Enten tvangsvibrasjoner. Omdannelse av energi under oscillerende bevegelse

1. La oss finne ut hvilke energitransformasjoner som skjer under oscillasjoner av en fjærpendel (se fig. 80). Når fjæren er strukket, den potensiell energiøker og ved maksimal strekking har en verdi E n = .

Når lasten beveger seg mot likevektsposisjonen, avtar den potensielle energien til fjæren, og den kinetiske energien til lasten øker. I likevektsposisjonen er den kinetiske energien til lasten maksimal E k = , og den potensielle energien til fjæren er null.

Når en fjær komprimeres, øker dens potensielle energi og den kinetiske energien til lasten avtar. Ved maksimal kompresjon er den potensielle energien til fjæren maksimal, og den kinetiske energien til lasten er null.

Hvis vi neglisjerer friksjonskraften, vil summen av potensial og til enhver tid kinetisk energi forblir uendret

E = E n + E k = konst.

I nærvær av en friksjonskraft brukes energi på å arbeide mot denne kraften, amplituden til svingningene avtar og svingningene dør ut.

Dermed er de frie oscillasjonene til pendelen, som oppstår på grunn av den innledende tilførselen av energi, alltid falmer.

2. Spørsmålet oppstår hva som må til for at svingningene ikke stopper over tid. For å oppnå udempede svingninger er det åpenbart nødvendig å kompensere for energitap. Det kan gjøres forskjellige måter. La oss vurdere en av dem.

Du vet godt at vibrasjonene til en huske ikke vil dø ut hvis du hele tiden skyver den, det vil si handler på den med en viss kraft. I dette tilfellet er vibrasjonene til svingen ikke lenger frie, de vil oppstå under påvirkning av en ekstern kraft. Arbeidet til denne ytre kraften fyller nøyaktig på energitapet forårsaket av friksjon.

La oss finne ut hva den ytre kraften skal være? La oss anta at kraftens størrelse og retning er konstant. Åpenbart vil svingningene i dette tilfellet stoppe, fordi kroppen, etter å ha passert likevektsposisjonen, ikke vil gå tilbake til den. Derfor må størrelsen og retningen til den ytre kraften endres med jevne mellomrom.

Dermed,

tvangssvingninger er svingninger som oppstår under påvirkning av en ekstern, periodisk skiftende kraft.

Tvungede vibrasjoner, i motsetning til frie, kan forekomme ved hvilken som helst frekvens. Frekvensen av tvangssvingninger er lik frekvensen av endring av kraften som virker på kroppen, i dette tilfellet kalles det tvinge.

3. La oss gjøre et eksperiment. La oss henge flere pendler fra et tau festet i stativene forskjellige lengder(Fig. 82). La oss avlede pendelen EN fra likevektsposisjonen og overlate det til seg selv. Det vil oscillere fritt, og virker med en viss periodisk kraft på tauet. Tauet vil på sin side virke på de gjenværende pendlene. Som et resultat vil alle pendler begynne å utføre tvangssvingninger med frekvensen av svingninger til pendelen EN.

Vi vil se at alle pendelene vil begynne å oscillere med en frekvens som er lik frekvensen til pendelens svingninger EN. Imidlertid deres amplitude av svingninger, bortsett fra pendelen C, vil være mindre enn amplituden til pendelsvingningene EN. Pendelen C, hvis lengde er lik lengden på pendelen EN, vil svinge veldig sterkt. Følgelig har pendelen den største oscillasjonsamplituden, hvis egenfrekvens av oscillasjoner sammenfaller med frekvensen til drivkraften. I dette tilfellet sier de at det er observert resonans.

Resonans er fenomenet med en kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger når frekvensen til drivkraften faller sammen med den naturlige frekvensen til oscillerende systemet (pendelen).

Resonans kan observeres når svingen svinger. Nå kan du forklare at husken vil svinge sterkere hvis den skyves i takt med sine egne vibrasjoner. I dette tilfellet er frekvensen til den ytre kraften lik svingningsfrekvensen til svingen. Ethvert trykk mot bevegelsen til husken vil føre til en reduksjon i amplituden.

4 * . La oss finne ut hvilke energitransformasjoner som skjer under resonans.

Hvis frekvensen til drivkraften er forskjellig fra den naturlige vibrasjonsfrekvensen til kroppen, vil drivkraften rettes enten i kroppens bevegelsesretning eller mot den. Følgelig vil arbeidet til denne kraften enten være negativt eller positivt. Generelt endrer arbeidet til drivkraften i dette tilfellet litt energien til systemet.

La nå frekvensen til den ytre kraften være lik den naturlige frekvensen til kroppens svingninger. I dette tilfellet faller retningen til drivkraften sammen med retningen til kroppens hastighet, og motstandskraften kompenseres av en ytre kraft. Kroppen vibrerer bare under påvirkning av indre krefter. Det negative arbeidet mot motstandskraften er med andre ord lik det positive arbeidet til den ytre kraften. Derfor oppstår oscillasjoner med maksimal amplitude.

5. Fenomenet resonans må tas i betraktning i praksis. Spesielt verktøymaskiner og maskiner utsettes for små vibrasjoner under drift. Hvis frekvensen av disse vibrasjonene faller sammen med den naturlige frekvensen til individuelle deler av maskinene, kan amplituden til vibrasjonene være veldig stor. Maskinen eller støtten den står på vil kollapse.

Det er kjente tilfeller der et fly på grunn av resonans falt fra hverandre i luften, propellene til skip gikk i stykker og jernbaneskinner kollapset.

Resonans kan forhindres ved å endre enten den naturlige frekvensen til systemet eller frekvensen til kraften som forårsaker svingningene. For dette formålet går for eksempel ikke soldater som krysser en bro i takt, men i fritt tempo. Ellers kan frekvensen av trinnene deres falle sammen med den naturlige frekvensen til broen, og den vil kollapse. Dette skjedde i 1750 i Frankrike, da en avdeling av soldater passerte over en 102 m lang bro hengende på lenker. En lignende hendelse skjedde i St. Petersburg i 1906. Da en kavaleriskvadron krysset den egyptiske broen over Fontanka-elven, falt frekvensen av hestenes klare skritt sammen med vibrasjonsfrekvensen til broen.

For å hindre resonans krysser tog broer i lav eller svært høy hastighet slik at frekvensen av hjulpåvirkninger på skinneskjøtene er betydelig mindre eller betydelig større enn broens egenfrekvens.

Fenomenet resonans er ikke alltid skadelig. Noen ganger kan det være nyttig fordi det lar deg bli jevn liten kraft en stor økning i amplituden til oscillasjoner.

Handlingen til en enhet som lar deg måle frekvensen av svingninger er basert på fenomenet resonans. Denne enheten kalles frekvensmåler. Arbeidet hans kan illustreres ved følgende eksperiment. En frekvensmålermodell er festet til sentrifugalmaskinen, som består av et sett med plater (tunger) av forskjellige lengder (fig. 83). I endene av platene er det blikkflagg belagt med hvit maling. Du kan legge merke til at når du endrer rotasjonshastigheten til maskinhåndtaket, begynner forskjellige plater å vibrere. De platene hvis egenfrekvens er lik rotasjonsfrekvensen begynner å vibrere.

Selvtest spørsmål

1. Hva bestemmer amplituden til frie oscillasjoner til en fjærpendel?

2. Forblir amplituden til en pendels oscillasjoner konstant i nærvær av friksjonskrefter?

3. Hvilke energitransformasjoner skjer når en fjærpendel svinger?

4. Hvorfor dempes frie oscillasjoner?

5. Hvilke vibrasjoner kalles tvungne? Gi eksempler på tvangssvingninger.

6. Hva er resonans?

7. Gi eksempler på skadelige manifestasjoner av resonans. Hva må gjøres for å forhindre resonans?

8. Gi eksempler på bruk av resonansfenomenet.

Oppgave 26

1. Fyll ut tabell 14, skriv ned hvilken kraft som virker på oscilleringssystemet hvis det utfører frie eller tvungne svingninger; hva er frekvensen og amplituden til disse svingningene; enten de er dempet eller ikke.

Tabell 14

Oscillasjonsegenskaper	Type vibrasjoner
	Tilgjengelig	Tvunget
Fungerende kraft
Frekvens
Amplitude
Demping

2 e.Foreslå et eksperiment for å observere tvangssvingninger.

3 e.Studer eksperimentelt fenomenet resonans ved å bruke matematiske pendler du har laget.

4. Ved en viss rotasjonshastighet på symaskinhjulet, svaier bordet som det står på noen ganger sterkt. Hvorfor?

I motsetning til frie oscillasjoner, når systemet mottar bare én gang (når systemet fjernes fra), i tilfelle av tvangssvingninger, absorberer systemet denne energien fra en kilde til ekstern periodisk kraft kontinuerlig. Denne energien fyller opp tapene brukt på å overvinne, og derfor forblir det totale nei fortsatt uendret.

Tvungede vibrasjoner, i motsetning til frie, kan forekomme ved hvilken som helst frekvens. faller sammen med frekvensen til den ytre kraften som virker på oscillerende systemet. Dermed bestemmes frekvensen av tvungne oscillasjoner ikke av egenskapene til selve systemet, men av frekvensen ytre påvirkning.

Eksempler på tvungne vibrasjoner er vibrasjoner av en barnehuske, vibrasjoner av en nål inn symaskin, et stempel i en bilmotorsylinder, fjærer til en bil som beveger seg på en røff vei, etc.

Resonans

DEFINISJON

Resonans– dette er fenomenet med en kraftig økning i tvangssvingninger når frekvensen til drivkraften nærmer seg den naturlige frekvensen til oscillerende systemet.

Resonans oppstår på grunn av det faktum at når en ytre kraft, som virker i takt med frie vibrasjoner, alltid har samme retning fra den oscillerende kroppen og gjør positivt arbeid: energien til den oscillerende kroppen øker og blir stor. Hvis en ekstern kraft virker "utakt", så utfører denne kraften vekselvis negativt og positivt arbeid, og som et resultat endres energien til systemet litt.

Figur 1 viser avhengigheten av amplituden til tvungne oscillasjoner av frekvensen til drivkraften. Det kan sees at denne amplituden når et maksimum ved en viss frekvensverdi, dvs. at , hvor er den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet. Kurvene 1 og 2 er forskjellige i størrelsen på friksjonskraften. Ved lav friksjon (kurve 1) har resonanskurven et skarpt maksimum, kl større styrke friksjon (kurve 2) det er ikke noe så skarpt maksimum.

Vi møter ofte fenomenet resonans i Hverdagen. Hvis vinduene i rommet begynte å riste når en tung lastebil passerte langs gaten, betyr dette at den naturlige vibrasjonsfrekvensen til glasset er lik vibrasjonsfrekvensen til bilen. Hvis havets bølger faller i resonans med skipets periode, blir bevegelsen spesielt sterk.

Fenomenet resonans må tas i betraktning ved prosjektering av broer, bygninger og andre konstruksjoner som opplever vibrasjoner under belastning, ellers kan disse konstruksjonene under visse forhold bli ødelagt. Imidlertid kan resonans også være fordelaktig. Fenomenet resonans brukes når man stiller inn en radiomottaker til en spesifikk kringkastingsfrekvens, så vel som i mange andre tilfeller.

Eksempler på problemløsning

EKSEMPEL 1

Trening	Enden av fjæren til en horisontal pendel, hvis belastning har en masse på 1 kg, påvirkes av en variabel kraft hvis oscillasjonsfrekvens er 16 Hz. Vil resonans bli observert hvis fjærstivheten er 400 N/m?
Løsning	La oss bestemme den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet ved å bruke formelen: Hz Siden frekvensen til den ytre kraften ikke er lik den naturlige frekvensen til systemet, vil ikke fenomenet resonans bli observert.
Svar	Fenomenet resonans vil ikke bli observert.

EKSEMPEL 2

Trening	En liten ball er hengt opp på en 1 m lang tråd fra taket på en vogn. Ved hvilken hastighet på bilen vil ballen vibrere spesielt kraftig under påvirkning av hjulene som treffer skinneskjøtene? Skinnelengde 12,5 m.
Løsning	Kulen utfører tvangssvingninger med en frekvens lik frekvensen av støt fra hjulene på skinneskjøtene: Hvis dimensjonene til ballen er små sammenlignet med lengden på tråden, kan systemet anses å ha en naturlig svingningsfrekvens: amplituden til tvungne udempede svingninger er maksimal ved resonans, dvs. Når . Dermed kan vi skrive:

Tvungede vibrasjoner

vibrasjoner som oppstår i ethvert system under påvirkning av en variabel ytre kraft (for eksempel vibrasjoner av en telefonmembran under påvirkning av en vekslende magnetfelt, vibrasjoner av en mekanisk struktur under påvirkning av en variabel belastning, etc.). Naturen til et militært system bestemmes både av naturen til den ytre kraften og av egenskapene til selve systemet. I begynnelsen av virkningen av en periodisk ytre kraft, endres arten av V. c. med tiden (spesielt V. c. er ikke periodisk), og først etter en viss tid periodisk V. c system med en periode lik perioden for den ytre kraften (steady-state VC.). Etableringen av en spenning i et oscillerende system skjer jo raskere, desto større demping av oscillasjoner i dette systemet.

Spesielt i lineære oscillerende systemer (se oscillerende systemer), når en ekstern kraft slås på, oppstår frie (eller naturlige) oscillasjoner og oscillasjoner samtidig i systemet, og amplitudene til disse oscillasjonene i det første øyeblikket er like, og fasene er motsatte ( ris. ). Etter den gradvise dempingen av frie svingninger er det bare stabile svingninger igjen i systemet.

Amplituden til VK bestemmes av amplituden handlekraft og demping i systemet. Hvis dempningen er liten, avhenger amplituden til spenningsbølgen betydelig av forholdet mellom frekvensen til den virkende kraften og frekvensen av naturlige oscillasjoner i systemet. Når frekvensen til den ytre kraften nærmer seg den naturlige frekvensen til systemet, øker amplituden til VK kraftig - resonans oppstår. I ikke-lineære systemer (Se ikke-lineære systemer) er inndelingen i fri og VK ikke alltid mulig.

Litt.: Khaikin S.E., Fysisk grunnleggende mekanikk, M., 1963.

Stor sovjetisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. 1969-1978 .

Se hva "Tvangssvingninger" er i andre ordbøker:

Tvungede vibrasjoner- Tvangsvibrasjoner. Avhengighet av deres amplitude på frekvensen av ytre påvirkning ved forskjellig dempning: 1 svak demping; 2 sterk demping; 3 kritisk dempning. FORSERT VIBRASJON, svingninger som oppstår i ethvert system i... ... Illustrert encyklopedisk ordbok

tvangssvingninger- Oscillasjoner som skjer under periodisk påvirkning av en ekstern generalisert kraft. [Ikke-destruktivt testsystem. Typer (metoder) og teknologi for ikke-destruktiv testing. Begreper og definisjoner (oppslagsbok). Moskva 2003] tvunget... ... Teknisk oversetterveiledning

Tvangssvingninger er svingninger som oppstår under påvirkning av ytre krefter som endres over tid. Selvsvingninger skiller seg fra tvangssvingninger ved at sistnevnte er forårsaket av periodiske ytre påvirkninger og oppstår med frekvensen av denne ... Wikipedia

FORSERT VIBRASJON, vibrasjoner som oppstår i ethvert system som følge av periodisk skiftende ytre påvirkninger: krefter i mekanisk system, spenning eller strøm i oscillerende krets. Tvangssvingninger oppstår alltid med... ... Moderne leksikon

Oscillasjoner som oppstår i den kosmiske l. system under påvirkning av periodisk ext. krefter (for eksempel vibrasjoner av telefonmembranen under påvirkning av et vekslende magnetfelt, vibrasjoner av en mekanisk struktur under påvirkning av en vekslende belastning). Har r V. k er definert som ekstern. med makt... Fysisk leksikon

Oscillasjoner som oppstår i den kosmiske l. system under påvirkning av alternerende ext. påvirkninger (for eksempel svingninger i spenning og strøm i en elektrisk krets forårsaket av vekslende emk; vibrasjoner i et mekanisk system forårsaket av vekslende belastning). Karakteren til V. K. bestemmes av... ... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

De oppstår i et system under påvirkning av periodiske ytre påvirkninger (for eksempel tvangssvingninger av en pendel under påvirkning av en periodisk kraft, tvangssvingninger i en oscillerende krets under påvirkning av en periodisk elektromotorisk kraft). Hvis … … Stor encyklopedisk ordbok

Tvungede vibrasjoner- (vibrasjon) – oscillasjoner (vibrasjoner) av systemet forårsaket og støttet av kraft og (eller) kinematisk eksitasjon. [GOST 24346 80] Tvangsvibrasjoner er vibrasjoner i systemer forårsaket av virkningen av tidsvarierende belastninger. [Bransje ... ... Leksikon med begreper, definisjoner og forklaringer byggematerialer

- (Begrensede vibrasjoner, tvungne vibrasjoner) vibrasjoner av kroppen forårsaket av en periodisk virkende ytre kraft. Hvis perioden med tvangssvingninger faller sammen med perioden med naturlige svingninger i kroppen, oppstår fenomenet resonans. Samoilov K.I.... ...Marine Ordbok

TVUNGTE VIBRASJONER- (se), som oppstår i ethvert system under påvirkning av ekstern variabel påvirkning; deres karakter bestemmes både av egenskapene til den ytre påvirkningen og av egenskapene til selve systemet. Når frekvensen av ytre påvirkning nærmer seg frekvensen av naturlig... Big Polytechnic Encyclopedia

De oppstår i et system under påvirkning av periodiske ytre påvirkninger (for eksempel tvangssvingninger av en pendel under påvirkning av en periodisk kraft, tvangssvingninger i en oscillerende krets under påvirkning av en periodisk emk). Hvis frekvensen... ... encyklopedisk ordbok

Bøker

• Tvangsvibrasjoner av akseltorsjon når det tas hensyn til demping, A.P. Filippov, gjengitt i den originale forfatterens skrivemåte fra 1934-utgaven (forlaget Izvestia fra USSR Academy of Sciences). I… Kategori: Matematikk Utgiver: YOYO Media, Produsent: Yoyo Media,
• Tvunget tverrvibrasjon av stenger tatt i betraktning demping, A.P. Filippov, Gjengitt i den originale forfatterens skrivemåte fra 1935-utgaven (forlaget "Izvestia of the USSR Academy of Sciences")... Kategori:

Tap av mekanisk energi i ethvert oscillerende system på grunn av tilstedeværelsen av friksjonskrefter er uunngåelig, derfor, uten å "pumpe" energi fra utsiden, vil oscillasjonene bli dempet. Det er flere fundamentalt forskjellige måter å lage oscillerende systemer med kontinuerlige oscillasjoner. La oss se nærmere på udempede oscillasjoner under påvirkning av en ekstern periodisk kraft. Slike svingninger kalles tvunget. La oss fortsette å studere bevegelsen til en harmonisk pendel (fig. 6.9). 

I tillegg til de tidligere diskuterte kreftene elastisitet og viskøs friksjon, påvirkes ballen av en ekstern  overbevisende periodisk kraft som varierer i henhold til en harmonisk lov

frekvens, som kan avvike fra den naturlige svingningsfrekvensen til pendelen ω o. Naturen til denne kraften i dette tilfellet er ikke viktig for oss. En slik kraft kan skapes på ulike måter, for eksempel ved å gi en elektrisk ladning til ballen og plassere den i et eksternt vekslende elektrisk felt. Bevegelsesligningen til ballen i det aktuelle tilfellet har formen

La oss dele det med massen til ballen og bruke forrige notasjon for systemparametrene. Som et resultat får vi  tvungen oscillasjonsligning:

Hvor f o = F o /m− forholdet mellom amplitudeverdien til den ytre drivkraften og massen til ballen. Den generelle løsningen av ligning (3) er ganske tungvint og avhenger selvfølgelig av startforholdene. Naturen til ballens bevegelse, beskrevet av ligning (3), er klar: under påvirkning av drivkraften vil det oppstå svingninger, hvis amplitude vil øke. Dette overgangsregimet er ganske komplekst og avhenger av startforholdene. Etter en viss tidsperiode vil oscillerende modus bli etablert og amplituden deres vil slutte å endre seg. Nøyaktig stabil oscillasjonstilstand, er i mange tilfeller av primær interesse. Vi vil ikke vurdere overgangen til systemet til en stabil tilstand, men vil fokusere på å beskrive og studere egenskapene til denne modusen. Med denne formuleringen av problemet er det ikke nødvendig å spesifisere startbetingelser, siden den stabile tilstanden vi er interessert i ikke avhenger av startforholdene, dens egenskaper bestemmes fullstendig av selve ligningen. Vi møtte en lignende situasjon når vi studerte bevegelsen til en kropp under påvirkning av en konstant ytre kraft og kraften til viskøs friksjon 

Etter en tid beveger kroppen seg med en konstant jevn hastighet  v = F o /β , som ikke er avhengig av startforholdene og er fullstendig bestemt av bevegelsesligningen. Innledende forhold bestemme modusen overgang til jevn bevegelse. Basert på sunn fornuft er det rimelig å anta at i en jevn svingemodus vil ballen oscillere med frekvensen til den ytre drivkraften. Derfor bør løsningen på ligning (3) søkes i en harmonisk funksjon med frekvensen til drivkraften. Først, la oss løse ligning (3) og neglisjere motstandskraften

La oss prøve å finne løsningen i form av en harmonisk funksjon

For å gjøre dette, beregner vi avhengigheten av kroppens hastighet og akselerasjon på tid, som derivater av bevegelsesloven 

og erstatte deres verdier i ligning (4)

Nå kan du redusere den med  kostnadsωt. Følgelig blir dette uttrykket til den korrekte identiteten til enhver tid, med forbehold om oppfyllelse av betingelsen

Dermed ble vår antagelse om løsningen av ligning (4) i form (5)  begrunnet: stabil tilstand av svingninger er beskrevet av funksjonen

Merk at koeffisienten EN i henhold til det resulterende uttrykket (6) kan enten være positivt (med ω < ω o), og negativ (med ω > ω o). Endringen i fortegn tilsvarer en endring i fasen av svingninger med π (årsaken til denne endringen vil bli avklart litt senere), derfor er amplituden til oscillasjonene modulen til denne koeffisienten |A|. Amplituden til steady-state oscillasjonene, som man kunne forvente, er proporsjonal med størrelsen på drivkraften. I tillegg avhenger denne amplituden på en kompleks måte av frekvensen til drivkraften. En skjematisk graf av dette forholdet er vist i fig. 6.10

Ris. 6.10 Resonanskurve

Som følger av formel (6) og er godt synlig på grafen, når frekvensen til drivkraften nærmer seg den naturlige frekvensen til systemet, øker amplituden kraftig. Årsaken til denne økningen i amplitude er klar: drivkraften "under" skyver ballen, når frekvensene faller helt sammen, er den etablerte modusen fraværende - amplituden øker til uendelig. Selvfølgelig er det i praksis umulig å observere en så uendelig økning: for det første, kan dette føre til ødeleggelse av selve oscillerende systemet, for det andre, ved store oscillasjonsamplituder kan ikke motstandskreftene til mediet neglisjeres.   En kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger når frekvensen til drivkraften nærmer seg den naturlige frekvensen av oscillasjoner i systemet kalles fenomenet resonans. La oss nå gå videre til søket etter en løsning på ligningen for tvangssvingninger som tar hensyn til motstandskraften 

Naturligvis bør løsningen også i dette tilfellet søkes i form av en harmonisk funksjon med frekvensen til drivkraften. Det er lett å se at å søke etter en løsning i form (5) i dette tilfellet ikke vil føre til suksess. Faktisk inneholder ligning (8), i motsetning til ligning (4), partikkelhastigheten, som er beskrevet av sinusfunksjonen. Derfor vil ikke tidsdelen i ligning (8) reduseres. Derfor bør løsningen til ligning (8) representeres i den generelle formen av en harmonisk funksjon

der det er to parametere EN o Og φ må finnes ved hjelp av ligning (8). Parameter EN o er amplituden til tvungne oscillasjoner, φ − faseskift mellom en skiftende koordinat og en variabel drivkraft. Ved å bruke den trigonometriske formelen for cosinus til summen, kan funksjon (9) representeres i ekvivalent form

som også inneholder to parametere B=A o cosφ Og C = −A o sinφå være bestemt. Ved å bruke funksjon (10) skriver vi eksplisitte uttrykk for avhengighetene av hastigheten og akselerasjonen til en partikkel på tid

og bytt inn i ligning (8):

La oss omskrive dette uttrykket i formen 

For at likhet (13) skal tilfredsstilles til enhver tid, er det nødvendig at koeffisientene til cosinus og sinus er lik null. Basert på denne betingelsen får vi to lineære ligninger for å bestemme funksjonsparametrene (10):

Løsningen til dette ligningssystemet har formen 

Basert på formel (10), bestemmer vi egenskapene til tvungne oscillasjoner: amplitude 

faseendring

Ved lav demping har denne avhengigheten et skarpt maksimum når drivkraftfrekvensen nærmer seg ω til systemets naturlige frekvens ω o. Dermed kan det i dette tilfellet også forekomme resonans, og det er derfor de plottede avhengighetene ofte kalles en resonanskurve. Å ta hensyn til svak dempning viser at amplituden ikke øker til uendelig, dens maksimale verdi avhenger av dempningskoeffisienten - når sistnevnte øker, reduseres den maksimale amplituden raskt. Den oppnådde avhengigheten av oscillasjonsamplituden av frekvensen til drivkraften (16) inneholder for mange uavhengige parametere (  f o , ω o , γ ) for å konstruere en komplett familie av resonanskurver. Som i mange tilfeller kan dette forholdet forenkles betydelig ved å gå over til "dimensjonsløse" variabler. La oss transformere formel (16) til følgende form

og betegne

− relativ frekvens (forholdet mellom frekvensen til drivkraften og den naturlige frekvensen av oscillasjoner i systemet);

− relativ amplitude (forholdet mellom oscillasjonsamplituden og avviksverdien EN o = f/ω o 2 ved null frekvens);

− dimensjonsløs parameter som bestemmer mengden av demping. Ved å bruke disse notasjonene er funksjon (16) betydelig forenklet

siden den inneholder bare én parameter − δ . En én-parameter familie av resonanskurver beskrevet av funksjon (16 b) kan konstrueres, spesielt enkelt ved å bruke en datamaskin. Resultatet av denne konstruksjonen er vist i fig. 629.

ris. 6.11

Merk at overgangen til "konvensjonelle" måleenheter kan utføres ved ganske enkelt å endre skalaen til koordinataksene.  Det skal bemerkes at frekvensen til drivkraften, hvor amplituden til de tvungne oscillasjonene er maksimal, også avhenger av dempningskoeffisienten, og avtar litt når sistnevnte øker. Til slutt understreker vi at en økning i dempningskoeffisienten fører til en betydelig økning i bredden på resonanskurven. Den resulterende faseforskyvningen mellom punktets oscillasjoner og drivkraften avhenger også av svingningenes frekvens og deres dempingskoeffisient. Vi vil bli mer kjent med rollen til dette faseskiftet når vi vurderer energikonvertering i prosessen med tvangssvingninger.

frekvensen av frie udempede svingninger sammenfaller med egenfrekvensen, frekvensen av dempede svingninger er litt mindre enn den naturlige, og frekvensen av tvungne oscillasjoner sammenfaller med frekvensen til drivkraften, og ikke egenfrekvensen.

Tvungede elektromagnetiske oscillasjoner

Tvunget Dette er svingningene som oppstår i et oscillerende system under påvirkning av en ekstern periodisk påvirkning.

Fig.6.12. Krets med tvungne elektriske svingninger

La oss vurdere prosessene som skjer i en elektrisk oscillerende krets ( Fig.6.12), koblet til en ekstern kilde, hvis emk varierer i henhold til den harmoniske loven

,

Hvor  m- amplitude av ekstern EMF,

 – syklisk frekvens av EMF.

La oss betegne med U C spenning over kondensatoren, og gjennom Jeg - strømstyrken i kretsen. I denne kretsen, i tillegg til den variable EMF  (t) den selvinduserte emf er også aktiv  L i induktoren.

Selvinduksjons-emk er direkte proporsjonal med endringshastigheten for strømmen i kretsen

.

For uttak differensialligning av tvungne oscillasjoner oppstår i en slik krets, bruker vi Kirchhoffs andre regel

.

Spenning over aktiv motstand R finne etter Ohms lov

.

Styrken til den elektriske strømmen er lik ladningen som strømmer per tidsenhet gjennom tverrsnittet av lederen

.

Derfor

.

Spenning U C på kondensatoren er direkte proporsjonal med ladningen på kondensatorplatene

.

Selvinduksjons-emf kan representeres gjennom den andre deriverte av ladningen med hensyn til tid

.

Bytter ut spenning og EMF i Kirchhoffs andre regel

.

Å dele begge sider av dette uttrykket med L og distribuere leddene i henhold til graden av avtagende rekkefølge av den deriverte, får vi en andreordens differensialligning

.

La oss introdusere følgende notasjon og få

– dempningskoeffisient,

– syklisk frekvens av naturlige oscillasjoner i kretsen.

. (1)

Ligning (1) er heterogen lineær differensialligning av andre orden. Denne typen ligninger beskriver oppførselen til en bred klasse av oscillerende systemer (elektriske, mekaniske) under påvirkning av ekstern periodisk påvirkning (ekstern emk eller ekstern kraft).

Den generelle løsningen av ligning (1) består av den generelle løsningen q 1 homogen differensialligning (2)

(2)

og enhver privat løsning q 2 heterogen ligninger (1)

.

Type generell løsning homogen ligning (2) avhenger av verdien av dempningskoeffisienten  . Vi vil være interessert i tilfelle av svak demping  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Hvor B Og  0 – konstanter spesifisert av startbetingelsene.

Løsning (3) beskriver dempede oscillasjoner i kretsen. Verdier inkludert i (3):

– syklisk frekvens av dempede svingninger;

– amplitude av dempede svingninger;

–fase av dempede svingninger.

Vi ser etter en spesiell løsning på ligning (1) i form av en harmonisk oscillasjon som oppstår med en frekvens lik frekvensen  ekstern periodisk påvirkning - EMF, og etterslep i fase ved  Fra han

Hvor
– amplitude av tvungne oscillasjoner, avhengig av frekvens.

La oss erstatte (4) med (1) og få identiteten

For å sammenligne fasene til oscillasjoner bruker vi trigonometriske reduksjonsformler

.

Da vil ligningen vår bli skrevet om som

La oss representere oscillasjonene på venstre side av den resulterende identiteten i skjemaet vektordiagram (ris.6.13)..

Det tredje leddet som tilsvarer svingninger på kapasitansen MED, har fase (  t –  ) og amplitude
, representerer vi den som en horisontal vektor rettet mot høyre.

Fig.6.13. Vektordiagram

Det første leddet på venstre side, tilsvarende svingninger i induktansen L, vil bli avbildet på vektordiagrammet som en vektor rettet horisontalt til venstre (dens amplitude
).

Det andre leddet som tilsvarer oscillasjoner i motstand R, representerer vi den som en vektor rettet vertikalt oppover (dens amplitude
), fordi dens fase er /2 bak fasen av det første leddet.

Siden summen av tre vibrasjoner til venstre for likhetstegnet gir en harmonisk vibrasjon
, så viser vektorsummen på diagrammet (diagonalen til rektangelet) en oscillasjon med en amplitude og fase  t, som er på  fremmer oscillasjonsfasen i tredje termin.

Fra en rettvinklet trekant, ved å bruke Pythagoras teorem, kan du finne amplituden EN( )

(5)

Og tg som forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

. (6)

Følgelig vil løsning (4) som tar hensyn til (5) og (6) ta formen

. (7)

Generell løsning av en differensialligning(1) er summen q 1 og q 2

. (8)

Formel (8) viser at når en krets utsettes for en periodisk ekstern EMF, oppstår det svingninger med to frekvenser i den, dvs. udempede oscillasjoner med frekvensen til ekstern EMF  og dempet svingninger med frekvens
. Amplitude av dempede oscillasjoner
Over tid blir den ubetydelig liten, og bare tvangssvingninger gjenstår i kretsen, hvis amplitude ikke avhenger av tid. Følgelig er steady-state tvungne oscillasjoner beskrevet av funksjon (4). Det vil si at det oppstår tvungne harmoniske oscillasjoner i kretsen, med en frekvens lik frekvensen til den ytre påvirkningen og amplituden
, avhengig av denne frekvensen ( ris. 3EN) i henhold til lov (5). I dette tilfellet henger fasen av den tvungne oscillasjonen etter  fra tvangsinnflytelse.

Etter å ha differensiert uttrykk (4) med hensyn til tid, finner vi strømstyrken i kretsen

Hvor
– strømamplitude.

La oss skrive dette uttrykket for gjeldende styrke i skjemaet

, (9)

Hvor
–faseforskyvning mellom strøm og ekstern emf.

I samsvar med (6) og ris. 2

. (10)

Fra denne formelen følger det at faseforskyvningen mellom strømmen og den eksterne emk avhenger, ved konstant motstand R, fra forholdet mellom frekvensen til den drivende EMF  og naturlig frekvens til kretsen  0 .

Hvis  <  0, deretter faseforskyvningen mellom strømmen og den eksterne EMF  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Hvis  >  0 da  > 0. Strømsvingninger henger etter EMF-fluktuasjoner i fase med en vinkel  .

Hvis  =  0 (resonansfrekvens), Det  = 0, dvs. strømstyrken og emf svinger i samme fase.

Resonans– dette er fenomenet med en kraftig økning i amplituden til svingninger når frekvensen til den ytre drivkraften faller sammen med den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet.

Ved resonans  =  0 og oscillasjonsperiode

.

Tatt i betraktning at dempningskoeffisienten

,

får vi uttrykk for kvalitetsfaktoren ved resonans T = T 0

,

på den andre siden

.

Spenningsamplitudene over induktans og kapasitans ved resonans kan uttrykkes gjennom kvalitetsfaktoren til kretsen

, (15)

. (16)

Fra (15) og (16) er det klart at når  =  0, spenningsamplitude over kondensatoren og induktans inn Q ganger større enn amplituden til den eksterne emf. Dette er en egenskap av sekvensiell RLC krets brukes til å isolere et radiosignal med en viss frekvens
fra radiofrekvensspekteret ved ombygging av radiomottakeren.

På praksis RLC kretser er koblet til andre kretser, måleinstrumenter eller forsterkerenheter som introduserer ytterligere demping i RLC krets. Derfor er den virkelige verdien av kvalitetsfaktoren til lastet RLC krets viser seg å være lavere enn verdien av kvalitetsfaktoren, estimert av formelen

.

Den reelle verdien av kvalitetsfaktoren kan estimeres som

Fig.6.14. Bestemme kvalitetsfaktoren fra resonanskurven

,

hvor  f– båndbredde til frekvenser der amplituden er 0,7 av maksimumsverdien ( ris. 4).

Kondensatorspenning U C, på aktiv motstand U R og på induktoren U L nå et maksimum ved henholdsvis forskjellige frekvenser

,
,
.

Hvis dempningen er lav  0 >>  , da er alle disse frekvensene praktisk talt sammenfallende, og vi kan anta det

.

Tvungede oscillasjoner er de svingningene som oppstår i et system når en ekstern påtvingende periodisk skiftende kraft, kalt en drivkraft, virker på den.

Naturen (tidsavhengigheten) til drivkraften kan være forskjellig. Dette kan være en kraft som endrer seg i henhold til en harmonisk lov. For eksempel treffer en lydbølge, hvis kilde er en stemmegaffel, trommehinnen eller mikrofonmembranen. En harmonisk skiftende kraft av lufttrykk begynner å virke på membranen.

Drivkraften kan ha karakter av støt eller korte impulser. For eksempel svinger en voksen et barn på en huske, og skyver dem med jevne mellomrom i det øyeblikket husken når en av sine ekstreme posisjoner.

Vår oppgave er å finne ut hvordan det oscillerende systemet reagerer på påvirkningen fra en periodisk skiftende drivkraft.

§ 1 Drivkraften endres etter den harmoniske loven

F resist = - rv x og overbevisende kraft F ut = F 0 sin wt.

Newtons andre lov vil bli skrevet som:

Løsningen til ligning (1) søkes på formen , hvor er løsningen på ligning (1) hvis den ikke hadde høyre side. Det kan sees at uten høyre side, blir ligningen til den velkjente ligningen for dempede svingninger, løsningen som vi allerede kjenner til. Over tilstrekkelig lang tid vil de frie oscillasjonene som oppstår i systemet når det fjernes fra likevektsposisjonen praktisk talt dø ut, og bare det andre leddet vil forbli i løsningen av ligningen. Vi vil se etter denne løsningen i skjemaet
La oss gruppere begrepene annerledes:

Denne likheten må være tilfredsstilt til enhver tid t, noe som bare er mulig hvis koeffisientene til sinus og cosinus er lik null.

Så, et legeme som påvirkes av en drivkraft, endres i henhold til en harmonisk lov, utfører oscillerende bevegelse med frekvensen til drivkraften.

La oss undersøke mer detaljert spørsmålet om amplituden til tvungne oscillasjoner:

1 Amplituden til steady-state tvungne oscillasjoner endres ikke over tid. (Sammenlign med amplituden til fridempede oscillasjoner).

2 Amplituden til tvungne oscillasjoner er direkte proporsjonal med amplituden til drivkraften.

3 Amplituden avhenger av friksjonen i systemet (A avhenger av d, og dempningskoeffisienten d avhenger igjen av luftmotstandskoeffisienten r). Jo større friksjon i systemet er, jo mindre amplitude av tvangssvingninger.

4 Amplituden til tvungne oscillasjoner avhenger av frekvensen til drivkraften w. Hvordan? La oss studere funksjonen A(w).

Ved w = 0 (en konstant kraft virker på oscillasjonssystemet) er forskyvningen av kroppen konstant over tid (det må huskes på at dette refererer til en stabil tilstand, når de naturlige svingningene nesten har dødd ut).

· Når w ® ¥, da, som det er lett å se, tenderer amplitude A til null.

· Det er klart at ved en eller annen frekvens av drivkraften vil amplituden til de tvungne oscillasjonene ta høyeste verdi(for en gitt d). Fenomenet med en kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger ved en viss verdi av frekvensen til drivkraften kalles mekanisk resonans.

Det er interessant at kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet i dette tilfellet viser hvor mange ganger resonansamplituden overskrider forskyvningen av kroppen fra likevektsposisjonen under påvirkning av en konstant kraft F 0 .

Vi ser at både resonansfrekvensen og resonansamplituden avhenger av dempningskoeffisienten d. Når d synker til null, øker resonansfrekvensen og tenderer til den naturlige oscillasjonsfrekvensen til systemet w 0 . I dette tilfellet øker resonansamplituden og ved d = 0 går den til uendelig. Selvfølgelig kan amplituden til oscillasjoner i praksis ikke være uendelig, siden i virkelige oscillerende systemer virker motstandskrefter alltid. Hvis systemet har lav dempning, kan vi omtrent anta at resonans oppstår ved frekvensen av naturlige oscillasjoner:

hvor i det aktuelle tilfellet er faseforskyvningen mellom drivkraften og forskyvningen av kroppen fra likevektsposisjonen.

Det er lett å se at faseforskyvningen mellom kraft og forskyvning avhenger av friksjonen i systemet og frekvensen til den ytre drivkraften. Denne avhengigheten er vist i figuren. Det er klart at når< тангенс принимает negative verdier, og for > - positiv.

Når man kjenner avhengigheten av vinkelen, kan man få avhengigheten av frekvensen til drivkraften.

Ved frekvenser av den ytre kraften som er betydelig lavere enn naturkraften, henger forskyvningen litt etter drivkraften i fase. Når frekvensen til den ytre kraften øker, øker denne faseforsinkelsen. Ved resonans (hvis liten), blir faseforskyvningen lik . Når >> forskyvningen og kraftsvingningene skjer i motfase. Denne avhengigheten kan virke merkelig ved første øyekast. For å forstå dette faktum, la oss vende oss til energitransformasjoner i prosessen med tvangssvingninger.

§ 2 Energiomforminger

Som vi allerede vet, er amplituden til svingninger bestemt av den totale energien til oscillerende systemet. Det ble tidligere vist at amplituden til tvungne oscillasjoner forblir uendret over tid. Dette betyr at den totale mekaniske energien til det oscillerende systemet ikke endres over tid. Hvorfor? Tross alt er ikke systemet stengt! To krefter - en ekstern periodisk skiftende kraft og en motstandskraft - gjør arbeid som må endre den totale energien til systemet.

La oss prøve å finne ut hva som skjer. Kraften til den ytre drivkraften kan bli funnet som følger:

Vi ser at kraften til den ytre kraften som mater oscillasjonssystemet med energi er proporsjonal med oscillasjonsamplituden.

På grunn av motstandskraftens arbeid, bør energien til det oscillerende systemet avta og bli internt. Motstandskraft:

Det er klart at kraften til motstandskraften er proporsjonal med kvadratet på amplituden. La oss plotte begge avhengighetene på en graf.

For at svingningene skal være jevne (amplituden endres ikke over tid), må arbeidet til den ytre kraften i perioden kompensere for energitapet til systemet på grunn av motstandskraftens arbeid. Skjæringspunktet for kraftgrafene samsvarer nøyaktig med dette regimet. La oss forestille oss at amplituden til tvangssvingninger av en eller annen grunn har sunket. Dette vil føre til at den øyeblikkelige kraften til den ytre kraften vil være større enn kraften til tap. Dette vil føre til en økning i energien til det oscillerende systemet, og amplituden til oscillasjonene vil gjenopprette sin tidligere verdi.

På lignende måte kan man være overbevist om at med en tilfeldig økning i amplituden til oscillasjoner, vil effekttapene overstige kraften til den ytre kraften, noe som vil føre til en reduksjon i systemets energi, og følgelig til en reduksjon i amplituden.

La oss gå tilbake til spørsmålet om faseforskyvningen mellom forskyvningen og drivkraften ved resonans. Vi har allerede vist at forskyvningen henger etter, og derfor leder kraften forskyvningen, med . På den annen side er hastighetsprojeksjonen i prosessen med harmoniske svingninger alltid foran koordinaten med . Dette betyr at under resonans svinger den ytre drivkraften og hastigheten i samme fase. Dette betyr at de er co-dirigert til enhver tid! Arbeidet til den ytre kraften i dette tilfellet er alltid positivt, det alle går for å fylle på oscillerende systemet med energi.

§ 3 Ikke-sinusformet periodisk påvirkning

Tvungede oscillasjoner av oscillatoren er mulige under enhver periodisk ytre påvirkning, ikke bare sinusformet. I dette tilfellet vil de etablerte svingningene generelt sett ikke være sinusformet, men de vil representere en periodisk bevegelse med en periode lik perioden for den ytre påvirkningen.

En ytre påvirkning kan for eksempel være suksessive støt (husk hvordan en voksen "vagger" et barn som sitter på en huske). Hvis perioden med eksterne sjokk sammenfaller med perioden med naturlige svingninger, kan det oppstå resonans i systemet. Svingningene vil være nesten sinusformede. Energien som tildeles systemet ved hvert trykk, fyller opp den totale energien til systemet tapt på grunn av friksjon. Det er klart at i dette tilfellet er alternativer mulige: hvis energien som tildeles under et trykk er lik eller overstiger friksjonstapene per periode, vil svingningene enten være jevne eller omfanget øke. Dette er godt synlig i fasediagrammet.

Det er åpenbart at resonans også er mulig i tilfellet når perioden med repetisjon av sjokk er et multiplum av perioden med naturlige oscillasjoner. Dette er umulig med den sinusformede naturen til den ytre påvirkningen.

På den annen side, selv om sjokkfrekvensen faller sammen med den naturlige frekvensen, kan det hende at resonans ikke observeres. Hvis bare friksjonstapene i løpet av perioden overstiger energien som mottas av systemet under push, vil den totale energien til systemet avta og svingningene dempes.

§ 4 Parametrisk resonans

Ytre påvirkning på det oscillerende systemet kan reduseres til periodiske endringer i parameterne til selve oscillerende systemet. Oscillasjonene som eksiteres på denne måten kalles parametriske, og selve mekanismen kalles parametrisk resonans .

Først av alt, la oss prøve å svare på spørsmålet: er det mulig å riste opp de små svingningene som allerede eksisterer i systemet ved periodisk å endre på en bestemt måte noen av dens parametere.

Som et eksempel, tenk på en person som svinger på en huske. Ved å bøye og rette ut bena i de "riktige" øyeblikkene, endrer han faktisk lengden på pendelen. I ekstreme posisjoner setter en person seg på huk, og senker derved tyngdepunktet til det oscillerende systemet litt i midtstilling, en person retter seg opp, og hever tyngdepunktet til systemet.

For å forstå hvorfor en person svinger samtidig, bør du vurdere en ekstremt forenklet modell av en person på en huske - en vanlig liten pendel, det vil si en liten vekt på en lett og lang tråd. For å simulere heving og senking av tyngdepunktet, vil vi føre den øvre enden av tråden gjennom et lite hull og trekke tråden i de øyeblikkene når pendelen passerer likevektsposisjonen, og senke tråden like mye når pendelen passerer ytterposisjonen.

Arbeidet med trådspenningskraften per periode (tar hensyn til at lasten løftes og senkes to ganger per periode og at D l << l):

Vær oppmerksom på at i parentes er det ingenting mer enn tredoble energien til oscillerende systemet. Forresten, denne mengden er positiv, derfor er arbeidet til spenningskraften (vårt arbeid) positivt, det fører til en økning i den totale energien til systemet, og derfor til pendelens sving.

Interessant nok er den relative endringen i energi over en periode ikke avhengig av om pendelen svinger svakt eller sterkt. Dette er veldig viktig, og her er hvorfor. Hvis pendelen ikke "pumpes opp" med energi, vil den for hver periode miste en viss del av energien på grunn av friksjonskraften, og svingningene vil dø ut. Og for at omfanget av svingninger skal øke, er det nødvendig at den oppnådde energien overstiger den tapte for å overvinne friksjonen. Og denne tilstanden, viser det seg, er den samme - både for en liten amplitude og for en stor.

For eksempel, hvis energien til frie oscillasjoner i løpet av en periode synker med 6%, er det nok å redusere lengden med 1 cm i midtposisjonen for at oscillasjonene til en pendel på 1 m lang ikke skal dempe. det med samme mengde i ytterstilling.

Gå tilbake til husken: hvis du begynner å svinge, er det ikke nødvendig å sitte på huk dypere og dypere - huk på samme måte hele tiden, og du vil fly høyere og høyere!

*** Kvalitet igjen!

Som vi allerede har sagt, for parametrisk oppbygging av svingninger, må betingelsen DE > A for friksjon per periode være oppfylt.

La oss finne arbeidet utført av friksjonskraften over perioden

Det kan sees at den relative mengden løfting av pendelen for å svinge den bestemmes av kvalitetsfaktoren til systemet.

§ 5 Betydningen av resonans

Tvungede oscillasjoner og resonans er mye brukt i teknologi, spesielt innen akustikk, elektroteknikk og radioteknikk. Resonans brukes først og fremst når man fra et stort sett av svingninger med forskjellige frekvenser ønsker å isolere svingninger med en viss frekvens. Resonans brukes også i studiet av svært svake, periodisk repeterende mengder.

Imidlertid er resonans i noen tilfeller et uønsket fenomen, da det kan føre til store deformasjoner og ødeleggelse av strukturer.

§ 6 Eksempler på problemløsning

Oppgave 1 Tvangssvingninger av en fjærpendel under påvirkning av en ekstern sinusformet kraft.

En last med masse m = 10 g ble hengt opp i en fjær med stivhet k = 10 N/m og systemet ble plassert i et viskøst medium med en motstandskoeffisient r = 0,1 kg/s. Sammenlign de naturlige og resonansfrekvensene til systemet. Bestem amplituden til pendelens oscillasjoner ved resonans under påvirkning av en sinusformet kraft med en amplitude F 0 = 20 mN.

Løsning:

1 Den naturlige frekvensen til et oscillerende system er frekvensen av frie vibrasjoner i fravær av friksjon. Den naturlige sykliske frekvensen er lik oscillasjonsfrekvensen.

2 Resonansfrekvens er frekvensen til en ekstern drivkraft der amplituden til tvangssvingninger øker kraftig. Den resonanssykliske frekvensen er lik , hvor er dempningskoeffisienten lik .

Dermed er resonansfrekvensen . Det er lett å se at resonansfrekvensen er mindre enn egenfrekvensen! Det er også klart at jo lavere friksjon i systemet (r), jo nærmere er resonansfrekvensen egenfrekvensen.

3 Resonansamplituden er

Oppgave 2 Resonansamplitude og kvalitetsfaktor til oscillerende systemet

En last med masse m = 100 g ble hengt opp i en fjær med stivhet k = 10 N/m og systemet ble plassert i et viskøst medium med en motstandskoeffisient

r = 0,02 kg/s. Bestem kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet og amplituden til oscillasjonene til pendelen ved resonans under påvirkning av en sinusformet kraft med en amplitude F 0 = 10 mN. Finn forholdet mellom resonansamplituden og den statiske forskyvningen under påvirkning av en konstant kraft F 0 = 20 mN og sammenlign dette forholdet med kvalitetsfaktoren.

Løsning:

1 Kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet er lik , hvor er den logaritmiske dempingsreduksjonen.

Den logaritmiske dempingsreduksjonen er lik .

Finne kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet.

2 Resonansamplituden er

3 Statisk forskyvning under påvirkning av en konstant kraft F 0 = 10 mN er lik .

4 Forholdet mellom resonansamplituden og den statiske forskyvningen under påvirkning av en konstant kraft F 0 er lik

Det er lett å se at dette forholdet faller sammen med kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet

Oppgave 3 Resonansvibrasjoner av en bjelke

Under påvirkning av vekten av den elektriske motoren, bøyd utkragningstanken som den er installert på av . Ved hvilken hastighet på motorarmaturet kan det være fare for resonans?

Løsning:

1 Motorhuset og bjelken den er installert på opplever periodiske støt fra motorens roterende armatur og utfører derfor tvangssvingninger med frekvensen av støtene.

Resonans vil bli observert når frekvensen av støt faller sammen med den naturlige vibrasjonsfrekvensen til strålen med motoren. Det er nødvendig å finne den naturlige vibrasjonsfrekvensen til strålemotorsystemet.

2 En analog av strålemotoroscillerende system kan være en vertikal fjærpendel, hvis masse er lik motormassen. Den naturlige oscillasjonsfrekvensen til en fjærpendel er lik . Men fjærstivheten og massen til motoren er ikke kjent! Hva burde jeg gjøre?

3 I likevektsposisjonen til fjærpendelen balanseres tyngdekraften til lasten av fjærens elastiske kraft

4 Finn rotasjonen til motorankeret, dvs. sjokkfrekvens

Oppgave 4 Tvangssvingninger av en fjærpendel under påvirkning av periodiske støt.

En vekt med masse m = 0,5 kg er opphengt i en spiralfjær med stivhet k = 20 N/m. Den logaritmiske dempingsreduksjonen til oscillerende systemet er lik . De ønsker å svinge vekten med korte dytt, og virke på vekten med en kraft F = 100 mN i en tid τ = 0,01 s. Hva bør frekvensen være på slagene for at amplituden til vekten skal være størst? På hvilke punkter og i hvilken retning skal du skyve kettlebellen? Til hvilken amplitude vil det være mulig å svinge vekten på denne måten?

Løsning:

1 Tvungede vibrasjoner kan oppstå under enhver periodisk påvirkning. I dette tilfellet vil steady-state oscillasjonen oppstå med frekvensen av den ytre påvirkningen. Hvis perioden med eksterne sjokk faller sammen med frekvensen av naturlige svingninger, oppstår resonans i systemet - amplituden til svingninger blir størst. I vårt tilfelle, for at resonans skal oppstå, må perioden for støtene falle sammen med perioden med svingning av fjærpendelen.

Den logaritmiske dempingsreduksjonen er liten, derfor er det liten friksjon i systemet, og svingningsperioden for en pendel i et viskøst medium faller praktisk talt sammen med svingningsperioden til en pendel i et vakuum:

2 Det er klart at retningen på skyvene må falle sammen med vektens hastighet. I dette tilfellet vil arbeidet til den eksterne kraften som fyller på systemet med energi være positivt. Og vibrasjonene vil svaie. Energi mottatt av systemet under påvirkningsprosessen

vil være størst når lasten passerer likevektsposisjonen, fordi i denne posisjonen er hastigheten på pendelen maksimal.

Så systemet vil svinge raskest under påvirkning av støt i bevegelsesretningen til lasten når den passerer gjennom likevektsposisjonen.

3 Amplituden til oscillasjoner slutter å vokse når energien som tilføres systemet under slagprosessen er lik energitapet på grunn av friksjon i perioden: .

Vi vil finne energitapet over en periode gjennom kvalitetsfaktoren til oscillerende systemet

hvor E er den totale energien til det oscillerende systemet, som kan beregnes som .

I stedet for tapsenergien, erstatter vi energien som mottas av systemet under sammenstøtet:

Topphastighet under svingninger er lik . Tar vi hensyn til dette får vi .

§7 Oppgaver for selvstendig løsning

Test "Forserte vibrasjoner"

1 Hvilke oscillasjoner kalles tvungne?

A) Oscillasjoner som oppstår under påvirkning av eksterne periodisk skiftende krefter;

B) Oscillasjoner som oppstår i systemet etter et eksternt sjokk;

2 Hvilken av følgende oscillasjoner er tvunget?

A) Oscillasjon av en last hengt opp i en fjær etter dens enkelt avvik fra likevektsposisjonen;

B) Oscillasjon av høyttalerkjeglen under drift av mottakeren;

B) Oscillasjon av en last hengt opp i en fjær etter et enkelt støt på lasten i likevektsposisjon;

D) Kroppsvibrasjoner elektrisk motor i ferd med arbeidet hans;

D) Vibrasjoner i trommehinnen til en person som lytter til musikk.

3 Et oscillerende system med egen frekvens påvirkes av en ytre drivkraft som varierer etter loven. Dempningskoeffisienten i svingesystemet er lik . I henhold til hvilken lov endres koordinatene til en kropp over tid?

C) Amplituden til tvangssvingninger vil forbli uendret, siden energien tapt av systemet på grunn av friksjon vil bli kompensert for av energigevinsten på grunn av arbeidet til den ytre drivkraften.

5 Systemet utfører tvungne oscillasjoner under påvirkning av en sinusformet kraft. Spesifiser Alle faktorer som amplituden til disse svingningene avhenger av.

A) Fra amplituden til den ytre drivkraften;

B) Tilstedeværelsen av energi i det oscillerende systemet i det øyeblikket den ytre kraften begynner å virke;

C) Parametre for selve oscillerende systemet;

D) Friksjon i det oscillerende systemet;

D) Eksistensen av naturlige oscillasjoner i systemet i det øyeblikket den ytre kraften begynner å virke;

E) Tidspunkt for etablering av svingninger;

G) Frekvenser av ytre drivkraft.

6 En blokk med masse m utfører tvungne harmoniske oscillasjoner langs et horisontalplan med periode T og amplitude A. Friksjonskoeffisient μ. Hvilket arbeid utføres av den ytre drivkraften i en tid lik periode T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Det er umulig å gi et svar, siden størrelsen på den ytre drivkraften ikke er kjent.

7 Gjør et riktig utsagn

Resonans er et fenomen...

A) Sammenfall av frekvensen til den ytre kraften med den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet;

B) En kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger.

Resonans observeres under tilstanden

A) Redusere friksjon i oscillerende systemet;

B) Øke amplituden til den ytre drivkraften;

C) Sammenfallen av frekvensen til den ytre kraften med den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet;

D) Når frekvensen til den ytre kraften faller sammen med resonansfrekvensen.

8 Fenomenet resonans kan observeres i...

A) I ethvert oscillerende system;

B) I et system som utfører frie oscillasjoner;

B) I et selvsvingende system;

D) I et system som gjennomgår tvangssvingninger.

9 Figuren viser en graf over avhengigheten av amplituden til tvungne oscillasjoner av frekvensen til drivkraften. Resonans oppstår med en frekvens...

10 Tre identiske pendler plassert i forskjellige viskøse medier utfører tvangssvingninger. Figuren viser resonanskurvene for disse pendlene. Hvilken pendel opplever størst motstand fra det viskøse mediet under oscillasjon?

A) 1; B) 2; AT 3;

D) Det er umulig å gi et svar, siden amplituden til tvangssvingninger, i tillegg til frekvensen til den ytre kraften, også avhenger av dens amplitude. Tilstanden sier ikke noe om amplituden til den ytre drivkraften.

11 Perioden med naturlige oscillasjoner i oscillerende systemet er lik T 0. Hva kan perioden for sjokkene være slik at amplituden til svingningene øker kraftig, det vil si at det oppstår en resonans i systemet?

A) To; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,...;

C) Husken kan vippes med trykk av hvilken som helst frekvens.

12 Din yngre bror sitter på en huske, svinger du ham med korte dytt. Hva bør være perioden med rekkefølge av sjokk for at prosessen skal skje mest effektivt? Perioden med naturlige svingninger av svingen T 0.

D) Husken kan vippes med trykk av hvilken som helst frekvens.

13 Lillebroren din sitter på en huske, du svinger ham med korte dytt. I hvilken posisjon av husken skal skyvet gjøres og i hvilken retning bør skyvet gjøres slik at prosessen skjer mest effektivt?

A) Skyv inn den øverste posisjonen av husken mot likevektsposisjonen;

B) Skyv inn den øverste posisjonen til husken i retning fra likevektsposisjonen;

B) Skyv inn en balansert posisjon i bevegelsesretningen til husken;

D) Du kan skyve i hvilken som helst posisjon, men alltid i bevegelsesretningen til husken.

14 Det ser ut til at ved å skyte fra en sprettert på broen i takt med dens egne vibrasjoner og gjøre mange skudd, kan du svinge den sterkt, men dette vil neppe lykkes. Hvorfor?

A) Broens masse (dens treghet) er stor sammenlignet med massen til "kulen" fra en sprettert, vil broen ikke kunne bevege seg under påvirkning av slike støt;

B) Slagkraften til en "kule" fra en sprettert er så liten at broen ikke vil kunne bevege seg under påvirkning av slike støt;

C) Energien som tilføres broen i ett slag er mye mindre enn energitapet på grunn av friksjon over perioden.

15 Du bærer en bøtte med vann. Vannet i bøtta svinger og spruter ut. Hva kan gjøres for å forhindre at dette skjer?

A) Sving hånden som bøtta er plassert i i rytme med gange;

B) Endre bevegelseshastigheten, la lengden på trinnene være uendret;

C) Stopp med jevne mellomrom og vent til vannvibrasjonene har roet seg;

D) Pass på at hånden med bøtta under bevegelsen er posisjonert strengt vertikalt.

Oppgaver

1 Systemet utfører dempede oscillasjoner med en frekvens på 1000 Hz. Bestem frekvens v 0 naturlige oscillasjoner, hvis resonansfrekvensen

2 Bestem med hvilken verdi D v resonansfrekvens skiller seg fra naturlig frekvens v 0= 1000 Hz oscillerende system, karakterisert ved en dempningskoeffisient d = 400s -1.

3 En last med masse 100 g, opphengt i en fjær med stivhet 10 N/m, utfører tvangssvingninger i et viskøst medium med en motstandskoeffisient r = 0,02 kg/s. Bestem dempningskoeffisient, resonansfrekvens og amplitude. Amplitudeverdien til drivkraften er 10 mN.

4 Amplitudene til tvungne harmoniske oscillasjoner ved frekvensene w 1 = 400 s -1 og w 2 = 600 s -1 er like. Bestem resonansfrekvensen.

5 Lastebiler kjører inn i et kornlager langs en grusvei på den ene siden, losser og forlater lageret i samme hastighet, men på den andre siden. Hvilken side av lageret har flere jettegryter i veien enn den andre? Hvordan kan du finne ut fra hvilken side av lageret er inngangen og hvilken som er avkjørselen basert på veiens tilstand? Begrunn svaret