Dette matteprogram finner ligningen for tangenten til grafen til funksjonen \(f(x)\) ved et brukerspesifisert punkt \(a\).

Programmet viser ikke bare tangentligningen, men viser også prosessen med å løse problemet.

Denne nettbaserte kalkulatoren kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du trenger å finne den deriverte av en funksjon, så har vi oppgaven Finn den deriverte til dette.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn funksjoner, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Skriv inn funksjonsuttrykket \(f(x)\) og tallet \(a\)

f(x)=
a=

Finn tangentligningen

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Direkte skråning

Husk at grafen til den lineære funksjonen \(y=kx+b\) er en rett linje. Tallet \(k=tg \alpha \) kalles hellingen av en rett linje, og vinkelen \(\alpha \) er vinkelen mellom denne linjen og okseaksen

Hvis \(k>0\), så \(0 Hvis \(kLigningen til tangenten til grafen til funksjonen

Hvis punktet M(a; f(a)) tilhører grafen til funksjonen y = f(x) og hvis det på dette punktet er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen som ikke er vinkelrett på abscisseaksen , deretter fra geometrisk betydning derivert følger det at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f "(a). Deretter vil vi utvikle en algoritme for å komponere likningen av tangenten til grafen til enhver funksjon.

La en funksjon y = f(x) og et punkt M(a; f(a)) gis på grafen til denne funksjonen; la det bli kjent at f"(a) eksisterer. La oss lage en ligning for tangenten til grafen gitt funksjon på et gitt punkt. Denne ligningen, som ligningen til enhver rett linje som ikke er parallell med ordinataksen, har formen y = kx + b, så oppgaven er å finne verdiene til koeffisientene k og b.

Alt er klart med vinkelkoeffisienten k: det er kjent at k = f"(a). For å beregne verdien av b bruker vi det faktum at den ønskede rette linjen går gjennom punktet M(a; f(a)) Dette betyr at hvis vi erstatter koordinatene til punktet M i ligningen til en rett linje, får vi den riktige likheten: \(f(a)=ka+b\), dvs. \(b = f(a) -. ka\).

Det gjenstår å erstatte de funnet verdiene til koeffisientene k og b i ligningen til den rette linjen:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a) $$

Vi mottok likning av tangenten til grafen til en funksjon\(y = f(x) \) ved punktet \(x=a \).

Algoritme for å finne ligningen for tangenten til grafen til funksjonen \(y=f(x)\)
1. Angi abscissen til tangentpunktet med bokstaven \(a\)
2. Beregn \(f(a)\)
3. Finn \(f"(x)\) og beregn \(f"(a)\)
4. Bytt inn de funnet tallene \(a, f(a), f"(a) \) med formelen \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og Unified State Examination tester online Spill, puslespill Plotte grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående utdanningsinstitusjoner i Russland Katalog over russiske universiteter Katalog over russiske universiteter Liste over problemer Finne GCD og LCM Forenkle et polynom (multiplisere polynomer)

Videoleksjonen "Ligning av en tangent til grafen til en funksjon" demonstrerer undervisningsmateriellå mestre temaet. I løpet av videoleksjonen beskrives det teoretiske materialet som er nødvendig for å formulere konseptet med ligningen av en tangent til grafen til en funksjon ved et gitt punkt, en algoritme for å finne en slik tangent, og eksempler på å løse problemer ved å bruke det studerte teoretiske materialet. .

Videoopplæringen bruker metoder som forbedrer klarheten i materialet. Presentasjonen inneholder tegninger, diagrammer, viktige stemmekommentarer, animasjon, fremheving og andre verktøy.

Videoleksjonen begynner med en presentasjon av emnet for leksjonen og et bilde av en tangent til grafen til en funksjon y=f(x) ved punktet M(a;f(a)). Det er kjent at skråningen tangent plottet til grafen i et gitt punkt er lik den deriverte av funksjonen f΄(a) i et gitt punkt. Også fra algebraforløpet kjenner vi likningen til den rette linjen y=kx+m. Løsningen på problemet med å finne tangentligningen i et punkt er skjematisk presentert, som reduserer til å finne koeffisientene k, m. Når vi kjenner koordinatene til et punkt som tilhører grafen til funksjonen, kan vi finne m ved å sette inn koordinatverdien i tangentligningen f(a)=ka+m. Fra den finner vi m=f(a)-ka. Ved å vite verdien av den deriverte i et gitt punkt og koordinatene til punktet, kan vi representere tangentligningen på denne måten y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Følgende er et eksempel på å komponere en tangentligning etter diagrammet. Gitt funksjonen y=x 2, x=-2. Ved å ta a=-2 finner vi verdien av funksjonen i et gitt punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den deriverte av funksjonen f΄(x)=2x. På dette tidspunktet er den deriverte lik f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. For å komponere ligningen ble alle koeffisientene a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 funnet, så tangentligningen er y=4+(-4)(x+2). Forenklet ligningen får vi y = -4-4x.

Følgende eksempel foreslår å konstruere en ligning for tangenten ved origo til grafen til funksjonen y=tgx. Ved et gitt punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangensligningen ser ut som y=x.

Som en generalisering er prosessen med å komponere en ligning som tangerer grafen til en funksjon på et bestemt punkt formalisert i form av en algoritme som består av 4 trinn:

• Skriv inn betegnelsen a for abscissen til tangentpunktet;
• f(a) beregnes;
• f΄(x) bestemmes og f΄(a) beregnes. De funnet verdiene til a, f(a), f΄(a) erstattes med tangentligningsformelen y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 tar for seg å komponere tangentligningen til grafen for funksjonen y=1/x i punktet x=1. For å løse problemet bruker vi en algoritme. For en gitt funksjon ved punkt a=1, verdien av funksjonen f(a)=-1. Derivert av funksjonen f΄(x)=1/x 2. Ved punkt a=1 er den deriverte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved å bruke de oppnådde dataene tegnes tangentligningen y=-1+(x-1), eller y=x-2, opp.

I eksempel 2 er det nødvendig å finne ligningen for tangenten til grafen til funksjonen y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er parallelliteten til tangenten og den rette linjen y=-2x+1. Først finner vi vinkelkoeffisienten til tangenten, lik vinkelkoeffisienten til den rette linjen y=-2x+1. Siden f΄(a)=-2 for en gitt linje, så er k=-2 for ønsket tangent. Vi finner den deriverte av funksjonen (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Når vi vet at f΄(a)=-2, finner vi koordinatene til punkt 3a 2 +6a-2=-2. Etter å ha løst ligningen får vi 1 =0, og 2 =-2. Ved å bruke de funnet koordinatene kan du finne tangentligningen ved hjelp av en velkjent algoritme. Vi finner verdien av funksjonen i punktene f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Verdien av den deriverte i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved å erstatte de funnet verdiene i tangentligningen, får vi for det første punktet a 1 =0 y=-2x-2, og for det andre punktet a 2 =-2 tangentligningen y=-2x-22.

Eksempel 3 beskriver sammensetningen av tangentligningen for å tegne den i punktet (0;3) til grafen til funksjonen y=√x. Løsningen er laget ved hjelp av en velkjent algoritme. Tangentpunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Verdien av funksjonen i punktet f(a)=√x. Den deriverte av funksjonen f΄(х)=1/2√х, derfor i et gitt punkt f΄(а)=1/2√а. Ved å erstatte alle de oppnådde verdiene i tangentligningen, får vi y = √a + (x-a)/2√a. Ved å transformere ligningen får vi y=x/2√а+√а/2. Når vi vet at tangenten går gjennom punktet (0;3), finner vi verdien av a. Vi finner a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finner tangentligningen y=x/12+3. Figuren viser grafen for funksjonen under vurdering og den konstruerte ønsket tangent.

Elevene blir minnet om de omtrentlige likhetene Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ved å ta x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), derav f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendig å finne den omtrentlige verdien av uttrykket 2,003 6. Siden det er nødvendig å finne verdien av funksjonen f(x)=x 6 i punktet x=2,003, kan vi bruke den velkjente formelen, som tar f(x)=x 6, a=2, f(a) )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivert i punktet f΄(2)=192. Derfor, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Etter å ha beregnet uttrykket får vi 2.003 6 ≈64.576.

Videoleksjonen «Liming av tangent til grafen til en funksjon» anbefales for bruk i en tradisjonell matematikktime på skolen. For en lærer som underviser eksternt, vil videomateriale bidra til å forklare emnet tydeligere. Videoen kan anbefales for elevene å vurdere uavhengig om nødvendig for å utdype forståelsen av emnet.

TEKSTDEKODING:

Vi vet at hvis et punkt M (a; f(a)) (em med koordinatene a og ef fra a) tilhører grafen til funksjonen y = f (x) og hvis det på dette punktet er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen som ikke er vinkelrett på aksen abscisse, så er vinkelkoeffisienten til tangenten lik f"(a) (eff primtall fra a).

La en funksjon y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) gis, og det er også kjent at f´(a) eksisterer. La oss lage en ligning for tangenten til grafen til en gitt funksjon ved et gitt punkt. Denne ligningen, som ligningen til enhver rett linje som ikke er parallell med ordinataksen, har formen y = kx+m (y er lik ka x pluss em), så oppgaven er å finne verdiene til koeffisientene k og m (ka og em)

Vinkelkoeffisienten k= f"(a). For å beregne verdien av m bruker vi det faktum at den ønskede rette linjen går gjennom punktet M(a; f (a)). Dette betyr at hvis vi erstatter koordinatene til punkt M inn i ligningen til den rette linjen, får vi riktig likhet : f(a) = ka+m, hvorfra vi finner at m = f(a) - ka.

Det gjenstår å erstatte de funnet verdiene til koeffisientene ki og m inn i ligningen til den rette linjen:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(en)+ f"(en) (x- en). ( y er lik ef fra a pluss ef primtall fra a, multiplisert med x minus a).

Vi har fått ligningen for tangenten til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis for eksempel y = x 2 og x = -2 (dvs. a = -2), så f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, som betyr f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (da er ef til a lik fire, ef til primtall av x er lik to x, som betyr ef primtall fra a er lik minus fire)

Ved å erstatte de funnet verdiene a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 i ligningen, får vi: y = 4+(-4)(x+2), dvs. y = -4x -4.

(E er lik minus fire x minus fire)

La oss lage en ligning for tangenten til grafen til funksjonen y = tgx(gresk lik tangent x) ved opprinnelsen. Vi har: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , som betyr f"(0) = l. Ved å erstatte de funnet verdiene a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen får vi: y=x.

La oss oppsummere trinnene våre for å finne ligningen for tangenten til grafen til en funksjon i punkt x ved hjelp av en algoritme.

ALGORITMME FOR UTVIKLING AV EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKSJONEN y = f(x):

1) Angi abscissen til tangenspunktet med bokstaven a.

2) Beregn f(a).

3) Finn f´(x) og beregn f´(a).

4) Bytt inn de funnet tallene a, f(a), f´(a) i formelen y= f(en)+ f"(en) (x- en).

Eksempel 1. Lag en ligning for tangenten til grafen til funksjonen y = - in

punkt x = 1.

Løsning. La oss bruke algoritmen, ta i betraktning det i i dette eksemplet

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Bytt inn de tre tallene som er funnet: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 i formelen. Vi får: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Gitt en funksjon y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ned likningen av tangenten til grafen til funksjonen y = f(x), parallelt med den rette linjen y = -2x +1.

Ved å bruke algoritmen for å komponere tangentligningen, tar vi i betraktning at i dette eksemplet f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men abscissen til tangentpunktet er ikke angitt her.

La oss begynne å tenke slik. Den ønskede tangenten må være parallell med den rette linjen y = -2x+1. Og parallelle linjer har like vinkelkoeffisienter. Dette betyr at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik vinkelkoeffisienten til den gitte rette linjen: k tangens. = -2. Hok cas. = f"(a). Dermed kan vi finne verdien av a fra ligningen f ´(a) = -2.

La oss finne den deriverte av funksjonen y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Fra ligningen f"(a) = -2, dvs. 3a 2 +6a-2=-2 finner vi a 1 =0, a 2 =-2. Dette betyr at det er to tangenter som tilfredsstiller betingelsene for problemet: en i punktet med abscisse 0, den andre i punktet med abscisse -2.

Nå kan du følge algoritmen.

1) a 1 = 0 og 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ved å erstatte verdiene a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 i formelen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved å erstatte verdiene a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 i formelen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Tegn en tangent til grafen til funksjonen y = fra punkt (0; 3). Løsning. La oss bruke algoritmen for å komponere tangentligningen, og ta i betraktning at i dette eksemplet f(x) = . Merk at her, som i eksempel 2, er abscissen til tangentpunktet ikke eksplisitt angitt. Likevel følger vi algoritmen.

1) La x = a være abscissen til tangenspunktet; det er klart at en >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Bytte inn verdiene til a, f(a) = , f"(a) = i formelen

y=f (a) +f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse går tangenten gjennom punktet (0; 3). Ved å erstatte verdiene x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og deretter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksemplet, klarte vi bare i det fjerde trinnet av algoritmen å finne abscissen til tangentpunktet. Ved å erstatte verdien a =36 i ligningen får vi: y=+3

I fig. Figur 1 viser en geometrisk illustrasjon av det betraktede eksemplet: en graf av funksjonen y = er plottet, en rett linje er tegnet y = +3.

Svar: y = +3.

Vi vet at for en funksjon y = f(x), som har en derivert ved punkt x, er den omtrentlige likheten gyldig: Δyf´(x)Δx (delta y er omtrent lik eff-primtallet til x multiplisert med delta x)

eller, mer detaljert, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff fra x pluss delta x minus ef fra x er omtrent lik eff primtall fra x ved delta x).

For å gjøre det lettere for videre diskusjon, la oss endre notasjonen:

i stedet for x skriver vi EN,

i stedet for x+Δx vil vi skrive x

I stedet for Δx vil vi skrive x-a.

Da vil den omtrentlige likheten skrevet ovenfor ha formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff fra x er omtrent lik ef fra et pluss ef primtall fra a, multiplisert med forskjellen mellom x og a).

Eksempel 4: Finn en omtrentlig verdi numerisk uttrykk 2,003 6 .

Løsning. Det handler om om å finne verdien av funksjonen y = x 6 i punktet x = 2,003. La oss bruke formelen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), og tar i betraktning at i dette eksemplet f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 og derfor f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192· 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruker en kalkulator får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmingsnøyaktigheten ganske akseptabel.

Tenk på følgende figur:

Den viser en viss funksjon y = f(x), som er differensierbar ved punkt a. Punkt M med koordinater (a; f(a)) er markert. En sekant MR tegnes gjennom et vilkårlig punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) på grafen.

Hvis nå punktet P er forskjøvet langs grafen til punktet M, vil den rette linjen MR rotere rundt punktet M. I dette tilfellet vil ∆x ha en tendens til null. Herfra kan vi formulere definisjonen av en tangent til grafen til en funksjon.

Tangent til grafen til en funksjon

Tangenten til grafen til en funksjon er grenseposisjonen til sekanten ettersom økningen av argumentet har en tendens til null. Det skal forstås at eksistensen av den deriverte av funksjonen f i punktet x0 betyr at det på dette punktet av grafen er tangent til ham.

I dette tilfellet vil vinkelkoeffisienten til tangenten være lik den deriverte av denne funksjonen på dette punktet f'(x0). Dette er den geometriske betydningen av derivatet. Tangenten til grafen til en funksjon f som kan differensieres i punktet x0 er en viss rett linje som går gjennom punktet (x0;f(x0)) og har en vinkelkoeffisient f’(x0).

Tangentligning

La oss prøve å få likningen av tangenten til grafen til en funksjon f i punktet A(x0; f(x0)). Ligningen til en rett linje med helning k har neste visning:

Siden vår helningskoeffisient er lik den deriverte f'(x0), så vil ligningen ha følgende form: y = f'(x0)*x + b.

La oss nå beregne verdien av b. For å gjøre dette bruker vi det faktum at funksjonen går gjennom punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, herfra uttrykker vi b og får b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi erstatter den resulterende verdien i tangentligningen:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Tenk på følgende eksempel: finn ligningen for tangenten til grafen til funksjonen f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 i punktet x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Erstatt de oppnådde verdiene i tangentformelen, vi får: y = 1 + 4*(x - 2). Ved å åpne parentesene og bringe lignende termer får vi: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Generelt skjema for å komponere tangentligningen til grafen til funksjonen y = f(x):

1. Bestem x0.

2. Beregn f(x0).

3. Beregn f'(x)

Artikkelen gir en detaljert forklaring av definisjonene, den geometriske betydningen av derivatet med grafiske notasjoner. Ligningen til en tangentlinje vil bli vurdert med eksempler, ligningene til en tangent til 2. ordens kurver vil bli funnet.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisjon 1

Helningsvinkelen til den rette linjen y = k x + b kalles vinkel α, som måles fra den positive retningen til x-aksen til den rette linjen y = k x + b i positiv retning.

På figuren er x-retningen indikert med en grønn pil og en grønn bue, og helningsvinkelen med en rød bue. Den blå linjen refererer til den rette linjen.

Definisjon 2

Helningen til den rette linjen y = k x + b kalles den numeriske koeffisienten k.

Vinkelkoeffisienten er lik tangenten til den rette linjen, med andre ord k = t g α.

• Helningsvinkelen til en rett linje er lik 0 bare hvis den er parallell om x og helningen er lik null, fordi tangensen til null er lik 0. Dette betyr at formen på ligningen vil være y = b.
• Hvis helningsvinkelen til den rette linjen y = k x + b er spiss, er betingelsene 0 oppfylt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается positivt tall, fordi tangentverdien tilfredsstiller betingelsen t g α > 0, og det er en økning i grafen.
• Hvis α = π 2, er plasseringen av linjen vinkelrett på x. Likhet er spesifisert ved x = c med verdien c som et reelt tall.
• Hvis helningsvinkelen til den rette linjen y = k x + b er stump, tilsvarer den betingelsene π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negativ betydning, og grafen er synkende.

Definisjon 3

En sekant er en linje som går gjennom 2 punkter i funksjonen f (x). Med andre ord er en sekant en rett linje som trekkes gjennom to punkter på grafen til en gitt funksjon.

Figuren viser at A B er en sekant, og f (x) er en svart kurve, α er en rød bue, som indikerer helningsvinkelen til sekanten.

Når vinkelkoeffisienten til en rett linje er lik tangenten til helningsvinkelen, er det klart at tangenten til en rettvinklet trekant A B C kan finnes ved forholdet mellom motsatt side og den tilstøtende.

Definisjon 4

Vi får en formel for å finne en sekant av formen:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, hvor abscissen til punktene A og B er verdiene x A, x B og f (x A), f (x B) er verdifunksjonene på disse punktene.

Åpenbart bestemmes vinkelkoeffisienten til sekanten ved å bruke likheten k = f (x B) - f (x A) x B - x A eller k = f (x A) - f (x B) x A - x B , og ligningen må skrives som y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) eller
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanten deler grafen visuelt i 3 deler: til venstre for punkt A, fra A til B, til høyre for B. Figuren under viser at det er tre sekanter som anses som sammenfallende, det vil si at de er satt ved hjelp av en lignende ligning.

Per definisjon er det klart at den rette linjen og dens sekant i dette tilfellet faller sammen.

En sekant kan skjære grafen til en gitt funksjon flere ganger. Hvis det er en ligning på formen y = 0 for en sekant, er antallet skjæringspunkter med sinusoidet uendelig.

Definisjon 5

Tangent til grafen til funksjonen f (x) i punktet x 0 ; f (x 0) er en rett linje som går gjennom et gitt punkt x 0; f (x 0), med tilstedeværelsen av et segment som har mange x-verdier nær x 0.

Eksempel 1

La oss se nærmere på eksemplet nedenfor. Da er det klart at linjen definert av funksjonen y = x + 1 anses som tangent til y = 2 x i punktet med koordinatene (1; 2). For klarhet er det nødvendig å vurdere grafer med verdier nær (1; 2). Funksjonen y = 2 x vises i svart, den blå linjen er tangentlinjen, og den røde prikken er skjæringspunktet.

Det er klart at y = 2 x smelter sammen med linjen y = x + 1.

For å bestemme tangenten bør vi vurdere oppførselen til tangenten A B når punkt B nærmer seg punkt A uendelig. For klarhets skyld presenterer vi en tegning.

Sekanten A B, indikert med den blå linjen, tenderer til posisjonen til selve tangenten, og helningsvinkelen til sekanten α vil begynne å vende mot helningsvinkelen til selve tangenten α x.

Definisjon 6

Tangenten til grafen til funksjonen y = f (x) i punktet A anses å være grenseposisjonen til sekanten A B ettersom B har en tendens til A, det vil si B → A.

La oss nå gå videre til å vurdere den geometriske betydningen av den deriverte av en funksjon i et punkt.

La oss gå videre til å vurdere sekanten A B for funksjonen f (x), der A og B med koordinatene x 0, f (x 0) og x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), og ∆ x er angitt som økningen av argumentet. Nå vil funksjonen ha formen ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . For klarhet, la oss gi et eksempel på en tegning.

La oss vurdere resultatet høyre trekant A B C. Vi bruker definisjonen av tangent for å løse, det vil si at vi får relasjonen ∆ y ∆ x = t g α . Fra definisjonen av en tangent følger det at lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . I henhold til regelen for den deriverte i et punkt, har vi at den deriverte f (x) i punktet x 0 kalles grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og inkrementet til argumentet, der ∆ x → 0 , så betegner vi det som f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Det følger at f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, hvor k x er angitt som stigningstallet til tangenten.

Det vil si at vi får at f ’ (x) kan eksistere i punktet x 0 og som tangenten til gitt tidsplan funksjon ved tangenspunktet lik x 0, f 0 (x 0), hvor verdien av hellingen til tangenten i punktet er lik den deriverte i punktet x 0. Da får vi at k x = f " (x 0) .

Den geometriske betydningen av den deriverte av en funksjon i et punkt er at den gir konseptet om eksistensen av en tangent til grafen i samme punkt.

For å skrive ligningen til en hvilken som helst rett linje på et plan, er det nødvendig å ha en vinkelkoeffisient med punktet den passerer gjennom. Notasjonen antas å være x 0 ved skjæringspunktet.

Tangentligningen til grafen til funksjonen y = f (x) i punktet x 0, f 0 (x 0) har formen y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Dette betyr at den endelige verdien av den deriverte f "(x 0) kan bestemme posisjonen til tangenten, det vil si vertikalt, forutsatt lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ og lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ eller fravær i det hele tatt under betingelsen lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Plasseringen av tangenten avhenger av verdien av dens vinkelkoeffisient k x = f "(x 0). Når den er parallell med o x-aksen, får vi at k k = 0, når den er parallell med o y - k x = ∞, og formen til tangentligning x = x 0 øker med k x > 0, avtar som k x< 0 .

Eksempel 2

Sett sammen en likning for tangenten til grafen til funksjonen y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 i punktet med koordinatene (1; 3) og bestem helningsvinkelen.

Løsning

Ved betingelse har vi at funksjonen er definert for alle reelle tall. Vi finner at punktet med koordinatene spesifisert av betingelsen, (1; 3) er et tangenspunkt, da x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Det er nødvendig å finne den deriverte på punktet med verdi - 1. Det skjønner vi

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Verdien av f' (x) ved tangenspunktet er helningen til tangenten, som er lik tangensen til helningen.

Da er k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Det følger at α x = a r c t g 3 3 = π 6

Svar: tangentligningen tar formen

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

For klarhet gir vi et eksempel i en grafisk illustrasjon.

Svart farge brukes for grafen til den opprinnelige funksjonen, Blå farge– bilde av en tangent, rød prikk – tangenspunkt. Figuren til høyre viser en forstørret visning.

Eksempel 3

Bestem eksistensen av en tangent til grafen til en gitt funksjon
y = 3 · x - 1 5 + 1 i punktet med koordinatene (1 ; 1) . Skriv en ligning og bestem helningsvinkelen.

Løsning

Ved betingelse har vi at definisjonsdomenet til en gitt funksjon anses å være settet av alle reelle tall.

La oss gå videre til å finne den deriverte

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Hvis x 0 = 1, er f' (x) udefinert, men grensene skrives som lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ og lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , som betyr eksistens vertikal tangent ved punkt (1; 1).

Svar: ligningen vil ha formen x = 1, hvor helningsvinkelen vil være lik π 2.

For klarhets skyld, la oss skildre det grafisk.

Eksempel 4

Finn punktene på grafen til funksjonen y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, hvor

1. Det er ingen tangent;
2. Tangenten er parallell med x;
3. Tangenten er parallell med linjen y = 8 5 x + 4.

Løsning

Det er nødvendig å ta hensyn til omfanget av definisjonen. Ved betingelse har vi at funksjonen er definert på mengden av alle reelle tall. Vi utvider modulen og løser systemet med intervaller x ∈ - ∞ ; 2 og [-2; + ∞). Det skjønner vi

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Det er nødvendig å differensiere funksjonen. Det har vi

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Når x = − 2, eksisterer ikke den deriverte fordi de ensidige grensene ikke er like på det punktet:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vi beregner verdien av funksjonen i punktet x = - 2, hvor vi får det

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, det vil si tangenten i punktet ( - 2; - 2) vil ikke eksistere.
2. Tangenten er parallell med x når helningen er null. Da er k x = t g α x = f "(x 0). Det vil si at det er nødvendig å finne verdiene til slike x når den deriverte av funksjonen snur den til null. Det vil si verdiene til f ' (x) vil være tangenspunktene, der tangenten er parallell med x .

Når x ∈ - ∞ ; - 2, deretter - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, og for x ∈ (- 2; + ∞) får vi 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Beregn de tilsvarende funksjonsverdiene

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Derfor - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 anses å være de nødvendige punktene i funksjonsgrafen.

La oss se på en grafisk fremstilling av løsningen.

Den svarte linjen er grafen til funksjonen, de røde prikkene er tangenspunktene.

1. Når linjene er parallelle, er vinkelkoeffisientene like. Da er det nødvendig å søke etter punkter på funksjonsgrafen der helningen vil være lik verdien 8 5. For å gjøre dette må du løse en ligning av formen y "(x) = 8 5. Så, hvis x ∈ - ∞; - 2, får vi at - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, og hvis x ∈ ( - 2 ; + ∞), så er 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Den første ligningen har ingen røtter siden diskriminanten er mindre enn null. La oss skrive ned det

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

En annen ligning har altså to reelle røtter

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

La oss gå videre til å finne verdiene til funksjonen. Det skjønner vi

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Poeng med verdier - 1; 4 15, 5; 8 3 er punktene der tangentene er parallelle med linjen y = 8 5 x + 4.

Svar: svart linje – graf for funksjonen, rød linje – graf av y = 8 5 x + 4, blå linje – tangenter ved punkter - 1; 4 15, 5; 8 3.

Det kan være et uendelig antall tangenter for gitte funksjoner.

Eksempel 5

Skriv likningene til alle tilgjengelige tangenter til funksjonen y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, som er plassert vinkelrett på den rette linjen y = - 2 x + 1 2.

Løsning

For å kompilere tangentligningen, er det nødvendig å finne koeffisienten og koordinatene til tangentpunktet, basert på betingelsen for vinkelrett på linjene. Definisjonen er som følger: produktet av vinkelkoeffisienter som er vinkelrett på rette linjer er lik - 1, det vil si skrevet som k x · k ⊥ = - 1. Fra betingelsen har vi at vinkelkoeffisienten er plassert vinkelrett på linjen og er lik k ⊥ = - 2, deretter k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nå må du finne koordinatene til berøringspunktene. Du må finne x og deretter verdien for en gitt funksjon. Merk at fra den geometriske betydningen av den deriverte på punktet
x 0 får vi at k x = y "(x 0). Fra denne likheten finner vi verdiene til x for kontaktpunktene.

Det skjønner vi

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Dette trigonometrisk ligning vil bli brukt til å beregne ordinatene til tangentpunktene.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk eller x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z er et sett med heltall.

x kontaktpunkter er funnet. Nå må du gå videre til å søke etter verdiene til y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 eller y 0 = - 4 5 + 1 3

Fra dette får vi at 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 er tangenspunktene.

Svar: de nødvendige ligningene vil bli skrevet som

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

For en visuell representasjon, vurder en funksjon og en tangent på en koordinatlinje.

Figuren viser at funksjonen er plassert på intervallet [-10; 10], der den svarte linjen er grafen til funksjonen, er de blå linjene tangenter, som er plassert vinkelrett på den gitte linjen med formen y = - 2 x + 1 2. Røde prikker er berøringspunkter.

De kanoniske ligningene til 2. ordens kurver er ikke funksjoner med én verdi. Tangentligninger for dem er kompilert i henhold til kjente skjemaer.

Tangent til en sirkel

For å definere en sirkel med sentrum i punktet x c e n t e r ; y c e n t e r og radius R, bruk formelen x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Denne likheten kan skrives som en forening av to funksjoner:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Den første funksjonen er plassert øverst, og den andre nederst, som vist på figuren.

For å kompilere ligningen til en sirkel i punktet x 0; y 0 , som er plassert i den øvre eller nedre halvsirkelen, bør du finne ligningen til grafen til en funksjon av formen y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r eller y = - R 2 - x - x c e n t e . y c e n t e r på det angitte punktet.

Når på punktene x c ​​e n t e r; y c e n t e r + R og x c e n t e r ; y c e n t e r - R-tangenser kan gis ved likningene y = y c e n t e r + R og y = y c e n t e r - R , og ved punktene x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r og
x c e n t e r - R; y c e n t e r vil være parallell med o y, da får vi likninger på formen x = x c e n t e r + R og x = x c e n t e r - R .

Tangent til en ellipse

Når ellipsen har et senter ved x c e n t e r ; y c e n t e r med halvakser a og b, så kan det spesifiseres ved hjelp av ligningen x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

En ellipse og en sirkel kan betegnes ved å kombinere to funksjoner, nemlig den øvre og nedre halvellipsen. Da får vi det

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Hvis tangentene er plassert ved ellipsens toppunkter, er de parallelle om x eller om y. Nedenfor, for klarhet, vurder figuren.

Eksempel 6

Skriv likningen av tangenten til ellipsen x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ved punkter med verdier av x lik x = 2.

Løsning

Det er nødvendig å finne tangentpunktene som tilsvarer verdien x = 2. Vi bytter inn i den eksisterende ellipselikningen og finner det

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Så 2; 5 3 2 + 5 og 2; - 5 3 2 + 5 er tangentpunktene som hører til øvre og nedre halvellipse.

La oss gå videre til å finne og løse ellipselikningen med hensyn til y. Det skjønner vi

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Åpenbart er den øvre halvellipsen spesifisert ved å bruke en funksjon av formen y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, og den nedre halvellipsen y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

La oss bruke en standardalgoritme for å lage en ligning for en tangent til grafen til en funksjon i et punkt. La oss skrive at ligningen for den første tangenten i punkt 2; 5 3 2 + 5 vil se ut

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Vi finner at ligningen til den andre tangenten med en verdi i punktet
2; - 5 3 2 + 5 tar formen

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisk er tangenter utpekt som følger:

Tangent til hyperbole

Når en hyperbel har et senter ved x c e n t e r ; y c e n t e r og toppunkter x c e n t e r + α ; y c e n t e r og x c e n t e r - α ; y c e n t e r, ulikheten x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 finner sted, hvis med toppunkter x c e n t e r ; y c e n t e r + b og x c e n t e r ; y c e n t e r - b , spesifiseres da ved å bruke ulikheten x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

En hyperbel kan representeres som to kombinerte funksjoner av formen

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r eller y = b a · (x - n t e r) t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

I det første tilfellet har vi at tangentene er parallelle med y, og i det andre er de parallelle med x.

Det følger at for å finne ligningen av tangenten til en hyperbel, er det nødvendig å finne ut hvilken funksjon tangenspunktet tilhører. For å bestemme dette, er det nødvendig å erstatte i ligningene og se etter identitet.

Eksempel 7

Skriv en ligning for tangenten til hyperbelen x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ved punkt 7; - 3 3 - 3 .

Løsning

Det er nødvendig å transformere løsningsposten for å finne en hyperbel ved å bruke 2 funksjoner. Det skjønner vi

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 og y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Det er nødvendig å identifisere hvilken funksjon et gitt punkt med koordinater 7 tilhører; - 3 3 - 3 .

For å sjekke den første funksjonen er det åpenbart nødvendig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, da hører ikke punktet til grafen, siden likestillingen ikke holder.

For den andre funksjonen har vi at y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, som betyr at punktet tilhører den gitte grafen. Herfra bør du finne bakken.

Det skjønner vi

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Svar: tangentligningen kan representeres som

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Det er tydelig avbildet slik:

Tangent til en parabel

For å lage en ligning for tangenten til parabelen y = a x 2 + b x + c i punktet x 0, y (x 0), må du bruke en standardalgoritme, så vil ligningen ha formen y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) En slik tangent i toppunktet er parallell med x.

Du bør definere parabelen x = a y 2 + b y + c som foreningen av to funksjoner. Derfor må vi løse ligningen for y. Det skjønner vi

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

La oss skildre det grafisk som:

For å finne ut om et punkt x 0, y (x 0) tilhører en funksjon, fortsett forsiktig i henhold til standardalgoritmen. En slik tangent vil være parallell med o y i forhold til parablen.

Eksempel 8

Skriv likningen av tangenten til grafen x - 2 y 2 - 5 y + 3 når vi har en tangentvinkel på 150°.

Løsning

Vi begynner løsningen med å representere parabelen som to funksjoner. Det skjønner vi

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Verdien av helningen er lik verdien av den deriverte i punktet x 0 av denne funksjonen og er lik tangenten til helningsvinkelen.

Vi får:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Herfra bestemmer vi x-verdien for kontaktpunktene.

Den første funksjonen vil bli skrevet som

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Det er åpenbart ingen reelle røtter, siden vi fikk en negativ verdi. Vi konkluderer med at det ikke er noen tangent med en vinkel på 150° for en slik funksjon.

Den andre funksjonen vil bli skrevet som

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Vi har at kontaktpunktene er 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Svar: tangentligningen tar formen

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

La oss skildre det grafisk på denne måten:

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

La det gis en funksjon f, som på et tidspunkt x 0 har en endelig derivert f (x 0). Da kalles den rette linjen som går gjennom punktet (x 0 ; f (x 0)), som har en vinkelkoeffisient f ’(x 0), en tangent.

Hva skjer hvis den deriverte ikke eksisterer i punktet x 0? Det er to alternativer:

1. Det er heller ingen tangent til grafen. Et klassisk eksempel er funksjonen y = |x | ved punkt (0; 0).
2. Tangenten blir vertikal. Dette gjelder for eksempel for funksjonen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-vertikal rett linje er gitt ved en ligning på formen y = kx + b, hvor k er helningen. Tangenten er intet unntak, og for å lage sin ligning på et tidspunkt x 0, er det nok å vite verdien av funksjonen og den deriverte på dette punktet.

Så la en funksjon y = f (x) gis, som har en derivert y = f ’(x) på segmentet. Deretter kan på et hvilket som helst punkt x 0 ∈ (a ; b) trekkes en tangent til grafen til denne funksjonen, som er gitt av ligningen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Her er f ’(x 0) verdien av den deriverte ved punkt x 0, og f (x 0) er verdien av selve funksjonen.

Oppgave. Gitt funksjonen y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen til denne funksjonen i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er gitt til oss, men verdiene f (x 0) og f '(x 0) må beregnes.

Først, la oss finne verdien av funksjonen. Alt er enkelt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
La oss nå finne den deriverte: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Vi erstatter x 0 = 2 i den deriverte: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Totalt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dette er tangentligningen.

Oppgave. Skriv en ligning for tangenten til grafen til funksjonen f (x) = 2sin x + 5 i punktet x 0 = π /2.

Denne gangen vil vi ikke beskrive hver handling i detalj - vi vil bare angi de viktigste trinnene. Vi har:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentligning:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sistnevnte tilfelle viste den rette linjen seg å være horisontal, fordi dens vinkelkoeffisient k = 0. Det er ingenting galt med dette - vi snublet bare over et ekstremumpunkt.