Leksjon "standardform for polynom". Polynomer

Leksjon om emnet: "Konseptet og definisjonen av et polynom. Standardform for et polynom"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 7. klasse
Elektronisk lærebok basert på læreboken til Yu.N. Makarycheva
Elektronisk lærebok basert på læreboken til Sh.A. Alimova

Gutter, dere har allerede studert monomialer i emnet: Standardform for monomial. Definisjoner. Eksempler. La oss se på de grunnleggende definisjonene.

Monomial– et uttrykk som består av et produkt av tall og variabler. Variabler kan heves til naturlige potenser. Et monomial inneholder ingen andre operasjoner enn multiplikasjon.

Standard form for monomial- denne typen når koeffisienten (numerisk faktor) kommer først, etterfulgt av gradene til ulike variabler.

Lignende monomer– disse er enten identiske monomer, eller monomer som skiller seg fra hverandre med en koeffisient.

Konseptet med et polynom

Et polynom, som et monom, er et generalisert navn for matematiske uttrykk av en bestemt type. Vi har møtt slike generaliseringer før. For eksempel "sum", "produkt", "eksponentiering". Når vi hører «tallforskjell», kommer ikke tanken på multiplikasjon eller divisjon engang opp for oss. Dessuten er et polynom et uttrykk av en strengt definert type.

Definisjon av et polynom

Polynom er summen av monomiene.

Monomialene som utgjør et polynom kalles medlemmer av polynomet. Hvis det er to ledd, så har vi å gjøre med et binomial, hvis det er tre, så med et trinomium. Hvis det er flere ledd, er det et polynom.

Eksempler på polynomer.

1) 2аb + 4сd (binomial);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomial);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2.

La oss se nøye på det siste uttrykket. Per definisjon er et polynom summen av monomer, men i det siste eksemplet legger vi ikke bare til, men trekker også fra monomer.
For å avklare, la oss se på et lite eksempel.

La oss skrive ned uttrykket a + b - c(la oss bli enige om det a ≥ 0, b ≥ 0 og c ≥0) og svar på spørsmålet: er dette summen eller forskjellen? Det er vanskelig å si.
Faktisk, hvis vi omskriver uttrykket som a + b + (-c), får vi summen av to positive og ett negativt ledd.
Hvis du ser på vårt eksempel, har vi spesifikt å gjøre med summen av monomialer med koeffisienter: 3, - 2, 7, -5. I matematikk er det et begrep " algebraisk sum". I definisjonen av et polynom mener vi altså en "algebraisk sum."

Men en notasjon av formen 3a: b + 7c er ikke et polynom fordi 3a: b ikke er et monom.
Notasjonen av formen 3b + 2a * (c 2 + d) er heller ikke et polynom, siden 2a * (c 2 + d) ikke er et monom. Hvis du åpner parentesene, vil det resulterende uttrykket være et polynom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Polynomgrad er den høyeste graden av medlemmene.
Polynomet a 3 b 2 + a 4 har den femte graden, siden graden av monomiet a 3 b 2 er 2 + 3= 5, og graden av monomiet a 4 er 4.

Standard form for polynom

Et polynom som ikke har lignende termer og er skrevet i synkende rekkefølge av potensene til termene til polynomet, er et polynom av standardform.

Polynomet bringes til en standardform for å fjerne unødvendig tungvint skriving og forenkle videre handlinger med det.

Ja, hvorfor for eksempel skrive det lange uttrykket 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, når det kan skrives kortere enn 9b 2 + 3a 2 + 8.

For å bringe et polynom til standardform, må du:
1. bringe alle medlemmene til et standardskjema,
2. legg til lignende (identiske eller med forskjellige numeriske koeffisienter) ledd. Denne prosedyren ofte kalt bringe lignende.

Eksempel.
Reduser polynomet aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 til standardform.

Løsning.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

La oss bestemme potensene til monomialene som er inkludert i uttrykket og ordne dem i synkende rekkefølge.
11a 2 b har tredje grad, 3 x 5 y 2 har syvende grad, 14 har null grad.
Det betyr at vi skal sette 3 x 5 y 2 (7. grad) på første plass, 12a 2 b (3. grad) på andre plass, og 14 (null grad) på tredje plass.
Som et resultat får vi et polynom av standardformen 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Eksempler på selvløsning

Reduser polynomer til standardform.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Vi sa at det finnes både standard og ikke-standard polynomer. Der merket vi at alle kan bringe polynomet til standardform. I denne artikkelen vil vi først finne ut hvilken betydning denne setningen har. Deretter viser vi trinnene som lar deg transformere et hvilket som helst polynom til standard visning. La oss til slutt se på løsninger på typiske eksempler. Vi vil beskrive løsningene i stor detalj for å forstå alle nyansene som oppstår når polynomer reduseres til standardform.

Sidenavigering.

Hva betyr det å redusere et polynom til standardform?

Først må du tydelig forstå hva som menes med å redusere et polynom til standardform. La oss finne ut av dette.

Polynomer, som alle andre uttrykk, kan bli utsatt for identiske transformasjoner. Som et resultat av å utføre slike transformasjoner, oppnås uttrykk som er identisk lik det opprinnelige uttrykket. Ved å utføre visse transformasjoner med polynomer av ikke-standardform kan man altså gå videre til polynomer som er identisk like med dem, men skrevet i standardform. Denne overgangen kalles å redusere polynomet til standardform.

Så, redusere polynomet til standardform- dette betyr å erstatte det opprinnelige polynomet med et identisk likt polynom av en standardform, hentet fra det opprinnelige ved å utføre identiske transformasjoner.

Hvordan redusere et polynom til standardform?

La oss tenke på hvilke transformasjoner som vil hjelpe oss å bringe polynomet til en standardform. Vi vil ta utgangspunkt i definisjonen av et polynom av standardformen.

Per definisjon er hvert ledd i et polynom av standardform et monomer av standardform, og et polynom av standardform inneholder ingen lignende termer. I sin tur kan polynomer skrevet i en annen form enn standard en bestå av monomer i en ikke-standard form og kan inneholde lignende termer. Dette følger logisk den følgende regelen, som forklarer hvordan redusere et polynom til standardform:

• først må du bringe monomialene som utgjør det opprinnelige polynomet til standardform,
• utfør deretter reduksjonen av lignende termer.

Som et resultat vil et polynom av standardform bli oppnådd, siden alle termene vil bli skrevet i standardform, og det vil ikke inneholde lignende termer.

Eksempler, løsninger

La oss se på eksempler på å redusere polynomer til standardform. Når vi løser, vil vi følge trinnene diktert av regelen fra forrige avsnitt.

Her merker vi at noen ganger er alle vilkårene til et polynom umiddelbart skrevet i standardform i dette tilfellet, det er nok å bare gi lignende vilkår. Noen ganger, etter å ha redusert vilkårene til et polynom til en standardform, er det ingen lignende vilkår, derfor er trinnet med å bringe lignende vilkår utelatt i dette tilfellet. Generelt må du gjøre begge deler.

Eksempel.

Presenter polynomene i standardform: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Og .

Løsning.

Alle ledd i polynomet 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 er skrevet i standardform, det har ikke lignende termer, derfor er dette polynomet allerede presentert i standardform.

La oss gå videre til neste polynom 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Formen er ikke standard, noe som fremgår av begrepene 2·a 3 ·0.6 og −b·a·b 4 ·b 5 i en ikke-standardform. La oss presentere det i standardform.

På det første stadiet med å bringe det opprinnelige polynomet til standardform, må vi presentere alle termene i standardform. Derfor bringer vi monomial 2·a 3 ·0.6 til standardformen, vi har 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3, hvoretter – monomial −b·a·b 4 ·b 5, har vi −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Dermed,. I det resulterende polynomet er alle termer skrevet i standardform, dessuten er det åpenbart at det ikke er lignende termer. Følgelig fullfører dette reduksjonen av det opprinnelige polynomet til standardform.

Det gjenstår å presentere det siste av de gitte polynomene i standardform. Etter å ha brakt alle medlemmene til standardform, vil det bli skrevet som . Den har lignende medlemmer, så du må kaste lignende medlemmer:

Så det opprinnelige polynomet tok standardformen −x·y+1.

Svare:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – allerede i standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Ofte er å bringe et polynom til en standardform bare et mellomtrinn for å svare på spørsmålet som stilles til problemet. For å finne graden av et polynom krever for eksempel dens foreløpige representasjon i standardform.

Eksempel.

Gi et polynom til standardskjemaet, angi graden og ordne leddene i synkende grader av variabelen.

Løsning.

Først bringer vi alle termene i polynomet til standardform: .

Nå presenterer vi lignende termer:

Så vi brakte det opprinnelige polynomet til en standardform, dette lar oss bestemme graden av polynomet, som er lik den høyeste graden av monomiene som er inkludert i det. Det er tydeligvis lik 5.

Det gjenstår å ordne vilkårene til polynomet i avtagende potenser til variablene. For å gjøre dette trenger du bare å omorganisere vilkårene i det resulterende polynomet av standardform, under hensyntagen til kravet. Begrepet z 5 har den høyeste graden av leddene −0,5·z 2 og 11 er lik henholdsvis 3, 2 og 0. Derfor vil et polynom med termer ordnet i avtagende potenser av variabelen ha formen .

Svare:

Graden av polynomet er 5, og etter å ha ordnet dets ledd i synkende grader av variabelen, tar det formen .

Referanser.

• Algebra: lærebok for 7. klasse. generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra og startet matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Utdanning, 2010.- 368 s. : syk. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

På denne leksjonen Vi vil huske de grunnleggende definisjonene av dette emnet og vurdere noen typiske problemer, nemlig å redusere et polynom til en standardform og beregne en numerisk verdi for gitte verdier av variabler. Vi skal løse flere eksempler hvor reduksjon til standardskjema skal brukes for å løse ulike typer problemer.

Tema:Polynomer. Aritmetiske operasjoner på monomer

Lekse:Redusere et polynom til standardform. Typiske oppgaver

La oss huske den grunnleggende definisjonen: et polynom er summen av monomer. Hvert monom som er en del av et polynom som begrep kalles medlem. For eksempel:

Binomial;

Polynom;

Binomial;

Siden et polynom består av monomer, følger den første handlingen med et polynom herfra - du må bringe alle monomer til en standardform. La oss minne deg på at for å gjøre dette må du multiplisere alle de numeriske faktorene - få en numerisk koeffisient, og multiplisere de tilsvarende potensene - få bokstavdelen. I tillegg, la oss ta hensyn til teoremet om produktet av potenser: når man multipliserer potenser, summeres eksponentene deres.

La oss vurdere en viktig operasjon - å redusere et polynom til standardform. Eksempel:

Kommentar: for å bringe et polynom til en standardform, må du bringe alle monomiene som er inkludert i sammensetningen til en standardform, hvoretter, hvis det er lignende monomer - og disse er monomer med samme bokstavdel - utføre handlinger med dem .

Så vi så på det første typiske problemet - å bringe et polynom til en standardform.

Neste typisk oppgave- beregning av en spesifikk verdi av et polynom for gitte numeriske verdier av variablene som er inkludert i det. La oss fortsette å se på det forrige eksemplet og angi verdiene til variablene:

Kommentar: la oss huske at en til en hvilken som helst naturlig potens er lik en, og null til en hvilken som helst naturlig potens er lik null, i tillegg husker vi at når vi multipliserer et hvilket som helst tall med null, får vi null.

La oss se på en rekke eksempler på typiske operasjoner for å bringe et polynom til en standardform og beregne verdien:

Eksempel 1 - bringe til standardform:

Kommentar: det første trinnet er å bringe monomialene til standardformen, du må ta med den første, andre og sjette; andre handling - vi bringer lignende vilkår, det vil si at vi utfører de gitte oppgavene på dem aritmetiske operasjoner: vi legger til den første med den femte, den andre med den tredje, resten skrives om uten endringer, siden de ikke har noen lignende.

Eksempel 2 - beregn verdien av polynomet fra eksempel 1 gitt verdiene til variablene:

Kommentar: når du regner, bør du huske at en til enhver naturlig potens er en hvis det er vanskelig å beregne potenser av to, kan du bruke potenstabellen.

Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sett en monomial slik at resultatet ikke inneholder en variabel:

Kommentar: uavhengig av oppgaven er den første handlingen alltid den samme - bring polynomet til en standardform. I vårt eksempel kommer denne handlingen ned til å bringe lignende termer. Etter dette bør du lese tilstanden nøye igjen og tenke på hvordan vi kan bli kvitt monomialet. Åpenbart, for dette må du legge til samme monomial til det, men med motsatt tegn-. Deretter erstatter vi stjernen med denne monomialen og sørger for at løsningen vår er riktig.

- polynomer. I denne artikkelen vil vi skissere alle de innledende og nødvendig informasjon om polynomer. Disse inkluderer for det første definisjonen av et polynom med tilhørende definisjoner av termene til polynomet, spesielt fritermen og lignende termer. For det andre vil vi dvele ved polynomer av standardformen, gi den passende definisjonen og gi eksempler på dem. Til slutt vil vi introdusere definisjonen av graden av et polynom, finne ut hvordan du finner det og snakke om koeffisientene til termene til polynomet.

Sidenavigering.

Polynom og dets termer - definisjoner og eksempler

I klasse 7 studeres polynomer umiddelbart etter monomialer, dette er forståelig, siden polynomdefinisjon gis gjennom monomialer. La oss gi denne definisjonen for å forklare hva et polynom er.

Definisjon.

Polynom er summen av monomer; Et monom regnes som et spesialtilfelle av et polynom.

Den skriftlige definisjonen lar deg gi så mange eksempler på polynomer du vil. Enhver av monomialene 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, etc. er et polynom. Dessuten, per definisjon, 1+x, a 2 +b 2 og er polynomer.

For å gjøre det lettere å beskrive polynomer, introduseres en definisjon av et polynombegrep.

Definisjon.

Polynomiske termer er de konstituerende monomiene i et polynom.

For eksempel består polynomet 3 x 4 −2 x y+3−y 3 av fire ledd: 3 x 4 , −2 x y , 3 og −y 3 . Et monom regnes som et polynom som består av ett ledd.

Definisjon.

Polynomer som består av to og tre termer har spesielle navn - binomial Og trinomial hhv.

Så x+y er et binomial, og 2 x 3 q−q x x x+7 b er et trinomial.

På skolen må vi oftest jobbe med lineær binomial a x+b , der a og b er noen tall, og x er en variabel, samt c kvadratisk trinomium a·x 2 +b·x+c, der a, b og c er noen tall, og x er en variabel. Her er eksempler på lineære binomialer: x+1, x 7,2−4, og her er eksempler på kvadratiske trinomialer: x 2 +3 x−5 og .

Polynomer i notasjonen kan ha lignende termer. For eksempel, i polynomet 1+5 x−3+y+2 x er de lignende leddene 1 og −3, samt 5 x og 2 x. De har sitt eget spesielle navn - lignende termer av et polynom.

Definisjon.

Lignende termer for et polynom lignende termer i et polynom kalles.

I det forrige eksemplet er 1 og −3, samt paret 5 x og 2 x, lignende ledd i polynomet. I polynomer som har lignende termer, kan du redusere lignende termer for å forenkle formen deres.

Polynom av standardform

For polynomer, som for monomer, er det en såkalt standardform. La oss gi uttrykk for den tilsvarende definisjonen.

Basert på denne definisjonen, kan vi gi eksempler på polynomer av standardform. Så polynomene 3 x 2 −x y+1 og skrevet i standardform. Og uttrykkene 5+3 x 2 −x 2 +2 x z og x+x y 3 x z 2 +3 z er ikke polynomer av standardformen, siden den første av dem inneholder lignende ledd 3 x 2 og −x 2 , og i den andre - en monomial x·y 3 ·x·z 2, hvis form er forskjellig fra standarden.

Merk at du om nødvendig alltid kan redusere polynomet til standardform.

Et annet konsept relatert til polynomer av standardformen er konseptet med en fri term for et polynom.

Definisjon.

Friledd for et polynom er medlem av et polynom av standardform uten bokstavdel.

Med andre ord, hvis et polynom av standardform inneholder et tall, kalles det et fritt medlem. For eksempel er 5 frileddet til polynomet x 2 z+5, men polynomet 7 a+4 a b+b 3 har ikke friledd.

Grad av et polynom - hvordan finner jeg det?

En annen viktig relatert definisjon er definisjonen av graden av et polynom. Først definerer vi graden av et polynom av standardformen. Denne definisjonen er basert på graden av monomialene som er i sammensetningen.

Definisjon.

Grad av et polynom av standardform er den største av potensene til monomialene som er inkludert i notasjonen.

La oss gi eksempler. Graden av polynomet 5 x 3 −4 er lik 3, siden monomialene 5 x 3 og −4 inkludert i det har henholdsvis grader 3 og 0, det største av disse tallene er 3, som er graden av polynomet per definisjon. Og graden av polynomet 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x lik det største av tallene 2+3=5, 4+1=5 og 1, det vil si 5.

La oss nå finne ut hvordan du finner graden av et polynom av hvilken som helst form.

Definisjon.

Graden av et polynom av vilkårlig form kalle graden av det tilsvarende polynomet av standardform.

Så hvis et polynom ikke er skrevet i standardform, og du må finne graden, må du redusere det opprinnelige polynomet til standardform, og finne graden av det resulterende polynomet - det vil være det nødvendige. La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn graden av polynomet 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Løsning.

Først må du representere polynomet i standardform:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Det resulterende polynomet av standardform inkluderer to monomer −2 · a 2 · b 2 · c 2 og y 2 · z 2 . La oss finne potensene deres: 2+2+2=6 og 2+2=4. Den største av disse potensene er åpenbart 6, som per definisjon er potensen til et polynom av standardformen −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, og derfor graden av det opprinnelige polynomet., 3 x og 7 av polynomet 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Referanser.

• Algebra: lærebok for 7. klasse. generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Utdanning, 2010.- 368 s. : syk. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Når du studerer emnet polynomer, er det verdt å nevne separat at polynomer forekommer i både standard- og ikke-standardformer. I dette tilfellet kan et polynom av en ikke-standardform reduseres til en standardform. Faktisk vil dette spørsmålet bli diskutert i denne artikkelen. La oss forsterke forklaringene med eksempler med en detaljert trinn-for-trinn-beskrivelse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydningen av å redusere et polynom til standardform

La oss gå litt dypere inn i selve konseptet, handlingen - "å bringe et polynom til en standardform."

Polynomer, som alle andre uttrykk, kan transformeres identisk. Som et resultat får vi i dette tilfellet uttrykk som er identisk like med det opprinnelige uttrykket.

Definisjon 1

Reduser polynomet til standardform– betyr å erstatte det opprinnelige polynomet med et likt polynom av standardform, hentet fra det opprinnelige polynomet ved bruk av identiske transformasjoner.

En metode for å redusere et polynom til standardform

La oss spekulere på temaet nøyaktig hvilke identitetstransformasjoner som vil føre polynomet til standardformen.

Definisjon 2

I henhold til definisjonen består hvert polynom av standardform av monomer av standardform og inneholder ikke lignende termer. Et polynom av en ikke-standardform kan inkludere monomer av en ikke-standardform og lignende termer. Fra ovenstående utledes naturligvis en regel om hvordan man reduserer et polynom til en standardform:

• først og fremst reduseres monomialene som utgjør et gitt polynom til standardform;
• deretter gjennomføres reduksjonen av tilsvarende medlemmer.

Eksempler og løsninger

La oss undersøke i detalj eksempler der vi reduserer polynomet til standardform. Vi vil følge regelen som er utledet ovenfor.

Legg merke til at noen ganger har vilkårene til et polynom i den opprinnelige tilstanden allerede en standardform, og alt som gjenstår er å bringe lignende vilkår. Det hender at etter det første trinnet med handlinger er det ingen slike vilkår, så hopper vi over det andre trinnet. I generelle tilfeller er det nødvendig å utføre begge handlingene fra regelen ovenfor.

Eksempel 1

Polynomer er gitt:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Det er nødvendig å bringe dem til et standardskjema.

Løsning

La oss først vurdere polynomet 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : medlemmene har en standardform, det er ingen lignende termer, noe som betyr at polynomet er spesifisert i en standardform, og ingen ekstra handlinger er nødvendige.

La oss nå se på polynomet 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Det inkluderer ikke-standard monomialer: 2 · a 3 · 0, 6 og − b · a · b 4 · b 5, dvs. vi må bringe polynomet til standardform, hvor det første trinnet er å transformere monomiene til standardform:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , dermed får vi følgende polynom:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

I det resulterende polynomet er alle termer standard, det er ingen lignende termer, noe som betyr at handlingene våre for å bringe polynomet til standardform er fullført.

Tenk på det tredje gitte polynomet: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

La oss bringe medlemmene til standardform og få:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Vi ser at polynomet inneholder lignende medlemmer, la oss ta med lignende medlemmer:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Dermed tar det gitte polynomet 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 standardformen − x y + 1 .

Svare:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polynomet er satt som standard;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

I mange problemer er handlingen med å redusere et polynom til en standardform mellomliggende når man søker etter et svar på stilte spørsmål. La oss vurdere dette eksemplet.

Eksempel 2

Polynomet 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 er gitt. 5 · z 2 + z 3 . Det er nødvendig å bringe det til en standardform, angi graden og ordne vilkårene til et gitt polynom i synkende grader av variabelen.

Løsning

La oss redusere vilkårene til det gitte polynomet til standardformen:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Neste trinn Her er noen lignende termer:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Vi har oppnådd et polynom av standardform, som lar oss angi graden av polynomet (lik den høyeste graden av dets konstituerende monomer). Naturligvis er den nødvendige graden 5.

Alt som gjenstår er å ordne leddene i avtagende potenser til variablene. For dette formålet omorganiserer vi bare begrepene i det resulterende polynomet av standardform, under hensyntagen til kravet. Dermed får vi:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Svare:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, mens graden av polynomet – 5; som et resultat av å ordne vilkårene til polynomet i avtagende potenser av variablene, vil polynomet ha formen: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter