Vi lærer å redusere polynomer til standardform.

Konseptet med et polynom

Definisjon av polynom: Et polynom er summen av monomer. Polynomeksempel:

her ser vi summen av to monomer, og dette er et polynom, dvs. summen av monomer.

Begrepene som utgjør et polynom kalles vilkår for polynomet.

Er forskjellen mellom monomer et polynom? Ja, det er det, fordi forskjellen lett reduseres til en sum, eksempel: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomialer regnes også som polynomer. Men et monom har ingen sum, hvorfor regnes det da som et polynom? Og du kan legge til null til den og få summen med en null monomial. Så det monomiale er det spesielt tilfelle polynom, den består av ett medlem.

Tallet null er nullpolynomet.

Standard form for polynom

Hva er et polynom av standardform? Et polynom er summen av monomer, og hvis alle disse monomiene som utgjør polynomet er skrevet på standardform, og det ikke skal være noen lignende blant dem, så skrives polynomet på standardform.

Et eksempel på et polynom i standardform:

her består polynomet av 2 monomialer, som hver har en standardform blant monomiene er det ingen lignende.

Nå et eksempel på et polynom som ikke har en standardform:

her er to monomialer: 2a og 4a like. Vi må legge dem sammen, så vil polynomet ha standardformen:

Et annet eksempel:

Dette polynomet er redusert til standard visning? Nei, hans andre periode er ikke skrevet i standardform. Når vi skriver det i standardform, får vi et polynom av standardform:

Polynomgrad

Hva er graden av et polynom?

Polynomgradsdefinisjon:

Graden av et polynom er den høyeste graden som monomiene som utgjør et gitt polynom av standardform har.

Eksempel. Hva er graden av polynomet 5h? Graden av polynomet 5h er lik én, fordi dette polynomet inneholder bare ett monom og graden er lik én.

Et annet eksempel. Hva er graden av polynomet 5a 2 h 3 s 4 +1? Graden av polynomet 5a 2 h 3 s 4 + 1 er lik ni, fordi dette polynomet inkluderer to monomer, det første monomet 5a 2 h 3 s 4 har den høyeste graden, og graden er 9.

Et annet eksempel. Hva er graden av polynomet 5? Graden til et polynom 5 er null. Så, graden av et polynom som bare består av et tall, dvs. uten bokstaver er lik null.

Det siste eksempelet. Hva er graden av nullpolynomet, dvs. null? Graden av nullpolynomet er ikke definert.

Et polynom er summen av monomer. Hvis alle leddene i et polynom er skrevet i standardform (se avsnitt 51) og lignende termer reduseres, vil du få et polynom av standardform.

Ethvert heltallsuttrykk kan konverteres til et polynom av standardform - dette er hensikten med transformasjoner (forenklinger) av heltallsuttrykk.

La oss se på eksempler der et helt uttrykk må reduseres til standardformen til et polynom.

Løsning. Først, la oss bringe vilkårene til polynomet til standardform. Vi får Etter å ha tatt med lignende termer, får vi et polynom av standardformen

Løsning. Hvis det er et plusstegn foran parentesene, kan parentesene utelates, mens tegnene til alle begreper i parentes bevares. Ved å bruke denne regelen for å åpne parenteser får vi:

Løsning. Hvis parentesene innledes med et minustegn, kan parentesene utelates ved å endre fortegnene til alle ledd i parentes. Ved å bruke denne regelen for å skjule parenteser får vi:

Løsning. Produktet av et monom og et polynom, i henhold til den distributive loven, er lik summen av produktene til dette monomet og hvert medlem av polynomet. Vi får

Løsning. Vi har

Det gjenstår å gi lignende vilkår (de er understreket). Vi får:

53. Forkortede multiplikasjonsformler.

I noen tilfeller utføres å bringe et helt uttrykk til standardformen til et polynom ved å bruke identitetene:

Disse identitetene kalles forkortede multiplikasjonsformler,

La oss se på eksempler der du trenger å konvertere et gitt uttrykk til standardform myogochlea.

Eksempel 1. .

Løsning. Ved å bruke formel (1) får vi:

Eksempel 2. .

Løsning.

Eksempel 3. .

Løsning. Ved å bruke formel (3) får vi:

Eksempel 4.

Løsning. Ved å bruke formel (4) får vi:

54. Faktorisering av polynomer.

Noen ganger kan du transformere et polynom til et produkt av flere faktorer - polynomer eller subnomialer. En slik identitetstransformasjon kalles faktorisering av polynomet. I dette tilfellet sies polynomet å være delelig med hver av disse faktorene.

La oss se på noen måter å faktorisere polynomer på,

1) Å ta den felles faktoren ut av parentes. Denne transformasjonen er en direkte konsekvens av distribusjonsloven (for klarhetens skyld trenger du bare å omskrive denne loven "fra høyre til venstre"):

Eksempel 1: Faktor et polynom

Løsning. .

Vanligvis, når den felles faktoren tas ut av parentes, blir hver variabel som er inkludert i alle termer av polynomet tatt ut med den laveste eksponenten den har i dette polynomet. Hvis alle koeffisientene til polynomet er heltall, blir den største i modul tatt som koeffisienten til fellesfaktoren felles deler alle koeffisientene til polynomet.

2) Bruke forkortede multiplikasjonsformler. Formler (1) - (7) fra paragraf 53, lest fra høyre mot venstre, viser seg i mange tilfeller å være nyttige for faktorisering av polynomer.

Eksempel 2: Faktor .

Løsning. Vi har. Ved å bruke formel (1) (forskjell på kvadrater), får vi . Ved å søke

Nå formler (4) og (5) (sum av terninger, forskjell av terninger), får vi:

Eksempel 3. .

Løsning. La oss først ta den felles faktoren ut av braketten. For å gjøre dette vil vi finne den største felles divisoren til koeffisientene 4, 16, 16 og de minste eksponentene som variablene a og b er inkludert med i de konstituerende monomiene til dette polynomet. Vi får:

3) Metode for gruppering. Den er basert på det faktum at de kommutative og assosiative addisjonslovene gjør at medlemmene av et polynom kan grupperes forskjellige måter. Noen ganger er det mulig å gruppere på en slik måte at etter å ha tatt fellesfaktorene ut av parentes, forblir det samme polynomet i parentes i hver gruppe, som igjen, som en felles faktor, kan tas ut av parentes. La oss se på eksempler på faktorisering av et polynom.

Eksempel 4. .

Løsning. La oss gjøre grupperingen som følger:

I den første gruppen, la oss ta den felles faktoren ut av parentesene inn i den andre - den felles faktoren 5. Vi får Nå setter vi polynomet som en felles faktor ut av parentesene: Dermed får vi:

Eksempel 5.

Løsning. .

Eksempel 6.

Løsning. Her vil ingen gruppering føre til at det vises samme polynom i alle grupper. I slike tilfeller er det noen ganger nyttig å representere et medlem av polynomet som en sum, og deretter prøve grupperingsmetoden på nytt. I vårt eksempel er det tilrådelig å representere det som en sum vi får

Eksempel 7.

Løsning. Legg til og trekk fra en monomial Vi får

55. Polynomer i én variabel.

Et polynom, hvor a, b er variable tall, kalles et polynom av første grad; et polynom hvor a, b, c er variable tall, kalt et polynom av andre grad eller et kvadratisk trinomium; et polynom hvor a, b, c, d er tall, variabelen kalles et polynom av tredje grad.

Generelt, hvis o er en variabel, så er det et polynom

kalt lsmogochnolenol grad (i forhold til x); , m-ledd av polynomet, koeffisienter, det ledende leddet til polynomet, a er koeffisienten til det ledende leddet, det frie leddet til polynomet. Vanligvis skrives et polynom i synkende potenser av en variabel, det vil si at potensene til en variabel reduseres gradvis, spesielt er det ledende leddet på første plass, og det frie leddet er på siste plass. Graden av et polynom er graden av det høyeste leddet.

For eksempel et polynom av femte grad, der det ledende leddet, 1, er det frie leddet til polynomet.

Roten til et polynom er verdien som polynomet forsvinner med. For eksempel er tallet 2 roten til et polynom siden

Vi sa at det finnes både standard og ikke-standard polynomer. Der merket vi at alle kan bringe polynomet til standardform. I denne artikkelen vil vi først finne ut hvilken betydning denne setningen har. Deretter viser vi trinnene for å konvertere et hvilket som helst polynom til standardform. La oss til slutt se på løsninger på typiske eksempler. Vi vil beskrive løsningene i stor detalj for å forstå alle nyansene som oppstår når polynomer reduseres til standardform.

Sidenavigering.

Hva betyr det å redusere et polynom til standardform?

Først må du tydelig forstå hva som menes med å redusere et polynom til standardform. La oss finne ut av dette.

Polynomer, som alle andre uttrykk, kan bli utsatt for identiske transformasjoner. Som et resultat av å utføre slike transformasjoner, oppnås uttrykk som er identisk lik det opprinnelige uttrykket. Ved å utføre visse transformasjoner med polynomer av ikke-standardform kan man altså gå videre til polynomer som er identisk like med dem, men skrevet i standardform. Denne overgangen kalles å redusere polynomet til standardform.

Så, redusere polynomet til standardform- dette betyr å erstatte det opprinnelige polynomet med et identisk likt polynom av en standardform, hentet fra det opprinnelige ved å utføre identiske transformasjoner.

Hvordan redusere et polynom til standardform?

La oss tenke på hvilke transformasjoner som vil hjelpe oss å bringe polynomet til en standardform. Vi vil ta utgangspunkt i definisjonen av et polynom av standardformen.

Per definisjon er hvert ledd i et polynom av standardform et monomer av standardform, og et polynom av standardform inneholder ingen lignende termer. I sin tur kan polynomer skrevet i en annen form enn standard en bestå av monomer i en ikke-standard form og kan inneholde lignende termer. Dette følger logisk den følgende regelen, som forklarer hvordan redusere et polynom til standardform:

først må du bringe monomialene som utgjør det opprinnelige polynomet til standardform,
utfør deretter reduksjonen av lignende termer.

Som et resultat vil et polynom av standardform bli oppnådd, siden alle termene vil bli skrevet i standardform, og det vil ikke inneholde lignende termer.

Eksempler, løsninger

La oss se på eksempler på å redusere polynomer til standardform. Når vi løser, vil vi følge trinnene diktert av regelen fra forrige avsnitt.

La oss merke seg her at noen ganger er alle vilkårene til et polynom umiddelbart skrevet i standardform i dette tilfellet, det er nok å bare gi lignende vilkår. Noen ganger, etter å ha redusert vilkårene til et polynom til en standardform, er det ingen lignende vilkår, derfor er trinnet med å bringe lignende vilkår utelatt i dette tilfellet. Generelt må du gjøre begge deler.

Eksempel.

Presenter polynomene i standardform: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Og .

Løsning.

Alle ledd i polynomet 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 er skrevet i standardform, det har ikke lignende termer, derfor er dette polynomet allerede presentert i standardform.

La oss gå videre til neste polynom 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Formen er ikke standard, noe som fremgår av begrepene 2·a 3 ·0.6 og −b·a·b 4 ·b 5 i en ikke-standardform. La oss presentere det i standardform.

På det første stadiet med å bringe det opprinnelige polynomet til standardform, må vi presentere alle termene i standardform. Derfor reduserer vi monomial 2·a 3 ·0.6 til standardform, vi har 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3, hvoretter vi tar monomial −b·a·b 4 ·b 5 , vi har −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Dermed, . I det resulterende polynomet er alle termer skrevet i standardform, dessuten er det åpenbart at det ikke er lignende termer. Følgelig fullfører dette reduksjonen av det opprinnelige polynomet til standardform.

Det gjenstår å presentere det siste av de gitte polynomene i standardform. Etter å ha brakt alle medlemmene til standardform, vil det bli skrevet som . Den har lignende medlemmer, så du må kaste lignende medlemmer:

Så det opprinnelige polynomet tok standardformen −x·y+1.

Svar:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – allerede i standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Ofte er å bringe et polynom til en standardform bare et mellomtrinn i svaret på det stilte spørsmålet om problemet. For å finne graden av et polynom krever for eksempel dens foreløpige representasjon i standardform.

Eksempel.

Gi et polynom til standardskjemaet, angi graden og ordne leddene i synkende grader av variabelen.

Løsning.

Først bringer vi alle termene i polynomet til standardform: .

Nå presenterer vi lignende termer:

Så vi brakte det opprinnelige polynomet til en standardform, dette lar oss bestemme graden av polynomet, som er lik den høyeste graden av monomiene som er inkludert i det. Det er tydeligvis lik 5.

Det gjenstår å ordne vilkårene til polynomet i avtagende potenser til variablene. For å gjøre dette trenger du bare å omorganisere vilkårene i det resulterende polynomet av standardform, under hensyntagen til kravet. Begrepet z 5 har den høyeste graden av leddene −0,5·z 2 og 11 er lik henholdsvis 3, 2 og 0. Derfor vil et polynom med termer ordnet i avtagende potenser av variabelen ha formen .

Svar:

Graden av polynomet er 5, og etter å ha ordnet termene i synkende grader av variabelen, tar det formen .

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 7. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra og startet matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Utdanning, 2010.- 368 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Per definisjon er et polynom algebraisk uttrykk som er summen av monomer.

For eksempel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 er polynomer, og uttrykket z/(x - x*y^2 + 4) er ikke et polynom fordi det ikke er en sum av monomer. Et polynom kalles også noen ganger et polynom, og monomer som er en del av et polynom er medlemmer av et polynom eller monomer.

Kompleks konsept av polynom

Hvis et polynom består av to ledd, kalles det et binomium hvis det består av tre, kalles det et trinomium. Navnene fournomial, fivenomial og andre brukes ikke, og i slike tilfeller sier de bare polynom. Slike navn, avhengig av antall termer, setter alt på sin plass.

Og begrepet monomialt blir intuitivt. Fra et matematisk synspunkt er et monomial et spesialtilfelle av et polynom. Et monom er et polynom som består av ett ledd.

Akkurat som et monom, har et polynom sin egen standardform. Standardformen til et polynom er en slik notasjon av et polynom der alle monomiene som er inkludert i det som termer er skrevet i en standardform og lignende termer er gitt.

Standard form for polynom

Prosedyren for å redusere et polynom til standardform er å redusere hver av monomialene til standardform, og deretter legge alle lignende monomialer sammen. Tilføyelse av lignende ledd i et polynom kalles reduksjon av lignende.
La oss for eksempel gi lignende termer i polynomet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Begrepene 4*a*b^2*c^3 og 6*a*b^2*c^3 er like her. Summen av disse leddene vil være den monomiale 10*a*b^2*c^3. Derfor kan det opprinnelige polynomet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b skrives om til 10*a*b^2*c^3 - a* b. Denne oppføringen vil være standardformen for et polynom.

Fra det faktum at et hvilket som helst monomer kan reduseres til en standardform, følger det også at et hvilket som helst polynom kan reduseres til en standardform.

Når et polynom reduseres til standardform, kan vi snakke om et slikt konsept som graden av et polynom. Graden av et polynom er den høyeste graden av et monom som er inkludert i et gitt polynom.
Så, for eksempel, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 er et polynom av femte grad, siden den maksimale graden av monomet inkludert i polynomet (5*x^3*y^ 2) er femte.

På denne leksjonen Vi vil huske de grunnleggende definisjonene av dette emnet og vurdere noen typiske problemer, nemlig å redusere et polynom til en standardform og beregne en numerisk verdi for gitte verdier av variabler. Vi skal løse flere eksempler der reduksjon til standardskjema skal brukes til å løse ulike typer problemer.

Emne:Polynomer. Aritmetiske operasjoner på monomer

Lekse:Redusere et polynom til standardform. Typiske oppgaver

La oss huske den grunnleggende definisjonen: et polynom er summen av monomer. Hvert monom som er en del av et polynom som begrep kalles medlem. For eksempel:

Binomial;

Polynom;

Binomial;

Siden et polynom består av monomer, følger den første handlingen med et polynom herfra - du må bringe alle monomer til en standardform. La oss minne deg på at for å gjøre dette må du multiplisere alle de numeriske faktorene - få en numerisk koeffisient, og multiplisere de tilsvarende potensene - få bokstavdelen. I tillegg, la oss ta hensyn til teoremet om produktet av potenser: når man multipliserer potenser, summeres eksponentene deres.

La oss vurdere en viktig operasjon - å redusere et polynom til standardform. Eksempel:

Kommentar: for å bringe et polynom til en standardform, må du bringe alle monomiene som er inkludert i sammensetningen til en standardform, hvoretter, hvis det er lignende monomer - og disse er monomer med samme bokstavdel - utføre handlinger med dem .

Så vi så på det første typiske problemet - å bringe et polynom til en standardform.

Neste typisk oppgave- beregning av en spesifikk verdi av et polynom for gitte numeriske verdier av variablene som er inkludert i det. La oss fortsette å se på forrige eksempel og angi verdiene til variablene:

Kommentar: husk at en til en hvilken som helst naturlig potens er lik en, og null til en hvilken som helst naturlig potens er lik null, husk i tillegg at når vi multipliserer et hvilket som helst tall med null, får vi null.

La oss se på en rekke eksempler på typiske operasjoner for å redusere et polynom til en standardform og beregne verdien:

Eksempel 1 - bringe til standardform:

Kommentar: det første trinnet er å bringe monomialene til standardform, du må ta med den første, andre og sjette; andre handling - vi bringer lignende vilkår, det vil si at vi utfører de gitte oppgavene på dem aritmetiske operasjoner: vi legger til den første med den femte, den andre med den tredje, resten skrives om uten endringer, siden de ikke har lignende.

Eksempel 2 - beregn verdien av polynomet fra eksempel 1 gitt verdiene til variablene:

Kommentar: når du regner, bør du huske at en enhet til enhver naturlig potens er én hvis det er vanskelig å beregne potenser av to, kan du bruke potenstabellen.

Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sett en monomial slik at resultatet ikke inneholder en variabel:

Kommentar: uavhengig av oppgaven er den første handlingen alltid den samme - bring polynomet til en standardform. I vårt eksempel kommer denne handlingen ned til å bringe lignende termer. Etter dette bør du lese tilstanden nøye igjen og tenke på hvordan vi kan bli kvitt monomialet. Åpenbart, for dette må du legge til samme monomial til det, men med motsatt tegn-. Deretter erstatter vi stjernen med denne monomialen og sørger for at løsningen vår er riktig.