Hva er en nok tall. Minste felles multiplum (LCM)

La oss begynne å studere det minste felles multiplum av to eller flere tall. I denne delen skal vi definere begrepet, vurdere teoremet som etablerer sammenhengen mellom minste felles multiplum og største felles divisor, og gi eksempler på å løse problemer.

Felles multipler – definisjon, eksempler

I dette emnet vil vi bare være interessert i felles multipler av heltall annet enn null.

Definisjon 1

Felles multiplum av heltall er et heltall som er et multiplum av alle gitte tall. Faktisk er det et hvilket som helst heltall som kan deles på hvilke som helst av de gitte tallene.

Definisjonen av felles multipler refererer til to, tre eller flere heltall.

Eksempel 1

I henhold til definisjonen gitt ovenfor, er de felles multiplene av tallet 12 3 og 2. Dessuten vil tallet 12 være et felles multiplum av tallene 2, 3 og 4. Tallene 12 og -12 er felles multiplum av tallene ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Samtidig vil felles multiplum av tallene 2 og 3 være tallene 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 og en hel rekke andre.

Hvis vi tar tall som er delbare med det første tallet i et par og ikke delelige med det andre, så vil ikke slike tall være felles multipler. Så for tallene 2 og 3 vil ikke tallene 16, − 27, 5 009, 27 001 være felles multipler.

0 er et felles multiplum av ethvert sett med heltall annet enn null.

Hvis vi husker egenskapen til delbarhet med hensyn til motsatte tall, viser det seg at et heltall k vil være et felles multiplum av disse tallene, akkurat som tallet - k. Dette betyr at felles divisorer kan være enten positive eller negative.

Er det mulig å finne LCM for alle tall?

Felles multiplum kan finnes for ethvert heltall.

Eksempel 2

Anta at vi er gitt k heltall a 1 , a 2 , … , a k. Tallet vi får når vi multipliserer tall a 1 · a 2 · … · a k i henhold til egenskapen delbarhet, vil den bli delt inn i hver av faktorene som var inkludert i det opprinnelige produktet. Dette betyr at produktet av tall a 1 , a 2 , … , a k er det minste felles multiplum av disse tallene.

Hvor mange felles multipler kan disse heltallene ha?

En gruppe heltall kan ha et stort nummer av felles multipler. Faktisk er antallet deres uendelig.

Eksempel 3

Anta at vi har et tall k. Da vil produktet av tallene k · z, der z er et heltall, være et felles multiplum av tallene k og z. Gitt at antallet tall er uendelig, er antallet felles multipler uendelig.

Least Common Multiple (LCM) – Definisjon, notasjon og eksempler

La oss huske konseptet minste antall fra det gitte settet med tall som vi så på i delen "Sammenligning av heltall". Med dette konseptet i betraktning, formulerer vi definisjonen av minste felles multiplum, som har størst praktisk betydning blant alle felles multipler.

Definisjon 2

Minste felles multiplum av gitte heltall er det minste positive felles multiplum av disse tallene.

Et minste felles multiplum finnes for et hvilket som helst antall gitte tall. Den mest brukte forkortelsen for konseptet i referanselitteratur er NOC. Kort notasjon for minste felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k vil ha formen LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Eksempel 4

Minste felles multiplum av 6 og 7 er 42. De. LCM(6; 7) = 42. Minste felles multiplum av de fire tallene 2, 12, 15 og 3 er 60. En kort notasjon vil se ut som LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Det minste felles multiplum er ikke åpenbart for alle grupper av gitte tall. Ofte må det beregnes.

Forholdet mellom NOC og GCD

Minst felles multiplum og størst felles deler knyttet til hverandre. Forholdet mellom begreper fastsettes av teoremet.

Teorem 1

Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, det vil si LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Bevis 1

Anta at vi har et tall M, som er et multiplum av tallene a og b. Hvis tallet M er delelig med a, er det også et heltall z , der likheten er sann M = a k. I følge definisjonen av delbarhet, hvis M er delelig med b, så da a · k delt på b.

Hvis vi introduserer en ny notasjon for gcd (a, b) som d, så kan vi bruke likestillingene a = a 1 d og b = b 1 · d. I dette tilfellet vil begge likhetene være gjensidige primtall.

Det har vi allerede etablert ovenfor a · k delt på b. Nå kan denne tilstanden skrives som følger:
a 1 d k delt på b 1 d, som tilsvarer tilstanden en 1 k delt på b 1 i henhold til egenskapene til delbarhet.

I henhold til egenskapen til coprimtall, if en 1 Og b 1– coprimtall, en 1 ikke delelig med b 1 til tross for at en 1 k delt på b 1, Det b 1 må deles k.

I dette tilfellet vil det være hensiktsmessig å anta at det er et tall t, for hvilket k = b 1 t, og siden b 1 = b: d, Det k = b: d t.

Nå i stedet k la oss erstatte i likestilling M = a k uttrykk for formen b: d t. Dette gjør at vi kan oppnå likestilling M = a b: d t. På t = 1 vi kan få det minst positive felles multiplum av a og b , lik a b:d, forutsatt at tallene a og b positivt.

Så vi beviste at LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Ved å etablere en forbindelse mellom LCM og GCD kan du finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor av to eller flere gitte tall.

Definisjon 3

Teoremet har to viktige konsekvenser:

• multipler av det minste felles multiplum av to tall er det samme som felles multiplum av disse to tallene;
• minste felles multiplum av coprime positive tall a og b er lik deres produkt.

Det er ikke vanskelig å underbygge disse to fakta. Ethvert felles multiplum av M av tallene a og b er definert av likheten M = LCM (a, b) · t for en heltallsverdi t. Siden a og b er relativt primtall, er gcd (a, b) = 1, derfor gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Minste felles multiplum av tre eller flere tall

For å finne det minste felles multiplum av flere tall, er det nødvendig å finne LCM for to tall sekvensielt.

Teorem 2

La oss late som det a 1 , a 2 , … , a k er noen positive heltall. For å beregne LCM m k disse tallene må vi beregne sekvensielt m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = INGEN C(m 2 , a 3 ), … , m k = INGEN C(m k-1, a k).

Bevis 2

Den første konsekvensen fra det første teoremet som diskuteres i dette emnet vil hjelpe oss å bevise gyldigheten til det andre teoremet. Begrunnelsen er basert på følgende algoritme:

• felles multiplum av tall en 1 Og en 2 sammenfaller med multipler av deres LCM, faktisk sammenfaller de med multipler av tallet m 2;
• felles multiplum av tall en 1, en 2 Og en 3 m 2 Og en 3 m 3;
• felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k faller sammen med felles multiplum av tall m k - 1 Og en k, derfor sammenfaller med multipler av tallet m k;
• på grunn av at det minste positive multiplum av tallet m k er selve tallet m k, deretter det minste felles multiplum av tallene a 1 , a 2 , … , a k er m k.

Slik beviste vi teoremet.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Matematiske uttrykk og problemer krever mye tilleggskunnskap. NOC er en av de viktigste, spesielt ofte brukt i Emnet studeres på videregående, og det er ikke spesielt vanskelig å forstå stoffet en person som er kjent med potenser og multiplikasjonstabellen vil ikke ha problemer med å identifisere de nødvendige tallene og oppdage; resultat.

Definisjon

Et felles multiplum er et tall som kan deles helt inn i to tall samtidig (a og b). Oftest oppnås dette tallet ved å multiplisere de opprinnelige tallene a og b. Tallet må være delelig med begge tallene samtidig, uten avvik.

NOC er den aksepterte betegnelsen kort navn, samlet fra de første bokstavene.

Måter å få et nummer på

Metoden for å multiplisere tall er ikke alltid egnet for å finne LCM den er mye bedre egnet for enkle ensifrede eller tosifrede tall. Det er vanlig å dele inn i faktorer enn større antall, jo flere multiplikatorer vil det være.

Eksempel #1

For det enkleste eksempelet bruker skoler vanligvis primtall, enkelt- eller tosifrede tall. For eksempel må du løse følgende oppgave, finne det minste felles multiplum av tallene 7 og 3, løsningen er ganske enkel, bare multipliser dem. Som et resultat er det et tall 21, det er rett og slett ikke noe mindre tall.

Eksempel nr. 2

Den andre versjonen av oppgaven er mye vanskeligere. Tallene 300 og 1260 er gitt, det er obligatorisk å finne LOC. For å løse problemet, antas følgende handlinger:

Dekomponering av det første og andre tallet til enkle faktorer. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Den første etappen er fullført.

Den andre fasen innebærer å jobbe med allerede innhentede data. Hvert av tallene som mottas må være med på å beregne sluttresultatet. For hver faktor er det største antallet forekomster hentet fra de opprinnelige tallene. NOC er totalt antall, derfor må faktorene fra tallene gjentas i den, hver enkelt, også de som finnes i ett eksemplar. Begge de første tallene inneholder tallene 2, 3 og 5, in ulike grader, 7 er til stede i bare ett tilfelle.

For å beregne det endelige resultatet, må du ta hvert tall i den største av potensene representert i ligningen. Alt som gjenstår er å multiplisere og få svaret hvis den er fylt ut riktig, passer oppgaven inn i to trinn uten forklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Det er hele problemet, hvis du prøver å beregne det nødvendige tallet ved multiplikasjon, vil svaret definitivt ikke være riktig, siden 300 * 1260 = 378 000.

Undersøkelse:

6300 / 300 = 21 - riktig;

6300 / 1260 = 5 - riktig.

Riktigheten av det oppnådde resultatet bestemmes ved å sjekke - å dele LCM med begge de opprinnelige tallene hvis tallet er et heltall i begge tilfeller, så er svaret riktig.

Hva betyr NOC i matematikk?

Som du vet er det ikke en eneste ubrukelig funksjon i matematikk, denne er intet unntak. Det vanligste formålet med dette tallet er å redusere brøker til en fellesnevner. Det som vanligvis studeres i 5-6 klassetrinn videregående skole. Det er også i tillegg en felles divisor for alle multipler, hvis slike forhold er tilstede i problemet. Et slikt uttrykk kan finne et multiplum ikke bare av to tall, men også av et mye større tall - tre, fem, og så videre. Jo flere tall, jo flere handlinger i oppgaven, men kompleksiteten øker ikke.

For eksempel, gitt tallene 250, 600 og 1500, må du finne deres vanlige LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksemplet beskriver faktorisering i detalj, uten reduksjon.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

For å komponere et uttrykk er det nødvendig å nevne alle faktorene, i dette tilfellet er 2, 5, 3 gitt - for alle disse tallene er det nødvendig å bestemme maksimalgraden.

Oppmerksomhet: alle faktorer må bringes til et punkt for fullstendig forenkling, hvis mulig, dekomponert til enkeltsifrede nivå.

Undersøkelse:

1) 3000 / 250 = 12 - riktig;

2) 3000 / 600 = 5 - sant;

3) 3000 / 1500 = 2 - riktig.

Denne metoden krever ingen triks eller geninivåevner, alt er enkelt og tydelig.

Annen vei

I matematikk henger mange ting sammen, mange ting kan løses på to eller flere måter, det samme gjelder å finne det minste felles multiplum, LCM. Følgende metode kan brukes ved enkle tosifrede og ensifrede tall. En tabell er kompilert der multiplikatoren legges inn vertikalt, multiplikatoren horisontalt, og produktet er indikert i de kryssende cellene i kolonnen. Du kan reflektere tabellen ved å bruke en linje, ta et tall og skrive ned resultatene av å multiplisere dette tallet med heltall, fra 1 til uendelig, noen ganger er 3-5 poeng nok, det andre og påfølgende tallene gjennomgår den samme beregningsprosessen. Alt skjer til et felles multiplum er funnet.

Gitt tallene 30, 35, 42, må du finne LCM som forbinder alle tallene:

1) Multipler på 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.

2) Multipler av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.

3) Multipler av 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.

Det er merkbart at alle tallene er ganske forskjellige, det eneste vanlige tallet blant dem er 210, så det blir NOC. Blant prosessene som er involvert i denne beregningen er det også den største felles divisoren, som beregnes etter lignende prinsipper og ofte oppstår i nærliggende problemer. Forskjellen er liten, men ganske betydelig, LCM innebærer å beregne et tall som er delt på alle gitte startverdier, og GCD innebærer å beregne høyeste verdi som de opprinnelige tallene er delt med.

For å forstå hvordan du beregner LCM, må du først bestemme betydningen av begrepet "flere".

Et multiplum av A kalles naturlig tall, som er delelig med A uten en rest. Tall som er multipler av 5 kan betraktes som 15, 20, 25 og så videre.

Det kan være delere av et bestemt tall Begrenset mengde, men det er et uendelig antall multipler.

Et felles multiplum av naturlige tall er et tall som er delelig med dem uten å etterlate en rest.

Hvordan finne det minste felles multiplum av tall

Det minste felles multiplum (LCM) av tall (to, tre eller flere) er det minste naturlige tallet som er delelig med alle disse tallene.

For å finne LOC kan du bruke flere metoder.

For små tall er det praktisk å skrive ned alle multiplene av disse tallene på en linje til du finner noe felles blant dem. Multipler er merket med stor bokstav K.

For eksempel kan multipler av 4 skrives slik:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dermed kan du se at det minste felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notasjonen gjøres som følger:

LCM(4; 6) = 24

Hvis tallene er store, finn felles multiplum av tre eller flere tall, så er det bedre å bruke en annen metode for å beregne LCM.

For å fullføre oppgaven må du faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.

Først må du skrive ned dekomponeringen av det største tallet på en linje, og under det - resten.

I utvidelsen av hvert tall kan det være forskjellig mengde multiplikatorer.

La oss for eksempel faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.

I utvidelsen av det mindre antallet er det nødvendig å understreke faktorene som er fraværende i utvidelsen av den første. stort nummer, og legg dem deretter til. I eksemplet som presenteres mangler en to.

Nå kan du beregne minste felles multiplum av 20 og 50.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dermed vil produktet av primfaktorene til det større tallet og faktorene til det andre tallet som ikke var inkludert i utvidelsen av det større tallet være det minste felles multiplum.

For å finne LCM for tre eller flere tall, bør du faktorisere dem alle i primfaktorer, som i forrige tilfelle.

Som et eksempel kan du finne det minste felles multiplum av tallene 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dermed ble bare to toere fra utvidelsen av seksten ikke inkludert i faktoriseringen av et større tall (en er i utvidelsen av tjuefire).

Dermed må de legges til utvidelsen av et større antall.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det er spesielle tilfeller for å bestemme minste felles multiplum. Så hvis et av tallene kan deles uten en rest med et annet, vil det største av disse tallene være det minste felles multiplum.

For eksempel er LCM for tolv og tjuefire tjuefire.

Hvis det er nødvendig å finne det minste felles multiplum av coprimtall som ikke har identiske divisorer, vil deres LCM være lik deres produkt.

For eksempel, LCM (10, 11) = 110.

Det minste felles multiplum av to tall er direkte relatert til den største felles divisor av disse tallene. Dette forbindelse mellom GCD og NOC bestemmes av følgende teorem.

Teorem.

Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, dvs. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bevis.

La M er et multiplum av tallene a og b. Det vil si at M er delelig med a, og ved definisjonen av delbarhet er det et heltall k slik at likheten M=a·k er sann. Men M er også delelig med b, da er a·k delelig med b.

La oss betegne GCD(a, b) som d. Da kan vi skrive likhetene a=a 1 ·d og b=b 1 ·d, og a 1 =a:d og b 1 =b:d vil være relativt primtall. Følgelig kan betingelsen oppnådd i forrige avsnitt om at a · k er delelig med b omformuleres som følger: a 1 · d · k er delt med b 1 · d , og dette, på grunn av delebarhetsegenskaper, er ekvivalent med betingelsen at a 1 · k er delelig med b 1 .

Du må også skrive ned to viktige konsekvenser fra teoremet som vurderes.

Fellesmultiplene til to tall er de samme som multiplene til deres minste felles multiplum.

Dette er faktisk tilfelle, siden ethvert felles multiplum av M av tallene a og b bestemmes av likheten M=LMK(a, b)·t for en heltallsverdi t.

Det minste felles multiplum av positive primtall a og b er lik deres produkt.

Begrunnelsen for dette faktum er ganske åpenbar. Siden a og b er relativt primtall, så er gcd(a, b)=1, derfor, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Minste felles multiplum av tre eller flere tall

Å finne det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan reduseres til sekvensielt å finne LCM for to tall. Hvordan dette gjøres er angitt i følgende teorem a 1 , a 2 , …, a k faller sammen med fellesmultiplene til tallene m k-1 og a k faller derfor sammen med fellesmultiplene til tallet m k . Og siden det minste positive multiplum av tallet m k er tallet m k selv, så er det minste felles multiplum av tallene a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
• Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
• Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
• Kulikov L.Ya. og andre Samling av problemer i algebra og tallteori: Opplæringen for studenter i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.

Hvordan finne det minste felles multiplum?

Vi må finne hver faktor for hvert av de to tallene som vi finner det minste felles multiplum for, og deretter multiplisere med hverandre faktorene som sammenfaller i det første og andre tallet. Resultatet av produktet vil være det nødvendige multiplumet.

For eksempel har vi tallene 3 og 5 og vi må finne LCM (minste felles multiplum). Oss trenger å formere seg og tre og fem for alle tall fra 1 2 3 ... og så videre til vi ser samme tall begge steder.

Multipliser tre og få: 3, 6, 9, 12, 15

Multipliser med fem og få: 5, 10, 15

Primfaktoriseringsmetoden er den mest klassiske metoden for å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall. Denne metoden er tydelig og enkelt demonstrert i følgende video:

Legg til, multipliser, divider, reduser til en fellesnevner og andre aritmetiske operasjoner Det er en veldig spennende aktivitet; Jeg er spesielt fascinert av eksemplene som tar opp et helt ark.

Så finn felles multiplum av to tall, som vil være det minste tallet som de to tallene deles med. Jeg vil merke meg at det ikke er nødvendig å ty til formler i fremtiden for å finne det du leter etter, hvis du kan telle i hodet (og dette kan trenes), så dukker selve tallene opp i hodet ditt og da sprekker fraksjonene som nøtter.

Til å begynne med, la oss lære at du kan multiplisere to tall med hverandre, og deretter redusere dette tallet og dele vekselvis på disse to tallene, så finner vi det minste multiplumet.

For eksempel to tall 15 og 6. Multipliser og få 90. Dette er helt klart et større tall. Dessuten er 15 delelig med 3 og 6 er delelig med 3, noe som betyr at vi også deler 90 med 3. Vi får 30. Vi prøver 30 dividere 15 er lik 2. Og 30 dividere 6 er lik 5. Siden 2 er grensen, snur det ut at det minste multiplumet for tall er 15 og 6 vil være 30.

Med større tall blir det litt vanskeligere. men hvis du vet hvilke tall som gir en null-rest når du deler eller multipliserer, så er det i prinsippet ingen store vanskeligheter.

• Hvordan finne NOC

  Her er en video som vil gi deg to måter å finne det minste felles multiplumet (LCM). Etter å ha øvd på å bruke den første av de foreslåtte metodene, kan du bedre forstå hva det minste felles multiplumet er.

Jeg presenterer en annen måte å finne det minste felles multiplumet på. La oss se på det med et tydelig eksempel.

Du må finne LCM for tre tall samtidig: 16, 20 og 28.

• Vi representerer hvert tall som et produkt av dets primfaktorer:
• Vi skriver ned potensene til alle primfaktorer:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Vi velger alle primdelere (multiplikatorer) med de største potensene, multipliserer dem og finner LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Dermed ble resultatet av beregningen tallet 560. Det er det minste felles multiplum, det vil si at det er delelig med hvert av de tre tallene uten en rest.

Minste felles multiplum er et tall som kan deles inn i flere gitte tall uten å etterlate en rest. For å beregne en slik figur, må du ta hvert tall og dekomponere det i enkle faktorer. De tallene som samsvarer, fjernes. Forlater alle en om gangen, multipliser dem seg imellom etter tur og få den ønskede - den minste felles multiplum.

NOC, eller minste felles multiplum, er det minste naturlige tallet av to eller flere tall som er delelig med hvert av de gitte tallene uten en rest.

Her er et eksempel på hvordan du finner det minste felles multiplum av 30 og 42.

• Det første trinnet er å faktorisere disse tallene i primfaktorer.

For 30 er det 2 x 3 x 5.

For 42 er dette 2 x 3 x 7. Siden 2 og 3 er i utvidelsen av tallet 30, krysser vi dem ut.

• Vi skriver ned faktorene som inngår i utvidelsen av tallet 30. Dette er 2 x 3 x 5.
• Nå må vi gange dem med den manglende faktoren, som vi har når vi utvider 42, som er 7. Vi får 2 x 3 x 5 x 7.
• Vi finner hva 2 x 3 x 5 x 7 er lik og får 210.

Som et resultat finner vi at LCM for tallene 30 og 42 er 210.

For å finne det minste felles multiplum, må du utføre flere enkle trinn sekvensielt. La oss se på dette ved å bruke to tall som eksempel: 8 og 12

1. Vi faktoriserer begge tallene til primfaktorer: 8=2*2*2 og 12=3*2*2
2. Vi reduserer de samme faktorene til ett av tallene. I vårt tilfelle faller 2 * 2 sammen, la oss redusere dem for tallet 12, så vil 12 ha en faktor igjen: 3.
3. Finn produktet av alle gjenværende faktorer: 2*2*2*3=24

Når vi sjekker, forsikrer vi oss om at 24 er delelig med både 8 og 12, og dette er det minste naturlige tallet som er delelig med hvert av disse tallene. Her er vi funnet det minste felles multiplum.

Jeg skal prøve å forklare ved å bruke tallene 6 og 8 som et eksempel. Det minste felles multiplumet er et tall som kan deles på disse tallene (i vårt tilfelle, 6 og 8), og det vil ikke være noen rest.

Så vi begynner først å multiplisere 6 med 1, 2, 3 osv. og 8 med 1, 2, 3 osv.