For å fortsette med emnet "Løse ligninger", vil materialet i denne artikkelen introdusere deg til kvadratiske ligninger.

La oss se på alt i detalj: essensen og notasjonen til en kvadratisk ligning, definere de medfølgende begrepene, analysere skjemaet for å løse ufullstendige og fullstendige ligninger, bli kjent med formelen for røtter og diskriminanten, etablere forbindelser mellom røttene og koeffisientene, og selvfølgelig vil vi gi en visuell løsning på praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definisjon 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– noen tall, mens en er ikke null.

Ofte kalles andregradsligninger også andregradsligninger, siden en andregradsligning i hovedsak er en algebraisk ligning av andre grad.

La oss gi et eksempel for å illustrere gitt definisjon: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, osv. Dette er andregradsligninger.

Definisjon 2

Tallene a, b og c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koeffisienten en kalles den første, eller senior, eller koeffisient ved x 2, b - den andre koeffisienten, eller koeffisient ved x, A c kalt et gratis medlem.

For eksempel i andregradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den ledende koeffisienten er 6, den andre koeffisienten er − 2 , og fritiden er lik − 11 . La oss ta hensyn til det faktum at når koeffisientene b og/eller c er negative, bruk deretter kortform poster som 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

La oss også klargjøre dette aspektet: hvis koeffisientene en og/eller b lik 1 eller − 1 , så tar de kanskje ikke en eksplisitt del i å skrive kvadratisk ligning, som forklares av særegenhetene ved å skrive de angitte numeriske koeffisientene. For eksempel i andregradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den ledende koeffisienten er 1, og den andre koeffisienten er − 1 .

Reduserte og ureduserte kvadratiske ligninger

Basert på verdien av den første koeffisienten deles kvadratiske ligninger inn i redusert og uredusert.

Definisjon 3

Redusert andregradsligning er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er 1. For andre verdier av den ledende koeffisienten er kvadratisk ligning ikke-redusert.

La oss gi eksempler: kvadratiske ligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduseres, i hver av dem er den ledende koeffisienten 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- uredusert kvadratisk ligning, hvor den første koeffisienten er forskjellig fra 1 .

Enhver ikke-redusert kvadratisk ligning kan konverteres til en redusert ligning ved å dele begge sider med den første koeffisienten (ekvivalent transformasjon). Den transformerte ligningen vil ha de samme røttene som den gitte, ikke-reduserte ligningen eller vil heller ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Betraktning av et spesifikt eksempel vil tillate oss å tydelig demonstrere overgangen fra en ikke-redusert kvadratisk ligning til en redusert.

Eksempel 1

Gitt ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendig å konvertere den opprinnelige ligningen til den reduserte formen.

Løsning

I henhold til skjemaet ovenfor deler vi begge sider av den opprinnelige ligningen med ledende koeffisient 6. Da får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed oppnås en ligning tilsvarende den gitte.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

La oss gå til definisjonen av en kvadratisk ligning. I den spesifiserte vi det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var nettopp firkantet, siden kl a = 0 den forvandles i hovedsak til en lineær ligning b x + c = 0.

I tilfellet når koeffisientene b Og c er lik null (noe som er mulig, både individuelt og sammen), kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon 4

Ufullstendig andregradsligning- en slik andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor minst én av koeffisientene b Og c(eller begge) er null.

Fullfør andregradsligningen– en kvadratisk ligning der alle numeriske koeffisienter ikke er lik null.

La oss diskutere hvorfor typene kvadratiske ligninger gis akkurat disse navnene.

Når b = 0, tar den andregradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, som er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andregradsligning skrevet som a x 2 + b x + 0 = 0, som tilsvarer a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil ta formen a x 2 = 0. Ligningene som vi fikk, skiller seg fra den komplette andregradslikningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Faktisk ga dette faktum navnet til denne typen ligninger - ufullstendig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andregradsligninger; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen gitt ovenfor gjør det mulig å fremheve følgende typer ufullstendige andregradsligninger:

• a x 2 = 0, tilsvarer denne ligningen koeffisientene b = 0 og c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

La oss vurdere sekvensielt løsningen av hver type ufullstendig kvadratisk ligning.

Løsning av ligningen a x 2 =0

Som nevnt ovenfor tilsvarer denne ligningen koeffisientene b Og c, lik null. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ekvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med tallet en, ikke lik null. Det åpenbare faktum er at roten til ligningen x 2 = 0 dette er null fordi 0 2 = 0 . Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som kan forklares med egenskapene til graden: for et hvilket som helst tall p, ikke lik null, er ulikheten sann p 2 > 0, hvorav det følger at når p ≠ 0 likestilling p 2 = 0 vil aldri bli oppnådd.

Definisjon 5

For den ufullstendige andregradsligningen a x 2 = 0 er det altså en enkelt rot x = 0.

Eksempel 2

La oss for eksempel løse en ufullstendig andregradsligning − 3 x 2 = 0. Det tilsvarer ligningen x 2 = 0, dens eneste rot er x = 0, så har den opprinnelige ligningen en enkelt rot - null.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løse ligningen a x 2 + c = 0

Neste i rekken er løsningen av ufullstendige andregradsligninger, der b = 0, c ≠ 0, det vil si ligninger av formen a x 2 + c = 0. La oss transformere denne ligningen ved å flytte et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre, endre tegnet til det motsatte og dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er lik null:

• overføre c til høyre side, som gir ligningen a x 2 = − c;
• dele begge sider av ligningen med en, vi ender opp med x = - c a .

Våre transformasjoner er tilsvarende, den resulterende ligningen er også ekvivalent med den opprinnelige, og dette faktum gjør det mulig å trekke konklusjoner om røttene til ligningen. Fra hva verdiene er en Og c verdien av uttrykket - c a avhenger: det kan ha et minustegn (for eksempel if a = 1 Og c = 2, deretter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plusstegn (for eksempel if a = − 2 Og c = 6 så - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke null fordi c ≠ 0. La oss dvele mer detaljert ved situasjoner når - ca< 0 и - c a > 0 .

I tilfelle når - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s likheten p 2 = - c a kan ikke være sann.

Alt er annerledes når - c a > 0: husk kvadratroten, og det vil bli tydelig at roten til ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, siden - c a 2 = - c a. Det er ikke vanskelig å forstå at tallet - - c a også er roten til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke ha andre røtter. Vi kan demonstrere dette ved å bruke metoden for selvmotsigelse. Til å begynne med, la oss definere notasjonene for røttene ovenfor som x 1 Og − x 1. La oss anta at likningen x 2 = - c a også har en rot x 2, som er forskjellig fra røttene x 1 Og − x 1. Vi vet det ved å substituere inn i ligningen x sine røtter transformerer vi ligningen til en rettferdig numerisk likhet.

Til x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a . Basert på egenskapene til numeriske likheter, trekker vi ett korrekt likhetsledd for ledd fra et annet, noe som vil gi oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruker egenskapene til operasjoner med tall for å omskrive den siste likheten som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kjent at produktet av to tall er null hvis og bare hvis minst ett av tallene er null. Av ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, som er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åpenbar motsetning oppsto, fordi man først var enige om at roten til ligningen x 2 skiller seg fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist at ligningen ikke har andre røtter enn x = - c a og x = - - c a.

La oss oppsummere alle argumentene ovenfor.

Definisjon 6

Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c = 0 er ekvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke ha røtter ved - c a< 0 ;
• vil ha to røtter x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

La oss gi eksempler på løsning av likningene a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Gitt en andregradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendig å finne en løsning.

Løsning

La oss flytte frileddet til høyre side av ligningen, så vil ligningen ta formen 9 x 2 = − 7.
La oss dele begge sider av den resulterende ligningen med 9 , kommer vi til x 2 = - 7 9 . På høyre side ser vi et tall med et minustegn, som betyr: den gitte ligningen har ingen røtter. Deretter den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke ha røtter.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen røtter.

Eksempel 4

Ligningen må løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

La oss flytte 36 til høyre side: − x 2 = − 36.
La oss dele begge deler med − 1 , vi får x 2 = 36. På høyre side - positivt tall, herfra kan vi konkludere med det x = 36 eller x = -36.
La oss trekke ut roten og skrive ned det endelige resultatet: ufullstendig andregradsligning − x 2 + 36 = 0 har to røtter x=6 eller x = − 6.

Svar: x=6 eller x = − 6.

Løsning av ligningen a x 2 +b x=0

La oss analysere den tredje typen ufullstendige kvadratiske ligninger, når c = 0. Å finne en løsning på en ufullstendig andregradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruke faktoriseringsmetoden. La oss faktorisere polynomet som er på venstre side av ligningen, og ta den felles faktoren ut av parentes x. Dette trinnet vil gjøre det mulig å transformere den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til dens ekvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligningen tilsvarer i sin tur et sett med ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rot: x = − b a.

Definisjon 7

Dermed den ufullstendige andregradsligningen a x 2 + b x = 0 vil ha to røtter x = 0 Og x = − b a.

La oss forsterke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tar den ut x utenfor parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligningen er ekvivalent med ligningene x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nå skal du løse den resulterende lineære ligningen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen slik:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for røttene til en andregradsligning

For å finne løsninger på kvadratiske ligninger, er det en rotformel:

Definisjon 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkalte diskriminanten til en kvadratisk ligning.

Å skrive x = - b ± D 2 · a betyr i hovedsak at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttig å forstå hvordan denne formelen ble utledet og hvordan man bruker den.

Utledning av formelen for røttene til en kvadratisk ligning

La oss stå overfor oppgaven med å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0. La oss utføre en rekke tilsvarende transformasjoner:

• del begge sider av ligningen med et tall en, forskjellig fra null, får vi følgende andregradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• La oss velge hele kvadratet på venstre side av den resulterende ligningen:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Etter dette vil ligningen ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nå er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side, endre tegnet til det motsatte, hvoretter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Til slutt transformerer vi uttrykket skrevet på høyre side av den siste likheten:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dermed kommer vi frem til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tilsvarende den opprinnelige likningen a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøkte løsningen av slike ligninger i de foregående avsnittene (løsning av ufullstendige kvadratiske ligninger). Erfaringene som allerede er oppnådd gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste roten x = - b 2 · a åpenbar;

• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vil følgende være sant: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , som er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to røtter.

Det er mulig å konkludere med at tilstedeværelsen eller fraværet av røtter til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den opprinnelige ligningen) avhenger av tegnet til uttrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på høyre side. Og tegnet på dette uttrykket er gitt av tegnet på telleren, (nevner 4 a 2 vil alltid være positiv), det vil si tegnet på uttrykket b 2 − 4 a c. Dette uttrykket b 2 − 4 a c navnet er gitt - diskriminanten til den kvadratiske ligningen og bokstaven D er definert som dens betegnelse. Her kan du skrive ned essensen av diskriminanten - basert på dens verdi og fortegn kan de konkludere om den andregradsligningen vil ha reelle røtter, og i så fall hva er antallet røtter - en eller to.

La oss gå tilbake til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . La oss omskrive det med diskriminantnotasjon: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

La oss formulere våre konklusjoner igjen:

Definisjon 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle røtter;
• på D=0 ligningen har en enkelt rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to røtter: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Basert på egenskapene til radikaler kan disse røttene skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åpner modulene og bringer brøkene til en fellesnevner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av resonnementet vårt var utledningen av formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D beregnet med formelen D = b 2 − 4 a c.

Disse formlene gjør det mulig å bestemme begge reelle røtter når diskriminanten er større enn null. Når diskriminanten er null, vil bruk av begge formlene gi samme rot som den eneste løsningen på kvadratisk ligning. I tilfellet hvor diskriminanten er negativ, hvis vi prøver å bruke formelen for roten til en kvadratisk ligning, vil vi stå overfor behovet for å trekke ut Kvadratrot fra et negativt tall, som vil ta oss utover de reelle tallene. Med en negativ diskriminant vil den kvadratiske ligningen ikke ha reelle røtter, men et par komplekse konjugerte røtter er mulig, bestemt av de samme rotformlene vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

Det er mulig å løse en andregradsligning ved å umiddelbart bruke rotformelen, men dette gjøres vanligvis når det er nødvendig å finne komplekse røtter.

I de fleste tilfeller betyr det vanligvis ikke å søke etter komplekse, men etter reelle røtter til en kvadratisk ligning. Da er det optimalt, før du bruker formlene for røttene til en kvadratisk ligning, først å bestemme diskriminanten og sørge for at den ikke er negativ (ellers vil vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og deretter fortsette med å beregne verdien av røttene.

Resonnementet ovenfor gjør det mulig å formulere en algoritme for å løse en andregradsligning.

Definisjon 10

For å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendig:

• i henhold til formelen D = b 2 − 4 a c finne den diskriminerende verdien;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, finn den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - b 2 · a;
• for D > 0, bestem to reelle røtter av kvadratisk ligning ved å bruke formelen x = - b ± D 2 · a.

Merk at når diskriminanten er null, kan du bruke formelen x = - b ± D 2 · a, det vil gi samme resultat som formelen x = - b 2 · a.

La oss se på eksempler.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss gi en løsning på eksemplene for forskjellige betydninger diskriminerende.

Eksempel 6

Vi må finne røttene til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

La oss skrive ned de numeriske koeffisientene til den kvadratiske ligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen, dvs. La oss begynne å beregne diskriminanten, som vi erstatter koeffisientene a, b Og c inn i diskriminantformelen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, som betyr at den opprinnelige ligningen vil ha to reelle røtter.
For å finne dem bruker vi rotformelen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende verdiene, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. La oss forenkle det resulterende uttrykket ved å ta faktoren ut av rottegnet og deretter redusere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Må løse en andregradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

La oss definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne verdien av diskriminanten vil den opprinnelige ligningen bare ha én rot, bestemt av formelen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen må løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koeffisientene til denne ligningen vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruker disse verdiene for å finne diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminanten er negativ, så den opprinnelige kvadratiske ligningen har ingen reelle røtter.

I tilfellet når oppgaven er å indikere komplekse røtter, bruker vi rotformelen og utfører handlinger med komplekse tall:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: det er ingen reelle røtter; de komplekse røttene er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolepensum Det er ingen standardkrav for å lete etter komplekse røtter, derfor, hvis diskriminanten under løsningen blir bestemt til å være negativ, blir svaret umiddelbart skrevet ned at det ikke er noen reelle røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Rotformelen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gjør det mulig å oppnå en annen formel, mer kompakt, slik at man kan finne løsninger på kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient for x ( eller med en koeffisient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). La oss vise hvordan denne formelen er utledet.

La oss stå overfor oppgaven med å finne en løsning på den kvadratiske ligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsetter i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruker deretter rotformelen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

La uttrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (noen ganger er det betegnet D "). Da vil formelen for røttene til den andregradsligningen som vurderes med den andre koeffisienten 2 · n ha formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er lett å se at D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel av diskriminanten. Tydeligvis er tegnet på D 1 det samme som tegnet på D, noe som betyr at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator på tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til en kvadratisk ligning.

Definisjon 11

For å finne en løsning på en kvadratisk ligning med en andre koeffisient på 2 n, er det nødvendig:

• finn D 1 = n 2 − a · c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - n a;
• for D 1 > 0, bestem to reelle røtter ved å bruke formelen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendig å løse den kvadratiske ligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan representere den andre koeffisienten til den gitte ligningen som 2 · (− 3) . Deretter omskriver vi den gitte andregradsligningen til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende verdien er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter. La oss bestemme dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være mulig å utføre beregninger ved å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet vil løsningen være mer tungvint.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Forenkle formen til kvadratiske ligninger

Noen ganger er det mulig å optimalisere formen til den opprinnelige ligningen, noe som vil forenkle prosessen med å beregne røttene.

For eksempel er den andregradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mer praktisk å løse enn 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere utføres forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider med et visst tall. For eksempel, ovenfor viste vi en forenklet representasjon av ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, oppnådd ved å dele begge sider med 100.

En slik transformasjon er mulig når koeffisientene til den kvadratiske ligningen ikke er gjensidig primtall. Da deler vi vanligvis begge sider av ligningen med den største felles deler absolutte verdier dens koeffisienter.

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. La oss bestemme GCD for de absolutte verdiene til koeffisientene: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. La oss dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6 og få den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved å multiplisere begge sider av en andregradsligning blir du vanligvis kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet multipliserer de med det minste felles multiplum av nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis hver del av den kvadratiske ligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliseres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil den bli skrevet på en enklere form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til slutt legger vi merke til at vi nesten alltid kvitter oss med minus ved den første koeffisienten til en kvadratisk ligning ved å endre tegnene til hvert ledd i ligningen, som oppnås ved å multiplisere (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra den andregradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede versjon 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenheng mellom røtter og koeffisienter

Formelen for røttene til kvadratiske ligninger, allerede kjent for oss, x = - b ± D 2 · a, uttrykker røttene til ligningen gjennom dens numeriske koeffisienter. Basert på denne formelen har vi mulighet til å spesifisere andre avhengigheter mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige formlene er Vietas teorem:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene den andre koeffisienten med motsatt tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved å se på formen til kvadratisk ligning 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det mulig å umiddelbart bestemme at summen av røttene er 7 3 og produktet av røttene er 22 3.

Du kan også finne en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. For eksempel kan summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning uttrykkes i termer av koeffisienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger kommer ned til å løse andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne begrepene i synkende rekkefølge av potenser til X

Nå kan vi med sikkerhet si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss multiplisere alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Siden vi vet hvordan vi tar kvadratroten, la oss bruke denne ligningen til å uttrykke

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadratert tall kan ikke være negativt, fordi når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Disse formlene trenger ikke å bli utenat. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse andregradsligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt, det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Spesiell oppmerksomhet Ta et skritt. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Disse formlene trenger ikke å bli utenat. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis, så har ligningen de samme røttene, og faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss slå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet i ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med en mindre modul være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de gitte kvadratiske ligningene.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller det ikke finnes et passende par av faktorer for frileddet, er det ingen hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variablene, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformasjonen se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDTINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en ligning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til den kvadratiske ligningen, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. Ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. Ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss bringe ligningen til standardform: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

", det vil si ligninger av første grad. I denne leksjonen skal vi se på det som kalles en kvadratisk ligning og hvordan løse det.

Hva er en andregradsligning?

Viktig!

Graden av en ligning bestemmes av den høyeste grad det ukjente står i.

Hvis den maksimale effekten der det ukjente er "2", har du en andregradsligning.

Eksempler på andregradsligninger

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den generelle formen for en kvadratisk ligning ser slik ut:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" og "c" er gitt tall.

• "a" er den første eller høyeste koeffisienten;
• "b" er den andre koeffisienten;
• "c" er et gratis medlem.

For å finne "a", "b" og "c" må du sammenligne ligningen din med den generelle formen til kvadratisk ligning "ax 2 + bx + c = 0".

La oss øve på å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" i andregradsligninger.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ligningen	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hvordan løse kvadratiske ligninger

I motsetning til lineære ligninger, brukes en spesiell metode for å løse andregradsligninger. formel for å finne røtter.

Huske!

For å løse en kvadratisk ligning trenger du:

• reduser andregradsligningen til generelt utseende"ax 2 + bx + c = 0".
• Det vil si at bare "0" skal forbli på høyre side;

bruk formel for røtter:

La oss se på et eksempel på hvordan du bruker formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning. La oss løse en andregradsligning.

X 2 − 3x − 4 = 0 Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede redusert til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0" og krever ikke ytterligere forenklinger. For å løse det trenger vi bare å søke.

formel for å finne røttene til en andregradsligning

La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.
La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.
La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.
La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.

x 1;2 =

Den kan brukes til å løse enhver annengradsligning.
I formelen "x 1;2 = " er det radikale uttrykket ofte erstattet

"b 2 − 4ac" for bokstaven "D" og kalles diskriminant. Begrepet en diskriminant diskuteres mer detaljert i leksjonen «Hva er en diskriminant».

La oss se på et annet eksempel på en andregradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

I denne formen er det ganske vanskelig å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c". La oss først redusere ligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

Nå kan du bruke formelen for røttene.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

6

2

x =
x = 3

Svar: x = 3

Det er tider når andregradsligninger ikke har noen røtter. Denne situasjonen oppstår når formelen inneholder et negativt tall under roten. Dette emnet kan virke vanskelig i begynnelsen på grunn av at mange ikke er det. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange notasjoner, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Totalt oppnås tre nye formler. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter å ha løst slike ligninger ofte. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.

Generell oversikt over en kvadratisk ligning

Her foreslår vi deres eksplisitte opptak, når de mest høy grad skrevet først, og deretter i synkende rekkefølge. Det er ofte situasjoner der vilkårene er inkonsekvente. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.

La oss introdusere litt notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.

Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.

Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes som nummer én.

Når en ligning er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter det vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:

• løsningen vil ha to røtter;
• svaret vil være ett tall;
• ligningen vil ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Og før avgjørelsen er endelig, er det vanskelig å forstå hvilket alternativ som vil dukke opp i en bestemt sak.

Typer registreringer av kvadratiske ligninger

Det kan være ulike oppføringer i oppgaver. De vil ikke alltid se ut generell formel kvadratisk ligning. Noen ganger vil det mangle noen begreper. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du andre eller tredje ledd i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.

Dessuten kan bare termer med koeffisientene "b" og "c" forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen til en lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligninger vil være som følger:

Så det er bare to typer i tillegg til komplette, det er også ufullstendige andregradsligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre - tre.

Diskriminerende og avhengig av antall røtter på verdien

Du må vite dette tallet for å beregne røttene til ligningen. Det kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha nummer fire.

Etter å ha erstattet koeffisientverdiene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige tegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. På negativt tall røttene til kvadratisk ligning vil mangle. Hvis det er lik null, vil det bare være ett svar.

Hvordan løse en komplett kvadratisk ligning?

Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne en diskriminant. Etter at det er bestemt at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formler for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke følgende formel.

Siden den inneholder et "±"-tegn, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om annerledes.

Formel nummer fem. Fra den samme posten er det klart at hvis diskriminanten er lik null, vil begge røttene ha samme verdier.

Hvis løsning av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.

Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning?

Alt er mye enklere her. Det er ikke engang behov for ytterligere formler. Og de som allerede er skrevet ned for den diskriminerende og det ukjente vil ikke være nødvendig.

La oss først se på ufullstendig ligning nummer to. I denne likheten er det nødvendig å ta den ukjente mengden ut av parentes og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentes. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en multiplikator som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.

Den ufullstendige ligningen nummer tre løses ved å flytte tallet fra venstre side av likheten til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten som vender mot det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og huske å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.

Nedenfor er noen handlinger som vil hjelpe deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene kan føre til dårlige karakterer når du studerer det omfattende emnet "Kvadratiske ligninger (grad 8)." Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres konstant. Fordi en stabil ferdighet vil dukke opp.

• Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først begrepet med den største graden av variabelen, og deretter - uten grad, og sist - bare et tall.

• Hvis et minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner som studerer kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.

• Det anbefales å kvitte seg med brøker på samme måte. Bare multipliser ligningen med den passende faktoren slik at nevnerne opphever seg.

Eksempler

Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligningen: x 2 − 7x = 0. Den er ufullstendig, derfor løses den som beskrevet for formel nummer to.

Etter å ha tatt den ut av parentes, viser det seg: x (x - 7) = 0.

Den første roten har verdien: x 1 = 0. Den andre vil bli funnet fra lineær ligning: x - 7 = 0. Det er lett å se at x 2 = 7.

Andre ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.

Etter å ha flyttet 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ligningen: 15 − 2х − x 2 = 0. Her og videre vil løsning av andregradsligninger begynne med omskrivning i standard visning: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttige råd og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 = 0. Ved å bruke den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er et positivt tall. Av det som er sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes ved hjelp av den femte formelen. Det viser seg at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Da er x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x = 0 transformeres til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være neste oppføring: "Det er ingen røtter."

Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha én rot, nemlig: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sjette ligningen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) krever transformasjoner, som består i det faktum at du må ta med lignende termer, først åpne parentesene. I stedet for det første vil det være følgende uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likheten vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende ledd er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x = 0. Den har blitt ufullstendig . Noe som ligner på dette er allerede diskutert litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.

Andregradsligningsproblemer studeres både i skolens læreplan og på universiteter. De betyr ligninger av formen a*x^2 + b*x + c = 0, hvor x- variabel, a,b,c – konstanter; en<>0 . Oppgaven er å finne røttene til ligningen.

Geometrisk betydning av kvadratisk ligning

Grafen til en funksjon som er representert ved en kvadratisk ligning er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene mellom parabelen og abscissen (x)-aksen. Det følger at det er tre mulige tilfeller:
1) parablen har ikke skjæringspunkter med abscisseaksen. Dette betyr at den er i det øvre planet med greiner opp eller bunnen med greiner ned. I slike tilfeller har kvadratisk ligning ingen reelle røtter (den har to komplekse røtter).

2) parablen har ett skjæringspunkt med okseaksen. Et slikt punkt kalles parabelens toppunkt, og den andregradsligningen ved det får sin minimums- eller maksimumsverdi. I dette tilfellet har kvadratisk ligning én reell rot (eller to identiske røtter).

3) Det siste tilfellet er mer interessant i praksis - det er to skjæringspunkter mellom parabelen og abscisseaksen. Dette betyr at det er to reelle røtter til ligningen.

Basert på analysen av koeffisientene til potensene til variablene, kan interessante konklusjoner trekkes om plasseringen av parabelen.

1) Hvis koeffisienten a er større enn null, er parabelens grener rettet oppover, hvis den er negativ, er parablens grener rettet nedover.

2) Hvis koeffisienten b er større enn null, så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan hvis den tar negativ betydning- så til høyre.

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning

La oss overføre konstanten fra andregradsligningen

for likhetstegnet får vi uttrykket

Multipliser begge sider med 4a

For å få en komplett firkant til venstre, legg til b^2 på begge sider og utfør transformasjonen

Herfra finner vi

Formel for diskriminanten og røttene til en kvadratisk ligning

Diskriminanten er verdien av det radikale uttrykket. Hvis det er positivt, har ligningen to reelle røtter, beregnet av formelen Når diskriminanten er null, har den andregradsligningen én løsning (to sammenfallende røtter), som enkelt kan fås fra formelen ovenfor for D=0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle røtter. Imidlertid finnes løsninger på den kvadratiske ligningen i det komplekse planet, og verdien deres beregnes ved hjelp av formelen

Vietas teorem

La oss vurdere to røtter av en andregradsligning og konstruere en andregradsligning på grunnlag av deres setning følger enkelt av notasjonen: hvis vi har en annengradsligning av formen. da er summen av røttene lik koeffisienten p tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene til ligningen er lik det frie leddet q. Formelrepresentasjonen av ovenstående vil se ut som Hvis konstanten a i en klassisk ligning ikke er null, må du dele hele ligningen med den, og deretter bruke Vietas teorem.

Factoring kvadratisk ligningsplan

La oppgaven settes: faktor en andregradsligning. For å gjøre dette løser vi først ligningen (finn røttene). Deretter erstatter vi de funnet røttene i ekspansjonsformelen for den kvadratiske ligningen. Dette vil løse problemet.

Andregradsligningsproblemer

Oppgave 1. Finn røttene til en andregradsligning

x^2-26x+120=0 .

Løsning: Skriv ned koeffisientene og bytt dem inn i diskriminantformelen

Roten til denne verdien er 14, den er lett å finne med en kalkulator, eller huske ved hyppig bruk, men for enkelhets skyld vil jeg på slutten av artikkelen gi deg en liste over kvadrater med tall som ofte kan oppstå i slike problemer.
Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen

og vi får

Oppgave 2. Løs ligningen

2x 2 +x-3=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning, skriver ut koeffisientene og finner diskriminanten


Ved å bruke kjente formler finner vi røttene til andregradsligningen

Oppgave 3. Løs ligningen

9x 2 -12x+4=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning. Bestemme diskriminanten

Vi har et tilfelle der røttene faller sammen. Finn verdiene til røttene ved å bruke formelen

Oppgave 4. Løs ligningen

x^2+x-6=0 .

Løsning: I tilfeller der det er små koeffisienter for x, er det tilrådelig å bruke Vietas teorem. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Fra den andre betingelsen finner vi at produktet må være lik -6. Dette betyr at en av røttene er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3;2), (3;-2) . Når vi tar hensyn til den første betingelsen, avviser vi det andre paret med løsninger.
Røttene til ligningen er like

Oppgave 5. Finn lengdene på sidene til et rektangel hvis omkretsen er 18 cm og arealet er 77 cm 2.

Løsning: Halve omkretsen til et rektangel er lik summen av dets tilstøtende sider. La oss betegne x som den større siden, så er 18-x den mindre siden. Arealet av rektangelet er lik produktet av disse lengdene:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
La oss finne diskriminanten til ligningen

Beregne røttene til ligningen

Hvis x=11, At 18'er=7 , det motsatte er også sant (hvis x=7, så 21'er=9).

Oppgave 6. Faktor den andregradsligningen 10x 2 -11x+3=0.

Løsning: La oss beregne røttene til ligningen, for å gjøre dette finner vi diskriminanten

Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen og beregner

Vi bruker formelen for å dekomponere en kvadratisk ligning med røtter

Ved å åpne parentesene får vi en identitet.

Andregradsligning med parameter

Eksempel 1. Ved hvilke parameterverdier A , har ligningen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 én rot?

Løsning: Ved direkte substitusjon av verdien a=3 ser vi at den ikke har noen løsning. Deretter vil vi bruke det faktum at med en null diskriminant har ligningen én rot av multiplisitet 2. La oss skrive ut diskriminanten

La oss forenkle det og likestille det til null

Vi har fått en andregradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning lett kan oppnås ved hjelp av Vietas teorem. Summen av røttene er 7, og produktet deres er 12. Ved enkelt søk fastslår vi at tallene 3,4 vil være røttene til ligningen. Siden vi allerede avviste løsningen a=3 i begynnelsen av beregningene, vil den eneste riktige være - a=4. For a=4 har ligningen altså én rot.

Eksempel 2. Ved hvilke parameterverdier A , ligningen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer enn én rot?

Løsning: La oss først vurdere entallspunktene, de vil være verdiene a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen forenkles til formen 6x-9=0; x=3/2 og det vil være én rot. For a= -3 får vi identiteten 0=0.
La oss beregne diskriminanten

og finn verdien av a der den er positiv

Fra den første betingelsen får vi a>3. For det andre finner vi diskriminanten og røttene til ligningen


La oss definere intervallene hvor funksjonen tar positive verdier. Ved å erstatte punktet a=0 får vi 3>0 . Så utenfor intervallet (-3;1/3) er funksjonen negativ. Ikke glem poenget a=0, som bør utelukkes fordi den opprinnelige ligningen har én rot i seg.
Som et resultat får vi to intervaller som tilfredsstiller betingelsene for problemet

Det vil være mange lignende oppgaver i praksis, prøv å finne ut av oppgavene selv og ikke glem å ta hensyn til forholdene som er gjensidig utelukkende. Studer godt formlene for å løse andregradsligninger de er ofte nødvendige i beregninger i ulike oppgaver og vitenskaper.