Tangent er en rett linje som går gjennom et punkt på kurven og sammenfaller med det på dette punktet opp til første orden (fig. 1).

En annen definisjon: dette er grenseposisjonen til sekanten ved Δ x→0.

Forklaring: Ta en rett linje som skjærer kurven i to punkter: EN Og b(se bilde). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med klokken til den finner bare ett felles punkt med kurven. Dette vil gi oss en tangent.

Strenge definisjon av tangent:

Tangent til grafen til en funksjon f, differensierbar på punktet xO, er en rett linje som går gjennom punktet ( xO; f(xO)) og har en skråning f′( xO).

Skråningen har en rett linje av formen y =kx +b. Koeffisient k og er skråningen denne rette linjen.

Helningsfaktor lik tangent spiss vinkel, dannet av denne rette linjen med abscisseaksen:

k = tan α

Her er vinkel α vinkelen mellom den rette linjen y =kx +b og positiv (det vil si mot klokken) retning av x-aksen. Det kalles helningsvinkel til en rett linje(Fig. 1 og 2).

Hvis helningsvinkelen er rett y =kx +b akutt, så er skråningen positivt tall. Grafen øker (fig. 1).

Hvis helningsvinkelen er rett y =kx +b er stump, så er helningen et negativt tall. Grafen er synkende (fig. 2).

Hvis den rette linjen er parallell med x-aksen, er helningsvinkelen til den rette linjen null. I dette tilfellet er stigningstallet på linjen også null (siden tangensen til null er null). Ligningen til den rette linjen vil se ut som y = b (fig. 3).

Hvis helningsvinkelen til en rett linje er 90º (π/2), det vil si at den er vinkelrett på abscisseaksen, så er den rette linjen gitt av likheten x =c, Hvor c– et reelt tall (fig. 4).

Ligning av tangenten til grafen til en funksjony = f(x) på punktet xO:

Eksempel: Finn ligningen for tangenten til grafen til funksjonen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning .

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xO er lik 2. Regn ut f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Finn f′( x). For å gjøre dette bruker vi differensieringsformlene som er skissert i forrige avsnitt. I henhold til disse formlene, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Midler:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Bruk nå den resulterende verdien f′( x), regne ut f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle nødvendige data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Sett inn disse tallene i tangentligningen og finn den endelige løsningen:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Svar: y = 4x – 7.

Bruksanvisning

Vi bestemmer vinkelkoeffisienten til tangenten til kurven i punktet M.
Kurven som representerer grafen til funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i et bestemt nabolag til punktet M (inkludert selve punktet M).

Hvis verdien f‘(x0) ikke eksisterer, er det enten ingen tangent, eller så løper den vertikalt. I lys av dette skyldes tilstedeværelsen av en derivert av funksjonen i punktet x0 eksistensen av en ikke-vertikal tangent til grafen til funksjonen i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfellet vil vinkelkoeffisienten til tangenten være lik f "(x0). Dermed blir det klart geometrisk betydning derivert – beregning av stigningstallet til tangenten.

Finn abscisseverdien til tangentpunktet, som er angitt med bokstaven "a". Hvis det faller sammen med et gitt tangentpunkt, vil "a" være x-koordinaten. Bestem verdien funksjoner f(a) ved å substituere inn i ligningen funksjoner abscisseverdi.

Bestem den første deriverte av ligningen funksjoner f'(x) og bytt inn verdien av punkt "a".

Ta generell ligning tangent, som er definert som y = f(a) = f (a)(x – a), og erstatte de funnet verdiene til a, f(a), f "(a) i den. Som et resultat, løsningen til grafen og tangenten vil bli funnet.

Løs oppgaven på en annen måte hvis det gitte tangentpunktet ikke er sammenfallende med tangentpunktet. I dette tilfellet er det nødvendig å erstatte "a" i stedet for tall i tangentligningen. Etter dette, i stedet for bokstavene "x" og "y", erstatter verdien av koordinatene til det gitte punktet. Løs den resulterende ligningen der "a" er det ukjente. Plugg den resulterende verdien inn i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bokstaven "a" hvis problemsetningen spesifiserer ligningen funksjoner og ligning parallell linje i forhold til ønsket tangent. Etter dette trenger vi den deriverte funksjoner, til koordinaten i punkt "a". Bytt inn den passende verdien i tangentligningen og løs funksjonen.

I denne artikkelen vil vi analysere alle typer problemer for å finne

La oss huske geometrisk betydning av derivat: hvis en tangent er tegnet til grafen til en funksjon i et punkt, så er hellingskoeffisienten til tangenten (lik tangenten til vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen) lik den deriverte av funksjonen på punktet.

La oss ta et vilkårlig punkt på tangenten med koordinater:

Og vurdere høyre trekant :

I denne trekanten

Herfra

Dette er ligningen for tangenten som er tegnet til grafen til funksjonen i punktet.

For å skrive tangentligningen trenger vi bare å kjenne likningen til funksjonen og punktet der tangenten er tegnet. Da kan vi finne og .

Det er tre hovedtyper av tangentligningsproblemer.

1. Gitt et kontaktpunkt

2. Tangenthelningskoeffisienten er gitt, det vil si verdien av den deriverte av funksjonen i punktet.

3. Gitt er koordinatene til punktet som tangenten trekkes gjennom, men som ikke er tangenspunktet.

La oss se på hver type oppgave.

1 . Skriv ligningen for tangenten til grafen til funksjonen på punktet .

.

b) Finn verdien av den deriverte ved punktet . La oss først finne den deriverte av funksjonen

La oss erstatte de funnet verdiene i tangentligningen:

La oss åpne parentesene på høyre side av ligningen. Vi får:

Svar: .

2. Finn abscissen til punktene der funksjonene tangerer grafen parallelt med x-aksen.

Hvis tangenten er parallell med x-aksen, er derfor vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen null, derfor er tangenten til tangentvinkelen null. Dette betyr at verdien av den deriverte av funksjonen ved tangenspunktene er null.

a) Finn den deriverte av funksjonen.

b) La oss likestille den deriverte til null og finne verdiene der tangenten er parallell med aksen:

Ved å likestille hver faktor med null får vi:

Svar: 0;3;5

3. Skriv ligninger for tangenter til grafen til en funksjon , parallell rett .

En tangent er parallell med en linje. Helningen på denne linjen er -1. Siden tangenten er parallell med denne linjen, er stigningen til tangenten også -1. Det er vi kjenner stigningen til tangenten, og derved, derivatverdi ved tangenspunktet.

Dette er den andre typen problem for å finne tangentligningen.

Så vi får funksjonen og verdien av den deriverte ved tangenspunktet.

a) Finn punktene der den deriverte av funksjonen er lik -1.

La oss først finne den deriverte ligningen.

La oss sette likhetstegn mellom den deriverte og tallet -1.

La oss finne verdien av funksjonen ved punktet.

(etter tilstand)

.

b) Finn ligningen for tangenten til grafen til funksjonen i punktet .

La oss finne verdien av funksjonen ved punktet.

(etter tilstand).

La oss erstatte disse verdiene i tangentligningen:

.

Svar:

4. Skriv ligningen for tangenten til kurven , passerer gjennom et punkt

La oss først sjekke om punktet er et tangentpunkt. Hvis et punkt er et tangentpunkt, hører det til grafen til funksjonen, og dets koordinater må tilfredsstille funksjonens ligning. La oss erstatte koordinatene til punktet i funksjonens ligning.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} et negativt tall, likheten er ikke sann, og punktet hører ikke til grafen til funksjonen og er ikke et kontaktpunkt.

Dette er den siste typen problem for å finne tangentligningen. Første ting vi må finne abscissen til tangentpunktet.

La oss finne verdien.

La være kontaktpunktet. Punktet tilhører tangenten til grafen til funksjonen. Hvis vi erstatter koordinatene til dette punktet i tangentligningen, får vi riktig likhet:

.

Verdien av funksjonen i et punkt er .

La oss finne verdien av den deriverte av funksjonen ved punktet.

La oss først finne den deriverte av funksjonen. Dette .

Den deriverte i et punkt er lik .

La oss erstatte uttrykkene for og inn i tangentligningen. Vi får ligningen for:

La oss løse denne ligningen.

Reduser telleren og nevneren for brøken med 2:

La oss bringe høyre side av ligningen til en fellesnevner. Vi får:

La oss forenkle telleren til brøken og multiplisere begge sider med - dette uttrykket er strengt tatt større enn null.

Vi får ligningen

La oss løse det. For å gjøre dette, la oss kvadre begge delene og gå videre til systemet.

Title="delim(lbrace)(matrise(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

La oss løse den første ligningen.

La oss bestemme kvadratisk ligning, vi får

Den andre roten tilfredsstiller ikke betingelsen title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

La oss skrive likningen av tangenten til kurven i punktet. For å gjøre dette, sett inn verdien i ligningen - Vi har allerede spilt det inn.

Svar:
.

På moderne scene utvikling av utdanning, en av hovedoppgavene er dannelsen av en kreativt tenkende personlighet. Evnen til kreativitet hos studenter kan bare utvikles hvis de er systematisk involvert i det grunnleggende om forskningsaktiviteter. Grunnlaget for at studentene skal bruke sine kreative krefter, evner og talenter er dannet fullverdig kunnskap og ferdigheter. I denne forbindelse er problemet med å danne et system grunnleggende kunnskap og ferdigheter for hvert emne skolekurs matematikk er av ikke liten betydning. Samtidig bør fullverdige ferdigheter ikke være det didaktiske målet for individuelle oppgaver, men for et nøye gjennomtenkt system av dem. I videste forstand forstås et system som et sett av sammenkoblede samvirkende elementer som har integritet og en stabil struktur.

La oss vurdere en teknikk for å lære elevene hvordan man skriver en ligning for en tangent til grafen til en funksjon. I hovedsak kommer alle problemer med å finne tangentligningen ned på behovet for å velge fra et sett (bunt, familie) av linjer de som tilfredsstiller et visst krav - de tangerer grafen til en bestemt funksjon. I dette tilfellet kan settet med linjer som valget utføres fra spesifiseres på to måter:

a) et punkt som ligger på xOy-planet (sentral blyant av linjer);
b) vinkelkoeffisient (parallell stråle av rette linjer).

I denne forbindelse, når vi studerte emnet "Tangent til grafen til en funksjon" for å isolere elementene i systemet, identifiserte vi to typer problemer:

1) tangentproblemer, gitt av punktet, som den passerer gjennom;
2) problemer på en tangent gitt av helningen.

Trening i å løse tangentproblemer ble utført ved bruk av algoritmen foreslått av A.G. Mordkovich. Hans grunnleggende forskjell fra de som allerede er kjent er at abscissen til tangenspunktet er angitt med bokstaven a (i stedet for x0), og derfor har tangentens ligning formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(sammenlign med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Dette metodisk teknikk, etter vår mening, lar elevene raskt og enkelt forstå hvor i den generelle tangentligningen koordinatene til det gjeldende punktet er skrevet, og hvor tangentpunktene er.

Algoritme for å komponere tangentligningen til grafen til funksjonen y = f(x)

1. Angi abscissen til tangentpunktet med bokstaven a.
2. Finn f(a).
3. Finn f "(x) og f "(a).
4. Erstatt de funnet tallene a, f(a), f "(a) i den generelle tangentligningen y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denne algoritmen kan kompileres på grunnlag av studentenes uavhengige identifikasjon av operasjoner og rekkefølgen av deres implementering.

Praksis har vist at den sekvensielle løsningen av hvert av nøkkelproblemene ved hjelp av en algoritme lar deg utvikle ferdighetene til å skrive ligningen til en tangent til grafen til en funksjon i trinn, og trinnene i algoritmen fungerer som referansepunkter for handlinger . Denne tilnærmingen stemmer overens med teorien gradvis dannelse mentale handlinger, utviklet av P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første typen oppgaver ble to nøkkeloppgaver identifisert:

• tangenten går gjennom et punkt som ligger på kurven (oppgave 1);
• tangenten går gjennom et punkt som ikke ligger på kurven (oppgave 2).

Oppgave 1. Skriv en ligning for tangenten til grafen til funksjonen ved punkt M(3; – 2).

Løsning. Punkt M(3; – 2) er et tangentpunkt, siden

1. a = 3 – abscisse til tangentpunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentligning.

Oppgave 2. Skriv likningene til alle tangentene til grafen til funksjonen y = – x 2 – 4x + 2 som går gjennom punktet M(– 3; 6).

Løsning. Punkt M(– 3; 6) er ikke et tangentpunkt, siden f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentligning.

Tangenten går gjennom punktet M(– 3; 6), derfor tilfredsstiller dens koordinater tangensligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Hvis a = – 4, er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a = – 2, har tangentligningen formen y = 6.

I den andre typen vil nøkkeloppgavene være følgende:

• tangenten er parallell med en linje (oppgave 3);
• tangenten går i en viss vinkel til den gitte linjen (oppgave 4).

Oppgave 3. Skriv likningene til alle tangentene til grafen til funksjonen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallelt med linjen y = 9x + 1.

1. a – abscisse til tangentpunktet.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men på den annen side er f "(a) = 9 (parallellismebetingelse). Dette betyr at vi må løse ligningen 3a 2 – 6a = 9. Røttene er a = – 1, a = 3 (fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – tangentligning;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentligning.

Oppgave 4. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen y = 0,5x 2 – 3x + 1, passerer i en vinkel på 45° til den rette linjen y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) = tan 45° finner vi a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisse til tangentpunktet.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentligning.

Det er lett å vise at løsningen på ethvert annet problem handler om å løse ett eller flere nøkkelproblemer. Tenk på følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv likningene til tangentene til parablen y = 2x 2 – 5x – 2, hvis tangentene skjærer hverandre i rette vinkler og en av dem berører parablen i punktet med abscisse 3 (fig. 5).

Løsning. Siden abscissen til tangenspunktet er gitt, er den første delen av løsningen redusert til nøkkelproblem 1.

1. a = 3 – abscisse av tangenspunktet til en av sidene rett vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ligningen til den første tangenten.

La a være helningsvinkelen til den første tangenten. Siden tangentene er vinkelrette, er helningsvinkelen til den andre tangenten. Fra ligningen y = 7x – 20 av den første tangenten har vi tg a = 7. La oss finne

Dette betyr at helningen til den andre tangenten er lik .

Den videre løsningen kommer ned til nøkkeloppgave 3.

La B(c; f(c)) være tangenspunktet til den andre linjen, da

1. – abscisse av det andre tangenspunktet.
2.
3.
4.
– ligningen til den andre tangenten.

Merk. Vinkelkoeffisienten til tangenten kan lettere bli funnet hvis elevene kjenner forholdet mellom koeffisientene til vinkelrette linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv likningene til alle vanlige tangenter til grafene til funksjoner

Løsning. Problemet kommer ned til å finne abscissen til tangenspunktene til vanlige tangenter, det vil si å løse nøkkeloppgave 1 i generelt syn, tegne et ligningssystem og dets påfølgende løsning (fig. 6).

1. La a være abscissen til tangentpunktet som ligger på grafen til funksjonen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. La c være abscissen til tangentpunktet som ligger på grafen til funksjonen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Siden tangenter er generelle, altså

Så y = x + 1 og y = – 3x – 3 er vanlige tangenter.

Hovedmålet med de vurderte oppgavene er å forberede studentene til selvstendig å gjenkjenne typen nøkkelproblem når de løser mer komplekse problemer som krever visse forskningsferdigheter (evnen til å analysere, sammenligne, generalisere, sette frem en hypotese, etc.). Slike oppgaver inkluderer enhver oppgave der nøkkeloppgaven er inkludert som en komponent. La oss som et eksempel se på problemet (inverst til oppgave 1) med å finne en funksjon fra familien til dens tangenter.

3. For hvilke b og c er linjene y = x og y = – 2x tangent til grafen til funksjonen y = x 2 + bx + c?

La t være abscissen til tangenspunktet til den rette linjen y = x med parabelen y = x 2 + bx + c; p er abscissen til tangenspunktet til den rette linjen y = – 2x med parabelen y = x 2 + bx + c. Da vil tangentligningen y = x ha formen y = (2t + b)x + c – t 2 , og tangentligningen y = – 2x vil ha formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

La oss komponere og løse et ligningssystem

Svar:

Første nivå

Ligning av en tangent til grafen til en funksjon. Omfattende guide (2019)

Vet du allerede hva et derivat er? Hvis ikke, les emnet først. Så du sier at du kjenner den deriverte. La oss sjekke det nå. Finn økningen til funksjonen når økningen av argumentet er lik. Klarte du deg? Det burde fungere. Finn nå den deriverte av funksjonen i et punkt. Svar: . Skjedd? Hvis du har noen problemer med noen av disse eksemplene, anbefaler jeg på det sterkeste at du går tilbake til emnet og studerer det på nytt. Jeg vet at temaet er veldig stort, men ellers er det ingen vits i å gå videre. Tenk på grafen til en funksjon:

La oss velge et bestemt punkt på graflinjen. La sin abscisse, så er ordinaten lik. Deretter velger vi et punkt med abscisse nær punktet; dens ordinat er:

La oss tegne en rett linje gjennom disse punktene. Det kalles en sekant (akkurat som i geometri). La oss betegne helningsvinkelen til den rette linjen til aksen som. Som i trigonometri, måles denne vinkelen fra den positive retningen til x-aksen mot klokken. Hvilke verdier kan vinkelen ta? Uansett hvordan du vipper denne rette linjen, vil den ene halvdelen fortsatt stikke opp. Derfor er maksimal mulig vinkel , og minimum mulig vinkel er . Midler, . Vinkelen er ikke inkludert, siden posisjonen til den rette linjen i dette tilfellet er nøyaktig sammenfallende med, og det er mer logisk å velge en mindre vinkel. La oss ta et punkt i figuren slik at den rette linjen er parallell med abscisseaksen og a er ordinataksen:

Fra figuren kan det ses at, a. Da er forholdet mellom trinnene:

(siden den er rektangulær).

La oss redusere det nå. Da vil punktet nærme seg punktet. Når det blir uendelig, blir forholdet lik den deriverte av funksjonen i punktet. Hva vil skje med sekanten? Punktet vil være uendelig nær punktet, slik at de kan betraktes som samme punkt. Men en rett linje som bare har ett felles punkt med en kurve er ikke annet enn tangent(i dette tilfellet er denne betingelsen bare oppfylt i et lite område - nær punktet, men dette er nok). De sier at i dette tilfellet tar sekanten grenseposisjon.

La oss kalle helningsvinkelen til sekanten til aksen. Så viser det seg at den deriverte

det er den deriverte er lik tangenten til helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.

Siden en tangent er en linje, la oss nå huske ligningen til en linje:

Hva er koeffisienten ansvarlig for? For helningen til den rette linjen. Dette er hva det heter: skråningen. Hva betyr det? Og det faktum at det er lik tangenten til vinkelen mellom den rette linjen og aksen! Så dette er hva som skjer:

Men vi fikk denne regelen ved å vurdere en økende funksjon. Hva vil endres hvis funksjonen reduseres? La oss se:
Nå er vinklene stumpe. Og økningen av funksjonen er negativ. La oss vurdere igjen: . På den andre siden, . Vi får: , det vil si at alt er som sist. La oss igjen rette punktet til punktet, og sekanten vil ta en begrensende posisjon, det vil si at den vil bli en tangent til grafen til funksjonen i punktet. Så la oss formulere den siste regelen:
Den deriverte av en funksjon i et gitt punkt er lik tangenten til helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen i dette punktet, eller (som er den samme) helningen til denne tangenten:

Det er det det er geometrisk betydning av derivat. Ok, alt dette er interessant, men hvorfor trenger vi det? Her eksempel:
Figuren viser en graf for en funksjon og en tangent til den ved abscissepunktet. Finn verdien av den deriverte av funksjonen i punktet.
Løsning.
Som vi nylig fant ut, er verdien av den deriverte ved tangenspunktet lik hellingen til tangenten, som igjen er lik tangenten til helningsvinkelen til denne tangenten til abscisseaksen: . Dette betyr at for å finne verdien av den deriverte må vi finne tangenten til tangentvinkelen. På figuren har vi markert to punkter som ligger på tangenten, hvis koordinater er kjent for oss. Så la oss fullføre konstruksjonen av en rettvinklet trekant som går gjennom disse punktene og finne tangenten til tangentvinkelen!

Hellingsvinkelen til tangenten til aksen er. La oss finne tangenten til denne vinkelen: . Dermed er den deriverte av funksjonen i et punkt lik.
Svar:. Prøv det selv nå:

Svar:

Å vite geometrisk betydning av derivat, kan vi veldig enkelt forklare regelen om at den deriverte ved punktet til et lokalt maksimum eller minimum er lik null. Faktisk er tangenten til grafen på disse punktene "horisontal", det vil si parallelt med x-aksen:

Hva er vinkelen mellom parallelle linjer? Selvfølgelig null! Og tangensen til null er også null. Så den deriverte er lik null:

Les mer om dette i emnet «Monotonicity of functions. Ekstrempoeng."

La oss nå fokusere på vilkårlige tangenter. La oss si at vi har en funksjon, for eksempel . Vi har tegnet grafen og ønsker å tegne en tangent til den på et tidspunkt. For eksempel på et tidspunkt. Vi tar en linjal, fester den til grafen og tegner:

Hva vet vi om denne linjen? Hva er det viktigste å vite om direkte til koordinatplan? Siden en rett linje er et bilde av en lineær funksjon, ville det være veldig praktisk å kjenne dens ligning. Det vil si koeffisientene i ligningen

Men vi vet allerede! Dette er helningen til tangenten, som er lik den deriverte av funksjonen på det punktet:

I vårt eksempel vil det være slik:

Nå gjenstår det bare å finne den. Det er så enkelt som å skalte pærer: tross alt - verdien av. Grafisk er dette koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og ordinataksen (tross alt på alle punkter på aksen):

La oss tegne den (så den er rektangulær). Deretter (til samme vinkel mellom tangenten og x-aksen). Hva er og lik? Figuren viser tydelig at, a. Da får vi:

Vi kombinerer alle de oppnådde formlene til ligningen til en rett linje:

Bestem nå selv:

1. Finne tangentligning til en funksjon på et punkt.
2. Tangenten til en parabel skjærer aksen i en vinkel. Finn ligningen til denne tangenten.
3. Linjen er parallell med tangenten til grafen til funksjonen. Finn abscissen til tangentpunktet.
4. Linjen er parallell med tangenten til grafen til funksjonen. Finn abscissen til tangentpunktet.

Løsninger og svar:

LIGNING AV EN TANGENT TIL GRAFEN TIL EN FUNKSJON. KORT BESKRIVELSE OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Den deriverte av en funksjon i et bestemt punkt er lik tangenten til tangenten til grafen til funksjonen på dette punktet, eller helningen til denne tangenten:

Ligning av tangenten til grafen til en funksjon i et punkt:

Algoritme for å finne tangentligningen:

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått Unified State-eksamenen, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som mottok en god utdannelse, tjene mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - 999 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

I det andre tilfellet vi vil gi deg simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle nivåer av kompleksitet." Det vil definitivt være nok til å få tak i å løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette mye mer enn bare en simulator - et helt treningsprogram. Om nødvendig kan du også bruke den GRATIS.

Tilgang til alle tekster og programmer er gitt i HELE perioden av sidens eksistens.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!