Hva er en nok tall. Minste felles multiplum av LCM

Skoleelever får mange oppgaver i matematikk. Blant dem er det veldig ofte problemer med følgende formulering: det er to betydninger. Hvordan finne det minste felles multiplum av gitte tall? Det er nødvendig å kunne utføre slike oppgaver, siden de tilegnete ferdighetene brukes til å arbeide med brøker når ulike nevnere. I denne artikkelen skal vi se på hvordan du finner LOC og grunnleggende konsepter.

Før du finner svaret på spørsmålet om hvordan du finner LCM, må du definere begrepet multiplum. Oftest lyder formuleringen av dette konseptet som følger: et multiplum av en viss verdi A er et naturlig tall som vil være delelig med A uten en rest. Så for 4 vil multiplene være 8, 12, 16, 20. og så videre, til den nødvendige grensen.

Dessuten kan antall divisorer for en bestemt verdi begrenses, men multiplene er uendelig mange. Det er også samme verdi for naturverdier. Dette er en indikator som er delt inn i dem uten en rest. Etter å ha forstått konseptet med den minste verdien for visse indikatorer, la oss gå videre til hvordan du finner den.

Finne NOC

Det minste multiplumet av to eller flere eksponenter er det minste naturlige tallet som er helt delelig med alle spesifiserte tall.

Det er flere måter å finne en slik verdi på, vurder følgende metoder:

Hvis tallene er små, skriv ned på en linje alle de som er delbare med den. Fortsett å gjøre dette til du finner noe til felles blant dem. Skriftlig er de betegnet med bokstaven K. For eksempel, for 4 og 3, er det minste multiplumet 12.
Hvis disse er store eller du trenger å finne et multiplum av 3 eller flere verdier, bør du bruke en annen teknikk som innebærer å dekomponere tall til primfaktorer. Først legger du ut den største som er oppført, deretter alle de andre. Hver av dem har sitt eget antall multiplikatorer. Som et eksempel, la oss dekomponere 20 (2*2*5) og 50 (5*5*2). For den minste, understreker du faktorene og legger dem til den største. Resultatet blir 100, som vil være det minste felles multiplum av tallene ovenfor.
Når du finner 3 tall (16, 24 og 36) er prinsippene de samme som for de to andre. La oss utvide hver av dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Bare to toere fra utvidelsen av tallet 16 ble ikke inkludert i utvidelsen av den største. Vi legger dem til og får 144, som er det minste resultatet for de tidligere angitte numeriske verdiene.

Nå vet vi hva generell metodikk finne den minste verdien for to, tre eller flere verdier. Det finnes imidlertid også private metoder, hjelper til med å søke etter NOC hvis de forrige ikke hjelper.

Hvordan finne GCD og NOC.

Private metoder for å finne

Som med enhver matematisk seksjon, er det spesielle tilfeller av å finne LCM som hjelper i spesifikke situasjoner:

hvis ett av tallene er delelig med de andre uten en rest, er det laveste multiplumet av disse tallene lik det (LCM på 60 og 15 er 15);
relativt primtall har ingen felles primtall. Deres minste verdi er lik produktet av disse tallene. Dermed vil det for tallene 7 og 8 være 56;
samme regel fungerer for andre saker, inkludert spesielle, som kan leses om i spesiallitteratur. Dette bør også inkludere tilfeller av dekomponering av sammensatte tall, som er tema for individuelle artikler og til og med kandidatavhandlinger.

Spesielle tilfeller er mindre vanlige enn standardeksempler. Men takket være dem kan du lære å jobbe med brøkdeler av ulik grad av kompleksitet. Dette gjelder spesielt for brøker, hvor det er ulik nevner.

Noen få eksempler

La oss se på noen få eksempler som vil hjelpe deg å forstå prinsippet om å finne minst multiple:

Finn LOC (35; 40). Vi dekomponerer først 35 = 5*7, deretter 40 = 5*8. Legg til 8 til det minste tallet og få LOC 280.
NOC (45; 54). Vi dekomponerer hver av dem: 45 = 3*3*5 og 54 = 3*3*6. Vi legger til tallet 6 til 45. Vi får en LCM lik 270.
Vel, det siste eksemplet. Det er 5 og 4. Det er ingen primtall av dem, så det minste felles multiplum i dette tilfellet vil være deres produkt, lik 20.

Takket være eksemplene kan du forstå hvordan NOC er plassert, hva nyansene er og hva meningen med slike manipulasjoner er.

Å finne NOC er mye enklere enn det kan virke i utgangspunktet. For å gjøre dette brukes både enkel utvidelse og multiplikasjon enkle verdier Hverandre. Evnen til å jobbe med denne delen av matematikk hjelper med videre studier av matematiske emner, spesielt brøker varierende grader vanskeligheter.

Ikke glem å løse eksempler med jevne mellomrom ulike metoder, dette utvikler det logiske apparatet og lar deg huske en rekke begreper. Lær hvordan du finner en slik eksponent og du vil kunne gjøre det bra i resten av matematikkdelene. Lykke til med å lære matematikk!

Video

Denne videoen vil hjelpe deg å forstå og huske hvordan du finner det minste felles multiplum.

Emnet "Multipler" studeres i klasse 5 ungdomsskolen. Målet er å forbedre skriftlige og muntlige matematiske regneferdigheter. I denne leksjonen introduseres nye begreper - "flertall" og "divisorer", teknikken for å finne divisorer og multipler av et naturlig tall, og evnen til å finne LCM på ulike måter.

Dette temaet er veldig viktig. Kunnskap om det kan brukes ved løsning av eksempler med brøker. For å gjøre dette må du finne fellesnevneren ved å beregne minste felles multiplum (LCM).

Et multiplum av A er et heltall som er delelig med A uten en rest.

Hvert naturlig tall har et uendelig antall multipler av det. Den regnes i seg selv som den minste. Multippelet kan ikke være mindre enn selve tallet.

Du må bevise at tallet 125 er et multiplum av tallet 5. For å gjøre dette må du dele det første tallet med det andre. Hvis 125 er delelig med 5 uten en rest, så er svaret ja.

Denne metoden kan brukes for små tall.

Det er spesielle tilfeller ved beregning av LOC.

1. Hvis du trenger å finne et felles multiplum av 2 tall (for eksempel 80 og 20), hvor ett av dem (80) er delelig med det andre (20), så er dette tallet (80) det minste multiplum av disse to tall.

LCM(80; 20) = 80.

2. Hvis to ikke har en felles divisor, kan vi si at deres LCM er produktet av disse to tallene.

LCM(6; 7) = 42.

La oss se på det siste eksemplet. 6 og 7 i forhold til 42 er delere. De deler et multiplum av et tall uten en rest.

I dette eksemplet er 6 og 7 sammenkoblede faktorer. Produktet deres er lik det mest multiple tallet (42).

Et tall kalles primtall hvis det bare er delelig med seg selv eller med 1 (3:1=3; 3:3=1). Resten kalles kompositt.

Et annet eksempel innebærer å bestemme om 9 er en divisor av 42.

42:9=4 (resten 6)

Svar: 9 er ikke en deler av 42 fordi svaret har en rest.

En divisor skiller seg fra et multiplum ved at divisor er tallet som naturlige tall deles med, og selve multiplumet er delt på dette tallet.

Største felles deler av tall en Og b, multiplisert med deres minste multiplum, vil gi produktet av tallene selv en Og b.

Nemlig: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Felles multipler for mer komplekse tall finnes på følgende måte.

Finn for eksempel LCM for 168, 180, 3024.

Vi faktoriserer disse tallene inn i primfaktorer og skriver dem som et produkt av potenser:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Det minste felles multiplum (LCM) av en gruppe tall er det minste tallet som er delelig med hvert tall i gruppen uten å etterlate en rest. For å finne det minste felles multiplum må du finne primfaktorene til gitte tall. LCM kan også beregnes ved å bruke en rekke andre metoder som gjelder grupper på to eller flere tall.

Trinn

Serie av multipler

Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, er best brukt når det gis to tall, som hver er mindre enn 10. Hvis det er gitt større tall, bruk en annen metode.

Finn for eksempel det minste felles multiplum av 5 og 8. Dette er små tall, så du kan bruke denne metoden.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Multipler kan finnes i multiplikasjonstabellen.
- For eksempel er tall som er multipler av 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Skriv ned en rekke tall som er multipler av det første tallet. Gjør dette under multipler av det første tallet for å sammenligne to sett med tall.
- For eksempel er tall som er multipler av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.
Finn det minste tallet som finnes i begge sett med multipler. Du må kanskje skrive lange rader multipler å finne totalt antall. Det minste tallet som finnes i begge sett med multipler er det minste felles multiplum.
- For eksempel, det minste tallet, som er tilstede i rekken av multipler av 5 og 8, er tallet 40. Derfor er 40 det minste felles multiplum av 5 og 8.
primtallsfaktorisering
1. Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, er best brukt når det gis to tall, som hver er større enn 10. Hvis mindre tall er gitt, bruk en annen metode.
  - Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 20 og 84. Hvert av tallene er større enn 10, så du kan bruke denne metoden.
2. Faktor det første tallet inn i primfaktorer. Det vil si at du må finne slike primtall som, når de multipliseres, vil gi et gitt tall. Når du har funnet hovedfaktorene, skriv dem som likheter.
  - For eksempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger (\mathbf (5) )=10). Dermed er primfaktorene til tallet 20 tallene 2, 2 og 5. Skriv dem som et uttrykk: .
3. Faktor det andre tallet inn i primfaktorer. Gjør dette på samme måte som du faktoriserte det første tallet, det vil si finn slike primtall som, når de multipliseres, vil gi det gitte tallet.
  - For eksempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ ganger 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ ganger (\mathbf (2) )=6). Dermed er primfaktorene til tallet 84 tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem som et uttrykk: .
4. Skriv ned faktorene som er felles for begge tallene. Skriv slike faktorer som en multiplikasjonsoperasjon. Når du skriver hver faktor, krysser du den ut i begge uttrykkene (uttrykk som beskriver faktoriseringer av tall til primfaktorer).
  - For eksempel har begge tallene en felles faktor på 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ ganger ) og kryss ut 2 i begge uttrykkene.
  - Det begge tallene har til felles er en annen faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) og kryss ut de 2 andre i begge uttrykkene.
5. Legg til de resterende faktorene til multiplikasjonsoperasjonen. Dette er faktorer som ikke er krysset over i begge uttrykkene, det vil si faktorer som ikke er felles for begge tallene.
  - For eksempel i uttrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ ganger 2\ ganger 5) Begge to (2) er krysset ut fordi de er felles faktorer. Faktoren 5 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5)
  - I uttrykk 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ ganger 7\ ganger 3\ ganger 2) begge to (2) er også krysset ut. Faktorene 7 og 3 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3).
6. Regn ut det minste felles multiplum. For å gjøre dette, multipliser tallene i den skriftlige multiplikasjonsoperasjonen.
  - For eksempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3=420). Så det minste felles multiplum av 20 og 84 er 420.
Finne felles faktorer
1. Tegn et rutenett som for et spill med tic-tac-toe. Et slikt rutenett består av to parallelle linjer som skjærer (i rette vinkler) med ytterligere to parallelle linjer. Dette vil gi deg tre rader og tre kolonner (rutenettet ligner mye på #-ikonet). Skriv det første tallet i første linje og andre kolonne. Skriv det andre tallet i første rad og tredje kolonne.
  - Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første rad og andre kolonne, og skriv tallet 30 i første rad og tredje kolonne.
2. Finn deleren som er felles for begge tallene. Skriv det ned i første rad og første kolonne. Det er bedre å se etter hovedfaktorer, men dette er ikke et krav.
  - For eksempel er 18 og 30 partall, så deres felles deler tallet blir 2. Så skriv 2 i første rad og første kolonne.
3. Del hvert tall med den første deleren. Skriv hver kvotient under riktig tall. En kvotient er resultatet av å dele to tall.
  - For eksempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv ned 15 under 30.
4. Finn deleren som er felles for begge kvotientene. Hvis det ikke finnes en slik divisor, hopp over to neste skritt. Ellers skriver du divisor i andre rad og første kolonne.
  - For eksempel er 9 og 15 delbare med 3, så skriv 3 i andre rad og første kolonne.
5. Del hver kvotient med dens andre deler. Skriv hvert divisjonsresultat under den tilsvarende kvotienten.
  - For eksempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.
6. Om nødvendig, legg til flere celler i rutenettet. Gjenta de beskrevne trinnene til kvotientene har en felles divisor.
7. Sett ring rundt tallene i den første kolonnen og siste raden i rutenettet. Skriv deretter de valgte tallene som en multiplikasjonsoperasjon.
  - For eksempel er tallene 2 og 3 i den første kolonnen, og tallene 3 og 5 er i den siste raden, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5).
8. Finn resultatet av å multiplisere tall. Dette vil beregne det minste felles multiplum av to gitte tall.
  - For eksempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5=90). Så det minste felles multiplum av 18 og 30 er 90.
Euklids algoritme
1. Husk terminologien knyttet til divisjonsoperasjonen. Utbyttet er tallet som deles. Divisor er tallet som deles på. En kvotient er resultatet av å dele to tall. En rest er tallet som er igjen når to tall deles.
  - For eksempel i uttrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 er utbyttet
    6 er en divisor
    2 er kvotient
    3 er resten.

For å forstå hvordan du beregner LCM, må du først bestemme betydningen av begrepet "flere".

Et multiplum av A er et naturlig tall som er delelig med A uten en rest. Tall som er multiplum av 5 kan derfor betraktes som 15, 20, 25 og så videre.

Det kan være delere av et bestemt tall Begrenset mengde, men det er et uendelig antall multipler.

Felles multiplum naturlige tall- et tall som er delelig med dem uten en rest.

Hvordan finne det minste felles multiplum av tall

Det minste felles multiplum (LCM) av tall (to, tre eller flere) er det minste naturlige tallet som er delelig med alle disse tallene.

For å finne LOC kan du bruke flere metoder.

For små tall er det praktisk å skrive ned alle multiplene av disse tallene på en linje til du finner noe felles blant dem. Multipler er merket med stor bokstav K.

For eksempel kan multipler av 4 skrives slik:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dermed kan du se at det minste felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notasjonen gjøres som følger:

LCM(4; 6) = 24

Hvis tallene er store, finn felles multiplum av tre eller flere tall, så er det bedre å bruke en annen metode for å beregne LCM.

For å fullføre oppgaven må du faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.

Først må du skrive ned dekomponeringen av det største tallet på en linje, og under det - resten.

I utvidelsen av hvert tall kan det være forskjellig mengde multiplikatorer.

La oss for eksempel faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.

I utvidelsen av det mindre antallet er det nødvendig å understreke faktorene som er fraværende i utvidelsen av den første. stort nummer, og legg dem deretter til. I eksemplet som presenteres mangler en to.

Nå kan du beregne minste felles multiplum av 20 og 50.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Så, produktet av primfaktorer mer og faktorene til det andre tallet som ikke ble inkludert i utvidelsen av det større tallet vil være det minste felles multiplum.

For å finne LCM for tre eller flere tall, bør du faktorisere dem alle i primfaktorer, som i forrige tilfelle.

Som et eksempel kan du finne det minste felles multiplum av tallene 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dermed ble bare to toere fra utvidelsen av seksten ikke inkludert i faktoriseringen av et større tall (en er i utvidelsen av tjuefire).

Dermed må de legges til utvidelsen av et større antall.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det er spesielle tilfeller for å bestemme minste felles multiplum. Så hvis ett av tallene kan deles uten en rest med et annet, vil det største av disse tallene være det minste felles multiplum.

For eksempel er LCM for tolv og tjuefire tjuefire.

Hvis du trenger å finne det minste felles multiplum av hverandre primtall, som ikke har identiske divisorer, vil deres LCM være lik produktet deres.

For eksempel, LCM (10, 11) = 110.