe sammenhængen mellem addition og subtraktion anderledes an. Når man bevæger sig fra ulighed til lighed, udføres følgende transformationer: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; find forholdet mellem venstre og højre side af formlen for 8+1-4...6+3-2; i tilfælde af ulighed, bring dette udtryk til lighed (først skal du sætte et "mindre end"-tegn og derefter tilføje et "to" til venstre side).

At behandle en talserie som en størrelse giver dig således mulighed for at udvikle færdighederne til addition og subtraktion (og derefter multiplikation og division) på en ny måde.

Kapitel II. Metodiske anbefalinger til undersøgelse af algebraisk materiale i folkeskolen 2.1 Undervisning i folkeskolen ud fra gymnasieskolens behov

Når man læser matematik i 5. klasse, går en væsentlig del af tiden som bekendt til at gentage, hvad børn skulle have lært i folkeskolen. Denne gentagelse i næsten alle eksisterende lærebøger tager 1,5 akademiske kvartaler. Denne situation opstod ikke tilfældigt. Dens årsag er utilfredshed blandt gymnasielærere i matematik med forberedelsen af ​​grundskolekandidater. Hvad er årsagen til denne situation? Til dette formål blev de fem mest berømte folkeskolelærebøger i matematik i dag analyseret. Det er M.I.s lærebøger. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson og V.V. Davydova (, , , ,).

En analyse af disse lærebøger afslørede adskillige negative aspekter, der i større eller mindre grad er til stede i hver af dem og påvirker videre læring negativt. Først og fremmest er assimileringen af ​​materiale i dem i vid udstrækning baseret på memorering. Et tydeligt eksempel på dette er at huske multiplikationstabellen. I folkeskolen bliver der brugt mange kræfter og tid på at lære det udenad. Men i sommerferien glemmer børnene hende. Årsagen til så hurtig glemsel er udenadslære. Forskning af L.S. Vygotsky viste, at meningsfuld memorering er meget mere effektiv end mekanisk memorering, og efterfølgende eksperimenter beviser overbevisende, at materiale kun kommer ind i langtidshukommelsen, hvis det huskes som et resultat af arbejde, der svarer til dette materiale.

En metode til effektivt at mestre multiplikationstabellen blev fundet tilbage i 50'erne. Det består i at organisere et bestemt system af øvelser, ved at udføre hvilke børn selv konstruerer en multiplikationstabel. Denne metode er dog ikke implementeret i nogen af ​​de gennemgåede lærebøger.

En anden negativ pointe, der påvirker videreuddannelse, er, at præsentationen af ​​materiale i folkeskolens matematiklærebøger i mange tilfælde er struktureret på en sådan måde, at børn i fremtiden skal omskoles, og det er som bekendt meget sværere. end undervisning. I forhold til studiet af algebraisk materiale ville et eksempel være løsning af ligninger i folkeskolen. I alle lærebøger er ligningsløsning baseret på reglerne for at finde ukendte komponenter af handlinger.

Dette gøres kun noget anderledes i lærebogen af ​​L.G. Peterson, hvor fx løsning af multiplikations- og divisionsligninger er baseret på at korrelere ligningens komponenter med siderne og arealet af et rektangel og i sidste ende også kommer ned til regler, men det er regler for at finde siden eller arealet af et rektangel. I mellemtiden bliver børn fra 6. klasse undervist i et helt andet princip for at løse ligninger, baseret på brug af identiske transformationer. Dette behov for genlæring fører til, at løsning af ligninger er en ret vanskelig opgave for de fleste børn.

Ved at analysere lærebøger stødte vi også på, at når der præsenteres materiale i dem, er der ofte en forvrængning af begreberne. For eksempel er formuleringen af ​​mange definitioner givet i form af implikationer, mens man fra matematisk logik ved, at enhver definition er en ækvivalens. Som en illustration kan vi citere definitionen af ​​multiplikation fra I.I.s lærebog. Arginskaya: "Hvis alle led i summen er lig med hinanden, kan addition erstattes af en anden handling - multiplikation." (Alle led i summen er lig med hinanden. Derfor kan addition erstattes af multiplikation.) Som du kan se, er dette en implikation i sin rene form. Denne formulering er ikke kun analfabet fra et matematiksynspunkt, den danner ikke kun forkert hos børn ideen om, hvad en definition er, men den er også meget skadelig, fordi den i fremtiden f.eks. en multiplikationstabel bruger lærebogsforfattere udskiftning af produktet med summen af ​​identiske udtryk , hvilket den præsenterede formulering ikke tillader. Sådant forkert arbejde med udsagn skrevet i form af implikationer danner en forkert stereotype hos børn, som vil blive overvundet med stor besvær i geometritimerne, når børn ikke vil mærke forskel på en direkte og omvendt udsagn, mellem et tegn på en figur og sin ejendom. Fejlen med at bruge den omvendte sætning, når man løser problemer, mens kun den direkte sætning er blevet bevist, er meget almindelig.

Et andet eksempel på forkert begrebsdannelse er arbejdet med den bogstavelige lighedsrelation. For eksempel er reglerne for at gange et tal med et og et tal med nul i alle lærebøger givet på bogstavform: a x 1 = a, a x 0 = 0. Lighedsrelationen er som bekendt symmetrisk, og derfor er f.eks. en notation sørger ikke kun for, at når multipliceret med 1 opnås det samme tal, men også at et hvilket som helst tal kan repræsenteres som produktet af dette tal og et. Den verbale formulering, der foreslås i lærebøgerne efter brevindførslen, taler dog kun om den første mulighed. Øvelser om dette emne er også kun rettet mod at øve dig i at erstatte produktet af et tal og et med dette nummer. Alt dette fører ikke kun til det faktum, at et meget vigtigt punkt ikke bliver genstand for børns bevidsthed: ethvert tal kan skrives i form af et produkt, hvilket i algebra vil forårsage tilsvarende vanskeligheder, når man arbejder med polynomier, men også til kendsgerning, at børn i princippet ikke ved, hvordan man korrekt arbejder med ligestillingsrelationen. For eksempel, når man arbejder med formel for forskellen mellem kvadrater, klarer børn som regel opgaven med at faktorisere forskellen på kvadrater. De opgaver, hvor den modsatte handling er påkrævet, volder imidlertid i mange tilfælde vanskeligheder. En anden slående illustration af denne idé er arbejdet med den distributive lov om multiplikation i forhold til addition. Også her træner både dens verbale formulering og øvelsessystemet trods lovens bogstavskrivning kun evnen til at åbne parentes. Som følge heraf vil det give betydelige vanskeligheder i fremtiden at sætte den fælles faktor ud af parentes.

Ganske ofte i folkeskolen, selv når en definition eller regel er formuleret korrekt, stimuleres læring ved ikke at stole på dem, men på noget helt andet. Når man for eksempel studerer multiplikationstabellen med 2, viser alle de gennemgåede lærebøger, hvordan man konstruerer den. I lærebogen M.I. Moro gjorde det sådan her:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Med denne arbejdsmetode vil børn meget hurtigt bemærke mønsteret af den resulterende talserie.

Efter 3-4 ligheder stopper de med at tilføje toere og begynder at skrive resultatet ned baseret på det mønster, de har bemærket. Således vil metoden til at konstruere multiplikationstabellen ikke blive genstand for deres bevidsthed, hvilket vil resultere i dens skrøbelige assimilering.

Når man studerer materiale i folkeskolen, lægges der vægt på objektive handlinger og illustrativ klarhed, hvilket fører til dannelsen af ​​empirisk tænkning. Det er selvfølgelig næppe muligt at undvære en sådan synlighed i folkeskolen. Men det bør kun tjene som en illustration af dette eller hint faktum, og ikke som grundlag for dannelsen af ​​et koncept. Brugen af ​​illustrativ klarhed og indholdsmæssige handlinger i lærebøger fører ofte til, at selve konceptet bliver "sløret". For eksempel i matematikmetoder for 1-3 klassetrin, M.I. Moreau siger, at børn skal lave opdeling ved at arrangere genstande i bunker eller lave en tegning i 30 lektioner. Sådanne handlinger mister essensen af ​​divisionsoperationen som den omvendte handling af multiplikation. Som følge heraf læres division med det største besvær og er meget værre end andre regneoperationer.

Når man underviser i matematik i folkeskolen, er der ikke tale om at bevise nogle udsagn. I mellemtiden, når du husker, hvor svært det vil være at undervise i bevis i gymnasiet, skal du begynde at forberede dig på dette allerede i grundskolen. Desuden kan dette gøres på materiale, der er ret tilgængeligt for yngre skolebørn. Sådant materiale kan for eksempel være reglerne for at dividere et tal med 1, nul med et tal og et tal for sig selv. Børn er ganske i stand til at bevise dem ved hjælp af definitionen af ​​division og de tilsvarende multiplikationsregler.

Folkeskolematerialet giver også mulighed for algebrapropædeutik - arbejde med bogstaver og bogstavudtryk. De fleste lærebøger undgår at bruge bogstaver. Det betyder, at børn næsten udelukkende arbejder med tal i fire år, hvorefter det selvfølgelig er meget svært at vænne dem til at arbejde med bogstaver. Det er dog muligt at give propædeutik til sådant arbejde, at lære børn at erstatte et tal i stedet for et bogstav i et bogstavudtryk allerede i folkeskolen. Det gjorde man fx i lærebogen af ​​L.G. Peterson.

Når vi taler om manglerne ved at undervise i matematik i folkeskolen, som forstyrrer den videre læring, er det nødvendigt især at understrege, at materialet i lærebøger ofte præsenteres uden at se på, hvordan det vil fungere i fremtiden. Et meget slående eksempel på dette er organiseringen af ​​læringsmultiplikation med 10, 100, 1000 osv. I alle de gennemgåede lærebøger er præsentationen af ​​dette materiale struktureret på en sådan måde, at det uundgåeligt fører til dannelsen i børns hoveder af reglen: "For at gange et tal med 10, 100, 1000 osv., skal du bruge at tilføje lige så mange nuller til højre side, som der er i 10, 100, 1000 osv." Denne regel er en af ​​dem, der læres meget godt i folkeskolen. Og dette fører til et stort antal fejl, når decimalbrøker ganges med hele cifferenheder. Selv efter at have husket den nye regel, tilføjer børn ofte automatisk et nul til højre for decimalen, når de ganges med 10. Derudover skal det bemærkes, at når man multiplicerer et naturligt tal og når man multiplicerer en decimalbrøk med hele cifferenheder, sker der i det væsentlige det samme: hvert ciffer i tallet forskydes til højre med det tilsvarende antal cifre. Derfor nytter det ikke noget at lære børn to separate og helt formelle regler. Det er meget mere nyttigt at lære dem en generel måde at gå frem på, når de løser lignende problemer.

2.1 Sammenligning (kontrast) af begreber i matematiktimerne

Det nuværende program giver mulighed for studiet i klasse I af kun to operationer på det første niveau - addition og subtraktion. At begrænse det første studieår til kun to operationer er i bund og grund en afvigelse fra, hvad der allerede var opnået i de lærebøger, der gik forud for de nuværende: ikke en eneste lærer har dengang nogensinde klaget over, at multiplikation og division, f.eks. inden for 20, var længere end evnerne hos elever i første klasse. Det er også værd at bemærke, at i skoler i andre lande, hvor uddannelsen begynder i 6-årsalderen, omfatter det første skoleår indledende bekendtskab med alle fire regneoperationer. Matematik bygger primært på fire handlinger, og jo hurtigere de indgår i elevens tænkepraksis, jo mere stabil og pålidelig vil den efterfølgende udvikling af matematikforløbet være.

For at være retfærdig skal det bemærkes, at der i de første versioner af M.I. Moros lærebøger for klasse I blev givet multiplikation og division. En ulykke forhindrede imidlertid sagen: Forfatterne af de nye programmer klyngede sig konstant til én "nyhed" - dækning i første klasse af alle tilfælde af addition og subtraktion inden for 100 (37+58 og 95-58 osv.). Men da der ikke var tid nok til at studere en sådan udvidet mængde information, blev det besluttet at flytte multiplikation og division helt til det næste studieår.

Så fascinationen af ​​programmets linearitet, dvs. en rent kvantitativ udvidelse af viden (de samme handlinger, men med større antal), optog den tid, der tidligere var allokeret til den kvalitative uddybning af viden (studie af alle fire handlinger inden for to dusin). At studere multiplikation og division allerede i første klasse betyder et kvalitativt spring i tænkningen, da det giver dig mulighed for at mestre fortættede tankeprocesser.

Ifølge traditionen var studiet af addition og subtraktion inden for 20 et særligt emne. Behovet for denne tilgang til systematisering af viden er synligt selv fra den logiske analyse af spørgsmålet: faktum er, at den komplette tabel til tilføjelse af et-cifret. tal udvikles inden for to tiere (0+1= 1, ...,9+9=18). Således danner tal inden for 20 et komplet system af relationer i deres interne forbindelser; derfor er det hensigtsmæssigt at bevare de "tyve" som et andet holistisk tema (det første af disse tema er handlinger inden for de første ti).

Den sag, der diskuteres, er netop en, hvor koncentricitet (bevarelse af den anden ti som et særligt tema) viser sig at være mere gavnlig end linearitet ("opløsning" af de anden ti i "Hundrede"-temaet).

I lærebogen af ​​M.I. Moro er undersøgelsen af ​​de første ti opdelt i to isolerede sektioner: Først studeres sammensætningen af ​​tallene for de første ti, og i det næste emne overvejes handlinger inden for 10 af P.M. Erdnieva udførte i modsætning til dette en fælles undersøgelse af nummerering, sammensætningen af ​​tal og operationer (addition og subtraktion) inden for 10 på én gang i et afsnit. Med denne tilgang anvendes en monografisk undersøgelse af tal, nemlig: inden for det tal, der er under overvejelse (f.eks. 3), er al "kontantmatematik" umiddelbart forstået: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Hvis der ifølge de nuværende programmer blev afsat 70 timer til at studere de første ti, så blev alt dette materiale studeret på 50 timer i tilfælde af eksperimentel træning (og ud over programmet blev der overvejet nogle yderligere koncepter, som ikke var i staldlærebogen, men var strukturelt relateret til hovedmaterialet).

Spørgsmålet om klassificering af opgaver og navnene på deres typer kræver særlig opmærksomhed i metoden til indledende træning. Generationer af metodologer arbejdede på at strømline systemet med skoleopgaver, for at skabe deres effektive typer og varianter, helt ned til udvælgelsen af ​​vellykkede termer for navnene på opgaver beregnet til studier i skolen. Det er kendt, at mindst halvdelen af ​​undervisningstiden i matematiktimerne er afsat til at løse dem. Skolens opgaver trænger bestemt til systematisering og klassificering. Hvilken slags (type) problemer skal studeres, hvornår skal studeres, hvilken type problemer skal studeres i forbindelse med passagen af ​​et bestemt afsnit - dette er et legitimt studieobjekt af metoderne og det centrale indhold af programmerne. Betydningen af ​​denne omstændighed fremgår tydeligt af matematikmetodens historie.

I forfatterens eksperimentelle læremidler lægges der særlig vægt på klassificeringen af ​​opgaver og fordelingen af ​​deres nødvendige typer og varianter til undervisning i en bestemt klasse. I øjeblikket er de klassiske navne på typer problemer (for at finde en sum, et ukendt udtryk osv.) forsvundet selv fra indholdsfortegnelsen i en stabil førsteklasses lærebog. I forsøgslærebogen P.M. Erdniev, disse navne "virker": de er nyttige som didaktiske milepæle ikke kun for eleven, men også for læreren. Lad os præsentere indholdet af det første emne i lærebogen om prøvematematik, som er karakteriseret ved den logiske fuldstændighed af begreber.

De første ti

Sammenligning af begreberne højere - lavere, venstre - højre, mellem, kortere - længere, bredere - smallere, tykkere - tyndere, ældre - yngre, længere - tættere på, langsommere - hurtigere, lettere - tungere, lidt - meget.

Monografisk undersøgelse af numrene på de første ti: navn, betegnelse, sammenligning, anbringelse af tal på abacus og betegnelse af tal på tallinien; tegn: lig (=), ikke lig (¹), større end (>), mindre end (<).

Lige og buede linjer; cirkel og oval.

Punkt, ret linje, segment, deres betegnelse med bogstaver; måling af længden af ​​et segment og nedsættelse af segmenter af en given længde; betegnelse, navngivning, konstruktion, udskæring af lige trekanter, lige mange polygoner. Elementer i en polygon: hjørner, sider, diagonaler (angivet med bogstaver).

Monografisk undersøgelse af tal inden for det pågældende tal:

sammensætning af tal, addition og subtraktion.

Navnene på komponenterne til addition og subtraktion.

Fire eksempler på addition og subtraktion:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformerede eksempler (med manglende tal og tegn):

X + 5 = 7; 6 - X = 4; 6 = 3A2.

Løsning af problemer med at finde summen og addend, difference, minuend og subtrahend. Kompilering og løsning af gensidigt omvendte problemer.

Tre opgaver: at øge og mindske et tal med flere enheder og lave en forskelssammenligning. Sammenligning af segmenter efter længde.

Kommutativ lov om addition. En ændring i en sum afhængig af en ændring i et led. Betingelsen når beløbet ikke ændres. De enkleste bogstavelige udtryk: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Kompilering og løsning af udtryksproblemer.

I den følgende præsentation vil vi overveje hovedspørgsmålene i metoden til præsentation af denne indledende sektion af skolematematik, idet vi husker på, at metoden til præsentation af efterfølgende sektioner på mange måder bør ligne processen med at mestre materialet i det første emne .

I de allerførste lektioner bør læreren sætte sig som mål at lære eleven at bruge begrebspar, hvis indhold afsløres i processen med at komponere tilsvarende sætninger med disse ord. (For det første mestrer vi sammenligning på et kvalitativt niveau uden at bruge tal.)

Her er eksempler på de mest almindelige begrebspar, der bør bruges i lektioner ikke kun i matematik, men også i taleudvikling:

Mere - mindre, længere - kortere, højere - lavere, tungere - lettere, bredere - smallere, tykkere - tyndere, højre - venstre, længere - tættere på, ældre - yngre, hurtigere - langsommere osv.

Når man arbejder med sådanne begrebspar, er det vigtigt ikke kun at bruge illustrationer i lærebogen, men også børns observationer; så de for eksempel fra klasseværelsesvinduet ser, at der er et hus på den anden side af floden, og de opfinder sætningerne: "Åen er tættere på skolen end huset, og huset er længere fra skolen end floden ."

Lad eleven skiftevis holde en bog og en notesbog i hånden. Læreren spørger: hvad er tungere - en bog eller en notesbog? Hvad er nemmere? "En bog er tungere end en notesbog, og en notesbog er lettere end en bog."

Efter at have stillet den højeste og laveste elev i klassen op side om side foran klassen, opstiller vi straks to sætninger: "Misha er højere end Kolya, og Kolya er kortere end Misha."

I disse øvelser er det vigtigt at opnå en grammatisk korrekt udskiftning af én dom med en dobbelt: "Et stenhus er højere end et træhus, hvilket betyder, at et træhus er lavere end et stenhus."

Når du gør dig bekendt med begrebet "længere - kortere", kan du vise en sammenligning af objekter i længden ved at lægge den ene oven på den anden (hvilket er længere: en kuglepen eller et penalhus?).

I regne- og taleudviklingslektioner er det nyttigt at løse logiske problemer med det mål at undervise i brugen af ​​modsatte begreber: ”Hvem er ældre: far eller søn? Hvem er yngst: far eller søn? Hvilken blev født først? Hvem er senere?

"Sammenlign bredden af ​​en bog og en dokumentmappe. Hvad er bredere: en bog eller en dokumentmappe? Hvad er allerede en bog eller en dokumentmappe? Hvad er tungere: en bog eller en mappe?

Undervisning i sammenligningsprocessen kan gøres mere interessant ved at introducere såkaldte matrix (tabel)øvelser. En tabel med fire celler er bygget på tavlen, og betydningen af ​​begreberne "søjle" og "række" forklares. Vi introducerer begreberne "venstre kolonne" og "højre kolonne", "øverste række" og "nederste række".

Sammen med eleverne viser (imiterer) vi den semantiske fortolkning af disse begreber.

Vis kolonnen (børn flytter deres hånd fra top til bund).

Vis venstre kolonne, højre kolonne (børn svinger armene to gange fra top til bund).

Vis stregen (sving din hånd fra venstre mod højre).

Vis øverste linje, bundlinje (to håndbølger, der viser øverste linje, nederste linje).

Det er nødvendigt at sikre, at eleverne præcist angiver cellens position: "øverste venstre celle", "nederste højre celle" osv. Det omvendte problem løses straks, nemlig: læreren peger på en eller anden celle i tabellen (matrix). , giver eleven det passende navn til denne celle. Så hvis der peges på en celle, der ligger i skæringspunktet mellem den øverste række og den venstre kolonne, skal eleven navngive: "Top venstre celle." Sådanne øvelser vænner gradvist børn til rumlig orientering og er vigtige, når de efterfølgende studerer matematikkens koordinatmetode.

Arbejdet med talrækken er af stor betydning for de første lektioner i elementær matematik.

Det er praktisk at illustrere væksten af ​​en talserie ved at tilføje en efter en ved at flytte til højre langs tallinjen.

Hvis tegnet (+) er forbundet med at bevæge sig langs en tallinje til højre ad gangen, så er tegnet (-) forbundet med at flytte tilbage til venstre ad gangen osv. (Derfor viser vi begge tegn samtidigt i samme lektie.)

I arbejdet med talrækken introducerer vi følgende begreber: begyndelsen af ​​talrækken (tallet nul) repræsenterer den venstre ende af strålen; Tallet 1 svarer til et enhedssegment, som skal afbildes separat fra talrækken.

Lad eleverne arbejde på en tallinje inden for tre.

Vi vælger hvilke som helst to nabotal, for eksempel 2 og 3. Når børn flytter fra tallet 2 til tallet 3, ræsonnerer børn således: "Tallet 2 efterfølges af tallet 3." Når de flytter fra nummer 3 til nummer 2, siger de:

"Tallet 3 kommer før tallet 2" eller: "Tallet 2 kommer før tallet 3."

Denne metode giver dig mulighed for at bestemme stedet for et givet tal i forhold til både de foregående og efterfølgende tal; Det er passende straks at være opmærksom på relativiteten af ​​tallets position, for eksempel: tallet 3 er samtidig både efterfølgende (bag tallet 2) og foregående (før tallet 4).

De angivne overgange langs talrækken skal være knyttet til de tilsvarende regneoperationer.

For eksempel er sætningen "Tallet 2 efterfulgt af tallet 3" symbolsk afbildet som følger: 2 + 1 = 3; dog er det psykologisk fordelagtigt umiddelbart efter at skabe den modsatte sammenhæng af tanker, nemlig: udtrykket "Før tallet 3 kommer tallet 2" understøttes af indtastningen: 3 – 1 = 2.

For at få en forståelse af et tals plads i en talserie, bør parrede spørgsmål stilles:

1. Hvilket tal efterfølges af tallet 3? (Tallet 3 kommer efter tallet 2.) Hvilket tal kommer tallet 2 før? (Tallet 2 kommer før tallet 3.)

2. Hvilket tal kommer efter tallet 2? (2-tallet efterfølges af tallet 3.) Hvilket tal kommer før tallet 3? (Tall 3 er foran tallet 2.)

3. Mellem hvilke tal er tallet 2 placeret? (Tallet 2 er mellem tallet 1 og tallet 3.) Hvilket tal er mellem tallet 1 og 3? (Mellem tallene 1 og 3 er tallet 2.)

I disse øvelser er matematisk information indeholdt i funktionsord: før, bagved, mellem.

Det er praktisk at kombinere arbejdet med en talserie med at sammenligne tal efter størrelse, samt at sammenligne tallenes position på tallinjen. Forbindelser af domme af geometrisk karakter udvikles gradvist: tallet 4 er på tallinjen til højre for tallet 3; det betyder, at 4 er større end 3. Og omvendt: tallet 3 er på tallinjen til venstre for tallet 4; det betyder, at tallet 3 er mindre end tallet 4. Sådan etableres en sammenhæng mellem begrebspar: til højre - mere, til venstre - mindre.

Fra ovenstående ser vi et karakteristisk træk ved den integrerede assimilering af viden: hele sæt af begreber forbundet med addition og subtraktion tilbydes sammen, i deres kontinuerlige overgange (omkodninger) ind i hinanden.

De vigtigste midler til at mestre numeriske sammenhænge i vores lærebog er farvede søjler; Det er praktisk at sammenligne dem efter længde og fastslå, hvor mange celler der er større eller mindre end dem i den øverste eller nederste bjælke. Med andre ord introducerer vi ikke begrebet "forskelsammenligning af segmenter" som et særligt emne, men eleverne bliver fortrolige med det helt i begyndelsen af ​​at studere tallene for de første ti. I lektioner, der er afsat til studiet af de første ti, er det praktisk at bruge farvede bjælker, som giver dig mulighed for at udføre propædeutik af hovedtyperne af opgaver til handlingerne i den første fase.

Lad os se på et eksempel.

Lad to farvede søjler, opdelt i celler, lægges oven på hinanden:

i den nederste - 3 celler, i den øverste - 2 celler (se figur).

Ved at sammenligne antallet af celler i de øverste og nederste bjælker komponerer læreren to eksempler på gensidigt omvendte handlinger (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), og løsningerne til disse eksempler læses i par på alle mulige måder:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) læg 1 til 2 - du får 3; a) træk 1 fra 3 - du får 2;

b) øg 2 med 1 - du får 3; b) reducer 3 med 1 - du får 2;

c) 3 er mere end 2 gange 1; c) 2 er mindre end 3 gange 1;

d) 2 ja 1 vil være 3; d) 3 uden 1 vil være 2;

e) læg nummer 2 til nummer 1 - e) træk nummer 1 fra nummer 3 -

det bliver 3. det bliver 2.

Lærer. Hvis 2 ganges med 1, hvor meget er det så?

Studerende. Hvis du øger 2 med 1, får du 3.

Lærer. Fortæl mig nu, hvad der skal gøres med tallet 3 for at få 2?

Studerende. Reducer 3 med 1 for at få 2.

Lad os her henlede opmærksomheden på behovet i denne dialog for en metodisk kompetent implementering af oppositionens operation. ,

Børns sikre beherskelse af betydningen af ​​parrede begreber (tilføj - subtraher, øg - formindsk, mere - mindre, ja - uden, addér - subtraher) opnås ved at bruge dem i én lektion, baseret på den samme tripel af tal (f.eks. 2+1= =3, 3-1=2), baseret på en demonstration - sammenligning af længden af ​​to stænger.

Dette er den grundlæggende forskel mellem det metodologiske system til konsolidering af assimilationsenheder og systemet med separat undersøgelse af disse grundlæggende begreber, hvor kontrasterende matematikbegreber som regel introduceres separat i elevernes talepraksis.

Læringserfaring viser fordelene ved samtidig introduktion af par af indbyrdes modsatte begreber, startende fra de allerførste lektioner i aritmetik.

Så for eksempel den samtidige brug af tre verber: "tilføj" (tilføj 1 til 2), "tilføj" (tilføj tallet 2 med tallet 1), "forøg" (2 øges med 1), som er afbildet symbolsk det samme (2+1= 3), hjælper børn med at lære ligheden og nærheden af ​​disse ord i betydningen (lignende ræsonnementer kan udføres vedrørende ordene "fratrække", "fradrage", "reducere").

På samme måde læres essensen af ​​forskelssammenligning gennem gentagen brug af sammenligning af talpar lige fra starten af ​​træningen, og i hver del af dialogen i lektionen bruges alle mulige verbale former for fortolkning af det løste eksempel: "Hvad er større: 2 eller 3? Hvor meget mere er 3 end 2? Hvor meget skal du lægge til 2 for at få 3? osv. Ændring af grammatiske former og hyppig brug af spørgende former er af stor betydning for at mestre betydningen af ​​disse begreber.

Langtidstest har vist fordelene ved monografisk undersøgelse af de første ti numre. Hvert successivt nummer udsættes for multilateral analyse, hvor alle mulige muligheder for dets dannelse er opregnet; inden for dette tal udføres alle mulige handlinger, "al tilgængelig matematik" gentages, alle acceptable grammatiske former for at udtrykke forholdet mellem tal bruges. Med dette studiesystem gentages naturligvis tidligere undersøgte eksempler i forbindelse med dækningen af ​​efterfølgende tal, det vil sige, at udvidelsen af ​​nummerserien udføres med konstant gentagelse af tidligere overvejede kombinationer af tal og varianter af simple problemer .

2.3 Fælles undersøgelse af addition og subtraktion, multiplikation og division

I metoden for elementær matematik betragtes øvelser om disse to operationer normalt separat. I mellemtiden ser det ud til, at den samtidige undersøgelse af den dobbelte operation "addition - dekomponering i termer" er mere at foretrække.

Lad eleverne løse additionsproblemet: "Føj 1 pind til tre pinde - du får 4 pinde." Efter denne opgave bør spørgsmålet straks stilles: "Hvilke tal består tallet 4 af?" 4 pinde består af 3 pinde (barnet tæller 3 pinde) og 1 pind (adskiller 1 pind mere).

Den indledende øvelse kan være nedbrydning af et tal. Læreren spørger: "Hvilke tal består tallet 5 af?" (Tallet 5 består af 3 og 2.) Og straks stilles der et spørgsmål om de samme tal: "Hvor meget får du, hvis du lægger 2 til 3?" (Tilføj 2 til 3 - du får 5.)

Til samme formål er det nyttigt at øve sig i at læse eksempler i to retninger: 5+2=7. Tilføj 2 til 5, du får 7 (læs fra venstre mod højre). 7 består af led 2 og 5 (læs fra højre mod venstre).

Det er nyttigt at ledsage verbal opposition med sådanne øvelser på klasseværelset abacus, som giver dig mulighed for at se det specifikke indhold af de tilsvarende operationer. Beregninger på en abacus er uundværlige som et middel til at visualisere handlinger på tal, og størrelsen af ​​tal inden for 10 er her forbundet med længden af ​​et sæt knogler placeret på en ledning (denne længde opfattes visuelt af eleven). Det er umuligt at være enig i en sådan "innovation", når nuværende lærebøger og programmer helt har opgivet brugen af ​​russisk kuleramme i undervisningen.

Så når eleven løste et eksempel på addition (5+2=7), talte eleven først 5 brikker på kulerammen, tilføjede derefter 2 til dem og annoncerede derefter summen: "Tilføj 2 til 5 - du får 7" (den navnet på det resulterende tal 7, fastslår eleven ved at genberegne den nye totalitet: "En - to - tre - fire - fem - seks - syv").

Studerende. Tilføj 2 til 5, og du får 7.

Lærer. Vis nu hvilke led tallet 7 består af.

Elev (adskiller først to knogler til højre og taler derefter). Tallet 7 består af 2 og 5.

Når du udfører disse øvelser, er det tilrådeligt at bruge begreberne "første led" (5), "anden led" (2) og "sum" helt fra begyndelsen.

Følgende typer opgaver tilbydes: a) summen af ​​to led er 7; find vilkårene; b) hvilke komponenter består tallet 7 af?; c) opdel summen 7 i 2 led (i 3 led). Osv.

At mestre et så vigtigt algebraisk koncept som den kommutative additionslov kræver en række forskellige øvelser, i første omgang baseret på praktiske manipulationer med objekter.

Lærer. Tag 3 pinde i din venstre hånd, og 2 i din højre hånd Hvor mange pinde er der i alt?

Studerende. Der er 5 pinde i alt.

Lærer. Hvordan kan jeg sige mere om dette?

Studerende. Tilføj 2 pinde til 3 pinde - der bliver 5 pinde.

Lærer. Komponer dette eksempel ud fra snittal. (Eleven laver et eksempel: 3+2=5.)

Lærer. Skift nu spisepindene: overfør spisepindene i venstre hånd til højre, og overfør spisepindene fra højre hånd til venstre. Hvor mange pinde er der i begge hænder nu?

Studerende. I alt var der 5 pinde i to hænder, og nu er der 5 pinde igen.

Lærer. Hvorfor skete dette?

Studerende. Fordi vi ikke lagde noget til side og ikke tilføjede pinde. Så meget som der var, så meget blev der tilbage.

Lærer. Komponer løste eksempler ud fra snittallene.

Elev (lægger til side: 3+2=5, 2+3=5). Her var tallet 3, og nu tallet 2. Og her var tallet 2, og nu tallet 3.

Lærer. Vi byttede nummer 2 og 3, men resultatet forblev det samme:

5. (Et eksempel er lavet af delte tal: 3+2=2+3.)

Den kommutative lov læres også i øvelser om at dekomponere et tal i termer.

Hvornår skal man indføre den kommutative additionslov?

Hovedmålet med undervisningstillæg - allerede inden for de første ti - er konstant at understrege den kommutative lovs rolle i øvelser.

Lad børnene først tælle 6 pinde ud; derefter tilføjer vi tre pinde til dem, og ved genberegning ("syv - otte - ni") etablerer vi summen: 6 ja 3 - vil være 9. Det er nødvendigt straks at tilbyde et nyt eksempel: 3 + 6; det nye beløb kan i første omgang fastlægges igen ved genberegning (dvs. på den mest primitive måde), men gradvist og målrettet bør man formulere en løsningsmetode i en højere kode, altså logisk, uden genberegning.

Hvis 6 og 3 bliver 9 (svaret etableres ved genberegning), så vil 3 og 6 (uden genberegning!) også være 9!

Kort sagt skal den kommutative egenskab addition introduceres helt fra begyndelsen af ​​øvelser om at tilføje forskellige udtryk, så det bliver en vane at sammensætte (udtale) løsninger til fire eksempler:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

At kompilere fire eksempler er et middel til at udvide viden tilgængelig for børn.

Vi ser, at en så vigtig egenskab ved additionsoperationen som dens commuterbarhed ikke bør forekomme lejlighedsvis, men bør blive det vigtigste logiske middel til at styrke korrekte numeriske associationer. Additionens hovedegenskab - termernes omskiftelighed - bør konstant overvejes i forbindelse med akkumulering af nye tabelresultater i hukommelsen.

Vi ser: forholdet mellem mere komplekse beregningsmæssige eller logiske operationer er baseret på et lignende parvist forhold (nærhed) af elementære operationer, hvorigennem et par "komplekse" operationer udføres. Med andre ord er den eksplicitte modsætning af komplekse begreber baseret på den implicitte (underbevidste) modsætning af simplere begreber.

Det er tilrådeligt at udføre den indledende undersøgelse af multiplikation og division i følgende sekvens af tre cyklusser af problemer (tre opgaver i hver cyklus):

Jeg cykler: a, b) multiplikation med en konstant multiplikand og division efter indhold (sammen); c) opdeling i lige dele.

Cyklus II: a, b) fald og stigning i antal flere gange (sammen); c) multipel sammenligning.

III cyklus: a, b) at finde en del af et tal og et tal ved størrelsen af ​​en af ​​dets dele (sammen); c) at løse problemet: "Hvilken del er et nummer af et andet?"

Det metodiske system til at studere disse problemer svarer til det, der er beskrevet ovenfor for simple problemer i første fase (addition og subtraktion).

Samtidig undersøgelse af multiplikation og division i indhold. I to eller tre lektioner (ikke mere!) afsat til multiplikation afklares betydningen af ​​begrebet multiplikation som en sammenbrudt addition af lige led (handlingen af ​​division er endnu ikke diskuteret i disse lektioner). Denne gang er nok til at studere tabellen med multiplikation af tallet 2 med etcifrede tal.

Typisk får eleverne vist en registrering af at erstatte addition med multiplikation: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Her går sammenhængen mellem addition og multiplikation i addition-multiplikationsretningen. Det er hensigtsmæssigt straks at tilbyde eleverne en øvelse designet til at producere feedback af formen "multiplikation-addition" (lige termer): ser på denne post, bør eleven forstå, at tallet 2 skal gentages som en tilføjelse så mange gange som multiplikatoren i eksemplet viser (2*4= 8).

Kombinationen af ​​begge typer træning er en af ​​de vigtige betingelser, der sikrer den bevidste assimilering af begrebet "multiplikation", som betyder sammenbrudt addition.

I den tredje lektion (eller fjerde, afhængigt af klassen) gives der for hvert af de kendte tilfælde af multiplikation et tilsvarende tilfælde af division. I fremtiden er det en fordel kun at overveje multiplikation og division sammen i de samme lektioner.

Når du introducerer begrebet division, er det nødvendigt at huske de tilsvarende tilfælde af multiplikation for at starte fra dem for at skabe konceptet om en ny handling omvendt til multiplikation.

Derfor får begrebet "multiplikation" et rigt indhold: det er ikke kun resultatet af tilføjelsen af ​​lige vilkår ("generalisering af addition"), men også grundlaget, det indledende divisionsmoment, som igen repræsenterer "sammenbrudt subtraktion", der erstatter den sekventielle "subtraktion med 2":

Betydningen af ​​multiplikation forstås ikke så meget gennem selve multiplikationen, men gennem konstante overgange mellem multiplikation og division, eftersom division er en tilsløret, "modificeret" multiplikation. Dette forklarer, hvorfor det er en fordel efterfølgende altid at studere multiplikation og division på samme tid (både i tabelform og uden for tabelform; både mundtlig og skriftlig).

De første lektioner om den samtidige undersøgelse af multiplikation og division bør vies til den pedantiske bearbejdning af selve de logiske operationer, understøttet på enhver mulig måde af omfattende praktiske aktiviteter med at indsamle og distribuere forskellige genstande (terninger, svampe, pinde osv.), men rækkefølgen af ​​detaljerede handlinger bør forblive den samme.

Resultatet af dette arbejde vil være multiplikations- og divisionstabellerne skrevet side om side:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 osv.

Således er multiplikationstabellen bygget ved hjælp af en konstant multiplikand, og divisionstabellen er bygget ved hjælp af en konstant divisor.

Det er også nyttigt at tilbyde eleverne, parret med denne opgave, en strukturelt modsat øvelse om overgangen fra division til subtraktion af lige store subtrahender.

I gentagelsesøvelser er det nyttigt at tilbyde opgaver af denne type: 14:2==.

Undersøgelse af opdeling i lige dele. Efter at gange tallet 2 og dividere med 2 er blevet studeret eller gentaget sammen, introduceres begrebet "opdeling i lige dele" (den tredje type problem i den første cyklus) i en af ​​lektionerne.

Overvej problemet: "Fire elever medbragte 2 notesbøger. Hvor mange notesbøger tog du med?"

Læreren forklarer: tag 2 4 gange - du får 8. (Oplysningen vises: 2*4 = 8.) Hvem skal skrive den omvendte opgave?

Og en generalisering af lærernes erfaringer, når de udfører matematiktimer om dette emne. Kursusarbejdet består af en introduktion, to kapitler, en konklusion og en referenceliste. Kapitel I. Metodiske træk ved at studere området for geometriske figurer og dets måleenheder i matematiktimer i grundskolen 1.1 Aldersrelaterede træk ved udviklingen af ​​folkeskolebørn på stadiet af dannelse af geometriske begreber...

Belyser stadig ikke problemerne. Da spørgsmålet om undervisningsmetoder til at transformere opgaver er blevet dækket i mindste omfang, vil vi fortsætte med at studere det. Kapitel II. Metode til undervisning i problemtransformation. 2.1. Transformationsproblemer i matematiktimerne i folkeskolen. Da der er meget lidt specialiseret litteratur om transformation af opgaver, besluttede vi at gennemføre en undersøgelse blandt lærere...

Når man lærer nyt materiale, anbefales det at strukturere en lektion på en sådan måde, at arbejdet begynder med en række forskellige demonstrationer udført af læreren eller eleven. Brugen af ​​visuelle hjælpemidler i matematiktimerne, når de studerer geometrisk materiale, giver børn mulighed for fast og bevidst at mestre alle programspørgsmål. Matematikkens sprog er et sprog af symboler, konventionelle tegn, tegninger, geometriske...