Løsning av noen matematiske problemer innebærer å finne kryss og forening tallsett. I artikkelen nedenfor vil vi vurdere disse handlingene i detalj, inkludert spesifikke eksempler. Den ervervede ferdigheten vil være anvendelig for å løse ulikheter med én variabel og ulikhetssystemer.

De enkleste tilfellene

Når vi snakker om de enkleste tilfellene i emnet som vurderes, mener vi å finne skjæringspunktet og foreningen av numeriske sett, som er et sett med individuelle tall. I slike tilfeller vil det være tilstrekkelig å bruke definisjonen av kryss og forening av sett.

Definisjon 1

Forening av to sett er et sett der hvert element er et element i et av de originale settene.

Kryss av mange er et sett som består av alle felles elementer originale sett.

Fra disse definisjonene følger logisk følgende regler:

For å danne en forening av to numeriske sett med et endelig antall elementer, er det nødvendig å skrive ned alle elementene i ett sett og legge til de manglende elementene fra det andre settet;

For å lage skjæringspunktet mellom to numeriske sett, er det nødvendig å sjekke elementene i det første settet en etter en for å se om de tilhører det andre settet. De av dem som viser seg å tilhøre begge settene vil utgjøre krysset.

Settet oppnådd i henhold til den første regelen vil inkludere alle elementer som tilhører minst ett av originalsettene, dvs. vil bli foreningen av disse settene per definisjon.

Settet oppnådd i henhold til den andre regelen vil inkludere alle de vanlige elementene i originalsettene, dvs. vil bli skjæringspunktet mellom de originale settene.

La oss vurdere bruken av de resulterende reglene ved å bruke praktiske eksempler.

Eksempel 1

Startdata: numeriske sett A = (3, 5, 7, 12) og B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Det er nødvendig å finne foreningen og skjæringspunktet mellom de originale settene.

Løsning

1. La oss definere foreningen av de originale settene. La oss skrive ned alle elementene, for eksempel i sett A: 3, 5, 7, 12. La oss legge til de manglende elementene i sett B: 2, 8, 11 og 13. Til syvende og sist har vi et numerisk sett: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). La oss bestille elementene i det resulterende settet og få ønsket forening: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. La oss definere skjæringspunktet mellom de originale settene. I henhold til regelen vil vi gå gjennom alle elementene i det første settet A én etter én og sjekke om de er inkludert i settet B. La oss vurdere det første elementet - tallet 3: det tilhører ikke settet B, noe som betyr at det ikke vil være et element i det ønskede skjæringspunktet. La oss sjekke det andre elementet i sett A, dvs. nummer 5: det tilhører settet B, noe som betyr at det vil bli det første elementet i ønsket kryss. Det tredje elementet i sett A er tallet 7. Det er ikke et element i settet B, og er derfor ikke et skjæringselement. Tenk på det siste elementet i sett A: tallet 1. Den tilhører også settet B, og vil følgelig bli et av skjæringselementene. Dermed er skjæringspunktet mellom de originale settene et sett som består av to elementer: 5 og 12, dvs. A ∩ B = (5, 12).

Svar: forening av de originale settene – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); skjæringspunktet mellom originalsettene - A ∩ B = (5, 12).

Alt det ovennevnte gjelder for arbeid med to sett. Når det gjelder å finne skjæringspunktet og foreningen av tre eller flere sett, kan løsningen på dette problemet reduseres til sekvensielt å finne skjæringspunktet og foreningen av to sett. For eksempel, for å bestemme skjæringspunktet mellom tre sett A, B og C, er det mulig å først bestemme skjæringspunktet mellom A og B, og deretter finne skjæringspunktet mellom det resulterende resultatet med settet C. Ved å bruke et eksempel ser det slik ut: la de numeriske settene gis: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) og C = (7, 9 , 1. 3 ) . Skjæringspunktet mellom de to første settene vil være: A ∩ B = (9, 21), og skjæringspunktet mellom det resulterende settet med settet A ∩ B = (9, 21). Som et resultat: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Men i praksis, for å finne foreningen og skjæringspunktet mellom tre eller flere enkle numeriske sett som består av et endelig antall individuelle tall, er det mer praktisk å bruke regler som ligner på de som er angitt ovenfor.

Det vil si, for å finne en forening av tre eller flere sett av den angitte typen, er det nødvendig å legge til de manglende elementene i det andre settet til elementene i det første settet, deretter det tredje, etc. For klargjøring, la oss ta numeriske sett: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Tallet 3 fra sett B vil bli lagt til elementene i det første settet A, og deretter de manglende tallene 4 og 5 fra sett C. Dermed blir foreningen av de originale settene: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Når det gjelder å løse problemet med å finne skjæringspunktet mellom tre eller flere numeriske sett som består av et endelig antall individuelle tall, er det nødvendig å gå gjennom tallene til det første settet ett etter ett og trinn for trinn sjekke om det aktuelle tallet tilhører hvert av de gjenværende settene. For avklaring, vurder tallsett:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

La oss finne skjæringspunktet mellom de originale settene. Det er klart at sett B har færrest elementer, så det er disse vi vil sjekke for å finne ut om de er inkludert i de resterende settene. Nummer 1 av sett B er et element av andre sett, og er derfor det første elementet i det ønskede skjæringspunktet. Det andre tallet i sett B - nummer 0 - er ikke et element i sett A, og vil derfor ikke bli et skjæringselement. Vi fortsetter å sjekke: nummer 2 i sett B er et element i andre sett og blir en annen del av skjæringspunktet. Til slutt, det siste elementet i sett B - tallet 12 - er ikke et element i sett D og er ikke et skjæringselement. Dermed får vi: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Koordinatlinjen og tallintervallene som en forening av delene deres

La oss markere et vilkårlig punkt på koordinatlinjen, for eksempel med koordinat - 5, 4. Spesifisert punkt vil dele koordinatlinjen i to numeriske intervaller - to åpne stråler (-∞, -5,4) og (-5,4, +∞) og selve punktet. Det er lett å se at, i samsvar med definisjonen av en forening av mengder, vil ethvert reelt tall tilhøre foreningen (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). De. settet med alle reelle tall R = (- ∞ ; + ∞) kan representeres i form av unionen oppnådd ovenfor. Motsatt vil den resulterende foreningen være settet av alle reelle tall.

Merk at det er mulig å feste et gitt punkt til hvilken som helst av de åpne strålene, da blir det enkelt numerisk stråle(- ∞ , - 5 , 4 ] eller [ - 5 , 4 , + ∞ ) . I dette tilfellet vil settet R bli beskrevet av følgende foreninger: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) eller (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Lignende resonnement er gyldig ikke bare med hensyn til et punkt på en koordinatlinje, men også med hensyn til et punkt på et hvilket som helst numerisk intervall. Det vil si at hvis vi tar et hvilket som helst internt punkt i et hvilket som helst vilkårlig intervall, vil det være mulig å forestille seg det som en forening av delene oppnådd etter deling gitt poeng, og selve poenget. For eksempel er det gitt et halvintervall (7, 32] og et punkt 13 som hører til dette numeriske intervallet. Da kan det gitte halvintervallet representeres som en forening (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] og omvendt Vi kan inkludere tallet 13 i alle intervallene og deretter kan det gitte settet (7, 32 ] representeres som (7, 13 ] ∪ (13, 32 ] eller (7, 13 ] ∪ (13). , 32 ] Vi kan heller ikke ta det indre punktet til et gitt halvintervall, og dets slutt (punktet med koordinat 32), da kan det gitte halvintervallet representeres som foreningen av intervallet (7, 32). og et sett med ett element (32) Altså: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Et annet alternativ: når ikke ett, men flere punkter tas på en koordinatlinje eller et numerisk intervall. Disse punktene vil dele koordinatlinjen eller det numeriske intervallet i flere numeriske intervaller, og foreningen av disse intervallene vil danne de originale settene. For eksempel er punkter på koordinatlinjen gitt med koordinater - 6, 0, 8, som vil dele den inn i intervaller: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞). I dette tilfellet kan settet med alle reelle tall, som er personifisert av koordinatlinjen, representeres som en kombinasjon av de resulterende intervallene og de angitte tallene:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Temaet for å finne skjæringspunktet og foreningen av sett kan tydelig forstås hvis du bruker bilder av gitte sett på en koordinatlinje (med mindre vi snakker om de enkleste tilfellene som er diskutert helt i begynnelsen av artikkelen).

Vi vil se på en generell tilnærming som lar oss bestemme resultatet av skjæringspunktet og foreningen av to tallsett. La oss beskrive tilnærmingen i form av en algoritme. Vi vil vurdere trinnene gradvis, hver gang sitere neste trinn for å løse et spesifikt eksempel.

Eksempel 2

Startdata: gitt numeriske sett A = (7, + ∞) og B = [ - 3, + ∞). Det er nødvendig å finne skjæringspunktet og foreningen av disse settene.

Løsning

1. La oss skildre de gitte numeriske settene på koordinatlinjer. De må plasseres over hverandre. For enkelhets skyld er det generelt akseptert at opprinnelsespunktene til de gitte settene sammenfaller, og plasseringen av punktene i forhold til hverandre forblir bevart: ethvert punkt med en større koordinat ligger til høyre for punktet med en mindre koordinat. Dessuten, hvis vi er interessert i foreningen av sett, så kombineres koordinatlinjene til venstre av den firkantede parentesen til settet; hvis du er interessert i veikryss, bruk systemets krøllete klammeparentes.

I vårt eksempel, for å skrive skjæringspunktet og foreningen av numeriske sett har vi: og

La oss tegne en annen koordinatlinje, og plassere den under de eksisterende. Det vil være nødvendig å vise ønsket veikryss eller union. På denne koordinatlinjen er alle grensepunktene til de opprinnelige numeriske settene merket: først med bindestreker, og senere, etter å ha avklart arten av punktene med disse koordinatene, vil strekene bli erstattet av punkterte eller ikke-punkterte punkter. I vårt eksempel er dette punkter med koordinater - 3 og 7.

Og

Punktene som er avbildet på den nedre koordinatlinjen i forrige trinn i algoritmen gjør det mulig å betrakte koordinatlinjen som et sett med numeriske intervaller og punkter (vi snakket om dette ovenfor). I vårt eksempel representerer vi koordinatlinjen som et sett med fem numeriske sett: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Nå må du sjekke en etter en om hvert av de skrevne settene tilhører ønsket kryss eller forening. De resulterende konklusjonene er markert i etapper på den nedre koordinatlinjen: når gapet er en del av et kryss eller en forening, tegnes en luke over den. Når et punkt kommer inn i et skjæringspunkt eller en forening, erstattes slaget med et solid punkt; hvis punktet ikke er en del av krysset eller unionen, er det punktert. I disse handlingene må du overholde følgende regler:

Et gap blir en del av skjæringspunktet hvis det samtidig er en del av sett A og sett B (eller med andre ord, hvis det er skyggelegging over dette gapet på begge koordinatlinjene som representerer sett A og B);

Et punkt blir en del av skjæringspunktet hvis det samtidig er en del av hvert av settene A og B (med andre ord, hvis punktet er et ikke-punktert eller internt punkt i et hvilket som helst intervall av både numeriske sett A og B);

Et gap blir en del av en forening hvis det er en del av minst ett av settene A eller B (med andre ord, hvis det er skyggelegging over dette gapet på minst en av koordinatlinjene som representerer settene A og B.

Et punkt blir en del av en forening hvis det er en del av minst ett av settene A og B (med andre ord, punktet er et ikke-punktert eller indre punkt i ethvert intervall av minst ett av settene A og B) .

Kort oppsummering: skjæringspunktet mellom numeriske sett A og B er skjæringspunktet mellom alle numeriske intervaller av sett A og B, over hvilke skyggelegging er samtidig tilstede, og alle individuelle punkter som tilhører både sett A og sett B. Unionen av numeriske sett A og B er foreningen av alle numeriske intervaller, over hvilke minst ett av settene A eller B har skyggelegging, samt alle upunkterte individuelle punkter.

1. La oss gå tilbake til eksemplet og definere skjæringspunktet mellom gitte sett. For å gjøre dette, la oss sjekke settene en etter en: (- ∞ , - 3), ( - 3 ), (- 3 , 7), ( 7 ) , (7 , + ∞) . La oss starte med settet (- ∞, - 3), og markere det tydelig på tegningen:

Dette gapet vil ikke inkluderes i krysset fordi det ikke er en del av verken sett A eller sett B (ingen skyggelegging). Så vår tegning beholder sitt opprinnelige utseende:

Tenk på følgende sett (-3). Tallet - 3 er en del av sett B (ikke et punktert punkt), men er ikke en del av sett A, og vil derfor ikke bli en del av ønsket skjæringspunkt. Følgelig, på den nedre koordinatlinjen lager vi et punkt med koordinat - 3:

Vi evaluerer følgende sett (- 3, 7).

Det er en del av sett B (det er skyggelegging over intervallet), men er ikke inkludert i sett A (det er ingen skyggelegging over intervallet): det vil ikke inkluderes i ønsket kryss, noe som betyr at det ikke vises noen nye merker på den nedre koordinatlinjen:

Det neste settet å sjekke er (7). Det er en del av settet B (punktet med koordinat 7 er et internt punkt i intervallet [ - 3, + ∞)), men er ikke en del av settet A (punktert punkt), og dermed vil det aktuelle intervallet ikke bli en del av det ønskede skjæringspunktet La oss markere punktet med koordinaten 7 som utstanset:

Og til slutt sjekker vi det gjenværende gapet (7, + ∞).

Gapet er inkludert i både sett A og B (skravering er tilstede over gapet), derfor blir det en del av krysset. Vi skygger stedet over det betraktede gapet:

Til slutt ble et bilde av det ønskede skjæringspunktet mellom de gitte settene dannet på den nedre koordinatlinjen. Det er åpenbart settet av alle reelle tall flere tall 7, dvs.: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Neste steg La oss definere foreningen av de gitte settene A og B. Vi kontrollerer settene sekvensielt (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), og fastslår at de er inkludert eller ikke inkludert i den ønskede foreningen .

Det første settet (- ∞, - 3) er ikke en del av noen av de originale settene A og B (det er ingen skygger over intervallene), derfor vil settet (- ∞, - 3) ikke inkluderes i ønsket fagforening:

Settet ( - 3) er inkludert i settet B, noe som betyr at det vil bli inkludert i den ønskede foreningen av settene A og B:

Settet (- 3 , 7) er integrert del sett B (skravering er tilstede over intervallet) og blir et element i foreningen av sett A og B:

Settet 7 er inkludert i det numeriske settet B, derfor vil det også bli inkludert i ønsket forening:

Settet (7, + ∞), som er et element av både sett A og B på samme tid, blir en annen del av den ønskede foreningen:

Basert på det endelige bildet av foreningen av de originale settene A og B, får vi: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Etter å ha litt praktisk erfaring med å bruke reglene for å finne kryss og foreninger av sett, utføres de beskrevne kontrollene enkelt muntlig, noe som lar deg raskt skrive ned det endelige resultatet. La oss demonstrere med et praktisk eksempel hvordan løsningen ser ut uten detaljerte forklaringer.

Eksempel 3

Startdata: sett A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) og B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ​​​∪ (17). Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de gitte settene.

Løsning

La oss markere de gitte numeriske settene på koordinatlinjene for å kunne få en illustrasjon av nødvendig kryss og forening:

Svar: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

Det er også klart at med tilstrekkelig forståelse av prosessen kan den angitte algoritmen optimaliseres. For eksempel, i prosessen med å finne krysset, trenger du ikke å kaste bort tid på å sjekke alle intervallene og settene som representerer individuelle tall, og begrense deg til kun å vurdere de intervallene og tallene som utgjør settet A eller B. Andre intervaller vil i alle fall ikke inngå i krysset, dvs. Til. er ikke en del av originalsettene. La oss illustrere det som er sagt ved å bruke et praktisk eksempel.

Eksempel 4

Startdata: sett A = (-2 ) ∪ [ 1 , 5 ] og B = [ - 4 , 3 ] .

Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet mellom de originale settene.

Løsning

La oss representere de numeriske settene A og B geometrisk:

Grensepunktene til de originale settene vil dele talllinjen i flere sett:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Det er lett å se at det numeriske settet A kan skrives ved å kombinere noen av de oppførte settene, nemlig: ( - 2), (1, 3), (3) og (3, 5). Det vil være nok å sjekke disse settene for deres inkludering også i sett B for å finne ønsket kryss. De som vil inngå i sett B og bli elementer i skjæringspunktet. La oss sjekke.

Det er helt klart at ( - 2) er en del av mengden B, fordi punktet med koordinat - 2 er et internt punkt i segmentet [ - 4, 3). Intervallet (1, 3) og settet (3) er også inkludert i sett B (det er skyggelegging over intervallet, og punktet med koordinat 3 er grense og ikke punktert for sett B). Settet (3, 5) vil ikke være et skjæringselement, fordi er ikke inkludert i sett B (det er ingen skyggelegging over det). La oss legge merke til alt det ovennevnte i tegningen:

Som et resultat vil det ønskede skjæringspunktet mellom to gitte sett være foreningen av sett, som vi vil skrive som følger: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Svar: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

På slutten av artikkelen vil vi også diskutere hvordan du løser problemet med å finne skjæringspunktet og foreningen av flere sett (mer enn 2). La oss redusere det, som anbefalt tidligere, til behovet for å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de to første settene, deretter det resulterende resultatet med det tredje settet, og så videre. Eller du kan bruke algoritmen beskrevet ovenfor med den eneste forskjellen at kontroll av forekomsten av intervaller og sett som representerer individuelle tall, ikke må utføres av to, men av alle gitte sett. La oss se på et eksempel.

Eksempel 5

Startdata: sett A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de gitte settene.

Løsning

Vi viser de gitte numeriske settene på koordinatlinjer og plasserer en krøllete parentes på venstre side av dem, som angir kryss, samt en firkantet parentes, som angir union. Nedenfor viser vi koordinatlinjer med grensepunkter for numeriske sett merket med streker:

Dermed er koordinatlinjen representert av følgende sett: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40) ), (40), (40, + ∞).

Vi begynner å lete etter kryss, vekselvis sjekker de skrevne settene for å se om de tilhører hver av de originale. Alle tre gitte sett inkluderer intervallet (- 3, 12) og settet (- 12): de vil bli elementene i det ønskede skjæringspunktet. Dermed får vi: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Unionen av de gitte settene vil utgjøre følgende sett: (- ∞ , - 3) - element av sett A; ( - 3 ) – element av sett A; (- 3, 12) – element av sett A; ( 12 ) – element av sett A; (12, 25) – element av sett B; (25) er et element i sett B og (40) er et element i sett D. Dermed får vi: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Svar: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ).

Merk også at ønsket skjæringspunkt mellom numeriske sett ofte er det tomme settet. Dette skjer i tilfeller der de gitte settene ikke inkluderer elementer som samtidig tilhører dem alle.

Eksempel 6

Startdata: A = [ - 7, 7 ]; B = (-15) ∪ [-12, 0) ∪ (5); D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; E = (0, 27). Bestem skjæringspunktet mellom gitte sett.

Løsning

La oss vise de originale settene på koordinatlinjer og grensepunktene til disse settene på tilleggslinjen med streker.

De merkede punktene deler talllinjen i sett: (- ∞, - 15), (- 15), (- 15, - 12), (- 12), (- 12, - 10), (- 10), (- 10, - 7), (-7), (-7, 0), (0), (0, 5), (5), (5, 7), (7), (7, 10), (10), (10, 27), (27), (27, + ∞).

Ingen av dem er samtidig et element av alle de originale settene, derfor er skjæringspunktet mellom de gitte settene det tomme settet.

Svar: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Det er praktisk å representere sett i form av sirkler, som kalles Euler-sirkler.

På figuren er skjæringssettet av settene X og Y farget oransje.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

En operasjon på sett er en regel, som et resultat av at et nytt sett er unikt hentet fra gitte sett.

La oss betegne en vilkårlig operasjon med *. Sett hentet fra gitte sett A og B, skrevet i skjemaet A*B. Det resulterende settet og selve operasjonen kalles vanligvis ett begrep.

Kommentar. For grunnleggende numeriske operasjoner brukes to termer: den ene betegner selve operasjonen som en handling, den andre betegner tallet oppnådd etter å ha utført handlingen. For eksempel kalles operasjonen betegnet med + addisjon, og tallet som kommer fra addisjon kalles en sum av tall. Tilsvarende tegnet på multiplikasjonsoperasjonen, og resultatet a b - produkt av tall a og b. Men sjeldnere blir ikke denne forskjellen tatt i betraktning, og de sier "Vurder summen av tall", noe som betyr ikke et spesifikt resultat, men selve operasjonen.

Kryssdrift.Skjæringspunktet mellom sett A og B AglV, som består av alle objekter, som hver tilhører begge settene EN Og I samtidig.

Med andre ord, AsV - er settet av alle.g slik at heA Og heV:

Slå sammen operasjon.Forening av sett A og B kalles et sett betegnet med A" og B, som består av alle objekter, som hver tilhører minst ett sett EN eller I.

Forbundsoperasjonen er noen ganger betegnet med et +-tegn og kalles setttillegg.

Differanseoperasjoner.Forskjellen mellom sett A og B kalles et sett betegnet med AB, bestående av alle objekter, som hver ligger i EN, men lyver ikke I.

Uttrykk ApV lese "EN i skjæringspunktet med I», AkjB- «Og i forening med B", AB - "A uten I".

Eksempel 7.1.1. La EN = {1, 3,4, 5, 8,9}, I = {2,4, 6, 8}.

Deretter AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YAL = (2,6)."

Basert på disse operasjonene kan ytterligere to viktige operasjoner identifiseres.

Tilleggsoperasjon. La AqS. Så forskjellen S.A. kalt tillegg av sett A til S og er utpekt Som.

La ethvert sett under vurdering være en undergruppe av et sett U. Tillegg til et slikt fast (i sammenheng med å løse et bestemt problem) sett U rett og slett mener EN. Notasjonen brukes også SA, Med A, A."

Eksempel 7.1.2. Komplementet av settet (1, 3,4, 5, 8, 9) til settet med alle desimalsiffer er (0, 2, 6, 7).

Utfyller settet Q til settet R det er et sett med 1.

Komplementet av et sett med kvadrater til et sett med rektangler er settet av alle rektangler som har ulike tilstøtende sider.

Vi ser at operasjonene til forening, skjæring og komplement av sett tilsvarer de logiske operasjonene disjunksjon, konjunksjon og negasjon.

Symmetrisk forskjellsoperasjon.Den symmetriske forskjellen mellom sett A og B kalles et sett betegnet med A®B, bestående av alle objekter, som hver tilhører nøyaktig ett av settene A og B:

Det er lett å se at den symmetriske forskjellen er foreningen av to sett AB Og VA. Det samme settet kan fås hvis vi først kombinerer settene EN Og I, og fjern deretter vanlige elementer fra settet.

Eksempel 7.1.3. La reelle tall gis a Så for de tilsvarende numeriske intervallene har vi:

Merk at siden segmentet [EN; b] inneholder et tall c> og intervallet (c;d) punkt Med inneholder ikke nummeret Med ligger i forskjellen [EN; b] uten [med; jfr. Men forskjellen, for eksempel (2;5), inneholder ikke tallet 3, siden det ligger i segmentet. Vi har (2;5)=(2;3).

La det gis usammenhengende sett EN Og I. Siden n er tegnet på kryssoperasjonen, så er oppføringen A(bb stemmer ikke. Det er også feil å si at sett ikke har noe kryss. Det er alltid et skjæringspunkt, det er definert for alle sett. Det faktum at settene ikke krysser hverandre betyr at deres skjæringspunkt er tomt (det vil si at ved å utføre den angitte operasjonen får vi et tomt sett). Hvis settene skjærer hverandre, er skjæringspunktet deres ikke tomt. Vi konkluderer:

La oss generalisere operasjonene til kryssunionen til tilfellet når det er mer enn to sett.

La systemet være gitt TIL settene. Skjæringspunktet mellom sett av et gitt system er settet av alle elementer, som hver ligger i alle sett av deres TIL.

Unionen av sett av et gitt system er settet av alle elementer, som hver ligger i minst ett sett av dem TIL.

La settene av systemet TIL nummerert etter elementer i en eller annen indeksfamilie /. Deretter ethvert sett med TIL kan utpekes EN,-, Hvor iel. Hvis mengden er endelig, brukes settet med første naturlige tall (1,2,...,u) som /. Generelt kan / være uendelig.

Så i det generelle tilfellet foreningen av sett EN for alle iel betegne (J EN( , og krysset - f]A i.

La helheten TIL endelig da K= I dette tilfellet

skrive AyjA 2 v...KjA„ Og AG4 2 (^---G4p-

Eksempel 7.1.4. La oss vurdere intervallene til tallinjen А| = [-oo;2], L2=H°; 3], L3 = u

Begge områdene er omgitt av firkantede parenteser, noe som betyr at deres grenser tilhører dem.

For klarhets skyld lister vi opp alle heltallene som tilhører intervallene [−2; 3] og:

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

Det kan sees at de numeriske intervallene [−2; 3] og ikke har totale antall. Derfor vil skjæringspunktet deres være det tomme settet:

[−2; 3] ∩ = Ø

Hvis vi viser numeriske intervaller [−2; 3] og på koordinatlinjen kan du se at de ikke krysser hverandre noe sted:

Eksempel 7. Gitt et sett med ett element (2). Finn skjæringspunktet med intervallet (−3; 4)

Et sett bestående av ett element (2) er avbildet på koordinatlinjen som en fylt sirkel, og det numeriske intervallet (−3; 4) er et intervall hvis grenser ikke tilhører det. Dette betyr at grensene −3 og 4 vil bli avbildet som tomme sirkler:

Skjæringspunktet mellom settet (2) og det numeriske intervallet (−3; 4) vil være et sett bestående av ett element (2), siden element 2 tilhører både mengden (2) og det numeriske intervallet (−3; 4) )

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

Faktisk har vi allerede behandlet skjæringspunktet mellom numeriske intervaller når vi løser systemer lineære ulikheter. Husk hvordan vi løste dem. Først fant vi mange løsninger på den første ulikheten, så mange løsninger på den andre. Da fant vi mange løsninger som tilfredsstiller begge ulikhetene.

I hovedsak er settet med løsninger som tilfredsstiller begge ulikhetene skjæringspunktet mellom settene med løsninger til den første og andre ulikheten. Rollen til disse settene tas av numeriske intervaller.

For eksempel, for å løse et system med ulikheter, må vi først finne settene med løsninger til hver ulikhet, deretter finne skjæringspunktet mellom disse settene.

I i dette eksemplet løse den første ulikheten x≥ 3 er settet av alle tall som er større enn 3 (inkludert selve tallet 3). Løsningen på ulikheten er med andre ord det numeriske intervallet

EN generelt vedtak systemet vil være skjæringspunktet mellom settene med løsninger til den første og andre ulikheten, det vil si skjæringspunktet mellom numeriske intervaller

Hvis vi skildrer løsningssettet til systemet på koordinatlinjen, vil vi se at disse løsningene tilhører intervallet, som igjen er skjæringspunktet mellom intervallene

Derfor, som et svar, indikerte vi at verdiene til variabelen x tilhører det numeriske intervallet, det vil si skjæringspunktet mellom settene med løsninger til den første og andre ulikheten

x ∈

Eksempel 2. Løs ulikhet

Alle ulikheter som inngår i systemet er allerede løst. Det er bare nødvendig å angi de løsningene som er felles for alle ulikheter.

Løsningen på den første ulikheten er det numeriske intervallet (−∞; −1) .

Løsningen på den andre ulikheten er det numeriske intervallet (−∞; −5) .

Løsningen på den tredje ulikheten er det numeriske intervallet (−∞; 4) .

Løsningen på systemet vil være skjæringspunktet mellom numeriske intervaller (−∞; −1), (−∞; −5) og (−∞; 4). I dette tilfellet er dette skjæringspunktet intervallet (−∞; −5) .

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

Figuren viser numeriske intervaller og ulikhetene som disse numeriske intervallene er definert med. Det kan sees at tall som hører til intervallet (−∞; −5) samtidig tilhører alle opprinnelige intervaller.

La oss skrive svaret til systemet ved hjelp av et numerisk intervall:

x ∈ (−∞; −5)

Eksempel 3. Løs ulikhet

Løse den første ulikheten y> 7 er det numeriske intervallet (7; +∞) .

Løse den andre ulikheten y< 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

Løsningen på systemet vil være skjæringspunktet mellom de numeriske intervallene (7; +∞) og (−∞; 4).

I dette tilfellet er skjæringspunktet mellom de numeriske intervallene (7; +∞) og (−∞; 4) et tomt sett, siden disse numeriske intervallene ikke har felles elementer:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Hvis du viser de numeriske intervallene (7; +∞) og (−∞; 4) på ​​koordinatlinjen, kan du se at de ikke skjærer hverandre noe sted:

Union av sett

Sammenslåingen av to (eller flere) originalsett er et sett som består av elementer som tilhører minst ett av originalsettene.

I praksis består foreningen av sett av alle elementer som tilhører de originale settene. Det er derfor de sier at elementene i et slikt sett tilhører minst ett av de originale settene.

Vurder settet EN med elementer 1, 2, 3 og sett B med elementene 4, 5, 6.

EN = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

La oss definere et nytt sett C EN og alle elementene i settet B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

I dette tilfellet samling settene EN Og B er et sett C og er betegnet som følger:

EN∪B=C

Symbolet ∪ betyr forening og erstatter konjunksjonen ELLER. Så uttrykket EN∪B=C kan leses slik:

Elementer som tilhører sett A ELLER sett B, det er elementer som tilhører sett C.

Definisjonen av en fagforening sier at elementene i et slikt sett tilhører minst ett av de originale settene. Denne setningen kan tas bokstavelig.

La oss gå tilbake til settet vi laget C, som inkluderer alle elementene i settene EN Og B. La oss ta element 5 fra dette settet som et eksempel. Hva kan du si om det?

Hvis 5 er et element i settet C, og settet MED er en forening av sett EN Og B, så kan vi trygt si at element 5 tilhører minst ett av settene EN Og B. Sånn er det:

EN = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5 , 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

La oss ta et annet element fra settet MED, for eksempel element 2. Hva kan du si om det?

Hvis 2 er et element i settet C, og settet MED er en forening av sett EN Og B, så kan vi trygt si at element 2 tilhører minst ett av settene EN Og B. Sånn er det:

EN = {1, 2 , 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

Hvis vi ønsker å kombinere to eller flere sett og plutselig oppdager at ett eller flere elementer tilhører hvert av disse settene, vil de gjentatte elementene bare inkluderes i foreningen én gang.

Tenk for eksempel på settet EN med elementer 1, 2, 3, 4 og sett B med elementene 2, 4, 5, 6.

EN = {1, 2 , 3, 4 }

B = {2 , 4 , 5, 6}

Vi ser at element 2 og 4 samtidig tilhører settet EN, og mange B. Hvis vi ønsker å kombinere sett EN Og B, deretter det nye settet C vil inneholde element 2 og 4 bare én gang. Det vil se slik ut:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

For å unngå feil ved sammenslåing, gjør de vanligvis dette: Først legger du alle elementene i det første settet til det nye settet, deretter legger du til elementer i det andre settet som ikke tilhører det første settet. La oss prøve å lage en slik forening med sett EN Og B .

Så vi har følgende innledende sett:

EN = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

La oss definere et nytt sett MED og legg til alle elementene i settet til det EN

C = { 1, 2, 3, 4,

La oss nå legge til elementer fra settet B, som ikke tilhører settet EN. For mange EN element 5 og 6 hører ikke hjemme. La oss legge dem til listen C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Eksempel 2. Johns venner er Tom, Fred, Max og George. Og Michaels venner er Leo, Tom, Fred og Evan. Finn foreningen av vennesettene til John og Michael.

La oss først definere to sett: settet med Johns venner og settet med Michaels venner.

La oss definere et nytt sett med navnet "Alle John og Michaels venner" og legg alle John og Michaels venner til den.

Legg merke til at Tom og Fred begge er venner av John og Michael, så vi legger dem til i det nye settet bare én gang, siden det ikke kan være to Toms og to Freds samtidig.

I dette tilfellet er settet med alle venner til John og Michael foreningen av vennesettene til John og Michael.

Johns venner ∪ Michaels venner = Alle John og Michaels venner

Eksempel 3. Gitt to numeriske intervaller: [−7; 0] og [-3; 5] . Finn fagforeningen deres.

Begge områdene er omgitt av firkantede parenteser, noe som betyr at deres grenser tilhører dem.

For klarhets skyld lister vi opp alle heltallene som tilhører disse intervallene:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Ved å kombinere numeriske intervaller [−7; 0] og [-3; 5] vil det være et numerisk intervall [−7; 5] , som inneholder alle tallene i intervallet [−7; 0] og [-3; 5] uten å gjenta noen av tallene

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Vær oppmerksom på at tallene −3, −2, −1 tilhørte både det første intervallet og det andre. Men siden slike elementer bare kan inngå i en fagforening én gang, tok vi dem med én gang.

Dette betyr at ved å kombinere de numeriske intervallene [−7; 0] og [-3; 5] vil det være et numerisk intervall [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

La oss representere intervallene [−7; 0] og [-3; 5] . På det øvre området markerer vi det numeriske intervallet [−7; 0], på bunnen - intervallet [−3; 5]

Tidligere fant vi ut at intervallet [−7; 5] er foreningen av intervallene [−7; 0] og [-3; 5] . Her er det nyttig å huske definisjonen av en forening av sett, som ble gitt helt i begynnelsen. En union tolkes som et sett som består av alle elementer som tilhører minst ett av de originale settene.

Faktisk, hvis vi tar et hvilket som helst tall fra intervallet [−7; 5], så viser det seg at den tilhører minst ett av intervallene: enten intervallet [−7; 0] eller intervallet [−3; 5] .

La oss ta fra intervallet [−7; 5] et hvilket som helst tall, for eksempel tallet 2. Siden intervallet [−7; 5] er foreningen av intervallene [−7; 0] og [-3; 5], vil tallet 2 tilhøre minst ett av disse intervallene. I dette tilfellet tilhører tallet 2 intervallet [−3; 5]

La oss ta et annet nummer. For eksempel tallet −4. Dette tallet vil tilhøre minst ett av intervallene: [−7; 0] eller [−3; 5] . I dette tilfellet tilhører den intervallet [−7; 0]

La oss ta et annet nummer. For eksempel tallet −2. Den tilhører både intervallet [−7; 0] og intervallet [−3; 5] . Men på koordinatlinjen er det kun indikert én gang, siden det ikke er to tall −2 på samme punkt.

Ikke hver forening av tallintervaller er et tallintervall. La oss for eksempel prøve å finne foreningen av numeriske intervaller [−2; −1] og .

Ideen forblir den samme - foreningen av de numeriske intervallene [−2;−1], og det vil være et sett bestående av elementer som tilhører minst ett av intervallene: [−2; −1] eller . Men dette settet vil ikke være et numerisk intervall. For klarhets skyld lister vi opp alle heltallene som tilhører denne unionen:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Vi fikk settet ( −2, −1, 4, 5, 6, 7). Dette settet er ikke et numerisk intervall på grunn av det faktum at tallene som ligger mellom −1 og 4 ikke er inkludert i det resulterende settet

Det numeriske spennet må inneholde alle tall fra venstre kant til høyre. Hvis et av tallene mangler, blir det numeriske intervallet meningsløst. La oss si at det er en linjal som er 15 cm lang

Denne linjen er et tallområde fordi den inneholder alle tall mellom 0 og 15 inkludert. Tenk deg nå at på linjalen, etter tallet 9, følger tallet 12 umiddelbart etter.

Denne linjalen er ikke en 15 cm linjal og er ikke tilrådelig å bruke til måling. Det kan heller ikke kalles et tallintervall, siden det ikke inneholder alle tallene det skal inneholde.

Løse ulikheter som inneholder tegnet ≠

Noen ulikheter inneholder tegnet ≠ (ikke lik). For eksempel 2 x≠ 8. For å løse denne ulikheten, må du finne settet med verdier til variabelen x, for hvilken venstre side ikke lik høyre side.

La oss løse ulikhet 2 x≠ 8. Del begge sider av denne ulikheten med 2, så får vi:

Vi har en tilsvarende ulikhet x≠ 4. Løsningen på denne ulikheten er settet av alle tall, ulik 4. Det vil si hvis vi erstatter i ulikheten x≠ 4 er et hvilket som helst tall som ikke er lik 4, da får vi riktig ulikhet.

La oss erstatte for eksempel tallet 5

5 ≠ 4 er en sann ulikhet fordi 5 ikke er lik 4

La oss erstatte 7

7 ≠ 4 er en sann ulikhet fordi 7 ikke er lik 4

Og siden ulikhet x≠ 4 tilsvarer den opprinnelige ulikheten 2 x≠ 8, deretter løsninger på ulikheten x≠ 4 vil også gjelde for ulikhet 2 x≠ 8. La oss erstatte de samme testverdiene 5 og 7 med ulikhet 2 x≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

x≠ 4 på koordinatlinjen. For å gjøre dette vil vi kutte ut punkt 4 på koordinatlinjen, og markere hele det gjenværende området på begge sider med streker:

La oss nå skrive svaret i form av et numerisk intervall. For å gjøre dette, vil vi bruke foreningen av sett. Ethvert tall som er en løsning på ulikhet 2 x≠ 8 vil enten tilhøre intervallet (−∞; 4) eller til intervallet (4; +∞). x Så vi skriver at verdiene til variabelen tilhører (−∞; 4) eller (4; +∞) . La oss huske det for ordet"eller"

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

x symbolet ∪ brukes , tilhører intervallet (−∞; 4) eller

intervall (4; +∞). ≠ Ulikheter som inneholder et tegn ≠ , kan også løses som vanlige ligninger. For dette skiltet = erstattet av et skilt

. Da får du den vanlige ligningen. På slutten av løsningen må den funnet verdien av variabelen x ekskluderes fra settet med løsninger. x La oss løse den forrige ulikheten 2 ≠ 8 som vanlig ligning. Erstatt ≠-tegnet med likhetstegnet = , vi får ligning 2 x = x= 4 .

8 . Del begge sider av denne ligningen med 2, får vi x Vi ser at når

Eksempel 2. Løs ulikhet 3x− 5 ≠ 1 − 2x

, lik 4, blir ligningen til en sann numerisk likhet. For andre verdier vil likestilling ikke bli observert. Disse andre betydningene er det som interesserer oss. Og for å gjøre dette er det nok å ekskludere de fire funnet fra settet med løsninger. x La oss flytte −2

fra høyre side til venstre side, endre tegnet, og flytt −5 fra venstre side til høyre side, igjen endre tegnet:

La oss presentere lignende termer i begge deler:

Del begge sider av den resulterende ulikheten med 5 x Løse ulikheten ulik 1,2 .

≠ 1.2 er settet av alle tall, x La oss skildre settet med løsninger på ulikheten

x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

≠ 1,2 på koordinatlinjen og skriv svaret i form av et numerisk intervall: x Dette uttrykket sier at verdiene antatt av variabelen , tilhører intervallet (−∞; 4) tilhører intervallet (−∞; 1,2)

intervall (1,2; +∞)

Løse sett med ulikheter La oss vurdere en annen type ulikheter kalt sett med ulikheter

. Du løser kanskje sjelden denne typen ulikheter, men for generell utvikling er det nyttig å studere dem.

Et sett med ulikheter er veldig likt et system med ulikheter. Forskjellen er at i et system av ulikheter er det nødvendig å finne mange løsninger som tilfredsstiller hver ulikhet som danner dette systemet. Og i tilfelle av et sett med ulikheter, må du finne mange løsninger som tilfredsstiller minst en

ulikhetene som utgjør dette aggregatet.

Et sett med ulikheter er indikert med en firkantet parentes. For eksempel er følgende notasjon av to ulikheter et sett:

Løse den første ulikheten x La oss løse dette settet. Først må du løse hver ulikhet separat.

≥ 3 er et numerisk intervall. x Flere betydninger , som det er sant for minst en

x ∈

Dette uttrykket sier at variabelen x, inkludert i
samlingen tar alle verdier som hører til intervallet. Og det er dette vi trenger. Tross alt betyr å løse et sett å finne et sett med løsninger som tilfredsstiller Og i tilfelle av et sett med ulikheter, må du finne mange løsninger som tilfredsstiller ulikhetene som utgjør dette aggregatet. Og et hvilket som helst tall i intervallet vil tilfredsstille minst én ulikhet.

For eksempel tilfredsstiller tallet 9 fra intervallet den andre ulikheten x≤ 6.

Se nøye på uttrykket x∈ , nemlig på sin høyre side. Tross alt er uttrykket en forening av numeriske intervaller. Mer presist, foreningen av settene av løsninger på den første og andre ulikheten.

Det er, løsningen på settet av ulikheter er foreningen av sett løsninger på den første og andre ulikheten.

Med andre ord vil løsningen for befolkningen være foreningen av numeriske intervaller

Unionen av numeriske intervaller er intervallet (−∞; +∞) . Mer presist er foreningen av numeriske intervaller hele koordinatlinjen. Og hele koordinatlinjen er alle tallene som kan være

= (−∞; +∞)

x∈

x∈ (−∞; +∞)

La oss ta et hvilket som helst tall fra den resulterende kombinasjonen og sjekke om det tilfredsstiller minst én ulikhet.

La oss ta tallet 8 som et eksempel. Det tilfredsstiller den første ulikheten x≥ 3.

8 ≥ 3

La oss ta et annet tall, for eksempel tallet 1. Det tilfredsstiller den andre ulikheten x≤ 6

La oss ta et annet tall, for eksempel tallet 5. Det tilfredsstiller også den første ulikheten x≥ 3 og andre x≤ 6

Eksempel 2

For å løse dette settet må du finne et sett med løsninger som tilfredsstiller minst én ulikhet som utgjør dette settet.

La oss først finne mange løsninger på den første ulikheten x< −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

x≥ −7 er det numeriske intervallet [−7; +∞).

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

Med andre ord vil løsningen for befolkningen være foreningen av numeriske intervaller (−∞; −0,25) og [−7; +∞)

Ved å kombinere de numeriske intervallene (−∞; −0,25) og [−7; +∞) er hele koordinatlinjen. Og hele koordinatlinjen er alle tallene som kan være

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

Svaret kan stå slik vi skrev det tidligere:

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

eller bytt den ut med en kortere:

x∈ (−∞; +∞)

Eksempel 3. Løs et sett med ulikheter

La oss løse hver ulikhet separat:

Settet med løsninger på den første ulikheten x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3) .

Settet med løsninger på den andre ulikheten x≤ 0 er det numeriske intervallet (−∞; 0] .

Løsningen på settet av ulikheter vil være foreningen av settene med løsninger på den første og andre ulikheten.

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

Med andre ord vil løsningen på populasjonen være foreningen av de numeriske intervallene (−∞; −3) og (−∞; 0]

Unionen av de numeriske intervallene (−∞; −3) og (−∞; 0] er det numeriske intervallet (−∞; 0]

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

Svaret kan stå slik vi skrev det tidligere:

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

eller bytt den ut med en kortere:

x∈ (−∞; 0]

Oppgaver for selvstendig løsning

Likte du leksjonen?
Bli med i vår ny gruppe VKontakte og begynn å motta varsler om nye leksjoner

1 SPØRSMÅL:Mange er en samling av noen elementer forent av et fellestrekk. Elementer i et sett kan være tall, figurer, objekter, begreper osv.

Sett er merket med store bokstaver, og elementer i settet er merket med små bokstaver. Elementer av sett er innelukket i krøllete seler.

Hvis element x tilhører settet X, så skriv x ∈ X (∈ - tilhører). Hvis sett A er en del av sett B, så skriv EN⊂ I (⊂ - inneholdt).

Definisjon 1 (definisjon av likhet av sett). Settene EN og B er like hvis de består av de samme elementene, det vil si at hvis x  A betyr x  B og omvendt, betyr x  B x  A.

Formelt er likheten mellom to sett skrevet som følger:

(A=B):= x((xEN)  (xB)),

dette betyr at for ethvert objekt x er relasjonene x A og x B ekvivalente.

Her  er den universelle kvantifikatoren ( x står "for alle" x").

Delsett

Definisjon: Settet X er delmengde Y, hvis noe element i mengden X tilhører settet Y. Dette kalles også ikke-streng inkludering.Noen egenskaper for delsettet:

1. ХХ - refleksjonsevne

2. X  Y & YZ  X  Z - transitivitet

3.   X dvs. det tomme settet er et undersett av ethvert sett Definisjon: Universal sett- dette er et sett som består av alle elementer, samt delmengder av settet med objekter i området som studeres, dvs.

1. Hvis M  Jeg , At M  Jeg

2. Hvis M  Jeg , At Ώ(M)  Jeg, hvor under Ώ(M) - alle mulige delmengder av M, eller boolsk M, er forstått.

Det universelle settet er vanligvis betegnet Jeg .

Det universelle settet kan velges uavhengig, avhengig av settet som vurderes og oppgavene som løses.

Metoder for å spesifisere sett:

1. ved å liste opp elementene. Vanligvis er endelige sett definert ved oppregning.

2. ved å beskrive egenskaper som er felles for alle elementene i dette settet, og kun dette settet. Denne egenskapen kalles karakteristisk egenskap, og denne måten å spesifisere settet på beskrivelse. Dermed kan du spesifisere både endelige og uendelige sett. Hvis vi definerer et sett med en eller annen egenskap, kan det senere vise seg at bare ett objekt har denne egenskapen eller at det ikke finnes noe slikt objekt i det hele tatt. Dette faktum er kanskje ikke i det hele tatt åpenbart.

Emne 2.3 Operasjoner på sett.

La oss nå definere operasjoner på sett.

1. Skjæring av sett.

Definisjon: Skjæringspunktet mellom settene X og Y er et sett som består av alle disse, og bare de elementene, som tilhører både settet X og settet Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) skjæringspunkt (2,4)

Definisjon: Sett kalles disjunkte hvis de ikke har felles elementer, dvs. deres skjæringspunkt er lik det tomme settet.

For eksempel : usammenhengende sett er settene med fremragende studenter og mislykkede.

Denne operasjonen kan utvides til mer enn to sett. I dette tilfellet vil det være et sett med elementer som samtidig tilhører alle sett.

Kryssegenskaper:

1. X∩Y = Y∩X - kommutativitet

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - assosiativitet

3. X∩ = 

4. X∩ Jeg = X

2. Sammenslutning av sett

Definisjon: Foreningen av to sett er et sett som består av alle og bare de elementene som tilhører minst ett av settene X eller Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) ved å kombinere (1,2,3,4,6)

Denne operasjonen kan utvides til mer enn to sett. I dette tilfellet vil det være settet med elementer som tilhører minst ett av disse settene.

Bli med eiendommer:

1. XUY= YUY - kommutativitet

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - assosiativitet

4.XU Jeg = Jeg

Fra egenskapene til operasjonene til kryss og forening er det klart at det tomme settet ligner null i tallalgebraen.

3. Still inn forskjell

Definisjon: Denne operasjonen, i motsetning til operasjonene til kryss og forening, er kun definert for to sett. Forskjellen mellom settene X og Y er et sett som består av alle disse og bare de elementene som tilhører X og ikke tilhører Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) forskjell (1,3)

Som vi allerede har sett, spilles rollen som null i settalgebra av det tomme settet. La oss definere et sett som vil spille rollen som enhet i algebraen av mengder

4. Sett ferdigstillelse

Komplementet til et sett X er forskjellen mellom I og X.

Tilleggsegenskaper:

1. Settet X og dets komplement har ingen felles elementer

2. Ethvert element I tilhører enten settet X eller dets komplement.

SPØRSMÅL 2 Sett med tall

Heltall− tall brukt ved telling (oppføring) av elementer: N=(1,2,3,...)

Naturlige tall med null inkludert− tall som brukes for å angi antall elementer: N0=(0,1,2,3,...)

Hele tall- inkludere heltall, tall motsatt av naturlige (dvs. med negativt fortegn) og null. Positive heltall: Z+=N=(1,2,3,…) Negative heltall: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,...)

Rasjonelle tall− tall representert som en vanlig brøk a/b, hvor a og b er heltall og b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Når konvertert til desimal et rasjonelt tall er representert med en endelig eller uendelig periodisk brøk.

Irrasjonelle tall− tall som er representert som en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk.

Reelle tall- forening av rasjonelle og irrasjonelle tall: R

Komplekse tall C=(x+iy∣x∈R иy∈R), hvor i er den imaginære enheten.

Reelt tallmodul og egenskaper

Modulus til et reelt tall- Dette absolutt verdi dette nummeret.

Enkelt sagt, når du tar modulen, må du fjerne tegnet fra tallet.

Den absolutte verdien av et tall en betegnet med |a|. Vær oppmerksom på: Modulen til et tall er alltid ikke-negativ: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45