Hva er den algebraiske løsningsmetoden. Videoleksjon «Aritmetisk metode for å løse ordoppgaver

Å lære å løse ordproblemer spiller en viktig rolle i utviklingen av matematisk kunnskap. Ordproblemer gir mye rom for å utvikle elevenes tenkning. Å lære å løse problemer handler ikke bare om å lære teknikken for å få de riktige svarene i noen typiske situasjoner, men også om å lære en kreativ tilnærming til å finne en løsning, få erfaring med mental aktivitet og demonstrere for elevene matematikkens evner til å løse en rekke forskjellige av problemer. Men når man løser ordoppgaver i 5-6 klassetrinn, brukes oftest en ligning. Men tenkningen til femteklassinger er ennå ikke klar for de formelle prosedyrene som er involvert i å løse ligninger. Den aritmetiske metoden for å løse problemer har en rekke fordeler fremfor den algebraiske fordi resultatet av hvert trinn av handlingene er klarere og mer spesifikke, og ikke går utover opplevelsen til femteklassinger. Elevene løser oppgaver ved å bruke handlinger bedre og raskere enn å bruke ligninger. Barns tenkning er konkret, og den må utvikles på spesifikke objekter og mengder, for så gradvis å gå over til å operere med abstrakte bilder.

Å jobbe med oppgaven innebærer å lese teksten til tilstanden nøye, forstå betydningen av hvert ord. Jeg vil gi eksempler på oppgaver som enkelt og greit kan løses ved hjelp av aritmetikk.

Oppgave 1. For å lage syltetøy, ta to deler bringebær og tre deler sukker. Hvor mange kilo sukker må du ta for 2 kg 600 g bringebær?

Når du løser et problem i "deler", må du lære å visualisere tilstanden til problemet, dvs. Det er bedre å stole på tegningen.

2600:2=1300 (g) - står for en del av syltetøyet;
1300*3= 3900 (g) - du må ta sukker.

Oppgave 2. Det var 3 ganger på første hylle flere bøker enn den andre. Det var 120 bøker i de to hyllene til sammen. Hvor mange bøker var det på hver hylle?

1) 1+3=4 (deler) - står for alle bøker;

2) 120:4=30 (bøker) - står for en del (bøker på andre hylle);

3) 30*3=90 (bøker) - sto på første hylle.

Oppgave 3. Fasaner og kaniner sitter i et bur. Det er totalt 27 hoder og 74 ben. Finn ut antall fasaner og antall kaniner i buret.

La oss forestille oss at vi legger en gulrot på lokket til buret der fasanene og kaninene sitter. Da vil alle kaninene stå på bakbena for å nå den. Deretter:

27*2=54 (bein) - vil stå på gulvet;
74-54=20 (ben) - vil være på toppen;
20:2=10 (kaniner);
27-10=17 (fasaner).

Oppgave 4. Det er 30 elever i klassen vår. 23 personer dro på utflukt til museet, og 21 gikk på kino, og 5 personer dro hverken på ekskursjon eller kino. Hvor mange var med på både ekskursjon og kino?

"Euleriske sirkler" kan brukes til å analysere tilstanden og velge en løsningsplan.

30-5=25 (personer) – gikk enten på kino eller på utflukt,
25-23=2 (person) – gikk bare på kino;
21-2=19 (person) – gikk på kino og på ekskursjon.

Oppgave 5. Tre andunger og fire gåsunger veier 2 kg 500 g, og fire andunger og tre gåsunger veier 2 kg 400 g. Hvor mye veier en gåsling?

2500+2400=2900 (g) – syv andunger og syv gåsunger veier;
4900:7=700 (g) – vekten av en andunge og en gåsunge;
700*3=2100 (g) – vekt på 3 andunger og 3 gåsunger;
2500-2100=400 (g) – vekten av larven.

Oppgave 6. Til barnehage kjøpte 20 pyramider: store og små - 7 og 5 ringer hver. Alle pyramider har 128 ringer. Hvor mange store pyramider var det?

La oss forestille oss at vi fjernet to ringer fra alle de store pyramidene. Deretter:

1) 20*5=100 (ringer) – venstre;

2) 128-100-28 (ringer) – vi fjernet;

3) 28:2=14 (store pyramider).

Oppgave 7. En vannmelon på 20 kg inneholdt 99 % vann. Når den tørket litt ut, sank vanninnholdet til 98 %. Bestem massen til vannmelonen.

For enkelhets skyld vil løsningen være ledsaget av en illustrasjon av rektangler.

99% vann	1 % tørrstoff
98% vann	2 % tørrstoff

I dette tilfellet er det tilrådelig å tegne rektanglene til "tørrstoffet" like, fordi massen av "tørrstoffet" i vannmelonen forblir uendret.

1) 20:100=0,2 (kg) – masse «tørrstoff»;

2) 0,2:2=0,1 (kg) – utgjør 1 % av tørket vannmelon;

3) 0,1*100=10 (kg) – masse vannmelon.

Oppgave 8. Gjestene spurte: hvor gammel var hver av de tre søstrene? Vera svarte at hun og Nadya var 28 år sammen, Nadya og Lyuba var 23 år sammen, og alle tre var 38 år. Hvor gamle er hver av søstrene?

38-28=10 (år) – Lyuba;
23-10=13 (år) – Nadya;
28-13=15 (år) – Vera.

Den aritmetiske metoden for å løse ordproblemer lærer barnet å handle bevisst, logisk riktig, for når man løser på denne måten, øker oppmerksomheten på spørsmålet "hvorfor" og det er et stort utviklingspotensial. Dette bidrar til utvikling av elevene, dannelsen av deres interesse for å løse problemer og i selve matematikkvitenskapen.

For å gjøre læring mulig, spennende og lærerikt, må du være veldig forsiktig når du velger tekstproblemer, vurdere ulike måter å løse dem på, velge de beste og utvikle logisk tenkning, som er nødvendig i fremtiden når du skal løse geometriske problemer.

Elever kan lære å løse problemer bare ved å løse dem. "Hvis du vil lære å svømme, så gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære å løse problemer, så løs dem," skriver D. Polya i boken "Mathematical Discovery."

Aritmetisk måte å løse ordproblemer på

"...mens vi prøver å koble matematikkundervisning med livet, vil det være vanskelig for oss å klare oss uten ordproblemer - en tradisjonell måte å undervise i matematikk på for russisk metodikk."

A.V.Shevkin

Evnen til å løse ordproblemer er en av hovedindikatorene på elevenes matematiske utvikling og dybden i læringen deres undervisningsmateriell, klarhet i resonnement, forståelse av de logiske aspektene ved ulike problemstillinger.

For de fleste skoleelever er ordproblemer vanskelig og derfor ufavoritt undervisningsmateriell. Imidlertid får han i skolematematikkkurset veldig viktig, siden oppgavene bidrar til utviklingen, først av alt, av logisk tenkning, romlig fantasi og praktisk anvendelse av matematisk kunnskap i menneskelig aktivitet.

I prosessen med å løse problemer får studentene erfaring med å jobbe med mengder, forstå relasjonene mellom dem og få erfaring med å bruke matematikk til å løse problemer i det virkelige liv.Å løse ordproblemer utvikler logisk kultur, og vekker interesse først for prosessen med å finne en løsning på problemet, og deretter for emnet som studeres.

Den tradisjonelle russiske skolen har alltid viet spesiell oppmerksomhetlære barn å løse ordproblemer. Historisk sett var det nok i lang tid matematisk kunnskap ble overført fra generasjon til generasjon i form av ordoppgaver med løsninger. Betydningen deres lå også i den anvendte betydningen, siden dette i sitt innhold var praktiske oppgaver (bank, handel, jordberegninger osv.). I Russland ble en utdannet person ansett for å være en som visste hvordan de skulle løse disse typiske problemene, som er svært viktige i hverdagen.

Det skal bemerkes at det ikke var lett å lære å løse praktiske problemer. Memorering av en løsningsmetode uten bevisst forståelse av tilstanden ble ofte observert. Det viktigste er å bestemme typen problem og finne en regel for å løse det.

Mot midtenXXårhundre ble utviklet god teknikk opplæring i problemløsning. Men dessverre ble lærere ofte observert som veilede elevene til å løse typiske oppgaver, huske standardteknikker. Men det er umulig å lære å løse problemer ved å bruke et memorert mønster.

På slutten av 1960-tallet innebar reform av skolematematikkundervisning tidlig innføring av ligninger for å organisere undervisningsproblemløsning på en ny måte. Rollen til den algebraiske metoden for å løse ordoppgaver i 5-6 klassetrinn ble imidlertid overdrevet nettopp fordi skolepensum Aritmetiske metoder er fjernet. Og praksis har vist at uten tilstrekkelig forberedelse av studentenes tenkning, er det upraktisk å løse problemer ved hjelp av ligninger. Eleven skal kunne resonnere og forestille seg handlingene som skjer med gjenstander.

I klasse 5-6 er det nødvendig å være nok oppmerksom på den aritmetiske metoden for å løse ordproblemer og ikke skynde seg å gå videre til den algebraiske metoden - løse problemer ved hjelp av en ligning. Når en student har lært den algebraiske metoden, er det nesten umulig å returnere ham til "løsningen ved handlinger." Etter å ha utarbeidet en ligning, er det viktigste å løse den riktig og unngå en beregningsfeil. Og du trenger overhodet ikke tenke på hvilke aritmetiske operasjoner som utføres under løsningen og hva de fører til. Og hvis vi følger løsningen av ligningen trinn for trinn, vil vi se de samme handlingene som i regnemetoden. Bare eleven tenker nesten ikke på dette.

Svært ofte observerer vi at et barn ikke er klar til å løse et problem algebraisk når vi introduserer en abstrakt variabel og uttrykket "la x..." vises. Hvor denne "X" kom fra og hvilke ord som skal skrives ved siden av, er ikke klart for eleven på dette stadiet. Og dette skjer fordi det er nødvendig å ta hensyn til aldersegenskaper barn som i dette øyeblikk har utviklet visuell-figurativ tenkning. De er ennå ikke i stand til abstrakte modeller.

Hva mener vi med krav - å løse et problem. Dette betyr å finne en rekke handlinger som, som et resultat av å analysere tilstanden, vil føre til svar på spørsmålet som stilles i oppgaven. For å komme til svaret, må du gå langt, fra det øyeblikket du forstår teksten, være i stand til å fremheve det viktigste, "oversette" problemet til matematikkspråket, erstatte ordene "raskere", " langsommere" med "mindre" eller "mer", lag en grafisk modell eller tabell som gjør det lettere å forstå forholdene for problemet, sammenligne verdier, etablerelogiske forhold mellom dataene i henhold til tilstanden og de nødvendige. Og dette er veldig vanskelig for barn.

Det er viktig å merke seg at teksten til oppgavene må settes sammen på en slik måte at barnet forstår og forestiller seg hva vi snakker om. Ofte, før man begynner å løse et problem, brukes mye tid på å analysere tilstanden, når elevene skal forklare hva et støpejernsemne er, hvordan det skiller seg fra en del, samt en armert betongstøtte, en automatisk maskin, stue etc. Teksten til oppgaven må samsvare med nivået på hans oppfatning. Selvsagt må oppgaveteksten bringes nærmere det virkelige liv slik at du kan se praktisk bruk denne modellen.

Når du begynner å løse et problem, er det nødvendig ikke bare å forestille seg den aktuelle situasjonen, men også å skildre den i en tegning, diagram eller tabell. Det er umulig å løse et problem kvalitativt uten å lage en kort registrering av tilstanden. Det er den skjematiske oppstillingen av tilstanden som gjør det mulig, når man diskuterer en løsning, å identifisere alle handlingene som må utføres for å svare på spørsmålet om problemet.

La oss se på noen eksempler på å løse ordproblemer

Bevegelsesoppgaver

Denne typen problemer er utbredt i skolens matematikkkurs. De adresserer forskjellige typer bevegelser: mot, inn motsatte retninger, i en retning (den ene tar igjen den andre).

For å forstå disse oppgavene er det praktisk å tegne et diagram. Men hvis en student lager et bord, er det ingen grunn til å overbevise ham om det denne metoden Den korte beskrivelsen av forholdene er ikke særlig god. Vi oppfatter informasjon forskjellig. Kanskje barnet «ser» oppgaven bedre i denne visningen.

Eksempel 1. To syklister syklet samtidig mot hverandre fra to landsbyer og møttes 3 timer senere. Den første syklisten kjørte i en hastighet på 12 km/t, og den andre kjørte i 14 km/t. Hvor langt unna er landsbyene?

La oss lage et diagram for problemet som i tilstrekkelig grad gjenspeiler tilstanden (bevegelsesretninger, hastigheter til syklister, reisetid til møtet er indikert, spørsmålet er klart):

La oss vurdere to måter å løse dette problemet på:

1 vei:

Tradisjonelt liker vi å løse disse problemene ved å introdusere konseptet "lukkehastighet", og finne det som summen (eller forskjellen) av hastighetene til deltakerne i bevegelsen. Når vi beveger oss mot hverandre, legger vi sammen hastighetene:

1)12 + 14 = 26 (km/t) – innkjøringshastighet

Når du vet at bevegelsestiden er den samme, lar den andre handlingen bruke baneformelen (S = vt) beregne den nødvendige avstanden og svar på spørsmålet i oppgaven.

2) 26 3 = 78 (km)

La oss lage et uttrykk:

3(12 + 14) = 78(km)

Svar : 78 km.

Men ikke alle barn forstår hva denne abstrakte kvantiteten er - tilnærmingshastigheten. Hvorfor er det mulig å legge til og i andre tilfeller trekke fra hastighetene til to ulike deltakere bevegelser, kombinere dem vanlig navn. Hvis elevene dine løser dette problemet på en annen måte, ikke prøv å vinne dem over på din side. For noen er tiden ennå ikke inne for å forstå dette, og for andre vil den første metoden aldri være tilgjengelig i det hele tatt.

Metode 2:

1)12 3 = 36 (km) – banen til den første syklisten til møtet

2)14 3 = 42 (km) – avstanden til den andre syklisten til møtet

3)36 + 42 = 78 (km) – avstand mellom landsbyer

La oss lage et uttrykk:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Svar : 78 km.

Gradvis, når barnet lærer å forstå slike oppgaver, sammenligne numeriske uttrykk, kan vi vise at begge metodene er sammenkoblet, og samtidig huske den distributive egenskapen til multiplikasjon:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Eksempel 2. Det var 54 notatbøker i to pakker. Når 10 notatbøker ble fjernet fra den første pakken, og 14 notatbøker fra den andre, var det like mange notatbøker i begge pakkene. Hvor mange notatbøker var det i hver pakke i utgangspunktet?

Hvordan kan jeg vise en tilstand?

1. Lag en tabell:

Var

Fjernet

Det ble

1 pakke - ? 54 tet.

2 pakker – ?

10 tet.

14 tet.

likt

2. Lag en tegning

De tok 14 stykker.

De tok 10 stykker.

Likt

Totalt 54 stk.

La oss analysere løsningen på problemet, og ta hensyn til hvilke spørsmål vi svarer når vi utfører hver aritmetisk operasjon:

1) Hvor mange notatbøker ble fjernet fra begge pakkene?

10 + 14 = 24 (stykker);

2) Hvor mange notatbøker er det i to pakker?

– 24 = 30 (stykker);

3) Hvor mange er det i hver pakke med notatbøker?

30:2 = 15 (stk);

4) Hvor mange notatbøker var det i den første pakken i utgangspunktet?

10 = 25 (stykker);

5) Hvor mange notatbøker var det i den andre pakken i utgangspunktet?

54 – 25 = 29 (stk).

I 5. klasse, mest sannsynlig, vil studenten velge akkurat denne metoden for å løse problemet. Be ham løse dette problemet i 6. eller 7. klasse. Kanskje vil situasjonen endre seg og eleven løser det ved hjelp av en ligning. Ved å utføre de samme handlingene vil han ikke tenke på mange spørsmål. Ved å velge en ligning som et middel til å løse et problem, vil du veldig raskt komme frem til det samme svaret.

Hvordan vil da løsningen se ut?

La det være x notatbøker i hver pakke etter omorganisering,

deretter (x + 10) notatbøker var opprinnelig i den første pakken, og

(x + 14) notatbøker var opprinnelig i den andre pakken.

Når vi vet at det var 54 notatbøker i to pakker, kan vi lage ligningen:

x + 10 + x + 14 = 54

Ligningen sporer alle de samme handlingene som utføres i den aritmetiske metoden for å løse problemet.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 operasjon av den aritmetiske metoden)

2x = 54 – 24; (handling 2)

x = 30:2; (handling 3)

15 + 10 = 25 (stk.) (4 handlinger)

15 + 14 = 29 (stk.) (5 handling)

Svar: 25 notatbøker, 29 notatbøker.

Men ingen stiller noen spørsmål om hva vi finner når vi fullfører hvert trinn.

Jeg viser alltid elevene mine at oppgaveteksten for 5. eller 9. trinn ofte har samme betydning. Og praksis viser at femteklassinger klarer å finne ut betingelsene fra oppgaveboka for 9. klasse og til og med lage en ligning. Selvfølgelig er det fortsatt ikke nok kunnskap til å løse en slik ligning. Men samtidig er det ikke alle niendeklassinger som klarer å løse en oppgave for 5. klasse ved hjelp av en aritmetisk metode.

Skoleelever velger vanligvis den algebraiske metoden for å løse ordoppgaver, de går nesten aldri tilbake til aritmetikk. De slutter rett og slett å se denne metoden, lar seg rive med ved å introdusere variabler og komponere ligninger.

Hvorfor verdsetter vi den aritmetiske metoden for å løse ordoppgaver? Det første og viktigste er at når han utfører hver aritmetisk operasjon, tenker studenten på spørsmålet: "Hva fant jeg som et resultat?" Han forestiller seg hva problemet handler om, siden hver handling har en klar og spesifikk tolkning. Som et resultat er det aktivt i utvikling logisk tenkning. I prosessen med beregninger, målinger og søk etter løsninger på problemer, utvikler studenten kognitiv universell læringsaktiviteter, hvis dannelse erden viktigste oppgaven moderne system grunnleggende allmennutdanning.

Ordproblemer studeres gjennomgående skolekurs matematikk. Men det er nødvendig å undervise i å forstå problemer, analysere forhold, resonnere og finne rasjonelle løsninger i 5-6 klassetrinn, mens kompleksitetsnivået deres er lavt, og selve problemet er en av de viktigste kategoriene. Det vanskelige kan forstås med det enkle.

Bruken av aritmetiske metoder for å løse problemer utvikler oppfinnsomhet og intelligens, evnen til å stille spørsmål og svare på dem, det vil si at den utvikler naturlig språk, forbereder skoleelever på videre utdanning.

Aritmetiske metoder for å løse ordproblemer lar deg bygge en løsningsplan som tar hensyn til forholdet mellom kjente og ukjente mengder (ta hensyn til typen problem), tolke resultatet av hver handling innenfor rammen av problemforholdene, kontrollere riktigheten av løsningen ved å tegne og løse det omvendte problemet, det vil si danne og utvikle viktige allmennpedagogiske ferdigheter.

Hvis en elev takler ordproblemer i matematikktimene, det vil si at han kan spore og forklare den logiske kjeden til løsningen hans, gi en beskrivelse av alle mengder, så kan han også lykkes med å løse problemer i fysikk og kjemi, han kan sammenligne og analysere , transformere informasjon om alle akademiske fag skolekurs.

Den store D. Polya sa: "Hvis du vil lære å svømme, så gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære å løse problemer, så løs dem."Hvis vi lærer barn å løse problemer, vil vi ikke bare øke interessen for selve faget, vi vil ha en betydelig innvirkning på dannelsen av deres matematiske tenkning, noe som bidrar til vellykket utvikling av ny kunnskap på andre områder.

Analysere disse problemene, observere hva problemene har til felles fra et matematisk synspunkt, hva er forskjellene, finne en ekstraordinær måte å løse problemer på, lage en sparegris med problemløsningsteknikker, lære hvordan du løser ett problem forskjellige måter.En problemsimulator gruppert under samme tema "Regemetoder for problemløsning", oppgaver for gruppearbeid og individuelt arbeid.

"oppgaver for simulatormanualen"

Trener: "Aritmetiske metoder for å løse problemer"

"Sammenligning av tall etter sum og forskjell."

Det er 80 boletussopp i to kurver. Den første kurven inneholder 10 mindre boletus enn den andre. Hvor mange boletussopp er det i hver kurv?

Systudioet fikk 480 m med denim og drapering. Denimstoff ble levert 140 m mer enn draperi. Hvor mange meter denim fikk studioet?

TV-tårnmodellen består av to blokker. Den nedre blokken er 130 cm kortere enn den øvre. Hva er høyden på øvre og nedre blokk hvis høyden på tårnet er 4 m 70 cm?

To bokser inneholder 16 kg småkaker. Finn massen av informasjonskapsler i hver boks hvis en av dem inneholder 4 kg mer informasjonskapsler.

Oppgave fra "Aritmetikk" av L. N. Tolstoy.

a) To menn har 35 sauer. Den ene har 9 flere sauer enn den andre. Hvor mange sauer har hver person?

b) To menn har 40 sauer, og den ene har 6 sauer mindre enn den andre. Hvor mange sauer har hver mann?

Det sto 23 biler og motorsykler med sidevogn i garasjen. Biler og motorsykler har 87 hjul. Hvor mange motorsykler er det i garasjen hvis hver sidevogn har et reservehjul?

"Eulerian Circles".

Huset har 120 beboere, hvorav noen har hunder og katter. Det er en sirkel i bildet MED skildrer beboere med hunder, sirkel TIL – beboere med katter. Hvor mange leietakere har både hunder og katter? Hvor mange leietakere har kun hunder? Hvor mange leietakere har kun katter? Hvor mange leietakere har verken hunder eller katter?

Av de 52 skoleelevene spiller 23 volleyball og 35 basketball, og 16 spiller både volleyball og basketball. Resten driver ikke med noen av disse idrettene. Hvor mange skoleelever driver ikke med noen av disse idrettene?

Det er en sirkel i bildet EN skildrer alle universitetsansatte som vet engelske språk, sirkel N – som kan tysk og sirkel F - Fransk. Hvor mange universitetsansatte kan: a) 3 språk; b) engelsk og tysk; c) Fransk? Hvor mange universitetsansatte er det totalt? Hvor mange av dem snakker ikke fransk?

I internasjonal konferanse 120 personer deltok. Av disse snakker 60 russisk, 48 snakker engelsk, 32 snakker tysk, 21 snakker russisk og tysk, 19 snakker engelsk og tysk, 15 snakker russisk og engelsk, og 10 personer snakket alle tre språkene. Hvor mange konferansedeltakere snakker ikke noen av disse språkene?

82 elever synger i koret og øver på dans. rytmisk gymnastikk Det er 32 elever, og 78 elever synger i koret og driver med rytmisk gymnastikk. Hvor mange elever synger i kor, danser og driver rytmisk gymnastikk hver for seg, hvis man vet at hver elev bare gjør én ting?

Hver familie som bor i huset vårt abonnerer på enten en avis eller et magasin, eller begge deler. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og bare 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i huset vårt?

"Metode for datajustering".

Det er 29 blomster i 3 små og 4 store buketter, og 35 blomster i 5 små og 4 store buketter. Hvor mange blomster er det i hver bukett individuelt?

Massen av 2 sjokoladeplater - store og små - er 120 g, og 3 store og 2 små - 320 g. Hva er massen til hver bar?

5 epler og 3 pærer veier 810 g, og 3 epler og 5 pærer veier 870 g. Hvor mye veier ett eple? En pære?

Fire andunger og fem gåsunger veier 4 kg 100 g, fem andunger og fire gåsunger veier 4 kg. Hvor mye veier en andunge?

For en hest og to kuer gis det 34 kg høy daglig, og for to hester og en ku - 35 kg høy. Hvor mye høy gis til en hest og hvor mye til en ku?

3 røde kuber og 6 blå kuber koster 165 tenge rubler. Dessuten er fem røde 95 tenge dyrere enn to blå. Hvor mye koster hver kube?

2 skissebøker og 3 frimerkealbum koster sammen 160 rubler, og 3 skissebøker koster 45 rubler. dyrere enn to frimerkealbum.

"Teller".

Seryozha bestemte seg for å gi moren sin en bukett med blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til bursdagen hennes og sette dem enten i en vase eller i en mugge. På hvor mange måter kan han gjøre dette?

Hvor mange tresifrede tall kan du gjøre opp 0, 1, 3, 5 fra tallene hvis tallene i tallet ikke gjentas?

Onsdag i 5. klasse er det fem timer: matematikk, kroppsøving, historie, russisk og naturfag. Hvor mange ulike alternativer Kan du lage en timeplan for onsdag?

"En eldgammel måte å løse problemer som involverer blanding av stoffer."

Hvordan blande oljer? En viss person hadde to typer olje til salgs: en til en pris på 10 hryvnia per bøtte, den andre til 6 hryvnia per bøtte. Han ønsket å lage olje av disse to oljene, blande dem, og koste 7 hryvnia per bøtte. Hvilke deler av disse to oljene må du ta for å få en bøtte med olje verdt 7 hryvnia?

Hvor mye karamell må du ta til en pris på 260 tenge per 1 kg og til en pris på 190 tenge per 1 kg for å lage 21 kg av blandingen til en pris på 210 tenge per kilo?

Noen har tre varianter av te - Ceylon for 5 hryvnia per pund, indisk for 8 hryvnia per pund og kinesisk for 12 hryvnia per pund. I hvilke proporsjoner bør disse tre variantene blandes for å få te verdt 6 hryvnia per pund?

Noen har sølv av forskjellige standarder: en er 12. standard, en annen er 10. standard, den tredje er 6. standard. Hvor mye sølv bør du ta for å få 1 pund av 9. standard sølv?

Kjøpmannen kjøpte 138 arshins av svart og blått tøy for 540 rubler. Spørsmålet er, hvor mange arshins kjøpte han for begge, hvis den blå kostet 5 rubler? for en arshin, og svart - 3 rubler?

Ulike oppgaver.

Til nyttårsgaver kjøpte vi 87 kg frukt, og det var 17 kg mer epler enn appelsiner. Hvor mange epler og hvor mange appelsiner kjøpte du?

Ved nyttårstreet var det 3 ganger flere snøflak for barn i karnevalskostymer enn i persillekostymer. Hvor mange barn var det i persillekostymer hvis det var 12 færre av dem?

Masha mottok 2 ganger mindre nyttårshilsener enn Kolya. Hvor mange gratulasjoner fikk hver person hvis det var 27 totalt (9 og 18).

Det ble kjøpt inn 28 kg godteri til nyttårspremier. Godterier "Swallow" besto av 2 deler, "Muse" - 3 deler, "Romashka" - 2 deler. Hvor mange søtsaker av hver type kjøpte du (8, 8, 12).

Det er 2004 kg mel på lageret. Kan den legges i poser som veier 9 kg og veier 18 kg?

Det er 5 forskjellige kopper og 3 forskjellige tallerkener i "Alt for te"-butikken På hvor mange måter kan du kjøpe en kopp og underfat?

En hest spiser en høystakken på 2 dager, en ku på 3, en sau på 6. Hvor mange dager vil det ta dem å spise høystakken hvis de spiser den sammen?

Se dokumentinnholdet
"leksjonssammendrag arif sp"

"Aritmetiske metoder for å løse ordoppgaver."

For en matematikkstudent er det ofte mer nyttig å løse samme oppgave på tre forskjellige måter enn å løse tre eller fire forskjellige oppgaver. Ved å løse ett problem på forskjellige måter kan du ved sammenligning finne ut hvilket som er kortere og mer effektivt. Slik utvikles erfaring.

W.W. Sawyer

Hensikten med leksjonen: bruke kunnskapen tilegnet i tidligere leksjoner, vise fantasi, intuisjon, fantasi og oppfinnsomhet for å løse testoppgaver på ulike måter.

Leksjonsmål: pedagogisk: ved å analysere disse problemene, observere hva problemene har til felles fra en matematikers synspunkt, hva er forskjellene, finne en ekstraordinær måte å løse problemer på, lage en sparegris med teknikker for å løse problemer, lære å løse ett problem på forskjellige måter.

Utviklingsmessig: føler behov for selvrealisering når du befinner deg i en bestemt rollesituasjon.

Pedagogisk: utvikle personlige egenskaper, danne en kommunikativ kultur.

Utdanningsmidler: en simulator av oppgaver gruppert under samme tema «Regemetoder for problemløsning», oppgaver for arbeid i gruppe og for individuelt arbeid.

UNDER KLASSENE.

JEG. Organisering av tid

Hei folkens. Sitt ned. I dag har vi en leksjon om emnet "Aritmetiske metoder for å løse ordproblemer."

II. Oppdatering av kunnskap.

Matematikk er en av de eldgamle og viktige vitenskapene. Folk brukte mye matematisk kunnskap i antikken – for tusenvis av år siden. De var nødvendige for kjøpmenn og byggherrer, krigere og landmålere, prester og reisende.

Og nå for tiden kan ikke en eneste person klare seg i livet uten gode matematikkkunnskaper. Grunnlaget for en god forståelse av matematikk er evnen til å telle, tenke, resonnere og finne vellykkede løsninger på problemer.

I dag skal vi se på aritmetiske metoder for å løse ordoppgaver, vi skal analysere eldgamle problemer som har kommet ned til oss fra forskjellige land og tider, oppgaver om utjevning, sammenligning etter sum og differanse, og andre.

Hensikten med leksjonen er å involvere deg i fantastisk verden skjønnhet, rikdom og mangfold – en verden av interessante utfordringer. Og introduser deg derfor til noen aritmetiske metoder som fører til svært elegante og lærerike løsninger.

En oppgave er nesten alltid et søk, oppdagelsen av noen egenskaper og sammenhenger, og virkemidlene for å løse den er intuisjon og formodninger, lærdom og mestring av matematiske metoder.

De viktigste i matematikk er aritmetiske og algebraiske metoder for å løse problemer.

Å løse et problem ved å bruke den aritmetiske metoden betyr å finne svaret på oppgavens krav ved å utføre aritmetiske operasjoner over tallene.

Med den algebraiske metoden finner man svaret på spørsmålet om problemet som et resultat av å komponere og løse en ligning.

Det er ingen hemmelighet at en person som eier forskjellige verktøy og bruker dem avhengig av arten av arbeidet som utføres, oppnår betydelig bedre resultater enn en person som bare eier ett universelt verktøy.

Det finnes mange aritmetiske metoder og ikke-standardteknikker for å løse problemer. I dag vil jeg introdusere deg for noen av dem.

1. Metode for å løse ordproblemer "Sammenligning av tall etter sum og forskjell."

Oppgave : Bestemor i høst med sommerhytte samlet 51 kg gulrøtter og kål. Det var 15 kg mer kål enn gulrøtter. Hvor mange kilo gulrøtter og hvor mange kilo kål samlet bestemor?

Spørsmål som tilsvarer punktene i algoritmen for å løse problemer i denne klassen.

1. Finn ut hvilke mengder som diskuteres i oppgaven

Om antall gulrøtter og kål som bestemor samlet, sammen og hver for seg.

2. Angi verdiene for hvilke mengder som må finnes i oppgaven.

Hvor mange kilo gulrøtter og hvor mange kilo kål samlet bestemor?

3. Nevn forholdet mellom mengdene i oppgaven.

Oppgaven snakker om summen og forskjellen av mengder.

4. Nevn summen og differansen av verdiene av mengder.

Sum – 51 kg, forskjell – 15 kg.

5. Ved å utjevne mengdene, finn den doble verdien av den mindre mengden (trekk forskjellen av mengdene fra summen av mengdene).

51 – 15 = 36 (kg) – dobbel mengde gulrøtter.

6. Når du kjenner den doblede verdien, finner du den minste verdien (del den doblede verdien med to).

36: 2 = 18 (kg) – gulrøtter.

7. Bruk differansen mellom mengdene og verdien av den mindre mengden, finn verdien av den største mengden.

18 + 15 = 33 (kg) – kål. Svar: 18 kg, 33 kg. Oppgave.Det er fasaner og kaniner i buret. Det er 6 hoder og 20 ben totalt. Hvor mange kaniner og hvor mange fasaner er det i et bur ?
Metode 1. Valgmetode:
2 fasaner, 4 kaniner.
Sjekk: 2 + 4 = 6 (mål); 4 4 + 2 2 = 20 (fot).
Dette er en valgmetode (fra ordet "å velge"). Fordeler og ulemper med denne løsningsmetoden (vanskelig å velge hvis tallene er store) Dermed er det et insentiv til å søke etter mer praktiske løsningsmetoder.
Diskusjonsresultater: utvelgelsesmetoden er praktisk når du arbeider med små tall når verdiene øker, blir den irrasjonell og arbeidskrevende.
Metode 2. Fullfør søk av alternativer.

En tabell er satt sammen:

Svar: 4 kaniner, 2 fasaner.
Navnet på denne metoden er "full". Diskusjonsresultater: den uttømmende søkemetoden er praktisk, men for store verdier er den ganske arbeidskrevende.
Metode 3. Gjettemetode.

La oss ta et gammelt kinesisk problem:

Buret inneholder et ukjent antall fasaner og kaniner. Det er kjent at hele cellen inneholder 35 hoder og 94 ben. Finn ut antall fasaner og antall kaniner.(Problem fra den kinesiske matematiske boken "Kiu-Chang", kompilert 2600 f.Kr.).

Her er en dialog funnet i de gamle mestere i matematikk. – La oss tenke oss at vi legger en gulrot på buret der fasanene og kaninene sitter. Alle kaniner vil stå på bakbena for å nå gulroten. Hvor mange fot vil være på bakken for øyeblikket?

Men i problemstillingen er det gitt 94 ben, hvor er resten?

De resterende bena telles ikke - dette er forbena til kaninene.

Hvor mange er det?

24 (94 – 70 = 24)

Hvor mange kaniner er det?

12 (24: 2 = 12)

Hva med fasaner?

23 (35- 12 = 23)

Navnet på denne metoden er "mangelgjettingmetoden." Prøv å forklare dette navnet selv (de som sitter i et bur har 2 eller 4 ben, og vi antok at alle har det minste av disse tallene - 2 ben).

En annen måte å løse det samme problemet på. - La oss prøve å løse dette problemet ved å bruke "overskuddsantagelsesmetoden": La oss forestille oss at fasaner nå har to ben til, da blir det alle ben 35 × 4 = 140.

Men i henhold til forholdene for problemet er det bare 94 ben, dvs. 140 – 94= 46 ekstra ben, hvem har de? Dette er beina til fasaner, det har de ekstra par bena Midler, fasaner vil 46: 2 = 23, deretter kaniner 35 -23 = 12.
Diskusjonsresultater: antakelsesmetoden har to alternativer- Av mangel og overskudd; Sammenlignet med tidligere metoder er det mer praktisk fordi det er mindre arbeidskrevende.
Oppgave. En karavane med kameler går sakte gjennom ørkenen, det er 40 av dem til sammen Hvis du teller alle puklene på disse kamelene, får du 57 pukler. Hvor mange er det i denne campingvognen dromedar kameler? 1 vei. Løs ved hjelp av ligning.

Antall pukler per person Antall kameler Totalt pukler

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

Metode 2.

– Hvor mange pukler kan kameler ha?

(det kan være to eller en)

La oss feste en blomst til hver kamels pukkel.

– Hvor mange blomster trenger du? (40 kameler – 40 blomster)

– Hvor mange pukler blir det igjen uten blomster?

(Det vil være slike 57-40=17 . Dette andre pukler Baktriske kameler).

Hvor mange Bakteriske kameler? (17)

Hvor mange dromedar kameler? (40-17=23)

Hva er svaret på problemet? ( 17 og 23 kameler).

Oppgave.I garasjen sto det biler og motorsykler med sidevogn, 18 av dem til sammen Bilene og motorsyklene hadde 65 hjul. Hvor mange motorsykler med sidevogn var i garasjen, hvis biler har 4 hjul og motorsykler har 3 hjul?

1 vei. Ved å bruke ligningen:

Antall hjul for 1 Antall hjul totalt

Mos. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

La oss omformulere problemet : Ranerne, som kom til garasjen der 18 biler og motorsykler med sidevogn sto, fjernet tre hjul fra hver bil og motorsykkel og tok dem med seg. Hvor mange hjul er det igjen i garasjen hvis det var 65 av dem? Tilhører de en bil eller en motorsykkel?

3×18=54 – det er hvor mange hjul ranerne tok fra seg,

65- 54 = 11 – så mange hjul igjen (biler i garasjen),

18 - 11 = 7 motorsykler.

Svar: 7 motorsykler.

På egen hånd:

Det sto 23 biler og motorsykler med sidevogn i garasjen. Biler og motorsykler har 87 hjul. Hvor mange motorsykler er det i garasjen hvis hver sidevogn har et reservehjul?

– Hvor mange hjul har biler og motorsykler til sammen? (4×23=92)

– Hvor mange reservehjul la du i hver barnevogn? (92 - 87= 5)

– Hvor mange biler står i garasjen? (23 - 5=18).

Oppgave.I vår klasse kan du studere engelsk eller franske språk(valgfritt). Det er kjent at 20 skoleelever studerer engelsk, og 17 studerer fransk Til sammen er det 32 elever i klassen. Hvor mange studenter studerer både engelsk og fransk?

La oss tegne to sirkler. I den ene vil vi registrere antall skolebarn som studerer engelsk, i den andre - skolebarn som studerer fransk. Siden i henhold til betingelsene for problemet det er studenter som studererbegge språk: engelsk og fransk, så vil sirklene ha en felles del. Betingelsene for dette problemet er ikke så enkle å forstå. Legger du til 20 og 17 får du mer enn 32. Dette forklares med at vi telte noen skoleelever her to ganger – nemlig de som studerer begge språk: engelsk og fransk. Så, (20 + 17) – 32 = 5 Studentene lærer begge språk: engelsk og fransk.

Engelsk Fran.

20 leksjoner 17 skole

(20 + 17) – 32 = 5 (elever).

Opplegg som ligner på den vi brukte for å løse oppgaven kalles i matematikk Euler-sirkler (eller diagrammer). Leonhard Euler (1736) født i Sveits. Men lange år bodde og jobbet i Russland.

Oppgave.Hver familie som bor i huset vårt abonnerer på enten en avis eller et magasin, eller begge deler. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og bare 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i huset vårt?

Aviser magasiner

Bildet viser at det bor 89 familier i huset.

Oppgave.Den internasjonale konferansen ble deltatt av 120 personer. Av disse snakker 60 russisk, 48 snakker engelsk, 32 snakker tysk, 21 snakker russisk og tysk, 19 snakker engelsk og tysk, 15 snakker russisk og engelsk, og 10 personer snakket alle tre språkene. Hvor mange konferansedeltakere snakker ikke noen av disse språkene?

Russisk 15 engelsk

21 10 19

tysk

Løsning: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (personer).

Oppgave. Tre kattunger og to valper veier 2 kg 600 g, og to kattunger og tre valper veier 2 kg 900 g. Hvor mye veier valpen?

3 kattunger og 2 valper – 2 kg 600 g

2 kattunger og 3 valper – 2 kg 900 g.

Det følger av betingelsen at 5 kattunger og 5 valper veier 5 kg 500 g Dette betyr at 1 kattunge og 1 valp veier 1 kg 100 g

2 katter og 2 valper. veie 2 kg 200 g

La oss sammenligne forholdene -

2 kattunger + 3 valper = 2 kg 900 g

2 kattunger + 2 valper = 2 kg 200 g, vi ser at valpen veier 700 g.

Oppgave.For en hest og to kuer gis det 34 kg høy daglig, og for to hester og en ku - 35 kg høy. Hvor mye høy gis til en hest og hvor mye til en ku?

La oss skrive ned en kort beskrivelse av problemet:

1 hest og 2 kyr -34kg.

2 hester og 1 ku -35kg.

Er det mulig å vite hvor mye høy som trengs for 3 hester og 3 kyr?

(for 3 hester og 3 kyr – 34+35=69 kg)

Er det mulig å finne ut hvor mye høy som trengs for en hest og en ku? (69: 3 – 23 kg)

Hvor mye høy trenger en hest? (35-23=12 kg)

Hvor mye høy trenger en ku? (23 -13 =11 kg)

Svar: 12kg og 11kg.

Oppgave.Madina bestemte seg for å spise frokost på skolens kafeteria. Studer menyen og svar, på hvor mange måter kan hun velge en drink og et godteri?

	Konfekt
	Ostekake

La oss anta at Madina velger te som drikke. Hvilket konfektprodukt kan hun velge til te? (te - ostekake, te - kjeks, te - bolle)

Hvor mange måter? (3)

Hva om det er kompott? (også 3)

Hvordan vet du hvor mange måter Madina kan bruke for å velge lunsj? (3+3+3=9)

Ja du har rett. Men for å gjøre det lettere for oss å løse dette problemet, vil vi bruke grafer. Ordet "graf" i matematikk betyr et bilde med flere punkter tegnet, hvorav noen er forbundet med linjer. La oss betegne drinker og konfektprodukter med prikker og koble sammen parene med disse rettene som Madina velger.

te melk kompott

ostekakekjeksbolle

La oss nå telle antall linjer. Det er 9 av dem. Dette betyr at det er 9 måter å velge retter på.

Oppgave.Seryozha bestemte seg for å gi moren sin en bukett med blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til bursdagen hennes og sette dem enten i en vase eller i en mugge. På hvor mange måter kan han gjøre dette?

Hvor mange måter tror du? (3)

Hvorfor? (3 farger)

Ja. Men det finnes også forskjellige typer retter: enten en vase eller en kanne. La oss prøve å fullføre oppgaven grafisk.

vase kanne

roser tulipaner nelliker

Tell linjene. Hvor mange er det? (6)

Så, hvor mange måter må Seryozha velge? (6)

Leksjonssammendrag.

I dag løste vi en rekke problemer. Men arbeidet er ikke fullført, det er et ønske om å fortsette det, og jeg håper at dette vil hjelpe deg med å løse ordproblemer.

Det er kjent at problemløsning er praktisk kunst, ligner på svømming eller å spille piano. Du kan bare lære det ved å imitere gode eksempler, øver hele tiden.

Dette er bare de enkleste av komplekse problemer, forbli et emne for fremtidig studie. Men det er fortsatt mange flere av dem enn vi kunne løse. Og hvis du på slutten av leksjonen kan løse problemer "bak sidene i utdanningsmaterialet", så kan vi vurdere at jeg har fullført oppgaven min.

Kunnskap om matematikk hjelper til å løse visse livsproblem. I livet må du regelmessig løse visse problemer, for dette må du utvikle deg intellektuelle evner, takket være hvilket internt potensiale utvikler seg, utvikler evnen til å forutse situasjonen, komme med spådommer og ta ikke-standardiserte beslutninger.

Jeg vil avslutte leksjonen med ordene: «Hver godt løst matematisk problem gir mental nytelse." (G. Hessen).

Er du enig i dette?

Hjemmelekser .

Følgende oppgave vil bli gitt hjemme: bruke tekstene til løste oppgaver som et eksempel, løse oppgave nr. 8, 17, 26 ved hjelp av metodene vi har studert.

Generelle notater om å løse problemer ved hjelp av aritmetisk metode.

Problemer med å finne ukjente basert på resultatene av handlinger.

Proporsjonal deling problemer.

Problemer som involverer prosenter og deler.

Problemer løst omvendt.

1. Regnemetoden er hovedmetoden for å løse ordoppgaver i grunnskole. Det finner også sin anvendelse i mellomledelsen. ungdomsskolen. Denne metoden lar deg bedre forstå og verdsette viktigheten og betydningen av hvert trinn i arbeidet med en oppgave.

I noen tilfeller er det mye enklere å løse et problem ved å bruke den aritmetiske metoden enn å bruke andre metoder.

Selv om den er fengslende med sin enkelhet og tilgjengelighet, er aritmetikkmetoden samtidig ganske kompleks, og å mestre teknikkene for å løse problemer ved hjelp av denne metoden krever seriøst og møysommelig arbeid. Det store utvalget av typer problemer tillater oss ikke å danne en universell tilnærming til å analysere problemer og finne måter å løse dem på: problemer, selv kombinert i én gruppe, har helt forskjellige måter å løse dem på.

2 . Til oppgavene på finne ukjente ved deres forskjell og forhold Disse inkluderer problemer der, ved å bruke den kjente forskjellen og kvotienten av to verdier av en viss mengde, er det nødvendig å finne disse verdiene.

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Eksempel. I de reserverte setevognene til hurtigtoget er det 432 flere passasjerer enn i kupévognene. Hvor mange passasjerer er det i reserverte sete og kupévogner hver for seg, hvis det er 4 ganger færre passasjerer i kupévogner enn i reserverte setevogner?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i fig. 4.

Ris. 4

Vi vil ta antall passasjerer i kupébiler som 1 del. Deretter kan du finne hvor mange deler det er per antall passasjerer i reserverte setebiler, og deretter hvor mange deler det er per 432 passasjerer. Etter dette kan du bestemme antall passasjerer som utgjør 1 del (plassert i kupébiler). Når vi vet at det er 4 ganger flere passasjerer i reserverte setevogner, kan vi finne antallet deres.

1  4 = 4 (timer) – står for passasjerer i reserverte setevogner;

4 – 1 = 3 (h.) – står for forskjellen mellom antall passasjerer i reserverte seter og kupévogner;

432: 3 = 144 (s.) – i kupébiler;

144  4 = 576 (s.) – i reserverte setevogner.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte, nemlig:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (s.);

144 + 432 = 576 (s.).

Svar: det er 144 passasjerer i kupévogner, og 576 i reserverte setevogner.

Til oppgavene på finne ukjente fra to rester eller to forskjeller, inkluderer problemer der to direkte eller omvendt proporsjonale mengder vurderes, slik at to verdier av en mengde og forskjellen mellom de tilsvarende verdiene til en annen mengde er kjent, og det er nødvendig å finne verdiene til denne mengde selv.

Algebraisk modell:

Svarene finner du ved å bruke formlene:

Eksempel. To tog kjørte i samme hastighet - det ene 837 km, det andre 248 km, og det første var på veien 19 timer lenger enn det andre. Hvor mange timer reiste hvert tog?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i figur 5.

Ris. 5

For å svare på spørsmålet om problemet, hvor mange timer var dette eller det toget på vei, må du vite avstanden det reiste og hastigheten. Avstanden er gitt i tilstanden. For å finne ut hastigheten, må du vite avstanden og tiden denne avstanden ble tilbakelagt. Tilstanden sier at det første toget tok 19 timer lenger, og avstanden det kjørte i løpet av denne tiden kan finnes. Han gikk i 19 timer ekstra - åpenbart i løpet av denne tiden tilbakela han også en ekstra distanse.

837 – 248 = 589 (km) – det første toget reiste så mange kilometer mer;

589: 19 = 31 (km/t) – hastigheten til det første toget;

837: 31 = 27 (timer) – det første toget var på vei;

4) 248: 31 = 8 (timer) – det andre toget var på vei.

La oss sjekke løsningen på problemet ved å etablere en samsvar mellom dataene og tallene som ble oppnådd ved løsning av problemet.

Etter å ha funnet ut hvor lenge hvert tog var på veien, vil vi finne hvor mange timer mer det første toget var på veien enn det andre: 27 – 8 = 19 (timer). Dette tallet samsvarer med det i tilstanden. Derfor ble problemet løst riktig.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte. Alle fire spørsmålene og de tre første handlingene forblir de samme.

4) 27 –19 = 8 (timer).

Svar: det første toget tok 31 timer å reise, det andre toget tok 8 timer.

Problemer med å finne tre ukjente fra tre summer av disse ukjente, tatt i par:

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene:

x =(A -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + Med -en)/ 2.

Eksempel. engelsk og tyske språk 116 skoleelever studerer tysk og spanske språk 46 studenter studerer, og 90 studenter studerer engelsk og spansk. Hvor mange studenter studerer engelsk, tysk og spansk hver for seg hvis det er kjent at hver student kun studerer ett språk?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i figur 6.

Hvor mange elever studerer hvert språk?

Den grafiske modellen av problemet viser: hvis vi legger sammen antall skolebarn gitt i tilstanden (116 + 90 + 46), får vi dobbelt så mange skoleelever som studerer engelsk, tysk og spansk. Å dele det på to, finner vi totalt antall skolebarn. For å finne antall skolebarn som studerer engelsk, er det nok å trekke fra dette tallet antallet skolebarn som studerer tysk og spansk. På samme måte finner vi de resterende nødvendige tallene.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

116 + 90 + 46 = 252 (skolebarn) – dobbelt så mange skolebarn som studerer språk;

252: 2 = 126 (skole) – studere språk;

126 – 46 = 80 (skole) – studere engelsk;

126 – 90 = 36 (skole) – studere tysk;

126 – 116 = 10 (skole) – lær spansk.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte.

116 – 46 = 70 (skolebarn) – så mange flere skolebarn studerer engelsk enn spansk;

90 + 70 = 160 (skolebarn) – dobbelt så mange skolebarn som studerer engelsk;

160: 2 = 80 (skole) – lær engelsk;

90 – 80 = 10 (skole) – lær spansk;

116 – 80 = 36 (skole) – studer tysk.

Svar: 80 skolebarn studerer engelsk, 36 skoleelever studerer tysk, og 10 skolebarn studerer spansk.

3. Proporsjonaldelingsproblemer inkluderer problemer der en gitt verdi av en viss mengde må deles inn i deler proporsjonale med gitte tall. I noen av dem presenteres delene eksplisitt, mens i andre må disse delene skilles ut ved å ta en av verdiene til denne mengden som én del og bestemme hvor mange slike deler som står for de andre verdiene.

Det er fem typer proporsjonaldelingsproblemer.

1) Problemer med å dele et tall i deler, direkteproporsjonal med en serie av hele eller brøktall

Problemer av denne typen inkluderer oppgaver der nummeret EN X 1, X 2 , x 3, ..., X n direkte proporsjonal med tallene EN 1 , A 2 , A 3 , ..., A n .

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Eksempel. Reiseselskapet har fire rekreasjonssentre, som har bygg med samme kapasitet. På territoriet til det første rekreasjonssenteret er det 6 bygninger, 2. - 4 bygninger, 3. - 5 bygninger, 4. - 7 bygninger. Hvor mange bobiler kan hver base ta hvis alle 4 basene har plass til 2112 personer?

Løsning. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 7.

Ris. 7

For å svare på spørsmålet om problemet, hvor mange ferierende kan innkvarteres på hver base, må du vite hvor mange ferierende som kan innkvarteres i en bygning og hvor mange bygninger som ligger på territoriet til hver base. Antall bygninger på hver base er oppgitt i tilstanden. For å finne ut hvor mange ferierende som kan innkvarteres i en bygning, må du vite hvor mange ferierende som kan innkvarteres på alle 4 baser (dette er gitt i tilstanden) og hvor mange bygninger som ligger på territoriet til alle 4 basene. Sistnevnte kan bestemmes ved å vite fra tilstanden hvor mange bygninger som er plassert på territoriet til hver base.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) - ligger på territoriet til 4 baser;

2112: 22 = 96 (timer) – kan plasseres i ett bygg;

96  6 = 576 (h) – kan plasseres på første base;

96  4 = 384 (h) – kan plasseres på andre base;

96  5 = 480 (h) – kan plasseres på tredje base;

96  7 = 672 (h) – kan plasseres på fjerde base.

Undersøkelse. Vi beregner hvor mange ferierende som kan innkvarteres på 4 baser: 576 + 384 + 480 + 672 = 2.112 (timer). Det er ingen uoverensstemmelse med oppgavebetingelsene. Problemet ble løst riktig.

Svar: den første basen kan romme 576 ferierende, den andre - 384 ferierende, den tredje - 480 ferierende og den fjerde - 672 ferierende.

2) Problemer som involverer å dele et tall i deler omvendt proporsjonalt med en rekke heltall eller brøker

Disse inkluderer oppgaver der nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler x 1 Jeg , x 2 , x 3 Jeg , ..., X" omvendt proporsjonal med tall EN 1b EN 2 , A 3 ,..., A n .

Algebraisk modell:

eller

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = en 2 en 3 ...EN n :EN 1 EN 3 ...EN P :EN 1 EN 2 EN 4 ...EN n :...:EN 1 EN 2 ...EN n -1

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Hvor S = EN 2 EN 3 ...a„ +en l en Jeg ... en n + a ] EN 2 EN 4 ...EN n + ... + a 1 EN 2 ...EN n -1.

Eksempel. I fire måneder utgjorde pelsfarmens inntekt fra salg av pels 1 925 000 rubler, og etter måned ble pengene som ble mottatt fordelt i omvendt forhold til tallene 2, 3, 5, 4. Hva er gårdens inntekt i hver måned separat?

Løsning. For å bestemme inntekten nevnt i betingelsen, gis den totale inntekten for fire måneder, det vil si summen av de fire nødvendige tallene, samt forholdet mellom de nødvendige tallene. Den nødvendige inntekten er omvendt proporsjonal med tallene 2, 3, 5, 4.

La oss betegne de nødvendige inntektene henholdsvis gjennom x, X 2 , X 3 , X 4 . Deretter kan problemet kort skrives som vist i figur 8.

Ris. 8

Når vi kjenner antall deler per hvert av de nødvendige tallene, vil vi finne antall deler i summen deres. Basert på den gitte totale inntekten i fire måneder, det vil si basert på summen av de nødvendige tallene og antall deler som er inneholdt i dette beløpet, finner vi ut verdien av en del, og deretter den nødvendige inntekten.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

1. De påkrevde inntektene er omvendt proporsjonale med tallene 2, 3, 5, 4, noe som betyr at de er direkte proporsjonale med tallene invers til dataene, det vil si at det er relasjoner . La oss erstatte disse forholdstallene i brøktall med forholdstall av heltall:

2. Å vite det X inneholder 30 like deler, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, la oss finne hvor mange deler som er i summen deres:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (timer).

3. Hvor mange rubler er det for en del?

1 925 000: 77 = 25 000 (r.).

4. Hva er gårdens inntekt den første måneden?

25 000 30 = 750 000 (r.).

5. Hva er gårdsinntekten den andre måneden?

25 000 20 = 500 000 (r.).

6. Hva er gårdsinntekten i den tredje måneden?

25 000–12 = 300 000 (r.).

7. Hva er gårdsinntekten i den fjerde måneden?

25 000–15 = 375 000 (r.).

Svar: i den første måneden var gårdens inntekt 750 000 rubler, i den andre - 500 000 rubler, i den tredje - 300 000 rubler, i den fjerde - 375 000 rubler.

3) Problemer som involverer å dele et tall i deler, når separate forhold er gitt for hvert par nødvendige tall

Problemer av denne typen inkluderer de oppgavene hvor nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler x 1, X 2 , x 3, ..., X", når en serie relasjoner er gitt for de nødvendige tallene, tatt i par. Algebraisk modell:

x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .

n = 4. Algebraisk modell:

X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= EN 2 : b 2, X 3 : X 4 = en 3: b 3 .

Så, X 1: X 2 : x 3: X 4 = EN 1 EN 2 EN 3 : b 1 EN 2 EN 3 : b 1 b 2 EN 3 : b 1 b 2 b 3 .

Hvor S = EN 1 EN 2 EN 3 + b 1 EN G EN 3 + b 1 b 2 EN 3 + b 1 b 2 b 3

Eksempel. De tre byene har 168.000 innbyggere. Antall innbyggere i den første og andre byen er i forholdet , og den andre og tredje byen – i forhold til . Hvor mange innbyggere er det i hver by?

Løsning. La oss angi de nødvendige befolkningstallene tilsvarende med X 1 , X 2 , X 3 . Deretter kan problemet kort skrives som vist i figur 9.

Ris. 9

For å bestemme antall innbyggere, er antall innbyggere i tre byer gitt, det vil si summen av de tre nødvendige tallene, samt individuelle forhold mellom de nødvendige tallene. Ved å erstatte disse relasjonene med en serie relasjoner uttrykker vi antall innbyggere i de tre byene i like deler. Når vi kjenner antall deler per hvert av de nødvendige tallene, vil vi finne antall deler i summen deres. Fra det gitte totale antallet innbyggere i tre byer, det vil si fra summen av de nødvendige tallene og fra antall deler i denne summen, finner vi ut størrelsen på en del, og deretter det nødvendige antallet innbyggere.

La oss skrive ned beslutningen om handlingene med forklaringer.

1. Erstatt forholdet mellom brøktall med forholdet mellom heltall:

Vi matcher antall innbyggere i den andre byen med tallet 15 (minste felles multiplum av tallene 3 og 5).

Vi endrer de resulterende forholdene tilsvarende:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

Fra individuelle relasjoner skaper vi en serie relasjoner:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – tallet 168 000 tilsvarer så mange like deler;

3. 168 000: 56 = 3 000 (f.) – per del;

4. 3 000 20 = 60 000 (f.) – i den første byen;

5. 3 000 15 = 45 000 (f.) – i den andre byen;

3 000 21 = 63 000 (f.) - i den tredje byen.

Svar: 60 000 innbyggere; 45 000 innbyggere; 63.000 innbyggere.

4) Problemer som involverer å dele et tall i deler proporsjonale med to, tre og så videre rader med tall

Problemer av denne typen inkluderer problemer hvor nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proporsjonal med to, tre, ..., N rader med tall.

På grunn av besværligheten til formlene for å løse problemet i generelt syn La oss vurdere et spesielt tilfelle når n = 3 og N = 2. La X 1 X 2 , X 3 direkte proporsjonal med tall EN 1 , EN 2 , EN 3 og omvendt proporsjonal med tallene b 1 , b 2 , b 3 .

Algebraisk modell:

(se punkt 1 i dette avsnittet),

Eksempel. To arbeidere mottok 1800 rubler. Den ene jobbet 3 dager i 8 timer, den andre 6 dager i 6 timer. Hvor mye tjente de hver for seg for 1 time arbeid?

Løsning. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 10.

Ris.10

For å finne ut hvor mye hver arbeider mottok, må du vite hvor mange rubler som ble betalt for 1 times arbeid og hvor mange timer hver arbeider jobbet. For å finne ut hvor mange rubler de betalte for 1 times arbeid, må du vite hvor mye de betalte for hele arbeidet (gitt i tilstanden) og hvor mange timer begge arbeiderne jobbet sammen. For å finne ut det totale antallet arbeidstimer, må du vite hvor mange timer hver person jobbet, og for dette må du vite hvor mange dager hver person jobbet og hvor mange timer om dagen. Disse dataene er inkludert i betingelsen.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

8  3 = 24 (timer) – den første arbeideren jobbet;

6  6 = 36 (timer) – den andre arbeideren jobbet;

24 + 36 = 60 (timer) – begge arbeiderne jobbet sammen;

1800: 60 = 30 (r.) – arbeidere mottatt for 1 times arbeid;

30  24 = 720 (r.) – opptjent av den første arbeideren;

30  36 = 1080 (r.) - tjent av den andre arbeideren.

Svar: 720 rub.; 1080 gni.5) Problemer med å finne flere tall

Eksempel. i henhold til deres relasjoner og summen eller differansen (summen eller differansen til noen av dem)

Løsning Skoleadministrasjonen brukte 49 000 rubler på utstyr til lekeplassen, drivhuset og treningsstudioet. Utstyr til lekeplassen koster halvparten så mye som drivhus, og drivhus koster 3 ganger mindre enn treningsrom og lekeplass til sammen. Hvor mye penger ble brukt på utstyr for hvert av disse anleggene?

. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 11.

Ris. elleve

La oss skrive ned beslutningen om handlingene med forklaringer.

For å finne ut hvor mye penger som ble brukt på utstyret til hvert objekt, må du vite hvor mange deler av alle pengene som ble brukt på utstyret til hvert objekt og hvor mange rubler som var for hver del. Antall deler av penger brukt på utstyret til hvert objekt bestemmes ut fra betingelsene for problemet. Etter å ha bestemt antall deler for utstyret til hvert objekt separat, og deretter funnet summen deres, beregner vi verdien av en del (i rubler).

Vi tar som 1 del beløpet brukt på utstyr til lekeplassen. I henhold til betingelsen ble det brukt 2 ganger mer på drivhusutstyr, det vil si 1  2 = 2 (h); Det ble brukt 3 ganger mer på utstyret til lekeplassen og idrettshallen enn på drivhuset, det vil si 2  3 = 6 (timer), derfor ble det brukt 6 – 1 = 5 (timer) på utstyret til idrettshallen .

1 del ble brukt på utstyr til lekeplassen, 2 deler til drivhus, og 5 deler til gym.

Hele strømningshastigheten var 1 + 2 + + 5 = 8 (t).

8 deler tilsvarer 49 000 rubler, en del er 8 ganger mindre enn dette beløpet: 49 000: 8 = 6 125 (gnidning). Følgelig ble 6 125 rubler brukt på utstyr til lekeplassen.

Det ble brukt dobbelt så mye på drivhusutstyr: 6 125  2 = 12 250 (r.).

Det ble brukt 5 deler på utstyr til treningssenteret: 6.125  5 = 30.625 (r.).

Svar: 6 125 rubler; RUB 12 250; 30 625 RUB

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Disse problemene løses ved metoden for utjevning av data, metoden for utjevning av data og de nødvendige, metoden for å erstatte data, samt den såkalte "antagelsesmetoden".

Eksempel. På en klesfabrikk brukte 24 strøk og 45 dresser 204 m stoff, og 24 strøk og 30 dresser brukte 162 m Hvor mye stoff brukes til en dress og hvor mye til ett strøk?

Løsning. La oss løse problemet ved å bruke datajusteringsmetoden. Kort beskrivelse av oppgaven.

Basert på likheten i matematisk betydning og utskiftbarheten av ulike løsningsmetoder, kan alle aritmetiske metoder kombineres i følgende grupper:

1) metode for reduksjon til enhet, reduksjon til et generelt tiltak, invers reduksjon til enhet, metode for relasjoner;
2) en måte å løse problemer fra "enden";
3) en metode for å eliminere ukjente (erstatte en ukjent med en annen, sammenligne ukjente, sammenligne data, sammenligne to forhold ved subtraksjon, kombinere to forhold til en); måte å gjette på;
4) proporsjonal deling, likhet eller funn av deler;
5) en metode for å transformere et problem til et annet (dekomponere et komplekst problem til enkle, forberedende; bringe ukjente til slike verdier som forholdet deres blir kjent for; metoden for å bestemme et vilkårlig tall for en av de ukjente mengdene).

I tillegg til metodene ovenfor, er det tilrådelig å vurdere også den aritmetiske middelmetoden, overskuddsmetoden, metoden for å omorganisere det kjente og det ukjente, og metoden med "falske" regler.

Siden det vanligvis er umulig å avgjøre på forhånd hvilken av metodene som er rasjonelle, for å forutse hvilken av dem som vil føre til den enkleste og mest forståelige løsningen for studenten, bør studentene introduseres til forskjellige måter og gi dem muligheten til å velge hvilken de skal bruke når de skal løse et spesifikt problem.

Metode for å ekskludere ukjente

Denne metoden brukes når det er flere ukjente i problemet. Dette problemet kan løses ved å bruke en av fem teknikker: 1) erstatte en ukjent med en annen; 2) sammenligning av ukjente; 3) sammenligning av to forhold ved subtraksjon; 4) sammenligning av data; 5) kombinere flere forhold til én.

Som et resultat av å bruke en av de oppførte teknikkene i stedet for flere ukjente, er det bare én som kan bli funnet. Etter å ha beregnet det, bruker de dataene i avhengighetstilstanden for å finne andre ukjente.

La oss se nærmere på noen av teknikkene.

1. Bytte ut en ukjent med en annen

Navnet på teknikken avslører ideen: basert på avhengighetene (flere eller forskjeller) som er gitt i henhold til betingelsene for problemet, er det nødvendig å uttrykke alle ukjente gjennom en av dem.

Oppgave. Sergei og Andrey har bare 126 frimerker. Sergei har 14 mark mer enn Andrey. Hvor mange frimerker hadde hver gutt?

Kort beskrivelse av tilstanden:

Sergey -- ? merker, 14 merker mer

Andrey -- ? frimerker

Totalt -- 126 merker

Løsning 1.

(erstatter en større ukjent med en mindre)
1) La Sergei ha like mange frimerker som Andrey. Deretter Total det ville vært 126 merker - 14 = 112 (merker).
2) Siden guttene nå har like mange merker, vil vi finne hvor mange merker Andrei hadde i begynnelsen: 112: 2 = 56 (stempler).
3) Med tanke på at Sergei har 14 merker mer enn Andrey, får vi: 56 + 14 = 70 (merker).

Løsning 2.

(erstatter en mindre ukjent med en større)
1) La Andrei ha samme antall frimerker som Sergei. Da blir det totale antallet frimerker 126 + 14 = 140 (frimerker).
2) Siden guttene nå har samme antall merker, la oss finne hvor mange merker Sergei hadde til å begynne med: 140: 2 = 70 (merker).
3) Med tanke på at Andrey hadde 14 merker mindre enn Sergei, får vi: 70 - 14 = 56 (merker).

Svar: Sergei hadde 70 merker, og Andrey hadde 56 merker.

For best mulig assimilering av studentene av metoden for å erstatte en mindre ukjent med en større, før du vurderer den, er det nødvendig å avklare med studentene følgende faktum: hvis tallet A flere tall B med C-enheter, og for å sammenligne tallene A og B må du:

a) trekk nummer C fra nummer A (da er begge tallene lik nummer B);
b) legg til nummer C til nummer B (da er begge tallene lik nummer A).

Elevenes evne til å erstatte en større ukjent med en mindre, og omvendt, bidrar ytterligere til utviklingen av evnen til å velge en ukjent og uttrykke andre størrelser gjennom den når de skal sammensette en ligning.

2. Sammenligning av ukjente

Oppgave. Det var 188 bøker i fire hyller. På den andre hyllen var det 16 færre bøker enn på den første, på den tredje - 8 flere enn på den andre, og på den fjerde - 12 færre enn på den tredje hyllen. Hvor mange bøker er det på hver hylle?

Oppgaveanalyse

For bedre å forstå avhengighetene mellom fire ukjente mengder (antall bøker på hver hylle), bruker vi følgende diagram:

JEG_________________________________

II__________________________

III_______________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Ved å sammenligne segmentene som skjematisk viser antall bøker på hver hylle, kommer vi til følgende konklusjoner: det er 16 flere bøker på den første hyllen enn på den andre; på den tredje er det 8 flere enn på den andre; på den fjerde - 12 - 8 = 4 (bøker) mindre enn på den andre. Derfor kan problemet løses ved å sammenligne antall bøker på hver hylle. For å gjøre dette, fjern 16 bøker fra den første hyllen, 8 bøker fra den tredje, og legg 4 bøker på den fjerde hyllen. Da blir det like mange bøker i alle hyller, nemlig som det var på den andre først.

1) Hvor mange bøker er det i alle hyller etter operasjonene beskrevet i problemanalysen?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (bøker)
2) Hvor mange bøker var det på andre hylle?
168: 4 = 42 (bøker)
3) Hvor mange bøker var det på første hylle?
42 + 16 = 58 (bøker)
4) Hvor mange bøker var det på tredje hylle?
42 + 8 = 50 (bøker)
5) Hvor mange bøker var det på fjerde hylle?
50 -- 12 = 38 (bøker)

Svar: Det var 58, 42, 50 og 38 bøker i hver av de fire hyllene.

Kommentar. Du kan invitere elevene til å løse dette problemet på andre måter ved å sammenligne det ukjente antallet bøker som var på den første, eller på den andre, eller på den fjerde hyllen.

3. Sammenligning av to forhold ved subtraksjon

Plottet til problemet som løses med denne teknikken inkluderer ofte to proporsjonale mengder (mengden av varer og kostnadene, antall arbeidere og arbeidet de utførte, etc.). Tilstanden gir to verdier av en mengde og forskjellen på to proporsjonal med dem numeriske verdier av en annen størrelse.

Oppgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og neste gang for 4 kg appelsiner og 3 kg bananer kjøpt til samme pris betalte de 500 rubler. Hvor mye koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse av tilstanden:

4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
4 kg ca. og 3 kg forbud. - 500 gni.

1) La oss sammenligne kostnadene ved to kjøp. Både første og andre gang kjøpte de like mange appelsiner til samme pris. Første gang betalte vi mer fordi vi kjøpte flere bananer. La oss finne hvor mange flere kilo bananer som ble kjøpt første gang: 5 -- 3 = 2 (kg).
2) La oss finne ut hvor mye mer vi betalte første gang enn andre gang (det vil si, vi finner ut hvor mye 2 kg bananer koster): 620 - 500 = 120 (gni).
3) Finn prisen på 1 kg bananer: 120: 2 = 60 (gni.).
4) Når vi kjenner kostnadene for det første og andre kjøpet, kan vi finne prisen på 1 kg appelsiner. For å gjøre dette, finn først kostnadene for kjøpte bananer, deretter kostnadene for appelsiner, og deretter prisen på 1 kg. Vi har: (620 -- 60*5): 4 = 80 (gnidning).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, og prisen på 1 kg bananer er 60 rubler.

4. Datasammenligning

Bruken av denne teknikken gjør det mulig å sammenligne data og bruke subtraksjonsmetoden. Du kan sammenligne dataverdier:

1) bruke multiplikasjon (sammenligne dem med det minste felles multiplum);
2) ved å bruke divisjon (sammenligne dem med de største felles deler).

La oss vise dette med et eksempel.

Oppgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og neste gang for 6 kg appelsiner og 3 kg bananer kjøpt til samme pris betalte de 660 rubler. Hvor mye koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse av tilstanden:

4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
6 kg ca. og 3 kg forbud. - 660 gni.

La oss utjevne antallet appelsiner og bananer ved å sammenligne dem med det minste felles multiplum: LCM(4;6) = 12.

Løsning 1.

1) La oss øke antall kjøpte frukter og kostnadene deres i det første tilfellet med 3 ganger, og i det andre - med 2 ganger. Vi får følgende korte uttalelse om tilstanden:
12 kg ca. og 15 kg forbud. - 1860 rubler,
12 kg ca. og 6 kg forbud. - 1320 gni.
2) Finn ut hvor mange flere bananer du kjøpte første gang: 15-6 = 9 (kg).
3) Hvor mye koster 9 kg bananer? 1860 -- 1320 = 540 (gni).
4) Finn prisen på 1 kg bananer: 540: 9 = 60 (gni).
5) Finn kostnaden for 3 kg bananer: 60 * 3 = 180 (gni).
6) Finn kostnaden for 6 kg appelsiner: 660 -- 180 = 480 (gni).
7) Finn prisen på 1 kg appelsiner: 480: 6 = 80 (gni).

Løsning 2.

La oss utjevne antallet appelsiner og bananer ved å sammenligne dem med den største felles divisor: GCD (4; 6) = 2.

1) For å utjevne antallet appelsiner kjøpt første gang og andre gang, reduserer vi mengden av det kjøpte produktet og kostnadene i det første tilfellet med 2 ganger, i det andre - med 3 ganger. La oss få et problem som har følgende korte form for tilstand:
2 kg ca. og 2,5 kg forbud. - 310 rubler,
2 kg ca. og 1 kg forbud. - 220 gni.
2) Hvor mange flere bananer kjøper de nå: 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
3) La oss finne hvor mye 1,5 kg bananer koster: 310 -- 220 = 90 (gni).
4) Finn prisen på 1 kg bananer: 90: 1,5 = 60 (gni).
5) Finn prisen på 1 kg appelsiner: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (gni).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, 1 kg bananer er 60 rubler.

Når du løser problemer ved å bruke teknikken for å sammenligne data, kan du ikke gjøre slike detaljerte analyser og opptak, men bare registrere endringene som ble gjort for sammenligning og skrive dem ned i form av en tabell.

5. Kombinere flere forhold til én

Noen ganger kan du bli kvitt unødvendige ukjente ved å kombinere flere forhold til en.

Oppgave. Turistene forlot leiren og gikk først i 4 timer, og syklet deretter i ytterligere 4 timer med en viss konstant hastighet og beveget seg 60 km unna leiren. Den andre gangen forlot de leiren og syklet først med samme hastighet i 7 timer, og snudde deretter i motsatt retning og gikk i 4 timer og befant seg i en avstand på 50 km fra leiren. Hvor fort syklet turistene?

Det er to ukjente i problemet: hastigheten turistene syklet med, og hastigheten de gikk med. For å ekskludere en av dem, kan du kombinere to forhold til én. Da er avstanden som turister vil tilbakelegge på 4 timer, når de beveger seg fremover til fots første gang, lik avstanden de tilbakelagt på 4 timer, og beveger seg tilbake andre gang. Derfor tar vi ikke hensyn til disse avstandene. Dette betyr at avstanden som turister skal tilbakelegge på 4 + 7 = 11 (timer) på sykkel vil være lik 50 + 60 = 110 (km).

Da er hastigheten til turister på sykkel: 110: 11 = 10 (km/t).

Svar: Hastigheten på sykler er 10 km/t.

6. Metode for antakelse

Å bruke antakelsesmetoden når man løser problemer, skaper ikke vanskeligheter for de fleste elever. Derfor, for å unngå at elevene mekanisk memorerer trinnene i denne metoden og misforstår essensen av handlingene som ble utført på hver av dem, bør studentene først vises prøvemetoden ("falsk regel" og "regel for de gamle babylonerne").

Ved bruk av prøvetakingsmetoden, spesielt den "falske regelen", gis en av de ukjente størrelsene ("tillatt") en viss verdi. Deretter, ved å bruke alle betingelsene, finner de verdien av en annen mengde. Den resulterende verdien kontrolleres mot den som er spesifisert i betingelsen. Hvis den resulterende verdien er forskjellig fra den som er gitt i betingelsen, er den første verdien som er spesifisert ikke korrekt, og den må økes eller reduseres med 1, og igjen må verdien til en annen verdi finnes. Dette må gjøres til vi får verdien av en annen mengde som i problemstillingen.

Oppgave. Kassereren har 50 mynter à 50 kopek og 10 kopek, totalt 21 rubler. Finn hvor mange separate 50k-mynter kassereren hadde. og 10k hver.

Løsning 1. (prøvemetode)

La oss bruke regelen til de "gamle" babylonerne. La oss anta at kassereren har like mange mynter av hver valør, det vil si 25 stykker hver. Da vil pengebeløpet være 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), eller 15 rubler. Men i tilstanden 21 rubler, det vil si 21 UAH mer enn mottatt - 15 rubler = 6 rubler. Dette betyr at det er nødvendig å øke antallet 50-kopek-mynter og redusere antallet 10-kopek-mynter til vi får totalt 21 rubler. Vi vil registrere endringen i antall mynter og totalbeløpet i tabellen.

Antall mynter	Antall mynter	Mengde penger	Mengde penger	totale mengden	Mindre eller mer enn i tilstanden

					Mindre med 6 rubler.
					Mindre med 5rub60k

					Som i stand

Som det fremgår av tabellen, hadde kassereren 40 mynter á 50 kopek og 10 mynter á 10 kopek.

Som det viste seg i løsning 1, hvis kassereren hadde like mange 50k mynter. og 10k hver, så hadde han totalt 15 rubler penger. Det er lett å legge merke til at hver myntbytte er 10k. per mynt 50k. øker totalbeløpet med 40k. Dette betyr at vi må finne hvor mange slike erstatninger som må gjøres. For å gjøre dette, la oss først finne hvor mye penger vi trenger for å øke det totale beløpet med:

21 rubler - 15 rubler. = 6 gni. = 600 k.

La oss finne hvor mange ganger en slik erstatning må gjøres: 600 k : 40 k.

Da vil 50 kopek være 25 +15 = 40 (mynter), og 10 kopek vil forbli 25 -- 15 = 10.

Sjekken bekrefter at det totale beløpet i dette tilfellet er 21 rubler.

Svar: Kassereren hadde 40 mynter à 50 kopek og 10 mynter à 10 kopek.

Ved å be elevene velge selv forskjellige betydninger antall mynter på 50 kopek, er det nødvendig å bringe dem til ideen om at det beste fra et rasjonalitetssynspunkt er antakelsen om at kassereren bare hadde mynter av en valør (for eksempel alle 50 mynter på 50 kopek eller alle 50 mynter à 10 kopek hver). På grunn av dette blir en av de ukjente ekskludert og erstattet av en annen ukjent.

7. Restmetode

Denne metoden har noen likhetstrekk med tenkning når man løser problemer ved hjelp av prøve- og gjettingmetoder. Vi bruker metoden for rester når vi løser problemer som involverer bevegelse i én retning, nemlig når det er nødvendig å finne tiden da det første objektet, som beveger seg bakover med høyere hastighet, vil ta igjen det andre objektet, som har en lavere hastighet. På 1 time nærmer det første objektet seg det andre med en avstand som er lik forskjellen i hastighetene deres, det vil si lik "resten" av hastigheten den har sammenlignet med hastigheten til den andre. For å finne tiden det tar for det første objektet å dekke avstanden som var mellom det og det andre ved begynnelsen av bevegelsen, bør du bestemme hvor mange ganger "resten" plasseres i denne avstanden.

Hvis vi abstraherer fra plottet og bare vurderer den matematiske strukturen til problemet, så snakker det om to faktorer (bevegelseshastigheten til begge objekter) eller forskjellen mellom disse faktorene og to produkter (avstandene de reiser) eller deres forskjell. De ukjente faktorene (tiden) er de samme og må finnes. Fra et matematisk synspunkt viser den ukjente faktoren hvor mange ganger forskjellen mellom de kjente faktorene er inneholdt i forskjellen mellom produktene. Derfor kalles problemer som løses ved hjelp av metoden for rester problemer med å finne tall med to forskjeller.

Oppgave. Elevene bestemte seg for å lime inn bilder fra ferien i et album. Hvis de stikker 4 bilder på hver side, vil det ikke være nok plass i albumet til 20 bilder. Hvis du limer inn 6 bilder på hver side, vil 5 sider forbli gratis. Hvor mange bilder skal elevene legge inn i albumet?

Oppgaveanalyse

Antall bilder forblir det samme for det første og andre limalternativet. Ifølge forholdene for problemet er det ukjent, men det kan finnes hvis antall fotografier som er plassert på én side og antall sider i albumet er kjent.

Antall fotografier som limes inn på én side er kjent (den første multiplikatoren). Antall sider i albumet er ukjent og forblir uendret (andre multiplikator). Siden det er kjent at 5 sider av albumet er ledige for andre gang, kan du finne hvor mange flere bilder som kan limes inn i albumet: 6 * 5 = 30 (bilder).

Dette betyr at ved å øke antall bilder på én side med 6 - 4 = 2, øker antallet innlimte bilder med 20 + 30 = 50.

Siden de andre gang limte to bilder til på hver side og totalt limte de inn 50 bilder til, vil vi finne antall sider i albumet: 50: 2 = 25 (sider).

Derfor var det 4*25 + 20 = 120 (bilder) totalt.

Svar: Albumet hadde 25 sider og 120 fotografier.