Emne: metode for koordinater i rommet. Koordinater metode i rommet

Koordinatmetoden er en veldig effektiv og universell måte å finne vinkler eller avstander mellom stereometriske objekter i rommet. Hvis mattelæreren din er høyt kvalifisert, bør han vite dette. Ellers vil jeg anbefale å bytte veileder for "C"-delen. Min forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk C1-C6 inkluderer vanligvis en analyse av de grunnleggende algoritmene og formlene beskrevet nedenfor.

Vinkel mellom linje a og b

Vinkelen mellom linjer i rommet er vinkelen mellom eventuelle kryssende linjer parallelt med dem. Denne vinkelen er lik vinkelen mellom retningsvektorene til disse linjene (eller utfyller den til 180 grader).

Hvilken algoritme bruker matteveilederen for å finne vinkelen?

1) Velg hvilke som helst vektorer og har retningene til rette linjer a og b (parallell med dem).
2) Vi bestemmer koordinatene til vektorene ved å bruke de tilsvarende koordinatene til deres begynnelse og slutt (koordinatene til begynnelsen må trekkes fra koordinatene til slutten av vektoren).
3) Bytt inn de funnet koordinatene i formelen:
. For å finne selve vinkelen må du finne buekosinus til resultatet.

Normal til fly

En normal til et plan er en hvilken som helst vektor vinkelrett på det planet.
Hvordan finne normal? For å finne koordinatene til normalen, er det nok å kjenne koordinatene til alle tre punkter M, N og K som ligger i et gitt plan. Ved å bruke disse koordinatene finner vi koordinatene til vektorene og krever at betingelsene og oppfylles. Ved å likestille skalarproduktet av vektorer til null, lager vi et likningssystem med tre variabler, hvorfra vi kan finne koordinatene til normalen.

Mattelærerens notat : Det er slett ikke nødvendig å løse systemet fullstendig, fordi det er nok å velge minst en normal. For å gjøre dette, kan du erstatte et hvilket som helst tall (for eksempel én) i stedet for noen av dets ukjente koordinater og løse systemet med to ligninger med de resterende to ukjente. Hvis den ikke har noen løsninger, betyr dette at i normalfamilien er det ingen som har en verdi i den valgte variabelen. Bytt deretter ut en med en annen variabel (en annen koordinat) og løs det nye systemet. Hvis du bommer igjen, vil normalen din ha en på den siste koordinaten, og den i seg selv vil vise seg å være parallell med et eller annet koordinatplan (i dette tilfellet er det lett å finne uten system).

La oss anta at vi får en rett linje og et plan med koordinatene til retningsvektoren og normalen
Vinkelen mellom den rette linjen og planet beregnes ved hjelp av følgende formel:

La og vær hvilke som helst to normaler til disse planene. Da er cosinus til vinkelen mellom planene lik modulen til cosinus til vinkelen mellom normalene:

Ligning av et plan i rommet

Poeng som tilfredsstiller likheten danner et plan med en normal. Koeffisienten er ansvarlig for mengden av avvik (parallellforskyvning) mellom to plan med samme gitte normal. For å skrive ligningen til et plan, må du først finne normalen (som beskrevet ovenfor), og deretter erstatte koordinatene til et hvilket som helst punkt på planet sammen med koordinatene til den funnet normalen i ligningen og finne koeffisienten.

Posisjonen til ethvert punkt i rommet kan bestemmes unikt ved hjelp av et rektangulært koordinatsystem. Dette systemet inkluderer tre innbyrdes vinkelrette akser som krysser hverandre på ett punkt O – opprinnelse til koordinater. En av aksene kalles x-aksen(akser Åh), en annen - y-aksen (OU), tredje – akseapplikasjon (Oz). Fly XOY, XOZ Og YOZ kalles koordinatplan. Ethvert segment tas som skalaenhet for alle tre aksene . Positive retninger på aksene er valgt slik at en rotasjon på 90 0, kombinerer den positive strålen OKSE med positiv stråle OY, så ut til å passere mot klokken sett fra strålen OZ. Dette koordinatsystemet kalles Ikke sant.

Posisjon av ethvert punkt M i rommet kan defineres av tre koordinater som følger . GjennomMtegne plan parallelt med planeneXOY, XOZ Og YOZ. I skjæringspunktet med aksene får vi poeng, for eksempel, P, Q Og R hhv. Tall X (abscisse), på(ordinere), z (søknad), måle segmenterOP, OQOgELLERpå en valgt skala kallesrektangulære koordinaterpoeng M. De tas positive eller negative avhengig av om de tilsvarende segmentene ligger på den positive eller negative halvaksen. Hver trippel av tall ( X; på; z) tilsvarer ett og bare ett punkt i rommet, og omvendt.

Avstand mellom to punkter og beregnes med formelen: (1.6)

Koordinater (x; y; z) poengM som deler i et gitt forhold linjestykke AB, (,) bestemmes av formlene:

Spesielt ved (punkt M deler et segment AB i halv), får vi formler for å bestemme koordinatene til midtpunktet av segmentet:

Eksempel 4: På aksen OU finn et punkt like langt fra to punkter Og .

Løsning: Punktum M, liggende på aksen OU, har koordinater . I henhold til forholdene for problemet |AM| = |VM|. La oss finne avstandene |AM| Og |VM|, ved hjelp av formel (1.6):

Vi får ligningen:.

Herfra finner vi at 4 på= 16, dvs. y = 4. Det ønskede punktet er der M(0; 4; 0).

Eksempel 5: Linjestykke AB delt i 3 like deler. Finn koordinatene til delingspunktene hvis punktene og .

Løsning:

La oss betegne divisjonspunktene til segmentet AB i følgende rekkefølge: MED Og D. I henhold til forholdene for problemet |AC| = |CD| = |DB|. Derfor peker MED deler et segment AB i et forhold . Ved å bruke formler (1.7) finner vi koordinatene til punkt C:

Ved hjelp av formler (1.8) finner vi koordinatene til punktet D– midtpunktet av segmentet NE:

Det vil si at punkt D har koordinater: .

Eksempel 6: På poeng , ,, massene konsentreres tilsvarende m 1 , m 2 , m 3 , m 4. Finn koordinatene til tyngdepunktet til systemet av disse massene.

Løsning:

Som du vet fra et fysikkkurs, massenes tyngdepunkt m 1 og m 2 plassert på poeng EN Og I, deler et segment AB i deler omvendt proporsjonal med massene konsentrert i endene av segmentet (). Ut fra dette finner vi først tyngdepunktet til tomassesystemet m 1 og m 2 plassert på poeng EN 1 Og EN 2 :

, ,.

Tyngdepunktet til et tremassesystem m 1 og m 2 og m 3 () finner vi tilsvarende:

, ,.

Vi finner endelig tyngdepunktet til tremassesystemetm 1 , m 2 , m 3 Ogm 4 :

, ,.

Spørsmål for kontroll:

Beskriv et rektangulært koordinatsystem på et plan og alle dets komponenter.

Hvordan bestemmes koordinatene til et vilkårlig punkt på planet?

Skriv en formel for å finne savstand mellom to punkter på flyet .

Hvordan finnekoordinater til et punkt som deler et segment i et gitt forhold?

Skriv formler for koordinatene til midtpunktet av segmentet.

Skriv en formel som beregner arealet til en trekant hvis koordinatene til toppene er kjent .

Beskriv det polare koordinatsystemet.

Hva kalles polarradius? I hvilken grad måles det?

Hva kalles en polar vinkel? Grensene for målingen?

Hvordan finne de rektangulære koordinatene til et punkt som de polare koordinatene er kjent for?

Hvordan finne de polare koordinatene til et punkt som rektangulære koordinater er kjent for?

Hvordan finne avstand mellom punkter i polart koordinatsystem?

Beskriv det rektangulære koordinatsystemet i rommet og alle dets komponenter.

Hvordan bestemme koordinatene til et punkt i rommet?

Skriv ned en formel for å finne avstanden mellom to punkter i rommet.

Skriv ned formler for å finne koordinatene til et punkt som deler et segment i et gitt forhold for et tredimensjonalt koordinatsystem.

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Rektangulært koordinatsystem i rommet. Vektorkoordinater.

Rektangulært koordinatsystem

Hvis tre parvise perpendikulære linjer trekkes gjennom et punkt i rommet, velges en retning på hver av dem og en måleenhet for segmentene velges, så sier de at et rektangulært koordinatsystem i rommet er spesifisert

Rette linjer med retninger valgt på dem kalles koordinatakser, og deres felles punkt er opprinnelsen til koordinatene. Det er vanligvis betegnet med bokstaven O. Koordinataksene er betegnet som følger: Ox, Oy, O z - og har navn: abscisseakse, ordinatakse, applikatakse.

Hele koordinatsystemet er betegnet Oxy z. Planene som går gjennom henholdsvis koordinataksene Ox og Oy, Oy og O z, O z og Ox, kalles koordinatplan og er betegnet Oxy, Oy z, O z x.

Punkt O deler hver av koordinataksene i to stråler. En stråle hvis retning faller sammen med retningen til aksen kalles en positiv halvakse, og den andre strålen kalles en negativ halvakse.

I et rektangulært koordinatsystem er hvert punkt M i rommet assosiert med en trippel av tall, som kalles dets koordinater.

Figuren viser seks punkter A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Vektorkoordinater

Enhver vektor kan utvides til koordinatvektorer, det vil si representert i formen hvor ekspansjonskoeffisientene x, y, z er bestemt på en unik måte.

Koeffisientene x, y og z i ekspansjonen av en vektor til koordinatvektorer kalles koordinatene til vektoren i et gitt koordinatsystem.

La oss vurdere reglene som lar oss bruke koordinatene til disse vektorene for å finne koordinatene til summen og differansen deres, samt koordinatene til produktet av en gitt vektor med et gitt tall.

10 . Hver koordinat av summen av to eller flere vektorer er lik summen av de tilsvarende koordinatene til disse vektorene. Med andre ord, hvis a (x 1, y 1, z 1) og b (x 2, y 2, z 2) er gitt vektorer, så har vektoren a + b koordinater (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

20. Hver koordinat av forskjellen mellom to vektorer er lik forskjellen til de tilsvarende koordinatene til disse vektorene. Med andre ord, hvis a (x 1, y 1, z 1) og b (x 2 y 2; z 2) er gitt vektorer, så har vektoren a - b koordinater (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z1 - z2).

tretti . Hver koordinat av produktet av en vektor og et tall er lik produktet av den tilsvarende koordinaten til vektoren og dette tallet. Med andre ord, hvis a (x; y; x) er en gitt vektor, er α et gitt tall, så har vektoren α a koordinater (αх; αу; α z).

Om temaet: metodologisk utvikling, presentasjoner og notater

Didaktisk utdelingsark "Set med notater til studenter om emnet "Metode for koordinater i rommet" for gjennomføring av undervisning i form av forelesninger. Geometri 10.-11. klassetrinn....

Formål med leksjonen: Å teste kunnskapen, ferdighetene og evnene til elevene om emnet "Bruk av metoden for koordinater i rommet for å løse C2 Unified State Examination-oppgaver: Planlagte pedagogiske resultater: Elevene demonstrerer: ...

Leksjonsprøve i geometri i 11. klasse

Emne: " Metode for koordinater i rommet."

Mål: Test studentenes teoretiske kunnskap, deres ferdigheter og evner til å anvende denne kunnskapen i å løse problemer ved hjelp av vektor- og vektorkoordinatmetoder.

Oppgaver:

1 .Skape forutsetninger for kontroll (selvkontroll, gjensidig kontroll) for tilegnelse av kunnskap og ferdigheter.

2. Utvikle matematisk tenkning, tale, oppmerksomhet.

3. Fremme aktivitet, mobilitet, kommunikasjonsevner og generell kultur hos studenter.

Form for oppførsel: arbeid i grupper.

Utstyr og informasjonskilder: lerret, multimediaprojektor, kunnskapstabell, testkort, tester.

I løpet av timene

1.Mobiliserende øyeblikk.

Leksjon med CSR; studentene er fordelt i 3 dynamiske grupper, der studenter med et akseptabelt, optimalt og avansert nivå. Hver gruppe velger en koordinator som leder arbeidet til hele gruppen.

2 . Selvbestemmelse av elever basert på forventning.

Oppgave:målsetting etter ordningen: husk-lære-kunne.

Inngangsprøve - Fyll ut de tomme feltene (i utskrifter)

Inngangsprøve

Fylle hullene...

1.Tre par vinkelrette rette linjer trekkes gjennom et punkt i rommet.

på hver av dem er retningen og måleenheten for segmentene valgt,

så sier de at det er gitt …………. i verdensrommet.

2. Rette linjer med retninger valgt på dem kalles …………..,

og deres felles poeng …………. .

3. I et rektangulært koordinatsystem er hvert punkt M i rommet assosiert med en trippel av tall, som kalles ………………..

4. Koordinatene til et punkt i rommet kalles ………………..

5. En vektor hvis lengde er lik én kalles …………..

6. Vektorer Jegyker kalt………….

7. Odds xyz i nedbrytning en= xJeg + yj + zk er kalt

…………………vektorer en .

8. Hver koordinat av summen av to eller flere vektorer er lik …………………..

9. Hver koordinat av forskjellen mellom to vektorer er lik ……………….

10. Hver koordinat av produktet av en vektor og et tall er lik………………..

11.Hver vektorkoordinat er lik ………………….

12. Hver koordinat i midten av segmentet er lik……………….

13. Vektorlengde en { xyz) beregnes med formelen …………………………

14. Avstand mellom punktene M 1(x 1 ; y 1; z 1) og M 2 (x 2; y 2 ; z2) beregnet med formelen …………………

15. Skalarproduktet av to vektorer kalles ……………..

16. Skalarproduktet av vektorer som ikke er null er lik null………………..

17. Punktprodukt av vektoreren{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) inn uttrykt med formelen………………………

Fagfellevurdering av opptaksprøven. Svar på testoppgaver på skjermen.

Evalueringskriterier:

1-2 feil – “5”

3-4 feil - "4"

5-6 feil - "3"

I andre tilfeller - "2"

3. Få jobben gjort. (med kort).

Hvert kort inneholder to oppgaver: nr. 1 - teoretisk med bevis, nr. 2 inkluderer oppgaver.

Forklar kompleksitetsnivået til oppgavene som inngår i arbeidet. Gruppen utfører én oppgave, men har 2 deler. Gruppekoordinatoren styrer arbeidet til hele gruppen. Å diskutere den samme informasjonen med flere partnere øker ikke bare ansvaret for egne suksesser, men også for resultatene av kollektivt arbeid, noe som har en positiv effekt på mikroklimaet i teamet.

KORT nr. 1

1. Utled formler som uttrykker koordinatene til midten av et segment gjennom koordinatene til endene.

2.Oppgave: 1) Gitt punktene A (-3; 1; 2) og B (1; -1; 2)

Finne:

a) koordinater til midtpunktet til segment AB

b) koordinater og lengde til vektor AB

2) Gitt en kube ABCDA1 B1 C1 D1. Bruk koordinatmetoden og finn vinkelen

mellom rette linjer AB1 og A1 D.

KORT#2

Utled en formel for å beregne lengden til en vektor fra dens koordinater.

Oppgave: 1) Gitt poeng M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Finn avstanden fra origo til midten av segmentet MN.

→ → → → →

2) Vektorer er gitt en Og b. Finne b(a+b), Hvis a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KORT nr. 3

Utled en formel for å beregne avstanden mellom punkter med gitte koordinater.

Oppgave: 1) Gitt punktene A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Bevis at ∆ABC er likebenet og finn lengden på midtlinjen til trekanten som forbinder midtpunktene til sidesidene.

2) Beregn vinkelen mellom rette linjer AB og CD, hvis A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KORT#4

Utled formler for cosinus til vinkelen mellom vektorer som ikke er null med gitte koordinater.

Oppgave: 1) Gitt koordinatene til de tre toppunktene til parallellogrammet ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Finn koordinatene til punkt D.

2) Finn vinkelen mellom rette linjer AB og CD, hvis A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2), D(2;-3;1) .

KORT#5

Fortell oss hvordan vi beregner vinkelen mellom to linjer i rommet ved å bruke retningsvektorene til disse linjene. →→

Oppgave: 1) Finn skalarproduktet til vektoreren Og b, Hvis:

→ → → ^ →

a) | en| =4; | b| =√3 (enb)=30◦

b) en {2 ;-3; 1}, b = 3 Jeg +2 k

2) Gitt punktene A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) og D(2;4;4). Bevis at ABCD er en rombe.

4. Sjekke arbeidet til dynamiske grupper ved hjelp av kort.

Vi lytter til opptredener til grupperepresentanter. Arbeidet i gruppene vurderes av lærer med deltakelse av elever.

5. Refleksjon. Testkarakterer.

Avsluttende prøve med flervalg (i utskrifter).

1) Vektorer er gitt en {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Finn koordinatene til vektoren

→ 2

c = en+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5;4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Vektorer er gitt en(4; -3; 5) og b(-3; 1; 2). Finn koordinatene til vektoren

C=2 en – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Regn ut skalarproduktet til vektorerm Og n, Hvis m = en + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 en - b hvis | en|=2 , ‌| b |=3, (enb‌)=60°, c ┴ en , c ┴ b.

a)-1; b) -27; i 1; d) 35.

4) Vektorlengde en { xyz) er lik 5. Finn koordinatene til vektor a ifx=2, z=-√5

a) 16; b) 4 eller -4; på 9; d)3 eller -3.

5) Finn arealet ∆ABC hvis A(1;-1;3); B(3;-1;1) og C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c)2√3; d)√8.

Fagfellevurdering av testen. Svarkoder for testoppgaver på skjermen: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Evalueringskriterier:

Alt er riktig - "5"

1 feil - "4"

2 feil - "3"

I andre tilfeller - "2"

Elevkunnskapstabell

Jobbe med

kort

Endelig

test

Vurdering til prøven

Oppgaver

teori

øve på

1 gruppe

2. gruppe

3 gruppe

Vurdere elevenes forberedelse til prøven.

For å bruke koordinatmetoden må du kjenne formlene godt. Det er tre av dem:

Ved første øyekast ser det truende ut, men med bare litt øvelse vil alt fungere utmerket.

Oppgave. Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene a = (4; 3; 0) og b = (0; 12; 5).

Løsning. Siden koordinatene til vektorene er gitt til oss, erstatter vi dem med den første formelen:

Oppgave. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punktene M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) og K = (2; 1; 0), hvis det er kjent at det ikke går gjennom Opprinnelsen.

Løsning. Den generelle ligningen til planet: Ax + By + Cz + D = 0, men siden det ønskede planet ikke går gjennom origo for koordinater - punktet (0; 0; 0) - så setter vi D = 1. Siden dette flyet går gjennom punktene M, N og K, så skal koordinatene til disse punktene gjøre ligningen om til en korrekt numerisk likhet.

La oss erstatte koordinatene til punktet M = (2; 0; 1) i stedet for x, y og z. Vi har:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Tilsvarende, for punktene N = (0; 1; 1) og K = (2; 1; 0) får vi følgende ligninger:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Så vi har tre ligninger og tre ukjente. La oss lage og løse et ligningssystem:

Vi fant at ligningen til planet har formen: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Oppgave. Planet er gitt ved ligningen 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Finn koordinatene til vektoren vinkelrett på dette planet.

Løsning. Ved å bruke den tredje formelen får vi n = (7; − 2; 4) - det er alt!

Beregning av vektorkoordinater

Men hva om det ikke er noen vektorer i problemet - det er bare punkter som ligger på rette linjer, og du må beregne vinkelen mellom disse rette linjene? Det er enkelt: Å kjenne koordinatene til punktene - begynnelsen og slutten av vektoren - kan du beregne koordinatene til selve vektoren.

For å finne koordinatene til en vektor, må du trekke fra koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten.

Denne teoremet fungerer like godt både på et plan og i rommet. Uttrykket "trekk fra koordinater" betyr at x-koordinaten til et annet punkt trekkes fra x-koordinaten til ett punkt, så må det samme gjøres med y- og z-koordinatene. Her er noen eksempler:

Oppgave. Det er tre punkter i rommet, definert av deres koordinater: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) og C = (− 4; 3; − 2). Finn koordinatene til vektorene AB, AC og BC.

Tenk på vektoren AB: dens begynnelse er ved punkt A, og slutten er ved punkt B. Derfor, for å finne dens koordinater, må vi trekke fra koordinatene til punkt A fra koordinatene til punkt B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

På samme måte er begynnelsen av vektoren AC det samme punktet A, men slutten er punktet C. Derfor har vi:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Til slutt, for å finne koordinatene til vektor BC, må du trekke fra koordinatene til punkt B fra koordinatene til punkt C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Svar: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Vær oppmerksom på beregningen av koordinatene til den siste BC-vektoren: mange mennesker gjør feil når de jobber med negative tall. Dette gjelder variabelen y: punkt B har koordinat y = − 1, og punkt C har koordinat y = 3. Vi får nøyaktig 3 − (− 1) = 4, og ikke 3 − 1, som mange tror. Ikke gjør slike dumme feil!

Beregning av retningsvektorer for rette linjer

Hvis du leser problem C2 nøye, vil du bli overrasket over å finne at det ikke er noen vektorer der. Det er bare rette linjer og fly.

La oss først se på de rette linjene. Alt er enkelt her: på enhver rett linje er det minst to distinkte punkter, og omvendt definerer alle to distinkte punkter en unik rett linje ...

Forsto noen hva som ble skrevet i forrige avsnitt? Jeg forsto det ikke selv, så jeg skal forklare det enklere: i oppgave C2 er rette linjer alltid definert av et par punkter. Hvis vi introduserer et koordinatsystem og vurderer en vektor med begynnelsen og slutten på disse punktene, får vi den såkalte retningsvektoren for linjen:

Hvorfor trengs denne vektoren? Faktum er at vinkelen mellom to rette linjer er vinkelen mellom retningsvektorene deres. Dermed beveger vi oss fra uforståelige rette linjer til spesifikke vektorer hvis koordinater er enkle å beregne. Hvor lett er det? Ta en titt på eksemplene:

Oppgave. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er linjene AC og BD 1 tegnet. Finn koordinatene til retningsvektorene til disse linjene.

Siden lengden på kantene på kuben ikke er spesifisert i betingelsen, setter vi AB = 1. Vi introduserer et koordinatsystem med origo i punkt A og x-, y-, z-aksene rettet langs de rette linjene AB, AD og AA 1, henholdsvis. Enhetssegmentet er lik AB = 1.

La oss nå finne koordinatene til retningsvektoren for rett linje AC. Vi trenger to punkter: A = (0; 0; 0) og C = (1; 1; 0). Herfra får vi koordinatene til vektoren AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - dette er retningsvektoren.

La oss nå se på den rette linjen BD 1. Den har også to punkter: B = (1; 0; 0) og D 1 = (0; 1; 1). Vi får retningsvektoren BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Svar: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Oppgave. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, tegnes rette linjer AB 1 og AC 1. Finn koordinatene til retningsvektorene til disse linjene.

La oss introdusere et koordinatsystem: origo er i punkt A, x-aksen sammenfaller med AB, z-aksen sammenfaller med AA 1, y-aksen danner OXY-planet med x-aksen, som sammenfaller med ABC-planet.

La oss først se på den rette linjen AB 1. Alt er enkelt her: vi har punktene A = (0; 0; 0) og B 1 = (1; 0; 1). Vi får retningsvektoren AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

La oss nå finne retningsvektoren for AC 1. Alt er likt - den eneste forskjellen er at punkt C 1 har irrasjonelle koordinater. Så A = (0; 0; 0), så vi har:

Svar: AB 1 = (1; 0; 1);

En liten, men veldig viktig merknad om det siste eksemplet. Hvis begynnelsen av vektoren faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, er beregningene sterkt forenklet: koordinatene til vektoren er ganske enkelt lik koordinatene til slutten. Dessverre er dette bare sant for vektorer. For eksempel, når du arbeider med fly, kompliserer tilstedeværelsen av opprinnelsen til koordinater på dem bare beregningene.

Beregning av normalvektorer for plan

Normale vektorer er ikke de vektorene som er fine eller føles bra. Per definisjon er en normalvektor (normal) til et plan en vektor vinkelrett på et gitt plan.

Med andre ord, en normal er en vektor vinkelrett på en hvilken som helst vektor i et gitt plan. Du har sannsynligvis kommet over denne definisjonen - men i stedet for vektorer snakket vi om rette linjer. Imidlertid ble det vist like ovenfor at i oppgave C2 kan du operere med et hvilket som helst praktisk objekt - enten det er en rett linje eller en vektor.

La meg minne deg nok en gang om at hvert plan er definert i rommet av ligningen Ax + By + Cz + D = 0, hvor A, B, C og D er noen koeffisienter. Uten å miste generelliteten til løsningen, kan vi anta D = 1 hvis planet ikke passerer gjennom origo, eller D = 0 hvis det gjør det. I alle fall er koordinatene til normalvektoren til dette planet n = (A; B; C).

Så flyet kan også erstattes med en vektor - den samme normalen. Hvert plan er definert i rommet av tre punkter. Vi har allerede diskutert hvordan man finner ligningen til flyet (og derfor normalen) helt i begynnelsen av artikkelen. Imidlertid forårsaker denne prosessen problemer for mange, så jeg vil gi et par flere eksempler:

Oppgave. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tegnes et snitt A 1 BC 1. Finn normalvektoren for planet til denne seksjonen hvis opprinnelsen til koordinatene er i punktet A, og x-, y- og z-aksene faller sammen med henholdsvis kantene AB, AD og AA 1.

Siden flyet ikke går gjennom origo, ser dets ligning slik ut: Ax + By + Cz + 1 = 0, dvs. koeffisient D = 1. Siden dette planet går gjennom punktene A 1, B og C 1, gjør koordinatene til disse punktene likningen til planet til riktig numerisk likhet.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Tilsvarende, for punktene B = (1; 0; 0) og C 1 = (1; 1; 1) får vi følgende ligninger:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Men vi kjenner allerede koeffisientene A = − 1 og C = − 1, så det gjenstår å finne koeffisienten B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Vi får likningen til planet: − A + B − C + 1 = 0. Derfor er koordinatene til normalvektoren lik n = (− 1; 1; − 1).

Oppgave. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er det et snitt AA 1 C 1 C. Finn normalvektoren for planet til dette snittet dersom origo til koordinatene er i punktet A og x-, y- og z-aksene sammenfaller med kantene AB, AD og AA 1 henholdsvis.

I dette tilfellet går planet gjennom origo, så koeffisienten D = 0, og likningen til planet ser slik ut: Ax + By + Cz = 0. Siden planet går gjennom punktene A 1 og C, vil koordinatene til disse punktene gjør likningen til planet til riktig numerisk likhet.

La oss erstatte koordinatene til punktet A 1 = (0; 0; 1) i stedet for x, y og z. Vi har:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

På samme måte, for punktet C = (1; 1; 0) får vi ligningen:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

La oss sette B = 1. Da har A = − B = − 1, og likningen til hele planet har formen: − A + B = 0. Derfor er koordinatene til normalvektoren lik n = (− 1 ; 1; 0).

Generelt sett, i de ovennevnte problemene må du lage et ligningssystem og løse det. Du vil få tre likninger og tre variabler, men i det andre tilfellet vil en av dem være fri, dvs. ta vilkårlige verdier. Det er grunnen til at vi har rett til å sette B = 1 - uten at det berører løsningens generelle karakter og riktigheten av svaret.

Svært ofte i Oppgave C2 må du jobbe med punkter som halverer et segment. Koordinatene til slike punkter kan lett beregnes hvis koordinatene til endene av segmentet er kjent.

Så la segmentet være definert av endene - punktene A = (x a; ya; z a) og B = (x b; y b; z b). Så kan koordinatene til midten av segmentet - la oss betegne det med punkt H - ved hjelp av formelen:

Med andre ord er koordinatene til midten av et segment det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til dets ender.

Oppgave. Enhetskuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plasseres i et koordinatsystem slik at x-, y- og z-aksene er rettet langs henholdsvis kantene AB, AD og AA 1, og origo faller sammen med punkt A. Punkt K er midten av kanten A 1 B 1 . Finn koordinatene til dette punktet.

Siden punktet K er midten av segmentet A 1 B 1, er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. La oss skrive ned koordinatene til endene: A 1 = (0; 0; 1) og B 1 = (1; 0; 1). La oss nå finne koordinatene til punkt K:

Oppgave. Enhetskuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plasseres i et koordinatsystem slik at x-, y- og z-aksene er rettet langs henholdsvis kantene AB, AD og AA 1, og origo sammenfaller med punkt A. Finn koordinatene til punktet L der de skjærer diagonalene til kvadratet A 1 B 1 C 1 D 1 .

Fra planimetrikurset vet vi at skjæringspunktet mellom diagonalene til en firkant er like langt fra alle hjørnene. Spesielt A1L = C1L, dvs. punkt L er midten av segmentet A 1 C 1. Men A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), så vi har:

Svar: L = (0,5; 0,5; 1)