Rett linje. Parallelle linjer

Som ligger i samme plan og enten faller sammen eller ikke krysser hverandre. I noen skoledefinisjoner sammenfallende linjer anses ikke som parallelle en slik definisjon er ikke vurdert her.

Egenskaper

1. Parallelisme er en binær ekvivalensrelasjon, derfor deler den hele settet med linjer i klasser av linjer parallelle med hverandre.
2. Gjennom et hvilket som helst punkt kan du tegne nøyaktig én rett linje parallelt med den gitte. Dette er en særegen egenskap ved euklidisk geometri i andre geometrier er tallet 1 erstattet av andre (i Lobachevsky-geometri er det minst to slike linjer)
3. 2 parallelle linjer i rommet ligger i samme plan.
4. Når 2 parallelle linjer krysser hverandre, kalles en tredje sekant:
   1. Sekanten skjærer nødvendigvis begge linjene.
   2. Når de krysser hverandre, dannes det 8 vinkler, hvorav noen karakteristiske par har spesielle navn og egenskaper:
      1. Ligger på tvers vinklene er like.
      2. Aktuell vinklene er like.
      3. Ensidig vinklene summerer seg til 180°.

I Lobachevsky-geometri

I Lobachevsky geometri i planet gjennom et punkt Uttrykket kan ikke analyseres ( leksikalsk feil): Cutenfor denne linjen $AB$

Det er et uendelig antall rette linjer som ikke krysser hverandre ENB. Av disse, parallelt med ENB bare to er navngitt.

Rett CE kalt en likesidet (parallell) linje ENB i retning fra EN Til B, Hvis:

1. poeng B Og E ligge på den ene siden av en rett linje ENC ;
2. rett CE krysser ikke linjen ENB, men hver stråle som passerer innenfor en vinkel ENCE, krysser strålen ENB .

En rett linje er definert på samme måte ENB i retning fra B Til EN .

Alle andre linjer som ikke krysser denne kalles ultraparallell eller avvikende.

se også

Wikimedia Foundation. 2010.

• Kryssende linjer
• Nesterikhin, Yuri Efremovich

Se hva "Parallelle linjer" er i andre ordbøker:

PARALLELL DIREKTE- PARALLELLE LINJER, ikke-skjærende linjer som ligger i samme plan... Moderne leksikon

PARALLELL DIREKTE Stor encyklopedisk ordbok

Parallelle linjer- PARALLELLE LINJER, ikke-skjærende linjer som ligger i samme plan. ... Illustrert encyklopedisk ordbok

Parallelle linjer- i euklidisk geometri, rette linjer som ligger i samme plan og ikke krysser hverandre. I absolutt geometri (Se Absolutt geometri), gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, passerer det minst én rett linje som ikke skjærer den gitte. I … … Stor sovjetisk leksikon

parallelle linjer- ikke-skjærende linjer som ligger i samme plan. * * * PARALLELLINJER PARALLELLINJER, ikke-skjærende linjer som ligger i samme plan... encyklopedisk ordbok

PARALLELL DIREKTE- i euklidisk geometri ligger rette linjer i samme plan og krysser ikke hverandre. I absolutt geometri, gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, passerer det minst én linje som ikke skjærer den gitte. I euklidisk geometri er det bare en... ... Matematisk leksikon

PARALLELL DIREKTE- ikke-skjærende linjer som ligger i samme plan... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

Parallelle verdener i skjønnlitteratur– Denne artikkelen kan inneholde original forskning. Legg til lenker til kilder, ellers kan det bli satt til sletting. Mer informasjon kan være på diskusjonssiden. Denne... Wikipedia

Parallelle verdener - En parallell verden(i fiksjon) en virkelighet som på en eller annen måte eksisterer samtidig med vår, men uavhengig av den. Denne autonome virkeligheten kan ha ulike størrelser: fra et lite geografisk område til et helt univers. Parallelt... Wikipedia

Parallell- linjer Rette linjer kalles P. hvis verken de eller forlengelsene deres krysser hverandre. Nyhetene fra en av disse linjene er i samme avstand fra den andre. Imidlertid er det vanlig å si: to P. rette linjer krysser hverandre i det uendelige. Slikt … … Encyclopedia of Brockhaus and Efron

Bøker

• Sett med bord. Matematikk. 6. klasse. 12 tabeller + metodikk,. Bordene er trykket på tykk trykt papp som måler 680 x 980 mm. Settet inkluderer en brosjyre med metodiske anbefalinger for læreren. Pedagogisk album på 12 ark. Delbarhet …

De krysser seg ikke, uansett hvor lenge de fortsetter. Parallellen til rette linjer i skrift er betegnet som følger: AB|| MEDE

Muligheten for eksistensen av slike linjer er bevist av teoremet.

Teorem.

Gjennom ethvert punkt tatt utenfor en gitt linje, kan man tegne et punkt parallelt med denne linjen.

La AB denne rette linjen og MED et punkt tatt utenfor det. Det kreves å bevise det gjennom MED du kan tegne en rett linje parallellAB. La oss senke den til AB fra punkt MED vinkelrettMEDD og så skal vi gjennomføre MEDE^ MEDD, hva er mulig. Rett C.E. parallell AB.

For å bevise dette, la oss anta det motsatte, dvs. at C.E. krysser AB på et tidspunkt M. Så fra poenget M til en rett linje MEDD vi ville ha to forskjellige perpendikulære MD Og MS, som er umulig. Midler, C.E. kan ikke krysse med AB, dvs. MEDE parallell AB.

Konsekvens.

To perpendikulære (CEOgD.B.) til en rett linje (CD) er parallelle.

Aksiomet for parallelle linjer.

Gjennom samme punkt er det umulig å trekke to forskjellige linjer parallelt med samme linje.

Så hvis rett MEDD, trukket gjennom punktet MED parallelt med linjen AB, deretter annenhver linje MEDE, trukket gjennom samme punkt MED, kan ikke være parallell AB, dvs. hun er på fortsettelse vil krysse hverandre Med AB.

Å bevise denne ikke helt åpenbare sannheten viser seg å være umulig. Det aksepteres uten bevis, som en nødvendig antakelse (postulatum).

Konsekvenser.

1. Hvis rett(MEDE) skjærer med en av parallell(NE), så krysser den med en annen ( AB), fordi ellers gjennom samme punkt MED det ville være to forskjellige linjer som passerer parallelt AB, som er umulig.

2. Hvis hver av de to direkte (ENOgB) er parallelle med samme tredje linje ( MED) , så de parallell seg imellom.

Faktisk, hvis vi antar det EN Og B skjæres på et tidspunkt M, så ville to forskjellige rette linjer passere gjennom dette punktet, parallelt MED, som er umulig.

Teorem.

Hvis linjen er vinkelrett til en av de parallelle linjene, så er den vinkelrett på den andre parallell.

La AB || MEDD Og E.F. ^ AB.Det kreves for å bevise det E.F. ^ MEDD.

VinkelrettEF, krysser med AB, vil sikkert krysse og MEDD. La skjæringspunktet være H.

La oss nå anta det MEDD ikke vinkelrett på E.H.. Så en annen rett linje, for eksempel H.K., vil være vinkelrett på E.H. og derfor gjennom samme punkt H det blir to rett parallell AB: en MEDD, etter tilstand, og den andre H.K. som tidligere bevist. Siden dette er umulig, kan det ikke antas at NE var ikke vinkelrett på E.H..

Konseptet med parallelle linjer

Definisjon 1

Parallelle linjer– rette linjer som ligger i samme plan faller ikke sammen og har ikke felles punkter.

Hvis rette linjer har et felles punkt, så er de krysse.

Hvis alle punktene er rette kamp, så har vi i hovedsak én rett linje.

Hvis linjene ligger i forskjellige plan, er betingelsene for deres parallellitet noe større.

Når man vurderer rette linjer på samme plan, kan følgende definisjon gis:

Definisjon 2

To rette linjer i et plan kalles parallell, hvis de ikke krysser hverandre.

I matematikk er parallelle linjer vanligvis betegnet med parallellitetstegnet "$\parallel$". For eksempel er det faktum at linjen $c$ er parallell med linjen $d$ angitt som følger:

$c\parallell d$.

Konseptet med parallelle segmenter blir ofte vurdert.

Definisjon 3

De to segmentene kalles parallell, hvis de ligger på parallelle linjer.

For eksempel, i figuren er segmentene $AB$ og $CD$ parallelle, fordi de tilhører parallelle linjer:

$AB \parallell CD$.

Samtidig er ikke segmentene $MN$ og $AB$ eller $MN$ og $CD$ parallelle. Dette faktum kan skrives ved hjelp av symboler som følger:

$MN ∦ AB$ og $MN ∦ CD$.

Parallellen til en rett linje og et segment, en rett linje og en stråle, et segment og en stråle, eller to stråler, bestemmes på lignende måte.

Historisk referanse

Fra gresk er begrepet "parallelos" oversatt som "kommer ved siden av" eller "båret ved siden av hverandre." Dette begrepet ble brukt i gammel skole Pythagoras allerede før parallelle linjer ble definert. I følge historiske fakta Euklid i $III$ århundre. f.Kr. hans arbeider avslørte likevel betydningen av begrepet parallelle linjer.

I antikken hadde symbolet for å betegne parallelle linjer et annet utseende enn det vi bruker i moderne matematikk. For eksempel den gamle greske matematikeren Pappus i $III$ århundre. AD parallellitet ble indikert med et likhetstegn. De. det faktum at linjen $l$ er parallell med linjen $m$ ble tidligere betegnet med "$l=m$". Senere begynte det velkjente "$\parallel$"-tegnet å bli brukt for å betegne parallelliteten til linjer, og likhetstegnet begynte å bli brukt for å betegne likheten mellom tall og uttrykk.

Parallelle linjer i livet

Vi legger ofte ikke merke til det som omgir oss i hverdagen. stort antall parallelle linjer. For eksempel, i en musikkbok og en samling sanger med noter, er staven laget ved hjelp av parallelle linjer. Parallelle linjer finnes også i musikkinstrumenter(for eksempel harpestrenger, gitarstrenger, pianotangenter osv.).

Elektriske ledninger som er plassert langs gater og veier går også parallelt. Metro linje skinner og jernbaner er plassert parallelt.

I tillegg til hverdagen kan parallelle linjer finnes i maleriet, i arkitekturen og i konstruksjonen av bygninger.

Parallelle linjer i arkitektur

I de presenterte bildene inneholder arkitektoniske strukturer parallelle linjer. Bruken av parallelle linjer i konstruksjon bidrar til å øke levetiden til slike strukturer og gir dem ekstraordinær skjønnhet, attraktivitet og storhet. Kraftledninger føres også bevisst parallelt for å unngå å krysse eller berøre dem, noe som vil føre til kortslutninger, strømbrudd og tap av elektrisitet. For at toget skal kunne bevege seg fritt, er skinnene også laget i parallelle linjer.

I maleri er parallelle linjer avbildet som konvergerende til en linje eller nær den. Denne teknikken kalles perspektiv, som følger av illusjonen om syn. Hvis du ser på avstanden lenge, vil parallelle rette linjer se ut som to konvergerende linjer.

Denne artikkelen handler om parallelle linjer og parallelle linjer. Først gis definisjonen av parallelle linjer på et plan og i rommet, notasjoner introduseres, eksempler og grafiske illustrasjoner av parallelle linjer gis. Deretter diskuteres tegnene og betingelsene for parallellitet av linjer. Avslutningsvis vises løsninger på typiske problemer med å bevise parallelliteten til linjer, som er gitt av visse ligninger av en linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan og i tredimensjonalt rom.

Sidenavigering.

Parallelle linjer - grunnleggende informasjon.

Definisjon.

To linjer i et plan kalles parallell, hvis de ikke har felles punkter.

Definisjon.

To linjer i tredimensjonalt rom kalles parallell, hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Vær oppmerksom på at klausulen "hvis de ligger i samme plan" i definisjonen av parallelle linjer i rommet er veldig viktig. La oss avklare dette punktet: to linjer i tredimensjonalt rom som ikke har felles punkter og ikke ligger i samme plan er ikke parallelle, men krysser hverandre.

Her er noen eksempler på parallelle linjer. Motsatte kanter notatbokark ligge på parallelle linjer. De rette linjene som husets veggplan skjærer planene til taket og gulvet er parallelle. Jernbaneskinner på jevn mark kan også betraktes som parallelle linjer.

For å angi parallelle linjer, bruk symbolet "". Det vil si at hvis linjene a og b er parallelle, kan vi kort skrive a b.

Vær oppmerksom på: hvis linjene a og b er parallelle, kan vi si at linje a er parallell med linje b, og også at linje b er parallell med linje a.

La oss gi uttrykk for en uttalelse som spiller en viktig rolle i studiet av parallelle linjer på et plan: gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, passerer den eneste rette linjen parallelt med den gitte. Dette utsagnet er akseptert som et faktum (det kan ikke bevises på grunnlag av de kjente planimetriaksiomene), og det kalles aksiomet for parallelle linjer.

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet er lett bevist ved å bruke aksiomet ovenfor for parallelle linjer (du kan finne beviset i geometrilæreboken for klasse 10-11, som er oppført på slutten av artikkelen i referanselisten).

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet kan enkelt bevises ved å bruke ovennevnte parallelllinjeaksiom.

Parallellisme av linjer - tegn og betingelser for parallellitet.

Et tegn på parallellitet av linjer er en tilstrekkelig betingelse for at linjene skal være parallelle, det vil si en betingelse hvis oppfyllelse garanterer at linjene er parallelle. Med andre ord er oppfyllelsen av denne betingelsen tilstrekkelig til å fastslå at linjene er parallelle.

Det er også nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelliteten til linjer på et plan og i tredimensjonalt rom.

La oss forklare betydningen av uttrykket "nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallelle linjer."

Vi har allerede behandlet den tilstrekkelige betingelsen for parallelle linjer. Og hva er " nødvendig tilstand parallellitet av linjer"? Fra navnet "nødvendig" er det klart at oppfyllelsen av denne betingelsen er nødvendig for parallelle linjer. Med andre ord, hvis den nødvendige betingelsen for parallelle linjer ikke er oppfylt, er ikke linjene parallelle. Dermed, nødvendig og tilstrekkelig forutsetning for parallelle linjer er en betingelse hvis oppfyllelse er både nødvendig og tilstrekkelig for parallelle linjer. Det vil si at på den ene siden er dette et tegn på parallellitet av linjer, og på den andre siden er dette en egenskap som parallelle linjer har.

Før du formulerer en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av linjer, er det tilrådelig å huske flere hjelpedefinisjoner.

Sekantlinje er en linje som skjærer hver av to gitte ikke-sammenfallende linjer.

Når to rette linjer krysser en tverrgående, dannes åtte uutviklede. Den såkalte liggende på tvers, tilsvarende Og ensidige vinkler. La oss vise dem på tegningen.

Teorem.

Hvis to rette linjer i et plan skjæres av en tverrgående, er det nødvendig og tilstrekkelig for at de skal være parallelle at vinklene som skjærer er like, eller at de tilsvarende vinklene er like, eller summen av ensidige vinkler er lik 180 grader.

La oss vise en grafisk illustrasjon av denne nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan.

Du kan finne bevis på disse forholdene for parallelliteten til linjer i geometri lærebøker for klasse 7-9.

Merk at disse forholdene også kan brukes i tredimensjonalt rom - hovedsaken er at de to rette linjene og sekanten ligger i samme plan.

Her er noen flere teoremer som ofte brukes for å bevise parallelliteten til linjer.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet følger av aksiomet for parallelle linjer.

Det er en lignende tilstand for parallelle linjer i tredimensjonalt rom.

Teorem.

Hvis to linjer i rommet er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet diskuteres i geometritimene på 10. trinn.

La oss illustrere de angitte teoremene.

La oss presentere et annet teorem som lar oss bevise parallelliteten til linjer på et plan.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er vinkelrett på en tredje linje, så er de parallelle.

Det er et lignende teorem for linjer i rommet.

Teorem.

Hvis to linjer i tredimensjonalt rom er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.

La oss tegne bilder som tilsvarer disse teoremene.

Alle teoremene, kriteriene og nødvendige og tilstrekkelige betingelser formulert ovenfor er utmerket for å bevise parallelliteten til linjer ved hjelp av geometrimetoder. Det vil si at for å bevise parallelliteten til to gitte linjer, må du vise at de er parallelle med en tredje linje, eller vise likheten mellom liggende vinkler på tvers, etc. Mange lignende problemer løses i geometritimer i videregående skole. Det skal imidlertid bemerkes at det i mange tilfeller er praktisk å bruke koordinatmetoden for å bevise parallelliteten til linjer på et plan eller i tredimensjonalt rom. La oss formulere de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten til linjer som er spesifisert i et rektangulært koordinatsystem.

Parallellisme av linjer i et rektangulært koordinatsystem.

I dette avsnittet av artikkelen vil vi formulere nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelle linjer i et rektangulært koordinatsystem, avhengig av typen ligninger som definerer disse rette linjene, og vi presenterer også detaljerte løsninger karakteristiske oppgaver.

La oss starte med betingelsen om parallellitet til to linjer på et plan i det rektangulære koordinatsystemet Oxy. Hans bevis er basert på definisjonen av retningsvektoren til en linje og definisjonen av normalvektoren til en linje på et plan.

Teorem.

For at to ikke-sammenfallende linjer skal være parallelle i et plan, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til disse linjene er kollineære, eller normalvektorene til disse linjene er kollineære, eller retningsvektoren til en linje er vinkelrett på normalen. vektor for den andre linjen.

Åpenbart er tilstanden for parallellitet til to linjer på et plan redusert til (retningsvektorer av linjer eller normale vektorer av linjer) eller til (retningsvektor for en linje og normalvektor til den andre linjen). Således, hvis og er retningsvektorer for linjene a og b, og Og er normalvektorer av henholdsvis linje a og b, vil den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjene a og b skrives som , eller , eller , hvor t er et reelt tall. I sin tur blir koordinatene til hjelpelinjene og (eller) normalvektorene til rette linjer a og b funnet av kjente ligninger rett

Spesielt hvis rett linje a i det rektangulære koordinatsystemet Oxy på planet definerer en generell rettlinjeligning av formen , og rett linje b - , da har normalvektorene til disse linjene henholdsvis koordinater og, og betingelsen for parallellitet til linjene a og b vil bli skrevet som .

Hvis linje a tilsvarer ligningen til en linje med en vinkelkoeffisient av formen, og linje b-, så har normalvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet til disse linjene har formen . Følgelig, hvis linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er parallelle og kan spesifiseres ved likninger av linjer med vinkelkoeffisienter, da helningskoeffisienter rette linjer vil være like. Og omvendt: hvis ikke-sammenfallende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem kan spesifiseres ved likninger av en linje med like vinkelkoeffisienter, så er slike linjer parallelle.

Hvis en linje a og en linje b i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av de kanoniske ligningene til en linje på et plan av formen Og , eller parametriske ligninger av en rett linje på et plan av formen Og følgelig har retningsvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet av linjene a og b er skrevet som .

La oss se på løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Er linjene parallelle? Og ?

Løsning.

La oss omskrive ligningen til en rett linje i segmenter i formen generell ligning rett: . Nå kan vi se at det er normalvektoren til linjen , a er normalvektoren til linjen. Disse vektorene er ikke kollineære, siden det ikke er noe reelt tall t som likheten ( ). Følgelig er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan ikke oppfylt, derfor er de gitte linjene ikke parallelle.

Svar:

Nei, linjene er ikke parallelle.

Eksempel.

Er rette linjer og parallelle?

Løsning.

La oss gi kanonisk ligning rett linje til ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient: . Åpenbart er likningene til linjene og ikke de samme (i dette tilfellet vil de gitte linjene være de samme) og vinkelkoeffisientene til linjene er like, derfor er de opprinnelige linjene parallelle.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller ta kontakt med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.