Heltall: generell representasjon. Forstå heltall

Frasen " tallsett"er ganske vanlig i lærebøker i matematikk. Der kan du ofte finne setninger som dette:

"Blah blah blah, hvor tilhører settet av naturlige tall."

Ofte, i stedet for slutten av en frase, kan du se noe slikt. Det betyr det samme som teksten litt over - et tall tilhører settet av naturlige tall. Mange legger ofte ikke merke til hvilket sett denne eller den variabelen er definert i. Som et resultat brukes helt feil metoder når man løser et problem eller beviser et teorem. Dette skjer fordi egenskapene til tall som tilhører forskjellige sett kan variere.

Det er ikke så mange numeriske sett. Nedenfor kan du se definisjonene av ulike tallsett.

Settet med naturlige tall inkluderer alle heltall større enn null – positive heltall.

For eksempel: 1, 3, 20, 3057. Settet inkluderer ikke tallet 0.

I det nummer satt inkluderer alle heltall større og mindre enn null, og også null.

For eksempel: -15, 0, 139.

Rasjonale tall, generelt sett, er et sett med brøker som ikke kan kanselleres (hvis en brøk er kansellert, vil den allerede være et heltall, og for dette tilfellet er det ikke nødvendig å introdusere et annet tallsett).

Et eksempel på tall som er inkludert i det rasjonelle settet: 3/5, 9/7, 1/2.

,

hvor er en endelig sekvens av sifre av heltallsdelen av et tall som tilhører settet med reelle tall. Denne sekvensen er endelig, det vil si at antallet sifre i heltallsdelen av et reelt tall er endelig.

– en uendelig rekkefølge av tall som er i brøkdelen av et reelt tall. Det viser seg at brøkdelen inneholder et uendelig antall tall.

Slike tall kan ikke representeres som en brøk. Ellers kan et slikt tall klassifiseres som et sett med rasjonelle tall.

Eksempler på reelle tall:

La oss se nærmere på betydningen av roten av to. Heltallsdelen inneholder bare ett siffer - 1, så vi kan skrive:

I brøkdelen (etter prikken) vises tallene 4, 1, 4, 2 og så videre sekvensielt. Derfor kan vi skrive for de fire første sifrene:

Jeg tør å håpe at nå er definisjonen av settet av reelle tall blitt klarere.

Konklusjon

Det bør huskes at den samme funksjonen kan vises fullstendig ulike egenskaper avhengig av hvilket sett variabelen tilhører. Så husk det grunnleggende - de vil komme godt med.

Innleggsvisninger: 5.198

Hva betyr et helt tall?

Så, la oss se på hvilke tall som kalles heltall.

Følgende tall vil derfor bli betegnet med heltall: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, etc.

Settet av naturlige tall er en delmengde av settet med heltall, dvs. Ethvert naturlig tall vil være et heltall, men ikke hvert heltall er et naturlig tall.

Positive heltall og negative heltall

Definisjon 2

Plus.

Tallene $3, 78, 569, $10450 er positive heltall.

Definisjon 3

er heltall fortegn minus.

Tallene $−3, −78, −569, -10450$ er negative heltall.

Merknad 1

Tallet null er verken et positivt eller et negativt heltall.

Positive heltall er heltall større enn null.

Negative heltall er heltall mindre enn null.

Settet med naturlige heltall er settet av alle positive heltall, og settet med alle motsatte naturlige tall er settet med alle heltall negative tall.

Ikke-positive og ikke-negative heltall

Alle positive heltall og null kalles ikke-negative heltall.

Ikke-positive heltall er alle negative heltall og tallet $0$.

Notat 2

Dermed, ikke-negativt heltall er heltall større enn null eller lik null, og ikke-positivt heltall– heltall mindre enn null eller lik null.

For eksempel, ikke-positive heltall: $−32, −123, 0, −5$, og ikke-negative heltall: $54, 123, 0, 856,342.$

Beskriv endringer i mengder ved hjelp av heltall

Heltall brukes til å beskrive endringer i antall objekter.

La oss se på eksempler.

Eksempel 1

La en butikk selge et visst antall produkter. Når butikken mottar $520$ med varer, vil antallet varer i butikken øke, og tallet $520$ viser endringen i antallet i positiv side. Når en butikk selger $50$ med produktvarer, vil antall produktvarer i butikken reduseres, og tallet $50$ vil uttrykke endringen i antallet i negativ side. Hvis butikken verken bringer eller selger varer, vil antallet varer forbli uendret (dvs. vi kan snakke om null endring i antallet).

I eksemplet ovenfor er endringen i antall varer beskrevet ved hjelp av henholdsvis heltallene $520$, $−50$ og $0$. Positiv verdi heltallet $520$ indikerer en endring i tallet i positiv retning. En negativ verdi av heltallet $−50$ indikerer en negativ endring i tallet. Heltallet $0$ indikerer at tallet er uforanderlig.

Heltall er praktisk å bruke fordi... det er ikke behov for en eksplisitt indikasjon på en økning eller reduksjon i tallet - tegnet på heltall indikerer retningen til endringen, og verdien indikerer den kvantitative endringen.

Ved å bruke heltall kan du uttrykke ikke bare en endring i mengde, men også en endring i en hvilken som helst mengde.

La oss vurdere et eksempel på en endring i kostnaden for et produkt.

Eksempel 2

En økning i verdi, for eksempel med $20$ rubler, uttrykkes ved å bruke et positivt heltall $20$. En reduksjon i pris, for eksempel med $5$ rubler, er beskrevet ved å bruke et negativt heltall $−5$. Hvis det ikke er noen endring i verdien, bestemmes denne endringen ved å bruke heltallet $0$.

La oss separat vurdere betydningen av negative heltall som mengden gjeld.

Eksempel 3

For eksempel har en person $5000$ rubler. Deretter, ved å bruke det positive heltall $5000$, kan du vise antall rubler han har. En person må betale husleie på $7 000 $ rubler, men han har ikke den slags penger, i så fall beskrives en slik situasjon med et negativt heltall $ -7 000 $. I dette tilfellet har personen $−7000$ rubler, der "–" indikerer gjeld, og tallet $7000$ indikerer gjeldsbeløpet.

Algebraiske egenskaper

Lenker

Wikimedia Foundation. 2010.

• Kysser politimenn
• Hele ting

Se hva "heltall" er i andre ordbøker:

Gaussiske heltall- (Gaussiske tall, heltall komplekse tall) er komplekse tall der både de reelle og imaginære delene er heltall. Introdusert av Gauss i 1825. Innhold 1 Definisjon og operasjoner 2 Delbarhetsteori ... Wikipedia

FYLLINGSNUMMER- i kvantemekanikk og kvantestatistikk, tall som indikerer beleggsgraden til et kvante. tilstander av mennesker kvantemekaniske. systemer med mange identiske partikler. For systemer hc med halvtallsspinn (fermioner) h.z. kan bare ha to betydninger... Fysisk leksikon

Zuckerman tall- Zuckermans tall er slik heltall, som er delbare med produktet av sifrene deres. Eksempel 212 er Zuckermans nummer, siden og. Sekvens Alle heltall fra 1 til 9 er Zuckerman-tall. Alle tall inkludert null er ikke... ... Wikipedia

Algebraiske heltall- Algebraiske heltall er komplekse (og spesielt reelle) røtter av polynomer med heltallskoeffisienter og med en ledende koeffisient lik én. I forhold til addisjon og multiplikasjon av komplekse tall, algebraiske heltall ... ... Wikipedia

Komplekse heltall- Gaussiske tall, tall på formen a + bi, hvor a og b er heltall (for eksempel 4 7i). Geometrisk representert ved punkter i det komplekse planet som har heltallskoordinater. C.C.H. ble introdusert av K. Gauss i 1831 i forbindelse med forskning på teorien... ...

Cullen-tall- I matematikk er Cullen-tall naturlige tall på formen n 2n + 1 (skrevet Cn). Cullen-tall ble først studert av James Cullen i 1905. Cullen-tall er det spesiell type Prota tall. Egenskaper I 1976, Christopher Hooley (Christopher... ... Wikipedia

Faste punktnummer- Fast punktnummer er et format for å representere et reelt tall i datamaskinens minne som et heltall. I dette tilfellet er selve tallet x og dets heltallsrepresentasjon x′ relatert med formelen, der z er prisen på det laveste sifferet. Det enkleste eksemplet på aritmetikk med... ... Wikipedia

Fyll tall- i kvantemekanikk og kvantestatistikk, tall som indikerer graden av fylling av kvantetilstander med kvantepartikler mekanisk system mange identiske partikler (Se Identiske partikler). For et system av partikler med halvtallsspinn... ... Stor sovjetisk leksikon

Leyland-tall- Et Leyland-tall er et naturlig tall, representert som xy + yx, der x og y er heltall større enn 1. De første 15 Leyland-tallene er: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 sekvens A076980 i OEIS.... ... Wikipedia

Algebraiske heltall- tall som er røtter av ligninger av formen xn + a1xn ​​1 +... + an = 0, hvor a1,..., an er heltall rasjonelle tall. For eksempel, x1 = 2 + C. a. h., siden x12 4x1 + 1 = 0. Teori om C. a. h. oppstod på 30 40 x år. 1800-tallet i forbindelse med K.s forskning … … Stor sovjetisk leksikon

Bøker

• Aritmetikk: Heltall. Om talls delebarhet. Måling av mengder. Metrisk system av tiltak. Vanlig, Kiselev, Andrey Petrovich. Vi presenterer for lesernes oppmerksomhet en bok av den fremragende russiske læreren og matematikeren A.P. Kiselev (1852-1940), som inneholder et systematisk kurs i aritmetikk. Boken inneholder seks deler...

Viktige notater!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør dette i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær mest oppmerksom på navigatoren vår nyttig ressurs Til

For å gjøre livet ditt MYE enklere når du trenger å beregne noe, for å få verdifull tid på Unified State Exam eller Unified State Exam, for å gjøre færre dumme feil - les denne delen!

Her er hva du lærer:

• hvordan telle raskere, enklere og mer nøyaktig ved å brukenummergrupperingnår du legger til og trekker fra,
• hvordan raskt multiplisere og dividere uten feil ved hjelp av regler for multiplikasjon og tegn på delbarhet,
• hvordan man kan fremskynde beregningene betydelig ved hjelp av minste felles multiplum(NOK) og største felles deler(NIKKE).

Mestring av teknikkene i denne delen kan vippe vekten i en eller annen retning...enten du kommer inn på drømmeuniversitetet ditt eller ikke, vil du eller foreldrene dine måtte betale mye penger for utdanning, eller du vil melde deg på et budsjett .

La oss dykke rett inn... (La oss gå!)

P.S. SISTE VERDISKE RÅD...

En haug med heltall består av 3 deler:

1. heltall(vi skal se på dem mer detaljert nedenfor);
2. tall motsatt av naturlige tall(alt vil falle på plass så snart du vet hva naturlige tall er);
3. null -" " (Hvor ville vi vært uten ham?)

bokstaven Z.

Heltall

"Gud skapte naturlige tall, alt annet er menneskehenders verk" (c) Den tyske matematikeren Kronecker.

Naturlige tall er tall som vi bruker for å telle gjenstander og dette er hva deres opprinnelseshistorie er basert på - behovet for å telle piler, skinn osv.

1, 2, 3, 4...n

bokstav N.

Følgelig inkluderer ikke denne definisjonen (kan du ikke telle noe som ikke er der?) og, enda mer, inkluderer ikke negative verdier(finnes det et eple?).

I tillegg er ikke alle brøktall inkludert (vi kan heller ikke si "Jeg har en bærbar datamaskin" eller "Jeg solgte biler")

Noen naturlig tall kan skrives med 10 sifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Så 14 er ikke et tall. Dette er tallet. Hvilke tall består den av? Det stemmer, fra tall og...

Addisjon. Gruppering når du legger til for å telle raskere og gjøre færre feil

Hvilke interessante ting kan du si om denne prosedyren? Selvfølgelig vil du nå svare "verdien av summen endres ikke ved å omorganisere vilkårene." Det ser ut til at dette er en primitiv regel, kjent fra første klasse, men når man løser store eksempler glemt med en gang!

Ikke glem ham -bruk gruppering, for å gjøre telleprosessen enklere for deg selv og redusere sannsynligheten for feil, fordi du ikke vil ha en kalkulator ved Unified State Examination.

Se selv hvilket uttrykk som er lettere å sette sammen?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Selvfølgelig den andre! Selv om resultatet er det samme. Men! Med tanke på den andre metoden har du mindre sjanser til å gjøre feil, og du vil gjøre alt raskere!

Så i hodet ditt tenker du slik:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Subtraksjon. Gruppering når du trekker fra for å telle raskere og gjøre færre feil

Når vi trekker fra, kan vi også gruppere tallene vi trekker fra, for eksempel:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Hva om subtraksjon veksler med addisjon i eksemplet? Du kan også gruppere, du svarer, og det er riktig. Bare ikke glem skiltene før tallene, for eksempel: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Husk: feilplasserte skilt vil føre til feil resultat.

Multiplikasjon. Hvordan multiplisere i hodet

Å endre plasseringen av faktorene vil selvsagt heller ikke endre verdien av produktet:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Jeg vil ikke fortelle deg "bruk dette når du løser eksempler" (du har tipset selv, ikke sant?), men jeg vil heller fortelle deg hvordan du raskt multipliserer noen tall i hodet ditt. Så se nøye på tabellen:

Og litt mer om multiplikasjon. Selvfølgelig husker du to spesielle anledninger...Kan du gjette hva jeg mener? Her er om det:

Å ja, la oss se på det igjen tegn på delbarhet. Det er totalt 7 regler basert på delebarhetskriterier, hvorav du allerede kjenner de 3 første!

Men resten er slett ikke vanskelig å huske.

7 tegn på delbarhet av tall som vil hjelpe deg å telle raskt i hodet ditt!

• Selvfølgelig kjenner du de tre første reglene.
• Den fjerde og femte er lette å huske - når vi deler på og ser vi om summen av sifrene som utgjør tallet er delelig med dette.
• Når vi deler på, ser vi på de to siste sifrene i et tall – er tallet de gjør delelig med?
• Ved deling på må et tall være delbart med og med samtidig. Det er all visdommen.

Tenker du nå, "hvorfor trenger jeg alt dette"?

For det første foregår Unified State-eksamenen uten kalkulator og disse reglene vil hjelpe deg med å navigere i eksemplene.

Og for det andre, du har hørt problemene om GCD Og INGEN C? Er dette akronymet kjent? La oss begynne å huske og forstå.

Greatest Common Divisor (GCD) - nødvendig for å redusere brøker og gjøre raske beregninger

La oss si at du har to tall: og. For hva største antall Er begge tallene delbare? Du vil svare uten å nøle, fordi du vet at:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Hva er de vanlige tallene i utvidelsen? Det stemmer, 2 * 2 = 4. Det var svaret ditt. Med dette enkle eksemplet i bakhodet, vil du ikke glemme algoritmen for hvordan du finner GCD. Prøv å "bygge" det i hodet ditt. Skjedd?

For å finne en GCD må du:

1. Del tall i primfaktorer (de tallene som ikke kan divideres med noe annet enn seg selv eller med for eksempel 3, 7, 11, 13 osv.).
2. Multipliser dem.

Forstår du hvorfor vi trengte tegn på delbarhet? Slik at du ser på tallet og kan begynne å dele uten en rest.

La oss for eksempel finne gcd for tallene 290 og 485

Første nummer - .

Når du ser på det, kan du umiddelbart se at det er delelig med, la oss skrive det ned:

Det er umulig å dele opp i noe annet, men du kan – og vi får:

290 = 29 * 5 * 2

La oss ta et annet nummer - 485.

I henhold til kriteriene for delbarhet skal den være delelig med uten rest, siden den ender med. Dele opp:

La oss analysere det opprinnelige nummeret.

• Det kan ikke deles på (det siste sifferet er oddetall),
• - er ikke delelig med, noe som betyr at tallet heller ikke er delelig med,
• med og med er heller ikke delelig (summen av sifrene som er inkludert i et tall er ikke delelig med og med)
• er heller ikke delelig med, siden den ikke er delelig med og,
• er heller ikke delelig med, siden den ikke er delelig med og.
• kan ikke deles helt

Dette betyr at tallet kun kan dekomponeres i og.

La oss nå finne GCD disse tallene. Hvilket nummer er dette? Ikke sant, .

Skal vi øve?

Oppgave nr. 1. Finn gcd for tallene 6240 og 6800

1) Jeg deler med umiddelbart, siden begge tallene er 100 % delbare med:

Oppgave nr. 2. Finn gcd-en til tallene 345 og 324

Jeg kan ikke raskt finne en her felles deler, så jeg tar det bare inn i primfaktorer (så små som mulig):

Minste felles multiple (LCM) - sparer tid, hjelper til med å løse problemer på en ikke-standard måte

La oss si at du har to tall - og. Hva er det minste tallet som kan deles på uten et spor(det vil si helt)? Vanskelig å forestille seg? Her er et visuelt hint til deg:

Husker du hva bokstaven står for? Det stemmer, bare hele tall. Hva så minste antall passer på plass x? :

I dette tilfellet.

Fra dette enkelt eksempel Flere regler følger.

Regler for raskt å finne NOC

Regel 1: Hvis ett av to naturlige tall er delelig med et annet tall, er det største av de to tallene deres minste felles multiplum.

Finn følgende tall:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Selvfølgelig taklet du denne oppgaven uten problemer, og du fikk svarene - , og.

Vær oppmerksom på at i regelen snakker vi om TO tall hvis det er flere tall, så fungerer ikke regelen.

For eksempel er LCM (7;14;21) ikke lik 21, siden den ikke er delelig med.

Regel 2. Hvis to (eller flere enn to) tall er coprime, så er det minste felles multiplum lik deres produkt.

Finne INGEN C følgende tall:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Har du telt? Her er svarene - , ; .

Som du forstår, er det ikke alltid mulig å plukke opp samme x så lett, så for litt mer komplekse tall er det følgende algoritme:

Skal vi øve?

La oss finne det minste felles multiplum - LCM (345; 234)

Finn minste felles multiplum (LCM) selv

Hvilke svar fikk du?

Her er hva jeg fikk:

Hvor mye tid brukte du på å finne INGEN C? Tiden min er 2 minutter, jeg vet det ett triks, som jeg foreslår at du åpner akkurat nå!

Hvis du er veldig oppmerksom, har du sannsynligvis lagt merke til at vi allerede har søkt etter de gitte tallene GCD og du kan ta faktoriseringen av disse tallene fra det eksemplet, og dermed forenkle oppgaven din, men det er ikke alt.

Se på bildet, kanskje noen andre tanker kommer til deg:

Vi vil? Jeg skal gi deg et hint: prøv å multiplisere INGEN C Og GCD seg imellom og skriv ned alle faktorene som vil dukke opp når du multipliserer. Klarte du deg? Du bør ende opp med en slik kjede:

Se nærmere på det: sammenlign multiplikatorene med hvordan og er lagt ut.

Hvilken konklusjon kan du trekke av dette? Ikke sant! Hvis vi multipliserer verdiene INGEN C Og GCD seg imellom, så får vi produktet av disse tallene.

Følgelig har tall og mening GCD(eller INGEN C), vi kan finne INGEN C(eller GCD) i henhold til denne ordningen:

1. Finn produktet av tall:

2. Del det resulterende produktet etter vårt GCD (6240; 6800) = 80:

Det er alt.

La oss skrive regelen i generell form:

Prøv å finne GCD, hvis det er kjent at:

Klarte du deg? .

Negative tall er "falske tall" og deres anerkjennelse av menneskeheten.

Som du allerede forstår, er disse tallene motsatte av de naturlige, det vil si:

Negative tall kan legges til, subtraheres, multipliseres og divideres – akkurat som i naturlige tall. Det ser ut til, hva er så spesielt med dem? Men faktum er at negative tall "vant" sin rettmessige plass i matematikk helt frem til 1800-tallet (inntil det øyeblikket var det en enorm mengde kontrovers om hvorvidt de eksisterer eller ikke).

Selve det negative tallet oppsto på grunn av en slik operasjon med naturlige tall som "subtraksjon". Faktisk, trekk fra det og du får et negativt tall. Det er derfor settet med negative tall ofte kalles "utvidelsen av settet naturlige tall».

Negative tall ble ikke gjenkjent av folk på lenge. Så, Det gamle Egypt, Babylon og Antikkens Hellas- armaturene i sin tid, gjenkjente ikke negative tall, og i tilfelle av å oppnå negative røtter i en ligning (for eksempel som vår), ble røttene avvist som umulige.

Negative tall fikk først sin rett til å eksistere i Kina, og deretter på 700-tallet i India. Hva tror du er årsaken til denne anerkjennelsen? Det stemmer, negative tall begynte å betegne gjeld (ellers mangel). Det ble antatt at negative tall er en midlertidig verdi, som som et resultat vil endres til positiv (det vil si at pengene fortsatt vil bli returnert til utlåner). Imidlertid vurderte den indiske matematikeren Brahmagupta allerede negative tall på lik linje med positive.

I Europa ble nytten av negative tall, samt det faktum at de kan betegne gjeld, oppdaget mye senere, kanskje et årtusen. Den første omtalen ble lagt merke til i 1202 i "Book of the Abacus" av Leonard av Pisa (jeg vil si med en gang at forfatteren av boken ikke har noe å gjøre med det skjeve tårnet i Pisa, men Fibonacci-tallene er hans verk (kallenavnet til Leonardo av Pisa er Fibonacci)). Videre kom europeere til den konklusjon at negative tall kan bety ikke bare gjeld, men også mangel på noe, selv om ikke alle anerkjente dette.

Så på 1600-tallet trodde Pascal det. Hvordan tror du han rettferdiggjorde dette? Det er sant, "ingenting kan være mindre enn INGENTING." Et ekko av disse tidene forblir det faktum at et negativt tall og subtraksjonsoperasjonen er merket med det samme symbolet - minus "-". Og sannheten:. Er tallet " " positivt, som trekkes fra, eller negativt, som summeres til?... Noe fra serien "hva kommer først: kyllingen eller egget?" Dette er en så særegen matematisk filosofi.

Negative tall sikret deres rett til å eksistere med fremkomsten av analytisk geometri, med andre ord, da matematikere introduserte et slikt konsept som tallaksen.

Det var fra dette øyeblikket likestillingen kom. Imidlertid var det fortsatt flere spørsmål enn svar, for eksempel:

proporsjon

Denne andelen kalles "Arnauds paradoks". Tenk på det, hva er tvilsomt med det?

La oss argumentere sammen "" er mer enn "" ikke sant? Altså, ifølge logikken, skal venstre side av proporsjonen være større enn høyre, men de er like... Dette er paradokset.

Som et resultat ble matematikere enige om at Karl Gauss (ja, ja, dette er den samme som regnet ut summen (eller) tallene) satte en stopper for det i 1831 - han sa at negative tall har samme rettigheter som positive og det at de ikke gjelder alle ting betyr ikke noe, siden brøker heller ikke gjelder mange ting (det skjer ikke at en graver graver et hull, du kan ikke kjøpe kinobillett osv.) .).

Matematikere roet seg først på 1800-tallet, da teorien om negative tall ble skapt av William Hamilton og Hermann Grassmann.

De er så kontroversielle, disse negative tallene.

Fremveksten av "tomhet", eller biografien om null.

I matematikk er det et spesielt tall. Ved første øyekast er dette ingenting: legg til eller trekk - ingenting vil endre seg, men du må bare legge det til høyre til " ", og det resulterende tallet vil være flere ganger større enn det opprinnelige. Ved å multiplisere med null gjør vi alt til ingenting, men å dele med "ingenting", det vil si at vi ikke kan. Med et ord, det magiske tallet)

Nullhistorien er lang og komplisert. Et spor av null ble funnet i kinesernes skrifter i det 2. årtusen e.Kr. og enda tidligere blant mayaene. Den første bruken av nullsymbolet, slik det er i dag, ble sett blant greske astronomer.

Det er mange versjoner av hvorfor denne betegnelsen "ingenting" ble valgt. Noen historikere er tilbøyelige til å tro at dette er en omicron, dvs. Den første bokstaven i det greske ordet for ingenting er ouden. I følge en annen versjon ga ordet "obol" (en mynt nesten uten verdi) liv til symbolet på null.

Null (eller null) som et matematisk symbol dukker først opp blant indianerne (merk at negative tall begynte å "utvikles" der). Det første pålitelige beviset på registreringen av null dateres tilbake til 876, og i dem er " " en komponent av tallet.

Zero kom også sent til Europa – først i 1600, og akkurat som negative tall, møtte den motstand (hva kan du gjøre, sånn er de, europeere).

«Zero har ofte blitt hatet, fryktet lenge eller til og med forbudt», skriver den amerikanske matematikeren Charles Safe. Så, tyrkisk sultan Abdul Hamid II på slutten av 1800-tallet. beordret sensorene sine til å slette formelen for vann H2O fra alle lærebøker i kjemi, og tok bokstaven "O" for null og ville ikke at initialene hans skulle bli miskreditert av nærhet til den foraktede null.

På Internett kan du finne uttrykket: "Null er den kraftigste kraften i universet, han kan gjøre hva som helst! Null skaper orden i matematikk, og det introduserer også kaos i den.» Helt riktig poeng :)

Oppsummering av avsnittet og grunnleggende formler

Settet med heltall består av 3 deler:

• naturlige tall (vi skal se på dem mer detaljert nedenfor);
• tall motsatt av naturlige tall;
• null - " "

Settet med heltall er angitt bokstaven Z.

1. Naturlige tall

Naturlige tall er tall som vi bruker til å telle objekter.

Settet med naturlige tall er angitt bokstav N.

I operasjoner med heltall trenger du muligheten til å finne GCD og LCM.

Største felles deler (GCD)

For å finne en GCD må du:

1. Dekomponer tall til primfaktorer (de tallene som ikke kan divideres med noe annet enn seg selv eller med for eksempel osv.).
2. Skriv ned faktorene som er en del av begge tallene.
3. Multipliser dem.

Minste felles multiplum (LCM)

For å finne NOC trenger du:

1. Del tall inn i primfaktorer (du vet allerede hvordan du gjør dette veldig bra).
2. Skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av tallene (det er bedre å ta den lengste kjeden).
3. Legg til de manglende faktorene fra utvidelsene av de resterende tallene.
4. Finn produktet av de resulterende faktorene.

2. Negative tall

Dette er tall som er motsatte av naturlige, det vil si:

Nå vil jeg høre deg...

Jeg håper du satte pris på de supernyttige "triksene" i denne delen og forsto hvordan de vil hjelpe deg i eksamen.

Og enda viktigere - i livet. Jeg snakker ikke om det, men tro meg, dette er sant. Evnen til å telle raskt og uten feil sparer deg i mange livssituasjoner.

Nå er det din tur!

Skriv, vil du bruke grupperingsmetoder, delebarhetstester, GCD og LCM i beregninger?

Kanskje du har brukt dem før? Hvor og hvordan?

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet hvordan du liker artikkelen.

Og lykke til med eksamen!

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, er du inne på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått Unified State-eksamenen, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som mottok en god utdannelse, tjene mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Hvis vi legger til tallet 0 til venstre for en serie med naturlige tall, får vi serie positive heltall:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negative heltall

La oss se på et lite eksempel. Bildet til venstre viser et termometer som viser en temperatur på 7°C. Hvis temperaturen synker med 4°, vil termometeret vise 3° varme. En reduksjon i temperatur tilsvarer virkningen av subtraksjon:

Hvis temperaturen synker med 7°, vil termometeret vise 0°. En reduksjon i temperatur tilsvarer virkningen av subtraksjon:

Hvis temperaturen synker med 8°, vil termometeret vise -1° (1° under null). Men resultatet av å subtrahere 7 - 8 kan ikke skrives med naturlige tall og null.

La oss illustrere subtraksjon ved å bruke en serie positive heltall:

1) Fra tallet 7, tell 4 tall til venstre og få 3:

2) Fra tallet 7, tell 7 tall til venstre og få 0:

Det er umulig å telle 8 tall fra tallet 7 til venstre i en serie med positive heltall. For å gjøre handlinger 7 - 8 gjennomførbare utvider vi utvalget av positive heltall. For å gjøre dette, til venstre for null, skriver vi (fra høyre til venstre) i rekkefølge alle de naturlige tallene, og legger til hvert av dem tegnet - , som indikerer at dette tallet er til venstre for null.

Oppføringene -1, -2, -3, ... les minus 1, minus 2, minus 3, osv.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Den resulterende tallserien kalles serie med heltall. Prikkene til venstre og høyre i denne oppføringen betyr at serien kan fortsettes i det uendelige til høyre og venstre.

Til høyre for tallet 0 i denne raden er tall kalt naturlig eller positive heltall(kort - positivt).

Til venstre for tallet 0 i denne raden er tall kalt heltall negativ(kort - negativ).

Tallet 0 er et heltall, men er verken et positivt eller negativt tall. Den skiller positive og negative tall.

Derfor, serien av heltall består av negative heltall, null og positive heltall.

Heltallssammenligning

Sammenlign to heltall- betyr å finne ut hvilken som er størst, hvilken som er mindre, eller bestemme at tallene er like.

Du kan sammenligne heltall ved å bruke en rad med heltall, siden tallene i den er ordnet fra minste til største hvis du beveger deg langs raden fra venstre til høyre. Derfor, i en serie med heltall, kan du erstatte komma med et mindre enn-tegn:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Derfor, av to heltall, jo større er tallet som er til høyre i serien, og jo mindre er det som er til venstre, Midler:

1) Eventuelle positivt tall større enn null og større enn ethvert negativt tall:

1 > 0; 15 > -16

2) Ethvert negativt tall mindre enn null:

7 < 0; -357 < 0

3) Av to negative tall er den som er til høyre i rekken av heltall større.